equations equations are different things ppt

1
第三章方程
第一节方程的概念

2
《九章算术》，方程章，其中的“方程”指什么？“方” 、
“程” 分别是什么意思？方程章有哪些突出的成果？
“ 方程”指线性方程组。 “方”指一种形状， “程”有衡量之
意。
方程章中的“遍乘直除”——西方称为高斯消去法是世界
数学史上的一颗明珠。用“遍乘直除”法消元时，会出现减
数大于被减数的情形，产生负数。对负数的认识是人类数
系扩充的重大步骤。
何时有了今日意义下的方程？
李善兰和伟烈亚力合译德摩根的《代数学》，用古代的
“方程”表达用于求未知数的等式，从此，方程一词不再具
有线性方程组的涵义了。
（一）背景

3
多项式方程的求解发展脉络
西方数学以寻求解的公式为目标，而中国则是致力于
数值解法的研究。
古代埃及人大约在公元前 2000 多年前已经会解一元
一次方程，他们用的方法是试位法（假位法）。
公元前 2000 年左右，巴比伦泥版中已有二次方程的
记载。
花拉子米的《代数学》 ( 大约成书于公元 820 年 ) 。
第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及几何证明。
15 世纪，意大利数学家得到了一元三次、四次方程的
求根公式。
19 世纪，阿贝尔证明了五次以上方程无公式解。法国
数学家伽罗瓦发明了“群”概念，使得方程能解或不能解
的问题得到彻底解决。

4
方程类型多样，包括代数方程，微分方程，积分方程，
差分方程等；
应用广泛，在物理学、化学、生物学、经济学、社会学、
人口学、心理学等等学科都有着广泛的应用；
方程对整个数学的进程影响深远。

5
中小学所学方程，偏重于方程的解法和列方程解应用题。
本课用高等数学为工具研究中学中的方程，解决：可不可
解、怎样解、解是什么这几类问题。这些都是中学数学老
师的必备知识，对中学数学中方程这一部分有指导作用。

6
（二）基本概念
定义 1. 含有未知数的等式叫做方程。
方程的一般表示：
( , , , ) ( , , , ) 1
( , , , ) ( , , , )
F x y z G x y z
F x y z G x y z

 
 
（）
这里和中至少含有一个未知数，且都是解析式。
方程的未知数简称方程的元， F 与 G 定义域的交集为方
程（ 1 ）的定义域，记为 M.
方程的基本问题就是在定义域 M 内，找到适合方程的未
知数的值。

7
定义 2. 若数组 (a, b, …,c) M
∈ 能使
F(a, b, …,c)=G(a, b, …,c)
成立，则 (a, b, …,c) 叫做方程（ 1 ）的解。
仅含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。方程
的解所组成的集合叫做方程的解集，记为 D 。
若 D 为 M 的真子集，且 D 不为空集，则方程称为条件
方程，此为我们主要研究对象；
若 D 为 M 的真子集，且 D 为空集，则方程称为矛盾方
程；
若 D=M ，且 D 不为空集，则方程称为恒等方程；

8
例
1.
4
4 0
x  
方程
无特别要求，解方程一般在实数域内进行。
在有理数域上，解集为空集；
{- 2, 2};
在实数域上，解集为
{- 2, 2,- 2 , 2 }
i i
在复数域上，解集为
定义 3. 方程的求解过程，叫做解方程。
注意：同一个方程在不同数域中，解集可能不同。

9
（三）方程求解
例 2. 解方程 2x+3=1
两边同加（ -3 ）得 2x=-2
两边同乘（ 1/2 ）得 x=-1.
我们说 x=-1 是原方程的解。
分析：上述步骤在逻辑上讲只是：
若 2x+3=1 成立，则有 x=-1,
但不能说明若 x=-1, 则有 2x+3=1 成立。
故需要解方程的第二个步骤：检验。
检验： 1 2 2 2 3 1
x x x
     
