Lord Cayley and Sylvester helped establish matrix theory in the 19th century. Sylvester coined the term "matrix" to distinguish them from determinants. Matrix theory provides a compact notation for working with large datasets and models with many variables and equations. It allows for easier computational work. Matrices represent linear transformations and have theoretical importance beyond their operational qualities.

1. 1
INTRODUCCIÓN
TEORÍA DE MATRICES
➢MATRICES
➢PRODUCTO DE MATRICES
➢POTENCIAS NATURALES DE
MATRICES CUADRADAS

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Un poco de historia
Lord Cayley es uno de los fundadores de la teoría de las
matrices, aunque su amigo Sylvester fue quien acuñó el término
matriz (1850), para distinguir las matrices de los determinantes,
que serán estudiados más adelante. De hecho, la intención era
que el término matriz tuviera el significado de “madre de los
determinantes”. Tanto Sylvester como Cayley son considerados
entre los mejores matemáticos de su tiempo. Sylvester fue el
primer profesor del Departamento de Matemáticas en la
Universidad John Hopkins, y fundó la prestigiosa revista
American Journal of Mathematics.

3. 3
La teoría de matrices ofrece la posibilidad de trabajar
cómodamente con modelos de gran dimensión, tanto en
número de variables, como de ecuaciones o datos, ya que
brinda una notación simple y compacta para designar
amplios conjuntos de información. Esto redunda a su vez en
una mayor facilidad a la hora de trabajar con estos conjuntos
de datos desde un punto de vista computacional.

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La teoría de matrices no sólo debe su importancia a
la bondad de sus cualidades operativas, sino que
además tiene gran relevancia teórica, ya que una
matriz es la representación de determinadas
transformaciones vectoriales (aplicaciones lineales)

5. 5
Introducción
Vivimos en un mundo complejo de recursos finitos, demandas
mutuamente competitivas y flujos de información que han de
ser analizados para asignar los recursos de la mejor manera
posible para satisfacer nuestras necesidades. Cualquier
herramienta que haga más fácil entender y usar tal
información es muy conveniente.

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PROBLEMA
Un inventario de camisetas en una sección de un gran almacén.
Se tienen camisetas de tres diferentes tamaños y cinco colores, y
cada noche el supervisor de la sección prepara un inventario de las
existencias para la gestión.
Un párrafo de dicho inventario podría tener la forma siguiente:

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En el almacén hay un stock de Camisetas:
Nueve amarillas de talla S y cinco amarillas de talla M; ocho
verdes de talla S y seis verdes de talla M; las de tamaño L casi
se han agotado pues solo quedan tres rojas, una rosa y dos
negras; también tenemos tres M rosas, cinco M rojas, una M
negra y siete S negras.

8. 8
Es importante señalar que este informe no es muy
fácil de analizar. En particular, se ha de leer el
párrafo entero para determinar el número de
camisetas pequeñas de color rojo que hay
actualmente en stock.

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En cambio, si presentamos la tabla rectangular en forma
resumida, la información se organiza mucho mejor:
Rosado Amarillo verde Rojo Negro
0 9 8 0 7
3 5 6 5 1
1 0 0 3 2
S
M
L

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MATRICES
MATRIZ DE ORDEN: m x n
FILA
i = {1,2,3,..,m}
COLUMNA
i = {1,2,3,..,n}

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Dos matrices del mismo orden y
se dicen iguales, y se escribe si:

13. 13
 Matriz columna: mx1
 Matriz fila: 1 x n

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todos sus elementos son 0.
 Matriz opuesta de

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 Matriz cuadrada de orden n:
forman la diagonal principal
El número de filas
es igual al número de
columnas

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 Matriz triangular superior
Los siguientes conceptos se refieren exclusivamente a matrices cuadradas:
 Matriz triangular inferior
Ceros debajo de la diagonal principal Ceros encima de la diagonal principal

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 Matriz diagonal  Matriz unidad
Ceros fuera de la diagonal principal Ceros fuera de la diagonal principal,
unos en la diagonal principal
 Matriz escalar
Delta de Kronecker

