This document defines the properties of the space Rn with vector addition and scalar multiplication. It shows that: 1) Vector addition is associative and commutative. 2) The zero vector (0,0,0) acts as the additive identity. 3) Scalar multiplication is distributive over vector addition and associative. 4) The scalar 1 acts as the multiplicative identity. Together, these operations satisfy the properties for Rn to be a real vector space. The document provides proofs for each property.

1. 1. A continuación, demuestra las propiedades que se solicitan para este
espacio y que lo define como tal
Ejemplo 1: Propiedades del espacio 𝑹𝒏
con la suma y multiplicación escalar
Recordemos que dos arreglos son iguales si todas las componentes
correspondientes son iguales:
(𝑎1,𝑎2,… 𝑎𝑛) = (𝑏1,𝑏2, …𝑏𝑛 ) cuando 𝑎1 = 𝑏1, 𝑎1 = 𝑏1, …, 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛
Dados dos arreglos (𝑎1, 𝑎2, …𝑎𝑛) + (𝑏1, 𝑏2, … 𝑏𝑛) = (𝑎1,+ 𝑏1,𝑎2, + 𝑏2, … 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)
Si r es un número real arbitrario, el producto escalar de r por (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) es otro
arreglo que se obtiene multiplicando cada una de las componentes por r:
𝑟 ∙ (𝑎1,𝑎2 … 𝑎𝑛) = (𝑟 ∙ 𝑎1, 𝑟 ∙ 𝑎2, … 𝑟 ∙ 𝑎𝑛)
Demostrar que:
a) La suma es asociativa
b) La suma es conmutativa
c) El arreglo (0,0,0) es arreglo idéntico de la suma
d) La multiplicación escalar es distributiva
e) La multiplicación es asociativa
f) La multiplicación tiene un idéntico multiplicativo
Solución:
El conjunto ℝ𝑛
, sobre el campo de los números reales ℝ, definido como:
ℝ𝒏
= {𝒙
⃗
⃗ = 𝒙𝟏, 𝒙𝟐,… , 𝒙𝒏)|𝒙𝟏,𝒙𝟐,… 𝒙𝒏 ∈ ℝ}
donde dos vectores 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛), 𝑏
⃗ (𝑏1, 𝑏2, … 𝑏𝑛) ∈ ℝ𝑛
son iguales si, y sólo si,
𝑎𝑖 = 𝑏𝑖 ∀𝑖 = 1,2,… , 𝑛.
junto con la suma vectorial definida como:
𝑎 + 𝑏
⃗ = (𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛) + (𝑏1, 𝑏2, … 𝑏𝑛) = (𝑎1 + 𝑏1 + 𝑏2, … , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) ∀𝑎 ∈ ℝ𝑛
,
y con la multiplicación escalar real, definida como:
𝜆𝑎 = λ(𝑎1,𝑎2, … , 𝑎𝑛) = (𝜆 ∙ 𝑎1, λ ∙ 𝑎2 , …, λ ∙ 𝑎𝑛) ∀λ ∈ ℝ y ∀𝑎 ∈ ℝ𝑛
,
forman un espacio vectorial real, denominado ℝ𝑛
.
Demostración:
a) La suma es asociativa.
Sean 𝑎, 𝑏
⃗ , 𝑐 ∈ ℝ𝑛
entonces
𝑎 + (𝑏
⃗ + 𝑐) = (𝑎1, … , 𝑎𝑛
) + [(𝑏1,… 𝑏𝑛
) + (𝑐1, … 𝑐𝑛
)] = (𝑎1 , … , 𝑎𝑛
) + (𝑏1 + 𝑐1, … , 𝑏n + 𝑐n
)

2. = [𝑎1 + (𝑏1 + 𝑐1
), … , 𝑎n + (𝑏n + 𝑐n)] = [(𝑎1 + 𝑏1
) + 𝑐1, … , (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛
) + 𝑐𝑛]
= [(𝑎1 + 𝑏1
), … , (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛
)] + (𝑐1,… ,𝑐𝑛
) = [(𝑎1, … , 𝑎𝑛
) + (𝑏1,… , 𝑏𝑛
)] + (𝑐1, … , 𝑐𝑛
)
= ((𝑎 + 𝑏
⃗ ) + 𝑐
b) La suma es conmutativa.
Sean 𝑎, 𝑏
⃗ , ∈ ℝ𝑛
entonces
𝑎 + 𝑏
⃗ = (𝑎1,… , 𝑎𝑛) + (𝑏1, …𝑏𝑛 ) = (𝑎1 + 𝑏1+,… , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ) = (𝑏1 + 𝑎1,… , 𝑏𝑛 + 𝑎𝑛)
= (𝑏1, … 𝑏𝑛) + (𝑎1,… , 𝑎𝑛) = 𝑏
⃗ + 𝑎
c) El arreglo (0,0,0) es arreglo idéntico a la suma.
Sea 𝑎 = (𝑎1,… , 𝑎𝑛) ∈ ℝ𝑛
arbitrario, supongamos que 𝑖 = (𝑖1,… , 𝑖𝑛) ∈ ℝ𝑛
es el
arreglo idéntico a la suma del espacio vectorial ℝ𝑛
, entonces, por las propiedades
del idéntico aditivo 𝑎 + 𝑖 = 𝑎 ∀ 𝑎 ∈ ℝ𝑛
Por tanto:
𝑎 + 𝑖 = (𝑎1, …, 𝑎𝑛) + (𝑖1, …, 𝑖𝑛) = (𝑎1 + 𝑖1,… , 𝑎n + 𝑖𝑛) = (𝑎1,… , 𝑎𝑛)
Los últimos vectores son iguales si y solo si
𝑎 + 𝑖 = 𝑎1 ⇒ 𝑖1 = (−𝑎1) = 0
𝑎n + 𝑖𝑛 = 𝑎n ⇒ 𝑖n = (−𝑎n) + 𝑎n = 0
Por lo tanto, el idéntico aditivo de ℝ𝑛
está dado por:
𝑖 = (𝑖1,… , 𝑖𝑛) = (0,0,0) = 0
⃗
a) La multiplicación escalar es distributiva
Sean 𝑎, 𝑏
⃗ , ∈ ℝ𝑛
y sea 𝜆 ∈ ℝ entonces
𝜆(𝑎
⃗⃗⃗⃗ + 𝑏
⃗ ) = λ[(𝑎1,… ,𝑎𝑛 ) + (𝑏1, … , 𝑏𝑛)] = (𝑎1 + 𝑏1, … , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )
= (𝜆𝑎1 + 𝜆𝑏1, … , 𝜆𝑎𝑛 + 𝜆𝑏𝑛 ) = (𝜆𝑎1, … , 𝜆𝑎𝑛) + (𝜆𝑏1, … , 𝜆𝑏𝑛 ) = 𝜆𝑎 + 𝜆𝑏
⃗
b) La multiplicación es asociativa
Sean 𝑎, ∈ ℝ𝑛
y sea 𝜆, 𝜇 ∈ ℝ entonces
(𝜆𝜇)𝑎 = (𝜆𝜇)(𝑎1,… , 𝑎𝑛) = [(𝜆𝜇)𝑎1,… , (𝜆𝜇)𝑎𝑛] = [𝜆(𝜇𝑎1),…, 𝜆(𝜇𝑎𝑛)]
= 𝜆[(𝜇𝑎1),… , (𝜇𝑎𝑛)] = 𝜆(𝜇𝑎)
c) La multiplicación tiene un idéntico multiplicativo

3. Sean 𝑎, ∈ ℝ𝑛
y sea 1 ∈ ℝ entonces
1𝑎 = 1(𝑎1,… , 𝑎𝑛) = (1𝑎1,… , 1𝑎𝑛) = (𝑎1,… , 𝑎𝑛) = 𝑎