Dokumen ini membahas sejarah dan konsep dasar matematika fuzzy, yang dimulai pada tahun 1965, termasuk definisi himpunan fuzzy dan operasi dasar seperti gabungan, irisan, dan selisih. Penjelasan tentang fungsi keanggotaan, α-cut set, serta struktur dan properti himpunan fuzzy juga dibahas dengan merinci beberapa definisi dan contoh. Pertumbuhan penelitian di bidang ini menjelaskan relevansi dan aplikasi teori himpunan fuzzy dalam matematika dan ilmu komputer.

1. PEDAHULUAN
SEJARAH MATEMATIKA FUZZY
Matematika Fuzzy membentuk cabang matematika yang berhubungan dengan teori himpunan
fuzzy dan fuzzy logic. Ini dimulai pada tahun 1965 setelah publikasi karya Fuzzy set oleh
Lotfi Zadeh Pernyataan ini [1] Sebuah sub A himpunan fuzzy X adalah fungsi A: X → L,
dimana L adalah interval [0,1]. Fungsi ini juga disebut fungsi keanggotaan. Sebuah fungsi
keanggotaan adalah generalisasi dari fungsi karakteristik atau fungsi indikator subhimpunan
yang ditetapkan untuk L = {0,1}. Lebih umum, kita dapat menggunakan kisi lengkap L dalam
definisi fuzzy bagian A
Order Subgroup Fuzzy dan subgrup Fuzzy diperkenalkan pada tahun 1971 oleh A. Rosenfeld.
Ratusan makalah tentang topik terkait telah diterbitkan. Hasil terakhir dan referensi dapat
ditemukan pada Fuzzy Semigrup dan Teori fuzzy grup.
Hasil utama di bidang fuzzy dan teori Galois Fuzzy diterbitkan dalam sebuah makalah tahun
1998.
Topologi Fuzzy diperkenalkan oleh C.L. Chang [9] pada tahun 1968 dan selanjutnya
dipelajari di banyak paper.
Konsep utama dari geometri fuzzy diperkenalkan oleh Tim Poston pada tahun 1971, A.
Rosenfeld pada tahun 1974, oleh JJ Buckley dan E. Eslami pada tahun 1997 dan oleh D.
Ghosh dan D. Chakraborty di 2012-14
Operator yang digunakan ada 2 yaitu:
1) Operator Himpunan
Union/gabungan ( È )
Intersection/irisan ( ∩ )
Difference/selisih ( – )
Cartesian Product ( X )
2) Operation Relational
Restrict/pemilihan tuple atau record ( s )
Project/pemilihan attribut atau field ( p )
Divide/membagi ( ¸ )
Join/menggabungkan ( q )
ALJABAR FUZZY
FUZZY SET ATAU HIMPUNAN FUZZY
Dalam bab ini, kita akan mendefinisikan operasi dasar pada fuzzy set. setiap himpunan
fuzzy A didefinisikan dalam set fuzzy klasik yang relevan, X, fungsi analog dengan fungsi
karakteristik, disebut fungsi keanggotaan, menetapkan untuk setiap elemen x, dari fungsi X,
 (x), di unit interval tertutup I yang mencirikan derajat keanggotaan dari x di A.
1.1 DEFINISI DARI HIMPUNAN FUZZY
1.1.1 PERNYATAAN UNTUK HIMPUNAN FUZZY
Fungsi keanggotaan  A di set Crisp memetakan seluruh di set umum X ke set {0, 1}.

2. Definisi 1.1 (fungsi Anggota dari himpunan fuzzy) di fuzzy set, masing-masing Unsur
dipetakan ke [0, 1] oleh fungsi keanggotaan  A: X  [0,1]
di mana [0, 1] berarti bilangan real antara 0 dan 1 (termasuk 0,1) .dengan konsekuensi, set
fuzzy 'fuzzy batasan himpunan' membandingkan dengan set crisp.
1.1.2 PERLUASAN HIMPUNAN FUZZY
Definisi 1.2 (tipe-n himpunan fuzzy) nilai derajat kekuasaan keanggotaan termasuk
ketidakpastian. Jika nilai fungsi keanggotaan diberikan oleh himpunan fuzzy, itu adalah jenis-
jenis himpunan fuzzy. konsep ini dapat diperpanjang sampai dengan mengetik-n set fuzzy.
