Μαθηματικά Δ΄ ΄΄Επανάληψη 7ης Ενότητας, κεφ. 41 - 46΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
http://xristx.blogspot.gr
Μαθηματικά Δ΄ Τάξης - Επανάληψη 7ης
Ενότητας:
κεφ. 41 - 46΄΄
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://xristx.blogspot.gr σελ.1

10—100—1000. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ∆ΙΑΙΡΕΣΗ
Όνοµα:……………………………………………………………………
Α) ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ
Ακέραιου αριθµού
*10= 50
5 *100= 500
*1000= 5.000
∆εκαδικού αριθµού
*10= 25,0
2,5 *100= 250,0
*1000= 2500,0
Β) ∆ΙΑΙΡΕΣΗ
Ακέραιου αριθµού
: 10= 0,5
5 :100= 0,05
:1000= 0,005
∆εκαδικού αριθµού
:10= 0,25
2,5 : 100= 0,025
: 1000= 0,0025
ΑΣΚΗΣΗ
Α) Να πολλαπλασιάσεις τους αριθµούς 12, 50, 0,4 15,05 µε το
10,100,1000,10.000 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ.
Β)Να διαιρέσεις τους αριθµούς 14, 25, 1,5 12,002 µε το
10,100,1000,10.000 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ.
Κώστας ΜεσάζοςΚώστας ΜεσάζοςΚώστας ΜεσάζοςΚώστας Μεσάζος ---- ∆άσκαλος∆άσκαλος∆άσκαλος∆άσκαλος
Γράφουµε τον αριθµό
όπως είναι και βάζουµε
δεξιά του όσα µηδενικά
έχει το 10,100,1000….
Μεταφέρουµε την υποδιαστολή προς
τα δεξιά, τόσες θέσεις όσα τα
µηδενικά του 10,100,1000…..Αν δεν
υπάρχουν ψηφία συµπληρώνουµε
τις θέσεις µε µηδενικά.
Γράφουµε τον αριθµό όπως είναι
και µεταφέρουµε την
υποδιαστολή αριστερά, τόσες
θέσεις όσα τα µηδενικά του
10,100,1000…Αν δεν υπάρχουν
ψηφία συµπληρώνουµε µε
µηδενικά.

41. Πολλαπλασιάζω µε τριψήφιο πολλαπλασιαστή
ΟΝΟΜΑ : …………………………………………………………………………………………………………………………. Δ1 – -04-13
Τι πρέπει να γνωρίζω!!
Ο πολλαπλασιασμός με τριψήφιο πολλαπλασιαστή, γίνεται με τον ίδιο τρόπο
που γίνεται ο πολλαπλασιασμός με διψήφιο και μονοψήφιο. Αλλάζει μόνο το
πλήθος των μερικών γινομένων.
Ακόμα…
Για να πολλαπλασιάσω έναν αριθμό με 10, 100 ή 1.000 γράφω πρώτα τον
αριθμό και μετά βάζω τόσα μηδενικά όσα έχει το 10, το 100 ή το 1.000.
Παράδειγμα:
52 x 10 = 520 προσθέτω ένα μηδενικό
52 x 100 = 5.200 προσθέτω δύο μηδενικά
52 x 1.000 = 52.000 προσθέτω τρία μηδενικά
Το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού -γενικά- μας βοηθά να καταλάβουμε αν είναι
πολλαπλάσιο του 2, 5 ή 10.
2 4 1
x 5
1.2 0 5
2 4 1
x 1 5
1 2 0 5
2 4 1
3.6 1 5
2 4 1
x 3 1 5
1 2 0 5
2 4 1
7 2 3
7 5. 9 1 5
άθροισμα δύο
μερικών γινομένων άθροισμα τριών
μερικών γινομένων

1. Κάνε τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς με τις δοκιμές τους:
2. Συμπληρώνεις τα κενά:
α 128 Χ ……………… = 128.000 δ 95 Χ ……………… = 9.500
β 110 Χ ……………… = 1.100 ε 276 Χ ……………… = 2.760
γ 3.250 Χ ……………… = 325.000 ζ 230 Χ ……………… = 230.000
Βασιλόπουλος Κωνσταντίνος
2 8 7
x 1 5 4
...….……………...
..….……………....
..….……………….
..….……………....
4 7 3
x 2 3 4
...….……………...
..….……………....
..….……………….
..….……………....
3 3 3
x 2 2 2
...….……………...
..….……………....
..….……………….
..….……………....
8 4 1
x 1 0 2
...….……………...
..….……………....
..….……………….
..….……………....

Κεθάιαην 42
Γηαηξεηένο δηαηξέηεο
1 9 7 13
-
πειίθν
-
ππόινηπν
1) Ο δηαηξέηεο είλαη ν αξηζκόο 13 θαη έρεη 2 ςεθία 1 3
΢ηνλ δηαηξεηέν ηα 2 πξώηα ςεθία εηλαη ην 19 1 9
2) Ψάρλσ λα βξώ πόζεο θνξέο κπνξώ λα βάισ ηνλ αξηζκό 13 γηα λα θηάζσ ζηνλ
αξηζκό 19.
3) Γνθηκάδσ λα πνιιαπιαζηάζσ ηνλ αξηζκό 13 κε πνιινύο αξηζκνύο γηα λα
θξάζσ πην θνληά ζηνλ αξηζκό 19.
13 Χ 1 = 13 Χ 2 =
4) Βξήθα όηη ην 13 ζα ην πνιιαπιαζηάζσ κόλν κε ην 1. 13 Χ 1 = 13.
Θα γξάςσ ην 13 θάησ από ην 19 θαη ζα θάλσ αθαίξεζε.
5) Σν 6 έρεη 1 ςεθίν. Σν 13>6. Ση ζα θάλσ;; Θα θαηεβάζσ ην ηειεπηαίν ςεθίν
από ηνλ Γηαηξεηέν θαη ζα γίλεη 67.
θξάζσ πην θνληά ζηνλ αξηζκό 67
13 Χ 1 = 13 Χ 2 = 13 Χ 3 = 13 Χ 4 = 13 Χ 5 =
7) Βξήθα όηη ην 13 ζα ην πνιιαπιαζηάζσ κόλν κε ην 5. 13 Χ5 = 65. Θα γξάςσ
ην 65 θάησ από ην 67 θαη ζα θάλσ αθαίξεζε.
8) Από ηελ αθαίξεζε έρσ ππόινηπν ηνλ αξηζκό 2

- 122 -
Πολλαπλασιασμός με ΤΡΙΨΗΦΙΟ πολλαπλασιαστή
Αν ξέρεις καλά τον πολλαπλασιασμό με 2ψήφιο
πολλαπλασιαστή, θα σου φανεί παιχνιδάκι. . . !
Πάμε να κάνουμε μαζί βήμα-βήμα τον κάθετο πολλαπλασιασμό:
567x432  Ξεκινάμε από τα τελευταίο ψηφίοτον αριθμό 2
2x7=14  γράφουμε το 4 και  το κρατούμενο
2x6=12  +  13 
Γράφουμε το 3 και  το κρατούμενο
2x5=10  +  11  γράφουμε 11 και στην
επόμενη σειρά ξεκινάμε ένα ψηφίο πιο αριστερά
3x7=21  γράφουμε το 1 και  τα κρατούμενα
3x6=18  +  20 
Γράφουμε το 0 και  τα κρατούμενα
3x5=15  +  17  γράφουμε 17 και στην
επόμενη σειρά ξεκινάμε ένα ψηφίο πιο αριστερά
Με τον ίδιο τρόπο συνεχίζουμε για τον αριθμό 4 και στο τέλος
κάνουμε την κάθετη πρόσθεση των τριών αποτελεσμάτων . . .
Το τελικό αποτέλεσμα είναι 567 x 432 = 244.944
 Κάνε λίγη προπόνηση μόνος σου 
123 199 727 344 555
x 321 x 618 x 359 x 680 x 209
Προπονητής Μαθηματικών - proponitismathimatikon.blogspot.com

