あなたの心にBridgeSampling

あなたの心にBridgeSampling

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  あなたの心に Bridge Sampling 私とあなたのBayes Factor を求めよう - Bridgeサンプリングを用いたベイズモデルの評価 – 専修大学大学院 文学研究科 M2 北條大樹 2017/10/15 IRT勉強会@専修大学 の資料を修正したものです｡
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  目次 • ベイズファクター • 様々なBF算出方法 •Bridge Sampling • WARP-III • 実際の心理学研究での応用例 • まとめ 2
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  本スライドの主な文献 ( 上から順に多く引用) Gronau• , Q. F., Sarafoglou, A., Matzke, D., Ly, A., Boehm, U., Marsman, M., ... & Steingroever, H. (2017). A tutorial on bridge sampling. arXiv preprint arXiv:1703.05984v2. Gronau• , Q. F., Wagenmakers, E. J., Heck, D. W., & Matzke, D. (2017). A Simple Method for Comparing Complex Models: Bayesian Model Comparison for Hierarchical Multinomial Processing Tree Models using Warp-III Bridge Sampling. Wang, L., & Meng, X. L. (• 2016). Warp bridge sampling: the next generation. arXiv preprint arXiv:1609.07690. Meng, X. L., & Schilling, S. (• 2002). Warp bridge sampling. Journal of Computational and Graphical Statistics, 11(3), 552-586. 3
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  ベイズファクター • パラメータ推定の文脈で､我々の興味のあるパラメータθの不 確かさを観測データyから求めるとき 𝑝 𝜃𝑦 = 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝(𝜃) 𝑝(𝑦) と表される｡ • モデル比較の文脈では､ m 個の候補モデルがあり､データ y を 所与としたときの i 番目のモデルの相対的な最もらしさを表す モデル事後確率は､ 𝑝(𝑀𝑖|𝑦) = 𝑝 𝑦 𝑀𝑖 𝑝(𝑀𝑖) Σ𝑗=1 𝑚 𝑝(𝑦|𝑀𝑗)𝑝(𝑀𝑗) 事前分布尤度 事後分布 周辺尤度 Σ 周辺尤度×事前モデル確率 事後モデル確率 事後モデル確率 = 周辺尤度×事前モデル確率 / 候補すべての周辺尤度×事前モデル確率 4
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  ベイズファクター • もしここでm=2だったら... (比較したいモデルが2つのみ) •つまりオッズで表すことが可能 • 次のようにも 5 𝑝(𝑀1|𝑦) = 𝑝 𝑦 𝑀1 𝑝(𝑀1) Σ𝑗=1 𝑚 𝑝(𝑦|𝑀𝑗)𝑝(𝑀𝑗) 𝑝(𝑀2|𝑦) = 𝑝 𝑦 𝑀2 𝑝(𝑀2) Σ𝑗=1 𝑚 𝑝(𝑦|𝑀𝑗)𝑝(𝑀𝑗) 同じ 𝑝 𝑀1 𝑦 𝑝 𝑀2 𝑦 = 𝑝 𝑦 𝑀1 𝑝 𝑦 𝑀2 × 𝑝 𝑀1 𝑝(𝑀2) 事後オッズ 事前オッズベイズファクター 𝐵𝐹12 = 𝑝 𝑦 𝑀1 𝑝 𝑦 𝑀2 = 𝑝 𝑀1 𝑦 𝑝 𝑀2 𝑦 𝑝 𝑀1 𝑝(𝑀2) ベイズファクター 事後オッズ 事前オッズ ベイズファクターとは､データによって与えられたモデル𝑴 𝟐に比して モデル𝑴 𝟏を支持する程度（オッズ）の変化を表す
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  ベイズファクターって何? ある• 者は､､､ “standard Bayesiansolution to the hypothesis testing and model selection problems” (Lewis & Rftery, 1997, p648) またある• 者は､､､ “the primary tool used in Bayesian inference for hypothesis testing and model selection” (Berger, 2006, p.378) それなのになぜBFを使わないのか? 6
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  Q. なぜBFを使わないのか? A. 使わないというよりは､使えない(解析的に周辺尤度を計算で きない)ケースが多い｡✌︎(‘𝜔’✌︎) ‫׮‬ ‫׮‬ ‫׮‬ ‫׮‬ ‫׮‬( ✌︎‘𝜔’)✌︎多重積分ワッショイ どんなケースで使えないのか? 非線形• モデル パラメータ• 数が多い場合(特に階層モデル) ⇒むしろ､ベイズファクターを使えるモデルを探すほうが､使え ないモデルを挙げていくより早いかも｡｡｡ 7 じゃあ､結局BFは求められないのか?
