Karakterisasi Ideal Maksimal Fuzzy Near-ring

Prosiding ISSN :9 772407 749004
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
i
PROSIDING SEMINAR NASIONAL
Tema :
Revitalisasi Pendidikan Matematika Menuju AFTA 2015
Editor :
Dr. Suparman, M.Si., DEA.
Sugiyarto, P.hD.
Dr. Tutut Herawan, M.Si.
Bidang Ilmu :
Pendidikan Matematika dan Matematika

Prosiding ISSN :9 772407 749004
xiv
Pemodelan Bayesian SUR Spasial Autoregressive pada Kasus
Heteroskedastisitas .............................................................................................. 1124
Deteksi Abnormality melalui BIRADS untuk Memprediksi Posisi dan
Potensi Keganasan Kanker pada Kasus Kanker Payudara (Ca mammae)
di Jawa Timur dengan Pendekatan Multinomial Normit Analysis ................... 1137
Penerapan Logika Fuzzy Mamdani untuk Diagnosa Penyakit Hipertiroid ...... 1146
JARINGAN SYARAF RADIAL BASIS FUNCTION (RBF) UNTUK
KLASIFIKASI PENYAKIT KARIES GIGI...................................................... 1158
Studi Penerapan Bus Sekolah di Jombang Menggunakan Aljabar Max-
Plus ...................................................................................................................... 1167
MODIFIKASI DISTRIBUSI PERJALANAN COMMUTER LINE
JABODETABEK DENGAN MODEL GRAVITASI VOORHEES .................. 1175
Pengaruh Tingkat Kemiringan Tanah dan Pola Tanam Graf Tangga
Segitiga Terhadap Sirkulasi Udara Pada Perkebunan Kopi ............................. 1181
PERUBAHAN NILAI TUKARIMPOR DAN HARGA KONSUMEN DI
KAMBOJA DAN INDONESIA: BUKTI DARI VEKTOR
AUTOREGRESI (VAR)...................................................................................... 1187
KARAKTERISASI IDEAL MAKSIMAL FUZZY NEAR-RING ...................... 1199
Metode Numerik Pada Persamaan Diferensial Parsial Dengan Metode
Beda Hingga......................................................................................................... 1208
Solusi Numerik Persamaan Diferensial Parsial Dengan Metode Sapuan
Ganda .................................................................................................................. 1214
Mengkonstruksi Algoritma Bentuk Numerik Pada Sistem Persamaan
Linear .................................................................................................................. 1222
Pemodelan GSTARX Dengan Intervensi Pulse dan Step Untuk
Peramalan Wisatawan Mancanegara ................................................................ 1230
Nilai Strong Rainbow Connection pada Graf Khusus dan Hasil
Operasinya .......................................................................................................... 1242
PENGEMBANGAN TOTAL SELIMUT SUPER PADA GRAF
SHACKLETRIANGULAR BOOK .................................................................... 1249
BILANGAN KROMATIK PADA PENGOPERASIAN GRAF
LINTASAN DENGAN GRAF LINGKARAN ................................................... 1257
PELABELAN TOTAL SUPER (a, d)-SISI ANTIMAGIC PADA
GABUNGAN SALING LEPAS GRAF DAUN mLgn ....................................... 1263

