2. 2Глава 1. Множества и отношения.
1.3. Решетки
Решетка – это множество M с определенными на нем
двумя бинарными операциями ∩ и ∪, такими что:
1. a ∩ a = a, a ∪ a = a
2. a ∩ b = b ∩ a, a ∪ b = b ∪ a
идемпотентность
коммутативность
3. (a ∩ b) ∩ c = a ∩ (b ∩ c), (a ∪ b) ∪ c = a ∪ (b ∪ c) ассоциативность
4. (a ∩ b) ∪ a = a, (a ∪ b) ∩ a = a поглощение
Решетка дистрибутивна, если:
5. a ∩ (b ∪ с) = (a ∩ b) ∪ (b ∩ c),a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪ c) дистрибутивность
Решетка ограничена, если в ней существуют элементы 0 и 1 такие, что:
6. 0 ∩ a = 0, 1 ∪ a = 1 ограниченность
Ограниченная решетка называется решеткой с дополнением,
если в ней для любого элемента a найдется элемент a' такой, что:
7. a ∩ a' = 0, a ∪ a' = 1
3. 3Глава 1. Множества и отношения.
Свойства дополнения в дистрибутивной ограниченной решетке
единственность: для данного элемента a существует единственный элемент a';
инволютивность: (a')' = a
дополнительность: 1' = 0, 0' = 1
законы де Моргана: (a ∪ b)' = a' ∩ b', (a ∩ b)' = a' ∪ b'
Если решетка дистрибутивна, то выполняются следующие свойства дополнения:
Свойства нуля и единицы:
0 ∪ a = a, 1 ∩ a = a
Действительно, 0 ∪ a = (0 ∩ a) ∪ a = (a ∩ 0) ∪ a = a,
1 ∩ a = (1 ∪ a) ∩ a = (a ∪ 1) ∩ a = a
Единственность: пусть a' и a'' – два различных дополнения к a.
Тогда a' = a' ∪ 0 = a' ∪ (a ∩ a'') = (a' ∪ a) ∩ (a' ∩ a'') = 1 ∩ (a' ∩ a'') = (a' ∩ a'')
Аналогично a'' = a'' ∪ 0 = a'' ∪ (a ∩ a') = (a'' ∪ a) ∩ (a'' ∩ a') = 1 ∩ (a'' ∩ a') = (a' ∩ a'')
Инволютивность:
очевидна, поскольку a' ∩ a = 0, a' ∪ a = 1
Дополнительность:
1' = 1' ∩ 1 = 0; 0' = 0' ∪ 0 = 1
Законы де Моргана:
Проверяем, что (a ∪ b) ∪ (a' ∩ b') = 1, (a ∪ b) ∩ (a' ∩ b') = 0,
(a ∩ b) ∪ (a' ∪ b') = 1, (a ∩ b) ∩ (a' ∪ b') = 0
Например, (a ∪ b) ∪ (a' ∩ b') = (a ∪ b ∪ a') ∩ (a ∪ b ∪ b') = 1 ∩ 1 = 1
4. 4Глава 1. Множества и отношения.
Частичный порядок в решетке
Введем отношение порядка ≤ на элементах решетки
a ≤ b, если a ∩ b = a
Это действительно отношение частичного порядка, так как:
Это отношение рефлексивно: a ≤ a, так как a ∩ a = a
Это отношение антисимметрично: если a ≤ b и b ≤ a, то a = a ∩ b = b ∩ a = b
Это отношение транзитивно: если a ≤ b и b ≤ с, то a ∩ с = (a ∩ b) ∩ с = a ∩ (b ∩ с) = a ∩ b = a
Пусть задано множество с нестрогим порядком ≤, в котором для любых элементов a и b
существуют их нижняя и верхняя грани inf(a, b) и sup(a, b)
Тогда множество этих элементов образуют решетку относительно операций ∩ = inf, ∪ = sup
Очевидно, что для любых двух элементов такой решетки существуют верхняя и нижняя грани
относительно только что введенного отношения порядка ≤ : inf(a,b) = a ∩ b, sup(a,b) = a ∪ b
Доказательство (для нижней грани):
1. (a ∩ b) ≤ b, поскольку (a ∩ b ∩ b) = (a ∩ b) и (a ∩ b) ≤ a, поскольку (a ∩ b ∩ a) = (a ∩ b)
2. Пусть существует c такое, что (a ∩ b) ≤ c, c ≤ a, c ≤ b. Тогда c = c ∩ a = (c ∩ b) ∩ a = a ∩ b
Наоборот:
Таким образом, имеем два равносильных определения решетки: определение через свойства
заданных операций ∩ и ∪, и определение решетки как частично упорядоченного множества,
в котором для каждых двух элементов определены их верхняя и нижняя грань.
5. 5Глава 1. Множества и отношения.
Булева алгебра
Ограниченная дистрибутивная решетка с дополнением называется
булевой алгеброй.
Минимальная булева алгебра содержит всего два элемента 0 и 1.
Операции решетки в этой алгебре принято обозначать символами ∨ и ∧,
а операцию дополнения – символом ¬.
Для булевой алгебры справедлива следующая таблица операций:
a b a∨b a∧b ¬a
0 0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0 0
1 1 1 1
Булеан некоторого множества U – это булева алгебра относительно операций ∪ и ∩.
Еще пример. Пусть Ap – множество всех простых чисел, не превосходящих p.
Рассмотрим всевозможные произведения чисел из Ap, в которые сомножители входят
не более, чем по одному разу.
Множество всех таких чисел образует решетку относительно операций НОД и НОК.
Число 1 является нулем решетки, произведение всех чисел из Ap – ее единицей.
Очевидно, что это тоже булева алгебра.
6. 5Глава 1. Множества и отношения.
Булева алгебра
Ограниченная дистрибутивная решетка с дополнением называется
булевой алгеброй.
Минимальная булева алгебра содержит всего два элемента 0 и 1.
Операции решетки в этой алгебре принято обозначать символами ∨ и ∧,
а операцию дополнения – символом ¬.
Для булевой алгебры справедлива следующая таблица операций:
a b a∨b a∧b ¬a
0 0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0 0
1 1 1 1
Булеан некоторого множества U – это булева алгебра относительно операций ∪ и ∩.
Еще пример. Пусть Ap – множество всех простых чисел, не превосходящих p.
Рассмотрим всевозможные произведения чисел из Ap, в которые сомножители входят
не более, чем по одному разу.
Множество всех таких чисел образует решетку относительно операций НОД и НОК.
Число 1 является нулем решетки, произведение всех чисел из Ap – ее единицей.
Очевидно, что это тоже булева алгебра.
