1. 3
53
М268
СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Новосибирск 2008
ОСНОВЫ ФИЗИКИ
(для студентов экономических
специальностей)
Часть 1
Механика. Колебания и волны
Учебное пособие
Утверждено редакционно-издательским советом
университета в качестве учебного пособия
В.А. Марков, П.М. Плетнев
3. 5
Список сокращений и условных обозначений
, ,x y z — координаты точки
r
r
— радиус-вектор
, ,i j k
rr r
— единичные орты
a b×
rr
— векторное произведение векторов
a b⋅
rr
— скалярное произведение векторов
t — время
t∆ — промежуток времени
r∆
r
— вектор перемещения
d
dt
— оператор производной
v
r
— вектор скорости
a
r
— вектор ускорения
— обозначение средней величины
na
r
— вектор нормального ускорения
aτ
r
— вектор тангенциального ускорения
g
r
— ускорение свободного падения
ϕ — угол поворота (угловой путь)
dϕ
r
— вектор углового перемещения
ω
r
— вектор угловой скорости
ε
r
— вектор углового ускорения
ÒÐF
r
— сила трения
ÓÏ ÐF
r
— сила упругости
m — масса
p
r
— импульс
A — работа
Ê Ï, ,E E E — энергия, кинетическая энергия и потенциальная энергия
M
r
— момент силы
L
r
— момент импульса
I — момент инерции
T — период колебания
ν — частота колебаний
0ω — циклическая частота собственных колебаний
λ — длина волны
δ — коэффициент затухания
V — скорость распространения волны
4. 6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие предназначено для теоретического изучения основ физики студен-
тами нетехнических специальностей. Продолжительность курса физики для экономических спе-
циальностей составляет один семестр. При освоении материала, представленного в пособии, не
требуется глубокого знания дифференциального и интегрального исчисления, однако знания ма-
тематики в объеме программы средней школы и основ математического анализа необходимы.
Физика — наука экспериментальная, многие физические величины имеют определенное количе-
ственное значение только тогда, когда указаны единицы этих величин. Так, например, длина стержня
равна 1 м, или 100 см, масса камня равна 33 кг и т.д. В работе уделяется должное внимание единицам
измерения физических величин и рассматриваются основы анализа размерностей.
Приводимые определения физических величин, явлений и формулировки законов не перегру-
жены строгими математическими выводами, последние всегда можно найти в оригинальных учеб-
никах для вуза. Всесторонний анализ физических явлений и разбор оригинальных задач позволит
студентам освоить основополагающие законы физики и уверенно применять их в различных ситу-
ациях.
Учебное пособие состоит из трех частей, которые нужно рассматривать как одно целое. Часть 1
— Механика, колебания и волны. Часть 2 — Молекулярная физика и термодинамика, электромаг-
нетизм. Часть 3 — Оптика, физика атома и ядра.
Последовательное теоретическое освоение материала настоятельно рекомендуется студентам, у
которых были проблемы с физикой в школе.
Авторы с благодарностью примут замечания и рекомендации, которые обязательно будут учте-
ны в дальнейшей работе.
5. 7
ВВЕДЕНИЕ
Физика — наука, изучающая наиболее общие закономерности явлений природы, свойства и
строение материи и законы ее движения.
Понятия физики и ее законы лежат в основе всего естествознания. Физика относится к точным
наукам и изучает количественные закономерности явлений.
Главная цель физики — выявить и объяснить законы природы, которыми определяются все фи-
зические явления. Законы физики представляют собой количественные соотношения и формули-
руются на математическом языке, этим занимается теоретическая физика. Экспериментальная
физика — опыты, проводимые для обнаружения новых фактов и проверки известных физических
законов.
В истории физики известны случаи, когда для объяснения результатов эксперимента приходилось
вводить новые постулаты (аксиомы), менять представления об устоявшихся теориях. Так, были введе-
ны постулаты Бора, корпускулярная теория света и др.
История физики — это тысячелетний путь развития идей об окружающем мире. Были развиты
представления об атомарном строении вещества, открыты простейшие законы статики и гидростати-
ки, законы прямолинейного распространения и отражения света и др. Развитие физики как науки, в
современном смысле этого слова, началось в ХVII в. и связано, в первую очередь, с именем итальян-
ского ученого Г. Галилея, который понял необходимость математического описания движения.
По мере изложения материала в учебном пособии будут прослежены основные этапы развития
физики.
В прил. А даны основные формулы по рассматриваемым темам, прил. Б содержит алфавитно-
предметный указатель.
1. ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И ИХ РАЗМЕРНОСТИ
1.1. Измерение и единицы измерения
физических величин
Для установления количественных соотношений между физическими величинами их необхо-
димо измерять. Измерение различных величин — это сравнение их с соответствующими эталона-
ми. Такие эталоны можно выбрать различными способами. Так, длину можно измерять в метрах
или в дюймах, в зависимости от выбранного эталона длины. Массу можно измерять в килограм-
мах, граммах, в фунтах, в унциях и т.д. Время обычно измеряют в секундах, в часах. Площадь из-
меряется в арах, гектарах, квадратных метрах или других единицах площади. Многие физические
величины можно выразить через другие величины, если воспользоваться их определением. Так,
скорость выражается как пройденный путь, деленный на время движения: v = s/t, и соответственно
размерность скорости равна размерности пути, деленной на размерность времени, т.е. [v] = [s]/[t].
Величина в квадратных скобках обозначает размерность этой величины. Скорость может быть
выражена в разных единицах измерения, например, в м/с, милях/ч. Чтобы отразить саму размер-
ность физической величины, введем обозначения для основных величин: длина — L, время — T и
масса — М. Размерности основных величин совпадают с их обозначением: размерность длины
равна L, размерность времени равна Т, размерность массы равна М. Тогда размерности других фи-
зических величин можно выразить через эти основные размерности. Так, для скорости получим:
[v] = [s]/[t] = L/T = LT -1
.
В табл. 1.1 приведены некоторые соотношения такого рода.
Таблица 1.1
Размерности некоторых физических величин,
выраженные через длину L, время T и массу М
Величина Размерность
Площадь L2
Объем L3
Скорость LT -1
Ускорение LT -2
6. 8
Окончание табл. 1.1
Величина Размерность
Плотность ML-3
Импульс MLT -1
Сила MLT -2
Энергия ML2
T -2
Частота T -1
Момент импульса ML2
T -1
Давление ML-1
T -2
Понятия длины, площади и объема определяются в евклидовой геометрии. Существует не-
сколько стандартных единиц длины: это — метр, дюйм, фут, миля и сантиметр. В 1978 г. боль-
шинство стран официально договорились использовать метрическую систему. В 1960 г. на 11-й
Генеральной конференции по мерам и весам была принята Международная система единиц (СИ),
имеющая семь основных единиц: метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела.
Международная система единиц (СИ) —
System International — SI
Основные единицы
Метр (м) — единица длины, равная 1650763,73 длины волны в вакууме излучения, соответ-
ствующего переходу между уровнями 2p10 и 5d5 атома криптона-86. До 1960 г. международным
эталоном метра была штриховая мера длины — брусок из платиново-иридиевого сплава, храня-
щийся в Международном бюро мер и весов в Севре (близ Парижа).
