Теория нечётких множеств

ТТееоорриияя ннееччёёттккиихх ммнноожжеессттвв
ДДььяяккоонноовв АА..ГГ..
ММооссккооввссккиийй ггооссууддааррссттввеенннныыйй ууннииввееррссииттеетт
ииммееннии ММ..ВВ.. ЛЛооммооннооссоовваа ((ММоосскквваа,, РРооссссиияя))

Теория нечётких множеств 2 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)
Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года
Обычное множество
ХХааррааккттееррииссттииччеессккааяя ффууннккцциияя ооббыыччннооггоо ччёёттккооггоо ммнноожжеессттвваа






.,0
,,1
)(
Ax
Ax
xhA
ГГддее ооппррееддееллееннаа??
((ууннииввееррссааллььннооее ммнноожжеессттввоо))
АА еессллии ббууддеетт ппррииннииммааттьь ззннааччеенниияя иизз ]1,0[ ??

Зачем нужны нечёткие множества?
ИИссттоорриияя ссоо ссввииддееттеелляяммии......
ППоонняяттииее ««ппоожжииллоойй»»
ВВыыххоодд –– ннееччёёттккооее ммнноожжеессттввоо

Можно пересекать «разные» понятия
ККаакк??
ППооччееммуу ээттоо ннее ввеерроояяттннооссттьь??

Нечёткий поиск
NNiissssaann XX--TTrraaiill IIII 22..55 CCVVTT 116699 лл..сс.. 665500 000000 РР 115555 000000 ккмм
NNiissssaann MMuurraannoo IIII ((ZZ5511)) 33..55 CCVVTT 224499 лл..сс.. 11 115500 000000 РР 2288 000000 ккмм
NNiissssaann QQaasshhqqaaii II 22..00 CCVVTT 114411 лл..сс.. 778800 000000 РР 8844 000000 ккмм
Запрос ««NNiissssaann MMiiccrraa IIIIII 11..44 AATT ((8888 лл..сс..)) ббееннззиинн,, ппеерреедднниийй,, 8800 000000 РР,,
22001100,, 3399 000000 ккмм,, ББееллыыйй ХХээттччббеекк 55 ддвв.. ММоосскквваа»»
Результат: ннеетт
ННоо вв ббааззее еессттьь
NNiissssaann MMiiccrraa IIIIII 11..44 AATT 8888 лл..сс.. 8855 000000 РР 3355 000000 ккмм
NNiissssaann MMiiccrraa IIIIII 11..44 AATT 8888 лл..сс.. 8800 000000 РР 4400 000000 ккмм

Определение
Пусть задано множество U (базовое множество)
и функция ]1,0[: UA (степень принадлежности),
тогда нечётким (размытым) подмножеством A называется график
}|))(,{( Uuuu A 
Множество (L-R)-типа
Нечётких подмножеств множества больше, чем чётких!

Трапецеидальное нечёткое множество
Треугольное нечёткое множество

Основные понятия

Операции
равенство
BABA  
включение
BABA  
дополнение
BABA   1
пересечение ],min[ BABA  
объединение ],max[ BABA  
алгебраическое произведение
BABA  
алгебраическая сумма
BABABA  
пустое и универсальное
множества
0 , 1U

При замене функции принадлежности на характеристическую –
аналогичные операции в теории множеств
Пересечение
Объединение

Алгебра – множество с введёнными на нём операциями
 ,,);(U
ABBA 
ABBA 
)()( CBACBA 
)()( CBACBA 
AAA 
AAA 
AA  )(
Как называются свойства операций?

 ,,);(U
ABBA  коммутативность
ABBA  коммутативность
)()( CBACBA  ассоциативность
)()( CBACBA  ассоциативность
AAA  идемпотентность
AAA  идемпотентность
AA  )( инволюция

Задача 1
Какие из равенств всегда выполняются?
)()()( CABACBA 
BABA  )(
A
AA 
AUA 
UUA 
UAA  )(
 )( AA
Решения задач – в конце слайдов
Но практически всё выполнено!

Для  ,,);(U всё почти аналогично!
Проверить!
Нет только дистрибутивности и идемпотентности
)()()( CABACBA 
Таким образом, пересечения и объединения можно вводить по-
разному... но способов ещё больше!

Пересечение можно вводить по разному!
Т-нормы
],min[ BABA   (1)
BABA   (2)
]1,0max[  BABA  (3)
]))1()1((,1min[1 /1 pp
B
p
ABA  
(4)
]]1[],1[max[  BAABBA II  (5)

Аксиоматическое определение Т-нормы
(треугольной нормы)
]1,0[]1,0[]1,0[: 
0)0,0( 
AAA   ),1()1,(
),(),( ABBA  
)),,(()),(,( CBACBA  
),(),(),(),( DCBADCBA  
В чётком случае– обычное пересечение
Как ввести объединения?

