-

1. 3
Вылегжанин Игорь Альбертович
Пожидаев Александр Васильевич
Остроменский Петр Иванович
Шандаров Леонид Гаврилович
Практикум
по высшей математике
для технических специальностей
Часть I
НОВОСИБИРСК : СГУПС
2011

2. 4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Высшая математика необходима студентам и будущим ин-
женерам, в первую очередь, как эффективный инструмент иссле-
дования математических моделей технических объектов, соответ-
ствующих их будущей специальности. Метод математического
моделирования является основным методом построения и изуче-
ния учебных дисциплин физико-математического цикла (физика,
теоретическая механика, сопротивление материалов, теория ав-
томатического управления и т.д.).
В практической инженерной деятельности этот метод, реали-
зуемый в виде вычислительных экспериментов на компьютере с
математическими моделями исследуемых объектов, является
наиболее быстрым, эффективным и экономически выгодным
средством получения новой информации об указанных объектах.
Такая информация необходима для научно обоснованного приня-
тия решений при проектировании новых объектов, при диагно-
стике отказов, анализе и моделировании нештатных и аварийных
ситуаций, возможных при эксплуатации объектов техники.
При обучении высшей математике будущих инженеров
должны быть успешно решены две наиболее важные и взаимо-
связанные учебные проблемы:
1) формирование устойчивых знаний, навыков и умений ре-
шения различных типов математических задач, широко исполь-
зуемых при изучении учебных дисциплин физико-математичес-
кого цикла и в инженерных расчетах, основанных на математиче-
ском моделировании технических объектов, соответствующих
будущей инженерной специальности;
2) развитие знаний, навыков и умений по технологии матема-
тического моделирования технических систем на примерах при-
кладных задач, адаптированных к уровню математических, физи-
ческих и технических знаний студентов первого и второго кур-
сов. При этом основное внимание должно быть уделено вычисли-
тельным аспектам метода математического моделирования.
На старших курсах при изучении большинства учебных ин-
женерных дисциплин продолжается более полное и осознанное
овладение методом математического моделирования инженерных
задач с применением компьютеров. В дальнейшем искусство ма-

3. 5
тематического моделирования должно совершенствоваться в те-
чение всей активной инженерной деятельности.
В настоящем сборнике все задачи делятся на «чисто» мате-
матические и прикладные.
Математические задачи предназначены для решения первой
учебной проблемы. В настоящем сборнике такие задачи состав-
ляют около 80 % от общего числа задач. Для решения указанных
задач необходимы и достаточны знания школьной математики, а
также изученные и изучаемые разделы высшей математики.
К прикладным задачам относятся задачи, поставленные вне
математики и решаемые средствами математики. Каждую такую
задачу в общем случае необходимо предварительно формализо-
вать и преобразовать в математическую, т.е. получить математи-
ческую модель реального объекта, описанного в постановке при-
кладной задачи на языке математики (см. приложение).
В учебных прикладных задачах, приведенных в практикуме,
использованы известные математические модели технических
объектов, которые адаптированы для учебных целей и кратко
описываются в качестве пояснений к задаче. Основное внимание
уделено решению математической задачи, соответствующей ма-
тематической модели инженерного объекта и цели исследования.
В приложении к практикуму приведены исходные положения
метода математического моделирования и пример решения ре-
альной инженерной задачи указанным методом.
Практикум включает все разделы математики, которые соот-
ветствуют учебным рабочим программам по математике для ин-
женеров технических специальностей по направлениям: строи-
тельство зданий, сооружений, железных и автомобильных дорог;
эксплуатация подъемно-транспортных, строительных и дорож-
ных машин, а также транспортного оборудования с общим объе-
мом от 570 до 650 часов.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
N — множество натуральных чисел
Z — множество целых чисел
Q — множество рациональных чисел
R — множество действительных чисел

4. 6
C — множество комплексных чисел
r — алгебраический (арифметический) вектор
,r
r
OA
uuur
— геометрический вектор
nV — векторное пространство размерности n
n
R — точечное координатное пространство размерности n
1 2 3( , , )M a a a — точка с координатами 1 2 3, ,a a a
1 2 3( , , )r a a a=
r
— вектор с координатами 1 2 3, ,a a a
∆ — определитель
( ), ,detA A A∆ — определитель матрицы A
СЛАУ — система линейных алгебраических уравнений
⇒ — следует
⇔ — равносильно
≡ — тождественно равно
≅ — эквивалентно
⊂ — включает
⊆ — включает или равно
∈ — принадлежит
∉ — не принадлежит
∪ — объединение множеств
∩ — пересечение множеств
↑↑ — сонаправленность векторов
↑↓ — противоположная направленность коллинеарных век-
торов
Σ — сумма
!n — факториал
...= = — промежуточные вычисления в примере опущены и
должны бытии восстановлены студентами при изучении примера
самостоятельно

5. 7
Цель расчетов – понимание, а не числа.
Р.В. Хемминг [8]
Тема 0: ВВЕДЕНИЕ В КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
0.10
. Исходные положения теории множеств
Современная математика строится и изучается на основе тео-
рии множеств. Множество относится к первичным (исходным)
математическим понятиям, которые формально не определяются.
Под множеством подразумевают любую совокупность некоторых
математических объектов, объединенных по определенному при-
знаку.
Пр и м е р ы: множество четных чисел, меньших 100; множе-
ство сторон многоугольника; множество точек на отрезке прямой
и т.п.
В прикладных задачах синонимами понятия «множество» яв-
ляются «совокупность», «собрание», «группа», «семейство» и т.д.
Объекты, из которых состоит множество, называют элемен-
тами и подмножествами. Элемент множества рассматривается
как единое целое, неразложимое на более простые части. Под-
множество – часть множества, включающая в себя некоторые
(или все) элементы множества (подмножество может не включать
в себя ни одного элемента множества, в этом случае оно называ-
ется пустым множеством и обозначается ∅).
Пр и м е р. Множество натуральных чисел N: 1, 2, 3, ... . Его
подмножествами являются, например, множество четных чисел;
множество чисел, не превосходящих 1000; множество, состоящее
из одного числа }{1 , и т.п.
Множества и подмножества обычно обозначаются заглавны-
ми (обычно латинскими) буквами (иногда с индексами)
, , ,..., , ,A B C X Y Z или 1 2 3, , , ...,A A A а их элементы — малыми
буквами , , ,...a b c или 1 2 3, , ,...a a a .
Для обозначения отношений между множествами и элемен-
тами используют следующие условные знаки:
B A⊆ множество B является подмножеством множества A (в
частности, эти множества могут совпадать);
B A⊂ множество B является подмножеством множества A и
при этом B не совпадает с A;

6. 8
a A∈ элемент a принадлежит множеству A;
a A∉ элемент a не принадлежит множеству A.
Множества можно задавать двумя способами:
1) перечислением всех элементов множества, например,
}{ 1 2, , ..., nA a a a= ;
2) указанием характеристического свойства (признака, пра-
вила), позволяющего определить любые элементы множества:
}{ | ï ðèçí àê(ï ðàâèëî )A a= .
Пр и м е р ы: 1) }{ | , 100A a a N a= ∈ < — множество нату-
ральных чисел, меньших 100;
2) }{ 2
| , 2, 0X x x R x x= ∈ < ≠ — множество, действительных
чисел, квадраты которых меньше двух и не равны нулю.
В примере 2) x — любой элемент из множества X. Такие эле-
менты, которые могут принимать любое значение из заданного
множества, называют переменными величинами.
О пр е д е ле ние: переменная величина x — это математиче-
ская величина, которая может принимать любое значение из за-
данного множества X.
Переменная величина считается заданной, если задано мно-
жество всех ее возможных значений.
Если множество значений переменной величины содержит
только один элемент, то такая величина называется постоянной.
Математические величины являются обобщением физиче-
ских величин, которые, в свою очередь, являются результатами
измерений физических объектов, однородных по измеряемому
признаку. В качестве переменных величин в высшей математике
используют числа, векторы и другие математические объекты.
О пр е д е ле ние: между множествами A и B установлено
взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу мно-
жества A соответствует только один элемент множества B и
наоборот, каждому элементу множества B соответствует один
элемент множества A.
Если между множествами A и B установлено взаимно одно-
значное соответствие, то эти множества называют равномощны-
ми или эквивалентными и пишут A B≅ .
Пр и м е р ы: 1) }{ , , ,A a b c d= , }{1, 2, 3, 4B = , A B≅ .
2) Множество действительных чисел равномощно множеству
неотрицательных действительных чисел (т.е. своей части). Необ-

7. 9
ходимое взаимно однозначное соответствие задается формулой
2 ;x
y x R= ∈ .
0.1.10
. Операции с множествами
О пр е д е ле ние: Объединением множеств A и B называется
множество }{ | èëèA B x x A x B∪ = ∈ ∈ .
О пр е д е ле ние: Пересечением множеств A и B называется
множество }{ | èA B x x A x B∩ = ∈ ∈ .
Замечание: Если требуется записать, что объединяются или пересека-
ются n множеств 1 2, ,..., nX X X , то это обозначается
1
n
i
i
X
=
U или, соответ-
ственно,
1
n
i
i
X
=
I .
О пр е д е ле ние: Разностью множеств A и B называется
множество }{ | èA B x x A x B= ∈ ∉ .
О пр е д е ле ние: Декартовым (или прямым) произведением
множества A на множество B называется множество пар:
}{( , ) | èA B x y x A y B× = ∈ ∈ .
Для наглядного изображения пересечения, объединения и
разности множеств используют круги Эйлера (рис. 1):
Рис. 1. Операции с множеством

