Лекции по физике для инженеров. Введение в молекулярную физику. МКТ, распределение Максвелла, распределение Больцмана

1. «Основы молекулярной
физики и термодинамики »
Профессор Звонов Валерий Степанович
v_zvonov@mail.ru
2012
ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ
January 30, 2015
Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России
Кафедра физики и теплотехники

2. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа
1. Тепловое движение.
2. Основное уравнение молекулярно-кинетической
теории идеального газа.
3. Молекулярно-кинетический смысл температуры и
давления.
4. Распределение Максвелла для идеального газа.
5. Распределение Больцмана.
6. Барометрическая формула.
7. Среднее число столкновений и длина свободного
пробега.
Основные вопросы:

3. Термодинамический и статистический подходы
1. Термодинамика или термодинамический подход -
феноменологическое исследование явлений и свойств
материальных тел, характеризуемых макроскопическими
параметрами: P (давление), V (объем), T (температура) и
другими.
Основа подхода – 3 начала, или принципа, которые
являются обобщением опыта. В этом подходе не
выявляются микроскопические механизмы изучаемых
явлений. Теплота, скажем, рассматривается как какое-то
внутреннее движение, но при этом не конкретизируется
какое.
2. Статистический подход - исходит из микроскопического
описания. Для этого вводится представление об атомно-
молекулярном строении вещества. В этом случае теплота
рассматривается как проявление беспорядочного
движения атомов и молекул. Законы поведения систем с
большим числом частиц выводятся из статистических
закономерностей.

4. Атомы и молекулы
Историческая справка
Левкипп
(500-440 до н.э.)
учитель
Демокрита
Демокрит
(460-370 до н.э)
Первые предположения о дискретном строении вещества выдвинули
древнегреческие философы. Ученик Левкиппа Демокрит назвал мельчайшие
частицы “неделимые”, что по-гречески значит τομοςἄ “атом”. Это
название мы используем и сегодня.
Демокрит, развил новое учение — “атомистику”, приписал атомам
такие “современные” свойства, как размер и форму, способность к
движению. Согласно Демокриту, даже душа человека состоит из атомов
Эпикур
(342-270 до н.э.)
Эпикур придал древнегреческой атомистике завершенность, предположив,
что у атомов существует внутренний источник движения и они сами
способны взаимодействовать друг с другом.
К свойствам атома, обрисованным Демокритом, Эпикур прибавил вес
атома. Он подчеркнул, что атомы имеют не только величину, фигуру,
размеры, но и, будучи "тельцами", имеют определенную тяжесть.
«Нельзя жить разумно, нравственно и справедливо, не живя приятно»,-
писал Эпикур
Об учении атомистов не вспоминали 20 веков до Пьера Гассенди,
который по крупицам восстановил учение древнегреческих атомистов
в своих работах «О жизни, нравах и учении Эпикура» и «Свод
философии Эпикура»
Тела состоят не из первичных атомов, а из их соединений,
которые Гассенди называл «молекулами» (от слова moles – «масса»).
Группируясь, атомы образуют все тела вселенной и являются,
следовательно, причиной не только качеств тел, но и их движения; ими
обусловливаются все силы природы. Он ввел понятие молекулы –
массочки.
Пьер Гассенди
(1592-1655)

5. Закон постоянного состава вещества
Закон постоянства состава, вывел французский химик
Жозеф Луи Пруст на основании анализа химических
соединений.
Его современная формулировка такова:
каким бы способом ни было получено вещество,
его химический состав остается постоянным
Жозеф Луи Пруст
(1754-1826)
Историческая справка