Килограмм (кг) — масса, равная массе международного прототипа, хранимого в Международ-
ном бюро мер и весов в Севре (близ Парижа). Прототип килограмма сделан из платиново-
иридиевого сплава (90 % Pt, 10 % Ir) в виде цилиндрической гири диаметром и высотой 39 мм.
Секунда (с) — единица времени. Различают атомную секунду, воспроизводимую цезиевым эта-
лоном частоты и времени, и эфемеридную секунду, размер которой связан с периодом обращения
Земли вокруг Солнца. За эфемеридную секунду принята 1/31556925,9747 доли тропического года.
Атомная и эфемеридная секунды совпадают с точностью 2⋅ 10-9
.
Ампер (А) — сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным
прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого поперечного сечения, рас-
положенных в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, создает между ними силу, равную 2⋅ 10-7
Н (Ньютона) на каждый метр длины.
Кельвин (К) — единица термодинамической температуры, равная 1/273,16 части термодинами-
ческой температуры тройной точки воды.
Моль (моль) — количество вещества системы, содержащей столько же структурных элементов,
сколько атомов содержится в 12 г изотопа углерода 12
6 C.
Кандела (кд) — сила света, испускаемого с площади 1/600000 м2
сечения полного излучателя в
перпендикулярном к этому сечению направлении при температуре излучателя, равной температу-
ре затвердевания платины (2042 К), и давлении 101325 Па.
Дополнительные единицы системы СИ
Радиан (рад) — угол между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна
радиусу.
Стерадиан (ср) — телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности
сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.
Единицы измерения некоторых физических величин названы в честь известных ученых: единица
силы — ньютон (Н), единица энергии — джоуль (Дж), единица частоты — герц (Гц) и т.д. Размерно-
сти этих величин также могут быть выражены через основные единицы, соответствующие выбранной
системе единиц (см. табл. 1.1): [Н] = МLT -2
⇒ кг ⋅ м/с2
, [Дж] = ML2
T -2
⇒ кг ⋅ м2
/с2
, [Гц] = Т -1
⇒
с-1
. Здесь знак ⇒указывает, что данной размерности соответствует определенное выражение из ос-
новных единиц международной системы (СИ).
В метрической системе очень просто перейти от одной единицы измерения к другой — более
крупной или более мелкой. Для этого вводятся кратные единицы измерения, с добавлением множите-
ля, равного десяти в соответствующей степени (табл. 1.2).
Таблица 1.2
Приставки к кратным метрическим единицам измерения
7. 9
Приставка
Обозначение
Множитель
Пример
Приставка
Обозначение
Множитель
Пример
экса Э 1018
эксаметр, Эм деци д 10-1
дециметр, дм
пета П 1015
петаграмм, Пг санти с 10-2
сантиметр, см
тера Т 1012
тераватт, ТВт милли м 10-3
миллиметр, мм
гига Г 109
гигавольт, ГВ микро мк 10-6
микроампер, мкА
мега М 106
мегаватт, МВт нано н 10-9
нанометр, нм
кило к 103
килограмм, кг пико п 10-12
пикофарад, пФ
гекто г 102
гектолитр, гл фемто ф 10-15
фемтометр, фм
дека да 10 декаметр, дам атто а 10-18
аттоватт, аВт
1.2. Преобразование единиц измерения
Одна и та же измеряемая физическая величина может быть представлена в различных единицах
величин. Так, скорость может быть представлена в км/ч, м/с, см/с и т.д. В международной системе
(СИ) скорость должна быть представлена в м/с. Все расчетные формулы, если они приведены в
СИ, будут давать правильный результат (численное значение) только тогда, когда все численные
значения величин, входящих в эту формулу, будут выражены в СИ. Если исходные данные приве-
дены не в СИ, то их нужно преобразовать в СИ. В качестве примера рассмотрим представление
скорости 60 км/ч в единицах СИ:
v = 60 км/ч = 60 (1 км)/(1 ч).
Теперь вместо прежней единицы (км) подставим ее значение в метрах (1⋅ 103
м). В знаменатель
вместо 1ч подставим 3,6⋅ 103
с:
v = 60 (1⋅ 103
м)/(3,6⋅ 103
с) = 16,67 м/с.
Другой способ преобразования единиц измерения состоит в умножении на величины, равные 1,
а именно на (1⋅ 103
м)/(1 км) и (1 ч/3,6⋅ 103
с). Таким образом, имеем
v = 60 (км/ч)⋅ 1⋅ 1 =
= (60 км/ч)⋅ (103
м/1 км)⋅ (1 ч/3,6⋅ 103
с) = 16,67 м/с.
Иногда вместо того, чтобы вводить единицы в знаменатель, удобно использовать отрицатель-
ные степени, например, писать м⋅ с-1
, а не м/с.
1.3. Анализ размерностей
Размерность физической величины выражается через размерности основных величин выбран-
ной системы единиц: размерность длины (L), размерность времени (Т), размерность массы (М).
Если при решении задачи для искомой физической величины, например, B найдено выражение че-
рез другие величины, известные по условию задачи, и физические константы (справочные дан-
ные), то размерность В должна в точности совпадать с размерностью найденного выражения:
[B] = [найденное выражение].
Если размерность найденного выражения не совпадает с размерностью B, то нужно искать
ошибку, задача решена неверно.
Формула размерности единицы какой-либо физической величины B имеет вид:
[B] = Lx
M y
Tz
,
где x, y, z — целые или дробные, положительные или отрицательные вещественные числа, кото-
рые называются показателями размерности, или размерностями единицы некоторой величины B
относительно единиц длины, массы и времени соответственно (см. табл. 1.1).
Если для исследуемого явления установлено, с какими величинами может быть связана искомая
величина, но вид этой связи не известен, для ее нахождения составляют уравнение размерностей, в
котором в левой части будет стоять символ искомой величины со своим показателем размерности, а в
правой — произведение символов величин, от которых искомая величина зависит, но с неизвестными
показателями размерности. Задача нахождения связи между физическими величинами сводится в этом
случае к отысканию значений соответствующих показателей размерностей. Если, например, требуется
определить время t прохождения пути s телом массы m, движущимся поступательно и прямолинейно
под действием постоянной силы F, то можно составить уравнение размерности, имеющее вид:
[t] = [s] x
[m] y
[F] z
= Lx
M y
(LMT -2
)z
= T,
8. 10
где x, y, z не известны.
Здесь было учтено:
[t] = T, [s] = L, [m] = M, [F] = LMT -2
.
Требование равенства показателей размерности левой и правой частей в уравнении приводит к си-
стеме уравнений: x + z = 0, y + z =
= 0, –2z = 1, откуда следует, что x = y = 1/2, z = –1/2 и t = C (ms/F)1/2
. Безразмерный коэффициент С,
равный согласно законам механики 21/2
, определить в рамках анализа размерностей нельзя. В этом со-
стоит своеобразие анализа размерностей. Устанавливаемая с его помощью зависимость искомой вели-
чины от величин, определяющих исследуемое явление, находится с точностью до постоянного коэф-
фициента. Во многих задачах и вовсе не нужно знать множитель пропорциональности, например, ко-
гда нужно сравнить скорость звука в двух различных средах, находящихся при одинаковых внешних
условиях. В любом случае, когда это возможно, анализ размерностей используется для проверки всех
выкладок и расчетов.
2. МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Механика — это раздел физики, в котором изучаются основные особенности и законы механиче-
ского движения, которое представляет собой перемещение в пространстве с течением времени одних
материальных тел относительно других и является наиболее простой формой движения из всех суще-
ствующих в природе. Чтобы найти законы механического движения, нужно сначала описать это дви-
жение. Раздел механики, в котором изучаются методы описания и основные особенности механиче-
ского движения тел без учета их взаимодействия, называется кинематикой.
Законы механического движения с учетом взаимного влияния тел друг на друга изучаются в рамках
другого раздела механики — динамики. Наконец, существует еще один раздел механики, третий, —
статика, — в рамках которого изучаются условия равновесия тел, т.е. условия их покоя.
2.1. Определение положения тел в пространстве.
Система координат
Для того, чтобы полностью описать движение материальной точки в пространстве, выберем
удобную систему координат: выберем тело отсчета, по отношению к которому определяется по-
ложение других тел, и нарисуем три пересекающиеся под прямыми углами друг к другу прямые
(оси координат) так, чтобы точка пересечения этих прямых (начало отсчета координат) совпа-
дала с телом отсчета. Такую систему координат называют декартовой (по имени великого фран-
цузского философа и математика Рене Декарта (1596 – 1650). Если ввести три единичных вектора
i
r
, j
r
, k
r
, направленных вдоль координатных осей (единичные орты), то радиус-вектор r
r
можно
представить в виде суммы трех векторов (рис. 2.1):
r xi yj zk= + +
rr rr
, 1.i j k= = = (2.1)
Рис. 2.1. Разложение радиуса-вектора на составляющие
вдоль координатных осей
Длину вектора r
r
можно найти, скалярно умножив его на r
r
: r
r
⋅ r
r
= r2
, или можно записать: r2
= x2
+ y2
+ z2
. В любой момент времени положение материальной точки в выбранной системе координат
будем задавать тремя числами (координатами): x, y и z, или, что то же самое, вектором r , который
называют радиусом-вектором. Движение материальной точки полностью задано, если указан закон
изменения во времени ее координат:
( ), ( ), ( )x x t y y t z z t= = = , (2.2)
9. 11
или, что то же самое, ее радиуса-вектора:
( )r r t=
r r
. (2.3)
Кривая, описываемая материальной точкой при ее движении в пространстве, называется тра-
екторией движения. Уравнения (2.2) и (2.3) называются кинематическими уравнениями движения
точки. Уравнения заданы в координатной и векторной формах соответственно. Они могут рас-
сматриваться как уравнения траектории движения. При этом функции (2.2) и (2.3) непрерывны и
дифференцируемы, что является следствием непрерывности пространства и времени.
2.2. Векторы.
Операции с векторными величинами
В отличие от обыкновенного числа (скаляра) вектор определяется тремя числами в трехмерном
пространстве. Например, введенный нами радиус-вектор r , задающий положение тел в пространстве
(см. рис. 2.1), определяется тремя координатами: x, y и z. Собственно, любую тройку чисел мы и могли
бы называть вектором. Таким образом, когда мы пишем r , это означает, что мы имеем в виду три
числа: x, y и z, которые описывают векторную величину r в выбранной системе координат. Эти три
числа называются составляющими (или компонентами) вектора r . Когда мы записываем уравнение
(2.3), мы имеем в виду три уравнения (2.2).
Векторные величины имеют очень наглядную геометрическую интерпретацию: вектор можно
представить как отрезок, имеющий направление (или направленный отрезок). Так, r — это отрезок,
проведенный из начала координат в место положения материальной точки. При этом ясно (см. рис.
2.1), что длина этого отрезка r определяется его компонентами (теорема Пифагора):
2 2 2
r x y z= + + . (2.4)
Геометрическая интерпретация векторных величин позволяет определить и легко понять раз-
личные математические операции с векторами. Прежде всего, можно определить сумму векторов
a и b как вектор c с компонентами cx = ax + bx, cy = ay + by и cz =
= az + bz, т.е. c a b= +
rr r
. Складывать векторы можно геометрическим построением: есть метод па-
раллелограмма (рис. 2.2) и метод треугольника (рис. 2.3). При этом складывать векторы можно в
любом порядке.
а) б) в)
Рис. 2.2. Сложение векторов методом параллелограмма ( 1 2R F F= +
r r r
)
Рис. 2.3. Сложение векторов методом треугольника
Можно ввести операцию умножения вектора a на число α, понимая под этим новый вектор с
компонентами α ax, α ay и α az: A a= α
r r
.
Благодаря существованию такой операции, любой вектор можно представить в виде произве-
дения его длины на единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице), задающий
направление. Например, радиус-вектор rr re=
r r
, где re
r
— единичный вектор, направленный так же,
как и r .
Вычитание векторов 1r и 2r можно рассматривать как сложение вектора 1r
r
с вектором (– 2r
r
),
длина которого будет равна длине 2r , а направление будет противоположно направлению 2r (рис.
2.4):
1 2 1 2( )r r r r− = + −
r r r r
.
10. 12
Рис. 2.4. Сложение и вычитание векторов
Вектор можно разложить на проекции по координатным осям (рис. 2.5).
ау
ах
Рис. 2.5. Нахождение длин проекций векторов аy и аx на оси координат
Важными являются операции скалярного и векторного произведения векторов.
Векторным произведением произвольных векторов a и b называют вектор, длина которого
равна произведению длин векторов a и b на синус угла между ними:
f a b= ×
r rr
, sin( )f ab= ϕ , ( , )a bϕ = ∠
rr
, (2.5)
а направление (рис. 2.6) перпендикулярно плоскости, в которой лежат a
r
и b
r
, и определяется
«правилом правого винта»: оно совпадает с направлением поступательного движения правого
винта, если вращать его от первого вектора произведения ко второму (т.е. от a
r
к b
r
). Модуль век-
торного произведения имеет простой геометрический смысл — выражение sin( )ab ϕ численно
равно площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах a
r
и b
r
.
Рис. 2.6. Векторное произведение
Скалярным произведением произвольных векторов a
r
и b
r
называют число, определяемое про-
изведением длин этих векторов на косинус угла между ними:
cos( )a b ab⋅ = ϕ
rr
, ( , )a bϕ = ∠
rr
. (2.6)
Можно определить смысл скалярного произведения и несколько иначе: оно
равно произведению длины проекции вектора a
r
на направление b
r
и длины
вектора b
r
(рис. 2.7). Используя такую интерпретацию скалярного произведе-
ния, можно показать, что через компоненты векторов a
r
и b
r
оно выражается
следующим образом: x x y y z za b a b a b a b⋅ = + +
rr
.
Скалярное и векторное произведения вводятся, главным образом, для удобства, для сокраще-
ния математических записей. Так, например, длина радиуса-вектора (2.3) может быть записана
через скалярное произведение радиуса-вектора самого на себя:
2
r r r r= ⋅ ≡
r r r
.
Рис. 2.7. Скалярное
произведение
11. 13
2.3. Перемещение, путь и скорость перемещения
Знакомство с некоторыми положениями векторной алгебры позволяет дать более четкое опре-
деление скорости материальной точки. Но прежде, чем сделать это, нам потребуется определить
вектор перемещения.
Перемещением тела называется вектор 12r∆
r
, соединяющий начальную и конечную точки траек-
тории (рис. 2.8): 12 2 1 2 1( ) ( )r r t r t r r∆ = − ≡ −
r r r r r
(рис. 2.8, а).