Definisi 1.3 (level-k himpunan fuzzy) istilah "tingkat-2 himpunan" menandakan fuzzy set
yang berelemen himpunan fuzzy. Istilah "himpunan tingkat-1 " berlaku untuk himpunan
fuzzy set yang elemennya ada himpunan fuzzy yang berelemen biasa. Dengan cara yang
sama, kita bisa mendapatkan level-k pada himpunan fuzzy.
1.1.3 HUBUNGAN ANTARA HIMPUNAN UNIVERSAL DAN HIMPUNAN FUZZY
Jika ada satu set universal dan satu set crisp, kita mempertimbangkan set sebagai subset
dari satu set universal. Dengan cara yang sama, kita menganggap himpunan fuzzy A sebagai
bagian dari universal set X.
Contoh 1.1 jika X = {a, b, c} menjadi set universal.
A1 = {(a, 0,5), (b, 1,0), (c, 0,5)} dan
A2 = {(a, 1,0), (b, 1,0), (c, 0,5)}
Menjadi himpunan bagian dari X.
𝐴1 ⊆ 𝑋, 𝐴2 ⊆ 𝑋
kumpulan himpunan bagian tersebut dari X (termasuk himpunan fuzzy) disebut daya
set P (X).
1.2 PERLUASAN KONSEP HIMPUNAN FUZZY
1.2.1 Α - CUT SET
Definisi 1.4 (α - Cut set) α - Cut set , Aa terdiri dari anggota dimana keanggotaannya yang
tidak kurang dari α.
𝐴 𝑎 = {𝑥 ∈ 𝑋|𝜇 𝑎(𝑥) ≥ 𝑎}
Dengan catatan: α bisa berubah-ubah. Α cut set adalah satu set crisp (Gambar 1.1).
ketika dua potong set A dan A  berwujud dan jika   , maka
𝐴 𝑎 ⊇ 𝐴 𝑎′

3. Gambar (1.1) α-cut set
X1 X2 X3 X4 X5 X6

4. Definisi 1.5 (level set) nilai α yang secara eksplisit menunjukkan nilai fungsi keanggotaan, di
kisaran [0, 1]. maka "Level set" diperoleh oleh α tersebut.
∧ 𝑎= {𝑎|𝜇 𝑎( 𝑥) = 𝑎. 𝑎 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑋}
1.2.2 CONVEX SET FUZZY (CONVEX=CEMBUNG)
Definisi 1.6 (convex himpunan fuzzy) dengan asumsi yang universal set X didefinisikan
dalam n-dimensi Euclidean Vector ruang n. Jika semua α - cut
set convex, himpunan fuzzy dengan ini α - cut set adalah
convex (Gambar 1.2). Dengan kata lain, jika suatu relasi:
𝜇 𝑎(𝑡) ≥ 𝑀𝑖𝑛[𝜇 𝑎( 𝑟), 𝜇 𝑎( 𝑠)]
di mana t  r + (1 - )s, r,s n,  [0,1]
dimana himpunan fuzzy A adalah convex.
(Gambar. 1.3) menunjukkan himpunan fuzzy convex.
gambar. (1.2): Convex set Fuzzy
gambar. (1.3): Convex set Fuzzy a(1)  a (r)
1.2.3 ANGKA FUZZY
"angka Nyata" mengisyaratkan satu set yang berisi bilangan real utuh dan "nomer positif
"mengisyaratkan bahwa dalam satu set memiliki nomor kecuali angka negatif.
"Nomor positif kurang dari atau sama dengan 10 (termasuk 0)" menunjukkan set yang
memiliki angka 0 sampai 10. jadi

5. A = "angka positif kurang dari atau sama dengan 10 (termasuk 0)" ={x| 0  x  10, x }
Atau
μa (x) = 1 jika 0  x  10, x
μa (x) = 0 jika x<0 atau x>10
sejak batas crisp dilibatkan maka hasil dari fungsi keanggotaan adalah 1 atau 0.
