505 1 happy english.ru. 6кл. рабочая тетрадь 1.-kaufman_2013 -96c

1. Минск
«Народная асвета»
2010
Допущено
Министерством образования
Республики Беларусь
Учебное пособие для 9 класса
общеобразовательных учреждений
с русским языком обучения
Под редакцией А. А. Сокольского
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

2. © Исаченкова Л. А., Пальчик Г. В.,
Сокольский А. А., 2010
© Оформление. УП «Народная
асвета», 2010
ІSBN 978-985-03-1372-0
УДК 53(075.3 = 161.1)
ББК 22.3я721
И85
Рецензенты:
кафедра общей физики учреждения образования «Гродненский государственный
университет имени Янки Купалы» (канд. физ.-мат. наук, доц., зав. каф. А. А. Маскевич);
канд. физ.-мат. наук, учитель физики государственного учреждения образования
«Гимназия № 5 г. Минска» В. И. Анцулевич
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

3. Как работать с учебным пособием
Перед вами учебное пособие по физике для 9-го класса.
В нем изложены основы механики — одного из самых важных
разделов физики. С механикой вы познакомились в 7-м классе. В
этом учебном году вам предстоит изучать механику на более вы-
соком уровне, решать сложные задачи, находить ответы на труд-
ные вопросы. Справиться с этим поможет наше учебное пособие.
Чтобы работа с ним принесла больше пользы, дадим несколько
советов.
Сначала прочитайте заданный вам параграф от начала до кон-
ца. Затем беритесь за его детальную проработку. Не заучивайте
текст наизусть. Важнее всего понять смысл изложенного. Старай-
тесь связать содержание параграфа с материалом, который был
дан учителем на уроке.
Уделите внимание смыслу определений физических величин,
законов и формул. Все они выделены в тексте. Если дан вывод
формулы — самостоятельно воспроизведите его в тетради.
В текст параграфов включены вопросы. Не оставляйте без от-
вета ни один из них. Если на какой-либо вопрос вы не смогли от-
ветить, вернитесь к учебному материалу еще раз.
Обращайте серьезное внимание на описание опытов. Многие
из них можно провести дома. Это поможет вам лучше понять из-
учаемые явления.
Проанализируйте главные выводы каждого параграфа. По-
лезно записать их в тетрадь и дополнить соображениями, которые
у вас возникнут, если вы серьезно проработали материал и усво-
или его.
Для проверки понимания материала после главных выводов
даны контрольные вопросы. Обязательно дайте ответ на каждый
из них. В некоторых случаях для этого придется использовать до-
полнительные источники информации.
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

4. 4
Изучив теоретический материал и ответив на контрольные во-
просы, следует решить задачи, приведенные в упражнении в конце
параграфа. Задачи расположены по возрастанию сложности. Ре-
комендуем решать их в этом порядке. Наиболее сложные задачи и
контрольные вопросы отмечены знаком .
Если вам удалось решить все задачи, значит, материал усво-
ен хорошо. Вы можете быть удовлетворены своей работой и рас-
считывать на достойную оценку ваших знаний учителем.
В некоторых параграфах имеется дополнительный материал,
набранный мелким шрифтом. Его можно изучать по желанию.
Обработать результаты измерений при выполнении лабора-
торных работ вам поможет Приложение в конце книги.
Желаем творческих успехов и хороших оценок!
Авторы
Как работать с учебником
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

5. ВВЕДЕНИЕ
Неотъемлемой частью нашей жизни является движение. Движутся люди, ав-
томобили, самолеты, космические корабли, планеты (рис. 1). Движутся молеку-
лы, атомы, электроны.
На уроках физики в 7-м классе
вы получили первые представления
о механическом движении и его за-
кономерностях. В 9-м классе мы бо-
лее глубоко изучим законы механи-
ческого движения, заложим основу
для дальнейшего изучения физики.
§ 1. Материя. Пространство и время.
Механическое движение
При изучении физики вы уже познакомились с очень важным поняти-
ем — «материя». Все, что существует в окружающем нас мире, и есть
материя. В процессе развития физики выяснилось, что материя — это не
только вещество (физические тела и частицы, из которых они состоят),
но и физические силовые поля: поле тяготения, электрическое поле, маг-
нитное поле. Без учета физических полей картина мира была бы неполной.
На рисунке 2 изображена звездная система, которая удерживается от
распада полем тяготения, а рисунок 3 показывает, как магнитное поле
действует на железные опилки.
В окружающем нас мире все непрерывно изменяется. И во Вселенной (ме-
гамире), и в окружающих нас телах (макромире), и в атомах и элементарных
частицах (микромире) постоянно происходят разнообразные явления, протека-
ют различные процессы. Перемещаются небесные и земные тела, происходят
вспышки на Солнце, изменяется давление и температура воздуха, протекают хи-
Рис. 1
Рис. 2 Рис. 3
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

6. 6 Введение
мические реакции, растут и развиваются живые организмы, распадаются радио-
активные ядра атомов и т. д.
«Все течет, все изменяется. Невозможно дважды войти в одну и ту же
реку» — говорил древнегреческий философ Гераклит. Непрерывные изменения,
происходящие в окружающем мире, — одно из основных свойств материи.
Наиболее простой формой этих изменений является механическое движе-
ние — изменение положения одних тел относительно других в пространстве с
течением времени.
Наука, которая изучает закономерности механического движения и при-
чины, вызывающие это движение, называется механикой. Слово «механика»
произошло от греческого mekhane^ — машина, приспособление.
Зачем нужно изучать механику?
Во-первых, законы механики чрезвычайно важны для человеческой дея-
тельности. От современных фабрик и заводов до научных лабораторий — всю-
ду используются различные машины и механизмы, совершающие сложные дви-
жения (рис. 4). Без глубокого понимания законов механики сконструировать та-
кие устройства невозможно. Использование законов механики необходимо при
производстве автомобилей, кораблей, самолетов, строительстве зданий, мостов
(рис. 5), при составлении прогнозов погоды, в космических исследованиях. Рас-
четы, основанные на законах механики, необходимы и для достижения высоких
спортивных результатов.
Во-вторых, не опираясь на законы механики, невозможно объяснить основные
физические явления: тепловые, электрические, магнитные, световые и т. д. Все
они сопровождаются механическими перемещениями частиц. Механика — важ-
нейшее, первое звено всей физики, ее основа.
Основными разделами механики являются кинематика, которая отвечает на
вопрос, как движутся тела, и динамика, которая выявляет причины движения и
объясняет, почему тела движутся так, а не иначе.
Рис. 4 Рис. 5
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

