Ôn tập phương trình nghiệm nguyên trong toán THCS ôn thi vào lớp 10
Chuynbidnghsgmntonlp7 151008091156-lva1-app6891
1. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 1
CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7
PHẦN ĐẠI SỐ
Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính:
1. Các kiến thức vận dụng:
- Tính chất của phép cộng , phép nhân
- Các phép toán về lũy thừa:
an
= . ....
n
a a a ; am
.an
= am+n
; am
: an
= am –n
( a 0, m n)
(am
)n
= am.n
; ( a.b)n
= an
.bn
; ( ) ( 0)
n
n
n
a a
b
b b
2 . Một số bài toán :
Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +…. + n , 1+ 3 + 5 +…. + (2n -1)
b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ n.(n+1)
1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
Với n là số tự nhiên khác không.
HD : a) 1+2 + 3 + .. ..+ n = n(n+1)
1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2
b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1)
= [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + …..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3
= [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n( n+1)(n+2)] : 3
= n(n+ 1)(n+2) :3
1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
= [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4
= n(n+1)(n+2)(n+3) : 4
Tổng quát:
2. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 2
Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2
+…..+ an
b) Tính tổng : A =
1 2 2 3 1
......
. . .n n
c c c
a a a a a a
với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = k
HD: a) S = 1+ a + a2
+…..+ an
aS = a + a2
+…..+ an
+ an+1
Ta có : aS – S = an+1
– 1 ( a – 1) S = an+1
– 1
Nếu a = 1 S = n
Nếu a khác 1 , suy ra S =
1
1
1
n
a
a
b) Áp dụng
1 1
( )
.
c c
a b k a b
với b – a = k
Ta có : A =
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ..... ( )
n n
c c c
k a a k a a k a a
=
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1
( ...... )
n n
c
k a a a a a a
=
1
1 1
( )
n
c
k a a
Bài 3 : a) Tính tổng : 12
+ 22
+ 32
+ …. + n2
b) Tính tổng : 13
+ 23
+ 33
+ …..+ n3
HD : a) 12
+ 22
+ 32
+ ….+ n2
= n(n+1)(2n+1): 6
b) 13
+ 23
+ 33
+ …..+ n3
= ( n(n+1):2)2
Bài 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a) A =
1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49
( ... )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
b)
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3 9 32 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
125.7 5 .142 .3 8 .3
B
HD : A =
9
28
; B =
7
2
Bài 4: 1, Tính: P =
1 1 1 2 2 2
2003 2004 2005 2002 2003 2004
5 5 5 3 3 3
2003 2004 2005 2002 2003 2004
4. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 4
Bài 8: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
25
13
:)75,2(53,388,0:
25
11
4
3
125505,4
3
4
4:624,81
2
22
2
A
b) Chøng minh r»ng tæng:
2,0
2
1
2
1
....
2
1
2
1
...
2
1
2
1
2
1
20042002424642
nn
S
5. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 5
CHUYÊN ĐỀ 2: BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
1. Kiến thức vận dụng :
- . .
a c
a d b c
b d
-Nếu
a c e
b d f
thì
a c e a b e
b d f b d f
với gt các tỉ số dều có nghĩa
- Có
a c e
b d f
= k Thì a = bk, c = d k, e = fk
2. Bài tập vận dụng
Dạng 1 Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức
Bài 1: Cho
a c
c b
. Chứng minh rằng:
2 2
2 2
a c a
b c b
HD: Từ
a c
c b
suy ra 2
.c a b
khi đó
2 2 2
2 2 2
.
.
a c a a b
b c b a b
=
( )
( )
a a b a
b a b b
Bài 2: Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2
= ac. Chứng minh rằng:
c
a
=
2
2
( 2012 )
( 2012 )
a b
b c
HD: Ta có (a + 2012b)2
= a2
+ 2.2012.ab + 20122
.b2
= a2
+ 2.2012.ab + 20122
.ac
= a( a + 2.2012.b + 20122
.c)
(b + 2012c)2
= b2
+ 2.2012.bc + 20122
.c2
= ac+ 2.2012.bc + 20122
.c2
= c( a + 2.2012.b + 20122
.c)
Suy ra :
c
a
=
2
2
( 2012 )
( 2012 )
a b
b c
6. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 6
Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu
d
c
b
a
th×
dc
dc
ba
ba
35
35
35
35
HD : Đặt
a c
k
b d
a = kb, c = kd .
Suy ra :
5 3 (5 3) 5 3
5 3 (5 3) 5 3
a b b k k
a b b k k
và
5 3 (5 3) 5 3
5 3 (5 3) 5 3
c d d k k
c d d k k
Vậy
dc
dc
ba
ba
35
35
35
35
Bài 4: BiÕt
2 2
2 2
a b ab
c d cd
với a,b,c, d 0 Chứng minh rằng :
a c
b d
hoặc
a d
b c
HD : Ta có
2 2
2 2
a b ab
c d cd
=
2 2
2 2
2 2
2 2
ab a ab b
cd c cd d
2
2
2
( )
( )
( )
a b a b
c d c d
(1)
2 2
2 2
a b ab
c d cd
=
2 2
2 2
2 2
2 2
ab a ab b
cd c cd d
2
2
2
( )
( )
( )
a b a b
c d c d
(2)
Từ (1) và (2) suy ra : 2 2
( ) ( )
a b a b
a b a b c d c d
a b b ac d c d
c d d c
Xét 2 TH đi đến đpcm
Bài 5 : Cho tØ lÖ thøc
d
c
b
a
. Chøng minh r»ng:
22
22
dc
ba
cd
ab
vµ 22
222
dc
ba
dc
ba
HD : Xuất phát từ
d
c
b
a
biến đổi theo các
hướng làm xuất hiện
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
( )
ab a b a c a b a b
cd c d b d c d c d
Bài 6 : Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
7. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 7
d
dcba
c
dcba
b
dcba
a
dcba 2222
TÝnh
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
HD : Từ
d
dcba
c
dcba
b
dcba
a
dcba 2222
Suy ra :
2 2 2 2
1 1 1 1
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
Nếu a + b + c + d = 0 a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d)
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
= -4
Nếu a + b + c + d 0 a = b = c = d
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
= 4
Bài 7 : a) Chøng minh r»ng:
NÕu
cba
z
cba
y
cba
x
4422
Th×
zyx
c
zyx
b
zyx
a
4422
b) Cho:
d
c
c
b
b
a
.