Definisi 1.7 (angka Fuzzy) jika himpunan fuzzy adalah cembung(convex) dan normal,
dan fungsi keanggotaannya terdefinisi dan bagian demi bagian berkelanjutan, hal itu disebut
sebagai "angka kabur". angka menjadi fuzzy (himpunan fuzzy) merupakan interval
perbatasan bilangan real yang kabur (Gambar 1.4)
Set angka Fuzzy set "angka positif tidak melebihi
10
Set Fuzzy “angka mendekati 0” set fuzzy “angka mendekati 1
Gambar (1.4):. Set yang menunjukkan interval dan bilangan fuzzy
1.2.4 BESARAN (MAGNITUDO) HIMPUNAN FUZZY
Untuk menunjukkan besarnya himpunan fuzzy, ada tiga cara mengukur kardinalitas
himpunan fuzzy. Pertama, kita dapat memperoleh besarannya dengan menyimpulkan derajat
keanggotaan. Ini adalah "skalar kardinalitas".
| 𝐴| = ∑ 𝜇 𝐴( 𝑥)
𝑥∈ 𝑋
Kedua membandingkan besarnya fuzzy set A dengan set yang universal X dapat menjadi
sebuah gambaran ide.
‖ 𝐴‖ =
| 𝐴|
| 𝑋|
ini disebut "relatif kardinalitas".

6. Metode ketiga mengungkapkan kardinalitas sebagai himpunan fuzzy.
Definisi 1.8 (kardinalitas fuzzy) mari kita coba untuk mendapatkan α-cut set (set crisp)
Aα,dari A. jumlah elemen adalah |𝐴 𝑎|. Dalam kata lain,kemungkinan jumlah elemen di A
menjadi |𝐴 𝑎|. adalah α. Kemudian tingkat keanggotaan fuzzy kardinalitas didefinisikan
sebagai,
𝜇| 𝐴|(| 𝐴 𝑎|) = 𝑎, 𝑎 ∈∧ 𝐴
dimana A adalah α-cut set dan A adalah set level.
1.2.5 SUBSET DARI HIMPUNAN FUZZY
Misalkan ada dua fuzzy set A dan B. ketika ada derajat keanggotaan yang sama, kita katakan
"A dan B yang setara". Itu adalah,
A=B jika 𝜇 𝐴( 𝑥) = 𝜇 𝐵( 𝑥) , ∀𝑥 ∈ 𝑋
Jika A (x)≠ B (x) untuk setiap elemen, maka A  B. jika hubungan berikut memenuhi di
himpunan fuzzy A dan B, A adalah himpunan bagian dari B (gambar.1.5)
𝜇 𝐴( 𝑥) ≥ 𝜇 𝐵( 𝑥) , ∀𝑥 ∈ 𝑋
hubungan ini dinyatakan sebagai A  B. kita sebut bahwa A adalah himpunan bagian dari B.
Selain itu, jika relasi selanjutnya berlaku, A adalah himpunan bagian dari B yang sesuai.
𝜇 𝐴( 𝑥) < 𝜇 𝐵( 𝑥) , ∀𝑥 ∈ 𝑋
relasi dapat ditulis sebagai,
A  B jika A  B dan A  B
Gambar (1.5):. Subset A  B
1.3 OPERASI STANDARD DARI HIMPUNAN FUZZY
1.3.1 PELENGKAP FUZZY (KOMPLEMENT FUZZY)
Komplemen himpunan A dari himpunan A membawa arti negasi. komplement himpunan set
dapat didefinisikan sebagai berikut fungsi C,
C: [0,1]  [0,1]
Fungsi komplemen C dirancang untuk memetakan fungsi keanggotaan A (x) himpunan
fuzzy A ke [0,1] dan pemetaan nilai ditulis sebagai berikut C(A (x)) Untuk
menjadi fungsi pelengkap fuzzy, dua aksioma harus dipenuhi.
(Aksioma C1) C (0) = 1, (1) = 0 (kondisi batas) C
(Aksioma C2) a, b [0,1]

7. jika a<b, maka C (a)  C (b) (nonincreasing monoton)
simbol a dan b berada pada nilai keanggotaan anggota x di A. Misalnya, ketika
μA (x) = α , μA (y) = b, x, y є X, jika μA (x) < μA (y) , C(μA (x)) ≥ C(μA (y))
C1 dan C2 adalah syarat mendasar untuk menjadi fungsi pelengkap. Ini dua aksioma disebut
"kerangka aksiomatik". Untuk tujuan tertentu, kita dapat memasukkan persyaratan tambahan,
(Aksioma C3) C adalah fungsi kontinu.
(Aksioma C4) C adalah involutif.
C (C (a)) = a untuk semua a  [0,1]
empat aksioma tersebut melengkapi standar operasi
C ( A(x))= 1-μA (x) atau -A(x)= 1-A (x)
Fungsi standar ini ditampilkan dalam (gambar.1.6).
Gambar. (1.6): Ilustrasi standar pelengkap Fungsi Himpunan.
1.3.2 PARTISI FUZZY
Misalkan A himpunan Crisp secara umum di himpunan X dan Ᾱ adalah himpunan
komplemen dari A.
Kondisi A   dan A  𝑋̃ menghasilkan beberapa (A, Ᾱ) yang terurai X menjadi dua bagian
himpunan.
Definisi 1.9 (partisi Fuzzy) dengan cara yang sama, mempertimbangkan himpunan fuzzy
yang memenuhi A 
Dan A  𝑋̃ pasangan (A, Ᾱ) didefinisikan sebagai partisi fuzzy. Biasanya, jika m
subhimpunan dari dalam X, m-tuple (A1, A2, ..., An) , yang memenuhi persamaan berikut,
maka Kondisi ini disebut partisi fuzzy.
a) i, Ai  
b) Ai Aj =  untuk i  j
c) ∀ 𝑥∈ 𝑋, ∑ 𝜇 𝐴𝑖
( 𝑥) = 1𝑚
𝑖=1

8. 1.3.3 GABUNGAN FUZZY (FUZZY UNION)
Dalam pengertian umum, gabungan A dan B ditentukan oleh fungsi dari bentuk,
U: [0,1]  [0,1]  [0,1]
fungsi Union (gabungan) ini menghitung derajat keanggotaan gabungan antara BA dari A
dan B.
𝜇 𝑎∪𝑏(𝑥) = 𝑈[𝜇 𝐴( 𝑥), 𝜇 𝐵( 𝑥)]
Gabungan fungsi ini harus memenuhi aksioma berikutnya.
(Aksioma U1) U (0,0) = 0, U (0,1) = 1, U (1,0) = 1, U (1,1) = 1
sehingga gabungan fungsi ini mengikuti sifat dari operasi gabungan himpunan crisp (set
crisp)
(batas kondisi).
(Aksioma U2) U (a, b) = U (b, a) berlaku komutatif.
(Aksioma U3) jika ≤ a 'dan b ≤ b', U (a, b) ≤ U (a ', b') maka fungsi U adalah fungsi monoton.
(Aksioma U4) U (U (a, b), c) = U (a, U (b, c)) berlaku Associativity,
empat pernyataan aksioma diatas yang disebut sebagai "kerangka aksiomatik". Hal ini sering
untuk membatasi gabungan kelas fuzzy dengan menambahkan aksioma berikut.
(Aksioma U5) fungsi kontinu U kontinu.
(Aksioma U6) U (a, a) = a (idempotency)
1.3.4 IRISAN FUZZY ATAU TITIK POTONG FUZZY (FUZZY INTERSECTION)
Dalam pengertian umum, perpotongan BA didefinisikan oleh fungsi I.
I: [0,1]  [0,1]  [0,1]
argumen dari fungsi ini menunjukkan kemungkinan untuk elemen x menjadi terlibat dalam
kedua himpunan fuzzy A dan B.
𝜇 𝑎∩𝑏(𝑥) = 𝐼[𝜇 𝐴( 𝑥), 𝜇 𝐵( 𝑥)]
Fungsi persimpangan memenuhi aksioma berikut.
(Aksioma I1) I (1,1) = 1, I (1,0) = 0, I (0,1) = 0, I (0,0) = 0
fungsi I mengikuti operasi persimpangan himpunan Crisp (batas kondisi).
(Aksioma I2) I (a, b) = I (b, a), berlaku komutatif.
(Aksioma I3) jika ≤ a 'dan b ≤ b', maka I (a, b) ≤ I (a ', b'), fungsi I adalah fungsi monoton
(Aksioma I4) I (I (a, b), c) = I (a, I (b, c)) berlaku Assosiativ, seperti dalam fungsi gabungan,
empat aksioma tersebut adalah "kerangka aksiomatik ", dan berikut dua aksioma dapat
ditambahkan.
(Aksioma I5) I adalah fungsi kontinu.
(Aksioma I6) I(a,a) = a, I berlaku idempotency.
1.3.5 SELISIH HIMPUNAN FUZZY (FUZZY SET DIFFERENCE)
Selisih himpunan Crisp didefinisikan sebagai berikut di (gambar.1.7)
A B  A𝐵̅
Gambar (1.7): selisih A - B.
Di himpunan fuzzy, ada dua cara untuk memperoleh selisihnya:

9. 1. SELISIH SEDERHANA (SIMPLE DIFFERENCE)
Contoh 1.2 dengan menggunakan komplemen dan persimpangan operasi standar,
selisih perbedaan operasi akan sederhana. Seperti contoh sebelumnya, A-B akan menjadi:
Sebuah
A = {(X1, 0.2), (X2,0.7), (X3, 1), (X4,0)}
B = {(X1, 0.5), (X2, 0.3), (X3, 1), (X4,0.1)}
𝐵̅ = {(X1,0.5), (X2,0.7), (X3, 0), (X4, 0.9)}
A – B  A𝐵̅ ={(X1, 0.2), (X2,0.7), (X3, 0), (X4,0)}
2. SELISIH PERBATASAN (BOUNDED DIFFERENCE)
Definisi 1.10 (selisih perbatasan) untuk operator pemula , kita mendefinisikan fungsi
keanggotaan sebagai berikut:,
𝜇 𝐴𝜃𝐵(𝑥) = 𝑀𝐴𝑋[0, 𝜇 𝐴( 𝑥) − 𝜇 𝐵( 𝑥)]
dengan definisi tersebut, selisih perbatasan dari sebelumnya dua himpunan fuzzy sebagai
berikut:,
AθB = {(X1, 0), (X2,0.4), (X3, 0), (X4,0)}
1.3.6 JARAK DI HIMPUNAN FUZZY
Konsep "jarak" untuk menggambarkan selisih. Tetapi memiliki ukuran matematika berbeda
dengan "jarak" diperkenalkan di bagian sebelumnya. Langkah-langkah untuk jarak
didefinisikan sebagai berikut:
 Jarak Hamming
Konsep ini ditandai sebagai,
𝑑( 𝑎, 𝑏) = ∑ | 𝜇 𝐴( 𝑋𝑖) − 𝜇 𝐵( 𝑋𝑖)|
𝑛
𝑖=1,𝑋𝑖 ∈𝑋
Jarak Hamming berisi pengertian dalam matematika biasa "Jarak"
A. d (A, B)  0
B. d (A, B)  d (B, A) komutatif
C. d (A, C)  d (A, B)  d (B, C) Transitivity
D. d (A, A)  0
 Jarak Euclidean
Istilah yang baru diatur sebagai berikut,
𝑒( 𝐴, 𝐵) = √∑ (𝜇 𝐴 𝑛
( 𝑥)− 𝜇 𝐵 𝑛
( 𝑥))
2
𝑛
𝑖=1
 Jarak Minkowski
𝑑 𝑤( 𝐴, 𝐵) = (∑| 𝜇 𝐴 ( 𝑥)− 𝜇 𝐵( 𝑥)| 𝑤
𝑥∈𝑋
)
1
𝑤
, 𝑤 ∈ (1,∞)
1.3.7 PRODUK CARTESIAN DARI HIMPUNAN FUZZY
Definisi 1.11 (kekuatan himpunan fuzzy) kekuatan kedua himpunan fuzzy A adalah
didefinisikan sebagai berikut:
𝜇 𝐴
2( 𝑥) = [𝜇 𝐴( 𝑥)]2
,∀𝑥 ∈ 𝑋
Demikian pula kekuatan mth fuzzy set Am dapat dihitung sebagai berikut:
𝜇 𝐴
𝑚( 𝑥) = [𝜇 𝐴( 𝑥)] 𝑚
,∀𝑥 ∈ 𝑋

10. Operator ini sering diterapkan ketika berhadapan dengan batasan linguistik dalam pernyataan
dari himpunan fuzzy.
Definisi 1.12 (produk Cartesian) produk Cartesian diterapkan ke beberapa himpunan fuzzy
dapat didefinisikan sebagai berikut:
Yang menunjukkan 𝜇 𝐴1
( 𝑥), 𝜇 𝐴2
( 𝑥),… 𝜇 𝐴 𝑛
( 𝑥) sebagai fungsi keanggotaan dari A1,A2, ... An,
Dari ∀𝑥1 ∈ 𝐴1, 𝑥2 ∈ 𝐴2, … 𝑥 𝑛 ∈ 𝐴 𝑛
Kemudian, probabilitas untuk n-tupel (x1,x2,....., xn) memerlukan himpunan fuzzy dari
(A1xA2x,.....,x An)
𝜇 𝐴1 𝑥𝐴2 𝑥….𝑥𝐴 𝑛
( 𝑥1, 𝑥2, … . 𝑥 𝑛) = 𝑀𝑖𝑛[𝜇 𝐴1
( 𝑥1),…, 𝜇 𝐴 𝑛
( 𝑥 𝑛)]
1.3.8 PENJUMLAHAN DISJUNGTIF
Penjumlahan Disjungtif adalah nama operasi yang sesuai "eksklusif OR" logika, dan itu
dinyatakan sebagai berikut (gambar.1.8)
A B  (A𝐵̅)  (𝐴̅ B)
Gambar (1.8):. Penjumlahan Disjungtif dari dua himpunan gabungan.
Definisi 1.13 (penjumlahan sederhana disjungtif) Melalui gabungan fuzzy dan
Irisan Fuzzy, definisi penjumlahan disjungsi dihimpunan fuzzy diperbolehkan seperti di
himpunan crisp.
−𝜇 𝐴( 𝑥) = 1 − 𝜇 𝐴(𝑥),−𝜇 𝐵( 𝑥) = 1 − 𝜇 𝐵(𝑥)
𝜇 𝐴−𝐵̅( 𝑥) = 𝑀𝑖𝑛 [𝜇 𝐴( 𝑥),1 − 𝜇 𝐵( 𝑥)]
𝜇 𝐴̅− 𝐵( 𝑥) = 𝑀𝑖𝑛 [1 − 𝜇 𝐴( 𝑥), 𝜇 𝐵( 𝑥)]
A B  (A𝐵̅)  (𝐴̅ B) kemudian
𝜇 𝐴⊕𝐵( 𝑥) = 𝑀𝑎𝑥{𝑀𝑖𝑛[ 𝜇 𝐴( 𝑥),1 − 𝜇 𝐵( 𝑥)]. 𝑀𝑖𝑛 [1− 𝜇 𝐴( 𝑥), 𝜇 𝐵( 𝑥)]
(penjumlahan Disjoint) kunci pemikiran dari "Exclusive OR" adalah penghapusan umum
daerah dari gabungan A dan B. dengan gagasan ini, kita dapat mendefinisikan operator
untuk eksklusif OR penjumlahan penguraiannya sebagai berikut:,
𝜇 𝐴∆𝐵( 𝑥) = | 𝜇 𝐴( 𝑥) − 𝜇 𝐵(𝑥)|
FUZZY GROUPS, FUZZY RINGS AND FUZZY FIELDS (KELOMPOK FUZZY, RINGS
FUZZY DAN BIDANG FUZZY)
Rosenfield memperkenalkan konsep fuzzy Groups dan menunjukkan bahwa banyak Hasil
teori grup dapat diperpanjang secara dasar untuk mengembangkan teori fuzzy groups. Logika
yang mendasari teori fuzzy groups adalah untuk menyediakan struktur aljabar fuzzy yang
tegas di mana tingkat subset fuzzy groups dari group G adalah subgrup dari grup. menalarkan
konsep fuzzy subgrup dari Grup menggunakan t-norma secara umum. Namun, Joe digunakan
t-norma 'min' dalam definisi tentang subgrup fuzzy dari grup tersebut. konsep fuzzy normal
subgrup dan fuzzy Coset diperkenalkan.

11. 2.1 SUBGRUP FUZZY
Definisi 2.1.1: Misalkan grup G. Sebuah subhimpunan fuzzy A dari kelompok G disebut
subgrup fuzzy dari kelompok G jika
i. μA (xy) = min {μA (x), μA (y)} untuk setiap x, y  G
dan
ii. μA (x -1) = μA (x) untuk setiap x  G.
Definisi 2.1.2: Misalkan G grup dan e menunjukkan elemen identitas
kelompok G. A fuzzy bagian A dari grup G disebut subgrup fuzzy dari kelompok G jika:
i. μA (xy -1)  min {μA (x), μA (y)} untuk setiap x, y  G
dan
ii. μA (e) = 1.
Teorema 2.1.1: Sebuah subhimpunan A fuzzy dari kelompok G adalah subgrup fuzzy dari
Kelompok G jika dan hanya jika μA (xy -1)  min {μA (x), μA (y)} untuk setiap x, y  G.
Teorema 2.1.2: Misalkan A subgrup fuzzy dari kelompok G dan x  G. Kemudian μA (xy) =
μA (y) untuk setiap yG jika dan hanya jika: μA (x) = μA (e).
2.1.1 TINGKAT SUBHIMPUNAN DARI SUBHIMPUNAN FUZZY
Definisi 2.1.3: Misalkan A subhimpunan fuzzy S. Untuk t  [0,1] Pada himpunan At=
{s  S / μA (x) = t} disebut subhimpunan level fuzzy bagian A.
Teorema 2.1.3: Misalkan G grup dan A menjadi subgrup fuzzy dari G. Kemudian
subhimpunan level At, untuk t  [0,1], t  μA (e) adalah subgrup G, dimana e adalah
identitas G.
Teorema 2.1.4: Misalkan A subhimpunan fuzzy kelompok G. Kemudian A adalah
fuzzy subgrup G jika dan hanya jika tA. G adalah subgrup (disebut tingkat subgrup) dari
kelompok G untuk setiap t  [0, μA (e)], dimana e adalah elemen identitas kelompok G.
2.1.2 TINGKAT KESALAHAN DALAM SUBGRUP FUZZY
Definisi 2.1.4: Sebuah subGrup A fuzzy dari kelompok G disebut tidak tepat jika
μA adalah konstan pada kelompok G, jika A disebut sebagai tepat.
2.1.3 URUTAN DARI SUBGRUP FUZZY
Definisi 2.1.5: Misalkan A subgrup fuzzy dari grup G dan H = {x  G | μ (x) = μ (e)}
maka o (A), (urutan A) didefinisikan sebagai o (A) = o (H).
Teorema 2.1.5: Misalkan A subgrup fuzzy dari grup terbatas G maka: o (A) = o (G).
Bukti: Misalkan A subgrup fuzzy dari grup terbatas dengan e sebagai identitasnya
elemen. Jelas H = {x G | μ (x) = μ (e)} adalah subgrup dari Grup G dari H adalah
bagian t-level grup G dimana t = μ (e). Berdasarkan Teorema Lagranges o (H) = o (G).
Oleh karena itu didefinisikan dengan urutan subgrup fuzzy dari grup G mempunyai o
(A) = o (G).
2.1.4 FUZZY SUBGRUP NORMAL
dugaan dari subgrup normal adalah salah satu konsep sentral teori klasik dari Grup. Ini
berfungsi instrumen yang kuat untuk mempelajari struktur umum Grup. Hanya sebagai
subgrup normal memainkan peran penting dalam teori grup klasik, subgrup fuzzy biasa
memainkan peran serupa dalam teori subgrup fuzzy.
Definisi 2.1.6: Misalkan Grup G. Sebuah subgrup A fuzzy G disebut normal jika μA (x)
= μA (y -1 xy) untuk semua x, y  G.
Definisi 2.1.7: Dengan menentukan fuzzy subgrup A dari grup G menjadi fuzzy

12. subgrup normal dari grup G jika μA (xy) = μA(yx) untuk setiap x, y  G. Ini hanya
setara dengan pembentukan subgrup fuzzy normal. Misalkan A sebuah
fuzzy subgrup normal dari grup G.
Untuk t  [0,1], himpunan At = {(x, y)  G × G / μA (xy -1) = t} disebut relasi level t
dari A. Untuk fuzzy subgrup A normal G dan t  [0,1], At adalah keselarasan relasi
pada grup G.
Teorema 2.1.6: Misalkan A adalah subgrup normal fuzzy kelompok G. Kemudian
untuk setiap g  G kita memiliki μA (GXG-1) = μA (g-1 xg) untuk setiap x  G.