6. Закон кратных отношений
Дж.Дальтон
(1766-1844)
В 1807 г. Дальтон высказал атомную гипотезу (основу
атомно-молекулярного учения о строении вещества):
любое вещество составлено из мельчайших химических
частиц - атомов; простое вещество состоит из атомов
одного элемента, сложное вещество - из атомов
различных элементов
Из атомной гипотезы вытекает, что закон постоянства
состава отражает именно атомный состав вещества:
в молекулу вещества объединяется определенное
число именно атомов одного или различных элементов.
Закон кратных отношений, открытый Дальтоном, гласит:
если два элемента образуют между собой несколько
соединений, то массы атомов одного элемента,
приходящиеся на одну и ту же массу атомов другого
элемента, соотносятся между собой как небольшие
целые числа
1 атом NaCl состоит из 1 атома Na и 1 атома Cl. Вес одного атома Na составляет 23/35 веса
атома Сl. Были установлены относительные веса атомов: H – 1, He – 4, C – 12, Na – 23, Cl – 35 …
U - 238
Историческая справка

7. Д. Бернулли
(1700-1782)
М.В.Ломоносов
(1711-1765)
В дальнейшем молекулярные представления приобретают
более отчетливые очертания. Д.Бернулли в 1738 г. получил
давление газа исходя из молекулярно - кинетической теории.
М.В.Ломоносов также внес существенный вклад в
молекулярно - кинетические представления. Он выступал
против идеи “теплорода”, предсказал существование
абсолютного нуля, считал, что причина тепла - вращение
молекул.
М. В. Ломоносов утверждал, что все вещества состоят из
корпускул — молекул, которые являются «собраниями»
элементов — атомов. В своей диссертации «Элементы
математической химии» (1741; незакончена) учёный дает
такое определения: «Элемент есть часть тела, не
состоящая из каких-либо других меньших и
отличающихся от него тел… Корпускула есть собрание
элементов, образующее одну малую массу».
Молекулы и атомы
Историческая справка

8. Существует физическая величина,
прямо пропорциональная числу
частиц, составляющих данное вещество
и входящих во взятую порцию этого
вещества, которую называют
количеством вещества (ν).

9. В системе СИ единицей количества
вещества (ν) является
МОЛЬ – количество вещества,
содержащее столько же частиц
(атомов, молекул, ионов),
сколько содержится атомов
в 12 г углерода.
Молярная масса μ = m/n - масса 1 моля вещества

10. Молярная масса
масса одного моля вещества.
М=[г/моль]
молярная масса численно равна
молекулярной массе
, отсюда и
M
m
=ν
ν
m
M = ν⋅= Mm

11. В 1811 году Авогадро установил закон,
который утверждал, что в одинаковых
объемах газов содержится равное число
молекул при одинаковых температурах и
давлении.
Амедео Авогадро
(1776-1856)
Закон Авогадро
Каким образом учёный пришёл к такому заключению?
Известно, что при протекании химической реакции между газами
соотношение объемов этих газов такое же, как и их молекулярное
соотношение.
Получается, что можно, измеряя плотность разных газов,
определять относительные массы молекул, из которых эти газы
состоят, и атомов.
То есть, если в 1 литре кислорода содержится столько
молекул, сколько и в 1 литре водорода,
то отношение плотностей этих газов
равно отношение масс молекул.

12. Установлено
12 г изотопа углерода-12 содержит
6,02·1023
атомов
Следовательно:
1 моль – порция вещества, содержащая
число частиц, равное числу Авогадро:
NA=6,022045(31) ·1023
моль-1
Амедео Авогадро
(1776-1856)
Закон Авогадро

13. Амедео Авогадро
(1776-1856)
Закон Авогадро
Из закона Авогадро вытекает важное следствие:
если в равных объемах всех газов содержится
одинаковое число молекул, то молекулярный вес
(m) любого газа должен быть пропорционален
его плотности: m = k·d (где d – плотность,
k - некий коэффициент пропорциональности).
Действительно, плотность (d) газа, как и любого физического тела, измеряется в
граммах на литр. Если в литре какого-то газа с "тяжелыми" молекулами, и в литре
другого газа – с "легкими" молекулами – этих молекул одинаковое число, то 1 л
первого газа должен весить больше – иными словами, для него значение плотности
в г/л будет выше.
Чтобы определить коэффициент пропорциональности k, можно воспользоваться
измерениями плотности разных газов - например, водорода и кислорода.
Газ Плотность d
(г/л)
Молекулярн.
вес
Коэффициент
k
H2
0,0894 2 22,37
O2
1,427 32 22,42
Среднее значение: 22,4
1 МОЛЬ любого газа при
нормальных условиях (н.у.)
занимает объем 22,4 л.
Нормальными условиями (н.у.)
считают температуру 0 о
С (273 K)
и давление 1 атм
(760 мм ртутного столба
или 101 325 Па).