7. 7
Как было сказано, механическое движение — это
перемещение одних тел относительно других в про-
странстве с течением времени.
Понятия«пространство»и«время»играютвфизике
исключительно важную роль. Все, что существует в мате-
риальном мире, существует в пространстве и во времени.
Всякое тело занимает определенную часть про-
странства и определенное место по отношению к дру-
гим телам. Электрическое и другие поля также нахо-
дятся в той или иной области пространства. Представ-
ления о «чистом» пространстве, вне материи, лишены
смысла. Мы можем судить о пространстве именно по-
тому, что в нем существуют физические тела и поля.
Не имеет смысла говорить и о времени вне ма-
терии. Время служит для описания изменений, про-
исходящих в материальном мире. Одно событие про-
исходит раньше (в более ранний момент времени),
другое — позже, одно явление длится дольше, дру-
гое — занимает меньший промежуток времени.
Дать точное определение понятий пространства и
времени сложно. Мы судим о них при помощи наших
органов чувств и измерительных приборов.
Измерение времени осуществляется с помощью часов (рис. 6, а), секундоме-
ров, хронометров. Современные атомные часы (рис. 6, б) измеряют время с точ-
ностью 10−14
с. Такие часы могут уйти вперед или отстать на 1 с не раньше, чем
через три миллиона лет!
Физика имеет дело с промежутками времени от чрезвычайно малых — 10−24
с (в ядер-
ной физике) — до миллиардов лет (в физике космоса). Столь же огромен и диапазон расстоя-
ний — от размеров ядер (10−15
м) до размеров видимой части Вселенной (1026
м).
Главные выводы
1. Материя — это вещество и физические силовые поля. Материя суще-
ствует в пространстве и во времени.
2. Механическое движение — это изменение положения тела в простран-
стве относительно других тел с течением времени.
3. Наука, которая изучает закономерности механического движения и при-
чины, его вызывающие, называется механикой.
4. Кинематика описывает, как движутся тела, а динамика выявляет при-
чины движения и объясняет, почему тела движутся именно так, а не иначе.
Рис. 6
Материя. Пространство и время. Механическое движение
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

8. 8 Введение
Контрольные вопросы
1. Что понимают под материей в физике?
2. В чем состоит одно из основных свойств материи?
3. Можно ли говорить о пространстве и времени вне материи? Почему?
4. Что такое механическое движение?
5. Что изучает механика? Кинематика? Динамика?
6. Почему важны законы механики? В каких областях человеческой деятельности
они используются?
§ 2. Скалярные и векторные величины.
Действия над векторами
В курсе физики вам встречались различные физические величины. Для
определения одних (массы, пути, температуры, объема и т. д.) достаточ-
но (при заданной единице измерения) знать только числовое значение. Та-
кие физические величины называются скалярными. Для определения дру-
гих этого недостаточно. Почему?
На рисунке 7 показаны силы F1 и F2. Их числовые значения одинаковы, но
результаты их действия различны. Сила F1 лишь увеличила давление санок
на снег, а сила F2 вызвала движение санок. Значит, для силы важно знать не
только числовое значение, но и направление. Сила — векторная величина.
Векторные величины (векторы) характеризуются не только числовым зна-
чением, но и направлением в пространстве.
Векторные величины важны не только в механике. Без них не обойтись и в
других разделах физики.
Что необходимо знать о векторах?
1. Вектор изображают в виде направленного отрезка (стрелки). Направ-
ление стрелки показывает, куда направлен вектор, а ее длина выражает в опре-
деленном масштабе его числовое зна-
чение (рис. 8).
Числовое значение вектора назы-
вается модулем. Модуль любого не рав-
ного нулю вектора — число положитель-
ное.
Рис. 7 Рис. 8
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

9. 9
Вектор обозначают буквой, над которой поставлена стрелка (например, a),
либо буквой, выделенной жирным шрифтом (a), либо двумя буквами со стрелкой
(например, AB, где A — начало вектора, B — конец вектора). Модуль вектора
a обозначают буквой a или символом a .
На рисунке 8 a AB= , a AB a= = = 4.
2. Векторы равны между собой, если равны их модули и одинаковы их
направления. Равные векторы a b= лежат на параллельных прямых и на-
правлены в одну и ту же сторону (рис. 9). Одного только равенства модулей для
равенства векторов недостаточно. На рисунке 9 модули векторов a и c равны
(а = с), но векторы между собой не равны a c≠ .
Можно ли переместить вектор в пространстве (перенести его) и при этом
считать, что он не изменился? Можно, если при переносе не изменился ни мо-
дуль вектора, ни его направление (рис. 10).
3. Угол между векторами. Чтобы найти угол ϕ между векторами (рис. 11, а),
следует совместить начала этих векторов (рис. 11, б). Если направления векторов
одинаковы, то ϕ = 0 (рис. 11, в), если противоположны, то ϕ = 180° (рис. 11, г).
Рис. 9
Рис. 11
Скалярные и векторные величины. Действия над векторами
Рис. 10
4. Правило умножения вектора на число. Произведение вектора a
(рис. 12, а) на число β есть вектор b a= β , определяемый следующим образом:
• его модуль b a= β ;
• его направление при β 0 (рис. 12, б) совпадает с направлением вектора a,
а при β 0 — противоположно ему (рис. 12, в, г).
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

10. 10 Введение
Вектор d a a= − = −( )1 называется противопо-
ложным вектору a (рис. 12, г).
5. Правила сложения векторов
а) Правило треугольника. Перенесем вектор b
так, чтобы конец вектора a совместился с началом
вектора b (рис. 13). После этого проведем вектор c
из начала вектора a в конец вектора b. Вектор c
есть сумма векторов a и b, т. е. c a b= + .
Сумму двух векторов можно получить и по дру-
гому правилу.
б) Правило параллелограмма. Совместим начала
векторов a и b (рис. 14). Построим параллелограмм
ABCD, принимая векторы a и b за его стороны.
Вектор c a b= + совпадает с отрезком АС — диаго-
налью параллелограмма, проходящей через общее на-
чало векторов a и b. Сравнив рисунки 13 и 14, лег-
ко понять, что оба правила приводят к одному и тому
же результату.
А как найти разность векторов?
6. Правило вычитания векторов. Чтобы из векто-
ра a вычесть вектор b, следует совместить начала век-
торов a и b и провести вектор d из конца «вычитае-
мого» вектора b в конец «уменьшаемого» вектора a
(рис. 15). Вектор d есть искомая разность: d a b= − .
Тот же результат получится, если к вектору a
прибавить вектор, противоположный вектору b. Та-
кой способ нахождения разности векторов очень удо-
бен. Проверьте построением, что a b a b− = + − .
Из рисунка 15 видно, что если d a b= − , то a b d= + . Значит, для векто-
ров, как и для чисел, вычитание — это действие, обратное сложению.
7. Модуль суммы векторов. Его можно найти геометрически. Например, мо-
дуль суммы векторов a и b (см. рис. 14) равен длине диагонали АС параллело-
грамма ABCD (длине стороны АС треугольника ABC).
Рис. 12
Рис. 13
Рис. 14
Рис. 15
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

11. 11
Поскольку в любом треугольнике длина одной из сторон меньше суммы длин двух других,
из правил векторного сложения (см. рис. 13, 14) следует: a b a b+ + (модуль суммы любых
двух векторов не больше суммы их модулей).
Главные выводы
1. Векторные величины характеризуются числовым значением и направле-
нием, скалярные — только числовым значением.
2. Сумму двух векторов можно найти по правилу треугольника или парал-
лелограмма.
3. Вектор, равный разности двух векторов, проводят из конца «вычитаемого»
вектора в конец «уменьшаемого» (при совмещенных началах этих векторов).
4. Произведение вектора a на число β есть вектор b a= β , направленный,
как вектор a при β 0, и противоположно вектору a при β 0. Модуль век-
тора b равен β a.
Контрольные вопросы
1. В чем состоит различие между векторными и скалярными величинами?
2. Какие из известных вам физических величин скалярные, а какие — векторные?
3. В каком случае векторы a и b a= β одинаково направлены? Противоположно
направлены?
4. Может ли модуль вектора b a= β быть меньше модуля вектора a ? В каком случае?
5. По каким правилам находят сумму векторов?
6. Как найти разность двух векторов? Как доказать, что вычитание векторов — дей-
ствие, обратное сложению?
7. Какой смысл имели бы векторы BD и DB на рисунке 14?
8. 8. Когда сумма модулей двух векторов больше модуля их векторной суммы? Когда
равна ей?
§ 3. Проекция вектора на ось
Вы уже знаете, что векторную величину определяют, задавая ее мо-
дуль и направление. Имеется и другой способ определения вектора — через
его проекции на оси системы координат. Он широко используется в физи-
ке. Что такое проекция вектора на ось? Как, зная модуль и направление
вектора, найти его проекцию на ось? Как, зная проекции вектора на ко-
ординатные оси, определить его направление и модуль?
Начнем с понятия проекции точки на ось. Проекция точки — это основание
перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось. На рисунке 16 проекцией
точки N на ось Ox является точка N1, проекцией точки A — точка A1, и т. д.
Проекция вектора на ось
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

12. 12 Введение
А что представляет собой проекция вектора на ось?
Проекция вектора на ось — это длина отрезка, заключенного меж-
ду проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком « + »
или « − ». Знак « + » следует брать, если угол между вектором и осью острый
(см. рис. 16, б), знак « − » — если угол тупой (см. рис. 16, в).
Проекцию вектора будем обозначать той же буквой, что и вектор, но без
стрелки и с индексом внизу (например, ax — проекция вектора a на ось Ox).
На рисунке 16 угол между вектором a и осью Ox острый ϕ π
1
2
, а меж-
ду вектором b и той же осью — тупой ϕ π
2
2
. Поэтому проекция вектора a
на ось Ox положительна ( ),a A Bx = + =1 1 2 0 а проекция вектора b — отрица-
тельна ( ).b C Dx = − = −1 1 3 0
А если вектор перпендикулярен оси? В этом случае проекция вектора рав-
на нулю (рис. 17).
Из треугольника ABB2 (см. рис. 16), легко выразить
проекцию вектора a на ось Ох через его модуль и угол
между вектором и осью:
a ax = cos .ϕ1 (1)
Проекцию bx найдем из треугольника DCD2:
b D C b b bx = − = − = − ° − =2 2 2180cos cos( ) cos .α ϕ ϕ
Таким образом, проекция вектора на ось равна про-
изведению его модуля на косинус угла между вектором и осью.
По формуле (1) можно найти проекцию вектора на любую ось, зная его мо-
дуль и направление. А можно ли найти модуль и направление вектора по его про-
екциям на координатные оси?
Рассмотрим вектор d AC= , лежащий в плоскости xOy (рис. 18). Его
проекции на оси Ох и Oу легко определить из рисунка 18: d A Cx = =1 1 8,
d A By = =2 2 6. Из треугольника ACD по теореме Пифагора находим модуль век-
Рис. 16
Рис. 17
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

13. 13
тора d: d d dx y= + = + =2 2 2 2
8 6 10.
Разделив AD на AC, получаем:
cos , .ϕ = = =
d
d
x 8
10
0 8 По значению ко-
синуса можно найти угол ϕ, определяю-
щий направление вектора d. В данном примере ϕ = arccos 0,8 ≈ 37°.
Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, полностью опре-
деляется двумя своими проекциями на оси координат.
Вектор, произвольно направленный в пространстве, полностью определяется
тремя проекциями (рис. 19).
Обратим внимание на два важных свойства проекций.
1. Проекция вектора равна разности координат конца и начала вектора.
На рисунке 16
a x xx B A= − = − =5 3 2, b x xx D C= − = − = −7 10 3.
Проверьте самостоятельно, что это свойство выполняется и для проекций
вектора d на рисунке 18.
2. Проекция суммы векторов на любую ось равна сумме их проекций на
ту же ось.
Используя рисунок 20, а, б, проверьте, что из соотношения c a b= + следует
соотношение c a bx x x= + . При проверке не забывайте о знаках проекций.
Рис. 19
Рис. 18
Проекция вектора на ось
Рис. 20
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

14. 14 Введение
Главные выводы
1. Проекция вектора на ось — это длина отрезка, заключенного между про-
екциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком « + » или « − ».
2. Если угол между вектором и осью острый, то его проекция на эту ось по-
ложительна, если угол тупой — отрицательна, если угол прямой — равна нулю.
3. Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус
угла между вектором и осью.
4. Проекция вектора равна разности координат конца и начала вектора.
5. Вектор можно определить, задав его модуль и направление либо задав
его проекции на оси координат.
6. Проекция суммы векторов на любую ось равна сумме их проекций на ту
же ось.
Контрольные вопросы
1. Что такое проекция точки на ось? Проекция вектора на ось?
2. Когда проекция вектора на ось: а) равна нулю; б) положительна; в) отрицательна?
3. Как найти проекцию вектора на ось, зная его модуль и угол между вектором и осью?
4. При каком значении угла между вектором и осью его проекция будет: а) макси-
мальна; б) минимальна?
5. Как найти проекцию вектора на ось, зная координаты конца и начала вектора?
6. Как найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси?
7. Равна ли проекция разности двух векторов на ось разности проекций этих векто-
ров на ту же ось? Поясните ответ с помощью чертежа.
Примеры решения задач
1. Определите сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов a и b
(рис. 21). Найдите модули векторов суммы c a b= + и разности d a b= − .
Решение. Найдем сумму векторов: c a b= + по правилу треугольника
(рис.22,а)илипараллелограмма(рис.22,б).Найдеммодульвектора c .Учитывая,что
векторы a и b взаимно перпендикулярны, получим: c a b= + = + =2 2 2 2
3 4 5.
Рис. 21 Рис. 22
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

15. 15
Разность векторов d a b= − определим пу-
тем сложения вектора a с вектором −b
(рис. 23, а) или по правилу вычитания век-
торов (рис. 23, б).
Модуль вектора d равен d a b= + = + =2 2 2 2
3 4 5.
Ответ: с = 5, d = 5.
2. Определите проекции на координатные оси Ох и Оу вектора суммы
c a b= + (рис. 24).
Решение. С помощью рисунка 24 находим проекции векторов a, b
и вектора их суммы c a b= + на оси Ох и Оу: ax = 2, ay = 4, bx = 4, by = −2,
cx = 6, cy = 2. Сложим проекции векторов a и b на эти оси: ax + bx = 2 + 4 = 6,
ay + by = 4 − 2 = 2. Мы убедились, что cx = ax + bx, cy = ay + by: проекции вектора
суммы равны сумме проекций слагаемых векторов на те же координатные оси.
Ответ: cx = 6, cy = 2.
Упражнение 1
1. Постройте векторы a b+ , a b− и b a− для каждой пары векторов a и b,
изображенных на рисунке 25 а, б, в.
2. Для некоторого вектора a, модуль которого равен 5, постройте векторы:
4a; 0 2, ;a −3a; − a
5
.
Рис. 24
Рис. 23
Проекция вектора на ось
Рис. 25
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