Chøng minh:
d
a
dcb
cba
3
HD : a) Từ
cba
z
cba
y
cba
x
4422
2 2 4 4a b c a b c a b c
x y z
2 2(2 ) 4 4
2 2
a b c a b c a b c a
x y z x y z
(1)
2( 2 ) (2 ) 4 4
2 2
a b c a b c a b c b
x y z x y z
(2)
8. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 8
4( 2 ) 4(2 ) 4 4
4 4 4 4
a b c a b c a b c c
x y z x y z
(3)
Từ (1) ;(2) và (3) suy ra :
zyx
c
zyx
b
zyx
a
4422
Bài 8: Cho
zyx
t
yxt
z
xtz
y
tzy
x
chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn.
zy
xt
yx
tz
xt
zy
tz
yx
P
HD Từ
zyx
t
yxt
z
xtz
y
tzy
x
y z t z t x t x y x y z
x y z t
1 1 1 1
y z t z t x t x y x y z
x y z t
x y z t z t x y t x y z x y z t
x y z t
Nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4
Nếu x + y + z + t 0 thì x = y = z = t P = 4
Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện :
y z x z x y x y z
x y z
Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1 1 1
x y z
y z x
Bài 10 : a) Cho các số a,b,c,d khác 0 . Tính
T =x2011
+ y2011
+ z2011
+ t2011
Biết x,y,z,t thỏa mãn:
2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010
2 2 2 2 2 2 2 2
x y z t x y z t
a b c d a b c d
b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện:
M = a + b = c +d = e + f
Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N*
và
14
22
a
b
;
11
13
c
d
;
13
17
e
f
9. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 9
c) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn :
2009 2010 2011
a b c
.
Tính giá trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2
MỘT SỐ BÀI TƯƠNG TỰ
Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
2012 2012 2012 2012a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
TÝnh
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện :
y z t nx z t x ny t x y nz x y z nt
x y z t
( n là số tự nhiên)
và x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t
10. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 10
DẠNG 2 : VẬN DỤNG TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ĐỂ TÌM X,Y,Z,…
Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết :
1+3y 1+5y 1+7y
12 5x 4x
HD : Áp dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:
1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y
12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12
=>
2 2
5 12
y y
x x
với y = 0 thay vào không thỏa mãn
Nếu y khác 0
=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vµo trªn ta ®-îc:
1 3 2
12 2
y y
y
=>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y =
1
15
VËy x = 2, y =
1
15
tho¶ m·n ®Ò bµi
Bài 3 : Cho
a b c
b c a
và a + b + c ≠ 0; a = 2012.
Tính b, c.
HD : từ 1
a b c a b c
b c a a b c
a = b = c = 2012
Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết :
1 2 3 1y x x z x y
x y z x y z
HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:
1 2 3 2( ) 1
2
( )
y x x z x y x y z
x y z x y z x y z
(vì x+y+z 0)
Suy ra : x + y + z = 0,5 từ đó tìm được x, y, z
11. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 11
Bài 5 : Tìm x, biết rằng:
1 2 1 4 1 6
18 24 6
y y y
x
HD : Từ
1 2 1 4 1 6 2(1 2 ) (1 4 ) 1 2 1 4 (1 6 )
18 24 6 2.18 24 18 24 6
y y y y y y y y
x x
Suy ra :
1 1
1
6 6
x
x
Bài 6: T×m x, y, z biÕt: zyx
yx
z
zx
y
yz
x
211
(x, y, z 0 )
HD : Từ
1
1 1 2 2( ) 2
x y z x y z
x y z
z y x z x y x y z
Từ x + y + z =
1
2
x + y =
1
2
- z , y +z =
1
2
- x , z + x =
1
2
- y thay vào đẳng thức ban đầu để tìm
x.
Bài 7 : T×m x, y, z biÕt
216
3
64
3
8
3 zyx
vµ 122 222
zyx
Bài 8 : Tìm x , y biết :
2 1 4 5 2 4 4
5 9 7
x y x y
x
12. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 12
CHUYÊN ĐỀ 3: VẬN DỤNG TÍNH CHẤT PHÉP TOÁN ĐỂ TÌM X, Y
1. Kiến thức vận dụng :
- Tính chất phép toán cộng, nhân số thực
- Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế
- Tính chất về giá trị tuyệt đối : 0A với mọi A ;
, 0
, 0
A A
A
A A
- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :
A B A B dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; A B A B dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0
( 0)
A m
A m m
A m
; ( )
A m
A m hay m A m
A m
với m > 0
- Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n
0 với mọi A ; - A2n
0 với mọi A
Am
= An
m = n; An
= Bn
A = B (nếu n lẻ ) hoặc A = B ( nếu n chẵn)
0< A < B An
< Bn
;
2. Bài tập vận dụng
Dạng 1: Các bài toán cơ bản
Bài 1: Tìm x biết
a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013
b)
1 2 3 4
2011 2010 2009 2008
x x x x
HD : a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013
x( 1 + 2 + 3 + ….+ 2011) = 2012.2013
2011.2012
. 2012.2013
2
x
2.2013
2011
x
b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4
Từ
1 2 3 4
2011 2010 2009 2008
x x x x
( 2012) 2011 ( 2012) 2010 ( 2012) 2009 ( 2012) 2008
2011 2010 2009 2008
x x x x
13. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 13
2012 2012 2012 2012
2
2011 2010 2009 2008
1 1 1 1
( 2012)( ) 2
2011 2010 2009 2008
1 1 1 1
2:( ) 2012
2011 2010 2009 2008
x x x x
x
x
Bài 2 Tìm x nguyên biết
a)
1 1 1 1 49
....
