1. ISOMORPHISMA

2. بِسْمِ اللهِالرَّحْمٰنِ الرَّحِيْم
Kelompok 10
1. Kama Nur Annisa 11310022
2. Devriana Dwi Lestari 113100
3. Devy Indayani 113100
4. Rini Fitriani 113100
5. Siska Hidayati 113100

3. Isomorpisma
Homomorpisma Ø : G→ G’ disebut
epimorpisma apabila setiap g’ Є G’ ada g Є G
sehingga Ø (g) = g’. Dengan kata lain setiap
elemen G’ mempunyai kawan elemen G. Dapat
pula dikatakan bahwa homomorpisma Ø dari G
onto G atau disingkat homomorpisma Ø onto.
Homomorpisma Ø : G→ G’ disebut
monomorpisma jika Ø suatu pemetaan satu-satu
dari G ke G’. Dengan kata lain, jika Ø (x)
= Ø (y) maka x = y untuk x, y Є G.

4. Definisi 3.6
• Homomorpisma Ø : G→ G’ disebut isomorpisma jika Ø
sekaligus epimorpisma dan monomorpisma, yaitu Ø suatu
homomorpisma satu-satu dari G onto G’
• Grup G dan grup G’ dikatakan isomorpik jika ada isomorpisma
dari G ke G’. Selanjutnya notasi G ≈ G’ dibaca G isomorpik
dengan G’.
• Pada contoh 3.8, G = { 0, 1, 2, 3 } suatu grup dengan operasi
penjumlahan modulo 4 dan G’ = { 1, 2, 3, 4 } suatu grup dengan
operasi perkalian modulo 5, maka G ≈ G’.

5. Contoh 3.12
B = {0, 1, 2} yaitu himpunan bilangan bulat modulo 3. B = terhadap
operasi penjumlahan modulo 3 merupakan suatu grup. G = {I = S³,
S, S² } yaitu suatu grup operasi simetri dari segitiga samasisi
dengan S adalah rotasi terhadap pusat segitiga dengan suatu
sudut putar 120°. Tabel operasi pada B dengan G adalah sebagai
berikut :
+ 0 1 2
0
0 1 2
1
1 2 0
2
2 2 1
+ I S S²
I
S
S²
I S S²
S S² 0
S² I S
Tabel 3.3 (B: +) Tabel 3.4 (G: -)

6. Pemetaan Ø : B  G didefinisikan oleh Ø (0) = I,
Ø (1) =S dan Ø (2) = S².
Ø(1+2) = Ø (0) = i = S.S² = Ø(1). Ø(2)
Selidikilah bahwa Ø(0+1) = Ø (0). Ø(1)
Ø(0+2) = Ø(0). Ø(2)
Jadi Ø suatu homomorpisma. Nampak bahwa Ø suatu
pemetaan satu-satu dan onto maka Ø suatu
isomorpisma. Jadi B ~ G.

7. Contoh 3.13
B  1,2,3,4 terhadap operasi perkalian modulo 5 merupakan suatu grup.
C = { 0,1,2,3} terhadap operasi penjumlahan modulo 4 adalah suatu grup.
Pemetaan ⱷ memetakan setiap elemen B ke elemen C yang mempunyai
periode sama. Tunjukkan bahwa ⱷ suatu isomorpisma. Disusun tabel operasi
bagi tiap-tiap grup.
∙ 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
Tabel 3.5 (B; - ) mod 5 Tabel 3.6 ( C; + ) mod 4

8. • Periode elemen-elemen dalam 8 adalah p (1) = 1,
p (2) = 4, p (3) = 4 dan p (4) = 2. Periode elemen-elemen
dalam 0 adalah p (0) = 1, p (1) = 1, p (2) =
2, dan p (3) = 4,.
• Mengingat definisi pemetaan ∅ di atas, yaitu
pengawasan elemen-elemen yang berperiode
sama, maka peta (bayangan) setiap elemen B ke C
dapat diambil sebagai berikut: 퐵 → 퐶
didefinisikan oleh ∅ 0 = 0, ∅ 2 = 3, ∅ 3 =
1, 푑푎푛 ∅ 4 = 2.

9. Ambil elemen-elemen dalam B untuk menunjukan bahwa ∅
suatu Homomorpisma.
• 2; 3 ∈ 퐵, ∅ 2,3 = ∅ 1 = 0 = 3 + 1 = ∅ 2 + ∅ 3
• 2; 4 ∈ 퐵, ∅ 4,2 = ∅ 3 = 1 = 2 + 3 = ∅ 4 + ∅ 2
• 3; 4 ∈ 퐵, ∅ 3,4 = ∅ 2 = 3 = 1 + 2 = ∅ 3 + ∅ 4
• Dan sebagainya.
Jadi ∅ suatu homomorpisma.
Kiranya jelas bahwa ∅ suatu pemetaan satu-satu dan onto,
maka ∅ suatu isomorpisma.

10. The And……….   