Problem solving with Probability (2011-2015)

1. LIGOURAS Panagiote
I.I.S. “Leonardo da Vinci – Galileo Galilei”
Noci (BA)
Matematica e Informatica
ligouras@alice.it
ESAME DI STATO
Matematica Liceo Scientifico
Probabilità
Italia, Europa e Americhe – anni 2011-2015

2. Panagiote LIGOURAS 02 / ++ Versione 2016-01
Probabilità – Quesito n.7 – Italia – 2011
Si tratta di una distribuzione binomiale con p=1/4
(probabilità di 1 successo, cioè di rispondere correttamente ad una domanda) e
q= 1- 1/4 = 3/4; q = 3/4.
La probabilità di avere almeno due successi equivale a 1 – p (nessun successo)
– p (1 successo) =

3. Panagiote LIGOURAS 03 / ++ Versione 2016-01
Probabilità – Quesito n.9 – Italia supp. – 2011
L’area favorevole è data dall’area della corona
circolare di raggi 1 e 3, l’area possibile (con
probabilità 1/2) è data dall’area del cerchio di
raggio 5.
Quindi:

4. Panagiote LIGOURAS 04 / ++ Versione 2016-01
Probabilità – Quesito n.10 – Italia supp. – 2011
Fissato P, consideriamo la tangente in P alla
circonferenza e su di essa un punto D.
Gli angoli 𝛾 𝑒 𝛽 sono legati alla scelta di A e B
ed hanno le limitazioni:
La possibilità di scelta per A e B equivale quindi all’area del
quadrato di area 𝜋2
le scelte di A e B favorevoli equivalgono all’area della parte
del quadrato di lato 𝜋 che soddisfa la condizione:
L’area favorevole è data da:
La probabilità richiesta è quindi:
𝐴(𝑝𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜 𝐸𝑂𝐻𝐺𝐶𝐹) =
= 𝐴(𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜) − 2𝐴𝑟𝑒𝑎(𝐻𝐵𝐺) =

5. Panagiote LIGOURAS 05 / ++ Versione 2016-01
Probabilità – Quesito n.2 – Italia – 2012
La moneta cade internamente alla mattonella se il suo
centro dista dai lati della mattonella meno del suo raggio:
La probabilità richiesta è data dal rapporto tra l’area
dell’esagono piccolo e l’area della mattonella.
Area esagono piccolo =
= semiperimetro x apotema
L’area favorevole sarà quindi l’area di un esagono concentrico a
quello dato, con i lati paralleli a quelli della mattonella.
Il lato L=IF dell’esagono interno è uguale a 10 cm – 2AJ;
𝑅 =
𝑑
2
=
23,25
2
𝐴𝐽 = 𝐼𝐽 ∙ 𝑡𝑔 30° =
𝑑
2
∙
3
3
𝐿 = 10 − 2𝐴𝐽 = 10 − 𝑑 ∙
3
3
=10−23,25∙
3
3
𝑐𝑚
= 3𝐿 ∙ 𝐿
3
2
=
3𝐿2
3
2
Area mattonella =
3 ∙ 102 3
2
=
3 ∙ 100 3
2
Probabilità =
3𝐿2 3
2
3 ∙ 100 3
2
=
𝐿2
100
≅ 0,7495

6. Panagiote LIGOURAS 06 / ++ Versione 2016-01
Probabilità – Quesito n.8 – Italia – 2012
Rappresentiamo i dati forniti nel seguente diagramma ad
albero:
Analizzando il grafico emerge che la probabilità
richiesta, per il teorema di Bayes, è data da:
=
1
2
∙
10
100
1
2
∙
10
100
+
1
3
∙
7
100
+
1
6
∙
5
100
=
30
49
≅ 0.612 = 𝟔𝟏. 𝟐%
𝒑 𝒀|𝑿 =
𝒑 𝑿|𝒀 ∙ 𝒑 𝒀
𝒑 𝑿

