そういえば、打ち切りについて記載するの忘れていた..

1. 生存時間分析数理 基礎
2020/9/24
沖縄県立中部病院救急科
Gibo Koichiro MD, MSc

2. •生存時間分析 基礎的 理解 必要 関
数 COX比例 基本的 数理
学習
•自然言語 理解 限界 深
理解 数式 必要 基礎
高校数学 十分記述

3. 表記法
•一般的 慣習 従
•大文字 確率変数 小文字 観測値
•T 起 時間 表 非負 確
率変数 t 実際観測 時間
•Pr() [0,1] 閉区間内 定義 確率 表
• 体 行列 示
• 特 指定無 場合 n 1 列

4. 近年 歴史

5. 生存時間解析 歴史 1
•始
• 第二次世界大戦 後 世
代 軍事兵器 故障 関心
刺激 考
•1951年 Weibull(1887-1979)
分布 導入
生存時間
応用
http://faculty.washington.edu/fsc
holz/DATAFILES498B2008/Weibul
lBounds.pdf
Singh R, Mukhopadhyay K. Survival analysis in clinical trials: Basics and must know areas. Perspect Clin Res. 2011;2(4):145-148.

6. 生存時間解析 歴史 2
•生命表 以前 使用 1958年
Kaplan Meier 最尤法 基
推定法 示 推定値 性質 標準
誤差 後年多 統計家 研究
•1972年部分尤度 最大化 必要条件 Cox
比例 導入

7. Pioneer: Sir David Cox (1924-)
• Box-Cox変換 Cox比例
名 多 残 大統計学者
• 完全尤度関数 書 下 未知
関数 含 積 積分 指数 求 必要
5年以上行 詰
突然 興味 回帰係数 部分尤度
集中 思 時
風邪 高熱 出 寝込
雷 打 閃
意訳)"A Coversation with Sir David Cox"
https://www.aapss.org/fellow/sir-david-cox/
Reid, Nancy. A Conversation with Sir David Cox. Statist. Sci. 9 (1994), no. 3, 439--455. doi:10.1214/ss/1177010394.

8. 生存時間分析数理 基礎

9. 関数
• 関数 h(t) 表 時間t 変化
値 (定数 限 )
•簡単 理解 時間t 死亡率 考
置 実務上 大 問題
• 時間t 例 2020年 2021年 風 幅
変数 時間t=2020年 死亡率
具体的 考
2015年 観察 続 考

10. 関数@離散時間
• 思 時間t 例 2020年始
直後 生存者 分母 2020年中 亡
方 数 分子 正解
•分母 観察 始 2015年 対象数
• 2015年 2020年 亡
人 2020年以降 亡 起
( 集合 )

11. 関数@離散時間
)2020|2020Pr()2020(:..
)|Pr()(


TThge
tTtTth iii
• 観察 始 時間t=2020年 始
直後 生存 条件 与 上
2020年中 死亡率 2020年
• 条件付 確率 数式 表
• T 生存時間 確率変数
2020年中 確率 2020年 生存 条件
"number at risk"

12. 関数@連続時間
•時間 通常前述 離散値
解析 連続 考
多 連続時間
何
•例 時間t= 2020年8月30日11時15分10秒..
死亡率 考
•我 高校生 時 考 習
極限

13. 関数@連続時間
•連続 時間1点 値 t時間後 死亡
確率 極限小
• 定義
•要 連続 時間t
時間t 生 人 次 瞬間 死亡率
( 満点 回答)
t
tTttTt
th
t 



)|Pr(
lim)(
0

14. 生存時間関数S(t) 累積分布関数F(t)
• 定義
•生存時間関数 時間t 生 確率
•累積分布関数 時間t 累積死亡者 割
合
)Pr()( tTtS 
)Pr(
)(1)(
tT
tStF



15.  1)(log
)(
1
)(
)Pr(
1)Pr(
lim
)Pr(
)Pr()Pr(
lim
)|Pr(
lim)(
0
0
0





























tS
dt
d
tS
tF
dt
d
tTt
ttTt
tTt
tTttTt
t
tTttTt
th
t
t
t
生存時間関数 関数 一意 決

16. 関数h(t)
率rate 確率
生存時間関数S(t)
確率
累積分布関数F(t)
確率
一 決
一意 決
)(log)( tS
dt
d
th


)(1)( tFtS 
)(
)(1
1
)( tF
dt
d
tF
th



17. 生存時間解析 出 呼 名 整理
•①生存時間関数="Survival
probability", "cumulative survival"
•②累積分布関数="cumulative
mortality", "cumulative incidence"...
• 名称 論文中 書
基本 2 多
• 関数 累積 関数
論文中 明示 少

18. 生存時間関数 推定
1.
2.
3.