8. 10
Пр и м е р. Даны множества }{1; 2; 3; 4; 5A = и }{4; 5; 6B = .
а) Перечислить все элементы множеств ,A B∪ ,A B∩ ,A B
B A;
б) Перечислить все элементы множества A B× .
Решение: а) По определению объединения множеств ,A B∪
оно содержит те и только те элементы, которые содержатся хотя
бы в одном из множеств A или B, значит, A B∪ =
}{1; 2; 3; 4; 5; 6= .
По определению пересечения множеств A B∩ , оно содержит
те и только те элементы, которые содержатся как во множестве A,
так и во множестве B, значит, }{4; 5A B∩ = .
По определению разности множеств A B, оно содержит те и
только те элементы, которые содержатся во множестве A и не со-
держатся во множестве B, значит, }{ 1; 2; 3A B = . Аналогично,
}{ 6B A = .
б) Декартово произведение A B× состоит из всевозможных
пар, первые элементы которых являются элементами множества A,
а вторые – элементами множества B: ( ){ ( ) ( )1; 4 , 1; 5 , 1; 6 ,A B× =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2; 4 , 2; 5 , 2; 6 , 3; 4 , 3; 5 , 3; 6 , 4; 4 , 4; 5 , 4, 6 , 5; 4 ,
( ) ( )}5; 5 , 5; 6 .
Задачи к разделу 0.10
0.1.1. С помощью определений элемента множества или
подмножества доказать, что множества A и B не равны
а) }{ }{ }{ 1; 2 ; 3; 4A = , }{1; 2; 3; 4B = ;
б) }{ }{ 1; 2; 3 ; 4A = , }{1; 2; 3; 4B = ;
в) }{ }{ 1; 2; 3 ; 4A = , }{ }{ }{ 1; 2 ; 3; 4B = .
0.1.2. Доказать равномощность множеств
а) }{1; 2; 3; 4A = и }{ ; ; ,B a b c d= ;
б) множество целых чисел от 1 до 33 и множество букв рус-
ского алфавита;
в) множество натуральных чисел и множество четных чисел;

9. 11
г) множество чисел отрезков [ ]0;1 и [ ]2; 10 ;
д) множество действительных чисел и интервал ;
2 2
π π 
− 
 
.
0.1.3. Даны множества }{1; 2; 3; 4A = и }{3; 4; 5B = .
а) Перечислить все элементы множеств , , ,A B A B A B∪ ∩
B A;
б) Перечислить все элементы множеств , ,A B B A A A× × × .
0.1.4. Даны множества }{ ;A a b= и }{ ; ; &B = × ∗ .
а) Перечислить все элементы множеств , ,A B B A A A× × × ;
б) Перечислить все элементы множеств A A A× × , A B A× × .
0.1.5. Сколько различных подмножеств содержит множество
а) состоящее из четырех элементов;
б) состоящее из пяти элементов;
в) состоящее из шести элементов.
Догадайтесь, сколько различных подмножеств содержит
множество, состоящее из n элементов.
0.1.6. Для множеств A и B найти , , , A B A B A B B A∪ ∩
а) [ ] [ ]1; 3 , 2; 5A B= = ; б) ( ) ( )1; 3 , 2; 5A B= = ;
в) [ ) ( ]1; 3 , 2; 5A B= = ; г) [ ] ( )1; 3 , 2; 5A B= = .
0.1.7. Для множеств A и B найти , , , A B A B A B B A∪ ∩ ,
если [ ] }{1; 3 , 1; 2; 3A B= = .
0.1.8. С помощью кругов Эйлера доказать тождества
а) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ ;
б) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ ;
в) ( ) ( ) ( ) A B C A B A C∪ = ∩ .
0.20
. Числовые множества
действительной переменной
Натуральными числами называются числа 1, 2, 3, 4, и т.д.
Множество натуральных чисел обозначается N и является исход-
ным числовым множеством.
О п р е д е ле н и е: Множеством целых чисел называется мно-
жество }{ }{| , 0Z k k n n N= = ± ∈ ∪ .

10. 12
О п р е д е ле н и е: Множеством рациональных чисел называ-
ется множество / , ; 0
m
Q m p Z p
p
 
= ∈ ≠ 

.
Любое рациональное число может быть представлено в виде
конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Числа, которые нельзя представить в таком виде, называются ир-
рациональными. Примеры иррациональных чисел: 3,14159...π = ,
2,71828...e = , 2 1,4142...= .
Любое иррациональное число всегда можно представить
приближенно рациональным числом с любой точностью.
Действительными числами будем называть числа, которые
можно представить в виде бесконечной десятичной дроби,
например:
1
3,14159.....; 0,33333.....; 7 7,00000.....
3
π = = = и т.
п.
Множество действительных чисел обозначается R.
Очевидно, что N Z Q R⊂ ⊂ ⊂ .
Множества рациональных и действительных чисел обладают
тем свойством, что между двумя числами содержится бесконечно
много других чисел.
Множество действительных чисел можно представить так:
}{ /R x x= − ∞ < < ∞ . Символы −∞ и ∞ не являются числами; они
являются символами неограниченности отрицательных и поло-
жительных значений действительных чисел.
0.2.10
. Абсолютная величина (модуль)
действительного числа
О п р е д е ле н и е: Модулем x действительного числа x назы-
вается неотрицательное действительное число, удовлетворяющее
определению:
, åñëè 0
, åñëè 0
x x
x
x x
≥
= 
− <
.
Свойства модуля: 1) x y x y⋅ = ⋅ ; 2)
xx
y y
=

11. 13
3) x y x y+ ≤ + ; 4) x y x y− ≤ + ;
Если x a≤ и 0a > , то a x a− ≤ ≤ .
При x a− < δ имеет место: x a−δ < − < δ.
Если x a≥ , то x a≥ или x a≤ − .
Абсолютные величины широко используют при технических
и физических измерениях.
О п р е д е ле н и е: если 0x — точное значение некоторой из-
меряемой величины, а x — ее приближенное значение, то вели-
чина 0x x∆ = − называется абсолютной погрешностью измеряе-
мой величины, а величина
0x
∆
δ = — относительной погрешно-
стью измеряемой величины.
Абсолютная погрешность суммы и разности не превосходит
суммы абсолютных погрешностей слагаемых.
Если 0x , 0y — точные значения величин, ,x y∆ ∆ — их абсо-
лютные погрешности, то абсолютная погрешность произведения
0 0x y равна 0 0y x x yx y∆ + ∆ + ∆ ∆ .
Если ,x yδ δ — относительные погрешности множителей, то
относительная погрешность произведения равна x y x yδ + δ + δ δ .
Пр и м е р. При измерении сторон прямоугольника с
наибольшей возможной абсолютной погрешностью 2 см получе-
ны длины 2 и 3 м. Найти абсолютную и относительную погреш-
ности площади прямоугольника.
Решение: Длина первой стороны (в метрах) равна 2 0,02± ,
второй — 3 0,02± . Площадь прямоугольника равна произведе-
нию длин сторон, поэтому абсолютная погрешность равна
2
0,02 2 0,02 3 0,02 0,02 0,1 ì⋅ + ⋅ + ⋅ ≈ .
Относительная погрешность измерения первой стороны рав-
на 1
0,02
0,01
2
δ = = , второй стороны — 2
0,02
0,0067
3
δ = ≈ , зна-
чит, относительная погрешность произведения равна
1 2 1 2 0,01 0,0067 0,01 0,0067 0,0167 0,02δ = δ + δ + δ δ ≈ + + ⋅ ≈ ≈ .

12. 14
Задачи к разделу 0.20
0.2.1. Расставить данные числа в порядке возрастания
а)
25 26 27
; ;
26 27 28
; б) 2,23;
29
13
; 5 ;
в) 3,14159;
3927
1250
; π; г) sin 43o
; 0,69; lg5.
0.2.2. Решить уравнения
а) 2 3x − = ; б) 7 4x− = ; в) 3 8 1x − = .
0.2.3. Решить уравнения а)4 4x x− = ; б) 3 3x x− = .
0.2.4. Решить уравнения
а) 3 2 1 4x x− + + = ; б) 2 2x x− − = .
0.2.5. Решить неравенства
а) 2 3x − < ; б) 4 3x − ≤ ; в) 6 7x− > .
0.2.6. а) Стороны прямоугольника равны ( )1,5 0,02± см и
( )13 0,01± см. Какие значения может принимать площадь прямо-
угольника?
б) При измерении сторон прямоугольника линейкой с ценой
деления 1 мм получены длины 4 и 5 см. Найти абсолютную и от-
носительную погрешности площади прямоугольника.
0.2.7. При измерении сторон прямоугольного параллелепи-
педа линейкой с ценой деления 1 мм получены длины 3, 4 и 5 см.
Найти абсолютную и относительную погрешности объема парал-
лелепипеда.
0.2.8. а) Радиус круга равен ( )2 0,02R = ± см. С какой отно-
сительной погрешностью может быть вычислена площадь круга?
б) Найти ту же относительную погрешность, если 20 0,02R = ± .
0.2.9. Вывести формулы для абсолютной и относительной
погрешностей объема цилиндра, если радиус его основания R и
высота h измеряются с абсолютными погрешностями ,R hδ δ .
0.2.10. а) Масса тела измерена с относительной погрешно-
стью mδ , а его ускорение — с относительной погрешностью aδ .
С какой относительной погрешностью можно вычислить силу,
действующую на это тело при его прямолинейном движении?
б) Сила тока на участке электрической цепи измерена с отно-
сительной погрешностью Iδ , а сопротивление — с относитель-

13. 15
ной погрешностью Rδ . С какой относительной погрешностью
можно вычислить напряжение на участке цепи?
0.30
. Точечные множества. Координатные пространства.
Системы координат
Геометрические объекты (прямые, плоскости кривые линии,
геометрические тела и ограничивающие их поверхности) можно
рассматривать как непрерывные точечные множества, которые
являются подмножествами некоторого универсального множе-
ства, называемого пространством, объединяющим точечные и
числовые множества.
Математическое пространство – это некоторая математиче-
ская среда, в которой находятся математические объекты, для ко-
торых введены алгебраические операции. При выполнении этих
операций над объектами появляются новые объекты, находящие-
ся в том же пространстве.
Пространства, для которых определены правила нахождения
расстояния между точками, будем называть координатными про-
странствами. Такие пространства позволяют установить взаимно
однозначное соответствие между числовыми и точечными мно-
жествами с помощью систем координат.
Прямые линии являются одномерными координатными про-
странствами. Между действительными числами и точками пря-
мой можно установить взаимно однозначное соответствие и отра-
зить любое действительное число в виде точки на прямой. Для
этого на прямой выбирают начало отсчета, направление положи-
тельного отсчета, а также масштаб (единицу измерения при от-
счете). В результате получаем координатную (числовую) ось, на
которой любое действительное число можно отобразить в виде
точки.
В силу взаимно однозначного соответствия понятия «число»
и «точка» часто используют как синонимы при описании матема-
тических объектов. Переменной величине x соответствует «теку-
щая точка», конкретному числовому значению переменной соот-
ветствует «фиксированная точка».
Если введем прямоугольную систему координат на плоско-
сти из двух взаимно ортогональных (перпендикулярных) число-
вых осей с общим началом отсчета, то получим двумерное коор-

14. 16
динатное пространство. Теперь можно установить взаимно од-
нозначное соответствие между множеством точек плоскости и
множеством упорядоченных пар действительных чисел ( );x y ,
которые являются координатами точек плоскости.
Используя теорему Пифагора, расстояние между точками в
двумерном координатном пространстве можно получить в виде
( ) ( )
2 2
N M N MMN x x y y= − + − .
Аналогично можно ввести
трехмерное координатное про-
странство, в котором устанав-
ливается взаимно однозначное
соответствие между точками
этого пространства и упорядо-
ченными тройками ( ); ;x y z дей-
ствительных чисел. Расстояние
между точками ( ); ;M M MM x y z
и ( ); ;N N NN x y z в трехмерном
координатном пространстве
определяют по формуле
( ) ( ) ( )
2 2 2
N M N M N MMN x x y y z z= − + − + − .
Кроме прямоугольных систем координат в математике и ее
приложениях используют и другие (косоугольные, криволиней-
ные) системы координат. В общем случае, система координат –
взаимосвязанная совокупность геометрических объектов в коор-
динатном пространстве, позволяющая установить взаимно одно-
значное соответствие между элементами точечного и числового
множеств по определенным правилам.
Задачи к разделу 0.30
0.3.1. Используя теорему Пифагора, доказать формулу AB =
( ) ( ) ( )2 2 2
A B A B A Bx x y y z z= − + − + − .
0.3.2. Найти расстояния между точками: а) ( )7; 3A − и ( )4; 7B − ;
б) ( )1; 2A − и ( )3;4B − ; в) ( )1; 2; 3A и ( )3;5; 9B .
Рис. 2. Расстояние между точками

15. 17
0.3.3. На координатной плоскости даны четыре точки:
( )1; 2A − , ( )4; 1B − , ( )1; 5C и ( )2; 4D − . Доказать, что четырех-
угольник ABCD – параллелограмм.
0.3.4. На координатной плоскости даны три точки: ( )1; 1A − ,
( )3; 5B , ( )5; 3C . Доказать, что треугольник ABC – прямоуголь-
ный.
0.3.5. На координатной плоскости даны три точки: ( )1; 1A − ,
( )3; 5B , ( )5; 3C . Какими должны быть координаты точки D,
чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом?
0.3.6. На координатной плоскости даны две точки ( )7; 3A − и
( )4; 7B − . Какими должны быть координаты точки C , чтобы тре-
угольник ABC был равносторонним?
0.3.7. В пространстве даны три точки ( )0; 0; 0O , ( )3;1, 0A и
( )3; 1; 0B − . Какими должны быть координаты точки C , чтобы
у пирамиды OABC длины всех ребер были одинаковы?
0.1.8. Изобразить графически декартовы произведения
а) отрезка длины 1 на отрезок длины 3;
б) квадрата со стороной 1 на отрезок длины 2;
в) отрезка длины 2 на круг радиуса 3;
г) окружности радиуса 5 на круг радиуса 1.
Требования к практическому усвоению темы
«Введение в курс высшей математики»
Студент должен знать:
1. Исходные положения теории множеств: понятие элемента
множества, подмножества; способы задания множеств; основные
условные обозначения, используемые в теории множеств; поня-
тие взаимно однозначного соответствия между множествами.
2. Понятие переменных математических величин и их интер-
претации в теории множеств.
3. Числовые множества действительной переменной и их
подмножества (натуральные, целые, рациональные и иррацио-
нальные числа).
4. Понятие абсолютной величины (модуля) действительного
числа (определение и основные свойства арифметических опера-
ций с модулями действительных чисел).

16. 18
5. Точечные множества и координатные пространства, гео-
метрическая интерпретация действительных чисел.
6. Прямоугольные системы координат (определения, рассто-
яния между точками в координатных пространствах), взаимно
однозначное соответствие между точками и постоянными (пере-
менными) математическими величинами.
Студент должен уметь:
1. Задавать конечные и бесконечные множества.
2. Устанавливать взаимно однозначное соответствие между
множествами и интерпретировать математические и физические
величины как элементы множеств.
3. Выполнять арифметические операции с модулями дей-
ствительных чисел.
4. Определять положение точек и расстояние между точками
в одномерных, двумерных и трехмерных системах координат.
Ответы к задачам темы
«Введение в курс высшей математики»
0.1.1. а) Множество A состоит из двух элементов, каждое из которых
является множеством, множество B – из четырех элементов, каждое из ко-
торых является числом; б) Множество A состоит из двух элементов, мно-
жество B – из четырех элементов; в) Хотя множества и состоят из одина-
кового количества элементов, но элементами множества A являются мно-
жество и число, а элементами множества B – два множества.
0.1.2. а) Сопоставим элементу 1 A∈ элемент a∈B, элементу 2 A∈
элемент b∈ B, элементу 3 A∈ элемент c∈ B, элементу 4 A∈ элемент
d ∈B; получим взаимно однозначное соответствие; б) Сопоставим каждой
из 33 букв русского алфавита ее номер в алфавите; в) взаимно однозначное
соответствие можно задать, например, формулой f (n) = 2n, т.е. каждому
натуральному числу поставить в соответствие число, в два раза большее;
г) взаимно однозначное соответствие можно задать, например, формулой
f(x) = 8x + 2. Читателю рекомендуется построить прямую y = 8x + 2 в си-
стеме координат на отрезке x ∈ [0; 1]; д) взаимно однозначное соответ-
ствие можно задать, например, формулой f(x) = tg x.
0.1.3. а) { }1; 2; 3; 4; 5A B∪ = ; { }3; 4A B∩ = ; { } 1; 2A B = ; { } 5B A = ;
б) A × B = {(1; 3); (1; 4); (1; 5); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (4; 3);
(4; 4); (4; 5)}; B × A = {(3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4);
(5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4)}; A × A = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 1); (2; 2);
(2; 3); (2; 4); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4)}.
0.1.4. а) A × B = {(a; ×); (a; *); (a; &); (b; ×); (b; *); (b; &)}; B × A =
= {(×; a); (×; b); (*; a); (*; b); (&; a); (&; b)}; A × A = {(a; a); (a; b); (b; a);