- 123 -
 ∆ΙΑΙΡΕΣΗ και ∆ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 
Η διαίρεση είναι τέλεια όταν δεν έχει υπόλοιπο ή αλλιώς
Όταν ο διαιρέτης διαιρεί ακριβώς τον διαιρετέο ή αλλιώς
Όταν ο διαιρέτης χωράει ακριβώς στον διαιρετέο . . . . .
Θα μάθουμε λίγα κόλπα με τα οποία θα βρίσκουμε κατευθείαν
αν ένας αριθμός διαιρείται με το 2 , το 5 , το 3 , το 9 ! ! !
1ο
Κόλπο
Ο αριθμός μας διαιρείται ακριβώς με το 2
όταν τελειώνει σε: 0 , 2 , 4 , 6 ή 8
Παραδείγματα: 250 , 22 , 14 , 1996 , 108
2ο
Κόλπο
όταν τελειώνει σε: 0 η 5 Παράδειγμα:
5,10,15,20,25,30,35……………105,155,1115
3ο
Κόλπο
όταν το μονοψήφιο άθροισμα των ψηφίων
του είναι : 3 , 6 ή 9 ! ∆ηλαδή: 162  1 + 6 + 2 = 9 
Άλλο ένα παράδειγμα: 357  3 + 5 + 7 = 15  1 + 5 = 6 
4ο
Κόλπο
Ο αριθμός μας διαιρείται ακριβώς με το 9 όταν το
μονοψήφιο άθροισμα των ψηφίων του είναι 9. . . ∆ηλαδή:
324 3 + 2 + 4= 9 999 9 + 9 + 9= 27  7 + 2= 9
   
Λύσε 4
Τέλειες
∆ιαιρέσεις


- 124 -
  ∆ιαίρεση με ∆ΙΨΗΦΙΟ ∆ιαιρέτη  
Ας θυμηθούμε ξανά το παιχνίδι μπάσκετ με τις βολές.
1) Υποθέτουμε ότι μάζεψες 156 πόντους από εύστοχες βολές.
Αν τώρα για κάθε άστοχη βολή ,
οι πόντοι σου μειώνονται κατά 12
…
Σε πόσες συνεχόμενες άστοχες
βολές θα μηδενιστούν ; ; ; ; ;

Ένας τρόπος είναι να κάνουμε συνεχόμενες αφαιρέσεις 
1η
βολή 2η
βολή 3η
βολή 4η
βολή …
156 – 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 =
……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 =
……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ………  13η
ΒΟΛΗ…
Άρα σε 13 συνεχόμενες βολές οι πόντοι σου θα έφταναν μηδέν!
Αφού το 12 χωράει ακριβώς 13 φορές στο 156 (156 : 12 = 13)

2) Αν αυτή τη φορά ξεκινούσαμε από 125 πόντους θα είχαμε :
125 – 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 =
……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 = ……… - 12 =
……4  10η
ΒΟΛΗ . . .και περισσεύουν και 4 πόντοι. . .
Που σημαίνει ότι το 12 δεν χωράει ακριβώς στο 125.
Η διαίρεση 125:12 βγάζει πηλίκο 10 και υπόλοιπο 4…
Όμως για να μην ξημερώσουμε με τις συνεχόμενες αφαιρέσεις,
ας μάθουμε να κάνουμε ευκλείδεια διαίρεση με διψήφιο …  

- 125 -
Ξεκινάμε να λύσουμε βήμα-βήμα τη διαίρεση 252 : 12
Επειδή διαιρούμε με διψήφιο αυτή τη
φορά, δεν θα πάρουμε μόνο το πρώτο
ψηφίο του διαιρετέου , αλλά τα 2 πρώτα.
* Το 12 πόσες φορές χωράει στο 25 ;;;
 2 φορές  Γράφουμε ‘2’ στο πηλίκο !
2 Χ 12 = 24  γράφουμε 24 κάτω από
τον διαιρετέο και κάνουμε αφαίρεση 
25 – 24 = 1  … και μετά κατεβάζουμε
το επόμενο ψηφίο του διαιρετέου , το 2 !
* Το 12 πόσες φορές χωράει στο 12 ;;;
 1 φορά  Γράφουμε το 1 στο πηλίκο!
1 Χ 12=12  γράφουμε από κάτω «12» και αφαιρούμε 12–12=0
Άρα το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι ‘21’ και το υπόλοιπο ‘0’!
Συνεχίζουμε με τη διαίρεση 1259 : 15
Παίρνουμε τα 2 πρώτα ψηφία  «12»
* Χωράει το 15 στο 12;;; ‘OXI’, άρα
παίρνουμε και το επόμενο ψηφίο το 5 !
* Το 15 πόσες φορές χωράει στο 125;
Φαίνεται δύσκολο αλλά δεν είναι τόσο..
Αν υποθέσουμε ότι χωράει 10 φορές >
10Χ15=150 (βγήκε πολύ παραπάνω…)
9 φορές > 150-15= 135 (πλησιάζουμε!)
 Επομένως μάλλον χωράει 8 φορές !
γράφουμε 8 στο πηλίκο και τα γνωστά:
8 Χ 15 = 120  γράφουμε ‘120’ κάτω από τον ∆ιαιρετέο και
αφαιρούμε 125-120=5 και μετά κατεβάζουμε το επόμενο ψηφίο
το 9 Πόσες φορές χωράει το 15 στο 59; Εκτιμούμε: 4;;;
4X15=60 ‘OXI’  Χωράει 3 φορές  3Χ15=45  59-45=14
Άρα το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι 83 και το υπόλοιπο 14!

- 126 -
 ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ∆ΙΑΙΡΕΣΗΣ 
Όταν μία διαίρεση είναι τέλεια, αρκεί να κάνουμε
την αντίστροφη πράξη για επαλήθευση . . .
Βρήκαμε ότι 252:12 βγάζει πηλίκο 21 και υπόλοιπο 0
Επαλήθευση: Αν 12 X 21 = 252 τότε αληθεύει  12
-Κάνε δίπλα τον πολλαπλασιασμό  Χ 21
Όταν μια διαίρεση είναι ατελής,
πρέπει να ισχύει ο εξής τύπος :  ∆ = (δ x π) + υ
(όπου ∆∆ιαιρετέος, δδιαιρέτης, ππηλίκο, υυπόλοιπο)
Βρήκαμε ότι 1259 : 15 βγάζει πηλίκο 83 και υπόλοιπο 14, για
να το επαληθεύσουμε πρέπει να ισχύει : ∆ = (δ x π) + υ
ή αλλιώς 1259 = (15 x 83) + 14 
15
x 83 ΙΣΧΥΕΙ
45  1245 + 14 = 1259  ∆ = (δ x π) + υ
+ 120_
1245
Κάνε επαλήθευση στις παρακάτω διαιρέσεις:
456 : 32  πηλίκο 14 και υπόλοιπο 7 ……………………………………
Σωστό ή Λάθος ………………………………………………………………………………
  ………………………………………………………………………………
2014 : 77  πηλίκο 26 και υπόλοιπο 12 ………………………………
Σωστό ή Λάθος ………………………………………………………………………………
  ………………………………………………………………………………

- 127 -
Όταν διαιρούμε με μεγάλους αριθμούς θα
ερχόμαστε αντιμέτωποι με πιο δύσκολα
ερωτήματα όπως «Πόσες φορές χωράει
το 75 στο 325» Εσύ θα παίρνεις το πρώτο
ψηφίου του διαιρέτη (7)
και τα δύο πρώτα ψηφία
του ∆ιαιρετέου (32) και
με την καλή προπαίδεια που γνωρίζεις θα
ψάχνεις να βρεις ποιος είναι αριθμός που αν
πολλαπλασιαστεί με το 7 θα μας φέρει πιο
κοντά στο 32  3x7=21 , 4x7=28 , 5x7=35
( > 32 ) . . . Άρα μάλλον χωράει 4 φορές!
Υπάρχουν και κάποιες περιπτώσεις που ο
παραπάνω κανόνας δεν θα ισχύει και θα σε
μπερδέψει, αλλά σχεδόν πάντα με αυτό το
κόλπο, θα είσαι γρήγορος σαν αστραπή ! ! !
Συνέχισε μόνος σου την παραπάνω διαίρεση-και τις παρακάτω:

