Dokumen tersebut membahas tentang analisis vektor dan sistem koordinat, termasuk definisi vektor dan skalar, notasi vektor, sistem koordinat Kartesius, Silinder dan Bola, serta transformasi antar sistem koordinat.

1. Elektromagnetika I
Bab I: Analisis Vektor
(Vektor dan Sistem Koordinat)

2. MMR/KRU
Aljabar Vektor
Skalar : Besaran yang hanya memiliki nilai
Contoh : Temperatur, laju, jarak, dll
Vektor : Besaran yangmemiliki nilai dan arah
Contoh : Medan listrik, medan magnet,
Gaya, kecepatan, posisi,
percepatan, dll

3. MMR/KRU
Aljabar Vektor
Notasi Vektor A ditulis dengan A atau
AAA ˆ
rr
=
dengan
A
r adalah besar vektor A atau
panjang vektor A
Aˆ adalah unit vektor A atau
vektor satuan searah A
Vektor satuan atau unit vektor menya-
takan arah vektor, besarnya satu

4. MMR/KRU
Sistem Koordinat
Lebih mudah menuangkan konsep
vektor menggunakan sistem
koordinat
Tiga sistem koordinat :
- Koordinat Cartesius
- Koordinat Silinder
- Koordinat Bola

5. MMR/KRU
Koordinat Cartesius
Koordinat Cartesius tersusun atas tiga
sumbu koordinat yang saling tegak lurus
masing-masing sumbu x, y, dan z
adalah vektor satuan searah
sumbu x, sumbu y, dan
Sumbu z
zyx aaa ˆ,ˆ,ˆ
xaˆ
zaˆ
y
x
z
yaˆ

6. MMR/KRU
Koordinat Cartesius
Dalam koord. Cartesius
sembarang vektor A
ditulis
Ax, Ay, Az adalah komponen
vektor A dalam arah sb x,
sb y, dan sb z
zzyyxx aAaAaAA ˆˆˆ ++=
r
yA y
x
z
A
r
xA
zA

7. MMR/KRU
Koordinat Cartesius
Besar vektor A ditulis
222
zyx AAAA ++=
r
Unit vektor A atau vektor satuan
searah A ditulis
222
ˆˆˆ
ˆ
zyx
zzyyxx
AAA
aAaAaA
A
A
A
++
++
== r
r

8. MMR/KRU
Contoh 1
Vektor A berpangkal di (0,0,0)
dan memiliki komponen 2 ke arah
x, 3 ke arah y, dan 4 ke arah z.
Vektor A dapat ditulis:
A = 2 ax + 3 ay + 4 az.

9. MMR/KRU
Contoh 2
Vektor B berpangkal di (3,0,0)
dan memiliki komponen 1 ke arah
x, -2 ke arah y, dan 4 ke arah z.
Vektor B dapat ditulis:
B = ax + -2 ay + 4 az.

10. MMR/KRU
x
y
z
2
4
3
A
A
B

11. MMR/KRU
Pada sistem koordinat kartesian,
suatu vektor tidak tergantung titik
pangkal dari vektor tersebut.
Atau dengan kata lain,
pada sistem koordinat kartesian,
vektor adalah independen dengan
titik pangkalnya.

12. MMR/KRU
Soal
Titik A terletak dalam koordinat Carte-
sius (3,4,5), semua koordinat dalam
meter.
Tentukan :
Gambar vektor posisi A
Penulisan vektor posisi A
Besar vektor A
Unit vektor searah A

13. MMR/KRU
Koordinat Cartesius
Elemen kecil perpindahan (displace-
ment infinitesimal) :
zyx adzadyadxld ˆˆˆ ++=
r
dx
dy
x
y
z
P2
P1
Lihat jarak P1 ke P2dz

14. MMR/KRU
Koordinat Cartesius
Elemen kecil luas
Elemen kecil luas dalam bidang yz
yy adxdzdS
r
=
xx adydzdS
r
=
Elemen kecil luas dalam bidang xz
Elemen kecil luas dalam bidang xy
zz adxdydS
r
=
Elemen kecil volume
dxdydzdV =

15. MMR/KRU
Koordinat Silinder
ρ
z
ϕ
zaˆ
ρaˆ
ϕaˆ
Dalam koord. Silinder
sembarang vektor A
ditulis
zzaAaAaAA ˆˆˆ ++= ϕϕρρ
r
Aρ, Aϕ, Az adalah kompo-
nen vektor A dalam arah
sb ρ , sb ϕ , dan sb z

16. MMR/KRU
Contoh
Gambarkan vektor berikut pada
sistem koordinat silinder
A= 3aρ + 2aφ + az berpangkal
di M(2, 0, 0)
B= 3aρ + 2aφ + az berpangkal
di N(2, π/2, 0)

17. MMR/KRU
x
y
z
M
N
3aρ
2aφ
az
3aρ
2aφ
az
B
A

18. MMR/KRU
Meskipun vektor A dan B memiliki
komponen yang sama, namun
keduanya menunjuk ke arah berbeda
karena titik pangkal yang berbeda.
Dalam sistem koordinat kartesian,
pembaca dengan mudah melihat
bahwa vektor A ekivalen dengan 3ax
+2ay + az. Dan vektor B ekivalen
dengan –2ax + 3ay + az.