17. 19
(b; b)}; б) A × A × A ={(a; a; a); (a; a; b); (a; b; a); (a; b; b); (b; a; a);
(b; a; b); (b; b; a); (b; b; b)}; A × B × A = {(a; ×; a); (a; ×; b); (a; *; a); (a; *; b);
(a; &; a); (a; &; b); (b; ×; a); (b; ×; b); (b; *; a); (b; *; b); (a; &; a); (a; &; b)}.
0.1.5. а) 16; б) 32; в) 64; г) 2n
.
0.1.6. а) A ∪ B = [1; 5]; A ∩ B = [2; 3]; A B = [1; 2); B A = (3; 5];
б) A ∪ B = (1; 5); A ∩ B = (2; 3); A B = [2; 3); B A = [3; 5);
в) A ∪ B = [1; 5]; A ∩ B = (2; 3); A B = [1; 2]; B A = [3; 5];
г) A ∪ B = [1; 5); A ∩ B = (2; 3]; A B = [2; 3]; B A = (3; 5).
0.1.7. A ∪ B = A = [1; 3]; A ∩ B = B = {1; 2; 3}; A B = (1; 2) ∪ (2; 3);
B A = ∅.
0.2.1. а)
25 26 27
26 27 28
< < ; б)
29
2,23 5
13
< < ; в)
3927
3,14159
1250
< π < ;
г) sin 43 0,69 lg5< <o
.
0.2.2. а) 1 21; 5x x= − = ; б) 1 23; 11x x= = ; в) 1 2
7
; 3
3
x x= = .
0.2.3. а) 1 2
16 16
;
5 3
x x= = ; б)
3
4
x = .
0.2.4. а) 1 1x = − ; б) [ )2;x∈ ∞ ;
0.2.5. а) ( )1; 5x∈ − ; б) [ ]1; 7x∈ ; в) ( ) ( ); 1 13;x∈ −∞ − ∪ ∞ .
0.2.6. а) от 19,2252 до 19,7752; б) 0,91 0,05;∆ = δ = .
0.2.7. 4,8∆ = ; 0,08δ = .
0.2.8. а) 0,02δ = ; б) 0,002δ = .
0.2.9. Объем цилиндра вычисляется по формуле V = πR2
h, значит, если
радиус и высота измерены с погрешностями ,R hδ δ , то V = π(R + δR)2
×
× (h + δh) = πR2
h + π∆, где ∆ = 2Rhδh + 2
Rhδ + 2RδRδh +
2
R hδ δ ,
2 2
2
2 2h R R h R hRh h R
R h
δ + δ + δ δ + δ δ
δ = .
0.2.10. а) По второму закону Ньютона: F ma= . Значит,
( ) ( )m a a m m mm a ma m a∆ = + δ ⋅ + δ − = δ + δ + δ δ , a m m mm a
ma
δ + δ + δ δ
δ = ;
б) По закону Ома U IR= , где U — напряжение, I — сила тока, R —
сопротивление; ( ) ( )I R R I R II R IR I R∆ = + δ ⋅ + δ − = δ + δ + δ δ ,
R I R II R
IR
δ + δ + δ δ
δ = .
0.3.1. Пусть дан отрезок AB в пространстве. Опустим из точек A и B
перпендикуляры на плоскость xOy, основания перпендикуляров обозначим
соответственно C и D (рис. 3). Прямые AC и CD перпендикулярны, так как
прямая AC перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости xOy. По
той же причине перпендикулярны прямые BD и CD. Следовательно, четы-

18. 20
рехугольник ABDC – прямоугольная трапеция. Опустим из точки A высоту
AH. По теореме Пифагора 2 2
AB AH BH= + . Но AH = CD =
( ) ( )
2 2
A B A Bx x y y= − + − . BH = BD – AC = zB – zB.
Следовательно, ( ) ( ) ( )
2 2 2
A B A B A Bx x y y z z= − + − + −AB .
0.3.2. а) 5; б) 2 13 ; в) 7.
0.3.3. Указание: если противоположные
стороны четырехугольника равны, то четы-
рехугольник является параллелограммом.
0.3.4. Указание: применить обратную
теорему Пифагора (если сумма квадратов
двух сторон треугольника равна квадрату
третьей стороны, то треугольник – прямо-
угольный);
0.3.5. Возможны три случая (рис. 4):
1) ,AB CD AD BC= = ;
2) ,AB CD AC BD= = ;
3) ,AC BD AD BC= = .
Разберем, например, первый из них.
AB2
= 52, BC2
= 8. Пусть ( );D x y , тогда
( ) ( )
2 22
5 3CD x y= − + − , AD2
= (x + 1)2
+ (y – 1)2
.
Составим систему
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
5 3 52
1 1 8
x y
x y
 − + − =

+ + − =
;
2 2
2 2
10 6 18
2 2 6
x x y y
x x y y
 − + − =

+ + − =
.
Вычтем из первого уравнения второе:
2 2
12 4 12
2 2 6
x y
x x y y
− − =

+ + − =
.
Выразим из первого уравнения y через x :
( )
2 2
3 1
2 2 6
y x
x x y y
 = −

+ + − =
.
Подставим выражение y через x во второе уравнение системы:
( )
2
3 1
10 10 3 0
y x
x x
 = −

− − =
, откуда получим 5 55
10
x
±
= ,
( )3 5 55
10
y =
m
. То, что по-
лучилось два ответа – неудивительно (см. рис. 4). Случай 2) рассматрива-
ется аналогично; при этом один из ответов совпадет с одним из уже полу-
ченных и поэтому случай 3) можно не рассматривать, так как оба его отве-
та совпадут с уже полученными.
Рис. 3. Длина отрезка
в пространстве
Рис. 4. Решение задачи 0.3.5

19. 21
0.3.6. 2
25AB = ; Если ( );C x y , то должны выполняться условия
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
7 3 25
4 7 25
x y
x y
 − + + =

− + + =
.
Решая систему, получим 229 751
50
x
− ±
= , 5321 96 751
200
y =
m .
0.3.7. 2OA OB AB= = = , значит, должно быть 2OC AC BC= = = . Сле-
довательно, если ( ), ,C x y z , то
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
4
3 1 4
3 1 4
x y z
x y z
x y z

+ + =

− + − + =

 − + + + =

.
Вычитая из третьего уравнения второе, получим y = 0. Подставив
найденное значение y = 0, в первое и второе уравнения системы, придем к
новой системе
( )
2 2
2
2
4
3 3
x z
x z
 + =


− + =
.
Вычитая из первого уравнения второе, получим значение
2 3
3
x = .
Затем из первого уравнения найдем
2 2
3
z = ± .
0.3.8. а) прямоугольник со сторонами 1 и 3; б) прямоугольный парал-
лелепипед с ребрами 1, 1 и 2; в) цилиндр с радиусом основания 3 и высо-
той 2; г) тор («бублик») с поперечным сечением радиуса 1, внутренним и
внешним диаметрами 8 и 12 соответственно.
Тема 1: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ОПЕРАЦИИ С НИМИ
1.10
. Исходные положения. Алгебраическая форма
комплексного числа
Множество действительных чисел R является недостаточным
для решения многих прикладных задач, важных для инженерных
приложений. Поэтому вводят множество комплексных чисел C за
счет расширения множества действительных чисел ( )R C⊂ .
На теории комплексных чисел в значительной степени бази-
руются методы теоретической электротехники, гидродинамики и

20. 22
газовой динамики, теории упругости и пластичности. В частно-
сти, при расчетах сложных электрических цепей при синусои-
дальном воздействии наиболее удобным является метод ком-
плексных амплитуд.
О п р е д е ле н и е: Полагаем 1 i− = . Это число i называется
мнимой единицей.
Из определения очевидно, что i2
= –1.
О п р е д е ле н и е: Число z = a + ib, где a, b – действительные
числа, называется комплексным числом. При этом действительное
число a называется действительной частью числа z = a + ib и
обозначается a = Rez; действительное число b называется мнимой
частью числа z = a + ib и обозначается b = Im z.
Запись комплексного числа виде z = a + ib называют алгебра-
ической формой комплексного числа.
При 0a = комплексные числа называются мнимыми.
О п р е д е ле н и е: Два комплексных числа 1 1 1z a ib= + , z2 =
2 2a ib= + считаются равными, если 1 2a a= и 1 2b b= .
Комплексное число z = a + ib равно нулю, если 0a b= = .
Комплексные числа 1z и 2z называются противоположными,
если 1 2z z= − .
О п р е д е ле н и е: Комплексное число z = a – ib называется
числом, комплексно сопряженным с числом z = a + ib.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чи-
сел 1z a ib= + и 2z c id= + определяются следующими правилами:
1 ( ) ( )2z z a ñ i b d+ = + + +
1 ( ) ( )2z z a ñ i b d− = − + −
2
1 ( ) ( ) ( ) ( ),2z z a ib ñ id ac ibc iad i bd ac bd i ad bc⋅ = + ⋅ + = + + + = − + +
т.е. при сложении, вычитании и умножении скобки раскрываются
по обычным правилам, учитывается условие i2
= –1 и приводятся
подобные.
1
2 2
2
2 2 2 2
( )( ) ( ) ( )
( )( )
.
z a ib a ib c id ac bd i bc ad
z c id c id c id c d
ac bd bc ad
i
c d c d
+ + − + + −
= = = =
+ + − +
+ −
= +
+ +

21. 23
При делении необходимо числитель и знаменатель дроби
умножить на число, комплексно сопряженное к знаменателю,
раскрыть скобки и привести подобные.
Пр и м е р. Если z1 = 2 + 5i, z2 = 4 + 3i, то
z1 + z2 = (2 + 4) + i(5 + 3) = 6 + 8i,
z1 – z2 = (2 – 4) + i(5 – 3) = –2 + 2i,
z1 ⋅ z2 = (2 + 5i) ⋅ (4 +3i) = 8 + 20i + 6i +15i2
= –7 + 26i,
2
1
2
2 5 (2 5 )(4 3 ) 8 20 6 15 23 14
4 3 (4 3 )(4 3 ) 25 25
23 14
25 25
.
z i i i i i i i
z i i i
i
+ + − + − − +
= = = = =
+ + −
= +
1.1.10
. Решение алгебраических уравнений
с использованием комплексных чисел
Алгебраическое уравнение вида 1
1 1 0... 0n n
nx a x a x a−
−+ + + + =
с комплексными (в частности – с действительными) коэффициен-
тами любой целой степени n всегда имеет n комплексных кор-
ней (среди которых могут быть и одинаковые).
Если в уравнении 1
1 1 0... 0n n
nx a x a x a−
−+ + + + = все коэффи-
циенты действительные и уравнение имеет корень 0x a ib= + при
0b ≠ , то комплексно сопряженное число 0x a ib= − также являет-
ся корнем этого уравнения.
Полное квадратное уравнение 2
0ax bx c+ + = имеет два кор-
ня 1,2
2
b D
x
a
− ±
= , где 2
4D b ac= − – дискриминант; 1x , 2x – кор-
ни квадратного уравнения.
Квадратное уравнение всегда имеет два корня. Если коэффи-
циенты , ,a b c – действительные числа, то:
1) при 0D > корни 1x , 2x – различные действительные числа;
2) при 0D = корни 1x , 2x – равные действительные числа;
3) при 0D < уравнение не имеет действительных корней.
Корни такого уравнения – сопряженные комплексные числа.
В высшей математике обычно используют приведенное квад-
ратное уравнение вида 2
0x px q+ + = . Уравнение 2
0ax bx c+ + =
легко приводится к виду 2
0x px q+ + = :