- 128 -
Αν παρατήρησες σωστά, το κολπάκι μας δεν ισχύει, όταν το
δεύτερο ψηφίο του διαιρέτη είναι μεγαλύτερο από το πρώτο . . .
(όπως έγινε στις προηγούμενες διαιρέσεις με το 26 και το 68)
Όταν συναντάς διαιρέτες που το 2ο
ψηφίο είναι μεγαλύτερο
από το 1ο
, θα πρέπει να αναζητάς το αποτέλεσμα συνήθως
έναν αριθμό χαμηλότερα από τον υπολογισμό της προπαίδειας !
Κάνε λίγη προπόνηση στις διαιρέσεις με διψήφιο διαιρέτη,
αλλά αυτή τη φορά θα κάνεις δίπλα και την επαλήθευση…:
 ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ  ∆ = (δ x π) + υ
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………

- 129 -
« ∆ημιουργώ Προβλήματα »
Όχι . . . σίγουρα δεν εννοώ τα προβλήματα που
δημιουργείς μέσα στο σπίτι όταν κάνεις φασαρία,
ή όταν δεν μαζεύεις το δωμάτιό σου ! ;) ;) ;)
Σε αυτό το κεφάλαιο θα βάλουμε να δουλέψει η
φαντασία μας και η δημιουργικότητα μας ! ! !
Θα σου δίνω τα ∆εδομένα κι εσύ θα φτιάχνεις
μόνος σου την εκφώνηση του προβλήματος . . .
Παράδειγμα  ∆εδομένα:
 390 παίκτες,
Πρόβλημα(1):  15 παίκτες κάθε ομάδα
Στο πρωτάθλημα παίζουν 390 παίκτες και κάθε ομάδα έχει 15
παίκτες Ζητούμενο:Πόσες ομάδες παίζουν στο πρωτάθλημα;
Λύση:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
 Προσπάθησε μόνος σου:
∆εδομένα:
 30.755 μαθητές,
Πρόβλημα(2):  15.198 από αυτούς είναι κορίτσια
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Λύση:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
∆εδομένα:
 97εκ. η πλευρά ενός εξαγώνου
Πρόβλημα(3):  Όλες οι πλευρές του είναι ίσες
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Λύση:
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

- 130 -
 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ  ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 
…Τώρα θα σκεφτούμε «αντίστροφα»...
Θα πάρουμε την εκφώνηση των παραπάνω προβλημάτων, τα
δεδομένα τα ζητούμενα και το αποτέλεσμα και θα βρούμε τα
αντίστροφα προβλήματα!
Για παράδειγμα:
Στο πρωτάθλημα παίζουν 390 παίκτες και κάθε ομάδα έχει 15
παίκτες Ζητούμενο:Πόσες ομάδες παίζουν στο πρωτάθλημα;
Λύση: 390:15=26  Αποτέλεσμα: 26 ομάδες στο πρωτάθλημα!
Αντίστροφο Πρόβλημα:
Αν στο πρωτάθλημα παίζουν 26 ομάδες και η κάθε ομάδα έχει
15 παίκτεςΠόσοι παίκτες παίζουν συνολικά στο πρωτάθλημα;
Λύση:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Εύκολο είναι! Ας το κάνουμε και για τα άλλα 2 προβλήματα 
Πρόβλημα(2)Αντίστροφο Πρόβλημα:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Λύση:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Πρόβλημα(3)Αντίστροφο Πρόβλημα:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Λύση:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

- 131 -
Για μερικά προβλήματα μπορούμε να βρούμε όχι
μονό 1 αλλά περισσότερα αντίστροφα προβλήματα!!!
Πρόβλημα:
Ένας αθλητής στίβου έτρεξε τους 3 καλοκαιρινούς
μήνες (Ιόυνιο-Ιούλιο-Αύγουστο) συνολικά 73.209μ.!
Έτρεξε 22.150μ στις προπονήσεις του Ιουνίου και
31.988 μέτρα στις προπονήσεις του Ιουλίου. Πόσα
μέτρα έτρεξε στις προπονήσεις του Αυγούστου ; ; ;
Λύση: ……………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Στο 1ο
αντίστροφο πρόβλημα μπορούμε να έχουμε δεδομένα
τα συνολικά μέτρα και τα μέτρα του Ιουλίου και Αυγούστου
και σαν ζητούμενο να ψάχνουμε τα μέτρα του Ιουνίου . . .
1ο
Αντίστροφο Πρόβλημα:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Λύση:
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
Στο 2ο
αντίστροφο πρόβλημα μπορούμε να έχουμε ζητούμενο
τα μέτρα του Ιουλίου . . .
2ο
Αντίστροφο Πρόβλημα: (προφορικά)
Λύση:
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
Στο 3ο
αντίστροφο πρόβλημα δεδομένα τα μέτρα Ιουνίου
Ιουλίου και Αυγούστου και ζητούμενο τα συνολικά μέτρα . . .
3ο
Αντίστροφο Πρόβλημα: (προφορικά)
Λύση:
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………

- 133 -
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΟΝΑ∆Α
 
 
Από τις χρησιμότερες μεθόδους στην επίλυση προβλημάτων! ! !
Την χρησιμοποιούμε όταν γνωρίζουμε την τιμή μιας ποσότητας
και ψάχνουμε να βρούμε την τιμή μιας διαφορετικής ποσότητας
Πχ: Γνωρίζουμε ότι τα 4 μπαλάκια του τένις
κοστίζουν 48 όλα μαζί. Πόσο κοστίζουν 3 μπαλάκια;
Σκέψη Θα πρέπει να βρούμε πόσο κοστίζει το 1 μπαλάκι
Λύση: ……………………………………………………………………
Αφού τα 4 μπαλάκια κοστίζουν 48 
 Το ένα κοστίζει 48 : 4   
48 : 4 = 12, Άρα το 1 κοστίζει 12……
Τώρα που βρήκαμε την τιμή της μονάδας το μόνο που μας
μένει είναι ένας πολλαπλασιασμός: Ζητούμενο XΤιμή Μονάδας
Τα 3 μπαλάκια κοστίζουν 36  3 Χ 12 = 36
      
* Με το ίδιο σκεπτικό, λύσε το παρακάτω πρόβλημα: *
Αν τα 4 μπαλάκια ζυγίζουν 628 γραμμάρια,
Πόσα γραμμάρια ζυγίζουν τα 3 μπαλάκια ; ; ;
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

- 134 -
* Η ομάδα προπόνησης τένις είναι 5 άτομα.
Γι αυτό αγόρασα 5 ρακέτες και ξόδεψα συνολικά 560 €.
Όμως λίγο πριν την έναρξη των προπονήσεων προστέθηκαν
άλλα 3 άτομα και έπρεπε να αγοράσω άλλες 3 ρακέτες.
Πόσο θα μου κοστίσουν οι 3 ρακέτες?
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
* Έχουμε 2 τραπέζια μπιλιάρδο που θα τους αλλάξουμε την
τσόχα (το ύφασμα). Το πρώτο έχει εμβαδό 12 τ.μ. (δηλαδή
χρειαστήκαμε 12 τ.μ. ύφασμα) και μας κόστισε συνολικά 876€
Αν το άλλο έχει εμβαδό 14 τ.μ. πόσο θα κοστίσει το ύφασμα;
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
* Αν ξέρουμε ότι το άθροισμα των τριών από τις τέσσερις...
...................................................................................
Η συνέχεια στο πλήρες πακέτο του Προπονητή ;)
* * * * * * * * * * * * *
* Αγόρασα το οικολογικό μου αυτοκίνητό με 12...........................
..............................................................................................................
Η συνέχεια στο πλήρες πακέτο του Προπονητή ;)
* * * * * * * * * * * * *