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  MCMCによる様々なBF(周辺尤度)への近似法 1. Naive MonteCarlo Estimator 2. Importance Sampling Estimator (重点サンプリング法) 3. Generalized Harmonic Mean Estimator (一般化調和平均法??) 4. Bridge Sampling (ブリッジサンプリング) 5. WARP-III bridge sampling or WARP-U bridge sampling 8 今回は､4. 5. の手法を重点的に紹介 1,2,3の詳しい話については､Gronau et al. (2017)を参照し､その後原著へ
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  再確認: 求めたいもの BF• を求めたい､すなわち､周辺尤度を求めれば勝ち 周辺尤度•って? • 次のようにも… 9 𝐵𝐹12 = 𝑝 𝑦 𝑀1 𝑝 𝑦 𝑀2 𝑝 𝑦 𝑀 = ∫ 𝑝 𝑦 𝜃, 𝑀 𝑝 𝜃 𝑀 𝑑𝜃 周辺尤度 尤度 事前分布 興味のあるモデルで yが観測される確率 = 事前分布を通した尤度の積分 = θを所与とするときの尤度の重み付き平均 (重みというのは事前分布θの最もらしさのこと) 𝑝 𝑦 𝑀 = 𝔼 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑝 𝑦 𝜃, 𝑀 𝔼 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟は事前分布の期待値を表す｡
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  速習 Naive MonteCarlo Estimator • 周辺尤度を求めたい｡ただ､ここでどのモデルのとかはない • これを近似するには､θにおける事前分布からのN個のサンプル で尤度を評価し､その結果を平均すればよい｡ • コインの例で考えた具体例は､Gronau et al. (2017) p8-9 にて 10 𝑝 𝑦 𝑀 = 𝔼 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑝 𝑦 𝜃, 𝑀 𝑝(𝑦) = 𝔼 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝(𝑦) = 𝔼 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑝 𝑦 𝜃 Ƹ𝑝1 𝑦 = 1 𝑁 Σ𝑖=1 𝑁 𝑝 𝑦 ෨𝜃𝑖 ෨𝜃𝑖~𝑝(𝜃) 事前分布からのサンプル尤度の平均 この方法が使えるのは､事前分布と事後分布の形が似ていて､オーバーラップ していることが条件｡
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  速習 Importance SamplingEstimator 事後分布• と’似ていない’事前分布を使うのではなく､importance density(重点密度) 𝑔𝐼𝑆(𝜃)を導入｡ 重点密度• の特徴は､尤度の高いところのθを重点的にサンプリ ングし､尤度の低いところはあまりサンプリングしない｡ 以下• のようにして𝑔𝐼𝑆(𝜃)を導入できる｡ 11 𝑝(𝑦) = ∫ 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 𝑑𝜃 = ∫ 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 𝑔𝐼𝑆 𝜃 𝑔𝐼𝑆 𝜃 𝑑𝜃 = න 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 𝑔𝐼𝑆 𝜃 𝑔𝐼𝑆 𝜃 𝑑𝜃 = 𝔼 𝑔 𝐼𝑆 𝜃 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 𝑔𝐼𝑆 𝜃
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  速習 Importance SamplingEstimator 実際• に推定するときは､､､ 適切• な重点密度はどのような特徴をもつべき? 評価• が簡単 事後分布• と同一の定義域をもつ 事後分布• によく似ている 事後分布• よりも厚い裾(fatter tail)を持つこと 12 Ƹ𝑝2 𝑦 = 1 𝑁 Σ𝑖=1 𝑁 𝑝 𝑦 ෨𝜃𝑖 𝑝 ෨𝜃𝑖 𝑔𝐼𝑆( ෨𝜃𝑖) ෨𝜃𝑖~𝑔𝐼𝑆(𝜃) 重点密度からのサンプル調整された尤度の平均