所以 x=-1 是原方程的解。

10
1. 解方程的过程通常分为二个步骤： 1 ）求解（可能
是方程解的是哪些）； 2 ）检验
2. 什么情况下“检验”这一步可以省略 ?
当推导的每一步都可逆时，即方程的每一种变换都
是同解变换时，那么“检验”这一步就可以省略。
3. 所有的解方程过程都可以省略检验这一步吗 ?
否。

11
例 3. 解方程 1 2
x x
 

2
1 2
( 1) 2
( 1) 2
2 0
( 2)( 1) 0
2 =-1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
 
 
 
  
  


解：
得到或
检验： 2
1 2 ( 2)( 1) 0 2 0 ( 1) 2
( 1) 2 1 2
x x x x x x x
x x x x
           
     

）
2
2 =-1 ( 2)( 1) 0 2 0 ( 1) 2
( 1) 2 1 2
x x x x x x x
x x x x
          
    

）
不能推出
所以 2 是原方程的根，而 -1 不是原方程的根。

12
4. 接下来的课程里面会详细讨论方程的哪些变换是
同解变换，从而这时可以省略“检验”这一步骤。

13
（四）方程的分类







代数运算：加、减、乘、除，开方，
指数为有理数的乘方
初等运算
初等超越运算：指数为无理数的乘方，
对数，三角，反三角

14


  

  

 

  

 


 
 
 


 






 
 
 


一次方程
整式方程二次方程
有理方程
高次方程
代数方程
分式方程
方程
无理方程
指数方程
对数方程
超越方程
三角方程
反三角方程
按方程中所含的解析式的特征分类：

15
第二节同解方程
一、方程的同解性

16
通过第一节方程的基本概念的学习，我们知道解方程的
过程通常分为二个步骤： 1 ）求解（可能是方程解的是哪些）；
2 ）检验。由例子看到“检验”这个步骤有时是不能省略的。
我们想知道什么时候“检验”这个步骤可以省略呢？
答案是当推导的每一步都可逆时，即方程的每一种变换
都是同解变换时，那么“检验”这一步就可以省略。
（一）问题提出
本节讨论方程的一些同解变换，从而这时可以省略“检验”
这一步骤。结论是通过四个同解定理来呈现的。我们主要
以一元方程进行讨论，所得结果可以推广到多元方程。

17
（二）基本概念
   
x
g
x
f 1
1 
   
2 2
2 f x g x

（）
定义 1 如果方程⑴
的任何一个解都是方程
的解，则方程（ 2 ）称为（ 1 ）的结果方程。
定义 2 如果方程（ 2 ）是方程（ 1 ）的结果方程，且方
程（ 1 ）是方程（ 2 ）的结果方程，那么方程⑴和⑵称为
同解方程。
注：方程同解不仅是解集相同，而且每个重根有相同的重数。
例如
2
1 0
1 0
x
x
 
 
方程
与方程( )
不是同解方程.

18
引
例 . 2 3 3 2 2
6 8 3
2 3 3 2 2
24*( ) 24*
6 8 3
4*(2 3) 3*(3 2) 16
8 12 9 6 16
18 16
2
1*( ) 1*( 2)
2
x x
x x
x x
x x
x
x
x
x
 
 
 
 
   
   
  
 
   

解方程
（三）同解定理

19
)
(
)
( 1
1 x
g
x
f 
1 1
( ) ( )
f x g x
与
复习：对于方程
解析式定义域的交集为方程（ 1 ）的定义域，记为 M 。

20
)
(
)
(
),
(
)
( 2
1
2
1 x
g
x
g
x
f
x
f 

1 1
1 ( ) ( )
f x g x

方程（）
2 2
2 ( ) ( )
f x g x

和方程（）
定理 1. （恒等变形定理）如果
的定义域都是数集 M
，那么方程⑴与方程⑵同解。

21
证明：
1 1
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
1 2
( ) ( ),
( ) ( ), ( ) ( )
( )= ( ), ( )= ( )
( ) ( )
2 1
f a g a a M
f x f x g x g x M
f a f a g a g a
f a g a
a
 
 