1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1) 99x x
b) 1- 3 + 32
– 33
+ ….+ (-3)x
=
1006
9 1
4
Dạng 2 : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối
Dạng : x a x b và x a x b x c
Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị đó để chia ra
các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b)
Bài 1 : Tìm x biết :
a) 2011 2012x x b) 2010 2011 2012x x
HD : a) 2011 2012x x (1) do VT = 2011 0,x x
nên VP = x – 2012 0 2012x (*)
Từ (1)
2011 2012 2011 2012( ô )
2011 2012 (2011 2012): 2
x x v ly
x x x
Kết hợp (*) x = 4023:2
b) 2010 2011 2012x x (1)
Nếu x 2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy)
Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại)
Nếu x 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012 x = 6033:2(lấy)
Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2
Một số bài tương tự:
Bài 2 : a) T×m x biÕt 431 xx
b) T×m x biÕt: 426 22
xxx
14. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 14
c) T×m x biÕt: 54232 xx
Bài 3 : a)T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó: xxx 313
b) Tìm x biết: 2 3 2x x x
Bài 4 : tìm x biết :
a) 1 4x b) 2011 2012x
DẠNG TOÁN: SỬ DỤNG BĐT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết : 1 3 5 7 8x x x x
b) Tìm x biết : 2010 2012 2014 2x x x
HD : a) ta có 1 3 5 7 1 7 3 5 8x x x x x x x x (1)
Mà 1 3 5 7 8x x x x suy ra ( 1) xẩy ra dấu “=”
Hay
1 7
3 5
3 5
x
x
x
do x nguyên nên x {3;4;5}
b) ta có 2010 2012 2014 2010 2014 2012 2x x x x x x (*)
Mà 2010 2012 2014 2x x x nên (*) xẩy ra dấu “=”
Suy ra:
2012 0
2012
2010 2014
x
x
x
Các bài tương tự
Bài 2 : Tìm x nguyên biết : 1 2 ..... 100 2500x x x
Bài 3 : Tìm x biết 1 2 ..... 100 605x x x x
Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n: x 1 x 2 y 3 x 4 = 3
Bài 5 : Tìm x, y biết : 2006 2012 0x y x
HD : ta có 2006 0x y với mọi x,y và 2012 0x với mọi x
15. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 15
Suy ra : 2006 2012 0x y x với mọi x,y mà 2006 2012 0x y x
0
2006 2012 0 2012, 2
2012 0
x y
x y x x y
x
Bài 6 : T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n.
2004 4 10 101 990 1000x x x x x
DẠNG CHỨA LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :
a) 5x
+ 5x+2
= 650 b) 3x-1
+ 5.3x-1
= 162
HD : a) 5x
+ 5x+2
= 650 5x
( 1+ 52
) = 650 5x
= 25 x = 2
b) 3x-1
+ 5.3x-1
= 162 3x -1
(1 + 5) = 162 3x – 1
= 27 x = 4
Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết:
a) 2x + 1
. 3y
= 12x
b) 10x
: 5y
= 20y
HD : a) 2x + 1
. 3y
= 12x
2
1
1
2 3
2 3
2 3
x y
x y x
x x
Nhận thấy : ( 2, 3) = 1 x – 1 = y-x = 0 x = y = 1
b) 10x
: 5y
= 20y
10x
= 102y
x = 2y
Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn :
a) 2m
+ 2n
= 2m +n
b) 2m
– 2n
= 256
HD: a) 2m
+ 2n
= 2m +n
2m + n
– 2m
– 2n
= 0 2m
( 2n
– 1) –( 2n
– 1) = 1
(2m
-1)(2n
– 1) = 1
2 1 1
1
2 1 1
n
m
m n
b) 2m
– 2n
= 256 2n
( 2m – n
- 1) = 28
Dễ thấy m n, ta xét 2 trường hợp :
+ Nếu m – n = 1 n = 8 , m = 9
+ Nếu m – n 2 thì 2m – n
– 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà VT chỉ chứa
TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9
16. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 16
Bài 4 : Tìm x , biết :
1 11
7 7 0
x x
x x
HD :
1 11
1 10
7 7 0
7 1 7 0
x x
x
x x
x x
1 10
8
6
1
10
7 0
1 ( 7) 0
7 0 7
( 7) 1
7 1 7 0
10
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
Bài 5 : Tìm x, y biết : 2012
2011 ( 1) 0x y y
HD : ta có 2011 0x y với mọi x,y và (y – 1)2012
0 với mọi y
Suy ra : 2012
2011 ( 1) 0x y y với mọi x,y . Mà 2012
2011 ( 1) 0x y y
2011 0
2011, 1
1 0
x y
x y
y
Các bài tập tương tự :
Bài 6 : Tìm x, y biết :
a) 2012
5 (3 4) 0x y b) 2 2
(2 1) 2 8 12 5.2x y x
CHUYÊN ĐỀ 4: GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIẾN , GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
17. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 17
1 . Các kiến thức vận dụng:
- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
- Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương
- Tính chất chia hết của một tổng , một tích
- ƯCLN, BCNN của các số
2. Bài tập vận dụng :
* Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức
Bài 1: a) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000
b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: 22
23)2004(7 yx
c) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6
d) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2
-2y2
=1
