1. Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN
ĐT: 0932333922
203 BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài` 1:Giải hệ phương trình:
2 2
3 3
30
35
x y xy
x y
  

 
ĐS:
2 3
3 2
x x
y y
  
 
  
Hướng dẫn : Đặt S=x+y, P=xy ( hệ đối xứng loại 1)
Bài 2: Giải hệ phương trình
3 3
2
2
( )xy x y
x y
   

 
ĐS:
1
1
x
y
 

 
HD: Đặt S=x-y, P=xy
Bài 3: giải hệ phương trình :
1 1 1 1
( ) ( ),P=(x+ )( )x y y
x y x y
   
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y

   


    

ĐS:
1
1
x
y
 


HD: Đặt S=
1 1 1 1
( ) ( ),P=(x+ )( )x y y
x y x y
   
Bài 4:Giải hệ phương trình :
2 2
5
7
x y xy
x y xy
   

  
ĐS:
1 2
2 1
x x
y y
  
 
  
HD: Đặt S=x+y, P=xy
Bài 5: Giải hệ phương trình
2 2
3
2 2 3x
x xy y
xy y
   

   
ĐS:
1 3 3
1 3 3
x x x
y y y
       
   
       
HD: Đặt S=x+y, P=xy
Bài 6: Giải hệ phương trình
3 3
2 2
8
xx y y
x y
   

 
ĐS:
2 0
0 2
x x
y y
  
 
  
HD: Đặt S=x+y,P=xy
Bài 7: Giải hệ phương trình
3 3
7
2( )
x y
xy x y
  

 
ĐS:
1 2
2 1
x x
y y
   
 
   
HD: Đặt S=x-y, P=xy
Bài 8:Giải hệ phương trình
3
3
2
2
xx y
y y x
  

 
ĐS:
0
0
x
y
 


HD: Lấy pt(1)-(2) làm xuất hiện nhân tử chung x-y (hệ phương trình đối xứng loại 2)

2. Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN
ĐT: 0932333922
Bài 9:Giải hệ phương trình
2 3 4 4
2 3 4 4
x y
y x
    

   
ĐS:
11
3 9
3 11
9
x
x
y
y

  
 
  

HD: Lấy pt(1)-(2) và trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung x-y
Bài 11: Giải hệ phương trình (ĐH Khối B-2003)
2
2
2
2
2
3
2
3
x
x
y
y
y
x
 





ĐS:
1
1
x
y
 


HD: lấy pt(1)-(2) làm xuất hiện nhân tử chung x-y
Bài 12:Giải hệ phương trình
2
1 1
2 1 0x
x y
x y
xy

  

   
ĐS:
1 1
1 1
x x
y y
   
 
   
HD:từ pt(1) làm xuất hiện nhân tử chung x-y bằng cách chuyển vế và nhóm lại
Bài 13: Giải hệ phương trình
2
3 18 0
osx cosx y c y
x y y
   

  
ĐS:
3
3
x
y
 


HD: (1)  x-cosx=y-cosy. Xét hàm số f(t)= t-cost x=y
Bài 14: Giải hệ phương trình
2
2
3 2 0
3 2 0x
x y
y
   

  
ĐS:
1 2
1 2
x x
y y
  
 
  
HD: lấy pt(1)-(2) làm xuất hiện nhân tử chung x-y
Bài 15: Giải hệ phương trình
2
2
2
2x
x xy x y
y xy y
   

  
ĐS:
3
0 2
0 3
2
x
x
y
y

  
 
  

HD: lấy pt(1)-(2) làm xuất hiện nhân tử chung x-y
Bài 16: Giải hệ phương trình
1 7 4
1 7 4
x y
y x
    

   
ĐS:
8
8
x
y
 


HD: lấy pt(1)-(2) và trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung x-y
Bài 17: Giải hệ phương trình
4 2
2 2
698
81
3 4 4 0x
x y
x y xy y

 

      
ĐS:hệ vô nghiệm

3. Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN
ĐT: 0932333922
HD: Từ pt(2) ta tìm được miền giá trị của x,y và kết hợp pt(1)
Bài 18:Giải hệ phương trình
3
3
2 3 1
2 3
( )
( )
x y
x y
  

