Tugas makalah matematika dasar

1. 1
MAKALAH
“MATEMATIKA INTEGRAL”
DISUSUN OLEH:
Kelompok 6 (Anggotanya)
1. NURUL FITRIA WAHYUNIDA (230605014)
2. YULIATIN NISA’ (230605021)
3. IHWAN MAULANA (230605006)
PROGRAM STUDI TEKNIK LINGKUNGAN
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS HAMZANWADI 2024

2. 2
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmatnya
kepada penyusun untuk dapat menyelesaikan tugas makalah “MATEMATIKA
INTEGRAL” .
Tujuan penyusun laporan ini adalah untuk memenuhi tugas mata kuliah
Matematika Dasar.
Dalam penyusunan makalah ini kami berterima kasih kepada teman-teman
yang terkait yang telah memberikan informasi yang berguna bagi saya dan
kelompok untuk mempelancar dalan pembuatan makalah ini.
Saya berharap dengan disusunnya makalah ini dapat memberikan
pengetahuan bagi para pembacanya. Saya menyadari bahwa makalah ini masih jauh
dari kata sempurna, oleh karena itu kritik serta saran dari semua pembaca kami
harapkan untuk mengharapkan kesempurnaan tugas ini.
Selong, 2 Januari, 2024
penulis

3. 3
DAFTAR ISI
COVER ...................................................................................................1
KATA PENGANTAR ............................................................................2
DAFTAR ISI...........................................................................................3
BAB Ⅰ PENDAHULUAN.......................................................................
1.1 Latar belakang.......................................................................4
1.2 Rumusan masalah..................................................................4
1.3 Tujuan ...................................................................................5
BAB Ⅱ.....................................................................................................
2.1 Pembahasan.......................................................................................6
BAB Ⅲ....................................................................................................
3.1 Kesimpulan ...........................................................................15
3.2 Saran......................................................................................15
DAFTAR PUSTAKA .............................................................................16

4. 4
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk
menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan,
integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan,
sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu
mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya.
Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi,
dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat
dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus
integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran
kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang
lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum
dinamakan analisis matematika.
Karena kalkulus ini mempunyai dua cabang utama, tapi disini saya
ingin membahas tentang kalkulus integralnya. Seperti yang kita ketahui
bahwa kalkulus integral juga memiliki banyak aplikasi, baik dalam kehidupan
sehari-hari, maupun dalam bidang sosial ekonomi pertanian.
Namun disini saya tertarik untuk membahas tentang integral dalam
bidang sosial ekonomi pertanian.
1.2 Rumusan Masalah
1. Bagaimana sejarah integral?
2. Apa pengertian integral?
3. Macam-macam integral?
4. Bagaimana kaidah-kaidah dalam operasi integral?
5. Contoh penerapan integral di Bidang Sosial Ekonomi Pertanian

5. 5
1.3 Tujuan
1. Mengetahui sejarah penemuan integral
2. Mengetahui makna dari integral serta cara penyelesaian soal-soal integral
3. Mengetahui macam-macam integral beserta pengertiannya dan cara
penyelesaian soalnya
4. Mengetahui contoh-contoh penerapan Integral dalam kehidupan sehari-
hari terutama di bidang Sosial ekonomi pertanian

6. 6
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Sejarah Integral
Sebelum membahas tentang integral maka kita harus mengenal sejarah
perkembangannya terlebih dahulu. Mengenai sejarah integral tak akan pernah kita
lepas dari kalkulus, maka perlu kita membahas tentang sejarah perkembangan
kalkulus.
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman,
yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman
kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak
dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang
merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus
Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida
terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan
menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.
Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan
konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi
dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar
Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang
mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal
dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham
(Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil
jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia
mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat
integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad
ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik,
sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava,
bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika
Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks
Yuktibhasa.