HD: a) Từ 51x + 26y = 2000 17.3.x = 2.( 1000 – 13 y) do 3,17 là số NT nên x 2 mà x NT x
= 2. Lại có 1000 – 13y 51 , 1000 – 13y > 0 và y NT y =
b) Từ 22
23)2004(7 yx (1)
do 7(x–2004)2
0 2 2
23 0 23 {0,2,3,4}y y y
Mặt khác 7 là số NT 2
13 7y vậy y = 3 hoặc y = 4 thay vào (1)
suy ra : x= 2005 ,y =4 hoặc x = 2003, y = 4
c) Ta có xy + 3x - y = 6 ( x – 1)( y + 3) = 3
1 1
3 3
x
y
hoặc
1 1
3 3
x
y
hoặc
1 3
3 1
x
y
hoặc
1 3
1 1
x
y
d) x2
-2y2
=1 2 2 2
1 2 ( 1)( 1) 2x y x x y
do VP = 2y2
chia hết cho 2 suy ra x > 2 , mặt khác y nguyên tố
1 2 3
1 2
x y x
x y y
Bài 2 a) Tìm các số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = 7
b) Tìm ,x y biết: 2 2
25 8( 2012)y x
HD : a) Từ x – y + 2xy = 7 2x – 2y + 2xy = 7 (2x - 1)( 2y + 1) = 13
b) Từ 2 2
25 8( 2012)y x y2
25 và 25 – y2
chia hết cho 8 , suy ra y = 1 hoặc y = 3
hoặc y = 5 , từ đó tìm x
18. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 18
Bài 3 a) T×m gi¸ trÞ nguyªn d-¬ng cña x vµ y, sao cho:
1 1 1
x y 5
b) T×m c¸c sè a, b, c nguyªn d-¬ng tho¶ m·n :
b
aa 553 23
vµ c
a 53
HD : a) Từ
1 1 1
x y 5
5 ( x + y) = xy (*)
5
5
5
x
xy
y
+ Với x chia hết cho 5 , đặt x = 5 q ( q là số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra:
5q + y = qy 5q = ( q – 1 ) y . Do q = 1 không thỏa mãn , nên với q khác 1 ta có
5 5
5 1
1 1
q
y Z q
q q
Ư(5) , từ đó tìm được y, x
b) b
aa 553 23
a2
( a +3) = 5b
– 5 , mà c
a 53 a2
. 5c
= 5( 5b – 1
– 1)
1
2
1
5 1
5
b
c
a
Do a, b, c nguyên dương nên c = 1( vì nếu c >1 thì 5b – 1
- 1 không chia hết cho 5
do đó a không là số nguyên.) . Với c = 1 a = 2 và b = 2
Bài 4: T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n:
2
2 2 2
5 2013 5p p
q
HD :
2 2
2 2 2 2 2
5 2013 5 2013 25 25 2013 25 (25 1)p p p p p p
q q q
Do p nguyên tố nên 2 2
2013 25q và 2013 – q2
> 0 từ đó tìm được q
Bài 5 : T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d-¬ng n sao cho: 12 n
chia hÕt cho 7
HD : Với n < 3 thì 2n
không chia hết cho 7
Với n 3 khi đó n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 ( *
k N )
Xét n = 3k , khi đó 2n
-1 = 23k
– 1 = 8k
– 1 = ( 7 + 1)k
-1 = 7.A + 1 -1 = 7.A 7
Xét n = 3k +1 khi đó 2n
– 1 = 23k+1
– 1 = 2.83k
– 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 không chia hết cho 7
Xét n = 3k+2 khi đó 2n
– 1 = 23k +2
-1 = 4.83k
– 1 = 4( 7A + 1) – 1 = 7 A + 3 không chia hết cho 7
. Vậy n = 3k với *
k N
* Tìm x , y để biểu thức có giá trị nguyên, hay chia hết:
Bài 1 T×m sè nguyªn m ®Ó:
a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + 1.
b) 313 m
HD : a) Cách 1 : Nếu m >1 thì m -1 < 2m +1 , suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1
19. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 19
Nếu m < -2 thì 1 2 1m m , suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1
Vậy m { -2; -1; 0; 1}
Cách 2 : Để 1 2 1 2( 1) 2 1 (2 1) 3 2 1 3 2 1m m m m m m m
b) 313 m - 3 < 3m – 1 < 3
02 4
13 3
m
m
m
vì m nguyên
Bài 2 a) T×m x nguyªn ®Ó 6 1x chia hÕt cho 2 3x
b) T×m Zx ®Ó A Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã.
A =
3
21
x
x
. HD: A =
3
21
x
x
=
1 2( 3) 6 7
2
3 3
x
x x
Bài 3: Tìm x nguyên để
2012 5
1006 1
x
x
HD :
2012 5
1006 1
x
x
=
2(1006 1) 2009 2009
2
1006 1 1006 1
x
x x
để
2012 5
1006 1
x
x
2009 1006 1x x là số CP.
Với x >1 và x là số CP thì 1006 1 2012 2009x suy ra 2009 không chia hết cho
1006 1x
Với x = 1 thay vào không thỏa mãn
Với x = 0 thì 2009:1006 1 2009x
20. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 20
CHUYÊN ĐỀ 5 : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
1.Các kiến thức vận dụng :
* a2
+ 2.ab + b2
= ( a + b)2
0 với mọi a,b
* a2
– 2 .ab + b2
= ( a – b)2
0 với mọi a,b
*A2n
0 với mọi A, - A2n
0 với mọi A
* 0,A A , 0,A A
* , ,A B A B A B dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0
* , ,A B A B A B dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0
2. Bài tập vận dụng:
* Dạng vận dụng đẳng thức : a2
+ 2.ab + b2
= ( a + b)2
0 với mọi a,b
Và a2
– 2 .ab + b2
= ( a – b)2
0 với mọi a,b
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:
a) P(x) = 2x2
– 4x + 2012
b) Q(x) = x2
+ 100x – 1000
HD : a) P(x) = 2x2
– 4x + 2012 = 2(x2
– 2.x. + 12
) + 2010 = 2( x – 1)2
+ 2010
Do ( x - 1)2
0 với mọi x , nên P(x) 2010 . Vậy Min P(x) = 2010
khi ( x - 1)2
= 0 hay x = 1
b) Q(x) = x2
+ 100x – 1000 = ( x + 50)2
– 3500 - 3500 với mọi x
Vậy Min Q(x) = -3500
Từ đây ta có bài toán tổng quát : Tìm GTNN của đa thức P(x) = a x2
+ bx +c ( a > 0)
HD: P(x) = a x2
+ bx +c = a( x2
+ 2.x.
