นายพุฒิพงศ์ วันภูงา 563050119-7

1. 28 1
THEORY
ทฤษฏี
ของสามเหลี่ยม
โดย
นายพุฒิพงศ์ วันภูงา
563050119-7

2. 2
คานา
หนังสือเล่มนี้ เป็นส่วนหนึ่งของภาควิชาคอมพิวเตอร์และ เทคโนโลยี ที่ผู้เขียนได้รวบรวมเอาเนื้อหาที่เกี่ยวกับทฤษฏี พื้นฐานของสามเหลี่ยมไว้ และผู้เขียนหวังว่าจะเป็นประโยชน์ สาหรับผู้ที่สนใจเกี่ยวกับเรื่องนี้เป็นอย่างยิ่ง
ข้าพเจ้าขอขอบพระคุณ ทุกๆท่านที่ได้ให้ความช่วยเหลือ ให้ คาแนะนา และรวบรวมข้อมูล ในการทาหนังสือเล่นนี้ เป็นอย่าง ยิ่ง ถ้ามีข้อผิดพลาดประการใดก็ขออภัยไว้ ณ ที่นี้
นายพุฒิพงศ์ วันภูงา
ผู้เขียน 27

3. 26
5. รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ
 รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ หมายถึงรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้ถูก วาดขึ้นบนพื้นผิวที่แบนราบ ตัวอย่างรูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บน ระนาบเช่น รูปสามเหลี่ยมบนทรงกลมในเรขาคณิตทรงกลม และ รูปสามเหลี่ยมเชิงไฮเพอร์โบลาในเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา ซึ่ง ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของเรขาคณิตแบบยุคลิด
 ในขณะที่รูปสามเหลี่ยมธรรมดา (สองมิติ) มุมภายในรูป สามเหลี่ยมจะรวมกันได้ 180° แต่รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ มุมภายในอาจรวมกันได้มากกว่าหรือน้อยกว่านั้น บนพื้นผิวที่มี ความโค้งเป็นลบ (บุ๋มลงไป) จะบวกกันได้น้อยกว่า 180° และบน พื้นผิวที่มีความโค้งเป็นบวก (นูนขึ้นมา) จะบวกกันได้มากกว่า 180° นั่นหมายความว่า ถ้าเราวาดรูปสามเหลี่ยมขนาดใหญ่มาก บนพื้นผิวโลก มุมภายในจะรวมกันได้มากกว่า 180° 3
สารบัญ
บทที่ หน้า
คานา 2
สารบัญ 3
1. เราเรียกมันว่าอะไร 4
1.1 แบ่งตามความยาวของด้าน 6
1.2 แบ่งตามมุม 7
2. รู้ไว้ใช่ว่า ใสบ่าฝึกฝน 8
3. จุด เส้นตรง วงกลม สามเหลี่ยม 12
4. พื้นที่ 5 แบบ 16
4.1 สูตรทั่วไป 18
4.2 ใช้เวกเตอร์ 19
4.3 ใช้พิกัด 20
4.4 ใช้สูตรของเฮรอน 21
4.5 ใช้ตรีโกณมิติ 22
5. รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ 24

4. 4
บทที่ 1
เราเรียกมันว่าอะไร 25
รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บน ระนาบ

5. 24
บทที่ 5
รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ 5
ประเภทของรูปสามเหลี่ยม
แบ่งตามความยาวของด้าน
แบ่งตามมุมภายใน

6. 6
1. เราเรียกมันว่าอะไร?
การเรียกชื่อหรือประเภทของสามเหลี่ยม จะถูก
1.1 แบ่งตามความยาวของด้าน
รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (isosceles) มี
รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า (scalene)
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (equilateral) 23