先证方程（）的解都是方程（）的解.
设a是方程（1）的解，则有
由已知在上成立
所以
从而，
即是方程（2）的解.
同理可证方程（）的解都是方程（）的解。

22
恒等变形时，定义域不变则同解，否则，未必同解。
1 2
x x
 

( 1) 2
x x
 
2
x 
解为 2 1
x  
后者解为或
{ | 1}
x x 
{ | 1 0}
x x x
 
或者
例 1. 方
程与方
程不同解，前
者
原因是两者定义域不同，前者定义域
为
后者定义域
为
结论 1. 由定理 1 知脱括号、合并同类项不会破坏同解
性。

23
)
(x
A )
(
)
( x
g
x
f 
)
(
)
( x
g
x
f 
)
(
)
(
)
(
)
( x
A
x
g
x
A
x
f 


)
(x
A
定理 2. （加法定理）如果解析式对于方程
的定义域 M中的数都有意义，那么方程⑴
与方程⑵
同解。特别地，如果是一个常数，那么方程
（ 1 ）与（ 2 ）同解。

24
例 2.
1 3
3 3
1+ 3
2 2
x
x
x x
 
  
 
方程
与方程
不同解。
结论 2. 由定理 2 知移项不会破坏同解性。
3
1 3
2
x
x
 

原因是不是在方程的定义域内总有意义。

25
)
(x
A )
(
)
( x
g
x
f 
1 ( ) ( )
f x g x

（） ( ) ( ) ( ) ( )
f x A x g x A x

)
(x
A
定理 3. （乘法定理）如果解析式对于方程
的定义域 M 中的数都有意义且恒不为零，那么方程
与方程⑵
同解。特别地，如果是一个非零常数，那么
方程（ 1 ）与（ 2 ）同解。

26
例
3.
2 3
( 2)( 2) 3( 2)
x
x x x
 
   
方程
与方程
不同解。前者解为1，后者解为1或2.
结论 3. 由前面 3 个定理知解一元一次方程常用步骤：脱
括号、合并同类项、移项、方程两边同乘以非零常数不会
破坏同解性。因此，用这些方法解一元一次方程，可以省
略检验这个步骤。
2 2 3
x x
  
原因是在方程的定义域内有零点。

27
引
例 .
3
2 3 3 2 2
6 8 3
2 3 3 2 2
24*( ) 24*
6 8 3
4*(2 3) 3*(3 2) 16
8 12 9 6 16
18 16
2
1*( ) 1*( 2)
2
x x
x x
x x
x x
x
x
x
x
 
 
 
 
   
   
  
 
   

   
  

   
  

   
  

   
  

   
  

   
  

   
  

定理
定理1
定理1
定理1
定理2
定理3
定理1
解方程

28
 
1 2 ( ) ( ) 0
k
f x f x f x 

0
)
(
,
,
0
)
(
,
0
)
( 2
1 

 x
f
x
f
x
f k

定理 4. （因式分解定理）如果方程（ 1
）
的定义域与 k
个方程
定义域的并集相同，则方程（ 1 ）的解集与这 k 个方程的
解集的并集相同。
结论 4. 定理 4 是用因式分解法解方程的理论依据。由前面 4 个定理
知用求根公式法解一元二次方程每步都有相应的同解定理保证，故可
以省略检验这个步骤。

29
以下分析一元二次方程解法的同解性
。
2 2
0 ( 0, 4 0)
ax bx c a b ac
     
例
4.
( 1)( 2)lg 0
1 0, 2 0, lg 0
R R.
x x x
x x x

  
    
方程
与方程
的解集的并集不相同。
前者定义域为，后者定义域的并集为

30
二、方程组的同解性

31
前面学习了方程的同解理论，知道解方程的过程通常分
为二个步骤： 1 ）求解（可能是方程解的是哪些）；
2 ）检验。当方程的每一种变换都是同解变换时，那么
“ 检验”这一步就可以省略。前面学习了四个方程同解定理。
那么，方程组又怎样呢？解方程组过程通常也分为二个步骤：
1 ）求解（可能是方程组解的是哪些）； 2 ）检验。
什么时候检验可以省略呢？