Prosiding ISSN: 9 772407 749004
Yogyakarta, 27 Desember 2014 1199
KARAKTERISASI IDEAL MAKSIMAL FUZZY NEAR-RING
Saman Abdurrahman
Program Studi Matematika FMIPA Unlam
Jl. A. Yani KM 36 Banjarbaru Kalimantan Selatan, samunlam@gmail.com
ABSTRAK
Dalam tulisan ini dibahas konsep ideal maksimal fuzzy near-ring, yang meliputi
hubungan antara ideal maksimal fuzzy near-ring dan ideal prima fuzzy near-ring.
Kata kunci: Near-ring fuzzy, ideal maksimal fuzzy, ideal prima fuzzy.
ABSTRACT
In the paper discuss concept fuzzy maximal ideal of near-ring, which includes the
relationship between fuzzy maximal ideal of near-ring and fuzzy prime fuzzy ideal of near-
ring.
Keywords: Fuzzy near-ring, fuzzy maximum ideal, fuzzy prime ideal
PENDAHULUAN
Near-ring yang dikontruksi oleh
Pilz (1983), Clay (1992) dan Kandasamy
(2002), merupakan salah satu perluasan
dari ring, dimana beberapa aksioma yang
ada pada ring tidak harus diberlakukan
pada near-ring. Operasi pertama pada
near-ring sebarang tidak harus abelian,
terhadap operasi kedua membentuk
semigrup, dan terhadap operasi pertama
dan kedua, cukup dipenuhi salah satu
sifat distributif kiri atau kanan.
Seiring dengan perkembangan
zaman, penelitian pada near-ring tidak
hanya berkisar pada strukturnya tetapi
mulai memadukan dengan teori lain,
diantaranya dengan himpunan fuzzy yang
diperkenalkan oleh Zadeh pada tahun
1965.
Abou-Zaid (1991) melakukan
fuzzyfikasi pada struktur near-ring,
sehingga melahirkan definisi near-ring
fuzzy, subnear-ring fuzzy, ideal fuzzy
near-ring, dan ideal prima fuzzy near-
ring. Jun dan Ozturk (2001) melakukan
penelitian pada ideal maksimal fuzzy
gamma near-ring, Young dan Hee (2002)
melakukan penelitian pada ideal prima
fuzzy near-ring, dan Satyanarayana dan
Kuncham (2005) melakukan penelitian
pada ideal prima fuzzy gamma near-ring.
Mengingat penelitian sebelumnya
sudah membicarakan ideal prima fuzzy
dan ideal maksimal fuzzy pada near-ring,
maka pada tulisan ini akan diteliti sifat

dari ideal maksimal fuzzy, yang meliputi
hubungan dengan ideal prima fuzzy pada
near-ring.
Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan
berdasarkan studi literatur berupa buku-
buku dan jurnal-jurnal ilmiah, khususnya
yang berkaitan dengan near-ring, near-
ring fuzzy, ideal fuzzy near-ring, ideal
malsimal fuzzy near-ring dan ideal prima
fuzzy near-ring.
Pada tahap awal dipelajari
konsep-konsep dasar tentang near-ring,
subnear-ring, ideal near-ring, ideal
maksimal near-ring dan ideal prima
near-ring. Konsep-konsep dasar ini yang
nantinya akan banyak membantu untuk
memahami konstruksi near-ring fuzzy,
subnear-ring fuzzy, ideal near-ring fuzzy,
ideal maksimal fuzzy near-ring dan ideal
prima fuzzy near-ring.
Setelah memahami konstruksi
near-ring fuzzy, subnear-ring fuzzy, ideal
near-ring fuzzy, ideal maksimal fuzzy
near-ring dan ideal prima fuzzy near-
ring, dibuktikan beberapa lemma dan
teorema yang terkait sehingga diperoleh
“hubungan antara ideal di himpunan
klasik dan himpunan fuzzynya”.
Selanjutnya ditentukan asumsi-
asumsi sehingga terbentuk sifat baru,
yang mendukung pada pembahasan
hubungan antara ideal maksimal fuzzy
near-ring dan ideal prima fuzzy near-ring
Langkah terakhir, dengan
menggunakan lemma-lemma dan
teorema-teorema yang saling terkait,
maka diperoleh hubungan antara ideal
maksimal fuzzy near-ring dan ideal prima
fuzzy near-ring, yang hasilnya dituangkan
dalam bentuk teorema.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Definisi 1. (Pilz 1983) Himpunan tidak
kosong dengan dua operasi biner + dan 
disebut near ring, jika memenuhi:
1. ( , +) adalah grup (tidak harus grup
abelian),
2. ( , .) adalah semigrup,
3. untuk setiap x,y,z berlaku salah
satu sifat distributif kanan atau kiri
(i). distributif kanan :
(ii). distributif kiri :
Selanjutnya yang dimaksud near-
ring adalah near-ring kiri, kecuali ada
keterangan lebih lanjut, dan xy dapat
juga ditulis xy.
Definisi 2. (Clay 1992) Diberikan near-
ring . Subgrup H dari disebut
subnear-ring dari (ditulis dengan
H ), jika memenuhi HH H.