19. MMR/KRU
Koordinat Silinder
dρ ρdϕ
dz
zadzadadld ˆˆˆ ++= ϕρ ϕρρ
Elemen kecil perpin-
dahan :
r
Elemen kecil volume
dzdddV ϕρρ=

20. MMR/KRU
Koordinat Silinder
Elemen kecil luas
ρρ ϕρ adzddS ˆ=
ϕϕ ρ adzddS ˆ=
zz adddS ˆϕρρ=

21. MMR/KRU
Koordinat Bola
x
y
z
θ
ϕ
ϕaˆ
raˆ
θaˆr
r
Vektor A ditulis :
ϕϕθθ aAaAaAA rr
ˆˆˆ ++=
r
Ar, Aϕ, Aθ adalah kompo-
nen vektor A dalam arah
sb r , sb ϕ , dan sb θ

22. MMR/KRU
contoh
Gambarkan vektor berikut pada
sistem koordinat bola
A= 3ar + aθ + 2aφ
berpangkal di M(2, π/2, 0)
B= 3ar + aθ + 2aφ
berpangkal di N(2, π/2, π/2)

23. MMR/KRU
x
y
z
M
N
B
3ar
aθ
2aϕ
2aϕ
3ar
aθ
A

24. MMR/KRU
Meskipun vektor A dan B memiliki
komponen yang sama, namun
keduanya menunjuk ke arah berbeda
karena titik pangkal yang berbeda.
Dalam sistem koordinat kartesian,
pembaca dengan mudah melihat
bahwa vektor A ekivalen dengan: 3ax
+2ay - az. Dan vektor B ekivalen
dengan –2ax + 3ay - az.

25. MMR/KRU
Koordinat Bola
Elemen vektor perpindahan
Elemen volume
ϕθθ ddrdrdV sin2
=
ϕθθ drrdrdld sin++=
rr

26. MMR/KRU
Transformasi Koordinat
1. Kartesius (x,y,z) ke Silinder (ρ, ϕ ,z)
zz
x
y
yx
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+=
−1
22
tanϕ
ρ
zz
yx
yx
AA
AAA
AAA
=
+−=
+=
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ρ
cossin
sincos

27. MMR/KRU
Contoh
Titik P terletak pada koord. kartesian
(3, 4, 5), dan Vektor B = xax+yay terletak
pada bidang kartesian xy.
Tentukan :
Koordinat titik P pada sistem koordinat
Silinder
Vektor B dalam koord. Silinder
Besar dan arah B pada titik x=3 dan
y=4

28. MMR/KRU
Transformasi Koordinat
2. Kartesius (x,y,z) ke Bola (r, θ, ϕ)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
++=
−
−
z
yx
x
y
zyxr
22
1
1
222
tan
tan
θ
ϕ
ϕϕ
θθϕθϕ
θθϕθϕ
ϕ
θ
cossin
sincossincoscos
cossinsinsincos
yx
zyx
zyxr
AAA
AAAA
AAAA
+−=
−+=
++=

29. MMR/KRU
Contoh
Titik P terletak pada koord. kartesian
(3, 4, 5), dan Vektor
E = (xax+yay+zaz)/(x2+y2+z2)3/2
Tentukan :
Koordinat titik P pada sistem koordinat
Bola
Vektor E dalam koord. Bola

30. MMR/KRU
Transformasi Koordinat
3. Silinder (ρ, ϕ ,z) ke Kartesius (x,y,z)
zz
y
x
=
⋅=
⋅=
ϕρ
ϕρ
sin
cos 00 sincos ϕϕ ϕρ ⋅−⋅= AAAx
00 cossin ϕϕ ϕρ ⋅+⋅= AAAy
zz AA =

31. MMR/KRU
Contoh
Vektor A= 3aρ+4aϕ+5az berada
pada sistem koordinat silinder
dengan titik pangkal di (10,π/2,0)
Tentukan penulisan vektor ini
pada sistem koordinat kartesian

32. MMR/KRU
Transformasi Koordinat
4. Bola ke Kartesius (x,y,z)
θ
ϕθ
ϕθ
cos
sinsin
cossin
⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
rz
ry
rx
ϕθθϕϕϕθ coscos0sincossin 00 ⋅⋅+⋅−⋅⋅= AAArAx
00000 sincoscossinsin ϕθϕϕθ θϕ ⋅⋅+⋅+⋅⋅= AAAA ry
00 sincos θϕθ ⋅−⋅= AArAz

33. MMR/KRU
Contoh
Vektor A=3ar+5aθ+4aϕ berada
pada sistem koordinat bola
dengan titik pangkal di (10,π/2,0)
Tentukan penulisan vektor ini
pada sistem koordinat kartesian