chuyen de so sanh hai luy thua

Chuyên đề : BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
" So sánh hai luỹ thừa "

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐT HỘI AN
TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM
TỔ TOÁN LÝ
Chuyên đề 3
SO SÁNH HAI LUỸ THỪA
Kiến thức:
* Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: a n=a..a.a.a.a....a (n thừa số a với a thuộcQ)
Qui ước: a 0=1(a ¹ 0)& a1 = a
* Các phép tính luỹ thừa:
- Nhân 2 luỹ thưa cùng cơ số: am.an = am+n
- Chia 2 luỹ thừa cùng cơ số : am : an = am-n (a ¹ 0;m ³ n)
- Luỹ thừa 1 tích: (a.b) n = an .bn
- Luỹ thừa 1 thương : (a : b ) n = an : bn (b ¹ 0)
- Luỹ thừa của luỹ thừa: (a m )n = am.n
- Luỹ thừa tầng : a mn = a ( mn
) vidu : 32 3 = 38 - Luỹ thừa với số mũ âm: a - = 1 (a ¹ 0)vidu10- 3
= 1
3
10
an
n
1. Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng
cơ số hoặc cùng số mũ .
- Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số ( lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số
mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.
Nếu m > n thì am > an ( a >1 )
- Nếu 2 luỹ thừa cùng số mũ ( lớn hơn 0) thì số mũ nào có cơ
số lớn hơn sẽ lớn hơn .
Nếu a > b thì an > bn ( n > 0)
2. Ngoài cách trên,để so sánh 2 luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc
cầu , tính chất đơn điệu của phép nhân ( nếu a<b thì a.c<b.c với
c>0)

GV. NGÔ ĐÌNH NHỰT- TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN
- 1 -


LUYỆN TẬP:
Bài 1. So sánh các số sau đây :
19 = 4 19 = 76 25 = 3 25 = 75 => 76 >
75
16 8
16 (2 ) 2 ;8 (2 ) 2 2 2
=> >
a/ 1619 va825 HD: 19 25
b/ 2711va818 HD: 2711 = (33 )11;81 = (34 )8 = 332 => 333 > 332 => 2711 > 818
c/ 6255 va1257 HD: 6255 = (54 )5 = 205 ;125 = (53 )7 = 521 =>1257 > 6255
d/ 523 va6.522 HD: 5 23 = 5.522 < 6.522 => 6.522 > 523
e/ 7. 213 va216 HD: 7.213< 8.213 = 23.1213 = 216 => 216 > 7.213
f/3 2n va23n nÎN*
HD:32 = 9;23 = 8 => 9 > 8 => 32 > 23 => (32 )n > (23 )n (vi : nÎ N* => 32n > 23n )
g/ So sánh: 2100&3200
HD: 2100 = (23 )100 = 8100 &3200 = (32 )100 = 9100 => 2300 < 3200
h/ So sánh: 5100&3500
HD: 5300 = (53 )100 =125100 &3500 = (33 )100 = 243100 => 5300 < 3500
i/ So sánh: 230 + 330 + 430 &3.2410
HD:
430 = (22 )30 = (2.2)30 = 230.230 = (23 )10 .(22 )15 >810.315 >810.310.3 = (8.3)10 .3 = 2410.3
Vậy 230 + 330 + 430 > 3.2410
Bài 2: So sánh:
a/ 199 20&200315
HD:
199 20< 20020 = (8.25)20 = (23.52 )20 = (23.52 )20 = 260.540
200315> 200015 = (16.125)15 = (24.53 )15 = (24.53 )15 = 260.545
=> 2 60 .545 > 260.540 => 200315>19920
b/ 3 39&1121
HD: 339< 340 = (34 )10 = 8110
1121>1120 = (112 )10 =12110 =>12110 >1120 =>1121 > 339