Траекторией называется линия, описываемая движущейся точкой в пространстве. Уравнения
( ), ( ), ( )x x t y y t z z t= = = выражают уравнение траектории в параметрической форме. Решая их
совместно и исключая из них параметр t, можно найти связь между координатами точек простран-
ства, через которые проходит траектория.
Длиной пути s называется сумма длин всех участков траектории, пройденных точкой за рас-
сматриваемый промежуток времени от t1 до t2.
а) б)
в)
Рис. 2.8. Вектор перемещения — а;
последовательность векторов перемещения (при уменьшении it∆ )
приближается к траектории движения точки — б;
вектор средней скорости — в
На рис. 2.8 траектория изображена сплошной кривой линией, стрелка на этой кривой показыва-
ет направление движения точки со временем. Вектор перемещения точки за конечное время
12 2 1t t t∆ = − не совпадает с траекторией (рис. 2.8, а, б; совпадение будет, если траектория — пря-
мая линия). Если промежутки времени 1 2 3, , ,t t t∆ ∆ ∆ K выбирать достаточно малыми, то последова-
тельность векторов перемещения 1 2 3, , ,r r r∆ ∆ ∆
r r r
K будет все ближе подходить к траектории движе-
ния точки (см. рис. 2.8, б).
Средней скоростью движения точки в промежутке времени от t до t t+ ∆ называется скаляр-
ная величина cpv (для средней скорости принято и такое обозначение: <v>), равная отношению
длины пути s∆ , пройденного точкой за этот промежуток времени к его продолжительности t∆ :
ñð
( ) ( )
( , )
s s t t s t
v t t
t t
∆ + ∆ −
∆ = =
∆ ∆
. (2.7)
Вектором средней скорости движения точки ñðv
r
в промежутке времени от t до t t+ ∆ называ-
ется отношение приращения r∆
r
радиуса-вектора точки за этот промежуток времени к его про-
должительности t∆ :
ñð
( ) ( )
( , )
r r t t r t
v t t
t t
∆ + ∆ −
∆ = =
∆ ∆
r r r
r
. (2.8)
Мгновенной скоростью (или скоростью) движения точки называется векторная величина v ,
равная первой производной по времени от радиуса-вектора r движущейся точки:
0 0
( ) ( )
( ) lim lim
t t
dr r r t t r t
v t
dt t t∆ → ∆ →
∆ + ∆ −
= = =
∆ ∆
r r r r
r
. (2.9)
12. 14
Скорость направлена по касательной к траектории в сторону движения точки и численно равна
первой производной от длины пути по времени:
0 0
( ) ( )
( ) lim lim
t t
ds s s t t s t
v t
dt t t∆ → ∆ →
∆ + ∆ −
= = =
∆ ∆
. (2.10)
При этом мы понимаем, что равенство (2.9) представляет собой на самом деле три равенства
для составляющих скорости вдоль каждой из координатных осей:
( ) ( ) ( )
, ,x y z
dx t dy t dz t
v v v
dt dt dt
= = = . (2.11)
Величина скорости в направлении движения, т.е. длина вектора v
r
, определяется его компонен-
тами: 2 2 2
x y zv v v v= + + .
Геометрический смысл производной скалярной функции (одной переменной) заключается в сле-
дующем: производная
( )
( )
dx t
x t
dt
′= равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к кривой
x(t) в рассматриваемой точке, с осью ot (горизонтальной осью). На рис. 2.9, а приведена схема постро-
ения x∆ и t∆ для нахождения средней скорости xv
t
∆=
∆
. На рис. 2.9, б приведена схема построе-
ния касательной к кривой x(t). Определен угол наклона этой касательной к горизонтальной оси, и
определена мгновенная скорость через тангенс этого угла: v(t) = (x(t))′
= tg(α ). На рис. 2.9, в приведе-
ны зависимость x(t) и ниже — качественная зависимость v(t), т.е. производная этой функции. Тангенс
угла наклона касательной, проведенной к кривой x(t), для разных значений t определен на глаз (каче-
ственно).
а) б)
t
в)
Рис. 2.9. Геометрический смысл средней скорости — а;
мгновенной скорости — производной функции x(t) — б;
пример построения графика скорости v(t) по графику x(t) — в
Если с течением времени величина скорости не изменяется, то движение называют равномерным. Ес-
ли не изменяется направление вектора скорости, то движение будет прямолинейным, т.е. траектория та-
кого движения будет представлять собой прямую линию.
В общем случае траектория точки лежит в трехмерном пространстве, т.е. изменяются координаты
x, y, z. Рассмотрим вращающийся диск (скорость вращения может быть любая, даже переменная),
плоскость диска расположена произвольным образом по отношению к осям выбранной декартовой
системы координат. Выберем на краю диска (или в любом месте) точку А. Траектория движения этой
точки описывается координатами x, y, z, которые изменяются во времени. Но, с другой стороны, траек-
тория точки А лежит в плоскости диска и движение точки можно назвать плоским. Тогда можно вы-
брать систему координат такую, чтобы диск лежал, например, в плоскости XOY, и тогда координата z
не изменяется со временем (она равна нулю), и движение точки будет двумерным. Если точка движет-
ся по прямой линии, то можно выбрать такую систему координат (ось OX направлена по прямой), что-
бы движение было одномерным x(t). Вот почему при решении задач очень важно выбрать такую си-
стему координат, чтобы рассматриваемое движение в ней было наиболее простым. И еще очень
важно: любой достаточно маленький участок трехмерной траектории можно представить тра-
13. 15
екторией движения по окружности подходящего радиуса и нужным образом ориентированной в
пространстве. Представьте себе, что к данной точке траектории подносится вращающийся диск
нужного радиуса так, чтобы и траектория хорошо совпадала с кромкой диска, и вектор скорости
точки на траектории совпадал со скоростью точки на диске. Радиус выбранного диска будет равен
радиусу кривизны траектории в данной точке.
2.4. Ускорение
В общем случае величина и направление скорости могут изменяться с течением времени:
( )v v t=
r r
.
Мгновенным ускорением (или ускорением) называется векторная величина a
r
, характеризующая
быстроту изменения скорости движущейся точки и равная первой производной от мгновенной
скорости по времени:
0
( ) ( ) ( )
( ) lim
t
dv t v t t v t
a t
dt t∆ →
+ ∆ −
= =
∆
r r r
r
. (2.12)
Используя определение скорости (2.9), ускорение можно определить как вторую производную
от радиуса-вектора:
2
2
( )
( )
d r t
a t
dt
=
r
r
.
Геометрическая интерпретация ускорения для криволинейного движения приведена на рис.
2.10. При движении по криволинейной траектории всегда изменяется направление вектора скоро-
сти, а модуль скорости может изменяться или может оставаться постоянной величиной (автомо-
биль едет по извилистой дороге с постоянной скоростью 40 км/ч).
а)
в)
б)
Рис. 2.10. Геометрическое построение для наглядного определения
тангенциального ускорения aτ
r
, нормального ускорения na
r
и полного ускорения a
r
, равного векторной сумме aτ
r
и na
r
На рис. 2.10, б рассмотрен случай, когда величина скорости (модуль скорости) остается посто-
янной при движении по участку траектории радиуса R за короткий промежуток времени t∆ . Из-
менение скорости за это время nv∆
r
будет направлено перпендикулярно траектории к центру
окружности. Следовательно, и ускорение будет направлено к центру: n
n
v
a
t
∆
=
∆
r
r
(рис. 2.10, б, в), ве-
личина нормального (центростремительного) ускорения выражается через линейную скорость и
радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке:
2
n n
v
a a
R
= =
r
.