Pada near-ring, grupnya tidak
harus abelian terhadap operasi +, maka
dalam mendefinisikan ideal di near-ring
subgrupnya harus merupakan subrup
normal.
Definisi 3. (Satyanarayana 2013)
Diberikan ( , +, .) adalah near-ring.
Subgrup normal dari disebut ideal
dari , jika
1. RI I
2. (r + i)s – rsI untuk setiap r,sR dan
iI.
Subgrup normal I dari ,
memenuhi kondisi (1) disebut ideal kiri
dari , dan memenuhi kondisi (2) disebut
ideal kanan dari .
Definisi 4. (Mordeson, 2005) Diberikan
X adalah himpunan tidak kosong. Suatu
pemetaan  disebut subset fuzzy di X jika
 . Selanjutnya himpunan
semua subset fuzzy di X dinotasikan
dengan (X).
Definisi 5. (Mordeson, 2005) Jika
, (X), maka untuk setiap xX:
1.    jika dan hanya jika (x)  (x),
2.   jika dan hanya jika (x)  (x),
Definisi 6. (Mordeson, 2005) Diberikan
 (X) dan t[0,1]. Level subset dari 
dinotasikan dengan t yang didefinisikan
dengan,
t  {xR | (x)  t}.
Lemma 7. (Mordeson, 2005) Jika
, (X), maka
1.   maka a a untuk setiap
a[0,1]
2. a  b maka b a untuk setiap
a,b[0,1]
3.    jika dan hanya jika a  a
untuk setiap a[0,1]
Definisi 8. (Abou-Zaid, 1991) Diberikan
near-ring dan  . Subset fuzzy 
disebut subnear-ring fuzzy di jika
untuk setiap  berlaku:
1.   min{ ,  }, dan
2.   min{ ,  }.
Selanjutnya,  disebut ideal fuzzy di
jika  adalah subnear-ring fuzzy di
dan untuk setiap  berlaku:
3.    ,
4.    , dan
5.    .
Suatu  disebut ideal kiri fuzzy di
jika memenuhi kondisi (1), (2), (3) dan
(4), sedangkan  disebut ideal kanan
fuzzy di jika memenuhi kondisi (1), (2),
(3) dan (5).
Definisi 9. (Williams. P, 2008)
Diberikan ideal fuzzy  di near-ring .
Ideal fuzzy  disebut normal, jika ada
 sedemikian hingga   1.
Selanjutnya himpunan semua ideal