7. Panagiote LIGOURAS 07 / ++ Versione 2016-01
Probabilità – Quesito n.9 – Italia str. – 2012
Dobbia calcolare la probabilità che esca croce 1 volta oppure 3 volte oppure 5 volte oppure
7 volte in 8 lanci.
Applichiamo la formula della distribuzione binomiale con n = 8 ed x (i successi) uguale ad 1,
3, 5, 7.
con p = q = 1/2
La probabilità richiesta è quindi:

8. Panagiote LIGOURAS 08 / ++ Versione 2016-01
Probabilità – Quesito n.10 – Italia str. – 2012
I casi possibili con quattro gattini sono 24 = 16 che sono le disposizioni con ripetizione di
2 oggetti (M ed F) a 4 a 4.
I casi con due maschi e due femmine sono:
Contiamo i casi in cui si hanno 3 gattini di un sesso e 1 dell’altro.
I casi in cui si hanno 3 M (maschi) sono 4,
infatti può essere femmina
- il primo,
- il secondo,
- il terzo o
- il quarto gattino
e gli altri tre in ogni caso maschi.
Analogamente si hanno 4 casi con 3 F (femmine).
In totale abbiamo 8 casi.
Pertanto:
La probabilità di avere 2 M (maschi) e 2 F (femmine) è quindi:
M1M2, M1M3, M1M4, M2M3, M2M4, M3M4: 6 casi possibili.

9. Panagiote LIGOURAS 09 / ++ Versione 2016-01
Probabilità – Quesito n.9 – Italia str. – 2013
Dopo aver trovato il volume del cono possiamo trovare la
sua massa (massa del cono senza cavità), ricordando che:
Nel cono equilatero l’apotema è uguale al
diametro di base, quindi la sua altezza
equivale a quella di un triangolo equilatero
di lato pari al diametro di base del cono:
La probabilità richiesta è data da:

10. Panagiote LIGOURAS 10 / ++ Versione 2016-01
Probabilità – Quesito n.10 – Italia str. – 2013
La probabilità che il bersaglio venga colpito almeno una volta è
Tale probabilità è maggiore dell’80% se:
Il minimo valore di n è quindi 5.
Infatti, con n=5 la probabilità di colpire almeno una volta il bersaglio è pari a:
Si debbono quindi lanciare almeno 5 missili affinché la probabilità di colpire il bersaglio
almeno una volta sia maggiore dell’80%.

11. Panagiote LIGOURAS 11 / ++ Versione 2016-01
Probabilità – Quesito n.10 – Italia supp. – 2013
La probabilità richiesta p è data da:
Quindi:
La lunghezza dell’arco AB è uguale a della lunghezza della circonferenza:
30
360
=
1
12

12. Panagiote LIGOURAS 12 / ++ Versione 2016-01
Probabilità – Quesito n.7 – Italia – 2013
Su 10 persone 4 non hanno gli occhi azzurri.
Le coppie favorevoli sono in numero pari alle combinazioni di 4 oggetti a 2 a 2, cioè
Le coppie possibili sono:
Quindi, la probabilità richiesta è data da:
𝐶4,2 =
4
2
=
4!
2! 4−2 !
=
4∙3
2!
=
12
2
=6
𝐶10,2 =
10
2
=
10!
2! 10−2 !
=
10∙9
2!
=
90
2
=45
𝑝 =
𝐶4,2
𝐶10,2
=
6
45
=
𝟐
𝟏𝟓
𝐶 𝑛,𝑘 =
𝑛
𝑘
=
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !

13. Panagiote LIGOURAS 13 / ++ Versione 2016-01
Probabilità – Quesito n.3 – Italia – 2014
R=5, V=5, G=5, B=5
Probabilità che esattamente una su tre sia rossa.
Le rosse sono 5, le altre due, non rosse, sono le combinazioni di 15 oggetti (V+G+B) a 2 a 2.
I casi possibili sono le combinazioni di 20 oggetti (tutte le palline) a 3 a 3.
Probabilità che le tre palline siano di colori differenti.
p(3 rosse)= p(3 verdi) = p(3 gialle) = p(3 bianche) =
p(1 di un colore e 2 dell’altro colore) =
p =

14. Panagiote LIGOURAS 14 / ++ Versione 2016-01
Probabilità – Quesito n.8 – Italia – 2014
I casi possibili nel lancio di 3 dadi sono 6 x 6 x 6 = 216.
I casi favorevoli che danno 9 sono:
Quindi la probabilità di ottenere 9 è
I casi favorevoli che danno 10 sono:
Quindi la probabilità di ottenere 10 è
Quindi: 𝒑(𝟗) < 𝒑(𝟏𝟎).

15. Panagiote LIGOURAS 15 / ++ Versione 2016-01
Probabilità – Quesito n.9 – Italia str. – 2014
La probabilità richiesta è data dal rapporto tra il volume “favorevole”,
quello del cilindro, ed il volume “possibile”, quello del solido.
Ricordiamo che il cilindro equilatero ha il diametro di base uguale all’altezza.
Il cono equilatero ha l’apotema uguale al diametro di base, quindi l’altezza h è data da:
La probabilità richiesta è

16. Panagiote LIGOURAS 16 / ++ Versione 2016-01
Probabilità – Quesito n.9 – Italia supp. – 2014
Determiniamo la probabilità 𝑞 che nessuna sia un “Arcano maggiore”:
La probabilità 𝑝 che almeno una carta sia un “Arcano maggiore” è:

17. Panagiote LIGOURAS 17 / ++ Versione 2016-01
Probabilità – Quesito n.10 – Italia supp. – 2014
No, Edgar Allan Poe NON ha ragione.
La probabilità che esca un doppio 6 al terzo tentativo ( 1/36 ≅ 2.8%) è
indipendente dal fatto che sia già uscito un doppio 6 le 2 volte precedenti;
Tale probabilità è comunque bassa,
quindi scommettendo si ha un’alta probabilità di vincere (circa 97.2%),
ma non perché il doppio 6 è già uscito le 2 volte precedenti!

18. Panagiote LIGOURAS 18 / ++ Versione 2016-01
Probabilità – Quesito n.3 – Italia – 2015
La probabilità che si ottenga testa in un lancio è 1/2.
La probabilità che si ottengano al più due teste in sei lanci è data da:
Si tratta di una distribuzione binomiale, quindi, indicando con n il
numero di prove, con k il numero di “successi”, con p la probabilità
del “successo” e con q la probabilità dell’insuccesso si ha:
Nel nostro caso n = 6 e p = 1/2 e q = 1/2, quindi:
𝑝(𝑎𝑙 𝑝𝑖ù 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑛 𝑠𝑒𝑖 𝑙𝑎𝑛𝑐𝑖) =
𝑝(𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑛 𝑠𝑒𝑖 𝑙𝑎𝑛𝑐𝑖) = 1 − 𝑝(0 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒) − 𝑝(1 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑎) =

19. Panagiote LIGOURAS 19 / ++ Versione 2016-01
Probabilità – Quesito n.8 – Italia – 2015
La probabilità richiesta è data dal rapporto tra “l’area favorevole”
e “l’area possibile”.
Area favorevole = area triangolo – area dei 3 settori
circolari di centri A, B e C con raggi 2 e ampiezze pari
agli angoli interni del triangolo.
La somma dei 3 settori equivale ad 1 settore
circolare di ampiezza 180° (la somma dei 3 angoli)
e raggio 2, quindi ad un semicerchio di raggio 2:
Per calcolare l’area del triangolo ABC, isoscele sulla
base AB, troviamo l’altezza h relativa a tale base:

20. Panagiote LIGOURAS 20 / 20 Versione 2016.01
Grazie!!!
A l b e r o b e l l o
2 0 1 6
Questa presentazione è disponibile anche all’indirizzo:
http://www.slideshare.net/panagioteligouras/
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