15. Силы межмолекулярного взаимодействия

16. Твердое Жидкое Газообразное
Затвердевание Конденсация
Плавление Испарение
Изменение агрегатного состояния вещества
Сублимация
Твердые в-ва,
кг/м3
Жидкие в-ва
кг/м3
Газы
кг/м3
Al 2,7·103
Fe 7,8·103
Pb 11,3·103
Вода 1,0·103
Бензин 0,7·103
Ртуть 13,6·103
Воздух 1,29
Хлор 3,22
Водород 0,09
Плотность различных веществ

17. Молекулярно-кинетическая теория
Молекулярно-кинетической теорией называют учение о строении и
свойствах вещества на основе представления о существовании
атомов и молекул как наименьших частиц химических веществ.
В основе молекулярно-кинетической теории лежат
три основных положения:
1. Все вещества (тела) состоят из микрочастиц - молекул, атомов
или ионов.
2. Микрочастицы находятся в непрерывном движении.
3. Микрочастицы взаимодействуют друг с другом. Между частицами
существуют силы притяжения и отталкивания.

18. Модель идеального газа.
Для объяснения свойств вещества в газообразном состоянии
в молекулярно-кинетической теории рассматривается
модель идеального газа.
Под моделью идеального газа понимают газ,
удовлетворяющий следующим условиям:
-молекулы газа обладают пренебрежимо малым объемом по
сравнению с объемом сосуда, в котором находится газ;
-между молекулами отсутствуют силы притяжения и
молекулы взаимодействуют только при соударении как
абсолютно упругие тела;
- тепловое равновесие по всему объему достигается
мгновенно.
Реальный газ приближается по своим свойствам к модели
идеального газа при значительном разрежении.

19. Молекулярно-кинетическая теория
Молекулы газа при столкновении со
стенками взаимодействуют с ними как
упругие тела и передают стенкам свои
импульсы. Проекция импульса силы,
действующей на стенку со стороны одной
молекулы равен
Fx· t = 2m0 · υx
Пусть за время t о стенку ударяется N частиц, тогда они
передадут стенке импульс
N · Fx· t = 2m0 · υx· N
Число ударяющих о стенку молекул можно
определить через концентрацию частиц
и объем сосуда:
Тогда для проекции импульса силы
получаем выражение:

20. Молекулярно-кинетическая теория
По определению давления:
Так как все направления движения частиц равновероятны, то для
проекции скорости справедливо равенство:
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории:
Это уравнение устанавливает связь между микро- и
макропараметрами.

21. Молекулярно-кинетическая теория
Здесь p – давление газа,
v2
– средняя скорость хаотического
движения молекул в сосуде, объем которого V.
n = N / V – концентрация молекул в сосуде;
mo – масса одной молекулы.
- средняя кинетическая энергия одной молекулы
Таким образом, давление идеального газа
пропорционально произведению концентрации
молекул на среднюю кинетическую энергию
поступательного движения молекулы.
Это утверждение можно считать другой формулировкой
основного уравнения молекулярно-кинетической теории
идеального газа.