22. 24
2
0
b c
x x
a a
+ + = .
Если корни 1x , 2x уравнения 2
0x px q+ + = известны, то
( )( )2
1 2x px q x x x x+ + = − − .
Для проверки правильности нахождения корней используют
формулы Виета: 1 2
b
x x
a
+ = − ; 1 2
c
x x
a
= или 1 2x x p+ = − ; 1 2x x q= .
Пр и м е р 1. Решить уравнение 2
4 13 0x x− + = .
П е р в ый с п о с о б:
( )
2
1,2
4 4 4 13 4 36 4 6
2 3 ;
2 2 2
i
x i
± − − ⋅ ± − ±
= = = = ±
В т о р о й с п о с о б (способ выделения полного квадрата):
В этом способе постоянный коэффициент разделяют на два
слагаемых ( )13 4 3= + таким образом, чтобы одно из слагаемых и
члены, содержащие x и 2
x , образовывали полный квадрат
( )22
4 4 2x x x− + = − . После выделения полного квадрата уравне-
ние можно представить в виде 2 2
4 13 4 4 9x x x x− + = − + + =
( )2
2 9 0x= − + = ; ( )2
1,22 9 2 3 2 3x x i x i− = − ⇒ − = ± ⇒ = ± .
Пр и м е р 2. Решить уравнение 2
(1 2 ) 1 0x i x i− + + − =
( )
2
1,2 1 2
1 2 1 2 4 ( 1) 1 2 1
. ; 1 .
2 2
i i i i
x x i x i
+ ± + − ⋅ − + ±
= = = = +
Любой многочлен второй степени можно представить в виде
произведения двух многочленов первой степени.
Так, в примере 1:
2
4 13 ( (2 3 )) ( (2 3 ))x x x i x i− + = − − ⋅ − + , а в примере 2:
2
(1 2 ) 1 ( ) ( ( 1))x i x i x i x i− + + − = − ⋅ − − .
В дальнейшем удобно будет считать, что многочлен степени
n имеет ровно n комплексных корней (среди которых могут быть
и одинаковые).
О п р е д е ле н и е: если уравнение имеет k одинаковых корней
x0, то говорят, что корень x0 имеет кратность k.

23. 25
Пр и м е р 3. Найти все корни многочлена 5 4 3
6 9 0x x x− + = .
Решение:
5 4 3 3 2
6 9 ( 6 9) ( 3) ( 3).x x x x x x x x x x x− + = − + = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ −
Выражение ( 3) ( 3)x x x x x⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − равно 0 тогда, когда равен
нулю хотя бы один из сомножителей, т.е. x = 0 или x = 0 или x = 0
или x – 3 = 0 или x – 3 = 0. Значит, уравнение имеет 5 корней:
1 2 3 0x x x= = = , 4 5 3x x= = .
Задачи к разделу 1.10
1.1.1. Для данных комплексных чисел найти сумму, обе раз-
ности, произведение и оба частных:
а) 1 3z = , 2z i= − ; б) 1 3z i= , 2 5 12z i= − ;
в) 1 3 4z i= + , 2 3 4z i= − ; г) 1 2 7z i= + , 2 4 14z i= − ;
д) 1 3 4z i= + , 2 5 12z i= − ; е) 1
1 3
2 2
z i= + , 2
1 3
2 2
z i= − .
1.1.2. Даны комплексные числа 1 3 4z i= + , 2 5 12z i= − .
Найти:
а) ( )1 23 2 3iz i z+ + ; б) 2 2
1 1 2 22 3 4z z z z− + ; в) 1 2
2 1
2
3
z z
z z
−
+
;
г) 1 2
2 1
2
3
z iz
z z
−
+
; д)
( )( )
( )( )
1 2 1 2
1 2 1 2
z z z z
z z z z
− −
+ +
.
1.1.3. Найти действительные числа ,x y из комплексного
уравнения ( ) ( )3 4 5 12 3i x i y i+ + − = + .
1.1.4. Решить квадратные уравнения:
а) 2
4 5 0z z− + = ; б) 2
1 0z z+ + = ; в) ( )2
2 2 0z i z i+ − − = .
1.1.5. В предположении, что количество корней уравнения
совпадает с его степенью (корни могут быть кратными), найти
все корни уравнений:
а) 2
16 0x + = ; б) 2
4 5 0x x+ + = ;
в) 2 3 3
2 0
2
i
x x i
+
− + = ; г) 4 2
13 36 0x x+ + = ;
д) 4 2
2 1 0x x+ + = ; е) 9 7 5
8 16 0x x x+ + = .

24. 26
1.20
. Геометрическое представление комплексных чисел.
Тригонометрическая форма комплексного числа
В математике и технических науках используют два вида
представлений комплексных чисел в геометрической форме на
комплексной плоскости:
1) точечное представление комплексного числа;
2) векторное представление комплексного числа.
О п р е д е ле н и е: Комплексной
называют плоскость, между мно-
жеством всех точек которой и
множеством комплексных чисел
существует взаимно однозначное
соответствие.
На комплексной плоскости
вводится специальная прямоуголь-
ная система координат, содержа-
щая действительную и мнимую оси
(рис. 5).
При векторном представлении комплексного числа положе-
ние точки ( ),M a b , соответствующей комплексному числу
z a ib= + , на комплексной плоскости задается радиус-вектором.
Каждому радиус-вектору OM r=
uuuur r
на комплексной плоскости соот-
ветствует ровно одно комплексное
число (взаимно однозначное соот-
ветствие, рис. 6).
Модуль (длина) радиус-векто-
ра r
r
называется модулем ком-
плексного числа 2 2
r z a b= = +
r
.
Положение радиус-вектора r
r
от-
носительно действительной оси
определяется углом ϕ с положи-
тельным направлением отсчета
против часовой стрелки.
Из определений сложения векторов и сложения комплексных
чисел следует, что сложение комплексных чисел можно произво-
дить геометрически как сложение соответствующих им векторов
(рис. 7).
Рис. 5. Комплексная плоскость
Рис. 6. Векторное представление
комплексного числа

25. 27
Алгебраическое и векторное
представление комплексного чис-
ла позволяет перейти к тригоно-
метрической форме этого числа.
Из рисунка следует, что а =
cosr= ϕ, sinb r= ϕ, откуда полу-
чаем: ( )cos sinz a ib r i= + = ϕ+ ϕ .
Угол ϕ называется аргумен-
том комплексного числа.
Комплексное число в три-
гонометрической форме в об-
щем случае имеет бесконечное число аргументов, которые отли-
чаются друг от друга на целое число оборотов (2 nπ , где n – чис-
ло полных оборотов радиус-вектора вокруг начала координат).
Чтобы значение аргумента было однозначным, выделяют главное
значение аргумента arg z−π < ≤ π или 0 arg 2z≤ < π. Таким обра-
зом, в общем случае
( ) ( )( )cos 2 sin 2z a ib z n i n= + = ϕ+ π + ϕ+ π .
При использовании главного значения аргумента получим
( )cos sinz a ib z i= + = ϕ+ ϕ .
Пр и м е р 1. Сопряженные комплексные
числа 1 3z i= − + и 1 3z i= − − изобразить на
комплексной плоскости и представить в три-
гонометрической форме, используя главные
значения аргумента.
Решение: Модуль комплексного числа
( ) ( )
22
1 3 2z z= = − + ± = . Для числа z
имеем:
1
cos
2
−
ϕ = ,
3
sin
2
ϕ = . Поскольку си-
нус положителен, а косинус отрицателен, ра-
диус-вектор числа z расположен во втором координатном углу
(втором квадранте координатной плоскости). Таким образом, по-
лучаем:
2 2
2 cos sin
3 3
z i
π π 
= + 
 
. Для числа 1 3z i= − − имеем:
Рис. 7. Геометрическое сложение
комплексных чисел
Рис. 8. Пример 1

26. 28
1
cos
2
−
ϕ = ,
3
sin
2
−
ϕ = и
4 4
2 cos sin
3 3
z i
π π 
= + 
 
. Если считать,
что 0 arg 2z≤ < π, то задача решена. Если же arg z−π < ≤ π, то
угол
4
3
π
не является главным значением аргумента. В этом слу-
чае (см. рис. 8)
2 2
2 cos sin
3 3
z i
 − π π    
= + −    
    
.
Таким образом, сопряженные комплексные числа в тригоно-
метрической форме имеют одинаковые модули, а их аргументы
различаются только знаками.
Если главные значения аргумента не соответствуют углам,
для которых числовые значения тригонометрических функций
известны из школьной математики, то используют тригономет-
рические таблицы или выражают аргумент через обратные три-
гонометрические функции (arcsin,arccos,arctg).
Пр и м е р 2. Представить комплексное число 5 12z i= − + в
тригонометрической форме, используя главное значение аргу-
мента. Изобразить комплексное число на комплексной плоскости.
Решение: ( )2 2
5 12 13z = − + = . Поскольку
5
cos
13
−
ϕ = ,
12
sin
13
ϕ = , то радиус-вектор числа расположен во втором квад-
ранте. Арксинус использовать напрямую нельзя, так как по опре-
делению arcsin ;
2 2
x
π π 
∈ −  
. Поскольку [ ]arccos 0;x∈ π , то
5
arccos 0,64
12
 