19. 1. 方法 指数
• 用語 既知 確率分布
表 考 良
•生存時間関数 非単純増加関数 最 単純
指数分布
•実際 関数 一定 考 ( t時
点 死亡率 変化 ) 指数分布 形状 一致
(h(t)= 前述 式 不定積分
計算 )

20. 指数
t
t
t
etFtf
etF
th
etS












)()(
1)(
)(
)(
'
http://www.tomhsiung.com/wordpr
ess/2017/09/several-major-
distributions-of-survival-function/

21. •指数 簡便 生存関数 常 下 凸
常 一定 強 仮定
要求
• 一 追加 柔軟性 持
•次 指数 p
加 上 凸 関数 作

22. p
p
t
p
t
etF
ptth
etS
)(
1
)(
1)(
)(
)(










23. 共変量調整
•次 例 共変量x 対 各
成分 線形 影響 与 仮定
指数 関数 下 書
多変量調整 可能 (Kalbfleish and Prentice, 1980)
...},
2
,
1
{
,....}"","{".).
),(





T
T
SexAgege
eth
T
β
x
x βx
xT 線形予測子

24. 利点 欠点
•利点
• 当 良 高 推定精度 期待
• 共変量調整 可能
•欠点
• 既知 確率分布 当 実際
可能性 柔軟性 問題
• 適合性 必要
• 共変量調整 強 仮定 前提 (前頁参照)

25. 余談 信頼度工学
• h(t) 故障率 概念
•故障 原因 関 洞察 得
• p<1 減少 初期不良
• p>1 増加 摩耗的 故障
• p=1 一定 偶発的 故障
• 工学 利用 多

26. 2. Kaplan-Meier method
•医学雑誌 最 使用
•確率分布 当 必要
• 非常 柔軟 化
•最尤推定量 大標本 場合 推定
良 性質 (一致性 十分性 )
•共変量調整
• S(t) 導出 書 興味 方 清
書 参照

27. COX比例
• 柔軟性
適合 良 推定精度
共変量調整 " "
• 比例 性 強 仮定
一番 条件
• Cox比例 (前頁David Cox 語 参
照)

28. 3. Cox比例
• 式 最重要 解説
• 関数 次
• 青線
• 赤線 線形予測子 含 関数部分
•重要
• t 関数 共変量 関数 分離
βx
x
T
ethth )(),( 0

29. 比例 性
•比例 比例 性 性質
•比例 性 群 群間
時間t時点 比 一定
•次 例 用 示

30. 病院前 qSOFA 入院後全死亡 関連
•P: 感染症 疑 急性期型ER 救急搬送 患者
•E: 病院前qSOFA≧ 2
•C: 病院前qSOFA 2
•O: 入院後28日後 90日後 全死亡
•病院前qSOFA2点 観察期間 生存
時間解析 行
Koyama S, Yamaguchi Y, Gibo K, Nakayama I, Ueda S (2019) Use of prehospital qSOFA in predicting in-hospital mortality in
patients with suspected infection: A retrospective cohort study. PLoS ONE 14(5): e0216560.

31. 病院前 qSOFA 入院後全死亡 関連
• 90日後 入院全死亡
生存曲線 左 示
• 比例 性 観察期間内
時点
qSOFA≧ 2(positive)群 qSOFA
2(negative)群 関数比 一
定 意味
C
th
th

),(
),(
negative
positive
x
x
Koyama S, Yamaguchi Y, Gibo K, Nakayama I, Ueda S (2019) Use of prehospital qSOFA in predicting in-hospital mortality in
patients with suspected infection: A retrospective cohort study. PLoS ONE 14(5): e0216560.

32. qSOFA negative positive 時 比 計算
)exp(
)01exp(
..)0exp()(
..)1exp()(
),(
),(
1
11
3210
3210
1
HR










qSOFAqSOFA
SexAgeqSOFAth
SexAgeqSOFAth
th
th
qSOFA negative
positive
x
x
•Cox比例 比 時間t
関係 値 時間 関 一定
•逆 Cox比例 適応
比例 性 成 立 重要

33. Cox比例 生存時間関数
• 前述 関数h(t, x) 推定 同時
生存時間関数S(t, x) 決
• 通常 回帰 最尤推定法(MLE) 決
定 多 比例 未知
部分( ) 機能
• David Cox 部分尤度 概念 構築 解決
(前述 Cox自身 回想参照)
• 部分尤度 導出 基礎 超 割愛 興
味 https://ai-lab.lapras.com/ml/semi-parametric/ 分
)

34. Cox比例 生存時間関数
•部分尤度 最大化 求 回帰係数部
分 決
• h0(t)
•簡単 解決法 KM法 求 関数 流用
良
• Cox比例 h(t, x) 決定
積分 指数 生存時間関数 推定
βx
x
T
ethth )(),( 0

35. " "
• 部分 KM法
方法
•線形予測 含 関数部分 方法
中間
•利点 ①KM法 適合 柔軟性
高 ② 前提条件(比例
性) 厳 ③共変量調整 可能
• 良 性質 多 非常 使用

36. 参考書籍(文献 脚注 記載)
•赤澤宏平 柳川堯(2010). 解析
近代科学社
 (基礎 数理 学 上 非常 書 )
•Collett, D. "Modeling Survival Data in Medical
Research Chapman & Hall, London." (1994).