16. 16 Введение
Рис. 26
3. Найдите проекции векторов (рис. 26) на координатные оси Ох и Оу.
4. Постройте сумму векторов α βa b+ и разность α βa b− , если:
1) α = 2, β = 4; 2) α = −2, β = 0,5. Вектор a перпендикулярен вектору b. Мо-
дули a b= = 4.
5. Вектор c a b= + и вектор d a b= − взаимно перпендикулярны. Сделайте
чертеж. Найдите соотношение между модулями векторов a и b.
6. Сила F, приложенная к телу, направлена под углом α = 30° к горизон-
тальной поверхности (рис. 27). Модуль этой силы F = 60 H. Найдите проекции
силы F на оси Ох и Оу.
7. К телу приложены две силы: F1 и F2 (рис. 28). Модуль F1 = 10 Н, F2 = 6 Н.
Угол α = 60°. Найдите: а) векторную сумму F F F= +1 2 ; б) векторы разности этих
сил: F F F21 2 1= − и F F F12 1 2= − . Сделайте чертеж.
8. Для каждого из векторов F1, F2 , F, F21 и F12 предыдущей задачи
(см. рис. 28) найдите проекции на оси Ох и Оу.
Рис. 27 Рис. 28
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

17. Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

18. 18 Кинематика
§ 4. Виды механического движения.
Задача кинематики
Изучение механики начинают с раздела, называемого кинематикой.
Кинематика описывает, как движутся тела. Знание законов кинематики
необходимо не только для изучения динамики. Понятия кинематики ле-
жат в основе всей физики. Какие задачи решает кинематика? Какими ме-
тодами?
Говоря, что автомобиль сначала ехал прямо, затем повернул направо и вско-
ре остановился, мы даем словесное, качественное описание того, как двигался
автомобиль. В физике изучаются количественные закономерности явлений. Опи-
сание механического движения также должно быть количественным. Как описать
движение автомобиля (и других тел) с достаточной точностью? Для этого следует
изучить кинематику.
Задача кинематики состоит в том, чтобы дать методы математически стро-
гого, количественного, описания движения любых тел и установить взаимо-
связи между величинами, характеризующими движение.
С такими кинематическими понятиями и величинами, как траектория, ско-
рость, пройденный путь, вы познакомились еще в 7-м классе. Но этого недоста-
точно. Движение реальных тел может быть чрезвычайно сложным. Понаблюдай-
те за самолетом, выполняющим фигуру выс-
шего пилотажа (рис. 29, а), или за человеком,
совершающим прыжок в воду (рис. 29, б).
Можно ли вообще точно описать их движе-
ния? Для этого пришлось бы проследить за
движением каждой точки этих объектов. Ре-
шить такую задачу практически невозможно.
Как же разобраться с такими сложными дви-
жениями?
Начнем с того, что каждое реальное тело
в любой момент времени обладает некото-
рой геометрической формой, определенным
образом ориентировано в пространстве и за-
нимает в нем определенное место.
Проведем опыт с обыкновенной линейкой.
Линейку можно изогнуть (изменить ее форму)
(рис. 30, а), линейку можно повернуть (изме-
нить ее ориентацию в пространстве) (рис. 30, б),Рис. 29
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

19. 19
и, наконец, линейку можно перенести в другое место без изменения формы и
ориентации (рис. 30, в).
Значит, и форма, и ориентация в пространстве, и местоположение тела с
течением времени могут изменяться.
Изменение формы и (или) объема тела называется деформацией тела
(от лат. deformatio — искажение). При деформации тела изменяются расстояния
между его точками (см. рис. 30, а).
Все тела в той или иной степени деформируемы. Деформировать одни тела
очень легко (растянуть пружину, изогнуть линейку, смять кусок пластилина). Де-
формацию других (стального шарика, куска гранита) трудно даже заметить, но ее
можно осуществить и измерить специальными методами. Изучение деформации
очень важно для практики. В § 22 мы рассмотрим основные виды деформации.
Изменение ориентации тела в пространстве называется поворотом, а про-
исходящее при этом движение — вращательным движением тела.
Простейший случай вращательного движения — вращение вокруг непод-
вижной оси (поворот открываемой двери (рис. 31, а), вращение диска в дис-
Рис. 30
Рис. 31
Виды механического движения. Задача кинематики
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

20. 20 Кинематика
ководе и т. д.). В более сложных случа-
ях — движение самолета (см. рис. 29, а),
волчка (рис. 31, б) — вращение происходит
вокруг оси, которая тоже непрерывно из-
меняет свое направление в пространстве.
В § 14 мы рассмотрим вращение абсолют-
но твердого тела вокруг неподвижной оси.
Если движение происходит без деформа-
ции и поворота тела, его называют посту-
пательным. При поступательном движении
прямая, проходящая через любые две точки
тела, остается параллельной своему первона-
чальному положению (рис. 32).
Поступательное движение может быть как
прямолинейным,такикриволинейным (рис.33).
Траектории точек тела, движущегося посту-
пательно, одинаковы между собой — каждая
точка повторяет движение любой другой точ-
ки тела с некоторым постоянным сдвигом.
В общем случае движение тела пред-
ставляет собой результат сложения трех
движений: деформации, вращения и поступательного движения.
В кинематике разработаны методы описания каждого из этих движений.
Во многих задачах деформацией тела можно пренебречь. В таких случаях
можно использовать модель абсолютно твердого тела — воображаемого тела,
расстояние между любыми точками которого не изменяется.
Поскольку абсолютно твердое тело не деформируется, его движение сводится
к поступательному перемещению и вращению. Описать такое движение тоже не
просто, но намного легче, чем движение деформируемых тел. Теперь не надо сле-
дить за каждой точкой тела. Достаточно знать, как движется одна из них и как
происходит вращательное движение тела.
Если и деформациями и вращением тела можно пренебречь (или они нас в
данной задаче не интересуют), то достаточно рассмотреть лишь поступательное
движение тела. Так как при поступательном движении все точки тела движутся
одинаково, то изучение его движения сводится к изучению движения одной точки.
В таких случаях широко используют модель материальной точки.
Материальной точкой называют тело, размерами которого в рассматрива-
емой задаче можно пренебречь.
Именно от поставленной задачи зависит, можно ли считать данное реальное
тело материальной точкой. Так, если нас интересует движение крыльев бабочки
Рис. 32
Рис. 33
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

21. 21
(рис. 34), ее нельзя рассматривать как матери-
альную точку. В то же время, земной шар мож-
но считать материальной точкой, если интересо-
ваться только движением Земли по орбите во-
круг Солнца (рис. 35), а не вращением Земли
вокруг своей оси.
Говорить о деформации и о вращении мате-
риальной точки вокруг оси, которая проходит че-
рез нее, не имеет смысла. Движение материаль-
ной точки полностью определено, если задана
ее траектория и известно, в какой точке тра-
ектории она находится в каждый момент вре-
мени.
Законы движения материальных точек слу-
жат основой для изучения движения макроско-
пических тел.
Не надо забывать, что материальная точка — это
лишь модель реального тела. Реальных объектов, которые
бы вели себя точно так же, как материальная точка, не
существует ни в макромире, ни в микромире. В макроми-
ре — потому что все макроскопические тела имеют про-
тяженность, могут деформироваться и вращаться. В микромире — потому что микрочастицы
вообще не движутся по определенной траектории. К этому неожиданному выводу физики
пришли, анализируя результаты опытов с микрочастицами и создав (к 1930 г.) теорию, способ-
ную объяснить эти результаты — квантовую механику.
Главные выводы
1. Изменение формы и (или) объема тела называется деформацией тела.
2. Процесс изменения ориентации тела в пространстве называется враща-
тельным движением тела.
3. Движение тела, при котором оно не деформируется и не вращается, на-
зывается поступательным. При таком движении прямая, проходящая через
любые две точки тела, остается параллельной своему первоначальному по-
ложению.
4. Движение тела представляет собой результат сложения трех движений:
деформации, вращения и поступательного перемещения.
5. Математически строгое описание механического движения тел — основ-
ная задача кинематики.
Рис. 34
Рис. 35
Виды механического движения. Задача кинематики
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