22. Молекулярно-кинетическая теория
Здесь ρ - плотность
С течением времени наступит тепловое
равновесие.
Е1 будет равняться Е2
Е1
Е2

23. Молекулярно-кинетическая теория
R – универсальная газовая постоянная

24. Уравнение состояния идеального газа

25. Температура
Возникают вопросы: каким образом можно на опыте изменять среднюю
кинетическую энергию движения молекул в сосуде неизменного объема?
Какую физическую величину нужно изменить, чтобы изменилась средняя
кинетическая энергия Опыт показывает, что такой величиной является
температура.
Температура – это физический параметр, одинаковый для всех тел,
находящихся в тепловом равновесии.
Для измерения температуры используются физические приборы –
термометры, в которых о величине температуры судят по изменению
какого-либо физического параметра.
Термометры должны быть откалиброваны.
Из того, что температура - это кинетическая энергия молекул, ясно, что
наиболее естественно измерять её в энергетических единицах (т.е. в
системе СИ в джоулях). Однако измерение температуры началось
задолго до создания молекулярно-кинетической теории, поэтому
практические шкалы измеряют температуру в условных единицах —
градусах.
Пересчёт температуры между основными шкалами
Кельвин Цельсий Фаренгейт
Кельвин (K) = K = С + 273,15 = (F + 459,67) / 1,8
Цельсий (°C) = K − 273,15 = C = (F − 32) / 1,8
Фаренгейт (°F) = K · 1,8 − 459,67 = C · 1,8 + 32 = F

26. Скорости газовых молекул.
Опыт Штерна
В средине XIX века была сформулирована
молекулярно-кинетическая теория, но тогда не
было никаких доказательств существования
самих молекул. Вся теория базировалась на
предположении о движении молекул, но как
измерить скорость их движения, если они
невидимы.

27. Теоретики первыми нашли выход. Из уравнения
молекулярно-кинетической теории газов известно, что
.
Отсюда среднеквадратичная скорость равна:
kT
m
2
3
2
υ2
кв
=
.
3
υкв
m
kT
=

28. Получена хорошая формула для расчета среднеквадратичной
скорости, но масса молекулы неизвестна.
Запишем по другому значение υкв
:
А мы знаем, что , тогда
где Р – давление; ρ − плотность. Это уже измеряемые величины.
μ
ρ
RTP =
.
μ
33
υ
A
A
кв
RT
mN
ТkN
==
,
ρ
3
υкв
P
=

29. Например, при плотности азота, равной 1,25 кг/м3
, при
t = 0° С и , скорости молекул азота .
Для водорода:
При этом интересно отметить, что скорость звука в газе
близка к скорости молекул в этом газе. Это объясняется тем,
что звуковые волны переносятся молекулами газа.
атм1=P м/с500υ 2
=N
м/с2000υ 2
=H

30. O. STERN
Проверка того факта, что
атомы и молекулы
идеальных газов в
термически равновесном
пучке имеют различные
скорости, была
осуществлена немецким
ученым Отто Штерном
(1888 − 1969) в 1920 г.

31. Опыт Штерна
Схема установки О. Штерна приведена на рисунке

33. Температура нити в опытах Штерна равнялась 1200°С,
что соответствует среднеквадратичной скорости молекул
серебра
В эксперименте получился разброс значений
скорости от 560 до 640 м/с. Кроме того, изображение щели
D′ всегда оказывалось размытым, что указывало на то, что
атомы Ag движутся с различными скоростями.
м/с584υкв =

34. Ещё в XIX веке Дж. Максвелл утверждал, что
молекулы, беспорядочно сталкиваясь друг с другом, как-то
«распределяются» по скоростям, причём вполне
определённым образом.
Таким образом, в этом опыте были не только измерены
скорости газовых молекул, но и показано, что они имеют
большой разброс по скоростям. Причина – в хаотичности
теплового движения молекул.
Что значит «распределяются по скоростям?
То есть существует наиболее вероятная скорость движения молекул.
Мало молекул с маленькими скоростями, мало молекул с большими скоростями

35. Математическое определение вероятности: вероятность
какого-либо события – это предел, к которому стремится
отношение числа случаев, приводящих к осуществлению
события, к общему числу случаев, при бесконечном
увеличении последних:
Здесь n′ − число раз, когда событие произошло, а n − общее число
опытов. Отсюда следует, что Р может принимать значения от нуля до
единицы.
n
n
P
n
′
=
∞→
lim

36. Определить распределение молекул по скоростям вовсе не
значит, что нужно определить число молекул,
Вопрос должен быть поставлен так: «Сколько
молекул обладает скоростями, лежащими в интервале,
включающем заданную скорость».
Итак, молекулы движутся хаотически. Среди них есть и очень быстрые,
и очень медленные. Благодаря беспорядочному движению и случайному
характеру их взаимных столкновений, молекулы определённым образом
распределяются по скоростям.

37. Мы будем искать число частиц (∆n) скорости
которых лежат в определённом интервале
значения скорости ∆υ ( т.е. от υ до υ + Δ υ ).
Здесь ∆n – число благоприятных молекул, попавших в
этот интервал. Очевидно, что в единице объёма
число таких благоприятных молекул тем больше,
чем больше ∆υ.

38. n
n
f
d
)υ( =
В данном случае f(υ) называют плотностью вероятности.

39. Распределение молекул идеального газа по
скоростям впервые было получено
знаменитым английским ученым
Дж. Максвеллом в 1860 году с помощью
методов теории вероятностей.

40. Скорость – векторная величина. Для проекции скорости на
ось х (x-ой составляющей скорости), имеем
тогда
или
,υd)υ(d xxx nfn =
,
2π
1
d
d
)υ( 2
υ
1
2
υ
2
1 22
kT
m
kT
m
x
x
x
xx
eAe
kT
m
υn
n
f
−−
=





==
,
d
d
)υ( 2
υ
1
2
kT
m
x
x
x
x
eA
υn
n
f
−
==
Распределение Максвелла

41. Распределение Максвелла

42. Вероятность того, что скорость молекулы одновременно
удовлетворяет трём условиям:
x – компонента скорости лежит в интервале от υх
до υх
+ dυх
;
y – компонента, в интервале от υy
до υy
+ d υy
;
z – компонента, в интервале от υz
до υz
+ d υz
будет равна произведению вероятностей каждого из условий
(событий) в отдельности:
,υυυ
d 2
υ
3
1
2
zyx
kT
m
xyz
dddeA
n
n −
=
2222
υυυυ zyx ++=где

43. .υ
2π
4
dυ
d
)υ( 22
υ
2
3 2
kT
m
e
kT
m
n
n
f
−






==

44. Функция распределения молекул по
скоростям:
.υ
2π
4
dυ
d
)υ( 22
υ
2
3 2
kT
m
e
kT
m
n
n
f
−






==
,
2π
4 2
3






=
кT
m
A
Эта функция обозначает долю молекул единичного объёма газа,
абсолютные скорости которых заключены в единичном интервале
скоростей, включающем данную скорость.
.υ)υ( 22
υ2
kT
m
Aef
−
=
Если обозначить то
Вид распределения молекул газа по
скоростям, для каждого газа зависит
от рода газа (m) и от параметра
состояния (Т). Давление P и объём газа
V на распределение молекул не влияют.

45. Функция распределения молекул по
скоростям:

47. Зависимость функции распределения
Максвелла от массы молекул
и температуры газа
Рисунок 2.9
321 TTT <<123 mmm <<

48. Барометрическая формула
Рассмотрим ещё один, очень важный закон.
Атмосферное давление на какой-либо высоте h
обусловлено весом выше лежащих слоёв газа.
Пусть P – давление на высоте h, а
– на высоте
PP Δ+
hh Δ+

49. ,ρghP =
RT
Pμ
ρ = – плотность газа на высоте h
hgPPP dρ)d( =+−
h
RT
gP
P d
μ
d −= h
RT
g
P
P
d
μd
−=
C
RT
gh
P ln
μ
ln +−= С = Р0
– давление на высоте 0=h
.
RT
gh
ePP
μ
0
−
=

50. RT
gh
ePP
μ
0
−
= - барометрическая формула

51. Из барометрической формулы следует, что P убывает с высотой тем
быстрее, чем тяжелее газ (чем больше μ) и чем ниже температура
(например, на больших высотах концентрация легких газов Не и Н2 гораздо
больше чем у поверхности Земли).
RT
gh
ePP
μ
0
−
=

52. Распределение Больцмана
Распределение
Больцмана определяет
распределение частиц в
силовом поле в
условиях теплового
равновесия.Людвиг Больцман
(1844-1906)

53. Исходя из основного уравнения молекулярно-
кинетической теории: , заменим P и P0
в
барометрической формуле на n и n0
и получим
распределение Больцмана для молярной массы газа:
где n0
и n − число молекул в единичном объёме на высоте h =
0 и h, соответственно.
nkTP =
,
μ
0
RT
gh
enn
−
=

54. Так как , то распределение Больцмана
можно представить в виде:
,μ AmN= kNR A=
.0
kT
mgh
enn
−
=

55. Так как –потенциальная энергия,
следовательно, распределение Больцмана характеризует
распределение частиц по значениям потенциальной
энергии:
– это закон распределения частиц по потенциальным
энергиям – распределение Больцмана.
Здесь n0
– число молекул в единице объёма в там, где
.
mghU =
kT
U
enn
−
= 0
0=U

56. 2.6. Закон распределения
Максвелла-Больцмана
Мы получили выражение для
распределения молекул по скоростям
(распределение Максвелла):
.υdυ
2π
)υ(d 22
2/3 2
4 kT
mυ
e
kT
m
n
n −






=

57. Из этого выражения легко найти распределение
молекул газа по значениям кинетической энергии K. Для
этого перейдём от переменной υ к переменной :
где dn(K) – число молекул, имеющих кинетическую энергию
поступательного движения, заключённую в интервале от K
до
2
υ2
m
K =
( ) ,d)(d
π
2
)(d 2/12/3
KKnfKeKkT
n
Kn kT
K
==
−−
.dKK +

58. Отсюда получим функцию распределения молекул по
энергиям теплового движения:
Средняя кинетическая энергия молекулы
идеального газа:
( ) .
π
2
)( 2/12/3 kT
K
eKkTKf
−−
=
>< K
( ) ,
2
3
d
0
kTKKKfK ==>< ∫
∞

59. Закон Максвелла-Больцмана
.υdυ
2π
4
d 2
2/3
0,
kT
KU
KU e
kT
m
nn
+
−






=
KUE +=
.υdυd 2
0
kT
E
Aenn
−
=
Итак, закон Максвелла даёт распределение частиц по значениям
кинетической энергии а закон Больцмана – распределение частиц по
значениям потенциальной энергии. Оба распределения можно
объединить в единый закон Максвелла-Больцмана,
Это и есть закон распределения Максвелла-Больцмана.
2/3
2π






=
kT
m
A
Здесь n0 – число молекул в единице объёма
в той точке, где Uo

60. Профессор Звонов Валерий Степанович
Санкт-Петербургский университет государственной
противопожарной службы МЧС России
кафедра Физики и теплотехники
v_zvonov@mail.ru
БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ

61. Профессор Звонов Валерий Степанович
Санкт-Петербургский университет государственной
противопожарной службы МЧС России
кафедра Физики и теплотехники
«Основы молекулярной физики
и термодинамики »

62. Профессор Звонов Валерий Степанович
Санкт-Петербургский университет государственной
противопожарной службы МЧС России
кафедра Физики и теплотехники
ВОПРОСЫ ?

63. Основы термодинамики
1. Закон равномерного распределения молекул по
степеням свободы.
2. Первое начало термодинамики.
3. Работа газа при изменении его объема.
Теплоемкость.
4. Применение первого начала термодинамики к
изопроцессам.
5. Адиабатный и политропический процесс.
6. Второе начало термодинамики.
7. Цикл Карно и его КПД для идеального газа.
8. Термодинамические функции состояния.