- 137 -
 ΣΥΝΘΕΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 
Η εκφώνηση του αθλητικού ρεπορτάζ στις βραδινές ειδήσεις
ήταν η παρακάτω:
“Στους προκριματικούς αγώνες βόλεϊ που ξεκίνησαν στις 9.45,
η ομάδα των «ΑΣΣΩΝ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» επικράτησε με
σκορ 3 – 0. Στο πρώτο σετ πέτυχε 12 πόντους περισσότερους
από την αντίπαλη ομάδα, στο δεύτερο σετ πέτυχε 9 πόντους
περισσότερους και στο τρίτο σετ τους πενταπλάσιους πόντους
από τους πόντους των αντιπάλων. Το κάθε σετ τελειώνει
μόλις μία ομάδα φτάσει τους 25 πόντους. Ο διαιτητής του
αγώνα έκανε 3 παρατηρήσεις στον προπονητή της αντίπαλης
ομάδας για διαμαρτυρία. Οι φίλαθλοι της ομάδας των ΑΣΣΩΝ
που παρακολούθησαν τον αγώνα ήταν 388 και οι φίλαθλοι της
αντίπαλης ομάδας ήταν το
4
1
των φιλάθλων των ΑΣΣΩΝ . . .
Οι αντίπαλοι έκαναν 12 αλλαγές μέχρι να τελειώσει το
παιχνίδι, το οποίο τελείωσε στις 11.35 . . . ”
Ζητούμενα:
Πριν προχωρήσεις στην απάντηση των ερωτημάτων
ξαναδιάβασε την εκφώνηση και υπογράμμισε τις πληροφορίες
που θα σου φανούν χρήσιμες για την επίλυση του προβλήματος!
1) Ποιο ήταν το τελικό σκορ σε κάθε σετ;
2) Πόσοι ήταν οι φίλαθλοι της αντίπαλης ομάδας;
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

- 138 -
*Όταν αξιοποιούμε σωστά τις πληροφορίες του προβλήματος,
αγνοούμε τις άχρηστες και επικεντρωνόμαστε στις σημαντικές,
η λύση του προβλήματος θα είναι απλή, γρήγορη και σίγουρη! ! !
Αφού ξεχωρίσουμε τα ∆Ε∆ΟΜΕΝΑ από τα ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ,
καταστρώνουμε ένα έξυπνο σχέδιο δράσης ! ! !
Βρίσκουμε ποιες πράξεις πρέπει να κάνουμε και με ποια σειρά,
τις λύνουμε και τις επαληθεύουμε όπου είναι εφικτό!
Στο τέλος ελέγχουμε την απάντηση σε σχέση με την ερώτηση,
γιατί μπορεί το αποτέλεσμα να μην είναι πολύ λογικό.
Αν πχ. βρήκαμε ότι τα ρέστα από 50€ είναι 70€… τότε μάλλον
πρέπει να ξαναλύσουμε το πρόβλημα από την αρχή…
         
…ΠΟΝΗΡΟ…
ΠΡΟΒΛΗΜΑ
Ένας από τους παίκτες μας, πήγε στο διάλειμμα να αγοράσει
αναψυκτικά για όλους. Όλοι οι παίκτες (μαζί με αυτόν που
πήγε να αγοράσει τα αναψυκτικά) ήταν συνολικά 123... Στο
κατάστημα, του είπαν πως τα αναψυκτικά πωλούνται μόνο σε
εξάδες! Έτσι αγόρασε 21 εξάδες αναψυκτικά. Στο δρόμο δίψασε
και αποφάσισε να ανοίξει ένα και να το πιεί. Λίγο πριν φτάσει
στο γήπεδο, του πέφτει μια εξάδα αναψυκτικά και χύνεται . . .
Ερώτηση:
Πόσοι από τους παίκτες δεν θα ποιούν αναψυκτικό;;;…………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

- 139 -
Αν στο προηγούμενο πρόβλημα απάντησες «4 παίκτες» σκέψου
τον παίκτη που πήγε για να αγοράσει τα αναψυκτικά και ήπιε το
αναψυκτικό του στο δρόμο και προσπάθησε να το ξαναλύσεις …
Αν απάντησες «3 παίκτες» είσαι σωστός και μόλις έλυσες ένα
πονηρό πρόβλημα που οι περισσότεροι μαθητές μπερδεύονται!!!
Το Πρόβλημα με τα Κύπελλα 
Στα γραφεία τις ομάδας έχουμε ένα δωμάτιο με
ράφια, όπου βάζουμε τα κύπελλα που κερδίζουμε . . .
Όμως με τόσα κύπελλα που έχουμε κερδίσει τα
ράφια γέμισαν, και πριν κερδίσουμε το επόμενο
κύπελλο πρέπει να φτιάξουμε περισσότερα ράφια . . .
Αυτή τη στιγμή το δωμάτιο έχει 36 ράφια και το
κάθε ένα ράφι χωράει ακριβώς 48 κύπελλα . . .
1) Πόσα κύπελλα έχει αυτή τη στιγμή το δωμάτιο;
2) Πόσα επιπλέον ράφια, πρέπει να φτιάξουμε
έτσι ώστε το δωμάτιο να χωράει 2880 κύπελλα;;
Λύση: …………………………… (*Το ερώτημα 2 λύνεται με δύο τρόπους)
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

- 140 -
Αν ακολουθείς προσεκτικά τα παρακάτω 7 βήματα
μπορείς να λύσεις και το ποιο δύσκολο πρόβλημα!!!
* 1 – Αξιολογούμε τις πληροφορίες με προσεκτική ανάγνωση
** 2 – Βγάζουμε τα πρώτα συμπεράσματα από την εκφώνηση
*** 3 – Υπογραμμίζουμε τα δεδομένα - μελετάμε τα ζητούμενα
**** 4 – Θυμόμαστε παρόμοια προβλήματα που έχουμε λύσει
***** 5 – Χωρίζουμε σε υποπροβλήματα και απλοποιούμε
****** 6 – Βρίσκουμε ποιες πράξεις πρέπει να εκτελέσουμε
******* 7 – Εκτελούμε τις πράξεις και τις επαληθεύουμε.
   Το Πρόβλημα με τα ΕΙΣΙΤΗΡΙΑ   
Στον τελευταίο αγώνα ποδοσφαίρου παίξαμε σε ένα γήπεδο το
οποίο χωράει 34.000 θεατές. Τα εισιτήρια που κόπηκαν ήταν:
21.378 κανονικά εισιτήρια αξίας 14 € το καθένα
 9.504 φοιτητικά εισιτήρια αξίας 9 € το καθένα
και όλα τα υπόλοιπα ήταν παιδικά εισιτήρια . . . . .
Αν οι συνολικές εισπράξεις από εισιτήρια ήταν 390.855 €,
και οι κενές θέσεις στο στάδιο ήταν 2.257. . .
1) Πόσα ήταν τα παιδικά εισιτήρια;
2) Πόσες ήταν οι εισπράξεις από παιδικά εισιτήρια;
(επειδή το πρόβλημα είναι δύσκολο και μπορεί να σε δυσκολέψει,
κάνε την προσπάθειά σου, και μετά θα αναλύσουμε τη λύση μαζί…)
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