7. 7
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di
Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa
matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam
kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar
kalkulus pada tahun 1668.
Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja
Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai
kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.
Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai
sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu
kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton
mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz
mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.
Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama
kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas
untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil
kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya.
Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak
dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari
Royal Society.
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja
secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan.
Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan
kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu
cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The
science of fluxions".
Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di
Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus
modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried

8. 8
Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka
kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.
Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan
percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus
integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan
tekana. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.
Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci
mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan
filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan
nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno
memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus
memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian
berhasil memecahkan paradoks tersebut.
Beberapa ilmuwan yang telah memberikan sumbangan terhadap penemuan
dan pengembangan metode matematika hitung integral ini, di antaranya adalah :
1. Archimedes (287-212 SM)
Archimedes seorang fisikawan sekaligus matematikawan dari Syracuse,
Yunani. Pada abad kedua sebelum masehi, Archimedes talah menemukan ide
penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup dan volume dari
benda putar. Diantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen parabola, volume
bola, volume kerucut, serta volume benda putar yang lain. Ide penjumlahan ini
merupakan salah satu konsep dasar dari Kalkulus Integral.
2. Isaac Newton (1642-1727 M)
Isaac Newton seorang matematikawan sekaligus fisikawan dari Inggris.
Isaac Newton dan Gottfried wilhelm Leibniz dalam kurun waktu yang hampir
bersamaan, meskipun bekerja sendiri-sendiri, telah menemukan hubungan
antara Kalkulus Differansial dan Kalkulus Integral. Walaupun konsep luas
daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup (integral tertentu) telah lebih dahulu
diketahui, tetapi I Newton dan Leibniz merupakan dua tokoh terkemuka dalam
sejarah Kalkulus. Sebab, mereka mampu mengungkapkan hubungan yang erat

9. 9
antara antiderivatif dengan intagral tertentu. Hubungan ini dikenal dengan
Teorema Dasar Kalkulus.
3. Gottfried wilhelm Leibniz (1646-1716 M)
Gottfried wilhelm Leibniz seorang ilmuwan jenius dari Leipzig, Jerman.
Leibniz seorang ilmuwan serba-bisa. Ia mendalami bidang hukum, agama,
filsafat, sejarah, politik, geologi, dan matematika. Selain Teorema Dasar
Kalkulus yang dikembangkan bersama Newton, Leibniz juga terkenal dengan
pemakaian lambang matematika. Lambang dx/dy bagi turunan dan lambang ∫
bagi integral merupakan lambang-lambang yang diusulkan oleh Leibniz dalam
Hitung Differensial dan Hitung Integral.
4. George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866 M)
George Friedrich Bernhard Riemann seorang matematikawan dari
Gottingen, Jerman. Meskipun Teorema Dasar Kalkulus telah dikemukakan oleh
Newton, namun Riemann memberi definisi mutakhir tentang integral tentu. Atas
sumbangannya inilah integral tentu sering disebut sebagai Integral Riemann.
2.2 Materi Integral
Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral yaitu
integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral).
Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang
berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau
derivativ dari fungsinya diketahui. Sedangkan integral tertentu merupakan suatu
konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batas-batas
atau limit dari area tersebut sudah tertentu.
1. Integral Tak Tentu
a. Pengertian
Integral tak tentu dalam bahasa Inggris di kenal dengan nama
Indefinite Integral atau kadang juga di sebut dengan Antiderivatif yang
merupakan suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang
menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti

10. 10
(berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi
tak tentu ini disebut “integral tak tentu”.
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari
integral atau turunan-antinya, yaitu F(x).
Bentuk umum integral dari f(x) adalah:
∫ f(x) = F(x) +k
Di mana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertentu. Dalam
rumusan di atas, tanda ∫ adalah tanda integral, f(x) dx adalah diferensial dari
F(x).f(x) sendirian disebut integran, dx sendirian disebut diferensial, F(x)
adalah integral partikular, k adalah konstanta pengintegralan, dan F(x) + k
merupakan fungsi asli atau fungsi asal. Proses pengintegralan disebut juga
integrasi.
Rumus umum integral
b. Rumus Umum Integral
c. Kaidah-Kaidah Integrasi Taktentu
1. Kaidah Formula Berpangkat
2. Kaidah Formula Logaritmis