 
ĐS:
1
1
2
1
2
x x
y
y

   
 
   
HD: pt(1) chia cho 3
x , pt(2) chia cho x sau đó lấy pt(1)+(2) ta được pt dạng
f(y)=f(
1
y
)
Bài 19: Giải hệ phương trình (HSG QG 1998-1999 Bảng A)
2 1 2 2 1
3 2
1 4 5 1 2
4 1 2 0
x x x
( )
x ln( )
y y y
y y x
    
   

    
ĐS:
0
1
x
y
 

 
HD: Từ pt(1) ta đặt t=2x-y và xét hàm số f(t) t=1 sau đó thế vào pt(2) xét hàm f(y)
Bài 20: Giải hệ phương trình (HSG QG 2000-2001 Bảng B)
7 2 5
2 2
x x
x
y y
y x y
    

   
ĐS:
10 77
11 77
2
x
y
  

 


HD: Đặt u= 2 2
7 2 5x ; v= x xy y u v     và kết hợp với pt(1)
5
2
x
v

 ; kết
hợp pt(2) x=2y-1
Bài 21: Giải hệ phương trình (HSG QG 1995-1996 Bảng A)
1
3 1 2
1
2 1 4 2
x( _ )
x( )
x y
x y

 

  
 
ĐS:
11 4 7
21
22 8 7
7
x
Y
 





HD: Xét đk sau đó chia 2 vế của hpt 3x và 2y , cộng trừ 2 vế sau khi ta được hệ
mới , lấy pt(1) nhân với pt(2) đưa về pt đẳng cấp với ẩn x,y
Bài 22: Giải hệ phương trình
2 2
3 2 16
2 4 33
x
x
xy y
x y y
   

   
ĐS:
3 3 3 3
2 3 2 3
x x
y y
       
 
       
HD: Đặt u=x-1; v=y-2 sau đó đặt u+v=S, uv=P
Bài 23: Giải hệ phương trình :
2 2 2 2
2 5 4 6 2 0
1
2 3
2
( x ) ( x ) ( x )
x
x
y y y
y
y
      


   
ĐS:
3 3
8 4
11
24
x x
yy
 
   
 
  
 
HD: Pt(1) là pt đẳng cấp với ẩn 2x+y và 2x-y
Bài 23: Giải hệ phương trình

4. Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN
ĐT: 0932333922
2 2
2 2
3 4 1
3 2 9 8 3
x
x x
x y y
y y
    

   
ĐS:
3 13 3 13
2 2
0 4
x x
y y
  
  
 
    
HD: Đặt u= 2 2
3 4x; v=yx y 
Bài 24: Giải hệ phương trình
8
5
x x x y y y
x y
   

 
ĐS:
9
4
x
y
 


HD: Từ (1) nhóm lại và bình phương 2 vế sau đó thế phương trình (2) vào pt(1)
Bài 25: Giải hệ phương trình :
3 3
7
2( )
x y
xy x y
  

 
ĐS:
2 1
1 2
x x
y y
   
 
   
HD: Đặt y=tx (hệ phương trình đẳng cấp )
Bài 26: Giải hệ phương trình
2 2
5
2 5 2
2
x
x xy y
y
x y xy
   


   

ĐS:
2 2
1 1
x x
y y
   
 
   
HD: Đặt y=tx (hệ phương trình đẳng cấp )
Bài 27: Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 3
10
( ) x
( )
y x y
x x y y
  

 
ĐS: 4 4
4 4
2 2
1 1
5 3 5 3
2 5 2 5
5 27 5 3
2 125 2 5
x x
y y
x x
y y
   
 
   
 
   
 
 
 
    
HD: : Đặt y=tx (hệ phương trình đẳng cấp )
Bài 28: Giải hệ phương trình
2 2
2 8 2
4
xx y y
x y
   

 
ĐS:
4
4
x
y
 


HD: Bình phương pt(2)rút x+y thay vào pt(1) và đặt t= xy
Bài 29: Giải hệ phương trình
30
35
x y y x
x x y y
  

 
ĐS:
4 9
9 4
x x
y y
  
 
  
HD: Đặt ;u x v y  hpt với ẩn u,v ( hệ đối xứng loại 1)
Bài 30: Giải hệ phương trình

5. Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN
ĐT: 0932333922
2 23 3
3 3
2 3
6
( ) (x y x y y x
x y
   

 
ĐS:
8 64
64 8
x x
y y
  
 
  
HD: Đặt 3 3
, v=u x y  hpt với ẩn u,v ( hệ đối xứng loại 1)
Bài 31: Giải hệ phương trình
6 5
6 2
9
x
x
x y
x y
x y xy
 
 


  
ĐS: hệ vô nghiệm
HD: Đặt u=
6x
x y
 u từ pt(1)
Bài 32: Giải hệ phương trình
7
2
7
0,
x y
y x xy
x xy y xy
x y

 


 





ĐS: hệ vô nghiệm
HD: Đặt ,u x v y  hpt với ẩn u,v (hệ đối xứng loại 1)
Bài 33: Giải hệ phương trình
5
2 3 4
42
5
3 2
42
( )
x
( )
y
y
x
x y

  

  
 
ĐS:
5 2 26
27
5 2 26
9
x
y
 





HD: Xét đk sau đó chia 2 vế của hpt x và 2y . Cộng trừ 2 vế sau khi chia ta được hệ
mới , lấy pt (1) nhân với pt(2) đưa về pt đẳng cấp với ẩn x,y
Bài 34:Giải hệ phương trình
2 4 2 4 2 2
2 3 3 2
3 2 1 2
1 1 2
( x )
( ) ( )
x y x y x y
x y x x x y
     

     
ĐS:
1
1
x
y
 


HD: Cộng 2 vế của 2 pt với nhau sau đó đánh giá 2 vế của pt mới
Bài 35: Giải hệ phương trình
10
6 6 14
x y
x y
  

   
ĐS: Hệ vô nghiệm
HD: lấy pt(1)  pt(2) ta được hpt mới . Đặt u= 6 6; v=x x y y    ( hệ đối
xứng loại 1 với ẩn u,v)
Bài 36: Giải hệ phương trình

6. Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN
ĐT: 0932333922
2 2
2 2
9
5
5 3
30 6
x
x
x x y
x x y
x
y y
  
 
  

 
 
ĐS:
5
3
x
y
 


HD: Từ pt(2) rút
9
5
x
thế vào pt(1) và đặt t=
x
y
Bài 37: Giải hệ phương trình (THTT)
24
4
32 3
32 6 24
x x y
x x y
     

  
ĐS:
16
3
x
y
 


HD: lấy pt(1)+pt(2) sau đó dùng bất đẳng thức bunyakovsky(hai số căn cùng bậc ) đánh
giá vế trái 12 , vp 12
Bài 38: Giải hệ phương trình (ĐHSP Hà Nội 2000)
2 2
2 2 2
6
1 5
xy xy
x y x
  

 
ĐS:
1
1
2
2
1
x x
y
y

  
 
  
HD:Chia 2
x và đặt
1
; v=y+
y
u
x x

Bài 39: Giải hệ phương trình ( THTT 2009)
2 2
2
1 1 3 4 1
1 5
( )( ) xx y x y x
xy x x
      

  
ĐS:
2
1
5
1
2
x
x
y y
  
  
  
   
HD:Thế y+1 từ pt(2) vào pt(1)
Bài 40: Giải hệ phương trình
2 2
2
2 1 2 2x
xy x y x y
x y y x y
    

   
ĐS:
2
5
x
y
 


HD: pt(1) là pt tích có nhân tử chung là x+y
Bài 41: Giải hệ phương trình
2
2 2
5 4 4
5 4 16 8 16 0
( x )( )
x x x
y x
y y y
   

     
ĐS:
2
5
x
y
 


HD: Giải pt(2) , coi x là tham số còn y là ẩn của pt bậc 2
Bài 42: Giải hệ phương trình (THTT 2009)
2
2
1 4
1 2
( )
( )( )
x y x y y
x y x y
    

   
ĐS:
4
0 4
5
4 0
0
x x x
y y
y

    
   
    
HD: Xét đk sau đó chia 2 vế của 2 pt cho y và đặt
2
1
2;
x
u v x y
y

   
Bài 43:Giải hệ phương trình (THTT)

7. Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN
ĐT: 0932333922
3 3
2 5 2 2
1x y
x y x y
  

  
ĐS:
0 1
1 0
x x
y y
  
 
  
HD: Thế pt(1) vào vế phải của pt(2)
Bài 44: Giải hệ phương trình (THTT)
3 3
7
2( )
x y
xy x y
  

 
ĐS:
2 1
1 2
x x
y y
   
 
   
HD: Nhân pt(1) cả 2 vế với 2 rồi thế pt(2) vào vế phải của pt(1)
Bài 46: Giải hệ phương trình
3 3
2 2
2 9 2 3
3
( )( x )x y x y y
x xy y
    

  
ĐS:
2 2
1 1
x x
y y
   
 
   
HD: Thế số 3 ở pt(2) vào số 3 vế phải của pt(1)
Bài 47: Giải hệ phương trình (THTT2009)
2 2
2 2
3
4 4 7
1
2 3
x ( )
x
y x y
x y
x y

   


  
 
ĐS:
1
0
x
y
 


HD : Biến đổi pt(1) xuất hiện 2
( )x y và pt(2) cuae hệ xuất hiện x-y sau đó đặt
1
,u x y v x y
x y
    

Bài 48:Giải hệ phương trình (THTT 2009)
3 3
8 4
5 5
1
xx y y
x y
   

 
ĐS:
4
4
1 5
2
1 5
2
x
y
  
  


  
 

HD: Từ pt(2)  đk của x,y sau đó xét hàm số f(t)= 3
5t t x y  
Bài 49: Giải hệ phương trình
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
x y
x
x x
y y y


     

    
ĐS:
1
1
x
y
 


HD: Đặt u=x-1, v=y-1 ta được hệ mới với ẩn u,v và lấy pt(1) trừ pt(2), xét hàm số
f(t)= 2
1 3t
t t  
Bài 50: Giải hệ phương trình (Dự bị khối B 2007)
2
3 2
2
23
2
2 9
2
2 9
x
x
x
y
x x y
x
y
y y x
y y

  
 

   
  
ĐS:
0 1
0 1
x x
y y
  
 
  
HD: Cộng 2 vế của 2 pt sau đó đánh giá vế trái xy , vế phải xy

8. Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN
ĐT: 0932333922
Bài 51:Giải hệ phương trình (THTT 2009)
3
3
3 4
2 6 2
xy x
x y y
    

  
ĐS:
2
2
x
y
 


HD: Từ pt(1) biến đổi 2
2 1 2( ) ( )y x x     tương tự pt(2) biến đổi x-2=… Sau đó
biện luận xung quanh số 2
Bài 52: Giải hệ phương trình (THTT 2004)
2
2 1
2
3 2 0log log
x y
x y e e
x
   

   

ĐS:
2 4
2 4
x x
y y
  
 
  
HD: Từ pt(1) biến đổi y x
e y e x   và xét hàm số f(t)= t
e t
Bài 53: Giải hệ phương trình
2
2
1 1
1 3
x y
y x
   

   
ĐS:
3
2
1
2
x
y



 

HD: Đặt cost=x , y=sint
Bài 54: Giải hệ phương trình (THTT 2006)
2 2
3 1 4 2
3
xx y y
x y
    

 
ĐS:
1 2
2 1
x x
y y
   
 
   
HD: Đặt S=x+y, P=xy
Bài 55:P Giải hệ phương trình (THTT 2007)
3 2
3 2
1 2
1 2
( )
( )
x x x y
y y y x
    

   
ĐS:
1 5
1 2
1 1 5
2
x
x
y
y
 
  
 
  

HD: Cách 1: lấy pt(1)-(2) làm xuất hiện nhân tử chung x-y
Cách 2: Đưa về hệ hoán vị vòng quang y=f(x); x=f(y)
Bài 56: Giải hệ phương trình
2 2
2
1 1 1
35
0
121
( )( )x x y y
y
y
x
     


  

ĐS:
5 5
3 4
5 5
3 4
x x
y y
 
   
 
    
 
HD: Ta có : 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1( )( ) va (y+ )( )x x x x y y y           kết hợp
với pt(1) ta được hệ , giải hệ này  y=-x sau đó thay vào pt(2)
Bài 57: Giải hệ pt

9. Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN
ĐT: 0932333922
2 2
5 3
1
125 125 6 15 0
x y
y y
  

  
ĐS:
10 10
5 5
15 15
5 5
x x
y y
 
   
 
 
 
   
HD: Cách 1: Thế x từ pt(2)
3
64 4
5
4 3
5
.
y x  sau đó áp dụng BĐT cauchy cho các số
2 2 2 2 2 2 23 3 3
2 2 2
; ; ; ;x x y y y y x  thay vào pt(1)
Cách2 : Đặt t=
15
5
y  pt ẩn t có nghiệm duy nhất t=1
Bài 58: Giải hệ phương trình
2
4 2
3 9
4 2 3 48 48 155 0
3 3 3 3
2 3 1 2 3 1
1 1
3 2 6 2 3 3 2 6 2 3
2 2
3 6 2 3 6 2
1 1
3 2 6 2 3 3 2 6 2 3
2 2
6 2 3 3 2 6
( x ) x
DS:
( ) ( )
( ) ( )
x y
y y y
x x
y y
x x
y y
x x
y y
  

     
       
 
      
 
        
 
        
 
      
 
       
HD: Cách 1: thế 9-3y từ pt(1) vào pt(2)  pt bậc hai với ẩn 2
4xy 
Bài 59: Giải hệ phương trình
3 2
3 2
2000 0
500 0x
x xy y
y yx
   

  
ĐS:
20 30
0 3
0 10 30
3
x
x
y
y

   
 
 
 
HD: Thế 2 2
x y từ pt(2) 2 2
4x y 
Bài 60: Giải hệ phương trình
2 2
2 2
3
3
3
0
x-y
x
x y
x y
y
x y

 


  
 
ĐS:
2 1
1 1
x x
y y
  
 
   
HD: Đặt z=x+yi , Nhân pt(2) với I rồi cộng 2 vế py(1) với pt(2)  pt bậc 2 ẩn z
Bài 61:Giải hệ phương trình

10. Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN
ĐT: 0932333922
22
1 1 1
1 2 1 21 2
2
1 2 1 2
9
xx
( x) ( )
y y
x y y

 
 


   
ĐS:
9 73 9 73
36 36
9 73 9 73
36 36
x x
y y
  
  
 
 
  
   
HD: Dùng BĐT bunyakovsky cho pt(1) x y 
Bài 62: Giải hệ phương trình(THTT 2010)
2 2
2 2
3
2 1
1
4 22
x
yx y
y
x y
x

   

   

ĐS:
2
14
3 53
1 2
4
53
x
x
y
y

 
   
 
  
 
HD: Đặt 2 2
1 ,
y
x y u v
x
   
Bài 63: Giải hệ phương trình (THTT 2010)
3
4
1 8
1( )
x y x
x y
    

 
ĐS:
2
1
x
y
 


HD: Thế pt(2) vào pt(1) và xét 1 bên là hàm đòng biến , 1 bên là hàm nghịch biến với pt
sau khi thế
Bài 64: Giải hệ phương trình
5 4 10 6
2
4 8 6x+5
x xy y y
y
   

  
ĐS:
1 1
1 1
x x
y y
  
 
   
HD: Chia pt(1) cho 5
x sau đó xét hàm số f(t)= 5
t t
Bài 65: Giải hệ phương trình
3 3
2 2
9
2 4 0
x y
x y x y
  

   
ĐS:
1 1
1 1
x x
y y
  
 
   
HD: Nhân 2 vế của pt(2) với 3 rồi lấy pt(1)-(2)  hằng đẳng thức 3 3
A B
Bài 66: Giải hệ phương trình (ĐH- Khối B2002)
3
2
x y x y
x y x y
   

   
ĐS:
3
1 2
1 1
2
x
x
y
y

  
 
  

HD: Cách 1: pt(1) có nhân tuwr chung 3
x y
Cách 2: Đặt 2t x y    pt(2) là pt bậc hai ẩn t
Bài 67:Giải hệ phương trình(ĐH-Khối D 2002)
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y

  

 

 
ĐS:
0 2
1 4
x x
y y
  
 
  