Как ввести объединения
Можно по правилам де Моргана
],max[]1,1min[1],min[ BABABA  
BABABABA   )1()1(1

Объединение тоже можно вводить по разному!
Т-конормы
],max[ BABA   (1)
BABABA   (2)
],1min[ BABA   (3)
]))()((,1min[ /1 pp
B
p
ABA  
(4)








.0,0,1
,0,
,0,
BA
AB
BA
BA




(5)
Аналогично – есть аксиоматический подход...
Поэтому это не теория вероятностей – больше алгебры и эвристик

Задача 2
Кстати,
1],))()((,1min[ /1
 ppp
B
p
ABA 
Чему равен
]))()[((lim /1 pp
B
p
A
p
 

?
Докажите.

Задача (решение сразу)
Как определить выпуклое нечёткое множество?
Как определить декартово произведение нечётких множеств?

Задача (решение сразу)
Как определить выпуклое нечёткое множество?
)](),(min[))1((]1,0[, yxyxRyx AAA  
тогда и только тогда, когда все уровни выпуклые!
Как определить декартово произведение нечётких множеств?
)](),(min[),( yxyx BABA  

Декомпозиция нечётких множеств
 -уровень множества A –
})(|{   uUuA A
Декомпозиция: 
10
),(



 AA
Пример декомпозиции:
)}5.0,4(),1.0,3(),4.0,2(),1.0,1{(
 
max
}4{5.0},4,2{4.0},4,3,2,1{1.0 

Расстояния между нечёткими множествами, nU ||
Расстояние Хэмминга –


Uu
BA uu |)()(| 
Расстояние Евклида –


Uu
BA uu 2
|)()(| 
Что для бесконечных множеств?

Оценка нечёткости
Есть энтропийный подход...


Uu
AA
C
u
C
u
U
)(
ln
)(
||ln
1 
, 

Uu
A uC )(
В чём недостаток?

Оценка нечёткости
Есть энтропийный подход...


Uu
AA
C
u
C
u
U
)(
ln
)(
||ln
1 
, 

Uu
A uC )(
В чём недостаток?
минимальна у одноэлементных множеств
(неважно, чётких или нечётких)
Почему «более нечёткое»?

Метрический подход
1. Расстояние до «ближайшего» чёткого множества
))(round()( uu AA
 
за меру нечёткости можно взять
)),(( AAf


2. Расстояние до самого нечёткого множества 5.0I

Аксиоматический подход
0)( A для чёткого множества A,
1)( 5.0 I для самого нечёткого множества,
)()( AA   ,
)()( BA   при )5.0)()(()5.0)()((  uuuu BABA 
(заострение множества)
)()()()( BABABA   (иногда)

Задача 3
),(21)( 5.0хэм IAA  
удовлетворяет аксиомам

Нечёткое бинарное отношение –
нечёткое множество на 21 UU 
t-я проекция бинарного отношения R –
),(max)( 21
)(
3
uuu R
u
t
t
R
t



Носитель отношения R –
}0),(|),{()( 212121  uuUUuuRS R
Дополнение, пересечение, объединение, алгебраическое
произведение отношений, алгебраическая сумма отношений...
ясно как
Отношение L содержит R, если
),(),(),( 21212121 uuuuUUuu LR  

Декомпозиция отношений






















000
0105.0,
100
0104.0,
110
0111.0max
4.01.00
05.01.0
max-min-композиция отношений
YXR ~
ZYL ~
ZXLR ~
)]],(),,([min[max),( zyyxzx LR
y
LR  
для композиции надо выполнить своеобразное умножение матриц
















2.02.0
3.02.0
3.00
02.0
5.01
2.011.0
5.02.00 
в композиции
можно использовать max-произведение
и max-среднее арифметическое

Задача 4
Какие равенств всегда выполняются?
)()( MLRMLR  
)()()( MRLRMLR  
)()()( MRLRMLR  
)()( MRLRML  

Отношение R в UU 
рефлексивное, если 1),(  uuUu R
симметричное, если ),(),(),( 122121 uuuuUUuu RR  
транзитивное, если )],(),,([max),(),,( 3
zyyxzxUzyx RR
y
R  
можно «красивее»: RRR 
Подобие = рефлексивное + симметричное + транзитивное
~ декомпозируется на чёткие эквивалентности
Как это использовать в машинном обучении?
Примеры...

Если RRRk
 , то
транзитивное замыкание R –  32
RRR
оно транзитивное Почему? (задача 5)
Композиция транзитивных отношений не всегда транзитивна
На экзамене – пример.