- 2 -


c/ A= 72 45 -7244 & B = 7244 - 7243
HD: A= 72 44 (72 -1) =7244.71& B =.... =7243 (72 -1) =7243.71
 A > B
Bài 3: Tìm x thuộc N . Biết :
a/ 16 x <1284
HD:
(2) 4 <(2 7 ) 4 ; 44x < 228 => 4x < 28 => x < 7 => x = 0,1,2,3,4,5,6
b/
x x+ x+ £
18
HD:
53x+3 £1018 : 218 =>53x+3 £518=>3x+3 £18 => x £5 => x =0,1,2,3,4,5
5 .5 1.5 2 100.............0 : 2 
chuso
18 0
c/ Cho S =1 + 2 + 2 2+23 +........+29 . So sánh S với 5.2 8
HD:
2.S = 2 + 22 + 23 + 24 + ........ + 29 + 210
2S- S = 210 -1hay¸ S =210 -1<210 =28.22 =4.28 <5.28
Bài 4 : Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng ba chữ số 1 ; 2 ; 3 với điều
kiện mỗi chữ số dùng một lần và chỉ một lần ?
HD:
1/ TH không dùng luỹ thừa : Số lớn nhất viết đựơc là 321
2/ TH có dùng luỹ thừa : (Bỏ qua TH cơ số hoặc số mũ bằng 1
và các luỹ thừa tầng vì các giá trị nầy quá nhỏ so với 321)
* Xét các luỹ thưa có số mũ Một chữ số dươc 4 số :
132 ,312 ,123 ,213 =>213 >312
* Xét các luỹ thưa mà số mũ có hai chữ số được 4 số :
213 ,231 ,312 ,321
=> 321 = 3.320 = 3.(32 )10 = 3.910 &231 = 2.230 = 2(23 )10 = 2.810 => 231<321
Và so sánh 321 &213 => 321 > 39 = (33 )3 = 273 > 213
Vậy số lớn nhất là 3 21 .
BÀi 5: a/ Số 5 8 có bao nhiêu chữ số ?
b/ Hai số 2 2003&52003 viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ
số?

- 3 -


HD: a/
400000
8 4 2 2 2
= = > =
5 (5 ) 625 600 360000
100000000
= = < =
250
100000000
256
5 10
2
8 8
8
8
360000 5 400000.dodo5 co6chuso
8
<=> < <
b/ giả sử 22003 có a chữ số và 5 2003 có b chữ số thì khi viét 2
chữ số liền nhau ta được (a+b) chữ số.
vì 10a- 1< 22003 < 10a &10b- 1 < 52003 < 10b
Nên 10
a-1.10b-1 < 22003.52003 <10a.10b =>10a+b-2 <102003 <10a+b
Do đó : 2003 = a + b - 1
Vậy a + b = 2004 => Só đó có 2004 chữ số.
BÀI 6: Viết dưới dạng a n (aÎQ;nÎZ)
.(4
2 .9. 1
HD:
a/ 2 )2
9
54
3 4 5
ù
é
÷ø
2 3 . 1 2 2 .3 3
. 1
3
2 2
3
2 2
2
3
. 2
3
ö = æ ÷ø3
çè
2
. 2
ö 3
çè
2.3
. 2
ö 3
çè
2.3
ö çè
æ = ÷ø
= æ
ú úû
ê êë
÷ø
æ
b/
2
2 2 .3 3
. 2
ö 3
çè
-
÷ø
æ
2 .3 .(2 - =
HD: 2 3 ) 2
3
2 .3 . 1 = 2 .3 . 3
= - =
2 2 2 .2.2 .3 2.6
2 2 2 2 2
2
2
2 3
2
2
(2
)
3
19 3 +
9 4
6 .2 12
2 .27 15.4 .9
c/ 9 10 10
+
1
18 9
= +
2 .3 (2 5)
19 9 18 8
2 .3 .3.5.2 3
19 3 4 4
2 .27 15.4 .9
HD: 2
2 .3 (1 6)
2 .3 .2 (2 .3)
6 .2 .12
19 9
9 9 10 2 10
9 10 10
=
+
+
+ =
BÀI 7: So sánh các số:
a/ 50 20&255010 ;99910 &9999995
HD: 5020 = [(50)2 ]10 = 250010 < 255010 => 520 < 255010
99910 = [(999)2 ]5 < 9980015 < 9999995 => 99910 < 9999995
b/ Viết theo từ nhỏ đến lớn: 2100 ;375 &550