32
方程组的基本概念 . 第一节定义 7
1 2
1 1 2 1 1 2
2 1 2 2 1 2
1 2 1 2
1 2
, , , ( 2)
( , , , ) ( , , , )
( , , , ) ( , , , )
( , , , ) ( , , , )
, , ,
n
n n
n n
k n k n
n
x x x k k
f x x x g x x x
f x x x g x x x
f x x x g x x x
x x x k



 



 


 
 

 

含有未知数的个方程的集合：
叫做含有未知数的个方程的方程组。
方程组中这 k 个方程的定义域的交集叫做
方程组的定义域。
定义 8 1 2
1 2
, , ,
, , ,
n
n
x x x
x x x


如果有序数组( ) 是方程组中的每一个方程的解，
那么称有序数组( ) 是方程组的一个解。
类似地，有方程组的解集，以及解方程组的
概念。

33
实际问题 1. 中学中解方程组
3 2 13 (1)
3 2 5 (2)
x y
x y
 


 

18
3
3 (1)
9 2 13
2
3
2
3
.
2
x
x
x
y
x
y
x
y



 











解：由( 1) +( 2) 得6
所以
把代入方程得到
所以y
因此方程组的解为
经检验，确实是原方程组的解

34
实际问题 2. 中学中解方程组
2 2
5 11 (1)
2 1 (2)
x y
x y
  

 

2 2
2
1 2
1 2
3
1 2 4
1 2 3 4
2 2 1 (3)
3 1
5 (4 4 1) 11
4 12 0
2, 6
2, 6 1
6
2 2 6
; ; ;
3 3 13 13
x
x x x
x x
x x
x x
x
x x x
y y y y

   
  
 
 

  

  
   
   
  

解：由（）得y=
将（）代入（）得
化简得
解得
分别以代入（）得到
3
2
2 3
6
2
4
3 13
x
x
y y

 

 
 
 
经检验这组解其中有两组和是增根.

35
（二）同解定理
这里以二元方程组为例，所得结果可以推广到多元方程组。
定义 4 方程组（ 1 ）和方程组（ 2 ）同解指的是方程组
（ 1 ）的解都是方程组（ 2 ）的解，方程组（ 2 ）的解都
是方程组（ 1 ）的解。
定义 5 如果方程组（ 1 ）的每一个解都是方程组（ 2 ）的
解，那么方程组（ 2 ）是方程组（ 1 ）的结果（方程组）。
本节将研究方程组的同解理论，由此来指导中学数学方程
组这部分内容。

36
定理 5 （方程同解与方程组同解的关系）
1 1
1 1
2 2
2 2
, ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) , ) ( , )
(1)
( , ) ( , )
( , ) ( , )
.
x y x y F x y G x y
F x y G x y x y x y
F x y G x y
F x y G x y
 
 
 
 
 
 

 

如果方程（与方程
同解，则方程组
（
与方程组( 2)
同解

37
1 1
2 2
1 1
2 2
( , ) 1
( , ) ( , )
( , ) ( , )
, ) ( , ) ( , ) ( , )
, ) ( , ).
, ) ( , )
( , ) ( , )
( , )
a b
F a b G a b
F a b G a b
x y x y F x y G x y
a b a b
a b a b
F a b G a b
a b
 
 
 





 






证明：先证方程组（1）的解都是方程组（2）的解.
设是方程组（）的解，则
由方程（与方程同解
得到（故有
（
从而是方程组（2）的解.
同理可证方程组（2）的解都是方程组（1）的解.

38
定理 6
( , ) 0 ( , ( )) 0
(1) .
( ) ( )
F x y F x f x
y f x y f x
 
 
 
 
 
方程组与方程组( 2) 同解
注 1. 由定理 6 知代入消元法所得方程组与原方程组同解。

39
定理 7
1 1 2
2 1
( , ) 0 ( , ) ( , ) 0
(1)
( , ) 0 ( , ) 0
. ,
F x y mF x y nF x y
F x y F x y
m n
  
 
 
 
 
方程组与方程组( 2)
同解这里为非零常数.
注 2. 由定理 7 知加、减消元法所得方程组与原方程组同解。
1 1 2
2 2
( , ) 0 ( , ) ( , ) 0
(1)
( , ) 0 ( , ) 0
. ,
F x y mF x y nF x y
F x y F x y
m n
  
 
 
 
 
当然也有
方程组与方程组( 3)
同解这里为非零常数.