2
b
a
+ 2
( )
2
b
a
) + ( c -
2
4
b
a
)
= a(
2 2
2 4 4
) ( ) ,
2 4 4
b ac b ac b
x x
a a a
Vậy Min P(x) =
2
4
4
ac b
a
khi x =
2
b
a
Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = - a2
+ 3a + 4
b) B = 2 x – x2
23. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 23
b) ta có 2010 2011 2012B x x x ( 2010 2012 ) 2011x x x
Do 2010 2012 2010 2012 2x x x x với mọi x (1)
Và 2011 0x với mọi x (2)
Suy ra B ( 2010 2012 ) 2011x x x 2 . Vậy Min B = 2 khi BĐT (1) và (2) xẩy ra
dấu “=” hay
( 2010)(2012 ) 0
2011
2011 0
x x
x
x
c) Ta có
1 2 ..... 100x x x = ( 1 100 ) ( 2 99 ) ..... ( 50 56 )x x x x x x
1 100 2 99 .... 50 56x x x x x x = 99 + 97 + ....+ 1 = 2500
Suy ra C 2050 với mọi x . Vậy Min C = 2500 khi
( 1)(100 ) 0 1 100
( 2)(99 ) 0 2 99
............................ ................
( 50)(56 ) 0 50 56
x x x
x x x
x x x
50 56x
24. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 24
CHUYÊN ĐỀ 6 : DẠNG TOÁN CHỨNG MINH CHIA HẾT
1.Kiến thức vận dụng
* Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
* Chữ số tận cùng của 2n
, 3n
,4n
, 5n
,6n
, 7n
, 8n
, 9n
* Tính chất chia hết của một tổng
2. Bài tập vận dụng:
Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :
2 2
3 2 3 2n n n n
chia hết cho 10
HD: ta có 2 2
3 2 3 2n n n n
= 2 2
3 3 2 2n n n n
= 2 2
3 (3 1) 2 (2 1)n n
= 1
3 10 2 5 3 10 2 10n n n n
= 10( 3n
-2n
)
Vậy 2 2
3 2 3 2n n n n
10 với mọi n là số nguyên dương.
Bài 2 : Chứng tỏ rằng:
A = 75. (42004
+ 42003
+ . . . . . + 42
+ 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
HD: A = 75. (42004
+ 42003
+ . . . . . + 42
+ 4 + 1) + 25 = 75.( 42005
– 1) : 3 + 25
= 25( 42005
– 1 + 1) = 25. 42005
chia hết cho 100
Bài 3 : Cho m, n N*
và p là số nguyên tố thoả mãn:
1m
p
=
p
nm
(1)
Chứng minh rằng : p2
= n + 2
HD : + Nếu m + n chia hết cho p ( 1)p m do p là số nguyên tố và m, n N*
m = 2 hoặc m = p +1 khi đó từ (1) ta có p2
= n + 2
+ Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1) (m + n)(m – 1) = p2
Do p là số nguyên tố và m, n N*
m – 1 = p2
và m + n =1
m = p2
+1 và n = - p2
< 0 (loại)
Vậy p2
= n + 2
25. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 25
Bài 4: a) Sè 4101998
A cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ?
b) Chøng minh r»ng: 3338
4136 A chia hÕt cho 7
HD: a) Ta có 101998
= ( 9 + 1)1998
= 9.k + 1 ( k là số tự nhiên khác không)
4 = 3.1 + 1
Suy ra : 4101998
A = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho 3 , không chia hết cho 9
b) Ta có 3638
= (362
)19
= 129619
= ( 7.185 + 1) 19
= 7.k + 1 ( k N*
)
4133
= ( 7.6 – 1)33
= 7.q – 1 ( q N*
)
Suy ra : 3338
4136 A = 7k + 1 + 7q – 1 = 7( k + q) 7
Bài 5 :
a) Chøng minh r»ng: nnnn
2323 42
chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyªn d-¬ng
b) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c 17 nÕu a - 11b + 3c 17 (a, b, c Z)
Bài 6 : a) Chøng minh r»ng: 17101723 baba (a, b Z )
b) Cho ®a thøc cbxaxxf 2
)( (a, b, c nguyªn).
CMR nÕu f(x) chia hÕt cho 3 víi mäi gi¸ trÞ cña x th× a, b, c ®Òu chia hÕt cho 3
HD a) ta có 17a – 34 b 17 và 3a + 2b 17 17 34 3 2 17 2(10 16 ) 17a b a b a b
10 16 17a b vì (2, 7) = 1 10 17 16 17 10 17a b b a b
b) Ta có f(0) = c do f(0) 3 3c
f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , do f(1) và f(-1) chia hết cho 3
2 3 3b b vì ( 2, 3) = 1
f(1) 3 3a b c do b và c chia hết cho 3 3a
Vậy a, b, c đều chia hết cho 3
Bài 7 : a) Chøng minh r»ng
2006
10 53
9
lµ mét sè tù nhiên
b) Cho 12 n
lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh 12 n
lµ hîp sè
HD : b) ta có (2n
+1)( 2n
– 1) = 22n
-1 = 4n
-1 (1) .Do 4n
- 1 chia hêt cho 3 và 12 n
lµ sè nguyªn tè
(n > 2) suy ra 2n
-1 chia hết cho 3 hay 2n
-1 là hợp số
26. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 26
CHUYÊN ĐỀ 7 : BẤT ĐẲNG THỨC
1.Kiến thức vận dụng
* Kỹ thuật làm trội : Nếu a1 < a2 < a3 <…. < an thì n a1 < a1 + a2 + … + an < nan
1 2 1
1 1 1 1 1
.....
n nna a a a na
* a(a – 1) < a2
< a( a+1) 2
1 1 1
( 1) ( 1)a a a a a
* a2
+ 2.ab + b2
= ( a + b)2
0 , * a2
– 2 .ab + b2
= ( a – b)2
0 với mọi a,b
2.Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho a, b, c > 0 . Chøng tá r»ng:
ac
c
cb
b
ba
a
M
kh«ng lµ sè nguyªn.
