Quesiti in preparazione di Giochi Matematici, qualche richiamo teorico.

1. PON C4: “Matematica ... mente”
IISS “Vanoni” - NARDO’ - prof. Sergio Spirito - tutor prof. Salvatore Alligri
Le ultime di teoria
10 - 12 febbraio
2010
1

2. 2
Un po’ di calcolo combinatorio
Dati n elementi e k≤n, si dicono disposizioni semplici di n elementi di
classe k tutti i raggruppamenti ottenuti scegliendo k elementi tra gli
n disponibili, in modo che due raggruppamenti siano considerati
distinti quando differiscono per almeno uno dei componenti oppure
per l’ordine secondo il quale essi sono allineati.
Un circolo è composto da 60 soci.
Si devono eleggere un presidente, un vicepresidente, un segretario e un
cassiere.
Ipotizzando che non si possano accumulare le cariche, quante scelte si
possono fare?
E’ un esempio di disposizioni semplici di 60 elementi di classe
4

3. 3
Un po’ di calcolo combinatorio
Ad un torneo partecipano 10 squadre; la formula della manifestazione
prevede la disputa di quattro incontri tra ciascuna coppia di squadre A, B:
due nella sede della squadra A, due nella sede della squadra B.
Quante partite verranno giocate, nell’ambito di tale torneo?
E’ un esempio di disposizioni semplici di 10 elementi di classe 2, moltiplicato per 2
Quanti diversi incontri di pugilato possono essere organizzati tra sette
pugili?E’ un esempio di disposizioni semplici di 7 elementi di classe
2

4. 4
Un po’ di calcolo combinatorio
Si calcoli il numero degli anagrammi che possono essere formati con
le lettere della parola “Roma”.
E’ un esempio di permutazioni semplici di 4 elementi
Nel caso di disposizioni semplici, se k = n, allora si chiamano
permutazioni semplici.
Sei persone devono occupare sei sedie: in quanti modi diversi lo possono
fare?
E’ un esempio di permutazioni semplici di 6 elementi

5. Un po’ di calcolo combinatorio
Dati n elementi e k≤n, si dicono combinazioni semplici di n elementi di
classe k tutti i raggruppamenti ottenuti scegliendo k elementi tra gli n
disponibili, in modo che due raggruppamenti siano considerati distinti
soltanto quando differiscono per almeno uno dei componenti.
Avendo a disposizione 23 colori, quante diverse miscele di questi colori,
prendendone 5 alla volta, si possono ottenere?
E’ un esempio di combinazioni semplici di 23 elementi di classe
5
5

6. Un po’ di calcolo combinatorio
Quante partite di scacchi diverse possono essere giocate da sei
giocatori?
E’ un esempio di combinazioni semplici di 6 elementi di classe 2
Avendo a disposizione 15 tipi diversi di liquori,
quanti diversi coktails di questi liquori,
prendendone 5 alla volta, si possono ottenere?
E’ un esempio di combinazioni semplici di 15 elementi di classe
5
6
Testo

7. Un po’ di calcolo combinatorio
Quante diverse classifiche finali può avere una gara di corsa alla quale
partecipano dieci atleti (escludendo gli ex-aequo)?
E’ un esempio di permutazioni semplici di 10 elementi
Sei persone hanno a disposizione quattro
sedie.
In quanti modi diversi le possono occupare?
E’ un esempio di disposizioni
semplici di 6 elementi di
classe 4
Quanti anagrammi che iniziano con la lettera “M” possono essere composte con
le lettere della parola “mela”? (Si considerino parole tutti gli allineamenti di
lettere, indipendentemente dal significato).
E’ un esempio di permutazioni semplici di 3 elementi
7

8. Un po’ di calcolo combinatorio
Quanti diversi “equipaggi” possono occupare (indipendentemente dall’ordine)
una barca a tre posti, scelti tra sette persone?
E’ un esempio di combinazioni semplici di 7 elementi di classe
3
Il numero delle possibili classifiche finali di una gara con dieci o più atleti (escludendo gli ex-aequo) è certamente
divisibile per 10. Perché?
Anche se n è non minore di 5, il numero delle possibili classifiche finali di una gara con n atleti (escludendo gli ex-aequo)
è certamente divisibile per 10. Perché?
Il numero delle possibili classifiche finali di una gara con un numero n di concorrenti (escludendo gli ex-aequo), essendo n
un numero naturale maggiore di 1, può essere dispari? Perché?
8

9. Un po’ di calcolo combinatorio
Ad un convegno partecipano 21 persone. Ciascuno dei partecipanti stringe la
mano a ciascuno degli altri. Quante sono state complessivamente le strette di
mano?
E’ un esempio di combinazioni semplici di 21 elementi di classe
2
9
In un torneo di tennis, 8 persone decidono di giocare
degli incontri di doppio (cioè due contro due) in tutti i
modi possibili. Quanti incontri ci sono nell’intero
torneo?
A
B
C
D
E
F
G
H
La coppia A-B dovrà scontrarsi con tutte le altre
possibili
coppie
che
sono
così la coppia A-C, A-D, ..., A-
H.Quindi A dovrà
disputare
incontri
.
Ripetendo il discorso per B,
otterremo
B
C
D
E
F
G
H
e
incontri
.
In totale
avremo
incontri
.

10. 10
Un po’ di calcolo combinatorio
1. In quanti modi possono sedersi 5 persone in 8 poltrone?
2. Quante sono tutte le possibili quaterne nel gioco della tombola?
3. Quante schedine del totocalcio occorre giocare per essere sicuri di
ottenere il 13?
4. In quanti modi possiamo distribuire 20 palline uguali in 5 scatole
diverse?
5. Quanti sono i numeri di 6 cifre che contengono: 2 volte esatte la cifra 1,
2 volte esatte la cifra 2 e non contengono la cifra 0?
1.594.323
10.626
Quando l'ordine non è importante ma è possibile avere componenti ripetute si parla di combinazioni con
ripetizione. Il numero di combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k è uguale a quello delle combinazioni
senza ripetizione di n+k-1 oggetti di classe k.

11. 11
Un po’ di calcolo combinatorio
6. Quanti numeri di 4 cifre distinte si possono formare?
7. Quanti sono i numeri di 4 cifre, divisibili per 5, < 5000 e contenenti solo
le cifre 2,3,4,5?
8. Quanti sono i numeri di 3 cifre tali che ogni cifra sia maggiore della
seguente partendo dalle centinaia?
9. Quanti sono i numeri di 3 cifre tali che ogni cifra sia non minore della
seguente partendo dalle centinaia?
10. In famiglia vi sono 6 figli, in quanti modi possono distribuirsi
considerando il sesso?
48
120
219
64
2 4 possibilità 4 possibilità 5
3 4 possibilità 4 possibilità 5
4 4 possibilità 4 possibilità 5

12. 12
Un po’ di calcolo combinatorio
11. Bruno, Carlo, Antonio, Stefano fanno una gara di corsa tra loro, quante
sono tutte le possibili classifiche finali?
12. Bruno, Carlo, Antonio, Stefano in una partita di calcio segnano
complessivamente 8 reti. Quante sono le possibili distribuzione delle reti
tra loro?
13. Quante schedine occorre giocare al superenalotto per essere sicuri di
ottenere il 6?
14. Quante sono le diagonali di un poligono di n lati?
24

13. 13
Un po’ di calcolo combinatorio
15. Quanti sono i numeri di 5 cifre non contenenti
lo 0 e contenenti 2 volte esatte la cifra 1?
16. Si consideri una scacchiera per dama con
caselle bianche e nere alternate (che supporremo
infinita).
Muovendosi verso l’alto, solo nelle caselle bianche
ed un passo alla volta, un pedino raggiunge dopo
2n passi una casella posta sulla stessa verticale
della casella iniziale.
Quante sono tutte le possibili traiettorie del pedino?
5.120

14. 14
Un po’ di geometria
I lati di un triangolo misurano 24 cm, 10 cm e 27 cm.
Che tipo di triangolo è: ottusangolo, rettangolo o acutangolo?
Se il lato maggiore fosse 26
cm (
) il triangolo sarebbe
rettangolo.
Il lato maggiore è, invece,
maggiore di 26, quindi il
triangolo è ottusangolo.

15. 15
Un po’ di geometria
Un trapezio ha un’area uguale a 335 cm2 e la base
minore che misura 6 cm. Le misure della sua
altezza e della base maggiore sono (entrambe)
espresse da un numero intero di centimetri.
Quanto misura la base maggiore del trapezio?
Dalla
formula
b
B
segu
e
ossi
a
scomponendo
670
da cui segue
che
h, dovendo essere divisore del secondo membro, potrà essere 1, 2, 5,
10, 67, 134, 335, 670.
h = 1 ⇒ 6+B = 670 ⇒ B = 664; h = 2 ⇒ 6+B = 335 ⇒ B = 329; h = 5 ⇒ 6+B =134 ⇒ B = 128; h = 10 ⇒ 6+B =67 ⇒ B = 61;
h = 67 ⇒ 6+B =10 ⇒ B = 4 (non è possibile); h = 134 ⇒ 6+B =5 ⇒ B = -1 (non è possibile) ...

16. 16
Un po’ di geometria
Un parallelepipedo rettangolo ha una dimensione
che è la media aritmetica delle altre due. La somma
delle tre dimensioni è 24 cm, le tre dimensioni sono
dei numeri interi e l’area totale del solido è 366
cm2.
Calcolare il volume del parallelepipedo.
a
b
c
Dalla seconda informazione
otteniamo:
Dalla terza informazione otteniamo:
sistema simmetrico

17. 17
Un po’ di geometria
Il disegno (dove lunghezze uguali sono
contrassegnate da simboli uguali) rappresenta il
prato del convento dei Triangolari.
Il terreno contiene uno stagno, naturalmente anch’esso triangolare.
Esprimete con una frazione il rapporto tra l’area dello stagno e
quella dell’intero terreno.
A
BC
M N
I triangoli e
sono simili per il
terzocriterio di
similitudine.Quindi
se
sono
contenuti2 volte rispettivamente
dentroanch
e
anche sarà contenuto 2 volte
dentro
M N
C B
A
I triangoli ,
K
, e
hanno la stessa
area.

18. 18
Un po’ di geometria
La circonferenza più grande ha un raggio di 10 cm.
Quella più piccola divide il cerchio grande in due
regioni di uguale area.
Calcolate l’area della regione verde.
10
A = A
x
A
A
raggio della circonferenza piccola
y
A = A - A - 2A = A
A =
A - A
4
A A

19. 19
Un po’ di geometria
Per disegnare la figura curvilinea (la zona verde) si
procede in questo modo: si inscrive un quadrato
ABCD in un cerchio di raggio 7 cm. Le parti del
cerchio esterne al quadrato individuano quattro
lunette. Si costruisce allora il simmetrico di ogni
lunetta (rispetto al lato del quadrato che la delimita).
Calcolate l’area della zona verde.
A = A - 8∙A 8∙A
A - A
=
4
=
Infin
e
A
42 cm2