7. 22
ใช้ตรีโกณมิติหาส่วนสูง h
4.5 ใช้ตรีโกณมิติ
 ส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยมหาได้ด้วยตรีโกณมิติ จากรูปทางซ้าย ส่วนสูงจะเท่ากับ h = a sin γ นาไปแทนในสูตร S = ½bh ที่ได้ จากข้างต้น พื้นที่ของรูป สามเหลี่ยมจึงแสดงได้เป็น
 นอกจากนั้น เมื่อ sin α = sin (π - α) = sin (β + γ) และเป็น เช่นนี้เหมือนกันกับอีกสองมุมที่เหลือ จะได้สูตร 7
1.2 แบ่งตามมุม
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (right, right- angled, rectangled) มีมุมภายในมุม
รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน (obtuse) มี
รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม (acute) มุม

8. 8
บทที่ 2
รู้ไว้ใช่ว่า ใส่บ่าฝึกฝน 21
4.4 ใช้สูตรของเฮรอน
 อีกวิธีที่ใช้ คานวณ S ได้คือใช้ สูตรของเฮรอน
 เมื่อ s=(a+b+c)/2 คือครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปของรูป สามเหลี่ยม
 นอกจากนี้ก็มีสูตรอื่นที่เทียบเคียงกับสูตรของเฮรอน

9. 20
4.3 ใช้พิกัด
 ถ้าจุดยอด A อยู่ที่จุดกาเนิด (0, 0) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน และ กาหนดให้พิกัดของอีกสองจุดยอดอยู่ที่ B = (xB,yB) , C = (xC,yC) แล้วพื้นที่ S จะคานวณได้จาก ½ เท่าของค่า สัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์
 สาหรับจุดยอดสามจุดใดๆ สมการคือ 121.12- 74258/4561*754120+54851
 ในสามมิติ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม A = (xA,yA,zA) , B=(xB,yB,zB) , C = (xC,yC,zC) คือผลบวกพีทาโกรัสของพื้นที่
9
ข้อเท็จจริงพื้นฐานของสามเหลี่ยม

10. 10
2. รู้ไว้ใช่ว่า ใส่บ่าฝึกฝน
 ในหนังสือชื่อ Elements เล่ม 1-4 เมื่อประมาณ 300 ปีก่อน คริสตกาล รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมชนิดหนึ่ง และเป็น 2-ซิมเพล็กซ์ (2-simplex) รูปสามเหลี่ยมทุกรูปเป็นรูปสองมิติ
 ผลบวกของความยาวของสองด้านใดๆ ในรูปสามเหลี่ยม จะ มากกว่าความยาวของด้านที่สามเสมอ สิ่งนี้เรียกว่าอสมการอิงรูป สามเหลี่ยม
 รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่า คล้ายกัน ก็ต่อเมื่อทุกมุมของรูป หนึ่ง มีขนาดเท่ากับมุมที่สมนัยกันของอีกรูปหนึ่ง ซึ่งในกรณีนี้ ด้านที่สมนัยกันจะเป็นสัดส่วน (proportional) ต่อกัน
 ถ้าด้านที่สมนัยกันสองด้านเป็นสัดส่วนต่อกัน และมุมที่ด้านทั้ง สองประกอบอยู่สมภาค (congruent) ต่อกัน แล้วรูปสามเหลี่ยม สองรูปนั้นจะคล้ายกัน
 ถ้าด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นสัดส่วนต่อกัน แล้วรูป สามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะคล้ายกัน
 การใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากและแนวคิดเรื่องความคล้าย ฟังก์ชัน
19
4.2 ใช้เวกเตอร์
 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถคานวณได้ด้วย เวกเตอร์ กาหนดให้ AB และ AC เป็นเวกเตอร์ที่ชี้ จาก A ไป B และ A ไป C ตามลาดับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้าน ขนาน ABCD คือ |AB×AC| ซึ่งเป็นขนาดของผลคูณไขว้ระหว่าง เวกเตอร์ AB กับ AC และ |AB×AC| มีค่า เท่ากับ |h×AC| เมื่อ h แทนส่วนสูงที่เป็นเวกเตอร์
 พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูป สี่เหลี่ยมด้านขนานรูปนี้ หรือ S = 12|AB×AC|
 พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC ก็ยังสามารถเขียนได้ด้วยรูปแบบของ ผลคูณจุดดังนี้