22. 22 Кинематика
Контрольные вопросы
1. Что такое деформация?
2. Что такое абсолютно твердое тело? При каких условиях реальное тело можно рас-
сматривать как абсолютно твердое?
3. Какое движение называют вращательным? Поступательным?
4. Может ли поступательное движение быть криволинейным?
5. При каких условиях реальное тело можно рассматривать как материальную точку?
Приведите примеры, в которых тело можно принять за материальную точку и в ко-
торых этого делать нельзя.
§ 5. Относительность движения. Система отсчета
Вы сидите в кресле самолета, летящего со скоростью v = 900 км
ч
. Дви-
жетесь вы или покоитесь? Один наблюдатель ответит, что вы движе-
тесь с большой скоростью, а другой — что вы находитесь в состоянии по-
коя. Кто из них прав?
Правы оба. Относительно Земли вы движетесь, а относительно самолета —
находитесь в состоянии покоя.
Тело, относительно которого рассматривается движение других объектов,
называется телом отсчета. Тело отсчета условно принимается за неподвижное.
Если в приведенном примере за тело отсчета принята Земля, то самолет и
его пассажиры — движущиеся объекты. Если за тело отсчета принят самолет,
то сидящие в креслах пассажиры находятся в состоянии покоя, а Земля — в со-
стоянии движения.
Понятия или величины, зависящие от выбора тела отсчета, называ-
ют относительными.
«Состояние покоя» и «состояние движения» — понятия относительные.
А относительны ли характеристики движения: скорость, траектория, путь?
В приведенном примере скорость движения авиапассажира относительно
Земли равна 900 км
ч
, а относительно само-
лета — нулю. Значит, скорость — величина
относительная.
Рассмотрим второй пример. Мы находим-
ся в вагоне поезда, движущегося с постоянной
скоростью по прямолинейному участку дороги.
Проследим за траекторией движения падаю-
щего с верхней полки яблока. Относительно
пассажиров в вагоне поезда траектория ябло-
ка — это вертикальная прямая AB (рис. 36).Рис. 36
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

23. 23
А какова траектория яблока относительно человека, стоящего на платформе,
мимо которого проезжает поезд? Для него траектория яблока — это линия AC
(см. рис. 36). Относительно платформы движение яблока криволинейное. Значит,
траектория движения тела — понятие относительное. Относительны и понятия
«прямолинейное движение» и «криволинейное движение».
А будет ли относительным путь? Легко подсчитать, что если телом отсчета
служит Земля, то в первом примере путь авиапассажира за одну минуту полета
равен 15 км. Если же за тело отсчета принят самолет, то путь авиапассажира ра-
вен нулю. Обратимся ко второму примеру. Если телом отсчета является вагон,
то путь яблока за время падения равен длине отрезка прямой AB (см. рис. 36).
Если же за тело отсчета принята платформа, то путь, пройденный яблоком за
это время, гораздо больше: он равен длине кри-
вой AC. Таким образом, путь — величина от-
носительная.
Понятия покоя и движения и основ-
ные характеристики движения являются от-
носительными. Они зависят от выбора тела
отсчета.
Пусть тело отсчета выбрано. Что еще не-
обходимо для описания движения рассматривае-
мого объекта (яблока, самолета, ракеты и т. д.)
относительно выбранного тела отсчета? Вспом-
ним, что механическое движение — это изме-
нение положения объекта в пространстве с те-
чением времени. Следовательно, тело отсчета
надо дополнить устройствами для определения
положения движущихся объектов и для измере-
ния времени движения.
Например, для того чтобы отслеживать движение
самолетов относительно Земли, используют радиолока-
ционные станции. Они оснащены установками для опре-
деления положения объектов — радарами и аппаратурой
для измерения времени (рис. 37).
Тело отсчета, снабженное устройствами для
определения положения других тел и для изме-
рения времени, называется системой отсчета.
Моделью системы отсчета может служить
тело отсчета, с которым жестко связана система
координатных осей (рис. 38) и часы. Рис. 38
Рис. 37
Относительность движения. Система отсчета
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

24. 24 Кинематика
Покажем на примерах, как с помощью системы отсчета производится опи-
сание движения тел (рассматриваемых как материальные точки).
Пример 1. Движение пешехода по прямолинейному участку дороги. В
этом примере за тело отсчета выбрана Земля, а ось координат Ох направлена
вдоль рассматриваемого участка вправо (рис. 39). За начало координат взята
точка О у основания дерева. В момент времени t1 = 3 ч 10 мин положение пе-
шехода определялось значением координаты х1 = −800 м. Если за 40 мин пе-
шеход пройдет 1400 м, то в момент t2 = 3 ч 50 мин его координата станет рав-
ной х2 = 600 м и т. д. Таким образом, для описания движения тела по прямой
достаточно для каждого момента времени указать значение одной координаты.
Пример 2. Движение куска мела по школьной доске (рис. 40). Это движение по
плоскости. Для того чтобы определить положение куска мела на плоскости, одной
координаты недостаточно. Необходимо
использовать две координатные оси Ох
и Оу (см. рис. 40). В начальный момент
t1 = 0 координаты куска мела: х1 = −3 дм,
у1 = 2 дм (точка A), а через некоторое
время (например, в момент t2 = 3 с) они
приняли значения х2 = 3 дм, у2 = 5 дм
(точка B) и т. д. Значит, для описания
движения тела в заданной плоскости
следует использовать две координатные
оси и в каждый момент времени знать
две координаты движущегося тела.
Рис. 39
Рис. 40
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

25. 25
Пример 3. Движение тела в пространстве (мяча, птицы, ракеты). В этом случае система от-
счета должна включать три оси, например Ох, Оу, Оz (рис. 41). Для описания движения следует
знать три координаты тела (х, у, z) в каждый момент времени.
Главные выводы
1. Движение и покой — понятия относительные. Основные характеристи-
ки механического движения зависят от выбора системы отсчета.
2. Тело отсчета — это тело, относительно которого рассматривается дви-
жение других объектов.
3. Тело отсчета, связанная с ним система координат и часы образуют си-
стему отсчета.
4. В данной системе отсчета положение материальной точки определяется
ее координатами.
Контрольные вопросы
1. Как понимать утверждение: «Механическое движение относительно»?
2. Что такое тело отсчета?
3. Что понимают под системой отсчета?
4. Чем определяется выбор системы координат? Покажите на примерах.
5. В романе Р. Стивенсона «Остров сокровищ» легендарный пират капитан Флинт за-
рыл на острове сундук с несметными сокровищами и оставил карту с таким описа-
нием: «Высокое дерево на плече Подзорной горы. Направление — от дерева по тени
в полдень (рис. 42). Пройти сто футов. Повернуть на запад. Пройти десять саженей.
Копать на глубину пятьдесят вершков». Выберите тело отсчета и систему координат.
Сделайте чертеж. Найдите координаты клада. Ук а з а н и е: 1 фут = 30,5 см, 1 са-
жень = 213,4 см, 1 вершок = 44,5 мм.
Рис. 41 Рис. 42
Относительность движения. Система отсчета
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