40
实际问题 1. 用方程组同解理论解方程组
3 2 13 (1)
3 2 5 (2)
x y
x y
 


 

3 2 13 (1)
3 2 5 (2)
3 2 13
6 18
3 2 13
3
3*3 2 13
3
2
3
x y
x y
x y
x
x y
x
y
x
y
x
 


 

 




 




 









   
  

   
  

   
  

   
  

定理7
定理5
定理6
定理5
解：

41
实际问题 1. 解方程组
3 2 13 (1)
3 2 5 (2)
x y
x y
 


 

3 2 13 (1)
3 2 5 (2)
3 2 13
6 18
3 2 13
3
3*3 2 13
3
2
3
x y
x y
x y
x
x y
x
y
x
y
x
 


 

 




 




 









   
  

   
  

   
  

   
  

定理7
定理5
定理6
定理5
解： 18
3
3 (1)
9 2 13
2
3
2
3
.
2
x
x
x
y
x
y
x
y



 











解：由( 1) +( 2) 得6
所以
把代入方程得到
所以y
因此方程组的解为
经检验，确实是原方程组的解

42
定理 8
注 3. 定理 8 是用因式分解法解高次方程的理论依据 .
1 2
1 2
1 2
1 2
( , ) 0
(1)
( , ) ( , ) 0
( , ) 0 ( , ) 0
(2) (3)
( , ) 0 ( , ) 0
( , ) 0 ( , ) 0
( , ) ( , ) 0 .
F x y
F x y F x y
F x y F x y
F x y F x y
F x y F x y
F x y F x y





 
 
 
 
 
 

方程组的解集等于下述两个方程组
和
的解集的并集，其中与定义域的并集
等于的定义域

43
实际问题 2. 用方程组同解理论解方程组
2 2
5 11 (1)
2 1 (2)
x y
x y
  

 

2 2
2 2
2 2
5 11 (1)
2 1 (2)
5 11
2 1
5 (2 1) 11
2 1
( 6)( 2) 0
2 1
6 0 2 0
2 1 2 1
=-6
13
x y
x y
x y
y x
x x
y x
x x
y x
x x
y x y x
x x
y
  

 

  

 

   

 

  


 

   
 
 
   
 




   
  

   
  

   
  

   
  

    
   

定理5
定理6
定理5
定理8
定理5、6
解：
或
或
=2
3
y





44
实际问题 2. 解方程组
2 2
5 11 (1)
2 1 (2)
x y
x y
  

 

2 2
2 2
2 2
5 11 (1)
2 1 (2)
5 11
2 1
5 (2 1) 11
2 1
( 6)( 2) 0
2 1
6 0 2 0
2 1 2 1
=-6
13
x y
x y
x y
y x
x x
y x
x x
y x
x x
y x y x
x x
y
  

 

  

 

   

 

  


 

   
 
 
   
 




   
  

   
  

   
  

   
  

    
   

定理5
定理6
定理5
定理8
定理5、6
解：
或
或
=2
3
y




2 2
2
1 2
1 2
3
1 2 4
1 2 3 4
2 2 1 (3)
3 1
5 (4 4 1) 11
4 12 0
2, 6
2, 6 1
6
2 2 6
; ; ;
3 3 13 13
x
x x x
x x
x x
x x
x
x x x
y y y y

   
  
 
 

  

  
   
   
  

解：由（）得y=
将（）代入（）得
化简得
解得
分别以代入（）得到
3
2
2 3
4
6
2
3 13
x
x
y y

 

 
 
 
经检验这组解其中有两组
和是增根.