- 141 -
Πάμε μαζί να λύσουμε το προηγούμενο πρόβλημα βήμα – βήμα:
- Τα δεδομένα (αυτά που γνωρίζουμε) είναι τα εξής:
 Το γήπεδο χωράει συνολικά 34.000 θεατές
 Κόπηκαν 21.378 κανονικά εισιτήρια επί 14 € το καθένα
 Κόπηκαν 9.504 φοιτητικά εισιτήρια επί 9 € το καθένα
 Οι συνολικές εισπράξεις ήταν 390.855 €
 Οι κενές θέσεις ήταν 2.257
- Τα ζητούμενα:
1)Πόσα τα παιδικά εισιτήρια 2)Πόσες οι εισπράξεις από αυτά
 ∆ημιουργούμε υποερωτήματα και υποπροβλήματα:
 Πόσοι ήταν οι θεατές συνολικά;;;
Απ’την χωρητικότητα του σταδίου αφαιρούμε τις κενές θέσεις
34.000
- 2.257
………………  Τόσοι είδαν τον αγώνα συνολικά.
 Πόσοι από αυτούς ήταν παιδιά;;;
Θα βρούμε πόσα ήταν τα κανονικά και τα φοιτητικά μαζί
και θα τα αφαιρέσουμε από τα συνολικά εισιτήρια . . .
21.378 ………………… < (συνολικά εισιτήρια)
+ 9.504 - ………………… < - (κανονικά και φοιτιτικά)
………………  …………………  (ΠΑΙ∆ΙΚΑ εισιτήρια)
 Πόσες οι εισπράξεις από παιδικά εισιτήρια;;;
Θα βρούμε πόσες ήταν οι εισπράξεις από τα κανονικά και τα
φοιτητικά και θα τα αφαιρέσουμε από τις συνολικές εισπράξεις
Κανονικά Φοιτητικά Κανονικά+Φοιτητικά ΠΑΙ∆ΙΚΑ
21.378 9.504 ……………… 390.855
Χ 14 Χ 9 + ……………… - ………………
 ……………… 

Ενότητα 42
Ευνίκη Τοκατλή

Ενότητα 43
Ευνίκη ΤοκατλήΕπιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://xristx.blogspot.gr σελ.24

Ενότητα 43β

Ενότητα 44

Απάντηση:…………………………………….
Απάντηση:…………………………………….
Απάντηση:…………………………………….

Ενότητα 46
Απάντηση:…………………………………………………………
Απάντηση:…………………………………………………………
Απάντηση:…………………………………………………………

Επαναληπτικό 7
Απάντηση:………………………………………………..
1)
2)
3)
4)
5)

8)
7)
9)
6)
10)

Η Βίθπ δηαβάδεη 124 ζειίδεο από ην βηβιίν ηεο θάζε κέξα.
Πόζεο ζειίδεο ζα έρεη δηαβάζεη ζε 145 εκέξεο;
Πξώηνλ : Γηάβαζε ην πξόβιεκα 2 θνξέο.
Γεύηεξνλ : ΢θέςνπ ηη πξάμε πξέπεη λα θάλεηο + - x :
Ση ζα θάλσ γηα λα βξώ ηα πνιιά; ....................................................
Θα θάλσ ..........................................................................................
Σξίηνλ : Κάλε ηελ πξάμε
372 651 387 932
Χ 10 Χ 100 Χ 1.000 Χ 10.000
eva-edu

Κεθάιαην 42
Γηαηξεηένο δηαηξέηεο
1 9 7 13
-
πειίθν
-
ππόινηπν
1) Ο δηαηξέηεο είλαη ν αξηζκόο 13 θαη έρεη 2 ςεθία 1 3
΢ηνλ δηαηξεηέν ηα 2 πξώηα ςεθία εηλαη ην 19 1 9
2) Ψάρλσ λα βξώ πόζεο θνξέο κπνξώ λα βάισ ηνλ αξηζκό 13 γηα λα θηάζσ ζηνλ
αξηζκό 19.
θξάζσ πην θνληά ζηνλ αξηζκό 19.
13 Χ 1 = 13 Χ 2 =
4) Βξήθα όηη ην 13 ζα ην πνιιαπιαζηάζσ κόλν κε ην 1. 13 Χ 1 = 13.
Θα γξάςσ ην 13 θάησ από ην 19 θαη ζα θάλσ αθαίξεζε.
5) Σν 6 έρεη 1 ςεθίν. Σν 13>6. Ση ζα θάλσ;; Θα θαηεβάζσ ην ηειεπηαίν ςεθίν
από ηνλ Γηαηξεηέν θαη ζα γίλεη 67.
θξάζσ πην θνληά ζηνλ αξηζκό 67
13 Χ 1 = 13 Χ 2 = 13 Χ 3 = 13 Χ 4 = 13 Χ 5 =
7) Βξήθα όηη ην 13 ζα ην πνιιαπιαζηάζσ κόλν κε ην 5. 13 Χ5 = 65. Θα γξάςσ
ην 65 θάησ από ην 67 θαη ζα θάλσ αθαίξεζε.
8) Από ηελ αθαίξεζε έρσ ππόινηπν ηνλ αξηζκό 2
eva-edu

Πέξπζη ην θαινθαίξη ε Δύα πήγε ζηα Νέα Πιάγηα θαη έθαλε πνιιέο βνπηηέο ζηε
ζάιαζζα. Σνλ Ινύλην έθαλε....................................... βνπηηέο. Σνλ Ινύιην έθαλε
..................................... βνπηηέο. Πόζεο βνπηηέο έθαλε όιεο καδί θαη ηνλ Ινύλην θαη ηνλ
Ινύιην ε Δύα;
ΜΖΝΔ΢ ΒΟΤΣΗΔ΢
ΗΟΤΝΗΟ΢ 23.452 ΓΔΓΟΜΔΝΟ
ΗΟΤΛΗΟ΢ 26.718 ΓΔΓΟΜΔΝΟ
΢ΤΝΟΛΟ ; ΕΖΣΟΤΜΔΝΟ
Πέξπζη ην θαινθαίξη ε Δύα πήγε ζηα Νέα Πιάγηα θαη έθαλε πνιιέο βνπηηέο ζηε
ζάιαζζα. Σνλ Ινύλην θαη ηνλ Ινύιην ε Δύα έθαλε 50.170 βνπηηέο ζπλνιηθά; Σνλ
Ινύλην έθαλε 23.452. Πόζεο βνπηηέο έθαλε ηνλ Ινύιην ε Δύα;
ΜΖΝΔ΢ ΒΟΤΣΗΔ΢
ΗΟΤΝΗΟ΢ 23.452 ΓΔΓΟΜΔΝΟ
ΗΟΤΛΗΟ΢ ; ΕΖΣΟΤΜΔΝΟ
΢ΤΝΟΛΟ 50.170 ΓΔΓΟΜΔΝΟ
Έλα πξόβιεκα καο δίλεη κεξηθνύο αξηζκνύο απηνύο
ηνπο αξηζκνύο πνπ μέξνπκε ηνπο ιέκε δεδομένα.
Απηό πνπ ξσηάκε ζε έλα πξόβιεκα θαη ςάρλνπκε λα
βξνύκε πόζν θάλεη ην ιέκε ζηηούμενο
eva-edu

Η Δύα έθαλε 60 ιεπηά θνύληα ηηο 3 πξώηεο εκέξεο ηεο εβδνκάδαο. Πόζα
ιεπηά ζα θάλεη θνύληα θαη ηηο 5 εκέξεο ηεο εβδνκάδαο;
Ση μέξσ από ην πξόβιεκα 3 εκέξεο = 60 ιεπηά
Ση ζα βξώ πόζα ιεπηά θάλεη θνύληα ε Δύα ηελ εκέξα
Ση ςάρλσ λα βξώ 5 εκέξεο = ; ιεπηά
= 1 = ............
= 24 = ......
΢ην εμάγσλν όιεο νη πιεπξέο είλαη ίζεο. Οη 2 πιεπξέο καδί έρνπλ κήθνο
16 εθαηνζηά. Πόζε είλαη ε πεξίκεηξνο ηνπ εμαγώλνπ;
Ο θύξηνο ζηελ θξεπεξί αγόξαζε ηε Γεπηέξα κηζό θηιό κεξέληα θαη
πιήξσζε 8,50 επξώ. Σελ επόκελε Γεπηέξα αγόξαζε 5 θηιά κεξέληα.
Πόζα επξώ πιήξσζε;
Όηαλ μέξσ πόζν θάλεη κηα πνζόηεηα θαη ςάρλσ λα
βξώ πόζν θάλεη κηα άιιε πνζόηεηα βξίζθσ πξώηα
πόζν θάλεη ην 1 θάλσ δειαδή αναγυγή ζηη μονάδα
eva-edu