HD : Ta có 1
a b c a b c a b c
M
a b b c c a a b c c a b a b c a b c
1M
Mặt khác
( ) ( ) ( )a b c a b b b c c c a a
M
a b b c c a a b b c c a
3 ( )
b c a
a b b c c a
= 3 – N Do N >1 nên M < 2
Vậy 1 < M < 2 nên M không là số nguyên
Bài 2 Chứng minh rằng : 2a b ab (1) , 3
3a b c abc (2) với a, b, c 0
HD : 2a b ab 2 2 2 2 2 2
( ) 4 2 4 2 0 ( ) 0a b ab a ab b ab a ab b a b (*)
Do (*) đúng với mọi a,b nên (1) đúng
27. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 27
Bài 3 : Với a, b, c là các số dương . Chứng minh rằng
a)
1 1
( )( ) 4a b
a b
(1) b)
1 1 1
( )( ) 9a b c
a b c
(2)
HD : a) Cách 1 : Từ 2 21 1
( )( ) 4 ( ) 4 ( ) 0a b a b ab a b
a b
(*)
Do (*) đúng suy ra (1) đúng
Cách 2: Ta có 2a b ab và
1 1 2
a b ab
1 1 2
( )( ) 2 . 4a b ab
a b ab
Dấu “ =” xẩy ra khi a = b
b) Ta có :
1 1 1
( )( ) 3 3 ( ) ( ) ( )
b c a c a b a b b c a c
a b c
a b c a b c b a c b c a
Lại có 2; 2; 2
a b b c a c
b a c b c a
Suy ra
1 1 1
( )( )a b c
a b c
3 2 2 2 9 Dấu “ = ” xẩy ra khi a = b = c
Bài 4 : a) Cho z, y, z lµ c¸c sè d-¬ng.
Chøng minh r»ng:
4
3
222
yxz
z
xzy
y
zyx
x
b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: 0 cabcab .
HD : b) Tính ( a + b + c)2
từ cm được 0 cabcab
28. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 28
CHUYÊN ĐỀ 8 : CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC MỘT ẨN
Bài 1 : Cho đa thức P(x) = a x3
+ bx2
+ cx + d ( a khác 0)
Biết P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = 1 , P( 2) = 120 . Tính P(3)
HD : ta có P(1) = 100 a + b + c + d = 100
P(-1) = 50 - a + b – c + d = 50
P( 0) = 1 d = 1
P(2) = 8a + 4b + c + d = 120
Từ đó tìm được c, d, và a và XĐ được P(x)
Bài 2 : Cho cbxaxxf 2
)( víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ.
Chøng tá r»ng: 0)3().2( ff . BiÕt r»ng 0213 cba
HD : f( -2) = 4a – 2b + c và f(3) = 9a + 3b + c f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c)
Nhận thấy ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = 0
( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c)
Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2
0
Bài 3 Cho ®a thøc cbxaxxf 2
)( víi a, b, c lµ c¸c sè thùc. BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ
nguyªn. Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn.
HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c
Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên c , a + b + c và 4a + 2b + c nguên
a + b và 4a + 2b = 2 (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyên 2a , 2b nguyên
Bài 4 Chøng minh r»ng: f(x) dcxbxax 23
cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn khi vµ chØ khi
6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn
HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d
Nếu f(x) có giá trị nguyên với mọi x d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d là các số nguyên . Do d
nguyên a + b + c nguyên và (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyên 2b nguyên 6a
nguyên . Chiều ngược lại cm tương tự.
Bài 5 : T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®-îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc: A(x) =
2005220042
)43(.)43( xxxx
29. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 29
HD : Giả sử A( x) = ao + a1x + a2x2
+ …..+ a4018x4018
Khi đó A(1) = ao + a1 +a2 + …….+ a4018
do A(1) = 0 nên ao + a1 +a2 + …….+ a4018 = 0
Bài 6 : Cho x = 2011. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
2011 2010 2009 2008 2
2012 2012 2012 .... 2012 2012 1x x x x x x
HD : Đặt A = 2011 2010 2009 2008 2
2012 2012 2012 .... 2012 2012 1x x x x x x
2010 2009 2008
( 2011) ( 2011) ( 2011) .... ( 2011) 1x x x x x x x x x
tại x = 2012 thì A = 2011
CHUYÊN ĐỀ 9 : CAC BAI TOAN THỰC TẾ
1. Kiến thức vận dụng
- Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận :
Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi và chỉ khi :
y = k.x 31 2
1 2 3
..... n
n
y yy y
k
x x x x
( k là hệ số tỉ lệ )
- Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch :
Đại lượng y và đại lượng x được gọi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch khi :
x.y = a 1 1 2 2 3 3. . . ...... .n nx y x y x y x y a ( a là hệ số tỉ lệ )
- Tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
2. Bài tập vận dụng
31. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 31
PHẦN HÌNH HỌC
I. Một số phương pháp chứng minh hình hoc
1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
P2
: - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đó
- Chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai cạnh bên của một tam giác cân
- Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn thẳng
- Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng
2.Chứng minh hai góc bằng nhau:
P2
: - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai góc đó
- Chứng minh hai góc đó là hai góc ở đáy của một tam giác cân
- Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc đó là cặp góc so le trong ,đồng vị
- Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác
3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng:
P2
: - Dựa vào số đo của góc bẹt ( Hai tia đối nhau)
- Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm
- Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3
- Dựa vào tính chất 3 đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao
4. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
P2
: - Tính chất của tam giác vuông, định lí Py – ta – go đảo
- Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc
- Tính chất 3 đường trung trực, ba đường cao
5 . Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy( đi qua một điểm )
P2
: - Dựa vào tính chất của các đường trong tam giác
6. So sánh hai đoạn thẳng, hai góc :
P2
: - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào một tam giác từ đó vận định lí về quan hệ giữa cạnh và
góc đối diện trong một tam giác , BĐT tam giác
- Dựa vào định lí về quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu, đường xiên và đường
vuông góc .
32. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 32
II. Bài tập vận dụng
Bài 1 : Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900
. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng
gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC.