45
三、有理分式方程的增根问题

46
   
x
g
x
f 1
1 
   
2 2
2 f x g x

（）
同解方程。
前面学习了方程的同解理论，回顾一下：

47
前面已经证明 :
1. 解一元一次方程常用步骤脱括号、合并同类项、移
项、方程两边同乘以非零常数所得方程与原方程同解；
2. 用求根公式法或者分解因式法解一元二次方程每步
所得方程都与原方程同解。
这两种情况，既不会增根，也不会失根。
下面我们探讨有理分式方程的解法，并分析它的增、失
根问题。

48
（二）有理分式方程的一般解法
定义 .
( )
0( ( ) ( ) ( )
( )
P x
P x Q x Q x
Q x

形如其中、为多项式且为非零多项式）
的方程，称为有理分式方程，简称分式方程。

49
例 1.
2
2
3 2
(1)
3 2 1
x
x x x


  
解方程
2
2
2
2
2
2
( 1)( 2)
3 2
( 1)( 2) ( 1)( 2) (2)
3 2 1
3=2( 2) (3)
3=2 4 (4)
2 +1=0 (5)
( 1) =0 (6)
1 ( (7)
1
x x
x
x x x x
x x x
x x
x x
x x
x
x
x
 

    
  
 
 




解：方程两端同乘以得到
约分得
去括号得
移项、合并同类项得
分解因式得
解得重根)
经检验知不是原方程的根，它是增根。
原方程无解。

50
分析：每步所得方程都是前面方程的结果方程，所以
此过程不会失根，但有可能会产生增根。下面分析增
根产生的原因。

51
例 1.
2
2
3 2
(1)
3 2 1
x
x x x


  
解方程
2
2
2
2
2
2
( 1)( 2)
3 2
( 1)( 2) ( 1)( 2) (2)
3 2 1
3=2( 2) (3)
3=2 4 (4)
2 +1=0 (5)
( 1) =0 (6)
1 ( (7)
1
x x
x
x x x x
x x x
x x
x x
x x
x
x
x
 

    
  
 
 




约分得
去括号得
分解因式得
解得重根)
原方程无解。
由方程同解理论
知 (3)---(7) 不
会产生增根。
x=1 是方程
（ 3 ）的解，
不是方程
（ 2 ）的解，
所以从
（ 2 ） ---
（ 3 ）产生增
根。

52
具体分析如下：
2
2
2
2
2
2
3 2( 2)
1) ( 1)( 2) 0
3
3=( 1)( 2) ,
3 2
2
2( 2) ( 1)( 2) ,
1
3 2
( 1)( 2) =( 1)( 2)
3 2 1
2
2 ( 1)( 2)=0 2
b
b
b b
b b
b b
b b b
b
b b b b
b b b
b
b b
b
  
  

  
 
   


   
  
 
设是方程（3）的解，则
b
当时，
b
b
b
所以
即是（）的解，不是增根。
）当时，方程（）无意义，
此时必是增根。

53
例 1.
2
2
3 2
(1)
3 2 1
x
x x x


  
解方程
2
2
2
2
2
2
( 1)( 2)
3 2
( 1)( 2) ( 1)( 2) (2)
3 2 1
3=2( 2) (3)
3=2 4 (4)
2 +1=0 (5)
( 1) =0 (6)
1 ( (7)
1
x x
x
x x x x
x x x
x x
x x
x x
x
x
x
 

    
  
 
 




约分得
去括号得
分解因式得
解得重根)
原方程无解。
结论 1. 增根在约分时
产生，增根出在使公分
母为零的那些值上。
产生原因：恒等变形，
改变了定义域
x=1 是方程
（ 3 ）的解，
不是方程
（ 2 ）的解，
所以从
（ 2 ） ---
（ 3 ）产生增
根。

54
（三）化为最简分式方程求解，
( )
0
( )
P x
Q x

即化为的形式.
例 2.
2
2
3 2
(1)
3 2 1
x
x x x


  
解方程
2
2
2
3 2
0 (2)
3 2 1
( 1)
0 (3)
( 1)( 2)
1
0 (4)
2
1=0 (5)
1. (6)
1
x
x x x
x
x x
x
x
x
x
x

