1. Makalah ini membahas sejarah matematika Georg Cantor, matematikawan Jerman abad ke-19 yang menemukan teori himpunan. 2. Cantor lahir di Rusia pada 1845 dan pindah ke Jerman pada 1856. Ia mendalami matematika di berbagai universitas di Jerman dan mengajar di Berlin sebelum akhirnya mengajar di Universitas Halle. 3. Pada 1873, Cantor memperkenalkan teori himpunan yang kemudian menjadi dasar matematika modern

1. 2014
ALFIANI A. TOOY
11 310 715
VII/C
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Manado

2. SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
1
KATA PENGANTAR
Puji syukur patut dipanjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas penyertaanya penulis telah menyelesaikan makalah Sejarah Matematika ini dengan pembahasan mengenai “ GEORG CANTOR”
penulis menyadari bahwa dalam makalah ini masih terdapat kesalahan dan kekurangan khususnya dalam pengelompokan kalimat, konsep penyusunan makalah, dan juga dalam penyajian materi. Oleh karena itu kami memohon maaf kepada semua pihak yang membaca makalah ini dan kiranya dapat memaklumi kekurangan dan keterbatasan penulis. Tentunya penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang sifatnya membangun intelektual dan juga demi kesempurnaan makalah ini.
Dalam kesempatan ini, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah rela meluangkan waktu untuk memberikan dorongan sekaligus dukungan. Akhirnya, penulis berharap semoga makalah sederhana ini dapat bermanfaat bagi kita semua.
Sekian dan terima kasih
Tondano, September 2014
Alfiani A. Tooy

3. SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
2
DAFTAR ISI
BAB I ( PENDAHULUAN ) 3
BAB II ( ISI )
A. Riwayat Singkat Georg Cantor 4
B. Kisah Hidup Georg Cantor 5
C. Kisah tentang penemuan teori 6
D. Pemikiran Cantor tentang Teori Himpunan 6
E. Materi Teori Himpunan 7-16
BAB III ( PENUTUP )
Hikmah yang bisa dipetik dari Georg Cantor 17
DAFTAR PUSTAKA 18

4. SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
3
BAB I
PENDAHULUAN
Dahulu alam ini kosong dan manusia bukan merupakan elemen dari alam yang terdahulu, tetapi sekarang manusia merupakan bagian dari dunia. Sedangkan dunia serta alam raya merupakan himpunan yang tidak terpisahkan. Dengan adanya teori himpunan ini kita tidak akan salah menempatkan suatu objek ke dalam himpunan. Teori himpunan sendiri tidak hanya bermanfaat di bidang matematika, namun di bidang-bidang yang lain seperti bidang biologi tentang klasifikasi makhluk hidup. Dalam bidang ekonomi pun teori himpunan sangat bermanfaat dalam permintaan dan penawaran. Sebenarnya secara tidak langsung dalam kehidupan sehari-hari kita selalu menggunakan konsep himpunan seperti himpunan buku, motor, binatang, dan lain-lain. Konsep himpunan merupakan suatu konsep yang amat penting dan juga amat mendasar bagi seluruh matematika. Namun banyak diantara kita yang tidak mengetahui siapa pakar yang menemukan teori tersebut.
Sehingga untuk lebih mendalami pengetahuan tentang penemu teori himpunan maka penulis akan membahas tentang GEORG CANTOR sebagai bapak Teori Himpunan itu sendiri.

5. SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
4
BAB II
ISI
A. Riwayat Singkat
Georg Cantor (1845-1918)
adalah seorang matematikawan asal Jerman keturunan Yahudi.
Nama Lengkap Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor Nama Ayah Georg Waldemar Cantor
Nama Ibu
Maria Anna Bohm Lahir St Petersburg, Russia 3 Maret 1845
Tahun 1856
Pindah Ke Jerman Tahun 1860 Lulus sekolah dari Darmstadt
Tahun 1860-1862
Belajar di politeknik di Zurich Than 1862-1863 Belajar di Universitas Zurich
Tahun 1867
Mendapat Gelar Doctor Tahun 1869 Mengajar Teori Bilangan di Berlin
Tahun 1872
Bertemu Richard Dedekind Tahun 1873 Mengajarkan TEORI HIMPUNAN
Tahun 1874
Menikah dengan Valley Guttman. Tahun 1879 Diangkat menjadi guru besar di Helle University
Tahun 1918
( Wafat ) Halle, Jerman 6 Januari

6. SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
5
B. Kisah Hidup Georg Cantor Ayah Georg Cantor adalah saudagar kaya-raya dari agama Protestan dan ibunya berasal dari keluarga pemusik dan beragama Katolik. Ayahnya seorang pedagang yang berhasil, bekerja sebagai agen wholesaling di jalan Petersburg, kelak sebagai makelar pasar bursa di jalan Petersburg. Georg Waldemar Cantor lahir di Denmark dan dia seorang pria yang sangat cinta pada budaya dan seni. Ibu Georg, adalah orang Rusia yang sangat tertarik pada musik. Setelah pendidikan awal di rumah dari guru pribadi, Cantor bersekolah di sekolah dasar di jalan Petersburg, kemudian pada tahun 1856, ketika berusia sebelas tahun keluarganya pindah ke Jerman.
Pada mulanya mereka hidup di Wiesbaden, kemudian mereka pindah ke Frankfurt. Cantor belajar di Darmstadt dan lulus pada tahun 1860, dengan keahlian luar biasa di bidang matematika, khususnya trigonometri. Setelah dari Darmstadt dia masuk politeknik di Zurich hingga tahun1862. Pada tahun 1862 Cantor meminta izin sang ayah untuk belajar matematika di universitas dan dia sangat gembira ketika akhirnya sang ayah menyetujuinya. Tetapi karena kematian sang ayah pada Bulan Juni 1863 dia mengakhiri belajarnya di Zurich. Cantor akhirnya pindah ke universitas Berlin dimana dia berteman dengan Hermann Schwarz. Setelah menerima gelar doktor pada tahun 1867, Pada tahun 1869 dia menyajikan tesisnya tentang teori bilangan. Cantor mengajar di Berlin di Universitas Halle sampai akhir hidupnya. Mula-mula ia hanya digaji sebagai dosen tak tetap. Pada umur 27 tahun (1872) ia diangkat jadi guru besar pembantu. Cantor kawin pada umur 29 tahun di Interlaken, Swiss, dengan Valley Guttman. Baru pada umur 34 tahun (1879) ia diangkat jadi guru besar tetap. Meskipun gajinya kecil, ia dapat membangun rumah untuk istri karena mendapat warisan dari ayahnya.
C. Kisah Tentang Penemuan Teori
Teori himpunan merupakan dasar matematika yang tepat. Sekitar tahun 1867 dan 1871, Cantor menerbitkan sejumlah artikel tentang topik teori bilangan. Suatu kejadian yang sangat penting terjadi sekitar tahun 1872 ketika Cantor melakukan perjalanan ke Swiss. Cantor bertemu Richard Dedekind yang kemudian tumbuh persahabatan di antara merekaCantor pindah dari teori bilangan ke karya seri trigonometri. karya ini berisi ide-ide Cantor tentang teori himpunan dan juga tentang bilangan irrasional.

7. SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
6
Pada tahun 1873 pada umur 28 tahun, Cantor mengumumkan teorinya.Selama 10 tahun ia terus-menerus menyebarluaskan teorinya dalam tulisan- tulisannya. Teori himpunan dan Konsep Bilangan Transfinit-nya menggemparkan dunia matematika. Tapi penemuannya itu tidak menguntungkan Cantor. Ia mendapat tantangan hebat dari ahli-ahli matematika pada waktu itu, terutama dari bekas gurunya, ialah Kronecker. Ia merasa lebih berjasa. Ia merasa telah bekerja keras. Ia merasa telah menemukan teori matematika yang besar. Ia mengharapkan penghargaan. Ia menginginkan pengakuan. Tapi apa yang ia terima malah dampratan, kecaman pedas, dan penghinaan. Ia sama sekali tidak menduga akan mendapat sambutan semacam itu. Ia sangat terkejut.
Sekitar tahun 1874, Cantor menerbitkan artikel di jurnal Crelle yang mana menandai kelahiran teori himpunan. Karya delanjutnya diserahkan oleh Cantor ke jurnal Crelle pada tahun 1878 tetapi menjadi kontroversi. Kronecker yang berada di redaksi Jurnal Crelle tidak suka dengan karya Cantor, yang mana membuat Cantor ingin menariknya kembali namun Dedekind membujuknya untuk tidak menarik karya tersebut dan Weierstrass mendukung publikasi. Akhirnya karya tersebut diterbitkan, namun karya yang selanjutnya tidak diserahkan ke Jurnal Crelle.
D. Pemikiran Cantor tentang Teori Himpunan
Georg Cantor memberikan suatu contoh tentang berbagai himpunan bagian dari garis riil dengan sifat yang tidak wajar yaitu himpunan Cantor. Dalam perkembangannya himpunan ini sering digunakan sebagai contoh penyangkal (counter example), karena sifat- sifatnya yang tak wajar tersebut merupakan akibat dari penggabungan teori himpunan, topologi dan fraktal. Himpunan ini mempunyai sifat-sifat yang unik dan secara topologis dianggap tak berdimensi. Himpunan Cantor, dikonstruksikan sebagai bentuk di mana selang terbuka yang pendek dan semakin pendek tersebar pada selang dasar [ 0,1 ] menyisakan himpunan yang mungkin serupa dirinya, dan mungkin mempunyai suatu dimensi s yang memenuhi 0 < s < 1. Dalam usahanya untuk memahami dimensi himpunan Cantor, matematikawan seperti Constantin Carathéodory dan Felix Hausdorff menggeneralisasi konsep dimensi untuk menyelidiki bahwa dimensi yang ada mungkin nilainya adalah non integer. Hal ini merupakan bagian dari perkembangan yang bertujuan menciptakan teori himpunan deskriptif. Dimensi Hausdorff ini diperkenalkan tahun 1918 oleh matematikawan Felix Hausdorff.

8. SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
7
E. Materi Teori Himpunan Dalam upaya untuk melakukan pengamatan, pengumpulan, penghimpunan, atau pemisahan (mengklasifikasikan) dari suatu obyek-obyek menurut sifatnya. Perlu adanya pengertian tentang himpunan. Menghimpun adalah suatu kegiatan yang berhubungan dengan berbagai obyek dan mempunyai suatu sifat yang dimiliki bersama. Jadi himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas. Kumpulan itu dapat berupa daftar, koleksi atau kelas. Sedangkan obyek-obyek dalam kumpulan itu dapat berupa benda konkrit atau benda abstrak, seperti: bilangan, abjad, orang, sungai, negara. Obyek-obyek ini di sebut anggota, unsur atau elemen dari himpunan tersebut. Karena obyek-obyek dalam himpunan telah didefinisikan dengan jelas , sehingga kita dapat membedakan obyek yang menjadi anggota himpunan dan yang bukan menjadi anggota himpunan. Contoh : 1. Himpunan bilangan 1, 2, dan 3. 2. Himpunan vokal a, i, e, o, u. 3. Himpunan semua huruf dari abjad, yaitu a, i, u, e, o 4. Himpunan negara-negara asia tenggara. 5. Himpunan penyelesaian persamaan x2 – 2 x – 3 =0 6. Himpunan manusia yang hidup di bumi.
1. Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

9. SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
8
2. Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi: { x  syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh
(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau
A = { x | x  P, x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}
3. Diagram Venn
Contoh
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
U
1 2
5
3 6
8
4
7
A B
4. Himpunan Kosong
 Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
 Notasi :  atau {}
Contoh
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0
 himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}
 himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}}
 {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

10. SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
9
5. Himpunan Bagian (Subset)
 Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap
elemen A merupakan elemen dari B.
 Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
 Notasi: A  B
 Diagram Venn:
U
A
B
Contoh
(i) { 1, 2, 3}  {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3}  {1, 2, 3}
(iii) N  Z  R  C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x , y  0 } dan
B = { (x, y) | 2x + y < 4, x  0 dan y  0 }, maka B  A.
   A dan A  A, maka  dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya
(improper subset) dari himpunan A.
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan  adalah improper subset dari A.
TEOREMA 1
Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).
(c) Jika A  B dan B  C, maka A  C

11. SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
10
 A  B berbeda dengan A  B
 A  B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A  B.
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}
 A  B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.
6. Himpunan yang Sama
 A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
 A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A  B.
 Notasi : A = B  A  B dan B  .
Contoh
(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A  B
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B, dan C = C
(b) jika A = B, maka B = A
(c) jika A = B dan B = C, maka A = C
7. Himpunan yang Ekivalen
 Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
 Notasi : A ~ B  A = B
Contoh
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4
8. Himpunan Saling Lepas
 Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

12. SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
11
 Notasi : A // B
 Diagram Venn:
U
A B
Contoh
Jika A = { x | x  P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
9. Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya
merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A
sendiri.
 Notasi : P(A) atau 2A
 Jika A = m, maka P(A) = 2m.
Contoh
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa dari
himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.
10. Operasi Terhadap Himpunan
a. Irisan (intersection)
Notasi : A  B = { x  x  A dan x  B }

13. SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
12
Contoh
 Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A  B = {4, 10}
 Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A  B = . Artinya: A // B
b. Gabungan (union)
Notasi : A  B = { x  x  A atau x  B }
Contoh
 Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A  B = { 2, 5, 7, 8, 22 }
 A   = A
c. Komplemen (complement)
Notasi : A = { x  x  U, x  A }
Contoh
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
 jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8}
 jika A = { x | x/2  P, x < 9 }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 }

14. SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
13
Contoh
Misalkan:
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil impor
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu.
(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar
negeri”  (E  A)  (E  B) atau E  (A  B)
(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai
jualnya kurang dari Rp 100 juta”  A  C  D
(iii)“semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp
100 juta”  C DB
d. Selisih (difference)
Notasi : A – B = { x  x  A dan x  B } = A  B
Contoh
(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 },
maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = 
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

15. SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
14
e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Notasi: A  B = (A  B) – (A  B) = (A – B)  (B – A)
Contoh
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A  B = { 3, 4, 5, 6 }
Contoh
Misalkan
U = himpunan mahasiswa
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80
Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
Soal
Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.
(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P  Q
(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P  Q
(iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P  Q)
f. Perkalian Kartesian (cartesian product)
Notasi: A  B = {(a, b)  a  A dan b  B }
Contoh
(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka C  D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A  B = himpunan semua titik di bidang datar
Catatan:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A  B = A . B.
TEOREMA 2.
Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A  B = B  A (hukum komutatif)
(b) (A  B )  C = A  (B  C ) (hukum asosiatif)

16. SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
15
2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b)  (b, a).
3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A  B  B  A dengan syarat A atau B tidak kosong. Pada Contoh 20(i) di atas, D  C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }  C  D.
4. Jika A =  atau B = , maka A  B = B  A = 
Contoh
Misalkan
A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }
B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?
Jawab:
A  B = AB = 4  3 = 12 kombinasi dan minuman,
yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}. Contoh
Daftarkan semua anggota himpunan berikut:
(a) P() (b)   P() (c) {} P() (d) P(P({3}))
Penyelesaian:
(a) P() = {}
(b)   P() =  (ket: jika A =  atau B =  maka A  B = )
(c) {} P() = {} {} = {(,))
(d) P(P({3})) = P({ , {3} }) = {, {}, {{3}}, {, {3}} }
g. Himpunan Ganda
 Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).
Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.
 Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.
 Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.

17. SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
16
 Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan
padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset
semua berbeda.
h. Hukum-hukum Himpunan
1. Hukum identitas:
 A   = A
 A  U = A
2. Hukum null/dominasi:
 A   = 
 A  U = U
3. Hukum komplemen:
 A  A = U
 A  A = 
4. Hukum idempoten:
 A  A = A
 A  A = A
5. Hukum involusi:
 (A)= A
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
 A  (A  B) = A
 A  (A  B) = A
7. Hukum komutatif:
 A  B = B  A
 A  B = B  A
8. Hukum asosiatif:
 A  (B  C) = (A  B)  C
 A  (B  C) = (A  B)  C
9. Hukum distributif:
 A  (B  C) = (A  B) 
(A  C)
 A  (B  C) = (A  B) 
(A  C)
10. Hukum De Morgan:
 AB = AB
 AB = AB
11. Hukum 0/1
  = U
 U = 

18. SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
17
BAB III
KESIMPULAN
Beberapa hikmah yang mungkin bisa kita petik dari Georg Cantor sebagai beikut :
1. Barangsiapa yang bersungguh-sungguh untuk mencapai apa ayng diinginkan, maka ia akan mendapatkan apa yang diinginkan
2. Salah satu ciri orang yang cerdas dan kreatif adalah selalu mempertanyakan segala sesuatu yang ada disekitarnya. Misalnya, mengapa ada kelompok- kelompok hewan? Mengapa ada kelompok tumbuhan? Mengapa ada pembagian wilayah waktu? Mengapa ada hewan yang hidupnya diair tawar dan diair laut? Mengapa ada pengelompokan kelas disekolah dll.
3. Kita harus selalu bersyukur atas semua nikmat apapn yang diberikan Tuhan kepada kita. Nikmat hidup, nikmat dapat melihat, nikmat dapat mendengar, nikmat rezeki dan banyak lagi lainnya.
4. Hidup didunia ini memang untuk memecahkan masalah dan hambatan. Setiap manusia pastilah mempunyai masalah yang membuat hidupnya. Kadangkala senang dan kadangkala susah. Jika seseorang mampu melewati dan memecahkan masalah dan hambatan yang dihadapinya dengan baik dan sabar, maka ia termasuk orang yang mensyukuri nikmat Tuhan.

19. SEJARAH MATEMATIKA “GEORG CANTOR”
18
DAFTAR PUSTAKA
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.2014. Matematika: buku guru /
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Edisi Revisi. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
http://eprints.undip.ac.id/36043/3/4_pendahuluan.pdf
(diakses tanggal 20 agustus 2014 pukul 08.30 )
http://www.biografi-tokoh.com/2013/05/biografi-georg-cantor-penemu-teori.html
(diakses tanggal 20 agustus 2014 pukul 18.00 )
http://id.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
(diakses tanggal 21 agustus 2014 pukul 09.00 )
http://belajarmenyukaimatematika.blogspot.com/2012/05/georg-ferdinand-ludwig-
philipp-cantor.html
(diakses tanggal 21 agustus 2014 pukul 18.00 )
http://vita-sd.blogspot.com/2012/05/tugas-sejarah-matematika-ke-8.html
(diakses tanggal 21 agustus 2014 pukul 18.30 )