ϕ = − ≈ π 
 
.
( )13 cos0,64 sin0,64z i≈ π + π .
1.2.10
. Умножение и деление комплексных чисел
в тригонометрической форме. Возведение в целую степень
Складывать и вычитать комплексные числа удобнее в алгеб-
раической форме, умножать и делить – в тригонометрической.
Пусть 1 1 1(cos sin )1z i= ρ ϕ + ϕ , 2 2 2(cos sin )2z i= ρ ϕ + ϕ , тогда
1 2 1 1 2 2(cos sin )(cos sin )1 2z z i i⋅ = ρ ρ ϕ + ϕ ϕ + ϕ =

27. 29
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2((cos cos sin sin ) (cos sin sin cos ))i= ρ ρ ϕ ϕ − ϕ ϕ + ϕ ϕ + ϕ ϕ =
1 2 1 2 1 2(cos( ) sin( )).i= ρ ρ ϕ + ϕ + ϕ + ϕ
Таким образом, при умножении комплексных чисел их моду-
ли перемножаются, а аргументы складываются.
1 1 1 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2
2 2 2
1
1 2 1 2
2
(cos sin ) (cos sin )(cos sin )
(cos sin ) (cos sin )(cos sin )
((cos cos sin sin ) (sin cos sin cos ))
(cos sin )
(cos( ) sin( )).
1
2
z i i i
z i i i
i
i
ρ ϕ + ϕ ρ ϕ + ϕ ϕ − ϕ
= = =
ρ ϕ + ϕ ρ ϕ + ϕ ϕ − ϕ
ρ ϕ ϕ + ϕ ϕ + ϕ ϕ − ϕ ϕ
= =
ρ ϕ + ϕ
ρ
= ϕ − ϕ + ϕ − ϕ
ρ
Значит, при делении комплексных чисел их модули делятся,
а аргументы вычитаются.
Замечание: Из вышесказанного следует, что для любых комплексных
чисел z1, z2 имеют место равенства 1 2 1 2z z z z⋅ = ⋅ и 11
2 2
zz
z z
= .
Пусть (cos sin )z i= ρ ϕ+ ϕ , тогда, поскольку при умножении
комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы
складываются:
2 2
(cos2 sin 2 )z i= ρ ϕ+ ϕ ;
3 2 3
(cos3 sin3 )z z z i= ⋅ = ρ ϕ+ ϕ ;
4 3 4
(cos4 sin 4 )z z z i= ⋅ = ρ ϕ+ ϕ и т.д.
Кроме того,
1 11 cos sin
(cos( ) sin( ))
(cos sin )
i
z i
i
− −ϕ− ϕ
= = = ρ −ϕ + −ϕ
ρ ϕ+ ϕ ρ
;
( )
22 1 2
(cos( 2 ) sin( 2 ))z z i− − −
= = ρ − ϕ + − ϕ и т. д.
Таким образом, имеет место формула Муавра:
(cos sin )n n
z n i n= ρ ϕ+ ϕ при n Z∈ .
Пр и м е р. Найти z 4
, если z = –1 + i.
Решение: Поскольку
3 3
2 cos sin
4 4
z i
π π 
= + 
 
, то

28. 30
( )
4
4 3 3
2 cos 4 sin 4 4( 1 0 ) 4
4 4
z i i
 π π    
= ⋅ + ⋅ = − + ⋅ = −    
    
.
1.2.20
. Извлечение корней
из комплексных чисел в тригонометрической форме
О п р е д е ле н и е: Корнем степени n из комплексного числа z
называется комплексное число w такое, что wn
= z.
Очевидно, что если (cos sin )z i= ρ ϕ+ ϕ , то число
0 cos sinnw i
n n
ϕ ϕ 
= ρ + 
 
, где под выражением n ρ подразумевает-
ся арифметический корень степени n из действительного числа,
является корнем степени n из числа z.
Кроме того, при любом целом значении числа k комплексное
число
2 2
cos sinn
k
k k
w i
n n
ϕ+ π ϕ+ π 
= ρ + 
 
также является корнем
степени n из числа z.
Действительно:
2 2
cos sin
(cos( 2 ) sin( 2 )) (cos sin ) .
n
k
k k
w n i n
n n
k i k i z
 ϕ+ π ϕ+ π    
= ρ ⋅ + ⋅ =    
    
= ρ ϕ+ π + ϕ+ π = ρ ϕ+ ϕ =
Среди чисел
2 2
cos sinn
k
k k
w i
n n
ϕ+ π ϕ+ π 
= ρ + 
 
различными
являются только n чисел. Эти числа получаются, если числу k по-
следовательно придавать значения k = 0, 1, 2, …, n – 1.
Если представить эти корни в виде точек на комплексной
плоскости, то эти точки будут лежать на окружности радиуса n ρ
с центром в начале координат. При этом указанные точки будут
делить окружность на n равных частей.
Пр и м е р 1. Найти 3
i . Представить найденные корни в ал-
гебраической форме.
Решение: Найдем геометрическую форму числа i.
Модуль числа равен 1, аргумент равен
2
π
, поэтому
cos sin
2 2
i i
π π
= + .

29. 31
Поскольку извлекается ко-
рень третьей степени ( 3n = ), в
формуле
2 2
cos sinn
k
k k
w i
n n
ϕ+ π ϕ+ π 
= ρ + 
 
надо будет брать три значения:
0, 1, 2k k k= = = .
При 0k = :
0
0 0
3 12 2cos sin .
3 3 2 2
w i i
π π
+ +
= + = +
При 1k = : 1
2 2
3 12 2cos sin
3 3 2 2
w i i
π π
+ π + π
−
= + = + .
При 2k = : 0
4 4
12 2cos sin
3 3 2
w i i
π π
+ π + π
= + = − .
С помощью операции извлечения корня можно решать ал-
гебраические уравнения вида 0n
aw b+ = , где ,a b – действитель-
ные или комплексные числа.
Пр и м е р 2. Найти z при
3 1
2 2
z i= + .
Решение: Найдем сначала геометрическую форму комплекс-
ного числа
3 1
2 2
z i= + :
2 2
3 1 3 1
1
2 2 4 4
   
ρ = + = + =   
  
.
3 1
cos ; sin
2 2
ϕ = ϕ = , значит,
6
π
ϕ = . Следовательно,
1 cos sin
6 6
z i
π π 
= ⋅ + 
 
.
2 2
cos sin
2 2
k k
z i
ϕ+ π ϕ+ π 
= ρ + 
 
, 0, 1k = .
При 0k = :
3 1 2 3 2 3
cos sin
2 2 12 12 2 2
i i i
π π + −
+ = + = + .
Рис. 9. Пример 1

30. 32
При 1k = :
3 1 13 13 2 3 2 3
cos sin
2 2 12 12 2 2
i i i
π π + −
+ = + = − − .
Замечание 1. Если комплексные числа, являющиеся корнями степени
n из 1, отметить на комплексной плоскости, то они будут являться верши-
нами правильного n-угольника с центром в начале координат.
Замечание 2. Для любого комплексного числа c уравнение xn
= c имеет
ровно n различных комплексных корней.
1.2.30
. Показательная форма комплексного числа
В математике и общетехнических науках, например, теорети-
ческой электротехнике, широкое применение находит показа-
тельная форма комплексного числа.
К показательной форме комплексное число приводят с по-
мощью формулы Эйлера
cos sini
e iϕ
= ϕ+ ϕ.
Значит, ( )cos sin i
z i e ϕ
= ρ ϕ+ ϕ = ρ . Основные операции с
комплексными числами 1
1 1
i
z e ϕ
= ρ , 2
2 2
i
z e ϕ
= ρ в показательной
форме производятся следующим образом:
( )1 2
1 2 1 2
i
z z e
ϕ +ϕ
⋅ = ρ ρ ; ( )1 21 1
2 2
iz
e
z
ϕ −ϕρ
=
ρ
; 1
1
inn n
z e ϕ
= ρ ;
1 2
1 1 ; 0,1, ..., 1
k
i
nn nz e k n
ϕ + π
= ρ = − .
Пр и м е р. Найти показательную форму комплексного числа
( )3
1u i= + .
Решение:
Пусть 4
1 1
1 2 2 cos sin 2
4 42 2
i
z i i i e
π
π π   
= + = + = + =  
  
, то-
гда
3 3
4 42 2 2
i i
u e e
π π
 
= =  
 
.