11. 11
3. Kaidah Perkalian
4. Kaidah Penjumlahan
2. Integral Tentu
Integral tentu digunakan untuk mengintegralkan suatu fungsi f(x) tertentu
yang memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tentu mempunyai rumus
umum:
Keterangan:konstanta c tidak lagi dituliskan dalam integral tentu.
3. Integral Trigonometri


12. 12














4. Sifat-sifat Trigonometri

13. 13
2.3 Penerapan Konsep Integral di Bidang Sosial Ekonomi Pertanian
a. Mencari fungsi biaya
Biaya total : C = f(Q)
Biaya marginal : MC = C’= dc/dq = f’(Q)
Biaya total tak lain adalah integraldari biaya marjinal
C = ∫ MC dQ = ∫ f(Q) dQ
b. Mencari fungsi penerimaan
Penerimaan total : R = f(Q)
Penerimaan marginal. : MR = R’ = dr/dQ = f(Q)
Penerimaan total tak lain adalah integral dari penerimaan marginal
R = ∫ MR dQ = ∫f(Q) dQ
c. Mencari Fungsi Utilitas
Utilitas total : U = f(Q)
Utilitas marginal. : MU = U’ = dr/dQ = f(Q)
Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marginal
U = ∫ MU dQ = ∫f(Q) dQ
d. Mencari fungsi produksi

14. 14
Produk total : P = f(X) di mana,
P = keluaran, X = masukan
Produk marginal: MP = P’ = dP/dX = f(X)
Produk total tak lain adalah integral dari produk marginal
P = ∫ MP dx = ∫f(X) dX
e. Mencari fungsi konsumsi dari fungsi tabungan
Dalam ekonomi makro, konsumsi(C) dan tabungan (S) dinyatakan
fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).
C = f (Y) = a+bY
MPC = C’ = dC/dY =f’(Y) = b
Karena Y = C + S, maka
IS = g(Y) = -a + (1 – b) Y
MPS = S’ = dS/dY = g’(Y) = (1 – b)
Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi dan tabungan masing-masing
adalah integral dari marginal prepensity to consume dan marginal
propensity to save.
C = ∫ MPC dY = F(Y) + k, k=a
S = ∫ MPS dY = G(Y) + k, k=-a
f. Fungsi kapital dari fungsi investasi.
g. Mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya).
h. Rumus integral tentu untuk mencari surplus konsumen
Cs = ∫0
Qe
f (Q) d Q - QePe
i. Rumus integral tentu untuk mencari surplus produsen
Ps = QePe - ∫0
Qe
f (Q) d Q

15. 15
BAB Ⅲ
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Dari makalah diatas dapat kita ambil kesimpulan bahwa kalkulus
mempunyai cabang utama yaitu kalkulus differensial, dan kalkulus integral.
Sedangkan kalkulus integral terbagi atas dua macam lagi yaitu integral
tertentu dan integral tak tentu. Integral mempunyai banyak aplikasi baik
dalam kehidupan sehari, maupun dalam bidang sosial ekonomi pertanian.
Seperti yang dibahas dalam makalah ini ternyata integral memiliki
aplikasi dalam bidang sosial ekonomi yaitu untuk mencari fungsi asal dari
fungsi marginalnya (fungsi turunannya), mencari fungsi biaya total, mencari
fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal, mencari fungsi
konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, mencari fungsi tabungan dari
fungsi tabungan marginal dan mencari fungsi kapital dari fungsi investasi.
.
3.2 Saran
Semoga penulis dan pembaca dapat mengetahui dan memahami
materi integral ini terutama pengaplikasiannya di bidang sosial ekonomi.
Jika ada kesalahan dalam penulisan makalah ini penulis mengharapkan
kritikan atau saran dari pembaca.

16. 16
DAFTAR PUSTAKA
https://tugaspti140110100033.wordpress.com/2010/12/08/latar-belakang-
sejarah-integral/[18November2015]
https://sejarahmatematika1.blogspot.co.id/2015/04/sejarah-penemuan-
integral.html[18November2015]
http://ceritabaru2012.blogspot.co.id/2014/06/makalahintegral.html[18Novem
ber2015]
http://ke15-
pmt2011.blogspot.co.id/2013/06/makalahintegral.httml[18November2015]