Dokumen tersebut berisi 10 soal integrasi kontur dengan berbagai fungsi dan lingkaran integrasi. Secara umum, soal-soal tersebut menggunakan rumus integral Cauchy untuk mengintegralkan fungsi-fungsi tertentu di sekitar lingkaran yang ditentukan, dengan mempertimbangkan posisi kutub dan lingkaran integrasi.

1. Problem Set 14.3 – AEM
1–4
Integrasikan ( z 2−4 )/( z 2+4 ) berlawanan arah jarum jam dengan lingkaran:
1. ∣z−i∣=2
2. ∣z−1∣=2
3. ∣z+ j3∣=2
4. ∣z∣=π /2
Jawab:
Persamaan f(z) didefinisikan sebagai berikut:
(z 2−4) ( z2 −4)
f ( z)= 2 =
z +4 ( z+ j2)( z− j2)
Sedangkan rumus integral tertutup:
f (z )
∮ z −z = j2 π f ( z 0)
C 0
1. Untuk lingkaran ∣z−i∣=2 memiliki jari-jari sebesar 2 dengan titik pusat pada j. Maka,
nilai f(z) tidak analitik pada z = -j2. Sehingga:
( z 2−4 ) ( z 2−4 ) 1
f (z)= =
( z+ j2)( z− j2) (z− j2) ( z+ j2)
2
z −4
f ( z)= (Pole -j2 diluar lingkaran, hasil integrasi = 0)
z− j2
(z 2−4)
[ ]
∮ z 2+4 = j2 π f (− j2)= j2π z− j2
C
z 2−4
z=− j2
Substitusikan nilai -j2 ke f(z), maka

2. j2 π [ − j2− j2]
(− j2 )2−4
= j2 π
−4−4
− j4
=j2π
−8
− j4
=4 π
2. Untuk lingkaran ∣z−1∣=2 memiliki jari-jari sebesar 2 dengan titik pusat pada 1. Maka,
nilai f(z) tidak analitik pada z = -j2 dan j2. Hal ini dikarenakan titik j2 dan -j2 berada
diluar lingkaran integrasi. Sehingga:
(z 2−4)
∮ z 2+4 =0
C

3. 3. Untuk lingkaran ∣z+3i∣=2 memiliki jari-jari sebesar 2 dengan titik pusat pada -3j.
Gambar didapatkan sebagai berikut:
Perlu diperhatikan bahwa persamaan tersebut tidak analitik pada z = 2j. Sehingga,
persamaan didapatkan sebagai berikut:
( z 2−4 ) ( z 2−4 ) 1
f (z)= =
( z + j2)( z− j2 ) (z+ j2) ( z− j2 )
z 2−4
f ( z)= (Pole j2 diluar lingkaran, hasil integrasi 0)
z+ j2
Sehingga:
2
[ ]
2
(z −4) z −4
∮ z 2+4 = j2 π f ( j2)= j2 π z + j2
C z = j2
j2 π [ ] [
( j2)2−4
j2+ j2
= j2 π
j4]
−4−4
[ ]
= j2 π
−8
j4
=−4 π

4. 4. Pada lingkaran ∣z∣=π /2 maka, terdapat gambar sebagai berikut:
Sama seperti no. 2, kedua pole terletak diluar lingkaran integrasi. Sehingga,
(z 2−4)
∮ z2+4 =0
C
5 – 10
Dengan menggunakan rumus integral Cauchy, integrasikan persamaan berikut berlawanan
arah jarum jam.
z +2
5. ∮ z−2 dz , C :∣z−1∣=2
C
Jawab:
Didapatkan sebuah lingkaran sebagai berikut:
Pole bisa diintegrasikan, sehingga:
f (z)
∮ z −z dz=∮ z+2 dz= j 2π f (z 0 )
C 0 C z−2
j 2 π [ z+2 ] z=2= j∗2∗pi(2+2)= j8 π

5. 3z
e
6. ∮ 3z−i dz , C :∣z∣=1
C
Jawab:
Persamaan diatas memiliki kontur garis serta posisi z 0 sebagai berikut:
Sehingga:
3z
e
3z
f (z) e 3
∮ z −z dz=∮
3z− j
dz=∮
j
dz= j 2 π f ( z 0)
0
C C C
z−
3
j
3
j2π
3[ ]
e3z
z=
j
3
= j 2 π(
e 3
3
)=
j2πej 2
3
= j π[cos (1)+ j sin(1)]≃−1.76237+ j1.13161
3

6. sinh(π z )
7. ∮ z 2−3z
dz ,C :∣z∣=1
C
Jawab:
Persamaan diatas disederhanakan sebagai berikut:
C
sinh(π z )
∮ z 2−3z dz=∮
C
sinh( π z )
3
z( z− )
dz=∮ [
C 3 z−3
−
z]
1 sinh(π z) sinh(π z )
2
= ∮
1
[ sinh(π z )
3 C z−3
dz−∮
C z ]
sinh( π z)
dz
Sehingga, pada grafik lingkaran, posisi pole sebagai berikut:
Pole z = 3 tidak termasuk dalam kurva C sehingga, hasil integrasinya adalah 0.
Sedangkan, untuk z = 0 termasuk dalam lingkaran sehingga hasil integrasinya adalah
j2πf(z0). Sehingga:
1
3[ 0−∮
C z]
sinh (π z)
dz
1 j2 π
( j2 π f ( z 0 ))= ( sinh (π(0)) )=0
3 3

7. dz
8. ∮ z 2−1 , C :∣z−1∣=π /2
C
Jawab:
Persamaan tersebut dapat disederhanakan sebagai berikut (pecahan parsial):
∮ 2dz =∮ z−1 z+1 dz =∮ z−1 − z+1 dz
1 1
(1/2 1 /2
)
C z −1 C C
1 1 1
C
(
2 ∮ z−1
dz−∮
C
z+1
dz
)
Pada grafik, posisi-posisi dari z0 adalah:
Untuk z0 = -1 akan memiliki hasil integrasi 0 (karena diluar kurva C). Sedangkan untuk
z0 = 1 terdapat didalam kurva dan hasil integrasinya j2πf(z0) sehingga:
f ( z)=1 ; f (z 0)=1
1
2
( j2 π f (z 0)−0 ) = j π ( 1 )= j π

8. dz
9. ∮ z 2−1 , C :∣z+1∣=1
C
Jawab:
Persamaan diatas sama dengan no.8 namun memiliki C yang berbeda, sehingga
penyederhanaan persamaan adalah:
∮ 2dz =∮ z−1 z+1 dz =∮ z−1 − z+1 dz
1 1 1/2 1 /2
( )
C z −1 C C
1 1 1
C
(
2 ∮ z−1
dz−∮
C
z+1
dz
)
dengan kurva C:
Kali ini z0 = -1 hasil integrasinya j2πf(z0) (didalam kurva). Sedangkan untuk z0 = 1 hasil
integrasinya 0 sehingga:
1 − j2 π
2
( 0− j2 π f ( z 0) ) = 2 (1)=− j π

9. ez
10. ∮ dz , C :∣z − j2∣=4
C z − j2
Jawab:
Berdasarkan persamaan diatas, diketahui nilai z 0 = j2 dan f (z)=e z . Dengan melihat
gambar, diketahui bahwa z0 terdapat didalam kurva C sehingga, hasil integrasinya
adalah j2πf(z0).
Maka:
j2
j2 π f ( z 0)= j2 π(e )= j2 π ( cos (2)+ jsin(2) ) ≃−5.71328− j2.61473