31. 33
Задачи к разделу 1.20
1.2.1. Найти геометрическую форму комплексных чисел
а) 2z = ; б) 1z = − ; в) z i= ;
г) 5z i= − ; д)
1 3
2 2
z i= + ; е)
1 3
2 2
z i= − ;
ж)
1 3
2 2
z i= − + ; з) 2 2z i= + .
1.2.2. Найти модуль и аргумент комплексных чисел
а) 3 3z i= + ; б) 3 4z i= + ; в) 2 7z i= − .
1.2.3. Для 2 2 3z i= − найти 5
z и 7
z .
1.2.4. Вычислить:
а) 8i ; б) 32i− ; в) 3 4i+ ; г) 1 3i− .
1.2.5. Найти все комплексные корни:
а) третьей степени из 1; б) восьмой степени из 1; в) четвертой
степени из –1; г) шестой степени из –64; д) третьей степени из i.
1.2.6. В предположении, что количество корней уравнения
совпадает с его степенью (корни могут быть кратными), найти
все корни уравнений
а) 6
1 0x − = ; б) 4
0x i+ = .
1.2.7. Решить уравнения
а) 3 2
1 0x x x+ + + = ; б) 5 4 3 2
1 0x x x x x+ + + + + = .
Указание: домножить урав-
нения на 1x − .
1.2.8. Найти показательную
форму комплексных чисел
а) 2z = ; б) 1z = − ; в) z i= ;
г) 5z i= − ; д)
1 3
2 2
z i= + ;
е)
1 3
2 2
z i= − ;
ж)
1 3
2 2
z i= − + ; з) 2 2z i= + .
1.2.9. Составить неравенства, задающие множества A, B, D,
изображенные на рис. 10.
Рис. 10. Задача 1.2.9

32. 34
1.2.10. Нарисовать на комплексной плоскости множества,
удовлетворяющие условиям:
а) 2z < ; б) 1 3z − > ; в) 3 1z i+ − < ;
г) arg z < π; д) arg
6 3
z
π π
≤ ≤ .
1.30
. Прикладные задачи
по теме «Комплексные числа и операции с ними»
В инженерных исследованиях комплексные числа широко
используются в электротехнике при расчете электрических це-
пей. С помощью этих чисел выполняются алгебраические опера-
ции с синусоидальными токами и напряжениями одной и той же
частоты, но с различными амплитудами и фазами.
Комплексное число в показательной форме имеет вид
i
z re α
= . Если принять, что α — переменная величина и
tα = ω + ψ, где t — переменный параметр; ω и ψ — постоянные
величины, то получим комплексную функцию действительного
аргумента t, которую можно представить в виде произведения
двух сомножителей i t
z re eψ ω
= ⋅ .
В электротехнике и физике буква i используется для обозна-
чения электрического тока, поэтому мнимую единицу обознача-
ют так: 1j = − . Тогда электрический ток ( )sinmi I t= ω + ψ в
комплексной форме можно представить в виде
j j t j t
mmi I e e I e
•
ψ ω ω
= = ,
где mI — амплитудное значение электрического тока; ω — угло-
вая частота ( constω = , 2 fω = π , где f — частота в герцах); ψ —
начальная фаза тока при 0t = ; j
m mI I e
•
ψ
= — комплексная ампли-
туда тока.
Замечание: по существу для тока введена комплексная функция дей-
ствительной переменной t (t — текущее время). В линейных электрических
цепях синусоидальный ток и напряжение не изменяют своей угловой ча-
стоты (изменяются только амплитуды и фазы этих величин, т.е. комплекс-
ные амплитуды). Поэтому переменный множитель j t
e ω
фактически не
участвует в расчетах. Его приписывают в окончательном результате или он
сокращается при вычислениях. Поэтому все расчеты проводят с комплекс-

33. 35
ными амплитудами тока mI
•
, напряжениями mU
•
, электродвижущими си-
лами mE
•
, т.е. с постоянными комплексными числами. Такой метод расчета
называют методом комплексных амплитуд.
В соответствии с общей методологией математического моде-
лирования (см. приложение) реальные электрические системы за-
меняются в линейном приближении расчетными схемами, содер-
жащими идеальные элементы: источники тока, электродвижущие
силы, активные, индуктивные и емкостные сопротивления.
Последовательные соединения указанных сопротивлений за-
меняют одним комплексным сопротивлением
1
Z r j L
C
 
= + ω − 
ω 
.
Действительная часть любого комплексного сопротивления
соответствует активному сопротивлению, на котором электриче-
ская мощность рассеивается в виде тепловой энергии, мнимая
часть соответствует реактивному сопротивлению цепи, которое
изменяет фазовые соотношения между током и напряжением. Ре-
активное сопротивление содержит индуктивное сопротивление
( LX L= ω ,L — индуктивность) и емкостное сопротивление
(
1
CX
C
=
ω
, C — емкость).
Комплексные сопротивления при необходимости объединя-
ют в одно сопротивление, используя расчетные формулы, приве-
денные в таблице
Исходные расчетные схемы Эквивалентные схемы и формулы
1
Z r j L
C
 
= + ω − 
ω 
параллельное соединение
комплексных сопротивлений
1 2
1 2
Z Z
Z
Z Z
=
+
последовательное соединение
комплексных сопротивлений 1 2Z Z Z= +

34. 36
Рассмотрим простые примеры расчета электротехнических
цепей.
Пр и м е р 1. Найти комплексное полное сопротивление в по-
казательной форме участка цепи, состоящего из последовательно
соединенных активного сопротивления 8 Î ìr = и индуктивно-
сти 0,0012 ÃíL = (генри), если угловая частота синусоидального
тока 1
5000 ñ−
ω = .
Решение: в общем случае комплексное сопротивление в по-
казательной форме имеет вид j
Z Z e φ
= .
В нашем случае комплексное сопротивление в алгебраиче-
ской форме 8 5000 0,0012 8 6Z r j L j j= + ω = + ⋅ = + . Модуль ком-
плексного сопротивления 2 2 2
10 Î ìZ r L= + ω = .
Аргумент комплексного сопротивления
6
tg
8
L
r
ω
ϕ = = =
0,75= ⇒ 36 50′ϕ = o
. Тогда получаем 36 50
10 j
Z e ′⋅
=
o
.
Аргумент комплексного сопротивления характеризует в коли-
чественной форме сдвиг фаз между током и напряжениям в цепи.
Рассмотрим методику расчета цепи переменного тока мето-
дом комплексных амплитуд.
Пр и м е р 2. Две параллельно
соединенные катушки индуктивно-
сти имеют комплексные сопротив-
ления 1 5 8Z j= + , 2 4 4Z j= + . Опре-
делить комплексную амплитуду тока
в цепи (рис. 11, а) при напряжении
220 вольт.
Решение: определяем полное ком-
плексное сопротивление:
( )( )1 2
1 2
5 8 4 4 12 52
2,3 2,72
5 8 4 4 9 12
j jZ Z j
Z j
Z Z j j j
+ + − +
= = = ≈ +
+ + + + +
.
Заменяем параллельно соединенные комплексные сопротив-
ления 1Z и 2Z одним сопротивлением (рис. 11, б). Используя за-
кон Ома в комплексной форме, получим комплексную амплитуду
тока в алгебраической форме
220
39,88 47,16
2,3 2,72
m
m
U
I j
Z j
•
•
= = ≈ −
+
.
Рис. 11. Пример 2

35. 37
Переводим комплексную амплитуду тока в показательную
форму. Для этого находим амплитудное значение тока
2 2
39,88 47,16 61,8mI
•
= + ≈ .
Начальная фаза тока:
47,16
tg 1,1825
39,88
−
ψ = ≈ − 49 48′⇒ ψ ≈ − o
.
Комплексная амплитуда тока 49 48
61,8j j
m mI I e e
• •
′ωψ − ω
= ≈
o
.
Если начальная фаза напряжения равна нулю, то сдвиг фаз
между током и напряжением соответствует начальной фазе тока.
Задачи к разделу 1.30
1.3.1. Найти комплексное сопротивление в показательной
форме для участка цепи, состоящего из последовательно соеди-
ненных элементов цепи с параметрами:
а) 8 Î ìr = , 9
1,5 10 Ôñ −
= ⋅ (фарада);
б) 8 Î ìr = , 0,0012 ÃíL = , 9
1,5 10 Ôñ −
= ⋅ .
1.3.2. Найти комплексное сопротивление в показательной
форме для участка цепи, показанного на рис. 12, где 4
10 ÃíL −
= ,
1 1 Î ìr r= = , 2 2 Î ìr = , 9
1 2 10 Ôñ ñ −
= = ⋅ , 9
2 10 Ôñ −
= .
Рис. 12. Задача 1.3.2
1.3.3. Найти комплексную амплитуду общего тока в электри-
ческой цепи (рис. 12) при электрическом напряжении U =
= 220 вольт. Определить сдвиг фаз между током и напряжением.

36. 38
Требования к практическому усвоению темы
«Комплексные числа и операции с ними»
Студент должен знать:
1. Определение комплексного числа в алгебраической, три-
гонометрической и показательной формах.
2. Перевод комплексного числа из одной формы в другую.
3. Геометрические интерпретации комплексных чисел в виде
точек и векторов на комплексной плоскости.
4. Арифметические операции с комплексными числами в
различных формах.
5. Извлечение корней произвольной степени из комплексных
чисел.
Студент должен уметь:
1. Переводить комплексные числа из одной формы в другую.
2. Представлять комплексные числа на комплексной плоско-
сти.
3. Выполнять арифметические операции с комплексными
числами в различных формах.
4. Извлекать корни из комплексных чисел.
5. Решать квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к
квадратным и уравнения вида 0n
au b+ = с действительными и
комплексными коэффициентами.
Ответы к задачам темы
«Комплексные числа и операции с ними»
1.1.1. а) 1 2 3z z i+ = − ; 1 2 3z z i− = + ; 2 1 3z z i− = − − ; 1 2 3z z i= − ;
1
2
3
z
i
z
= ; 2
1
1
3
z
i
z
= − ; б) 1 2 5 9z z i+ = − ; 1 2 5 15z z i− = − + ; 2 1 5 15z z i− = − ;
1 2 36 15z z i= + ; 1
2
36 15
169 169
z
i
z
= + ; 2
1
5
4
3
z
i
z
= − − ; в) 1 2 6z z+ = ; 1 2 8z z i− = ;
2 1 8z z i− = − ; 1 2 25z z = ; 1
2
7 24
25 25
z
i
z
= − + ; 2
1
7 24
25 25
z
i
z
= − − ; г) 1 2 6 7z z i+ = − ;
1 2 2 21z z i− = − + ; 2 1 2 21z z i− = − ; 1 2 106z z = ; 1
2
45 14
106 53
z
i
z
= − + ;
2
1
90 48
53 53
z
i
z
= − − ; д) 1 2 8 8z z i+ = − ; 1 2 2 16z z i− = − + ; 2 1 2 16z z i− = − ;