- 4 -


HD:
100 2 50 50 50
= = <
2 (2 ) 4 5 (1)
75 3 25 75 50
= = = >
3 (3 ) 27 3 5 (2)
50 5 25 25
= =
5 (5 ) 25 (3)
Từ(1),(2) và (3) => 2100 < 550 < 375
1
+ 1
+ 1
+ 1
+
1
& 1
2 2 2 2 2 2 2 c/ 101
102
103
104
105
2 .3.5 .7
HD: Nếu n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có:
n n
- = - -
1 ( 1)
n n n
Vay
n n
1
= - +
n n n n n
n n
n n
1
1
: 1 1
1
( 1)
( 1).
1
( 1).
1
1
2
2
-
-
<
>
-
=
-
-
-
Áp dụng vào bài toán ta được:
1
1
1
< -
1
1
1
2
2
< -
....................................
1
1
1
< -
__________________________________________________________
+ + + < - = - = =
2 2 2 2 2 2 2
1
1
1
2 .5 .3.7
... 1
...... 1
105
: 1
102
1
2 .5 .3.7
5
2 .5 .5.3.7
105 100
100.105
105
100
105
1
102
1
101
103
104
105
102
101
102
101
100
101
2 2 2 2
2
+ + <
vay
BÀI 8 : Tính giá trị biểu thức:
a/ P = (-1).(-1)2 .(-1)3 .(-1)4 ...................(-1)99
HD: P = (-1)1+2+3+4+....+99
Mà : 1+2+3+4+5+........+99 =
(1+99).99 = =
50.99 4950
2
Vậy: P = (-1) 1 4950=
-
6
. 2
. 1
8
b/ A = 2
3 3
10
1125
-
-
-
- = - = - 8.1000.9
= -
1
8 2
. 3
2
8
. 2
1 1
6
HD: .......= 1
1125.64
1
.10 . 1
1125
1
3
10
.
1125
6
3
2
3
.................. 512
512 - 512
- 512
-
c/ M = 512- 2
2
2 2
3 210

- 5 -


1-1 - 1
- 1
- ........... - 1
)
HD: .....= 512.( 2
2
2 3
2 210
=
ö çè
ö çè
ö çè
2 2 3 9 10
1
é
ö çè
é - - + - + - - +
1
2
1
1
1
512. 1
1024
512 1 1
512 1 1
512. 1
2
...... 1
1
2
1
....... 1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
10
2 2 3 9 10
= =
ù
úû
êë
ù
úû
êë
÷ø
æ - - - ÷ø
æ - - ÷ø
æ - - ÷ø
æ -
1
Vậy M = 2
BÀI 9: Tìm x . Biết:
625
æ x+
4 2 7
ö çè
a/ 5
256
= ÷ø
HD: ...=
x x
æ + + -
4 2 7 5
4 4
2 7 4
4
ö çè
æ = ÷ø
ö çè
æ => ÷ø
ö çè
æ = ÷ø
ö çè
÷ø
2 7 4 2 11 11
2
5
5
4
5
+ = - => = - => = -
x x x
7x+2 + 7x+1 + 7x 2x = 5 + 5 2x+1 + 5
2x+3
b/ 57
131
HD: .....=
x x x x x x
2 2 2 2 3
+ + = + +
5 .1 5 .5 5 .5
x x
<=> + + = + +
5 .(1 5 125)
1 7
x
x
<=> = <=> = <=> =
0
7 .7 7 .7 7 .1
7 , (49 7 1)
7 5 7
7
ö 25
çè
7
25
1
25
5
131
57
131
57
0
2
2
2
= <=> ÷ø
<=> æ
æ = ÷øö çè
x
x
x
x
x x
c/ Tìm x . Biết: (3x-7) 2005=(3x -7)2003
2005 2003
x x
- - - =
x x
(3 7) (3 7) 0
HD:......<=> (3 - 7) 2003 .[(3 - 7) 2
- 1 ] =
0
(3 7) 0 3 7 0 7
{
x x x
<=> - = <=> - = <=>
(3 7) 1 3 7 1 8
hoac x x x x
; 2
3
3
2
2003
<=> - = <=> - = ± <=> = =
BÀI 10: Chứng minh rằng :
a/ 76 +75 -74 11
HD: 76 +75 -74 = 74 (72 +7 -1) = 74.55 = 74.5.1111
b/ 109 +108 +107 222