Нечёткий предпорядок – нечёткое бинарное транзитивное и
рефлексивное отношение.
Для предпорядка  32
RRR Доказать (задача 5)
Отношение R антисимметричное, если





0),(),(
),(),(
}|),{(),( 2
xyyx
xyyx
UuuuUyx
RR
RR


Порядок – антисимметричный предпорядок

Образ нечёткого множества при отображении
YXf :
)(sup)(
)(1
xy A
yfx
B 



Принцип обобщения (внимание!)
– основан на этой формуле
Пусть, например, нечёткие множества – нечёткие числа, тогда
)](),(min[sup)( yxy BA
yxz
BA 

 
аналогично другие операции над нечёткими числами
~ уравнения с нечёткими числами

Немного о нечётком выводе и т.п.
Модификатор «очень» – возведение в квадрат
2
)]([)()( uuu RRR   
(здесь всё эвристично)
Пример эвристического вывода
«Если товар дорогой, то надёжный»
«Товар очень дорогой»  «Товар очень надёжный»

Немного о нечётком выводе и т.п.
Обобщение импликации
)]()(1,1min[),( vuvu BABA  

Проблемы формализации
Если появляется дополнительное понятие,
то модифицируются уже имеющиеся!

Проблемы формализации
Трудно перевести понятие в модель
Ещё сложнее: «совсем молодой»

Есть понятие ПОСП
(полное ортогональное семантического пространство)
~ набор функций }{ j
1. Нормальность }1)(|{1
 uUuU jj  – отрезок
2. j неубывает слева от
1
jU и невозрастает справа
3. Не более двух точек разрыва первого рода
4. Полнота UujUu j  }0)(:|{ 
5. Ортогональность 1)(  
j
j uUu 

Степень нечёткости ПОСП
часто используют
 
U
kt duuuf
U
))()((
||
1

Uu )()()( uuu ikt   при },{ kti
1)0( f , 0)1( f , f убывает.
А каким свойствам должна удовлетворять
«степень нечёткости ПОСП»? Зачем она нужна?

Зачем нужна степень нечёткости ПОСП
Это трудность описания ситуаций в заданных терминах...
Совсем легко описать Тяжело описать

Нечёткие задачи...
Какое из множеств более нечёткое:
)}9.0,3(),6.0,2(),3.0,1{( , )}75.0,2(),25.0,1{( ?
Дано нечёткое число «один»:








],2,0[,0
],2,1[,2
],1,0[,
)(
u
uu
uu
uодин
чему равно число «два»= «один»+ «один»?
Чему равно число «два»= 2*«один»?
В каком случае «ноль»+ «один» = «один»?

Решение задачи 1
Какие из равенств всегда выполняются?
 ,,);(U  ,,);(U
)()()( CABACBA  Неверно!
BABA  )(
A
AA 
AUA 
UUA 
UAA  )( Неверно! Неверно!
 )( AA Неверно! Неверно!
Как решать: непосредственная проверка
)],min(),,max[min()],max(,min[ cabacba 

Часто проще проверить используя правила де Моргана
 ,,);(U
)()()( CABACBA 
)()()( CABACBA 
)1)(1()(1 acabbccba 
bcaacababcacab 2
11 
bcaabc 2

Дистрибутивность справедлива лишь при









0
0
0
1
c
b
a
a

Чему равен
]))()[((lim /1 pp
B
p
A
p
 

?
],max[]))()[((lim /1
BA
pp
B
p
A
p
 

Пусть BA   , A
pp
A
B
p
A
pp
B
p
A
p



 
















/1
/1
1lim]))()[((lim .
  0
)1ln(
1lnlim
/1



 p
x
x
p
pp
p
, 10  x

),(21)( 5.0хэм IAA   удовлетворяет аксиомам
Например, )()()()( BABABA  
Проверяем |5.0||5.0||),min(5.0||),max(5.0| bababa 

Какие равенств всегда выполняются?
)()( MLRMLR   Непросто
)()()( MRLRMLR  
)()()( MRLRMLR   Неверно!
)()( MRLRML  
Как рассмотреть (2) и (3):
 ,)),(min(max)),,(min(maxmax))),max(,(min(max tt
t
tt
t
ttt
t
mrlrmlr 

Транзитивное замыкание  32
RRRL транзитивно.
LRRRRRRL   32222
)()(
Для предпорядка  32
RRR
)]],(),,([min[max),(2 zyyxzx RR
yR
 
),()],(,),(min[)]],(),,([min[),(
1
2 zxzxxxzyyxzx RRRxyRRR
 

 
С другой стороны, по транзитивности ),(),(2
2
zxzxRR RR
 
поэтому ),(),(2 zxzx RR
  и RR 2
«Домножая на R» получаем и другие равенства.

Литература
Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и измерения
нечеткости. Москва, Диалог-МГУ, 1998, 116 с.
http://www.intsys.msu.ru/staff/ryzhov/FuzzySetsTheory&Applications.pdf
Основные понятия теории нечетких множеств, нейронных сетей и
генетических алгоритмов // Вспомогательные материалы к курсу
проф. Рыжова А.П.
http://www.mba-topman.ru/files/Osnovnye_ponyatiya1064.pdf
Ухоботов В. И.Избранные главы теории нечетких множеств // Учеб.
пособие. Челябинск : Изд-во Челяб. гос. ун-та, 2011. – 245 с.
http://www.lib.csu.ru/texts/UhobotovVI.pdf

Теория нечётких множеств

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Теория нечётких множеств

Теория нечётких множеств