11. 18
4. พื้นที่ 5 แบบ
4.1 สูตรทั่วไป
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม สามารถแสดงได้เป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูป
 การคานวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเป็นปัญหาพื้นฐานที่มักจะพบ ในสถานการณ์ที่แตกต่างกัน สูตรที่ง่ายและเป็นที่รู้จักมากที่สุดคือ S = 1/2bh
 เมื่อ S หมายถึงพื้นที่ b คือความยาวของฐาน และ h คือความสูง หรือส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยม คาว่าฐานในที่นี้สามารถหมายถึง ด้านในด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม และส่วนสูงคือระยะที่วัดจากมุม ที่อยู่ตรงข้ามด้านนั้นตั้งฉากไปยังฐาน
 ถึงแม้ว่าสูตรนี้จะง่าย แต่ก็ใช้ประโยชน์ได้เฉพาะเมื่อสามารถหา ความสูงของรูปสามเหลี่ยมได้โดยง่าย ตัวอย่างเช่นการรังวัดที่ดินที่ มีลักษณะเป็นรูปสามเหลี่ยม จะวัดความยาวของด้านทั้งสามแล้ว
11
 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem) เป็นอีกทฤษฎี บทหนึ่งที่สาคัญ กล่าวว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กาลังสอง ของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากับผลรวมของกาลัง สองของความยาวของทั้งสองด้านที่เหลือ ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาว c หน่วย และด้านประกอบมุมฉากยาว a และ b หน่วย ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงให้ความหมายว่า A2 + b2 = c2
 มุมแหลมสองมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุมประกอบมุมฉาก (complementary angles) a + b + 90o = 180o => a + b = 90o => a = 90o − b
 ถ้าหากด้านประกอบมุมฉากมีขนาดเท่ากัน มุมแหลมสองมุมก็จะ มีขนาดเท่ากันด้วยคือ 45° และจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความ ยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีขนาดเป็น √2 เท่าของด้าน ประกอบมุมฉาก
 ถ้าหากมุมแหลมสองมุมมีขนาด 30° และ 60° ความยาวของด้าน ตรงข้ามมุมฉากจะมีขนาดเป็น 2 เท่าของด้านประกอบมุมฉากที่ สั้นกว่า
 สาหรับรูปสามเหลี่ยมทุกรูป ขนาดของด้านและมุมมี

12. 12
บทที่ 3
จุด เส้นตรง วงกลม สามเหลี่ยม 17
การหาพื้นที่ของรูป สามเหลี่ยม
สูตรทั่วไป
ใช้เวกเตอร์
ใช้พิกัด
ใช้สูตรของเฮรอน
ใช้ตรีโกณมิติ

13. 16
บทที่ 4
พื้นที่ 5 แบบ 13
จุด เส้นตรง และรูปวงกลมที่เกี่ยวข้องกับ รูปสามเหลี่ยม

14. 14
3. จุด เส้นตรง
จุดตัดของส่วนสูงคือ จุดออร์โทเซนเตอร์
ศูนย์กลางวงล้อม คือจุดศูนย์กลาง ของวงกลมที่ลากผ่านจุดยอดทั้ง สามของรูปสามเหลี่ยม
จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุม ใช้หาจุด
15
เซนทรอยด์ เป็นศูนย์ถ่วง
วงกลมเก้าจุด แสดงความสมมาตรที่จุด หกจุดอยู่บนวงกลมเดียวกัน
เส้นออยเลอร์ คือเส้นที่ลากผ่าน เซนทรอยด์ (สีเหลือง) , จุดออร์โทเซนเตอร์ (สีน้าเงิน) , ศูนย์กลางวงล้อม (สีเขียว) และจุดศูนย์กลางของ วงกลมเก้าจุด (สีแดง)