Chøng minh: DC = BE vµ DC BE
HD:
Phân tích tìm hướng giải
*Để CM DC = BE cần CM ∆ABE = ∆ ADC ( c.g.c)
Có : AB = AD, AC = AE (gt)
Cần CM : DAC BAE
Có : 0
90BAE BAC DAC
* Gọi I là giao điểm của AB và CD
Để CM : DC BE cần CM 0
2 1 90I B
Có 1 2I I ( Hai góc đối đỉnh) và 0
1 1 90I D
Cần CM 1 1B D ( vì ∆ABE = ∆ ADC)
Lời giải
a) Ta có 0
90BAE BAC DAC DAC BAE , mặt khác AB = AD, AC = AE (gt)
Suy ra ∆ABE = ∆ ADC(c.g.c) DC = BE
b) Gọi I là giao điểm của AB và CD
Ta có 1 2I I ( Hai góc đối đỉnh) , 0
1 1 90I D ( ∆ ADI vuông tại A) và 1 1B D ( vì ∆ABE = ∆
ADC) 0
2 1 90I B DC BC
*Khai thác bài 1:
Từ bài 1 ta thấy : DC = BE vµ DC BE khi ∆ABD và ∆ ACE vuông cân, vậy nếu có ∆ABD và ∆
ACE vuông cân , Từ B kẻ BK CD tại D thì ba điểm E, K, B thẳng hàng
Ta có bài toán 1.2
Bài 1. 1: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900
. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng
gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . Từ B kẻ BK CD tại K
Chứng minh rằng ba điểm E, K, B thẳng hàng
HD : Từ bài 1 chứng minh được DC BE mà BK CD tại K suy ra ba điểm E, K, B thẳng hàng
1
1
2
1
K
I
C
E
D
B
A
33. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 33
*Khai thác bài 1.1
Từ bài 1.1 nếu gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A thì MA BC từ đó ta có bài toán 1.2
Bài 1.2: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900
. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng
gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . Gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A . Chứng minh
rằng : MA BC
Phân tích tìm hướng giải
HD: Gọi H là giao điểm của tia MA và BC
Để CM MA BC ta cần CM ∆AHC vuông tại H
Để CM ∆AHC vuông tại H ta cần tạo ra 1 tam giác
vuông bằng ∆AHC
Trên tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN
Kẻ DQ AM tại Q
Cần CM ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)
CM: ND = AC , 1N ACB , BAC ADN
CM : ∆ABC = ∆DNA ( c.g.c)
Có AD = AB (gt)
Cần CM : ND = AE ( = AC) và BAC ADN
+ Để CM ND = AE
CM : ∆MDN = ∆MEA (c.g.c)
+ Để CM BAC ADN
0
180EAD ADN vì 0
180EAD BAC
CM AE // DN (∆MDN = ∆MEA)
1
1
Q
H
M
N
C
E
D
B
A
34. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 34
Lời giải
Gọi H là giao điểm của tia MA và BC , Trên tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN
kẻ DQ AM tại Q
Ta có ∆MDN = ∆MEA ( c.g.c) vì :
AM = MN ; MD = ME (gt) và EMA DMN ( hai góc đối đỉnh)
DN = AE ( = AC) và AE // DN vì 1N MAE ( cặp góc so le trong )
0
180EAD ADN ( cặp góc trong cùng phía) mà 0
180EAD BAC BAC ADN
Xét ∆ABC và ∆DNA có : AB = AD (gt) , AC = DN và BAC ADN ( chứng minh trên )
∆ABC = ∆DNA (c.g.c) 1N ACB
Xét ∆AHC và ∆DQN có : AC = DN , BAC ADN và 1N ACB
∆AHC = ∆DQN (g.c.g) ∆AHC vuông tại H hay MA BC
* Khai thác bài toán 1.3
+ Từ bài 1.2 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MA BC , ngược lại
nếu AH BC tại H thì tia HA sẽ đi qua trung điểm M của DE , ta có bài toán 1.4
Bài 1.3 : Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900
. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng
gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC .
Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE
HD : Từ bài 1.2 ta có định hướng giải như sau:
Kẻ DQ AM tại Q, ER AM tại R .
Ta có : + DAQ HBH ( Cùng phụ BAH )
AD = AB (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn)
DQ = AH (1)
+ ACH EAR ( cùng phụ CAH )
AC = AE (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn)
ER = AH ( 1) . Từ (1) và (2) ER = DQ
Lại có 1 2M M ( hai góc đối đỉnh )
∆QDM = ∆REM ( g.c.g) MD = ME hay M là trung
điểm của DE
2
1
R
1
Q
H
M
C
E
D
B
A
35. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 35
+ Từ bài 1.3 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MADE , ngược lại
nếu H là trung điểm của BC thì tia KA sẽ vuông góc với DE, ta có bài toán 1.4
Bài 1.4: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900
. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng
gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . Gọi H trung điểm của BC .
Chứng minh rằng tia HA vuông góc với DE
HD : Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toán 1.4
Trên tia AH lấy điểm A’ sao cho AH = HA’
Dễ CM được ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g)
A’B = AC ( = AE) và 'HAC HA B
AC // A’B 0
' 180BAC ABA ( cặp góc trong cùng phía)
Mà 0
180DAE BAC 'DAE ABA
Xét ∆DAE và ∆ABA’ có : AE = A’B , AD = AB (gt)
'DAE ABA ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c)
AA'ADE B mà 0 0
AA' 90 90ADE B ADE MDA
Suy ra HA vuông góc với DE
A'
H
M
C
E
D
B
A
38. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 38
Cần cm ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K
b) Để so sánh DE với BC
cần so sánh IE với CK ( vì 2.IE = DE, 2CK = BC)
So sánh AI với AK ( vì AI = IE, AK = CK)
Có AI AK
Lời giải :
a)Dễ dàng chứng được ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K cần cm 1A AEK và ACK CAK
mà 0
90AEK EAK 0
1 90A ACK AI BC
b) ta có BC = 2 CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE)
Mà AI AK DE BC , DE = BC khi K trùng với I khi đó ∆ABC vuông cân tại A
Bài 4: Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M và vuông
góc với tia phân giác của góc A tại H cắt hai tia AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:
a)
2
2 2
4
EF
AH AE
b) 2BME ACB B .
c) BE = CF
lơì giải
Áp dụng định lý Py –ta-go cho tam giác vuông AFH, ta có:
HF2
+ AH2
= AF2
Mà AHE = AHF (g-c-g) nên HF =
1
2
EF; AF = AE
Suy ra:
2
2 2
4
EF
AH AE
Tõ AEH AFH Suy ra 1E F
XÐt CMF cã ACB lµ gãc ngoµi suy ra CMF ACB F
BME cã 1E lµ gãc ngoµi suy ra 1BME E B
vËy 1( ) ( )CMF BME ACB F E B
1
C
H
ME
DB
A
F
39. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 39
hay 2BME ACB B (®pcm).