Η κακά κνπ θαη ν κπακπάο κνπ δίλνπλ καδί ιεθηά γηα λα αγνξάδνπκε
πνιιά πξάγκαηα. Η κακά κνπ έρεη 18.000 επξώ. Σα 5.500 επξώ ηα
δίλνπκε γηα λα αγνξάδνπκε κπνπγάηζεο, ηα 4.300 επξώ ηα δίλνπκε γηα λα
αγνξάδνπκε θξέπεο θαη ηα 2.800 επξώ ηα δίλνπκε γηα λα αγνξάζνπκε
δεζηή ζνθνιάηα ζηελ θαθεηέξεηα. Πόζα ιεθηά έρεη ν κπακπάο κνπ;
Κώζηαο =; Ρνύια = 18.000 5.500 επξώ 4.300 επξώ 2.800 επξώ
Ο Γήκαξρνο είπε ζηνπο εξγάηεο λα θπηέςνπλ γύξσ από ην πάξθν δέληξα ζε
απόζηαζε 3 κέηξσλ ην έλα από ην άιιν. Πόζα δέληξα θύηεςαλ νη εξγάηεο;
12μ
2μ 2μ
8κ
πάξθν
eva-edu

Μηα θξεπεξί θηηάρλεη 14.583 γιπθηέο και 12.346 αικπξέο θξέπεο ηελ
εκέξα. Η θξεπεξί είλαη αλνηρηή θαη ηηο 7 εκέξεο ηεο εβδνκάδαο.
Ση ζα ξσηήζσ γηα λα ιύζσ ην πξόβιεκα;................................................
..................................................................................................................
Ση πξάμε ζα θάλσ γηα λα βγώ πόζεο θξέπεο θηηάρλεη ε θξεπεξί θάζε
κέξα;.............................................................................................................
Ση πξάμε ζα θάλσ γηα λα βξώ πόζεο θξέπεο θηηάρλεη ε θξεπεξί ζε 7
εκέξεο;....................................................................................................
Οη 25 πάζηεο θάλνπλ 450 επξώ.
Ση ζα ξσηήζσ γηα ηε κία πάζηα; .....................................................................................
Ση πξάμε ζα θάλσ γηα λα βξώ από ηα πνιιά ηα ιίγα;......................................................
eva-edu

Η θπξία Σδέλε έθεξε ζηελ ηάμε θαξακέιεο θαη έδσζε ζε θάζε παηδί ηνλ
ίδην αξηζκό από θαξακέιεο. Η ηάμε κνπ έρεη 20 παηδηά. Πέληε από ηα
παηδηά ηεο ηάμεο πήξαλ 20.000.
Κάλε 2 εξσηήζεηο γηα ην πξόβιεκα θαη κεηά θάλε ηηο πξάμεηο γηα λα
βξείο ην απνηέιεζκα.
1....................................................................................................................
......................................................................................................................
2....................................................................................................................
......................................................................................................................
 25 Χ 3 = ...............................................................
 123 Χ 5 = ..............................................................
 45 Χ 67 = .............................................................
 178 Χ 20 = ..............................................................
Κάλε ηνπο πνιιαπιαζηαζκνύο
eva-edu

http://taniamanesi.blogspot.gr/

–

Οι πράξεις στα μαθηματικά.
 Ο πολλαπλασιασμός μονοψήφιο με διψήφιο.
 Ο πολλαπλασιασμός διψήφιου με διψήφιο.
 Γνωριμία με τη διαίρεση.
 Η διαίρεση διψήφιου με μονοψήφιο.
 Η διαίρεση τριψήφιου με διψήφιο.
 Πηγή: 12dim-volou.mag.sch.gr

• Πολλαπλασιάζουμε πρώτα το 3 με τις 6 μονάδες ( Μ ).
• Γράφουμε το 8 κάτω από τις μονάδες ( Μ ) και το 1 το
κρατάμε ως κρατούμενο.
• Πολλαπλασιάζουμε το 3 με τις 4 δεκάδες ( Δ ).
• Προσθέτουμε στο 12 το 1 κρατούμενο και λέμε :
12 + 1 = 13
• Γράφουμε το 13 μπροστά από τις 8 μονάδες ( Μ ).
κρατούμενο

• Πολλαπλασιάζουμε πρώτα το 7 με τις 8 μονάδες ( Μ ).
• Γράφουμε το 6 κάτω από τις μονάδες ( Μ ) και το 5 το κρατάμε ως κρατούμενο.
• Πολλαπλασιάζουμε το 7 με τις 5 δεκάδες ( Δ ) και στο γινόμενο προσθέτουμε τα 5 κρατούμενα.
• Πολλαπλασιάζουμε το 4 με τις 8 μονάδες ( Μ ).
• Γράφουμε το 2 κάτω από τις 0 δεκάδες ( Δ ) και το 3 το κρατάμε ως κρατούμενο.
• Πολλαπλασιάζουμε το 4 με τις 5 δεκάδες ( Δ ) και στο γινόμενο προσθέτουμε τα 3 κρατούμενα.
• Προσθέτουμε τα δύο γινόμενα.

Δ Ι Α Ι Ρ Ε Σ Η

Διαιρείται ακριβώς με το 2
όταν ο αριθμός τελειώνει σε
( π.χ. 280 – 982 – 344 – 56 – 908 )
Κριτήρια διαιρετότητας.
Για να ξέρεις αν ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 2, το 3, το 5 και το 9
πριν κάνεις τη διαίρεση πρόσεξε τι έχουν να σου πουν οι παρακάτω φίλοι
μας.
όταν ο αριθμός τελειώνει σε
( π.χ. 240 – 485 )
όταν το μονοψήφιο
άθροισμα των ψηφίων του είναι :
(π.χ. 702 = 7+0+2=7+2= 9 )
όταν το μονοψήφιο
άθροισμα των ψηφίων του είναι :
(π.χ. 453 = 4+5+3=12=1+2= 3 )
(π.χ. 357 = 3+5+7=15=1+5= 6 )
(π.χ. 990 = 9+9+0=18=1+8= 9 )

• Ένα ψηφίο έχει ο διαιρέτης, ένα τονίζουμε αριστερά του διαιρετέου και λέμε : « Το 3 στο 8 χωράει
… φορές ».
• Γράφουμε το 2 στη θέση του πηλίκου.
• Πολλαπλασιάζουμε το 2 με το 3.
• Γράφουμε το 6 κάτω από το 8.
• Αφαιρούμε από το 8 το 6 .
• Κατεβάζουμε δίπλα στο 2 και το 1 και λέμε : « Το 3 στο 21 χωράει … φορές ».
• Πολλαπλασιάζουμε το 3 με το 7 και αφαιρούμε το γινόμενο από το 21 .

• Δύο ψηφία έχει ο διαιρέτης, δύο τονίζουμε και στα αριστερά του Διαιρετέου και λέμε : « Το 24 στο 98 χωράει όσο
το 2 στο 9 ».
• Πολλαπλασιάζουμε το 4 του πηλίκου με τις 4 μονάδες του διαιρέτη.
• Γράφουμε το 6 κάτω από το 8 και το 1 το κρατάμε ως κρατούμενο.
• Πολλαπλασιάζουμε το 4 του πηλίκου με τις 2 δεκάδες του διαιρέτη και στο γινόμενο προσθέτουμε το
κρατούμενο.
• Γράφουμε το 9 κάτω από τις 9 εκατοντάδες του Διαιρετέου.
• Αφαιρούμε από το 98 το 96.
• Γράφουμε το 2 κάτω από τις μονάδες του 96.
• Τονίζουμε και κατεβάζουμε δίπλα στο 2 και τις 6 μονάδες του Διαιρετέου και λέμε : « Το 24 στο 26 χωράει τόσες
φορές όσες το 2 στο 2.
• Γράφουμε το 1 στο πηλίκο.
• Πολλαπλασιάζουμε το 1 του πηλίκου με τις 4 μονάδες του διαιρέτη.
• Πολλαπλασιάζουμε το 1 του πηλίκου με τις 2 δεκάδες του διαιρέτη.
• Αφαιρούμε από το 26 το 24.
• Γράφουμε το 2 κάτω από τις μονάδες του 24.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Α)Οι 4 κουταλιές γλυκό κεράσι έχουν Β)Τα 3 πακέτα χαρτιού έχουν 1.500 κόλ-
380 θερµίδες. Ο Γιώργος έφαγε 3 κου- λες. Πόσες κόλλες έχουν το 10,τα 100,
ταλιές γλυκό. Πόσες θερµίδες πήρε; τα 1.000 πακέτα;
Γ) Η κ.Ανθούλα αγόρασε 3 κιλά απόξηραµένα δαµάσκηνα και πλήρωσε 24€. Η κ. Δέσποινα
αγόρασε ένα τέταρτο του κιλού δαµάσκηνα.Πόσα € πλήρωσε;
παρουσιάζω τα δεδοµένα σε πίνακα
Κιλά δαµάσκ. 3 2 1 ¼κ.ή 250 γρ ½κ.ή 500 γρ
€
Δ) Οκ.Νίκος µάζεψε από το κτήµα του 8,4 τόνους µήλα και τα έβαλε σε τελάρα που το καθένα
χωρούσε 12 κιλά.Τα πούλησε στον έµπορο µε 50 λ. το κιλό. Πόσα τελάρα γέµισε και πόσα €
εισέπραξε;
Ε) Ένα καθαριστήριο στο τέλος του χειµώνα καθάρισε 1213 παντελόνια µε 4€ το ένα, 185
κοστούµια µε11€ το ένα και παλτό µε 10€ το ένα. Εισέπραξε 7.537 €. Πόσα παλτό καθάρισε;

ΣΤ) Αν για την κατασκευή 5 τόνων χαρτιού χρησιµοποιήσουµε ανακυκλωµένο χαρτί ,σώζονται 85
δέντρα. Πόσα δέντρα θα σωθούν, αν κατασκευάσουµε 12 τόνους χαρτί ανακυκλωµένο;
Συµπλήρωσε τον πίνακα:
Τόνοι
χαρτιού
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
δέντρα 85
Ζ) Ένα εργοστάσιο συσκεύασε ελιές σε 500 δοχεία που το καθένα χωρούσε 12 κιλά. Πόσα κιλά
ελιές συσκεύασε;(οργανώνω τα γνωστά και τα άγνωστα , το λύνω και διατυπώνω αντίστροφο
πρόβληµα)
Κιλά δοχείου δοχεία Κιλά ελιές
ΚΑΛΛΙΡΡΟΗ ΚΑΛ∆ΕΛΗ

7ο
Κριτήριο Αξιολόγησης
Τάξη: Δ΄
Ενότητα: 7η
Ονοματεπώνυμο:
Ημερομηνία:
1. α) Πολλαπλασιάζω κάθετα και αναλυτικά:
β) 472 ×358
400 70 2
300
50
8
Σύνολο
2. Κυκλώνω τους αριθμούς που διαιρούνται με το :
2 7.210 8.356 9.313 4.704 5.918
5 2.605 3.761 4.510 7.352 6.855
10 6.100 4.108 2.063 4.800 9.750
3 436 853 210 603 981
9 2.730 6.705 2.475 3.750 6.597

3. Πρόβλημα:
Ένας λαδέμπορος είχε στην αποθήκη του 3.765 κιλά λάδι και θέλει να το βάλει
σε δοχεία των 15 κιλών. Πόσα δοχεία θα χρειαστεί;
Λύση
Απάντηση:
4. Γράφω ένα αντίστροφο πρόβλημα με βάση το προηγούμενο πρόβλημα και το
λύνω:
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
Λύση
Απάντηση:
5. Υπολογίζω έξυπνα τα παρακάτω γινόμενα:
•
•
•
•

6. Κάνω τις παρακάτω διαιρέσεις κάθετα με τις δοκιμές τους:
•
•
7. Τα 25 κ. κρέας κοστίζουν 225 €. Πόσο κοστίζουν τα 17 κ. απ0 το ίδιο κρέας;
( αναγωγή)
Λύση
Απάντηση:
Θανάσης Πρέντζας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ΄ ΤΑΞΗΣ – 7η
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: …………………………………………………………………………… Πώς τα πήγα: ……………
1. Υπολογίστε τα γινόμενα και τα πηλίκα με τον πιο σύντομο τρόπο.
25 Χ 50 = ……………… 300 Χ 400 = …………………… 25 Χ 25 = …………………
500.000 : 5.000 = …………… 1.000.000 : 4 = ……………… 360.000 : 120 = ………
2. Με τα ψηφία 5, 6, 0, 9, 3, 8 να φτιάξετε 3 αριθμούς μεγαλύτερους από τις 500.000 και 3
αριθμούς μικρότερους από τις 500.000.
Μεγαλύτεροι από 500.000: ……………………………………………………………………………………………
Μικρότεροι από 500.000: ………………………………………………………………………………………………
3. Ο Κώστας εάν αγοράσει 5 τετράδια θα πληρώσει 45 €. Πόσα € θα πληρώσει εάν αγοράσει
12 τετράδια;
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………………………
4. Η μητέρα εργάζεται σε μια βιομηχανία και παίρνει μισθό 1.256 € το μήνα. Κάθε χρόνο
ξοδεύει 4.600 € για ενοίκιο, 9.800 € για ρούχα και διατροφή και τα υπόλοιπα τα βάζει
στην τράπεζα. Πόσα € αποταμιεύει το χρόνο;
Απάντηση: …………………………………………………………………………………………
5. Συμπληρώστε το τελευταίο ψηφίο των αριθμών ώστε να διαιρούνται ακριβώς με ….
Το 5 36.45… 243.00… 365.23…
Το 2 243.98… 5.45… 456.34…
Το 100 123.8…… 132.4…… 12.5……
Γιάννης Σαλονικίδης

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Ονοματεπώνυμο:
1.Ένας γεωργός πούλησε 13 τελάρα με ντομάτες που το καθένα περιείχε 24 κιλά ντομάτες.
Το κάθε κιλό το πουλούσε με 2,40€. Πόσα χρήματα εισέπραξε συνολικά;
2. Ένας αγροτικός συνεταιρισμός εισέπραξε από την πώληση των προϊόντων του 24.145€.
Τα μέλη του συνεταιρισμού είναι 17. Πόσα χρήματα πήρε ο καθένας από την πώληση των
προϊόντων;
3.Ένας οινοποιός συσκεύασε σε φιάλες των 12 κιλών 4.216 κιλά κρασί. Πόσες φιάλες
χρειάστηκε;
4.Ο κ. Γιώργος είναι συλλέκτης γραμματοσήμων. Έχει γεμίσει 28 σελίδες από το άλμπουμ
και στην κάθε μία έχει τοποθετήσει 16 γραμματόσημα. Πόσα γραμματόσημα έχει ο κ.
Γιώργος;
∆όµνα Θεοδοσίου

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:_________________________________________ 14/5/2013
1. Κάνω κάθετα τα γινόµενα και τις δοκιµές τους.
168 • 254 329 • 283 297 • 238
2. Κάνω κάθετα τις διαιρέσεις και επαληθεύω.
42811 : 13 Επαληθεύω 80736 : 97 Επαληθεύω
8763 : 31 Επαληθεύω 5176 : 26 Επαληθεύω

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:_________________________________________ 14/5/2013
3. Έξι ίδια κινητά
τηλέφωνα κοστίζουν
768 ευρώ. Πόσα ευρώ
κοστίζουν έντεκα από
αυτά τα τηλέφωνα;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:
_________________________________
4. Ο Θοδωρής ζυγίζει
67 κιλά και 78
γραµµάρια και είναι
8,162 κιλά βαρύτερος
από τον Μηνά. Πόσο
ζυγίζει ο Μηνάς;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:
_________________________________
5. Ένα ορθογώνιο έχει
εµβαδόν 1.850 τ.µ., ενώ το
πλάτος του είναι 19 µ.
Βρίσκω το µήκος και την
περίµετρό του.
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ
ΠΡΟΒΛΗΜΑ
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:
__________________________________
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:
__________________________________
6. Μια επιχείρηση διαθέτει 17 δεξαµενές
γεµάτες µε πετρέλαιο. Η χωρητικότητα
της καθεµιάς είναι 640 λίτρα. Αν τα 100
λίτρα πετρέλαιο κοστίζουν 71 €, πόσα
χρήµατα ξοδεύτηκαν για να γεµίσουν
όλες οι δεξαµενές, αν δεχτούµε ότι
αρχικά ήταν άδειες;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:____________________________
Παλάνης Αθανάσιος

∆ΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ _________________∆` ΤΑΞΗ / / 20___
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΟΝΟΜΑ : __________________________________
1. Κυκλώνω τους αριθµούς που είναι ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ …. :
• του 2 4 6 5 7 14 13 3 22
• του 5 15 13 25 50 45 23 67 80
• του 20 60 55 40 89 100 120 80 45
• του 45 95 90 120 180 130 360 135 150
2. Κάνω τους πολλαπλασιασµούς ΚΑΘΕΤΑ :
1 2 5 3 5 0 8 7 0 3 2 1
x 2 3 4 x 2 3 3 x 4 5 5 x 1 2 2
3. Λύνω τα προβλήµατα :
• Το λεωφορείο του κυρίου Παυσανία έκανε πέρσι καθηµερινά 278 χιλιόµετρα σε όλη
τη διάρκεια του έτους. Πόσα χιλιόµετρα διήνυσε συνολικά όλο το έτος ;
Απάντηση : _______________________________________________________
• Η κυρία Ειρήνη έχει κατάστηµα µε ποδήλατα. Από τότε που άνοιξε το κατάστηµα
έχει πουλήσει µέχρι σήµερα, 123 ανδρικά ποδήλατα προς 320 € το καθένα, 102
γυναικεία ποδήλατα προς 285 € το καθένα και 234 παιδικά ποδήλατα προς 155 € το
καθένα. Πόσα χρήµατα έχει εισπράξει συνολικά µέχρι σήµερα ;
Απάντηση : ___________________________________________Ιωακειµίδης Παύλος

Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://xristx.blogspot.gr σ

Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://xristx.blogspot.gr

283
283
7ç ÅðáíÜëçøç
• 3 ÷ 12.453 = 37.359 • 5 ÷ 12.453 = 62.265
ÁðÜíôçóç óôçí
Üóêçóç 1
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 18
Üóêçóç 2
• ìå ôï 2 → 45.746
• ìå ôï 5 → 2.305
• ìå ôï 100 → 2.800
Üóêçóç 3
ÅëÝã÷ù áí ôo 46.400 åßíáé:
• ðïëëáðëÜóéï ôïõ 32 • ðïëëáðëÜóéï ôïõ 26
Äåí åßíáé ðïëëáðëÜóéï ôïõ 32, áöïý:
ÄçëáäÞ, 32 ÷ 1450 = 46.400
4 6 4 0 0 32
-32 1450
144
-182
160
-160
0 0
Äåí åßíáé ðïëëáðëÜóéï ôïõ 32, áöïý:
ÄçëáäÞ, 46.400 = 26 ÷ 1784 + 16
4 6 4 0 0 26
-26 1784
20 4
-182
220
-208
120
-104
16

284
284
Üóêçóç 4
380 ÷ 200 = 76.000 400 ÷ 200 = 80.000
á. Åîçãþ: Ï Óáë åßíáé ðéï êïíôÜ óôï ðñáãìáôéêü áðï-
ôÝëåóìá óå ó÷Ýóç ìå ôï ÍéêÞôá, áöïý üóï
Ý÷åé óôñïããõëïðïéÞóåé ôïí Ýíáí áñéèìü
ðñïò ôá ðÜíù, Ý÷åé óôñïããõëïðïéÞóåé êáé
ôïí Üëëïí áñéèìü ðñïò ôá êÜôù.
375
+ 205
1.875
000
750
76.875
â.
Üóêçóç 5
(10 ÷ 30) +(5 ÷ 30) = 300 + 150 = 450
(160 ÷ 5) – (3 ÷ 5) = 800 - 15 = 785
(25 ÷ 25)–(1 ÷ 25) = 625 – 25 = 600
(120 ÷ 50) + (3 ÷ 50) = 6.000 + 150 = 6.150

285
285
Èá õðïëïãßóù ôá ÷ñÞìáôá ðïõ Ýäùóáí ïé áãïñáóôÝò ìå ôç âïÞèåéá ôïõ ðáñá-
êÜôù ðßíáêá. Èá õðïëïãßóù ôá åðéìÝñïõò ãéíüìåíá êáé Ýðåéôá èá ôá áèñïßóù.
20.000 2.000 600
3.000 300 90
500 50 15
235
÷ 113
705
235
235
26.555
â.
Ôá ÷ñÞìáôá ðïõ Ýäùóáí ïé áãïñáóôÝò åßíáé:
26.555
• Óå ìéá äçìïðñáóßá ìå ðáëéÜ íïìßóìáôá ïé áãïñáóôÝò Ýäùóáí 26.555 . Áí ôá íïìßóìáôá ðïõ
ðïõëÞèçêáí Þôáí 235 óå óýíïëï, ðüóï êüóôéóå ôï êÜèå Ýíá óôïõò áãïñáóôÝò;
26.555:235 = 113
Ôï êÜèå íüìéóìá ðïõëÞèçêå 113 .
Üóêçóç 6
á. 20.000 + 2.000 + 600 + 3.000 + 300 + 90 +
500 + 50 + 15 = 26.555

286
286
ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò
1. Óõìðëçñþíù ôïí ðßíáêá:
2. Óõìðëçñþíù ôá êåíÜ.
300.000
289.999 + .....
490.000 – .....
..... ÷ 50.000

287
287
3. H Ìáñßá áãüñáóå ìÞëá ðñïò 3 . Áí åß÷å ìáæß ôçò 19 , ðüóá êéëÜ ìÞëá
ìðïñïýóå íá áãïñÜóåé êáé ðüóá ÷ñÞìáôá èá ôçò Ýìåíáí;
4. 35 åñãÜôåò ðáßñíïõí çìåñïìßóèéï 55 ôçí çìÝñá. Ðüóá åßíáé ôá ÷ñÞìáôá ðïõ äßíïíôáé ãéá ìéóèïýò
óôïõò åñãÜôåò óå Ýíá ìÞíá, áí åñãÜæïíôáé 25 çìÝñåò ôï ìÞíá;
5. ¸÷ù Ýíáí áñéèìü óôï ìõáëü ìïõ. Áí ôïí äéáéñÝóù ìå ôï 11, èá âñù 10 êáé èá ìïõ ðåñéóóÝøïõí
5. Ðïéïò åßíáé ï áñéèìüò áõôüò;
6. ÁãïñÜóáìå 1.200ãñáìì. êñÝáò êáé ðëçñþóáìå 12,5 . Áí áãïñÜæáìå 4 êéëÜ êñÝáò, ðüóá ÷ñÞìáôá
èá äßíáìå;

Μαθηματικά Δ΄ ΄΄Επανάληψη 7ης Ενότητας, κεφ. 41 - 46΄΄

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (15)

Similar to Μαθηματικά Δ΄ ΄΄Επανάληψη 7ης Ενότητας, κεφ. 41 - 46΄΄

Similar to Μαθηματικά Δ΄ ΄΄Επανάληψη 7ης Ενότητας, κεφ. 41 - 46΄΄ (20)

More from Χρήστος Χαρμπής

More from Χρήστος Χαρμπής (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Μαθηματικά Δ΄ ΄΄Επανάληψη 7ης Ενότητας, κεφ. 41 - 46΄΄