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  速習 Importance SamplingEstimator • どのように重点密度を決めるか? • コインの例では､事後分布はβ分布で表せる｡そのため適切な重点密度をβ 分布と一様分布の混合分布で定義しようとしている｡ • この際､混合分布におけるベータ分布は､事後分布からのサンプルを使っ てモーメント推定をして得たモーメントを用いている｡ • モーメント:β分布でいえばα､βパラメータを指し､正規分布でいえば平均と標 準偏差パラメータをさす｡ • 最後に､ベータ分布と一様分布の混合具合を決めるチューニング(重み) パラメータを𝑟を用意し､これによってどっちの分布を多めにチューニン グするかを決めて､重点密度分布からのサンプリングを行う｡ 13 ※ 𝑟の調節が大変｡
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  速習 Generalized HarmonicMean Estimator • Importance Samplingとは対照的で､thinner tailになるようにする｡ • そして､事後分布からのサンプルを使って計算するように変更｡ 14 1 𝑝 𝑦 = න 1 𝑝 𝑦 𝑔𝐼𝑆 𝜃 𝑑𝜃 = න 𝑝(𝜃|𝑦) 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 𝑔𝐼𝑆 𝜃 𝑑𝜃 = න 𝑔𝐼𝑆 𝜃 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 𝑝(𝜃|𝑦)𝑑𝜃 = 𝔼 𝒑𝒐𝒔𝒕 𝑔𝐼𝑆 𝜃 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 𝑝 𝑦 = 𝔼 𝒑𝒐𝒔𝒕 𝑔𝐼𝑆 𝜃 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 −1 p(y) = 𝔼 𝑔 𝐼𝑆 𝜃 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 𝑔𝐼𝑆 𝜃 参考:Importance Sampling • 逆数になっている • 事後分布からのサンプルを使う
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  速習 Generalized HarmonicMean Estimator • 実際に推定するときは､､､ • 適切な重点密度はどのような特徴をもつべき? • 評価が簡単 • 事後分布と同一の定義域をもつ • 事後分布によく似ている • 事後分布よりも薄い裾(thinner tail)を持つこと • コインの例では､事後サンプルが0-1の範囲しか取らないので､ サンプルをまず､プロビット変換して､-∞~∞(正規分布)の範囲 で考えられるようにして､Importance Sampling 同様にモーメン ト推定を行う｡ 15 Ƹ𝑝3 𝑦 = 1 𝑁 Σ𝑗=1 𝑁 𝑔𝐼𝑆 𝜃𝑗 ∗ 𝑝 𝑦 𝜃𝑗 ∗ 𝑝 𝜃𝑗 ∗ −1 𝜃𝑗 ∗ ~𝑝(𝜃|𝑦) 重点密度 尤度 事前分布 事後分布からの サンプル 注: 𝜃𝑗 ∗ と ෨𝜃𝑖は､違う分布 からサンプリングされ ていることに注意
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  速習 Generalized HarmonicMean Estimator プロビット• 変換をして考える場合 と表現できる 16 Ƹ𝑝3 𝑦 = 1 𝑁 Σ𝑗=1 𝑁 𝑔𝐼𝑆 𝜃𝑗 ∗ 𝑝 𝑦 𝜃𝑗 ∗ 𝑝 𝜃𝑗 ∗ −1 𝜃𝑗 ∗ ~𝑝(𝜃|𝑦) 重点密度 尤度 事前分布 事後分布からの サンプル 注: 𝜃𝑗 ∗ と ෨𝜃𝑖は､違う分布 からサンプリングされ ていることに注意 Ƹ𝑝3 𝑦 = 1 𝑁 Σ𝑗=1 𝑁 1 ො𝜎 𝜙 𝜉𝑗 ∗ − Ƹ𝜇 ො𝜎 𝑝 𝑦 Φ(𝜉𝑗 ∗ ) 𝜙 𝜉𝑗 ∗ −1 重点密度 尤度 事前分布 𝜉𝑗 ∗ = Φ−1 𝜃𝑗 ∗ 𝑎𝑛𝑑 𝜃𝑗 ∗ ~𝑝(𝜃|𝑦) 事後分布からのサンプル𝜃𝑗 ∗ を プロビット変換したサンプル𝜉𝑗 ∗