26. 26 Кинематика
§ 6. Путь и перемещение
Автобус с футбольными болель-
щиками отправился с Центральной
площади г. Минска в 9 часов утра. Где
оказался автобус в 11 часов, если за
два часа он прошел путь s = 96 км?
Ясно, что в 11 часов автобус мог
быть в пункте, удаленном от Мин-
ска не более чем на 96 км. Он мог при-
быть в Столбцы, Березино, Копыль
(рис. 43). Не исключено, что авто-
бус к 11 часам уже вернулся в Минск.
Знать начальную точку и пройден-
ный путь для определения конечно-
го положения тела недостаточно.
Чтобы найти положение тела в рассматриваемый момент времени, надо знать
и начальное положение тела, и пройденный путь, и траекторию движения. На ри-
сунке 44 показано, что траектория движения автобуса проходила по автомагистра-
ли до Логойска (где к минчанам присоединились местные болельщики), а затем
по шоссе в направлении Борисова. Отсчитав вдоль траектории 96 км от началь-
ной точки маршрута, мы убеждаемся, что к 11 часам автобус прибыл в Борисов.
А как, зная начальное положение тела, найти его положение в любой момент
времени, если не известны ни его траектория, ни пройденный им путь?
Для этого надо определить величину, называемую перемещением. Что по-
нимают в кинематике под перемещением, совершенным движущимся телом за
некоторый промежуток времени?
Перемещение — это вектор, соединяющий начальное положение тела
(материальной точки) с его положе-
нием в конце рассматриваемого про-
межутка времени. Обозначается пе-
ремещение символом ΔΔr.
На рисунке 44 вектор Δr = MБ —
это перемещение автобуса за проме-
жуток времени Δt = 2 ч (с 9 ч до 11 ч).
Вектор MБ проведен из точки М (Цен-
тральная площадь г. Минска) в точку Б
Рис. 43
Рис. 44
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

27. 27
(стадион в г. Борисове). Вектор Δr1 = МЛ — это перемещение автобуса из Мин-
ска в Логойск, а вектор Δr2 = ЛБ — из Логойска в Борисов.
Из рисунка ясно: чтобы найти конечное положение тела, достаточно из точ-
ки, характеризующей его начальное положение, провести вектор перемещения
Δr. Конец этого вектора укажет положение тела в конце рассматриваемого про-
межутка времени.
Можно ли сравнивать путь, пройденный телом, с его перемещением? Нель-
зя, поскольку путь s — скаляр, а перемещение Δr — вектор. Сравнивать путь
можно со скалярной величиной — модулем перемещения Δ Δr r= .
Как связаны между собой путь и модуль перемещения?
В нашем примере путь, пройденный автобусом за два часа, равен s = 96 км. Это
длина траектории движения автобуса от Минска через Логойск до Борисова. Про-
верьте по карте, что при этом модуль перемещения автобуса Δr = 77 км. Это рассто-
яние от Минска до Борисова. Путь автобуса больше модуля его перемещения: s Δr.
Ясно, что пройденный путь был бы равен модулю перемещения, если бы ав-
тобус двигался по прямой, не изменяя направления движения. Значит, в общем
случае для пути и модуля перемещения выполняется соотношение s Δr (путь не
меньше модуля перемещения).
Как складываются пройденные пути? Путь от Минска до Логойска s1 = 36 км,
от Логойска до Борисова s2 = 60 км, а от Минска до Борисова S = 96 км. Прой-
денные пути складываются арифметически: s1 + s2 = s.
А как складываются перемещения? Из рисунка 44 видно, что сложение пе-
ремещений происходит по правилу треугольника, как и положено векторам:
Δ Δ Δr r r1 2+ = . Равен ли при этом модуль Δr сумме модулей Δr1 + Δr2? Ответьте
самостоятельно.
При решении задач важно уметь находить проекции перемещения. Вернемся
к примеру 2 предыдущего параграфа. Построим вектор перемещения куска мела
из точки A в точку B: Δr AB= . Из рисунка
45 видно, что проекции вектора Δr на ко-
ординатные оси Ох и Оу равны:
Δr x xx B A= − ; Δr y yy B A= − . (1)
Проекция вектора перемещения на
координатную ось равна разности коор-
динат конечной и начальной точек, в ко-
торых находилось тело.
Для точки, движущейся в пространстве
(см. рис. 41), к соотношениям (1) следует добавить:
Δr z zz B A= − . Рис. 45
Путь и перемещение
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

28. 28 Кинематика
Главные выводы
1. Путь — это длина участка траектории, пройденного телом за определен-
ный промежуток времени. Путь — положительная скалярная величина.
2. Перемещение тела (материальной точки) — это вектор, соединяющий
начальное положение тела с его положением в конце рассматриваемого про-
межутка времени.
3. Модуль перемещения не больше пути, пройденного за тот же промежу-
ток времени.
4. Пройденные пути складываются арифметически, а перемещения — по
правилам сложения векторов.
Контрольные вопросы
1. Что такое путь и что такое перемещение?
2. Может ли перемещение равняться нулю, если путь не равен нулю? Приведите при-
меры.
3. Может ли путь равняться нулю, если перемещение не равно нулю?
4. Почему путь нельзя сравнивать с перемещением, а только с его модулем?
5. В каком случае путь равен модулю перемещения?
6. Зависит ли перемещение тела от выбора системы отсчета? Ответ подтвердите
примерами.
Пример решения задачи
Конькобежец пересек прямоугольную ледовую пло-
щадку по диагонали АВ, а пешеход прошел из точ-
ки А в точку В по краю площадки (рис. 46). Разме-
ры площадки 60 × 80 м. Определите модули переме-
щений пешехода и конькобежца и пути, пройденные
ими.
Дано:
а = 60 м
b = 80 м
Решение
Из рисунка 46 видно, что перемещения пешехода и конькобежца
одинаковы. Модуль перемещения:
Δr a b= + = + =2 2
3600 6400 100м м м.2 2
Путь пешехода: s1 = а + b = 60 м + 80 м = 140 м.
Путь конькобежца: s2 = Δr = 100 м.
Δr1 — ?
Δr2 — ?
s1 — ?
s2 — ?
Ответ: Δr1 = Δr2 = 100 м; s1 = 140 м; s2 = 100 м.
Рис. 46
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

29. 29
Упражнение 2
1. Численное значение пути или модуля перемещения показывает счетчик
пробега автомобиля? Почему?
2. Используя рисунок 44 и данные текста, определите путь, который про-
шло маршрутное такси, перевозя пассажиров из Минска в Березино через Чер-
вень. Изобразите в тетради перемещения такси на участках Минск — Червень
( ),ΔrМЧ Червень — Березино ( )ΔrЧБ и Минск — Березино ( ).ΔrМБ Докажите,
что Δ Δ Δr r rМБ МЧ ЧБ= + . Покажите, что модуль Δ Δ Δr r rМБ МЧ ЧБ+ .
3. Спортсмен на тренировке пробежал N = 6,5 кругов радиусом R = 50 м. Ка-
кой путь пробежал спортсмен? Чему равен модуль его перемещения?
4. Строительный кран поднимает груз на высоту h = 30 м. Одновременно
кран передвигается на расстояние l = 10 м. Определите перемещение груза, его
вертикальную и горизонтальную составляющие. Изобразите их соответствующи-
ми векторами. Чему равны модули этих векторов?
5. Определите путь и модуль перемещения конца часовой стрелки длиной
l = 6,0 см за промежутки времени t1 = 3,0 ч; t2 = 6,0 ч; t3 = 12 ч; t4 = 24 ч. Решение
подтвердите рисунком.
§ 7. Равномерное прямолинейное движение.
Скорость
В 7-м классе вы изучали равномерное прямолинейное движение, позна-
комились с понятием «скорость». Скорость движения у разных тел раз-
лична. За одну секунду черепаха (рис. 47) преодолевает несколько санти-
метров, человек — до 10 м, гепард (см. рис. 47) — до 33 м, спортивный
автомобиль — около 100 м. Около 8 км за секунду пролетает по орбите
Рис. 47
Равномерное прямолинейное движение. Скорость
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