normal fuzzy dari dinotasikan dengan
N( ).
Lemma 10. (Abdurrahman, 2012)
Diberikan near-ring . Jika  adalah
subnear-ring fuzzy di , maka  
 , dan    untuk setiap
 .
Teorema 11. Diberikan near-ring .
Jika  adalah ideal fuzzy di , maka
 |    adalah
ideal di .
Teorema 12. Diberikan  dan  adalah
ideal fuzzy di near-ring . Jika   dan
   , maka .
Teorema 13. Diberikan near-ring .
Jika , N( ) dan  , maka .
Lemma 14. Diberikan near-ring . Jika
A ideal di , maka A ideal normal fuzzy
di dan   A.
Bukti:
Misalkan A ideal di dan A fungsi
karakteristik dari A. Mengingat A adalah
ideal di , maka A sehingga
A  1 dan menurut [Abdurrahman
2012, Teorema 4.1.9], A adalah ideal
fuzzy di yang mengakibatkan A ideal
normal fuzzy di . Selanjutnya,
  { R | A  A }
 {  | A  1}
 { R | A }  A. ■
Setelah diberikan beberapa sifat
dari ideal normal fuzzy di near-ring ,
berikut diberikan sifat dari fungsi
karakteristik dari suatu ideal di .
A dan B ideal di , maka A B jika dan
hanya jika A B.
Bukti:
( ) Misalkan A dan B adalah fungsi
karakteristik dari ideal A dan B di
dengan A B. Akan dibuktikan A B,
yaitu A  B untuk setiap R.
Untuk membuktikan A B, akan dilihat
dari tiga kondisi berikut:
1. jika A, maka B sehingga
A  B  1,
2. jika A dan B, maka
A  0  1  B , dan
3. jika  , maka
A  B  0
Berdasarkan (1), (2), dan (3) maka
A  B untuk setiap  .
( ) Misalkan A dan B adalah ideal di
dan A B. Akan dibuktikan A B.
Diambil sebarang A, maka A  1.
Mengingat A B dan B [0,1], maka
1  A  B untuk setiap  ,
sehingga B  1 yang mengakibatkan
B, dengan kata lain A B. ■
 adalah ideal fuzzy di dan  

yang didefinisikan dengan,    +
1   untuk setiap  , maka 
ideal normal fuzzy di dan   .
Bukti:
Misalkan  ideal fuzzy di dan
  dimana    + 1 
 untuk setiap  . Mengingat 
ideal fuzzy di dan definisi  , maka
untuk setiap  , berlaku:
1)    + 1 
 min{ ,  } + 1  
 min{ + 1   ,  + 1 
 }  min{ ,  }.
2)    + 1  
 min{ ,  } + 1  
 min{ + 1   ,  + 1 
 }
 min{ ,  }.
2) 
  + 1  
  + 1     .
3)    + 1  
  + 1     .
4) 
  + 1  
  + 1     .
5)    + 1    1.
6)  ,  [0,1] dan   1,
maka    ≤   1,
untuk setiap  .
Mengingat   1 dan  (x)   +
1   , maka (x)   yang
mengakibatkan   . Jadi,  adalah
ideal normal fuzzy di dan   . ■
Lemma 17. Diberikan ideal fuzzy  di
near-ring . Jika   0 untuk suatu
 , maka   0.
Lemma 18. Ideal fuzzy  di near-ring
adalah normal jika dan hanya jika  
 .
Akibat 19. Jika  adalah ideal fuzzy di
, maka ( )   .
Akibat 20. Jika  ideal normal fuzzy di
near-ring , maka ( )  .
Definisi 21. (Williams. P, 2008)
Diberikan near-ring . Ideal fuzzy  di
disebut maksimal, jika memenuhi
kondisi:
(1)  tidak konstan,
(2)  adalah elemen maksimal di
( N( ), ).
Contoh 22. Diberikan adalah
near-ring, dengan operasi pergandaan
pada didefinisikan, untuk
setiap  . Jika 2 adalah ideal
maksimal di dan  ( ) yang
didefinisikan dengan,
(x) 
untuk setiap z , maka  ideal maksimal
fuzzy di

Setelah diberikan definisi ideal
maksimal fuzzy di near-ring , berikut
diberikan sifat dari elemen maksimal  di
N( ).
Lemma 23. Jika  N( ) dengan 
elemen maksimal yang tidak konstan di
( N( ), ), maka nilai keanggotaan dari
 adalah 0 dan 1.
Bukti:
Misalkan  N( ) dengan  elemen
maksimal yang tidak konstan di ( N( ),
). Akan dibuktikan nilai keanggotaan
dari  adalah 0 dan 1.
Mengingat  N( ), maka  .
Misalkan  untuk suatu  .
Klaim   0.
Andaikan  , maka 0   1.
Didefinisikan subset fuzzy ,
dengan (x)  untuk setiap
 . Akan ditunjukkan  well-defined.
Misalkan  dengan .
Mengingat  adalah pemetaan, maka
   sehingga
 +    + 
Jadi    , dengan kata lain  well-
defined.
Selanjutnya, akan dibuktikan  adalah
ideal fuzzy di .
Diambil sebarang  , maka
a)  