 
  


 






解：移项得
合并得
约分得
令分子为零得
解得
原方程无解。

55
x=1 是方程（ 4 ）的解，不是方程（ 3 ）的解，所以
从（ 3 ） --- （ 4 ）产生增根。
结论 2. 增根在约分时产生，增根出在使分子与分母
的公因式为零的那些值中。产生原因：恒等变形，改
变了定义域。

56
（四）用合分比求解
定理 1.
, , , ,
a c a b c d
a b c d
b d a b c d
 
  
 
其中是使得以上各式有意义的数。

57
例 3.
2 2
2 2
+3 2 2 +3 1
= (1)
3 2 2 3 1
x x x x
x x x x
 
   
解方程
2 2
2 2
1
2 4 4 2
(2)
6 6
2
2 4 (4 2) 0 (3)
1 (4)
1 1 1
x x
x x
x x
x
 

   


解：将（）式合分比，得
由（）得
解得或- 1.
经检验知是增根，是方程（）的根。
0
x 
但显然是方程（1）的根。
所以原方程的解是0和- 1.
x=1 是方程（ 2 ）的根，
但不是方程（ 1 ）的根，所
以从（ 1 ） --- （ 2 ）产
生增根。
x=0 是方程（ 1 ）的根，但
不是方程（ 2 ）的根，所以
从（ 1 ） --- （ 2 ）产生失
根
结论 3. 用合分比解方程可
能增根也可能失根，增根产
生在使原方程的分母为零的
值中，失根出在使合分比后
方程分母为零的值中。
另外，由方程（ 2 ）到方程（ 3 ）也可能会产生
增根，当然在这个方程里没有产生。

58
四、无理方程的增根问题

59
   
x
g
x
f 1
1 
   
2 2
2 f x g x

（）
同解方程。
前面学习了方程的同解理论，回顾一下：

60
前面已经证明 :
1. 解一元一次方程常用步骤脱括号、合并同类项、移
项、方程两边同乘以非零常数所得方程与原方程同解；
2. 用求根公式法或者分解因式法解一元二次方程每步
所得方程都与原方程同解。
这两种情况，既不会增根，也不会失根。
下面我们探讨无理方程的解法，并分析它的增、失根问
题。

61
定义 . 含有对未知数实施开方运算的方程称为无理方程。
解无理方程的基本思想是将它转化为有理方程。在转化
过程中可能增根，也可能失根，下面分析增、失根产生
的原因。

62
（二）所乘式子得零引起增根
例 1. 1 7 (1)
x x
  
解方程
2 2
2
2
( 1) (7 ) (2)
1 14 49 (3)
15 50=0 (4)
( 5)( 10)=0 (5)
5 10 (6)
x x
x x x
x x
x x
x
  
   
 
 

解：两端平方得
两边恒等变形得
移项，合并同类项得
分解因式得
解得或
5 1
10
x
x


经检验知是方程（）的根，而
是增根。

63

64
例 1. 1 7 (1)
x x
  
解方程
2 2
2
2
( 1) (7 ) (2)
1 14 49 (3)
15 50=0 (4)
( 5)( 10)=0 (5)
5 10 (6)
x x
x x x
x x
x x
x
  
   
 
 

解：两端平方得
分解因式得
解得或
5 1
10
x
x


是增根。
由方程同解理论
知 (3)---(6) 不
会产生增根。
x=10 是方程（ 3 ）
的解，也是方程
（ 2 ）的解，不是
方程（ 1 ）的解，
所以从（ 1 ） ---
（ 2 ）产生增根。

65
具体分析如下：
2 2
1 1 (7 )=0 ( )
[ 1 (7 )][ 1 (7 )] [ 1 (7 )] 0 ( )
( 1) (7 ) 0 ( )
x x a
x x x x x x b
x x c
  
          
   