В общем случае изменяется и величина скорости — для определенности — возрастает, тогда
изменение скорости, связанное с этим возрастанием, будет направлено по касательной, т.е. по
направлению скорости точки (рис. 2.10, а). Это изменение скорости vτ∆
r
получило название —
тангенциальное изменение скорости, а ускорение, определяемое этим изменением, — тангенци-
альное ускорение
v
a
t
τ
τ
∆
=
∆
r
r
, которое будет направлено по касательной (рис. 2.10, в). Полное изме-
14. 16
нение скорости v∆
r
можно разложить на два взаимно перпендикулярных вектора: nv v vτ∆ = ∆ + ∆
r r r
, а
полное ускорение равно: na a aτ= +
r r r
и может лежать с той или с другой стороны от вектора нор-
мального ускорения, в зависимости от того, растет тангенциальная скорость или уменьшается
(рис. 2.11). Математической операцией, обратной дифференцированию, является интегрирование.
Поэтому из выражения
( )
( )
dv t
a t
dt
=
r
r
, зная начальную скорость 0v
r
и закон изменения ускорения
материальной точки ( )a t
r
со временем, нетрудно найти скорость ее движения в любой момент
времени:
0
0
( ) ( )
t
v t v a t dt= + ∫
r r r
. (2.13)
a
τ
a
n
a
a
n
a
τ
a
n a
Рис. 2.11. Различные взаимные положения векторов ускорения
Из выражения ( )
dr
v t
dt
=
r
r
, зная начальные координаты 0r
r
тела, можно найти координаты тела в лю-
бой момент времени, т.е. найти закон движения, или траекторию движения:
0
0
( ) ( )
t
r t r v t dt= + ∫
r r r
. (2.14)
2.5. Движение с постоянным ускорением
Теперь мы достаточно подготовлены для того, чтобы по начальным условиям (начальная ско-
рость и начальные координаты) и известному ускорению тела полностью описать его движение,
т.е. найти скорость и координаты тела в любой момент времени.
Рассмотрим в качестве примера движение материальной точки с постоянным ускорением
consta =
r
. С постоянным ускорением, в частности, движутся свободно падающие тела, что на опы-
те было доказано еще Галилеем (постоянное ускорение a
r
в этом случае принято обозначать бук-
вой g
r
и называть ускорением свободного падения, g = 9,81 м/с2
). Интегрирование ускорения (2.13)
дает закон изменения скорости движения при равноускоренном движении:
0( )v t v at= +
r r r
. (2.15)
Интегрирование скорости (2.14) дает закон изменения радиуса-вектора при равноускоренном
движении:
2
0 0( )
2
at
r t r v t= + +
r
r r r
. (2.16)
Два этих векторных уравнения (т.е. шесть уравнений для каждой из компонент векторов!) пол-
ностью определяют движение тел с постоянным ускорением.
Рассмотрим, например, как будет двигаться небольшой камень, если бросить его горизонтально
с начальной скоростью v0. Такое движение, как показывает наш повседневный опыт, будет плос-
ким, или двумерным, т.е. траектория камня будет лежать в одной плоскости, поэтому для его опи-
сания достаточно выбрать две координатные оси. Выберем ось у так, чтобы она была направлена
вертикально вверх, а ось х — горизонтально в направлении движения. Начало координат поместим
в точку начала движения (рис. 2.12, а). Таким образом, начальные координаты камня будут равны
нулю (х0 = 0, у0 = 0), а начальная скорость будет иметь только одну составляющую: v0x = v0, v0y = 0.
Вектор ускорения g
r
всегда направлен вниз, поэтому его составляющие будут равны соответ-
ственно нулю и –g (a0x = 0, a0y = –g).
15. 17
В соответствии с уравнениями (2.15) и (2.16) в горизонтальном направлении камень будет дви-
гаться с постоянной скоростью v0, а его координата 0( )x t v t= . Одновременно камень будет падать
вниз с постоянно растущей скоростью ( )yv t gt= − (знак «–» означает, что скорость направлена про-
тив оси у), а его координата y(t) изменяется по закону:
2
( )
2
gt
y t = − . (2.17)
Какую же кривую описывает камень, т.е. какова связь между координатами х и у? Исключив из
уравнения (2.17) время t, получим 2
2
02
g
y x
v
= − . Эту связь между координатами х и у можно рассмат-
ривать как уравнение траектории движения камня. Если изобразить ее графически, то получится кри-
вая, которая называется параболой (рис. 2.12, а). Таким образом, свободно падающее тело, будучи
брошенным в некотором направлении, движется по параболе. Если показать положение тела через
равные промежутки времени, то точки лежат на параболе, расстояние между точками возрастает (рис.
2.12, а). Проекции этих точек на вертикальную плоскость (ось oy) показаны черными точками, рассто-
яние между соседними точками увеличивается со временем. Проекции светлых точек на горизонталь-
ную плоскость (ось ox) показаны черными точками, расстояние между соседними точками остается
постоянным со временем. Мгновенная скорость в каждый момент времени определяется как векторная
сумма компонент скоростей по осям ox и oy. Ньютон первым описал это движение, подтвердив свои
законы и закон всемирного тяготения, так как ускорение g вызвано силой притяжения тела массой m к
Земле массой М. Если тело бросить с начальной скоростью под углом к горизонту с некоторой высо-
ты, то траекторией его движения также будет парабола.
а) б)
в)
г)
Рис. 2.12. Примеры движения тела, брошенного с начальной скоростью,
в поле силы тяжести:
а — тело брошено горизонтально с некоторой высоты;
б — тело брошено под углом к горизонту с некоторой высоты;
в — схема нахождения результирующей скорости в момент времени t;
г — тело брошено перпендикулярно наклонной
плоскости (угол наклона α ), по направлению oy (система координат
выбрана так, чтобы ox было направлено по плоскости вниз)
На рис. 2.12, б показаны векторы перемещения за равные промежутки времени, они образуют пара-
болу. На рис. 2.12, г — траектория движения тела, брошенного перпендикулярно наклонной плоскости
с начальной скоростью v0. При решении этой задачи система координат выбрана так, чтобы ox было
направлено по плоскости вниз, а oy — перпендикулярно плоскости. Вектор ускорения свободного па-
дения g
r
нужно разложить на две проекции на оси координат компонент: gx и gy. По оси ox — движе-
ние равноускоренное, по оси oy — равнопеременное, вначале равнозамедленное, потом — равноуско-
ренное.