 min{ }
 min{(x), (y)},
b)  


 min{ }
 min{(x), (y)},
c)  
   ,
d)      ,
e) 
    .
Jadi,  adalah ideal fuzzy di .
Akibatnya menurut Lemma 16,
  N( ) sehingga   1.
Berdasarkan analisa di atas, maka
   + 1   untuk setiap

 + 1 
 + 1  
 
dan   1    .
Akibatnya      .
Jadi,  tidak konstan dan   .
Mengingat   , maka  bukan elemen
maksimal di ( N( ), ). Ini kontradiksi
dengan  elemen maksimal di ( N( ),

), sehingga pengandaian salah,
seharusnya  untuk suatu  .
Jadi, nilai keanggotaan dari  adalah 0
dan 1. ■
Selanjutnya diberikan beberapa sifat
dari ideal maksimal fuzzy  di near-ring
, yang berhubungan dengan fungsi
karakteristik dan .
Teorema 24. Jika  adalah ideal
maksimal fuzzy di near-ring , maka
(1) nilai kenggotaan  adalah 0 dan 1,
(2)  adalah normal,
(3) R  ,
(4) adalah maksimal di .
Bukti:
(1) Mengingat  adalah ideal maksimal
fuzzy di maka menurut Definisi
111,  tidak konstan. Karena  tidak
konstan dan    + 1  
untuk setiap  , maka  tidak
konstan, sehingga menurut Definisi
111 dan Lemma 113,  adalah
elemen maksimal tidak konstan di
( N( ), ) dan nilai keanggotaan dari
 adalah 0 dan 1.
(2) Dari (1), diambil  (a)  0 untuk
suatu a , sehingga menurut Lemma
17, (a)  0. Di lain pihak,
0   (a)  (a) + 1    0 + 1 
  1     1.
Jadi,  adalah normal.
(3) Misalkan R adalah fungsi
karakteristik dari . Dari (2)
diperoleh,  adalah normal, maka
menurut Lemma 18 dan Definisi 21,
   dan    elemen maksimal di
( N( ), ), sehingga menurut (1)
nilai keanggotaan dari  adalah 0 dan
1. Di lain pihak,
 {x |    }
 {x |   1}.
Berdasarkan analisa di atas, maka
(x) 
Jadi,  adalah fungsi karakteristik
dari yang mengakibatkan R  .
(4) Menurut Teorema 11, adalah ideal
di . Misalkan A adalah ideal fuzzy di
dan A adalah fungsi karakteristik
dari A sedemikian hingga A.
Akibatnya menurut Lemma 14, (3)
dan Lemma 15, maka A N( ) dan
R  A, R   dan  R A.
Mengingat ,A N( ),  R A
dan    adalah elemen maksimal
di ( N( ), ), maka   A atau A 
, dimana , (x)  1
untuk setiap  . Selanjutnya, jika
  A, maka   yang
mengakibatkan  A atau jika
A  , maka    yang