Từ AHE AHF Suy ra AE = AF và 1E F
Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) => ( ) (1)BME CMD g c g BE CD
Lại có: 1E CDF (cặp góc đồng vị) Do đó CDF F CDF cân CF = CD ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra BE = CF
Bài 5 : Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia
AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC.
a) Chứng minh rằng : BE = CD.
b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CB. Chứng minh M,A,N thẳng hàng.
c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax
. Chứng minh BH + CK BC.
d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất.
*Phân tích tìm lời giải
a) Để cm BE = CD
Cần cm ABE = ADC (c.g.c)
b) Để cm M, A, N thẳng hàng.
Cần cm 0
180BAN BAM
Có 0
180BAN NAD Cần cm MAB NAD
Để cm MAB NAD
Cần cm ABM = ADN (c.g.c)
c) Gọi là giao điểm của BC và Ax
x
k
I
A
B C
D
E
H
K
NM
42. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 42
∆ANE = ∆ ANF ( c. g . c)
Hoặc ∆AEF cân tại A
( Có AH vừa là tia phân giác , vừa là đương cao)
b) Để cm BE = CF
cần tạo tam giác chứa BE( hoặc có 1 cạnh = BE) mà bằng tam giác MCF
+ Kẻ BI // AC ∆MBI = ∆CMF( c. g . c)
Để cm BE = CF ∆ BEI cân tại B E BEI Có BIE ABF ( cặp góc đồng vị
) mà AFE E vì ∆AEF cân tại A
c) AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC và AE = AF
2 AE = AB + AC hay
2
ACAB
AE
Bài 9 Cho tam gi¸c ABC cã gãc A kh¸c 900
, gãc B vµ C nhän, ®-êng cao AH. VÏ c¸c ®iÓm D, E
sao cho AB lµ trung trùc cña HD, AC lµ trung trùc cña HE. Gäi I, K lÇn l-ît lµ giao ®iÓm cña DE víi
AB vµ AC.
a) Chứng minh : Tam giác ADE cân tại A
b) TÝnh sè ®o c¸c gãc AIC vµ AKB ?
*Phân tich tìm hướng giải
- Xét TH góc A < 900
a) Để cm ∆ ADE cân tại A
cần cm : AD = AH = AE
( Áp dụng t/c đường trung trực)
b) Dự đoán CI IB , BK KC
Do IB, KC tia phân giác góc ngoài của ∆ HIK
nên HA là tia phân giác trong. Do 0
90AHC nên HC
là tia phân giác ngoài đỉnh H . Các tia phân giác góc ngoài đỉnh H và K của ∆ HIK cắt nhau ở C nên
IC là tia phân giác của góc HIK , do đó IB IC , Chứng minh tượng tự
ta có BK KC
- Xét TH góc A>900
*Khai thác bài toán :
Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ sao cho AB là trung trực của D’M, AC
là trung trực của ME’ . Khi đó ta có ∆ AD’E’ cân tại A và góc DAC có
K
I E
CH
B
D
A
43. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 43
Từ đó ta có bài toán sau:
Bài 9.1 Cho tam giác ABC nhọn . Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D, E trong đó
AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME thì DE có độ dài nhỏ nhất.
HD . Tự nhận xét bài 9 dễ dàng tìm được
vị trí điểm M trên cạnh BC.
Bài 10. Cho ∆ ABC với góc A không vuông và góc B khác 135o
. Gọi M là trung điểm của BC. Về
phía ngoài ∆ ABC vẽ ∆ ABD vuông cân đáy AB. Đường thẳng qua A vuông góc với AB và đường
thẳng qua C song song với MD cắt nhau tại E. Đường thẳng AB cắt CE tại P và DM tại Q . Chứng
minh rằng Q là trung điểm của BP.
HD. Trên tia đối của tia MQ lấy điểm H sao cho MH = MQ
- Cm ∆ BMQ = ∆ CMH ( c.g.c)
BQ = CH (1) và MBQ MCH
BQ//CH hay PQ // CH ( vì ,MBQ MCH là
cặp góc so le trong)
- Nối PH , cm ∆ PQH = ∆ HCP ( g.c.g)
PQ = CH (2) , Do Q nằm giữa B và P dù góc B nhỏ hơn 1350
Từ (1) và (2) Suy ra đpcm.
Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A có 0
A 20 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác
ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
a) Tia AD là phân giác của góc BAC
b) AM = BC
HD a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c)
suy ra DAB DAC
Do đó 0 0
20 :2 10DAB
b) ABC cân tại A, mà 0
20A (gt)
nên 0 0 0
(180 20 ):2 80ABC
A
E
D
H M
C
B
C
H
M
Q
P
A
E
D
B
200
M
A
B C
D
44. GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 7 cơ bản và nâng cao | Tel: 0936.128.126 44
ABC đều nên 0
60DBC
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC
suy ra 0 0 0
80 60 20ABD .
Tia BM là phân giác của góc ABD
nên 0
10ABM
Xét tam giác ABM và BAD có:
AB cạnh chung ; 0 0
20 ; 10BAM ABD ABM DAB
Vậy: ABM = BAD (g.c.g)
suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB > AC) . Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông
góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB . Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia
DH ở K . Chứng minh rằng :
a) BA = BH
b) 0
45DBK
c) Cho AB = 4 cm, tính chu vi tam giác DEK
HD : a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – góc nhọn)
b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với EK , cắt EK tại I
Ta có : 0
90ABI , Cm ∆HBK = ∆IBK ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
3 4B B mà 1 2B B 0
45DBK
c) Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = ….. = 2.4 = 8 cm
* Từ bài ta thấy khi 0
45DBK thì chu vi ∆DEK = 2. AB vậy nếu có chu vi ∆DEK = 2 thì ta
cũng cm được 0
45DBK . Ta có bài toán sau :
4
3
21
H
I
K
E
CD
A
B