- 6 -


HD: .....= 10
7 2 + + = 7 2 + + =
7 7
= = 
(10 10 1) (2.5) (10 10 1) 2 .5 .111
6 7 6 7
2 .5 .2.111 2 .5 .222 222
c/ 817 - 279 - 913 45
HD:....=(34 )7 - (33 )9 - (32 )3 = 328 -327 -326 = 326 (32 -3 -12 )
= 32.324.5 =324.4545
d/ 16 5+215 Chia hết cho 33
HD:...=215 .3333
BÀI 11: Tính A = 1+5+5 2+53 +54 +55 +.............................+549 +550
Giải: A = 1+5 + 52 + 53 + 54 + 54 + 55 +.................... + 549 + 550
5A = 5+5 2 +53 +54 +55 +56 +.............................+550 +551
51
51 - => = -
5 1 A 5 1
=>5A - A = 4
1 + + + + + +
) (1
2
) (1
2
(1
BÀI 12: Cho B = 2 3 4 98 )100
2
) .......... (1
2
) (1
2
2
Chứng minh B < 1
Giải: 2B = 1+ 1 + 1
+ 1
+ ........... +
1
2
2
2 2
3 298
1
99 => B <
2B - B = 1- 1
2
NHẬN XÉT: Tính Tổng dãy số hạng mà số hạng sau gấp 2,3,4,5..lần số
hạng liền trước.Ta nhân biểu thức đó co 2,3,4,5... .Rồi lấy tổng sau trừ
cho tổng đã cho để RÚT GỌN,hoặc BÉ HƠN hoặc LỚN HƠN,........
Áp dụng Tính:
BÀI 13: Rút gọn:
a/ A = 2100 - 299 + 298 - 297 +........ + 22 - 2
201
HD: tính 2A+A=2 3
201- 2 => A = 2 - 2
( Lưu ý : Các số hạng
đối nhau nên ta cộng)
b/ B = 3100 -399 + 398 - 397 + 32 - 3 +1
HD: Tính 3B + B = 4B = 4
1+3101

- 7 -


BÀI 14: Chứng minh rằng:
1
........ 1
1
1
1
C= 2
3
3
3
3
2 3 99 + + + + <
1 => C < 2
HD: Tính 3C - C= 2C = 1- 399
1
3
+ 5
+ 7
+ ........ + 19
<
2 2 2 3 2 2 2 2 BÀI 15: Chứng minh rằng: 1
9 .10
3 .4
2 .3
1 .2
2 9
2 3
3 2
2 1
2 -1 + 3 - 2
+ 4 - 3
+ .... + 10 -
9
= 2 2 2 2 2 2 102
HD: Ta có:...........= 1 2
2 3
2 2
2 2
9 .10
3 .4
2 .3
1 .2
1
1 - + - + + + -
........ 1
9
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1 12 - <
= 1
10
3
......... 100
4
3
2
1
BÀI 16: Chứng minh rằng: 4
3
3
3
3
3
2 3 4 100 + + + + + <
1 + + + + +
......... 100
4
3
2
HD: Đặt M = 3
3
2 3
3 3
4 3100
100
2 + + + + +
........ 99
4
3
3 M = 1+ 3
3
2 3
3 3
98 399
1+ ( 1 + + + + + -
) 100
1
..... 1
1
1
3M-M=2M = 3
2 3
3 3
4 3
98 3
99 3100
1 => A < +
=> M < 4
2 1 1
Biểu thức trong ngoặc nhỏ hơn 2
2
3
BÀI 17: Tìm các số nguyên dương m và n sao cho: 2m - 2n = 256
HD: Ta có : 2m - 2n = 256 = 28 => 2n (2m-n -1) = 28
Dễ thấy m ¹ n Ta xét 2 trường hợp:
1/ Nếu m-n = 1 thì (1) ta có 2n(2-1) = 28=>n =8;m =9
2/ Nếu m-n ³ 2 => 2m-n -1 là một số lẻ lớn hơn 1
nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tách ra
thừa số nguyên tố.Còn vế trái của (1) chỉ chứa thừa số

- 8 -


nguyên tố 2 <=> Mâu thuẩn.Vậy n=8 ; m=9 là đáp số duy nhất
1
2 2 2 2 - ÷ø
1 & 1
1 ....... 1
1 . 1
1 . 1
æ - ÷ø
æ - ÷ø
æ - ÷ø
BÀI 18: So sánh A = 2
100
4
3
2
ö çè
ö çè
ö çè
æ -
ö çè
HD: A là tích của 99 số âm. Do đó:
(1-1 - - - )
)(1 1
4
)(1 1
9
).........(1 1
16
-A = 1002
........ 99.101
. 3.5
. 2.4
1.3
3 =
....... 9999
.15
. 8
-A = 2
2 3
2 4
2 100
2 2
2 3
2 4
2 1002
Để dễ rút gọn ta viết tử dưới dạng tích các số tự nhiên liên tiếp
như sau:
-A = 1
.
100
1.2.3.4.5.6..........98.99 =
. 3.4.5..........100.101
2.3.4..........99.100
2.3.4.5.........99.100
101 = >
Vậy A <- 2
1
2
101
200
2
1


- 9 -

chuyen de so sanh hai luy thua

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (6)

Similar to chuyen de so sanh hai luy thua

Similar to chuyen de so sanh hai luy thua (20)

More from Vui Lên Bạn Nhé

More from Vui Lên Bạn Nhé (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

chuyen de so sanh hai luy thua