方程（）即
有理化得
x=10 是方程 (c) 的解也是方程（ b ）的解，不是方程（ a ）的解，
所以从（ a ） --- （ b ）产生增根 ,
原因就在于 x=10 使得所乘式子
[ 1 (7 )]
x x
   得零。

66
例 1. 1 7 (1)
x x
  
解方程
2 2
2
2
( 1) (7 ) (2)
1 14 49 (3)
15 50=0 (4)
( 5)( 10)=0 (5)
5 10 (6)
x x
x x x
x x
x x
x
  
   
 
 

移项得
分解因式得
解得或
5 1
10
x
x


是增根。
结论 1. 有理化过程中，
所乘式子得零引起增根。
2 2
1 1 (7 )=0 ( )
[ 1 (7 )][ 1 (7 )] [ 1 (7 )] 0 ( )
( 1) (7 ) 0 ( )
x x a
x x x x x x b
x x c
  
          
   
解：方程（）即
有理化得
从（ a ） ---
（ b ）产生
增根

67
例 2.
2
1 5 (1)
x x
  
解方程
2
2 2
2 2 2
2
2
1 5=0 (2)
[ 1+ 5][ 1 5] 0 (3)
( 1) ( 5) 0 (4)
1 ( 5) 0 (5)
6=0 (6)
( 3)( 2)=0 (7)
3 (8)
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x
  
     
   
   
 
 

解：移项得
有理化得
合并同类项得
分解因式得
解得或- 2
3 2 1
x  
经检验知，都是方程（）的根。
2
3 2
[ 1+ 5]
x
x x
 
 
和时，所乘式子
都不是零，
所以不产生增根。
此过程不会失根，
但有可能会产生
增根。

68
（三）定义域变化引起增、失根
例 3.
2
1 5 (2)
x x
  
解：方程两边恒等变形得
1 +1 5 (1)
x x x
   
解方程
2
2 2
2 2 2
2
2
1 5=0 (3)
[ 1+ 5][ 1 5] 0 (4)
( 1) ( 5) 0 (5)
1 ( 5) 0 (6)
6=0 (7)
( 3)( 2)=0 (8)
3 (9)
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x
  
     
   
   
 
 

移项得
有理化得
合并同类项得
分解因式得
解得或- 2
3 1
-2
x
x


是增根。
此过程不会失根，
但有可能会产生
增根。上述步骤
（ 2 ） ---
（ 9 ）不产生增
根。
x=-2 是方程
所以从（ 1 ） ---

69
例 3.
2
1 5 (2)
x x
  
1 +1 5 (1)
x x x
   
解方程
2
2 2
2 2 2
2
2
1 5=0 (3)
[ 1+ 5][ 1 5] 0 (4)
( 1) ( 5) 0 (5)
1 ( 5) 0 (6)
6=0 (7)
( 3)( 2)=0 (8)
3 (9)
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x
  
     
   
   
 
 

移项得
有理化得
合并同类项得
分解因式得
解得或- 2
3 1
-2
x
x


是增根。
x=-2 是方程
所以从（ 1 ） ---
1 [1, ),
2 [1, ) [ 5, 1].

  

方程（）的定义域为
增根出现在定义域扩大的那一部分。

70
例 3.
2
1 5 (2)
x x
  
1 +1 5 (1)
x x x
   
解方程
2
2 2
2 2 2
2
2
1 5=0 (3)
[ 1+ 5][ 1 5] 0 (4)
( 1) ( 5) 0 (5)
1 ( 5) 0 (6)
6=0 (7)
( 3)( 2)=0 (8)
3 (9)
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x
  
     
   
   
 
 

移项得
有理化得
合并同类项得
分解因式得
解得或- 2
3 1
-2
x
x


是增根。
x=-2 是方程
所以从（ 1 ） ---
1 [1, ),
2 [1, ) [ 5, 1].

  

增根出现在定义域扩大的那一部分。
结论 2. 恒等变形时定义
域扩大引起增根，增根出
在定义域扩大的部分。

71
结论 3. 恒等变形时定义域缩小可能引起失根，失根
出在定义域缩小的部分。

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