16. 18
2.6. Движение по окружности
На предыдущем примере мы убедились, насколько удобным оказывается описание явлений (в
частности движения) на языке математических формул. Мы видели, как много могут объяснить нам
всего две формулы: 0( )v t v at= +
r r r
,
2
0 0( )
2
at
r t r v t= + +
r
r r r
, — описывающие движение с постоянным уско-
рением, если уметь их читать и уметь с ними работать. Именно поэтому математика является языком
всех естественных наук, и знание этого языка позволяет нам общаться с Природой. Нам также стано-
вится ясно, насколько упрощается описание движения на языке векторных величин. Два уравнения,
(2.15) и (2.16), избавляют нас от необходимости записывать в общем случае шесть (!) уравнений для
составляющих векторов. Но и это еще не все! Если немного подумать, то придем к выводу, что вид
векторных уравнений (например, уравнений (2.15) и (2.16)) не зависит от выбора системы коорди-
нат, т.е. эти уравнения содержат в себе нечто такое, что не зависит от способа описания, содержат в
себе объективную истину. Действительно, разве зависят от нашего выбора системы координат вели-
чина и направление скорости камня, который мы бросим вверх? Конечно же, нет! Как бы мы ни
направляли координатные оси, камень все равно упадет на землю. Но величина и направление как раз
и задают вектор! Вы можете возразить, что мы определили вектор как тройку чисел, тройку его со-
ставляющих. И это действительно так. Но это не единственная тройка чисел, задающая один и тот же
вектор. В разных системах координат один и тот же вектор задается разной тройкой чисел. Боль-
ше того, декартова система координат является не единственной системой координат, а ее использова-
ние не всегда оказывается удобным. Было бы очень неудобно, например, задавать положение корабля
в океане при помощи координат х, у и z. Вместо этого используются угловые величины — широта и
долгота. При этом третьей величиной, необходимой для однозначного задания положения тела в
нашем трехмерном пространстве, является известный радиус земного шара — расстояние до начала
отсчета, в качестве которого выбирается центр земного шара.
б)
а) в)
Рис. 2.13. Трехмерная полярная система координат ( , ,r ϕ θ) — а;
двумерная полярная система координат ( ,r ϕ ) — б;
определение направления вектора угла поворота вокруг оси
по правилу буравчика — в
Система координат, в которой положение произвольной точки задается при помощи двух углов —
полярного — θ (широта) и азимутального — ϕ (долгота) и расстояния r до начала отсчета, называется
полярной (рис. 2.13, а, б). Еще одним примером, когда использование декартовой системы координат
оказывается неудобным (но не невозможным!), является движение материальной точки по окружно-
сти (или дуге окружности) заданного радиуса R или движение твердого тела (например, диска) вокруг
фиксированной оси. Единственное, что нужно знать для описания положения этой точки (или враща-
ющегося тела), — это угол поворота (угловой путь), отсчитываемый от какого-нибудь заранее вы-
бранного направления.
Таким образом, изучение движения материальной точки по окружности заданного радиуса (или
изучение вращающегося тела) сводится к изучению изменения угла поворота (всего одного, одной ко-
ординаты!) со временем. Возникает вопрос о направлении вращения, нужно ли отличать направление
вращения в одну сторону от вращения в другую сторону? Ответ зависит от того, что нас интересует:
если нам важен только факт поворота и его величина — то не нужно, а если важно направление,
17. 19
например, как при вращении пропеллера, — то нужно. Элементарные повороты (обозначаются ∆ϕ
r
или dϕ
r
) можно рассматривать как псевдовекторы. Угловое перемещение dϕ
r
— векторная величина,
модуль которой равен углу поворота, а направление совпадает с направлением поступательного дви-
жения правого винта (буравчика). Этот вектор рисуют на оси вращения (рис. 2.13, в). Используя опре-
деление векторного произведения (рис. 2.6) и формулу (2.5), можно определить dϕ
r
следующим обра-
зом: d r drϕ = ×
r r r
, здесь dr
r
— вектор перемещения точки, r
r
— радиус-вектор.
Подобно тому, как мы вводили понятия скорости и ускорения, мы можем ввести понятия угло-
вой скорости (скорости изменения углового пути) ω
r
:
0 0
( ) ( )
( ) lim lim
t t
d t t t
t
dt t t∆ → ∆ →
ϕ ∆ϕ ϕ + ∆ − ϕ
ω = = =
∆ ∆
r r r r
r
(2.18)
и углового ускорения (скорости изменения угловой скорости) ε
r
:
0 0
( ) ( )
( ) lim lim
t t
d t t t
t
dt t t∆ → ∆ →
ω ∆ω ω + ∆ − ω
ε = = =
∆ ∆
r r r r
r
. (2.19)
Вектор угловой скорости численно равен скорости изменения углового пути, направление век-
тора угловой скорости ω
r
совпадает с направлением вектора dϕ
r
и лежит на оси вращения. Вектор
углового ускорения ε
r
численно равен быстроте изменения угловой скорости, направление векто-
ра углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости ω
r
, если величина уг-
ловой скорости увеличивается, и ε
r
направлен против направления вектора угловой скорости, если
величина угловой скорости уменьшается. Векторы dϕ
r
, ω
r
и ε
r
лежат на оси вращения. Единица
углового пути (угла поворота) — радиан (рад). Единица угловой скорости — рад/с и единица уг-
лового ускорения — рад/с2
.
Операцией, обратной дифференцированию, является интегрирование. Поэтому из выражения
( )
( )
d t
t
dt
ω
ε =
r
r
, зная начальную угловую скорость 0ω
r
и закон изменения углового ускорения матери-
альной точки ( )tε
r
со временем, нетрудно найти угловую скорость ее движения в любой момент
времени:
0
0
( ) ( )
t
t t dtω = ω + ε∫
r r r
. (2.20)
Из выражения ( )
d
t
dt
ϕ
ω =
r
r
, зная начальный угол поворота 0ϕ точки, можно найти угловую коорди-
нату точки в любой момент времени, т.е. найти закон движения:
0
0
( ) ( )
t
t t dtϕ = ϕ + ω∫
r r r
. (2.21)
Рассмотрим в качестве примера движение материальной точки по окружности с постоянным
угловым ускорением constε =
r
. Интегрирование углового ускорения (2.20) дает закон изменения
угловой скорости движения при равноускоренном движении:
0( )t tω = ω + ε
r r r
. (2.22)
Интегрирование угловой скорости (2.21) дает закон изменения вектора поворота при равно-
ускоренном движении:
2
0 0( )
2
t
t t
ε
ϕ = ϕ + ω +
r
r r r
. (2.23)
Два этих векторных уравнения полностью определяют движение точки по окружности с посто-
янным угловым ускорением.
Движение материальной точки по окружности характеризуется угловыми величинами
( , ,ϕ ω ε
r r r
) и линейными величинами ( , ,s v a
r r r
). Так как мы описываем одно физическое явление
(движение по окружности) с помощью различных наборов величин (угловых и линейных), то
между этими величинами должна существовать взаимно однозначная связь, т.е. через одни вели-
чины можно выразить другие. Для простоты изложения мы представим такую связь не для век-
18. 20
торных величин, а для их значений (φ, ω и ε) и (s, v и a). Между значениями этих величин суще-
ствует достаточно простая связь. Линейный путь выражается через угловой путь: s R= ϕ . Диффе-
ренцируя это выражение по времени (радиус R окружности со временем не изменяется), нетрудно
получить связь линейной скорости с угловой скоростью:
ds d
R v R
dt dt
ϕ
= ⇒ = ω. (2.24)
Вектор скорости v
r
направлен по касательной к траектории (см. рис. 2.10), т.е. всегда перпен-
дикулярен радиусу окружности. При движении тела изменяется направление скорости и ее вели-
чина (в общем случае). Дифференцируя выражение v R= ω по времени и помня, что за изменение
величины скорости отвечает тангенциальное ускорение, получим:
dv d
R a R
dt dt
τ
ω
= ⇒ = ε . (2.25)
Тангенциальное ускорение направлено по касательной, т.е. по направлению скорости, если мо-
дуль скорости увеличивается, и против направления скорости, если модуль скорости уменьшается.
За изменение направления скорости отвечает нормальное ускорение:
2
2
n
v
a R
R
= = ω . (2.26)
Нормальное ускорение всегда направлено перпендикулярно вектору скорости, т.е. к центру окруж-
ности (см. рис. 2.11), и характеризует быстроту изменения направления вектора скорости v
r
.
Результирующее (полное) ускорение равно векторной сумме na a a= +τ , его величина может
быть определена по теореме Пифагора: 2 2
na a a aτ= = +
r
, отсюда следует, что движение по
окружности всегда является ускоренным.
Запишем теперь связь между угловыми характеристиками и линейными характеристиками в
векторной форме:
ds d r= ϕ×
rr r
, v r= ω×
rr r
, na a aτ= +
r r r
,
a rτ = ε×
rr r
, ( )na r= ω× ω×
r rr r
. (2.27)
Здесь все величины определены ранее. В приведенных формулах (2.24) – (2.26) R равно модулю
вектора r
r
.
Если материальная точка при движении имеет радиальную компоненту скорости rv
r
, то точка будет
иметь поворотное, или кориолисово ускорение: 2( )k ra v= ω×
rr r
. Кориолисово ускорение — это часть
ускорения точки. Например, при движении вдоль поверхности Земли вследствие ее вращения точка
будет иметь кориолисово ускорение по отношению к звездам, а не к Земле. Чтобы придать материаль-
ной точке кориолисово ускорение, на эту точку должны действовать реальные силы, сумма которых
равна силе Кориолиса. Силой Кориолиса объясняется подмыв соответствующих берегов рек (так
называемый закон Бэра), возникновение некоторых воздушных и морских течений.
3. ДИНАМИКА
Мы познакомились с основными методами описания движения, но при этом не отвечали на во-
прос, почему возникает движение, почему возникает тот или иной тип движения (скажем, движе-
ние по окружности). Мы научились по известному ускорению определять скорость и координаты
материальных точек, но ничего не говорили о том, как при этом найти само ускорение. Ниже мы
постараемся ответить на эти вопросы.
3.1. Силы в механике. Закон всемирного тяготения
Изучив природу движения, Ньютон решил (XVII в.), что именно Солнце может являться источни-
ком сил, управляющих движением планет. Также он убедился, что отклонения движения планет от
прямой в точности радиальны, что является следствием того, что все силы направлены точно к Солн-
цу. Кроме того, он сделал вывод, что чем дальше от Солнца планета, тем слабее сила. Сравнивая дви-
жение двух планет на разных расстояниях от Солнца, Ньютон пришел к выводу, что силы притяжения
их к Солнцу обратно пропорциональны квадратам расстояний от планет до Солнца. Проведя анализ,
он заключил, что должна существовать сила, обратная квадрату расстояния и направленная по прямой
19. 21
между Солнцем и планетой. Ньютон предположил, что эта связь применима не только к Солнцу,
удерживающему планеты, но она носит более общий характер. Он предположил, что такая же сила
удерживает Луну вблизи Земли, удерживает нас на Земле, что эта сила всеобщая и что все притягива-
ется ко всему. Ньютон сформулировал закон Всемирного тяготения: сила притяжения любых двух
тел прямо пропорциональна произведению масс этих тел, обратно пропорциональна квадрату рас-
стояния между ними и направлена вдоль прямой, соединяющей эти тела:
1 2
2
m m
F G
r
= . (3.1)
Коэффициент пропорциональности G = 6,672⋅10-11
Н⋅м2
/кг2
. Он называется постоянной всемирно-
го тяготения, или гравитационной постоянной, и одинаков для всех тел в природе. Закон всемирного
тяготения Ньютона позволил с высокой точностью определить орбиты планет Солнечной системы.
Для самого Ньютона наиболее важным доводом в пользу этого закона послужило полученное им до-
казательство того, что притяжение Земли действует и на Луну. Анализ движения Луны, проведенный
Ньютоном на основе закона всемирного тяготения, с высокой точностью совпадал с астрономически-
ми наблюдениями. Закон тяготения объяснил многие явления, прежде не совсем понятные и таин-
ственные. Например, периодическое повышение уровня воды морей и океанов, называемое приливом
и связанное с притяжением воды Луной. Закон тяготения Ньютона позволил сделать множество цен-
ных предсказаний, он позволил глубже понять устройство окружающего мира. Знание о существова-
нии тяготения позволяет понять, например, почему Земля круглая (ну, почти круглая): так как между
всеми телами существует притяжение, то и всё, из чего возникла Земля, тоже взаимно притягивалось
до тех пор, пока было куда притягиваться. Из закона тяготения, таким образом, следует, что и Солнце,
и Луна, и Земля, и другие планеты, и звезды, которые по современным представлениям возникли в
результате взаимного притяжения частиц межзвездных пылевых облаков, должны быть приблизи-
тельно шарами.
Одно из важнейших свойств силы — ее материальное происхождение. Говоря о силе, мы всегда
неявно предполагаем, что когда нет физических тел, то сила равна нулю. Если мы видим, что сила не
равна нулю, мы ищем по соседству ее источник. Можно сделать вывод: на тело действует столько сил,
сколько других тел находится по соседству. В этих утверждениях есть нечто новое: мы поняли, что
анализ силы вообще, действующей на тело, может быть сведен к анализу более простых сил, действу-
ющих между рассматриваемым телом и другим каким-то телом из его окружения. Примером такой
простой силы является сила тяготения. Формулируя свой закон тяготения, Ньютон отвечал на вопрос:
что такое сила и как ее вычислить? Если бы ничего, кроме тяготения, не существовало, то сочетание
закона тяготения и второго закона Ньютона оказалось бы завершенной теорией. Но кроме сил тяготе-
ния в природе существуют и другие силы.
Первое, на что необходимо обратить внимание, когда мы говорим о силах в природе, — это си-
ла тяжести, действующая на все тела вблизи поверхности Земли. Но теперь-то мы знаем, что сила
тяжести — это просто частный случай силы тяготения, действующей между всеми телами, обла-
дающими массой. Величина этой силы определяется законом тяготения Ньютона:
2
M
F mG mg
R
= = , (3.2)
здесь g — ускорение свободного падения, направленное к центру Земли. Если выразить силу, дей-
ствующую на массу m, которая находится на расстоянии r от массы M, то получим аналогичное выра-
жение:
( ) ( )2
M
F r mG mg r
r
= = . (3.3)
Так как F(r) и g(r) направлены к массе M, то можно записать
( ) ( )F r mg r=
ur r
, (3.4)
где ( )g r
ur
– векторное гравитационное поле, созданное массой M.
К силам тяготения можно отнести и силу, действующую на все тела, погруженные в жидкость или
газ (рис. 3.1):
AF gV= ρ ,
20. 22
здесь ρ — плотность жидкости (газа), V — объем погруженной в эту жидкость (газ) части тела, g —
ускорение свободного падения.
а) б)
Рис. 3.1. Ядра одинаково притягиваются к Земле, дальность их полета
зависит от начальной скорости — а; сила Архимеда
может быть сведена к силе тяготения — б
Выталкивающая сила впервые была описана Архимедом. Ее действие всегда сводится к тому, что
жидкость (газ) стремится вытолкнуть всякое погруженное в нее (в него) тело. При определенных усло-
виях эта сила может быть даже больше или равна силе тяжести, действующей на тело. И тогда это тело
не тонет. Именно действием силы Архимеда можно объяснить плавание больших, тяжелых кораблей в
океанах, «плавание» воздушных шаров и т.д.
В природе есть простые, или фундаментальные, силы, которые уже не сводятся ни к каким
другим типам сил, и есть силы, которые можно рассматривать как результат суммарного действия
более простых сил.
К фундаментальным силам природы можно отнести:
1) силы тяготения, действующие между любыми телами, обладающими массой;
2) электрические силы, действующие между любыми телами, обладающими зарядом;
3) силы магнитного взаимодействия, действующие между любыми движущимися зарядами;
4) силы, которые называют силами слабого взаимодействия, их действие проявляется в процессах
взаимного превращения мельчайших частиц материи, называемых элементарными частицами;
5) ядерные силы, действующие между частицами, входящими в состав атомного ядра.
3.2. Сила трения
Сила, с которой мы чаще всего встречаемся на практике, — это сила трения скольжения. Эта
сила всегда возникает при скольжении одного тела по поверхности другого и препятствует движе-
нию, т.е. направлена против скорости движения.
Если на тело действует сила, параллельная поверхности соприкосновения, но тело остается в покое,
то это значит, что возникла сила трения покоя (рис. 3.2, а). Приложенная сила и сила трения покоя
уравновешивают друг друга, результирующая сила равна нулю. Сила трения покоя направлена против
приложенной силы. На рис. 3.3, б линейный участок возрастания силы трения соответствует силе тре-
ния покоя. Достигнув максимальной величины, сила трения покоя не может возрастать больше, начи-
нается движение, и сила трения теперь стала называться силой трения скольжения, последняя чуть-
чуть меньше максимальной силы трения покоя.
а) б) в)
Рис. 3.2. Сила трения:
а — сила трения покоя; б — сила трения скольжения;
в — силы трения покоя и скольжения
Опыт показывает, что величина силы трения скольжения пропорциональна величине силы дав-
ления äF
r
. Сила давления равна силе нормальной реакции опоры N
r
, действующей на движущееся
тело со стороны поверхности соприкосновения и всегда направленной перпендикулярно этой по-
верхности (рис. 3.2, 3.3, в):
òð äF F N= µ = µ , (3.5)
21. 23
где µ — коэффициент трения.
а) б)
в)
v
Рис. 3.3. Физическая природа силы трения — а;
зависимость силы трения от приложенной к телу силы — б;
направление силы трения скольжения — в
Коэффициент трения µ зависит от многих факторов: от природы соприкасающихся тел (т.е. от
рода вещества), температуры, от того, смазаны соприкасающиеся поверхности или нет, от вида
смазки и т.д. (рис. 3.3, а). Это указывает на то, что сила трения не является такой простой, как сила
тяготения. И действительно, она может рассматриваться как результирующая более простых сил
взаимодействия между атомами — мельчайшими частицами, из которых состоят движущееся тело
и поверхность.
Рассмотрим пример: ребенок едет на санках, держась за веревку (рис. 3.2, в), которую тянут с
постоянной скоростью. Ответьте на вопросы: Какие силы действуют на ребенка? Какие силы дей-
ствуют на санки?
К силам взаимодействия между отдельными атомами может быть сведена и сила трения иного рода
— сила сопротивления, действующая на тела, движущиеся в жидкостях или газах. Наблюдения пока-
зывают, что эта сила действует всегда против скорости движения и пропорциональна величине этой
скорости: ÑF bv= −
r r
(b — коэффициент сопротивления, зависящий от природы жидкости или газа, v
r
— скорость тела относительно жидкости или газа).
3.3. Сила упругой деформации
Взаимодействием между атомами объясняется сила упругости, возникающая при деформации
упругих тел (пружин, реальных нитей, стержней и т.п.), которая стремится вернуть их в исходное,
недеформированное состояние и пропорциональна величине деформации х:
óï ðF kx= − , (3.6)
где k — коэффициент жесткости, различный для разных тел.
а) б)
в)
г)
Рис. 3.4. Примеры проявления силы упругой деформации
22. 24
Сила упругости направлена в противоположную сторону от направления деформации. Растяги-
вая пружину, мы определяем, как действует упругая сила деформации, — она направлена против
нашей приложенной силы, стремится вернуть пружину в исходное состояние (рис. 3.4, а, в). Зави-
симость силы деформации от величины деформации имеет сложный характер (рис. 3.4, б). Но есть
область величин деформаций, достаточно малых деформаций, при которых выполняется закон
Гука (3.6). На рис. 3.4, г приведены два способа соединения пружин — параллельный и последо-
вательный. Считая жесткости пружин одинаковыми и равными k, определите жесткости соедине-
ний пружин.
3.4. Законы динамики Ньютона
Открытие Кеплером законов движения планет поставило перед людьми много новых вопросов,
главным из которых был вопрос о причинах их движения. Что заставляет планеты двигаться? Этот
вопрос занимал многие умы того времени. Одна из предлагавшихся гипотез, например, утвержда-
ла: планеты движутся потому, что за ними летят невидимые ангелы, которые взмахами своих кры-
льев гонят планеты вперед (и эта теория не противоречит опыту, если верить, что ангелы суще-
ствуют!).
Изучение законов движения и поиски объяснения законов движения планет позволили Галилею
открыть важное свойство движения и сформулировать принцип инерции: если при движении тела на
него не действуют другие тела, то оно может двигаться вечно с постоянной скоростью и по пря-
мой. Принцип инерции — это основное, или, как говорят, фундаментальное свойство окружающего
мира.
Ньютон видоизменил соображения Галилея. Он понял, что единственный способ изменить
движение тела — это применить силу. Если тело разгоняется, значит, сила была приложена в
направлении движения. Если тело повернуло в сторону, то сила была приложена сбоку.
Если ввести физическую величину, силу F
r
, описывающую воздействие одних тел на другие,
то принцип инерции, сформулированный Ньютоном, можно записать так:
0 constF v= ⇒ =
r r
. (3.7)
Тело, предоставленное самому себе, если на него не действует никакая сила, сохраняет свое
прямолинейное движение с постоянной скоростью, как двигалось до этого, или остается в покое,
если оно до этого покоилось (сокращение const происходит от слова constant — постоянный). Это
утверждение носит название первого закона Ньютона (рис. 3.5).
а) б) в)
г)
Рис. 3.5. Первый закон Ньютона:
инерционные системы отсчета — а;
силы, действующие на покоящееся тело, — б;
силы, приложенные к телу, образуют треугольник —
сумма сил равна нулю — в;
силы, приложенные к телу, лежат на прямой —
сумма сил равна нулю — г
Мы теперь уже знаем, что стоит за словами «разгоняется» и «повернуло в сторону»: изменение ве-
личины или направления скорости, т.е. отличное от нуля ускорение. Закон, таким образом, состоит в
том, что ускорение, производимое силой, пропорционально величине этой силы: a F≈ . Из этих рас-
суждений последовала блестящая мысль: чтобы удержать планету на ее орбите, никакой касательной
силы не нужно. Планета и так будет двигаться в нужном направлении. Если бы ничего ей не мешало,