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  ここまでまとめ Importance Sampling• では､重点密度分布からのサンプル෨𝜃𝑖を利 用して､周辺尤度を求めようとする｡ Generalized Harmonic Mean Estimator• では､上記の逆数を考える ことで事後分布からのサンプル𝜃𝑗 ∗ から最適な重点密度分布を 探して周辺尤度を求めようとした｡ ただ• ､2つの方法の欠点は､分布の裾に強い仮定(厚いか･薄いか) を置いており､これが高次元空間では満たすことができない｡ どうする• ? ⇒ようやく Bridge Sampler が登場｡ 17 ෨𝜃𝑖 𝜃𝑗 ∗ ℎ()
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  Bridge Sampling Estimator WARP-I WARP-II WARP-III WARP-U 18
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  Bridge Sampling ここで• 適当に比を書いてみる｡ なんとなく•周辺尤度𝑝(𝑦)を両辺に掛けてみる｡ 19 1 = ∫ 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 ℎ 𝜃 𝑔 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 ℎ 𝜃 𝑔 𝜃 𝑑𝜃 尤度 事前分布 Bridge関数 提案分布 尤度 事前分布 Bridge関数 提案分布 𝑝 𝑦 = ∫ 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 ℎ 𝜃 𝑔 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 𝑝 𝑦 ℎ 𝜃 𝑔 𝜃 𝑑𝜃 = ∫ 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 ℎ 𝜃 𝑔 𝜃 𝑑𝜃 ∫ ℎ 𝜃 𝑔 𝜃 𝑝(𝜃|𝑦)𝑑𝜃 提案分布 事後分布
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  Bridge Sampling つづき• 実際• の推定では､ 20 𝑝𝑦 = ∫ 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 ℎ 𝜃 𝑔 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 𝑝 𝑦 ℎ 𝜃 𝑔 𝜃 𝑑𝜃 = ∫ 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 ℎ 𝜃 𝑔 𝜃 𝑑𝜃 ∫ ℎ 𝜃 𝑔 𝜃 𝑝(𝜃|𝑦)𝑑𝜃 = 𝔼 𝑔 𝜃 (𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 ℎ 𝜃 ) 𝔼 𝑝𝑜𝑠𝑡(ℎ 𝜃 𝑔 𝜃 ) 提案分布 事後分布 Ƹ𝑝 𝑦 = 1 𝑁2 Σ𝑖=1 𝑁2 𝑝 𝑦 ෨𝜃𝑖 𝑝 ෨𝜃𝑖 ℎ ෨𝜃𝑖 1 𝑁1 Σ𝑖=1 𝑁1 ℎ 𝜃𝑗 ∗ 𝑔 𝜃𝑗 ∗ 提案分布 Bridge関数 Bridge関数 𝜃𝑗 ∗ ~𝑝(𝜃|𝑦)෨𝜃𝑖~𝑔(𝜃) 提案分布から のサンプル 事後分布から のサンプル
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  Bridge Sampling • つづき •実際の推定では､ 21 𝑝 𝑦 = ∫ 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 ℎ 𝜃 𝑔 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 𝑝 𝑦 ℎ 𝜃 𝑔 𝜃 𝑑𝜃 = ∫ 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 ℎ 𝜃 𝑔 𝜃 𝑑𝜃 ∫ ℎ 𝜃 𝑔 𝜃 𝑝(𝜃|𝑦)𝑑𝜃 = 𝔼 𝑔 𝜃 (𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 ℎ 𝜃 ) 𝔼 𝑝𝑜𝑠𝑡(ℎ 𝜃 𝑔 𝜃 ) 提案分布 事後分布 Ƹ𝑝 𝑦 = 1 𝑁2 Σ𝑖=1 𝑁2 𝑝 𝑦 ෨𝜃𝑖 𝑝 ෨𝜃𝑖 ℎ ෨𝜃𝑖 1 𝑁1 Σ𝑖=1 𝑁1 ℎ 𝜃𝑗 ∗ 𝑔 𝜃𝑗 ∗ 提案分布 Bridge関数 Bridge関数 𝜃𝑗 ∗ ~𝑝(𝜃|𝑦)෨𝜃𝑖~𝑔(𝜃) 提案分布から のサンプル 事後分布から のサンプル
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  おわかりいただけただろうか? 22
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  提案分布はImportance Samplingのあれ • ImportanceSampling • Generalized Harmonic Mean Estimator • Bridge Sampling 23
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  これをみたときの俺 24
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  25 最適なBridge関数𝒉()って どんな関数なんだろう? Ƹ𝑝 𝑦 = 1 𝑁2 Σ𝑖=1 𝑁2 𝑝𝑦 ෨𝜃𝑖 𝑝 ෨𝜃𝑖 ℎ ෨𝜃𝑖 1 𝑁1 Σ𝑖=1 𝑁1 ℎ 𝜃𝑗 ∗ 𝑔 𝜃𝑗 ∗ 提案分布 Bridge関数 Bridge関数
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  最適なBridge関数(Meng & Wong,1996) • これが最適｡相対的なMSE(平均二乗誤差)を最小にできる • ここで問題がある｡ • 周辺尤度𝑝(𝑦)を評価するためℎ(𝜃)を導入したのに､その最適関数に周辺 尤度𝑝(𝑦)が入っている｡ • 周辺尤度を求めたいのに周辺尤度を求めないと周辺尤度がわ からない｡ ⇒どうする? 26 ℎ 𝜃 = 𝐶 ∙ 1 𝑠1 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 + 𝑠2 𝑝 𝑦 𝑔(𝜃) ここで､𝑠1 = N1 𝑁2+𝑁1 , 𝑠2 = N2 𝑁2+𝑁1 , Cは定数 尤度 事前分布 提案分布周辺尤度
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  何回もこれを計算して収束させたものを使おう • t回目の最適関数ℎ(𝜃)をt+1回目の周辺尤度𝑝(ො𝑦)の式に代入 そして• ､整理した結果 27 ℎ𝜃 = 𝐶 ∙ 1 𝑠1 𝑝 𝑦 𝜃 𝑝 𝜃 + 𝑠2 Ƹ𝑝 𝑦 𝑡 𝑔(𝜃) Ƹ𝑝 𝑦 𝑡+1 = 1 𝑁2 Σ𝑖=1 𝑁2 𝑝 𝑦 ෨𝜃𝑖 𝑝 ෨𝜃𝑖 𝑠1 𝑝 𝑦 ෨𝜃𝑖 𝑝 ෨𝜃𝑖 + 𝑠2 Ƹ𝑝 𝑦 𝑡 𝑔( ෨𝜃𝑖) 1 𝑁1 Σ𝑖=1 𝑁1 𝑔 𝜃𝑗 ∗ 𝑠1 𝑝 𝑦 𝜃𝑗 ∗ 𝑝 𝜃𝑗 ∗ + 𝑠2 Ƹ𝑝 𝑦 𝑡 𝑔(𝜃𝑗 ∗ ) 𝜃𝑗 ∗ ~𝑝(𝜃|𝑦) ෨𝜃𝑖~𝑔(𝜃) 提案分布から のサンプル 事後分布から のサンプル Ƹ𝑝4 𝑦 𝑡+1 = 1 𝑁2 Σ𝑖=1 𝑁2 𝑙2,𝑖 𝑠1 𝑙2,𝑖 + 𝑠2 Ƹ𝑝4 𝑦 𝑡 1 𝑁1 Σ𝑖=1 𝑁1 1 𝑠1 𝑙1,𝑗 + 𝑠2 Ƹ𝑝4 𝑦 𝑡 𝑙2,𝑖 = 𝑝 𝑦 ෨𝜃𝑖 𝑝 ෨𝜃𝑖 𝑔( ෨𝜃𝑖) 𝑙1,𝑗 = 𝑝 𝑦 𝜃𝑗 ∗ 𝑝 𝜃𝑗 ∗ 𝑔(𝜃𝑗 ∗ ) 𝑠1 = N1 𝑁2 + 𝑁1 , 𝑠2 = N2 𝑁2 + 𝑁1
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  計算の手順 Gronau, etal.(2017)より引用 28
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  手順 1. 推定した事後分布から2×N個のサンプルを抽出してくる｡ 半分• (奇数番目)を𝑁1､半分(偶数番目)を𝑁1に分けておく｡ 提案分布2.を選ぶ ex) (• 多変量)正規分布 3. 𝑁1サンプルを正規分布(提案分布)に合うように(今回は)プロ ビット変換する 4. 3.で変換した者を利用して正規分布のモーメント(平均･標準 偏差)を推定する｡ 5. 4.の正規分布から𝑁2サンプルを生成する｡ そのサンプルから6. 𝑙2,𝑖を計算する(R等で簡単にできる)｡ 7. 一番はじめに使っていない方の𝑁1のサンプルを(今回は)プロ ビット変換する｡ 事後分布8. を用いて､ 𝑙1,𝑗を計算する(6.と同様に)｡ ブリッジサンプリングの9. 更新を始める｡ 29
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  Bridge Samplingの弱点 1. 推定した事後分布から2×N個のサンプルを抽出してくる｡ •半分(奇数番目)を𝑁1､半分(偶数番目)を𝑁1に分けておく｡ 2. 提案分布を選ぶ • ex) (多変量)正規分布 3. 𝑁1サンプルを正規分布(提案分布)に合うように(今回は)プロ ビット変換する 4. 3.で変換した者を利用して正規分布のモーメント(平均･標準 偏差)を推定する｡ 5. 4.の正規分布から𝑁2サンプルを生成する｡ 6. そのサンプルから𝑙2,𝑖を計算する(R等で簡単にできる)｡ 7. 一番はじめに使っていない方の𝑁1のサンプルを(今回は)プロ ビット変換する｡ 8. 事後分布を用いて､ 𝑙1,𝑗を計算する(6.と同様に)｡ 9. ブリッジサンプリングの更新を始める｡ 30
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  Bridge Samplingの弱点 • 他の近似方法よりも仮定は緩いが､事後分布と提案分布が似て いて､オーバーラップしている必要がある｡ これがかなり•大事で､ダメだと推定できなくなってしまう｡ どうしようか• ? WARP• -III Bridge Sampling ⇒mean/scale/skewness(歪度)を調整する方法 WARP• -U Bridge Sampling ⇒混合分布のようなmulti-modal(多峰)な分布でも上記のよう な調整を行う方法 31
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  WARP-III Gronau etal. (2017) Fig.2 • ヒストグラムが事後分布｡実線が標準正規分布(提案分布) 32 この方法で大事なことは 正規化定数を維持した変 換であること｡
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  WARP-U Wang &Meng (2016) Fig.3-4 33
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  WARP-U Wang &Meng (2016) Fig.3-4 34 多峰でもやっ ていることは 大体同じ｡
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  Bridge Samplingを用いた実際の研究 35
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  BridgeSamplingを用いた心理系論文 IGT• 課題でのモデル比較 Gronauet al.(2017) Importance Sampling• で算出した対数周辺尤度とBridgeSamplingで算出し た対数周辺尤度の一致率を示した研究 そして• ､BridgeSamplingを用いて､個人差を考慮した階層モデルにおける 周辺尤度を算出した｡ 36
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  今日のまとめ • BridgeSamplingは昔からある方法だが､WARPという計算方法? によってオーバーラップ力を挙げて､BFの計算が正確にできる ようになった｡ • StanとJAGSでWARP-IIIBridge Samplingを行うパッケー ジ”BridgeSampling”がこの前公開された(WARP-Uは搭載されて いない模様)｡ • パッケージの開発者曰く､Stanコードが書ける人なら誰でも OKといっていたので､皆さんならBridge Samplingができないわ けがない｡ • BF出してみたいデータがある｡なんかやり方よくわからねぇ... ⇒いつでも共同研究のご相談お待ちしています｡ 37
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  あなたの心に Bridge Sampling 私とあなたのBayes Factor を求めよう - Bridgeサンプリングを用いたベイズモデルの評価 – 専修大学大学院 文学研究科 M2 北條大樹 2017/10/15 ベイズとIRT勉強会@専修大学