18. 18
OPERACIONES CON MATRICES.
❑ Si A y B son matrices de orden m x n, entonces la suma A +
B es la matriz cuyas columnas son las sumas de las columnas
correspondientes de A y B. Puesto que la suma vectorial de las
columnas se hace por entradas, cada entrada en A + B es la
suma de las entradas correspondientes de A y B.
La suma A + B está definida sólo cuando A y B son del mismo orden

19. 19
❑ Si r es un escalar y A es una matriz, entonces el múltiplo
escalar (r · A), es la matriz cuyas columnas son r veces las
columnas correspondientes de A
Al igual que con vectores, definimos:
–A = (–1) · A y escribimos A – B = A + (–1) · B

20. 20

 Ejemplo:

21. 21


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PRODUCTO DE MATRICES
fila i de A
columna j de B

23. 23
Ejemplo
Nota: Dos matrices se pueden multiplicar si y sólo si, el
número de columnas de la primera matriz es igual al
número de filas de la segunda matriz.
Propiedades del producto de matrices
1.
2.
3.
4. El producto de matrices no es necesariamente conmutativo

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OBSERVACIONES
1. El producto de matrices no es necesariamente conmutativo
2. Puede ser con y .
3.
4. no implica necesariamente
Ejemplo 𝑨 =
𝟏 𝟎
𝟎 𝟎
y 𝐁 =
𝟎 𝟎
𝟎 𝟏
→ A.B=
𝟎 𝟎
𝟎 𝟎
𝑨. 𝑩 = 𝟎
𝑨. 𝑰 = 𝑰. 𝑨 = 𝑨
𝑨. 𝑩 = 𝑨. 𝑪 𝑩 = 𝑪
𝑨 =
𝟏 𝟎
𝟎 𝟎
, 𝐁 =
𝟎 𝟎
𝟎 𝟏
, C=
𝟎 𝟎
𝟏 𝟏
𝑨. 𝑩 = 𝑨. 𝑪 = 𝟎

25. 25
POTENCIAS NATURALES DE
MATRICES CUADRADAS
Una de las herramientas principales en el estudio de las ecuaciones diferenciales
lineales es el álgebra matricial. En concreto, el cálculo de potencias naturales de
matrices cuadradas resulta de gran interés en el estudio de las ecuaciones
diferenciales.
Además, las potencias de matrices desempeñan un papel importante en diversas
aplicaciones, como por ejemplo en el modelo de Leontief de entrada-salida.
PROPIEDADES
1.-
2.-

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TRASPUESTA DE UNA MATRIZ
Cambiar filas por columnas
PROPIEDADES
1.-
2.-
3.-
4.-
5.- Atención

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➢
➢
Sólo para matrices cuadradas
A simétrica si y sólo si , es decir:
A antisimétrica si y sólo si , es decir:
¿Cómo son los elementos de la diagonal principal
de una matriz antisimétrica?
Las matrices (cuadradas) simétricas y antisimétricas se pueden caracterizar
utilizando la relación que tienen con sus traspuestas.

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➢
➢
Sólo para matrices cuadradas
A periódica si . Si p es el menor
número natural que satisface , entonces
decimos que A es una matriz periódica de período p.
A es matriz idempotente si .
Algunas matrices presentan peculiaridades por el comportamiento
que presentan sus potencias. Las matrices idempotentes, por
ejemplo, desempeñan un papel importante en algunas áreas de la
Estadística y la Econometría.

29. 29
A es matriz Nilpotente si . Si p
es el menor número natural que satisface ,
decimos que A es una matriz Nilpotente de índice p.
➢
A es matriz involutiva si
➢

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CONCEPTO DE MATRIZ
RECTANGULAR
ÁLGEBRA DE MATRICES
Casos especiales
Matriz fila
Matriz columna
Matriz nula
Matriz cuadrada
Matriz triangular superior
Matriz triangular inferior
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz unidad
Igualdad
Suma/Resta
Multiplicación por un escalar
Producto
Potenciación entera
Trasposición Propiedades
Determinante
Inversión
Matrices
especiales
Matriz periódica
Matriz idempotente
Matriz nilpotente
Matriz involutiva
Matriz simétrica
Matriz antisimétrica

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Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
 incógnitas: