負の二項分布について

負の二項分布について

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  負の二項分布 魁!!広島ベイズ塾 @simizu706
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  二項分布 • Binomial Distribution –ベルヌーイ試行において，成功率pで試行数n回中に x回成功する確率 – 試行数nを固定すれば，パラメータは成功率pだけに なる • パラメータpの共役事前分布はベータ分布
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  負の二項分布 • Negative BinomialDistribution – 離散分布 – 成功率pで，r回成功するまでに必要な試行数の 確率 – 二項分布の成功数と試行数を入れ替えた分布 負の二項分布「私はあと2回の変身を残しています」
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  別の表現 • 負の二項分布 – ベルヌーイ試行において，成功率pでr回成功す るまでに必要な失敗回数についての確率 –普通はこっちのバージョンを使う
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  連続変量に拡張 • ガンマ関数を用いて，成功数が整数でなくて もいけるように拡張 – ガンマ関数
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  分布感（謎 • Rで負の二項分布を描く x <-rep(0:20) plot(x,dnbinom(x,size = 5,prob=0.5),type="b")
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  分布感（謎 • Rで負の二項分布を描く x <-rep(0:20) plot(x,dnbinom(x,size = 5,prob=0.6),type="b")
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  分布感（謎 • Rで負の二項分布を描く x <-rep(0:20) plot(x,dnbinom(x,size = 5,prob=0.8),type="b")
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  分布の実質科学的な意味 • 二項分布の試行数バージョン – 例えば裸眼の参加者を10人集めたい場合，何人 に声をかければいいか •裸眼率がわかっていれば，95%以上の確率で裸眼10 人集めるのに必要な人数がわかる • ポアソン分布の過分散推定のため – 統計モデリングでは，ほぼこの目的で使われる
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  ポアソン分布との関係 • ポアソン分布 – レアな確率で起こる事象がある時間内で起こる 回数についての確率 •1分で1回起こる事象が5分の間に何回起こるかについ ての確率は，λ=5のポアソン分布に従う
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  λの変動を考える • λの確率的な変動を考慮したポアソン分布 – λがガンマ分布(gamma(φ,μφ-1))に従うとする • このとき，混合した確率分布は – 負の二項分布になる • 成功率： p = φ / (μ+φ), 成功数: r=φ
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  ポアソンと負の二項分布 • もともとの負の二項分布 – 成功率pで，r回の成功までの失敗回数yの分布 •ポアソンのλが変動すると考えた分布 – 成功率φ/(μ+φ)で， φ回の成功までの失敗回数y の分布
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  ポアソンと負の二項分布 • 負の二項分布の平均と分散は・・・ – 平均=μ – 分散= μ + μ2 / φ • 負の二項分布において・・・ – μ=λで，φ=∞のとき，ポアソン分布になる – 平均= λ – 分散= λ + λ2 / ∞ = λ • つまりφ（の逆数）が過分散パラメータになる
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  ポアソンと負の二項分布 • 負の二項分布 別バージョン plot(x,dnbinom(x,mu=5,size= 1000000),type="b") plot(x,dpois(x,5),type="b")
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  負の二項分布の使いどころ • 分散がλより大きいポアソン分布 – ポアソン分布の過分散を考慮した分布 –ポアソンは負の二項分布に完全にネストされてい るので，AICなどの情報量規準による比較が可能 • 過分散を仮定するべきかどうかを知ることができる • ポアソン過程のデータに使える – 単位時間で平均λ回生じる事象が生起する回数 についての確率分布 • ただし，λはガンマ分布に従って変動する
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  GLMMとの関係 • ポアソン＋正規分布のGLMMとの違い – GLMMではlog(λ)を正規分布で推定 –負の二項分布はλをガンマ分布で推定 – ほとんどAICはかわらない
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  Stanでの負の二項分布 • neg_binomial(α，β) • neg_binomial2(μ,φ)
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  他の分布との関係 • 幾何分布 – 成功率pにおいて，1回成功するまでに必要な試 行数の分布 –r=1の場合の負の二項分布といえる • 一般化ポアソン分布 – ポアソン分布の過小分散も考慮できる分布 – ほとんど使われることはない
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  まとめ • 負の二項分布 – 二項分布の成功数と試行数のパラメータを逆転 させた分布 –ベルヌーイ試行において，成功率pでr回成功す るまでに必要な失敗回数についての分布 • ポアソン分布＋過分散 – GLMの文脈では，平均と分散が等しくない場合の 分布として利用されることが多い