37. 39
1 2 63 16z z i= − ; 1
2
33 56
169 169
z
i
z
= − + ; 2
1
33 56
25 25
z
i
z
= − − ; е) 1 2 1z z+ = ;
1 2 3z z− = ; 2 1 3z z− = − ; 1 2 1z z = ; 1
2
1 3
2 2
z
i
z
= − + ; 2
1
1 3
2 2
z
i
z
= − − .
1.1.2. а) 34; б) 679 594i− − ; в)
1
2
2
i− + ; г)
315 154
386 386
i− + ; д)
17
32
.
1.1.3.
31 9
;
46 56
x y= = .
1.1.4. а) 1,2 2z i= ± ; б) 1,2
1 3
2 2
z i= − ± ; в) 1 22;z z i= = .
1.1.5. а) 1 24 ; 4x i x i= = − ; б) 1 22 ; 2x i x i= − + = − − ; в) 1
1 1
;
2 2
x i= +
2 2 2x i= + ; г) 1,2 3,42 ; 3x i x i= ± = ± ; д) 1 2 3 4;x x i x x i= = = = − ;
е) 1 2 2x x i= = ; 3 4 2x x i= = − ; 5 6 7 8 9 0x x x x x= = = = = .
1.2.1. а) ( )2 cos0 sin0z i= + ; б) cos sinz i= π + π; в) cos
2
z
π
= +
sin
2
i
π
+ ; г)
3 3
5 cos sin
2 2
z i
π π 
= + 
 
; д) cos sin
3 3
z i
π π
= + ; е) cos
3
z
π 
= − + 
 
sin
3
i
π 
+ − 
 
; ж)
2 2
cos sin
3 3
z i
π π
= + ; з) 2 cos sin
4 4
z i
π π 
= + 
 
.
1.2.2. а) 2 3; arg
3
z z
π
= = ;б)
4
5; arg arcsin
5
z z= = ;в) 53 argz z= =
7
arcsin
53
= − .
1.2.3.
5
512 512 3z i= + , 7
8192 8192 3z i= − .
1.2.4. а) ( )8 2 2i i= ± + ; б) ( )32 4 4i i− = ± − ; в) 3 4i+ =
( )2 5 5i= ± + ;г)
3 1
1 3
2 2
i i
 
− = ± − 
 
.
1.2.5. Найти все комплексные корни:
а) 0 1w = ; 1,2
1 3
2 2
w i= − ± ; б)
1 1
1; ;
2 2
i i± ± ± ± ;
в)
1 1
2 2
i± ± ; г) ( ) ( )2 3 ; 2 ; 2 3i i i± + ± ± − ; д)
3 1
;
2 2
i i− ± + .
1.2.6. а)
1 3 1 3
1; ;
2 2 2 2
i i
   
± ± + ± − ±   
   
;

38. 40
б) 2 2 2 2
;
2 2
i
 + −
 ± +
 
 
2 2 2 2
2 2
i
 − −
 ± +
 
 
.
1.2.7. а) 1; i− ± ; б)
1 3
1;
2 2
i− ± ± .
1.2.8. а) 0
2z e= ; б) i
z e π
= ; в) 2z e
π
= ; г)
3
25
i
z e
π
= ; д) 3
i
z e
π
= ;
е) 3
i
z e
π
−
= ; ж)
2
3
i
z e
π
= ; з) 42z e
π
= .
1.2.9. }{ | , 1,5 Re 0, Im 0A z z C z z= ∈ − ≤ ≤ ≥ ;
}{ | , 3 1B z z C z= ∈ − ≤ ; | ,0 arg
6
C z z C z
 π
= ∈ ≤ ≤ 

;
1.2.10.
Рис. 13. Решение задачи 1.2.10
Тема 2: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Центральной задачей линейной алгебры является решение
систем линейных уравнений с конечным числом неизвестных.
Такие системы уравнений широко встречаются в задачах строи-
тельной механики, теоретической электротехнике, теории авто-
матического управления.
Для решения систем линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ) вводятся новые математические объекты (определители,
матрицы, векторы) и алгебраические операции с ними. Умение
выполнять алгебраические операции с указанными математиче-

39. 41
скими объектами и решать СЛАУ с их использованием является
одной из основных задач изучения данного раздела высшей ма-
тематики.
2.10
. Определители: вычисление и применение
О п р е д е ле н и е: Определи-
тель n-го порядка — это матема-
тический объект, представляю-
щий число, вектор или функцию
в виде квадратной таблицы, со-
держащей по n элементов в каж-
дой строке и каждом столбце
(рис. 14).
Число строк (столбцов) в определителе определяет его поря-
док. Элементами в определителе могут быть действительные или
комплексные числа, а также функции.
ija — элемент определителя (i — номер строки, j — номер
столбца).
Представление векторов и числовых функций с помощью
определителей существенно повышает компактность записи ма-
тематических соотношений и является эффективным способом
сокращения вычислений.
О п р е д е ле н и е: Определителем второго порядка называет-
ся математический объект вида
11 12
11 22 12 21
21 22
a a
a a a a
a a
= − .
Левая часть равенства является свернутой (табличной) фор-
мой определителя. Правая часть представляет собой определи-
тель в развернутой форме и одновременно правило вычисления
определителя в символьной форме.
Пр и м е р ы: 1) ( )
2 4
2 3 4 1 6 4 10
1 3
= ⋅ − − ⋅ = − − = −
−
;
2) ( )
1
1 1 1 1 2
1
i
i i
i
= ⋅ − ⋅ = − − = ;
Рис. 14. Определитель

40. 42
3) ( ) ( )
21 1
1 1 3 1
1
x x
x x x x
x x
+ −
= + − − = +
+
.
О п р е д е ле н и е: Определителем третьего порядка называ-
ется математический объект, представленный в виде
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13
31 32 33
13 31 22 12 21 33 23 32 11.
a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a a a a a a a
= + + −
− − −
Развернутую форму представления определителя третьего
порядка в правой части равенства запоминать не нужно. Ее мож-
но записать и при необходимости вычислить, используя следую-
щие правила:
1) правило треугольников (правило Саррюса);
2) правило дополнительных столбцов;
3) правило разложения по элементам строки или столбца.
Сущность правила треугольников легко понять, запомнить и
использовать согласно схеме (рис. 15).
Для запоминания правила дополнительных столбцов также
удобно использовать мнемоническую схему (рис. 16).
Рис. 15. Правило треугольников
Рис. 16. Правило
дополнительных столбцов
Замечание. Элементы, перечеркнутые по диагонали, перемножаются.
В результате получаем одночлены, которые суммируются или вычитаются
согласно схеме.
Пр и м е р. Вычислить определитель
1 2 3
4 5 6
7 8 9
.

41. 43
Решение:
1 2 3
4 5 6 1 5 9 2 6 7 3 4 8 3 5 7 2 4 9
7 8 9
1 6 8 45 84 96 105 72 48 0.
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −
− ⋅ ⋅ = + + − − − =
Правило разложения по элементам строки или столбца яв-
ляется частным случаем способа разложения, который можно ис-
пользовать для определителя любого порядка. Для определителя
третьего порядка правило разложения в символьной форме мож-
но представить так (если разложение производить по элементам
первой строки):
11 12 13
21 22 23 11 11 12 12 13 13
31 32 33
a a a
a a a a M a M a M
a a a
= − + =
22 23 21 23 21 22
11 12 13
32 33 31 33 31 32
a a a a a a
a a a
a a a a a a
= − + ,
где 11 12 13, ,M M M — миноры элементов первой строки определи-
теля.
Миноры определителя третьего порядка — это определители
второго порядка, которые получаются удалением из исходного
определителя элементов строки и столбца, соответствующих ин-
дексам минора. В рассмотренном примере миноры 11 12 13, ,M M M
получены удалением элементов первой строки и соответственно
первого, второго и третьего столбца.
Разложение определителя можно производить по элементам
любой строки или столбца. Знаки слагаемых в разложении опре-
делителя располагают в шахматном порядке согласно схеме
+ − +
− + −
+ − +
.
Пр и м е р. Разложить определитель по элементам второго
столбца.

42. 44
12 22 32
x a a
a x a aM xM aM
a a x
− = − + − =
( )2 2a a x a x a
a x a x x a
a x a x a a
−
= − + − = −
−
.
2.1.10
. Решение неоднородных СЛАУ
с помощью определителей (по формулам Крамера)
О п р е д е ле н и е: Системой m линейных уравнений от n неиз-
вестных называется система уравнений
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
 + + + =


 + + + =
,
где ( )1, ..., , 1, ...,ija i m j n= = – постоянные коэффициенты; ib –
свободные члены (постоянные числа); xi — неизвестные, значе-
ния которых требуется определить. Первый индекс i числа aij
означает номер уравнения в системе, второй индекс j – номер
неизвестного.
Решением СЛАУ называют множество действительных чисел
0 0 0
1 2, , ..., nx x x , которые при подстановке их вместо неизвестных
1 2, , ..., nx x x в каждое уравнение системы обращают его в тождество.
Система линейных алгебраических уравнений называется не-
однородной, если хотя бы один из свободных коэффициентов
1 2, ,..., nb b b не равен нулю.
Если число уравнений равно числу неизвестных ( )m n= , то
такую неоднородную систему называют крамеровской. Ее можно
решить при определенных условиях с помощью определителей
по формулам Крамера.
Для системы
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...
...........
...
1
2
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
 + + + =


 + + + =