mengakibatkan A  , sehingg
adalah ideal maksimal dari . ■
Berikutnya diberikan sifat dari ideal
maksimal di near-ring , yang
berhubungan dengan ideal maksimal
fuzzy dari .
Teorema 25. Diberikan M ideal dari
near-ring dan  ( ) yang
didefinisikan dengan,
(x) 
untuk setiap  . Jika M maksimal dari
, maka  ideal maksimal fuzzy dari .
Berikut diberikan sifat dari ideal
maksimal di near-ring , yang
berhubungan dengan fungsi
karakteristinya.
Akibat 26. Ideal M adalah maksimal di
near-ring jika dan hanya jika fungsi
karakteriatik dari M adalah ideal
maksimal fuzzy di .
Setelah diberikan definisi dan
sifat ideal maksimal fuzzy di near-ring ,
selanjutnya diberikan sifat yang
menunjukkan hubungan antara ideal
maksimal fuzzy dan ideal prima fuzzy dari
, yang merupakan akhir dari
pembahasan tulisan ini.
 adalah ideal maksimal fuzzy  di ,
maka  adalah ideal prima fuzzy di
atau  .
Bukti:
Mengingat  ideal maksimal fuzzy di ,
maka menurut Teorema 26, R   dan
adalah ideal maksimal di , sehingga
menurut [Pilz. G, 1983, Lemma 71],
adalah ideal prima di atau .
Selanjutnya, jika adalah ideal prima di
dan R  , maka menurut
[Abdurrahman 2011, Akibat 4.14], 
adalah ideal prima fuzzy di atau jika
dan   , maka menurut
Lemma 15,    . ■
Kesimpulan
Beberapa hasil penting atau sifat-
sifat yang dapat dijadikan sebuah
kesimpulan dari tulisan ini adalah sebagai
berikut:
1) Jika  adalah ideal maksimal fuzzy di
near-ring , maka nilai kenggotaan
dari  adalah 0 dan 1,  adalah
normal, R   dan adalah
maksimal di .
2) Ideal M adalah maksimal di near-ring
jika dan hanya jika M adalah ideal
maksimal fuzzy di .
3) Jika  adalah ideal maksimal fuzzy 
di near-ring , maka  adalah ideal
prima fuzzy di atau  .
PUSTAKA
Abdurrahman. S, Thresye, Hijriati. N,
2013, Ideals prima fuzzy near-

ring, Jurnal Matematika Murni
dan Terapan Epsilon, vol. 07, no.
01, hal 21 – 32.
Abdurrahman. S, Thresye, Hijriati. N,
2012, Ideals fuzzy near-ring,
Jurnal Matematika Murni dan
Terapan Epsilon, vol. 6, no. 2, hal
13 – 19.
Abou-Zaid. S, 1991, On fuzzy subnear-
rings and ideals, Fuzzy Sets and
Systems, vol. 44, pp. 139-146.
Clay. J.R, 1992, Nearrings, geneses and
applications, Oxford, New York.
Jun. Y.B, Sapanci. M. and zt rk. M.A,
1998, Fuzzy ideal in gamma near-
ring, Tr. J. of Math, vol. 22, no.
__, pp. 449-459.
Kandasamy. W.B.V, 2002, Smarandache
near-rings, American Research
Press Rehoboth.
Mordeson, J.N, Bhutani. K.R. and
Rosenfeld. A, 2005, Fuzzy group
theory, Springer-Verlag, Berlin
Heidelberg.
Pilz. G, 1983, Near-ring, the theory and
applications 2nd
ed., North-
Holland Mathematict Studies, vol.
23, North-Holland, Amsterdam.
Satyanarayana, Bh and Prasad. KS. 2005,
Fuzzy prime ideal of gamma near-
ring, Soochow Journal of
Mathematics, vol. 31, no. 1, pp.
121-129.
Satyanarayana, Bh and Prasad. KS. 2013,
Near-ring, Fuzzy Ideals, and
Graph Theory, Taylor and Francis
Group, LLC.
Williams. P, 2008, Fuzzy ideals in near-
subtraction semigroups,
International journal of
Computational and Mathematical
Sciences, vol. 2, no. 1, pp. 39-46.

Karakterisasi Ideal Maksimal Fuzzy Near-ring

Recommended

Recommended

More Related Content

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Featured

Featured (20)

Karakterisasi Ideal Maksimal Fuzzy Near-ring