Teorema 2.1.7: Sebuah subgrup A fuzzy dari grup G dinormalisasikan jika dan hanya
jika μA (e) = 1, di mana e adalah elemen identitas kelompok G.
Bukti: Jika A normalisasi dari x  G sehingga μA (x) = 1, tetapi dengan sifat dari fuzzy
subgrup A dari grup G, μA (x)  μA (e) untuk setiap x  G. kemudian μA (x) = 1 dan μA
(e)  μA (x) maka menjadi μA (e)  1. teTapi μA (e)  1. Oleh karena itu μA (e) = 1.
Sebaliknya jika μA (e) = 1
maka normalisasi fuzzy tersebut harus dinormalisasikan.
2.1.5 SUBGRUP FUZZY DARI GRUP CYCLIC
Teorema 2.1.8: Misalkan G grup siklik Order pertama. Maka fuzzy subgrup A dari G
sehingga μA (e) = T0, dan μA (x) untuk semua x e dalam G, dan T0 > t1..
Teorema 2.1.9: Misalkan G adalah grup order terunggul pertama. Maka G adalah siklik
jika dan hanya jika fuzzy subgrup A berada di G untuk x,y є G,
i. Jika μA(x) = μA (y) maka x = y
ii. Jika μA(x) > μA (y) maka x  y
Teorema 2.1.10: Misalkan G adalah grup order persegi bebas. Misalkan A sebuah
subGrup fuzzy normal G. untuk x, y  G.
a. jika o (x) / o (y) maka μA (y)  μA (x).
b. jika o (x) = o (y) maka μA (y) = μA (x).
Teorema 2.1.11: Misalkan G adalah grup terbatas dan G memiliki rangakain komposisi
e = A0  A1 ... Ar  G dimana Ai / ai-1 adalah siklik dari urutan utama, i = 1, 2, ...,
r. Kemudian terdapat rangkaian komposisi subgrup level dari beberapa fuzzy subgrup
A dengan G dan rangkaian komposisi ini setara dengan e = A0  A1 ... Ar  G.
2.1.6 KONJUGASI SUBGROUPS FUZZY
Definisi 2.1.8: jika A dan B menjadi dua sub Fuzzy dari grup G. Kemudian A dan B
dikatakan sub Fuzzy konjugasinya dari G. jika untuk beberapa g  G, μA (x) = μB (g-1
xg) untuk setiap x  G.
Teorema 2.1.12: Jika A dan B adalah sub fuzzy konjugasi dari grup G dengan o (A) = o
(B).
Teorema 2.1.13: Misalkan A dan B menjadi dua sub Fuzzy yang tidak teratur dari
grup G. Kemudian A dan B adalah sub Fuzzy konjugasinya dari grup G jika dan hanya
jika μA = μB.
Definisi 2.1.9: Misalkan A dan B menjadi dua himpunan bagian fuzzy grup G. Kita
mengatakan bahwa A dan B adalah himpunan bagian Fuzzy konjugasinya dari grup G
jika untuk beberapa g  G maka μA (x), μB (g-1 xg) untuk setiap
x  G.
Teorema 2.1.14: Misalkan A dan B menjadi dua himpunan bagian fuzzy grup abelian
G. Kemudian A dan B adalah himpunan bagian Fuzzy konjugasi dari
grup G jika dan hanya jika μA = μB.

13. Bukti: Misalkan A dan B menjadi subhimpunan Fuzzy konjugasi dari grup G dengan g
 G kami memiliki
μA (x) = μB (g–1 xg) untuk x  G
= μB (g –1 gx) untuk x  G
= μB (x) untuk x  G.
Oleh sebab itu μA (x) = μB (x).
Sebaliknya jika μA (x) = μB (x) maka untuk e unsur identitas dari grup G, maka μA (x)
= μB (e-1 xe) untuk setiap x  G. Oleh karena itu A dan B adalah himpunan bagian
konjugasi fuzzy dari grup G.
Teorema 2.1.15: Misalkan A sub fuzzy dari grup G dan B menjadi
bagian fuzzy dari grup G. Jika A dan B. adalah konjungasi
subhimpunan fuzzy grup G kemudian B. adalah sub fuzzy grup G.