30. 30 Кинематика
спутник Земли (рис. 48, а). Но даже скорости космических кораблей —
«черепашьи» по сравнению со скоростью частиц в ускорителях. В совре-
менном ускорителе (рис. 48, б) электрон за одну секунду пролетает поч-
ти 300 000 км!
Скалярная или векторная величина — скорость? Каковы закономер-
ности равномерного прямолинейного движения?
Проследим за падением металлического ша-
рика в вертикальной трубке, заполненной вяз-
кой жидкостью (сахарным сиропом) (рис. 49). При
достаточно большой концентрации сахара ша-
рик движется равномерно. Убедиться в этом мож-
но, отмечая положение шарика через равные про-
межутки времени. Опыт показывает, что за рав-
ные промежутки времени, например за Δt1 = Δt2 =
= Δt3 = ... = 5 с, шарик совершает одинаковые пе-
ремещения: Δ Δ Δr r r1 2 3= = = ... .
Уменьшим промежутки времени. Во столь-
ко же раз уменьшатся и перемещения шарика, но
по-прежнему за равные промежутки времени они
будут равны. Значит, шарик движется и прямоли-
нейно, и равномерно.
Движение, при котором тело за любые рав-
ные промежутки времени совершает одинаковые
перемещения, называется равномерным прямо-
линейным движением.
Рис. 48
Рис. 49
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

31. 31
В 7-м классе вы находили скорость равномерного движения тела как отно-
шение пути к промежутку времени, за который путь пройден: v s
t
=
Δ
. Это отно-
шение показывает, насколько быстро движется тело, но ничего не говорит о на-
правлении движения. Чтобы охарактеризовать одной величиной и быстроту дви-
жения, и его направление, определим скорость как векторную величину, равную
отношению перемещения к промежутку времени:
v r
t
== ΔΔ
ΔΔ
. (1)
Скоростью равномерного прямолинейного движения называется век-
торная физическая величина, модуль которой численно равен модулю пере-
мещения за единицу времени, а направление совпадает с направлением пе-
ремещения.
Отношение Δ
Δ
r
t
для всех рассмотренных участков движения шарика было
одинаково:
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
r
t
r
t
r
t
1
1
2
2
3
3
= = . Это говорит о том, что скорость равномерного пря-
молинейного движения постоянна: с течением времени не изменяется ни ее мо-
дуль, ни ее направление.
Для равномерно и прямолинейно движущегося тела из формулы (1) легко
найти:
• перемещение:
Δ Δr v t= ; (2)
• проекцию перемещения на ось Ох (см. рис. 49):
Δ Δr v tx x
= ; (3)
• путь s (равный модулю перемещения Δr):
s v t= Δ . (4)
Определим теперь положение тела, т. е. его координату в любой момент вре-
мени. Рассмотрим пример. Автомобиль движется равномерно по прямолинейному
шоссе. Воспользуемся осью координат Ох с началом отсчета в точке О (рис. 50).
Автомобиль рассматриваем как материальную точку.
Рис. 50
Равномерное прямолинейное движение. Скорость
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

32. 32 Кинематика
Согласно рисунку 50 в момент времени t координата автомобиля равна
x = x0 + Δrx. Проекция Δrx вектора перемещения на ось Ох равна v tx Δ .
Следовательно, x x v tx= +0 Δ , где Δt t t= − 0 . Приняв t0 равным нулю, по-
лучим координату автомобиля:
x x v tx= +0 . (5)
Зависимость координаты движущегося тела от времени называется кинема-
тическим законом движения.
Кинематический закон равномерного прямолинейного движения состоит
в том, что координата тела линейно зависит от времени. Это следует из фор-
мулы (5).
Согласно формуле (5) проекция скорости на ось Ох:
vx
x x
t
=
− 0
.
При равномерном прямолинейном движении проекция скорости на ко-
ординатную ось численно равна изменению координаты движущегося тела за
единицу времени.
Напомним, что за единицу скорости в СИ принят 1 метр в секунду 1 м
с
.
Для измерения скорости используются специальные приборы. В автомоби-
лях имеется спидометр (рис. 51), на самолетах — указатель скорости. Эхоло-
каторы измеряют скорость объектов, движущихся под водой, а радиолокаторы
(радары) — находящихся в воздухе и на земле. Сотрудники службы дорожного
движения с помощью устройств, снабженных портативным радаром и видео-
камерой (рис. 52), могут оперативно регистрировать скорость любого транс-
портного средства.
Рис. 51 Рис. 52
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

33. 33
Главные выводы
1. Равномерное прямолинейное движение — это движение, при котором
тело (точка) за любые равные промежутки времени совершает одинаковые пе-
ремещения.
2. Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна: с течени-
ем времени не изменяется ни ее модуль, ни ее направление.
3. При равномерном прямолинейном движении тела модуль перемещения
равен пути, пройденному за тот же промежуток времени.
4. Координата равномерно прямолинейно движущегося тела линейно зави-
сит от времени движения.
Контрольные вопросы
1.Чем отличаются путь и перемещение тела при равномерном прямолинейном движении?
2.Можно ли, зная модуль скорости движения и промежуток времени, определить по-
ложение тела в конечный момент времени?
3.Как направлена скорость при равномерном прямолинейном движении?
4.Какова зависимость координаты тела от времени при равномерном прямолинейном
движении? Какой будет эта зависимость, если начальное положение тела совпадает
с началом координат?
5.В каком случае проекция скорости движения будет отрицательной? Равной нулю?
Пример решения задачи
Турист прошел путь s1 = 0,60 км на север, а затем путь s2 = 0,80 км на восток.
Сколько времени потребуется туристу на возвращение в исходную точку по пря-
мой, если модуль его скорости постоянен и равен v = 1,2 м
с
. Какой суммарный
путь прошел турист? Каково его перемещение?
Дано:
s1 = 0,60 км
s2 = 0,80 км
v = 1, 2 м
с
Решение
Сделаем рисунок к условию задачи (рис. 53).
t — ?
s — ?
Δr — ?
Рис. 53
Равномерное прямолинейное движение. Скорость
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

