Dokumen ini membahas konsep barisan dan limit dalam analisis matematika, mencakup definisi barisan bilangan real dan konvergensi. Ditegaskan bahwa suatu bilangan real adalah limit barisan jika barisan tersebut konvergen ke bilangan tersebut dan memiliki paling banyak satu limit. Teorema yang ada juga menyatakan ekuivalensi antara definisi konvergensi barisan dan karakteristiknya.

1. BAB I
BARISAN DAN DERET
1.1. Barisan dan Limit Barisan
Barisan (sequence) pada himpunan S adalah suatu fungsi dengan domain ℕ dan
mempunyai range dalam S. Pada subbab ini akan dibahas mengenai barisan di ℝ
dan konvergensi dari suatu barisan.
Definisi 1.1.1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada
himpunan ℕ dengan range dalam ℝ .
Dengan kata lain, barisan dalam ℝ mengawankan setiap bilangan asli n 1,2,3,...
kepada suatu bilangan real. Jika X :ℕ ℝ merupakan barisan, maka biasanya
dituliskan dengan nilai dari X pada n dengan notasi xn . Barisan sering dinotasikan
dengan X atau xn atau
xn : n ℕ atau xn atau xn n . Apabila diketahui suatu barisan Y, artinya
Y= Yk ).
Contoh 1.1.2.
n
(a) Barisan xn dengan xn = -1 adalah barisan -1,1,-1,1,-1,1,..., 1 n,….
(b) Barisan (xn) dengan xn = ,
Barisan dan deret 1

2. (c) Barisan konstan k n dengan k n =3 adalah 3,3,3,3,....
(d) Barisan
Definisi 1.1.3. Diberikan barisan bilangan real xn dan yn , dan ℝ. Maka
dapat didefinisikan
(i) xn yn xn yn .
(ii) xn xn .
(iii) xn yn xn yn .
(iv) = asalkan yn .
Definisi 1.1.4. (Limit Barisan) Diketahui xn barisan bilangan real. Suatu
bilangan real x dikatakan limit barisan xn jika untuk setiap 0 terdapat
K ℕ sedemikian hingga untuk setiap n ℕ dengan n K berlaku
|xn x| .
Jika x adalah limit suatu barisan xn , maka dikatakan xn konvergen ke x, atau
xn mempunyai limit x. Dalam hal ini ditulis
atau xn x . Jika xn tidak konvergen, maka xn dikatakan divergen.
Teorema 1.1.5. Jika barisan xn konvergen, maka xn mempunyai paling
banyak satu limit (limitnya tunggal).
Bukti.
Andaikan dengan x’ x’’. Maka untuk
sembarang 0 terdapat K sedemikian hingga |xn x untuk setiap n K ,
dan terdapat K” sedemikian hingga |xn x” untuk setiap n K’ . Dipilih K
Barisan dan deret 2

3. max K ,K” . Menggunakan Ketaksamaan Segitiga, maka untuk n K
diperoleh
|x’- x”| = |x’ – xn + xn - x”|
=|x’ – xn |+| xn - x”|
<
Karena berlaku untuk setiap 0 , maka x x” 0 yang berarti x x’ .
Kontradiksi dengan pengandaian. Jadi, terbukti bahwa limitnya tunggal.
Teorema 1.1.6. Jika xn barisan bilangan real dan x ℝ, maka empat
pernyataan berikut ekuivalen.
(a) Barisan xn konvergen ke x.
(b) Untuk setiap 0 terdapat K ℕ sedemikian hingga untuk setiap n K
berlaku |xn x| .
(c) Untuk setiap 0 terdapat K ℕ sedemikian hingga untuk setiap n K
berlaku xn xn x .
(d) Untuk setiap persekitaran V x dari x , terdapat K ℕ sedemikian
hingga untuk setiap n K berlaku xn v (x) .
Bukti.
(a) (b) Jelas (dari definisi).
(b) (c) |xn x| xn x x xn x .
(c) (d) xn xn x xn x x xn V x .
(d) (a) xn V (x) xn xn x |xn x| .
Barisan dan deret 3

4. BAB II
KESIMPULAN
2.1 Kesimpulan
Definisi 1.1.1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada
himpunan ℕ dengan range dalam ℝ .
Definisi 1.1.3. Diberikan barisan bilangan real xn dan yn , dan ℝ. Maka
dapat didefinisikan
(i) xn yn xn yn .
(ii) xn xn .
(iii) xn yn xn yn .
(iv) = asalkan yn .
Definisi 1.1.4. (Limit Barisan) Diketahui xn barisan bilangan real. Suatu
bilangan real x dikatakan limit barisan xn jika untuk setiap 0 terdapat
K ℕ sedemikian hingga untuk setiap n ℕ dengan n K berlaku
|xn x| .
Teorema 1.1.5. Jika barisan xn konvergen, maka xn mempunyai paling
banyak satu limit (limitnya tunggal).
Barisan dan deret 4

5. Teorema 1.1.6. Jika xn barisan bilangan real dan x ℝ, maka empat
pernyataan berikut ekuivalen.
(a) Barisan xn konvergen ke x.
(b) Untuk setiap 0 terdapat K ℕ sedemikian hingga untuk setiap n K
berlaku |xn x| .
(c) Untuk setiap 0 terdapat K ℕ sedemikian hingga untuk setiap n K
berlaku xn xn x .
(d) Untuk setiap persekitaran V x dari x , terdapat K ℕ sedemikian
hingga untuk setiap n K berlaku xn v (x) .
Barisan dan deret 5