This document discusses the relationship between the principle of mathematical induction (PMI) and the well-ordering principle (WOP). It notes that PMI and WOP are equivalent, so any proof by one method can also be proved by the other. However, sometimes one method may yield a more elaborate proof than the other. It also mentions that WOP is often used in proofs by contradiction, such as proofs by infinite descent. The document then provides an example proof using WOP to show that 1 + n = n + 1 for all natural numbers n.

1. 1. De qué depende utilizar el PBO ó el PI.
Sabemos que el principio de inducción es equivalente al principio del buen orden.
Así, toda proposiciónque puede ser demostrada mediante inducción matemática
puede ser demostrada mediante el principio del buen orden y viceversa. Sin
embargo, puede ser que la demostración mediante el buen orden sea más
elaborada que una demostración con inducción; o viceversa. Es la práctica la
que nos ayudará a identificar qué demostración es la más adecuada.
Por otra parte, cabe mencionar que el Principio de Buen Orden se usa
principalmente en demostraciones por contradicción, por ejemplo, en el método
de descenso infinito.
2. Utiliza el principio del buen y demuestra:
a) 𝟏 + 𝒏 = 𝒏 + 𝟏 ∀𝒏 ∈ ℕ
Definimos el conjunto:
𝐶 = {𝑘 + 𝑚 ≠ 𝑚 + 𝑘}
Luego, 𝐶 ⊂ ℕ y supongamos que 𝐶 ≠ ∅. Entonces, por el principio del buen orden,
𝐶 debe tener primer elemento.
Llamemos 𝑚 al primer elemento de 𝐶.
𝑚 ≠ 1 y 𝑚 debe ser siguiente a algún número natural, luego 𝑘 = 𝑚 − 1, de manera
que:
𝑘 + (𝑚 − 1) = (𝑚 − 1) + 𝑘
𝑘 + 𝑚 = 𝑚 + 𝑘 …
Lo cual es una contradicción, por lo que se concluye que la proposición es
verdadera.