34. 34 Кинематика
Из рисунка следует, что перемещение: Δ Δ Δr r r= +1 2 .
Модуль перемещения туриста:
Δ Δ Δr r r= +1
2
2
2
= 0 36 0 64 1 0, , ,км км км.2 2
+ =
Пройденный им путь:
s = s1 + s2 = 0,60 км + 0,80 км = 1,4 км.
Время возвращения туриста:
t r
v
= = =Δ 1000
14
м
1,2 м
с
мин.
Ответ: вектор перемещения Δr направлен от точки 1 к точке 2, его модуль
Δr = 1,0 км; s = 1,4 км; t = 14 мин.
Упражнение 3
1. Какие из характеристик движения — путь, скорость, перемещение, ко-
ордината — являются векторными?
2. Переведите в метры в секунду м
с
следующие значения модуля скоро-
сти: v1 18= км
ч
, v2 36= км
ч
, v3 1 2= , ,км
мин
v4 8= км
с
(первая космическая ско-
рость).
3. Равномерно движущийся электропоезд за промежуток времени
Δt = 5,0 мин прошел путь s = 6,0 км. Найдите модуль скорости движения элек-
тропоезда.
4. Футболист проделал по футбольному полю путь s1 = 40 м на север,
s2 = 30 м на восток, а затем s3 = 20 м на юг. Какой суммарный путь проделал фут-
болист? Какое он совершил перемещение? Сколько времени потребуется фут-
болисту на возвращение в исходную точку по прямой, если модуль его скорости
постоянен и равен v = 4,0 м
с
?
5. По прямой дороге навстречу друг другу двигались легковой автомобиль
со скоростью, модуль которой v1 = 90 км
ч
, и мотоцикл со скоростью, модуль ко-
торой v2 = 20 м
с
. На переезде они встретились и продолжили равномерное дви-
жение. На каком расстоянии от переезда и друг от друга находились автомобиль
и мотоцикл через время t = 0,50 ч после встречи?
6. Два пешехода движутся навстречу друг другу с постоянными скоро-
стями, модули которых v = 5,0 км
ч
. Можно ли утверждать, что скорости дви-
жения пешеходов одинаковы? Каким будет расстояние между ними через время
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

35. 35
t1 = 30 мин после их встречи? Какой путь к этому времени пройдет каждый из
пешеходов, если в начальный момент времени они находились на расстоянии
l = 2,0 км друг от друга?
7. В течение одного часа самолет летел прямолинейно (вдоль оси Ох).
Кинематический закон его движения имеет вид: х = А + Bt, где А = 5,0 км,
В = 720 км
ч
. Определите координату самолета в начале и в конце этого часа, мо-
дуль скорости его движения, путь и модуль перемещения за время t = 20,0 мин
полета. Решение поясните рисунком.
8. Решите предыдущую задачу, приняв В = −720 км
ч
.
9. Поездка велосипедиста из пункта А в пункт В и обратно состояла из двух
этапов. На первом этапе, двигаясь со скоростью v = 12 км
ч
, он преодолел
половину расстояния АВ. На втором, двигаясь со скоростью, модуль которой
был постоянен, он достиг пункта В и вернулся в пункт А. Найдите модуль этой
скорости, если промежутки времени, затраченные на каждый из этапов, были
одинаковы.
§ 8. Графическое представление равномерного
прямолинейного движения
Зависимости между различными величинами можно наглядно изобра-
зить с помощью графиков. Использование графиков существенно облегча-
ет решение многих научных и практических задач.
Например, по графику зависимости температуры больного от времени
(рис. 54) легко определить, что на 5-е сутки температура достигла сво-
его максимума, затем резко упа-
ла, а еще через сутки стала при-
ближаться к норме. График дал на-
глядное представление о течении
болезни.
В физике роль графиков чрезвы-
чайно велика. Умение строить и «чи-
тать» графики облегчает описание фи-
зических явлений и способствует бо-
лее глубокому их пониманию.
Рассмотрим конкретный пример.
Дима и Таня идут навстречу друг другу Рис. 54
Графическое представление равномерного прямолинейного движения
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

36. 36 Кинематика
(рис. 55). Они движутся равномерно и прямолинейно. Модуль скорости Димы
v1 = 2,0 м
с
, Тани — v2 = 1,5 м
с
. Выберем координатную ось Ох (см. рис. 55). Пусть
в начальный момент t0 = 0 координата Димы х01 = 1,3 м, Тани — х02 = 6,0 м.
Построим графики зависимости от времени следующих величин: проекции
скорости vx, модуля скорости v, проекции перемещения Δrx , пути s и координаты x.
1. График проекции скорости. Из условия ясно, что проекции скоростей
v1 и v2 на ось Ох постоянны: v1x = v1 = 2,0 м
с
= const, v2x = −v2 = −1,5 м
с
= const.
Следовательно, графики зависимости проекций v1x и v2x от времени t — это пря-
мые, параллельные оси времени (рис. 56, прямые I и II). Графики показывают:
проекция скорости движения при равномерном прямолинейном движении с
течением времени не изменяется.
2. График модуля скорости. График модуля скорости движения Димы — пря-
мая I на рисунке 56, а Тани — прямая III. Почему график модуля скорости дви-
жения Димы совпадает с графиком ее проекции, а движения Тани — нет? Объ-
ясните самостоятельно.
3. График проекции перемеще-
ния. Проекция перемещения Δrx , со-
вершенного за промежуток времени от
0 до t, определяется формулой Δr v tx x= .
Графики зависимости проекции пере-
мещения Димы Δr v tx x1 1= (прямая I)
и Тани Δr v tx x2 2= (прямая II) от вре-
мени изображены на рисунке 57. Они
показывают: при равномерном пря-
молинейном движении проекция пе-
ремещения прямо пропорциональна
времени.
Рис. 55
Рис. 56
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

37. 37
4. График пути. При равномерном
прямолинейном движении путь равен мо-
дулю перемещения: s r vt= Δ = . График
пути, пройденного Димой, s v t1 1= , совпа-
дает с графиком проекции его перемеще-
ния (см. рис. 57, прямая I). График пути
Тани s v t2 2= — это прямая III. Она явля-
ется «зеркальным отражением» прямой II
(см. рис. 57) от оси времени. Так по-
лучается потому, что путь всегда по-
ложителен, а проекция перемещения
Тани — отрицательна.
Графики пути показывают: при рав-
номерном прямолинейном движении пройденный путь прямо пропорционален
времени.
Что еще можно определить по графикам?
Можно ли по графику скорости найти пройденный путь? Рассмотрим пря-
моугольник ABCD на рисунке 56. Его площадь численно равна 8. Но за время
t = 4 с Дима прошел путь s = vt, равный как раз 8 м. Это совпадение не случай-
ное. Высота прямоугольника ABCD численно равна модулю скорости v, его осно-
вание — промежутку времени от 0 до t. Следовательно, площадь прямоугольника
ABCD численно равна пройденному за этот промежуток времени пути: s = v t.
Площадь фигуры между графиком модуля скорости и осью времени в пре-
делах рассматриваемого промежутка времени численно равна пройденному
пути.
Такое же правило связывает площадь между графиком проекции скорости vx
и осью времени с проекцией перемещения Δrx. Только при vx 0 эту площадь
следует брать со знаком «минус». Проверьте это с помощью рисунков 56 и 57.
А можно ли по графику пути определить скорость движения? Обратимся к
рисунку 57. Угол α между графиком I пути и осью времени больше, чем угол β
между графиком III и осью времени. Почему? Потому, что за каждую секунду
Дима проходит по 2 м, а Таня — по 1,5 м. Чем больше модуль скорости, тем
больше угол наклона графика пути к оси времени.
Сравнив графики проекций перемещений I и II на рисунке 57, можно сделать
вывод: по наклону графика проекции перемещения можно судить о величине и о
знаке проекции скорости.
Рассмотрим Δ ABC на рисунке 57. В этом треугольнике катет AC численно равен про-
межутку времени от 0 до t, а катет BC — пройденному за это время пути s. Следовательно,
tg :α = = =
BC
AC
s
t
v тангенс угла между графиком пути и осью времени численно равен мо-
Рис. 57
Графическое представление равномерного прямолинейного движения
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета