Download to read offline
![7
Цель расчетов – понимание, а не числа.
Р.В. Хемминг [8]
Тема 0: ВВЕДЕНИЕ В КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
0.10
. Исходные положения теории множеств
Современная математика строится и изучается на основе тео-
рии множеств. Множество относится к первичным (исходным)
математическим понятиям, которые формально не определяются.
Под множеством подразумевают любую совокупность некоторых
математических объектов, объединенных по определенному при-
знаку.
Пр и м е р ы: множество четных чисел, меньших 100; множе-
ство сторон многоугольника; множество точек на отрезке прямой
и т.п.
В прикладных задачах синонимами понятия «множество» яв-
ляются «совокупность», «собрание», «группа», «семейство» и т.д.
Объекты, из которых состоит множество, называют элемен-
тами и подмножествами. Элемент множества рассматривается
как единое целое, неразложимое на более простые части. Под-
множество – часть множества, включающая в себя некоторые
(или все) элементы множества (подмножество может не включать
в себя ни одного элемента множества, в этом случае оно называ-
ется пустым множеством и обозначается ∅).
Пр и м е р. Множество натуральных чисел N: 1, 2, 3, ... . Его
подмножествами являются, например, множество четных чисел;
множество чисел, не превосходящих 1000; множество, состоящее
из одного числа }{1 , и т.п.
Множества и подмножества обычно обозначаются заглавны-
ми (обычно латинскими) буквами (иногда с индексами)
, , ,..., , ,A B C X Y Z или 1 2 3, , , ...,A A A а их элементы — малыми
буквами , , ,...a b c или 1 2 3, , ,...a a a .
Для обозначения отношений между множествами и элемен-
тами используют следующие условные знаки:
B A⊆ множество B является подмножеством множества A (в
частности, эти множества могут совпадать);
B A⊂ множество B является подмножеством множества A и
при этом B не совпадает с A;](https://image.slidesharecdn.com/ovi4tagwqsagbe0to8xy-signature-2dfd883d34a9150c84f328602acf26f21197bd60f9f2637420b7ac825ad7b362-poli-160712065932/85/585-5-320.jpg)
![11
г) множество чисел отрезков [ ]0;1 и [ ]2; 10 ;
д) множество действительных чисел и интервал ;
2 2
π π
−
.
0.1.3. Даны множества }{1; 2; 3; 4A = и }{3; 4; 5B = .
а) Перечислить все элементы множеств , , ,A B A B A B∪ ∩
B A;
б) Перечислить все элементы множеств , ,A B B A A A× × × .
0.1.4. Даны множества }{ ;A a b= и }{ ; ; &B = × ∗ .
а) Перечислить все элементы множеств , ,A B B A A A× × × ;
б) Перечислить все элементы множеств A A A× × , A B A× × .
0.1.5. Сколько различных подмножеств содержит множество
а) состоящее из четырех элементов;
б) состоящее из пяти элементов;
в) состоящее из шести элементов.
Догадайтесь, сколько различных подмножеств содержит
множество, состоящее из n элементов.
0.1.6. Для множеств A и B найти , , , A B A B A B B A∪ ∩
а) [ ] [ ]1; 3 , 2; 5A B= = ; б) ( ) ( )1; 3 , 2; 5A B= = ;
в) [ ) ( ]1; 3 , 2; 5A B= = ; г) [ ] ( )1; 3 , 2; 5A B= = .
0.1.7. Для множеств A и B найти , , , A B A B A B B A∪ ∩ ,
если [ ] }{1; 3 , 1; 2; 3A B= = .
0.1.8. С помощью кругов Эйлера доказать тождества
а) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ ;
б) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ ;
в) ( ) ( ) ( ) A B C A B A C∪ = ∩ .
0.20
. Числовые множества
действительной переменной
Натуральными числами называются числа 1, 2, 3, 4, и т.д.
Множество натуральных чисел обозначается N и является исход-
ным числовым множеством.
О п р е д е ле н и е: Множеством целых чисел называется мно-
жество }{ }{| , 0Z k k n n N= = ± ∈ ∪ .](https://image.slidesharecdn.com/ovi4tagwqsagbe0to8xy-signature-2dfd883d34a9150c84f328602acf26f21197bd60f9f2637420b7ac825ad7b362-poli-160712065932/85/585-9-320.jpg)
![18
5. Точечные множества и координатные пространства, гео-
метрическая интерпретация действительных чисел.
6. Прямоугольные системы координат (определения, рассто-
яния между точками в координатных пространствах), взаимно
однозначное соответствие между точками и постоянными (пере-
менными) математическими величинами.
Студент должен уметь:
1. Задавать конечные и бесконечные множества.
2. Устанавливать взаимно однозначное соответствие между
множествами и интерпретировать математические и физические
величины как элементы множеств.
3. Выполнять арифметические операции с модулями дей-
ствительных чисел.
4. Определять положение точек и расстояние между точками
в одномерных, двумерных и трехмерных системах координат.
Ответы к задачам темы
«Введение в курс высшей математики»
0.1.1. а) Множество A состоит из двух элементов, каждое из которых
является множеством, множество B – из четырех элементов, каждое из ко-
торых является числом; б) Множество A состоит из двух элементов, мно-
жество B – из четырех элементов; в) Хотя множества и состоят из одина-
кового количества элементов, но элементами множества A являются мно-
жество и число, а элементами множества B – два множества.
0.1.2. а) Сопоставим элементу 1 A∈ элемент a∈B, элементу 2 A∈
элемент b∈ B, элементу 3 A∈ элемент c∈ B, элементу 4 A∈ элемент
d ∈B; получим взаимно однозначное соответствие; б) Сопоставим каждой
из 33 букв русского алфавита ее номер в алфавите; в) взаимно однозначное
соответствие можно задать, например, формулой f (n) = 2n, т.е. каждому
натуральному числу поставить в соответствие число, в два раза большее;
г) взаимно однозначное соответствие можно задать, например, формулой
f(x) = 8x + 2. Читателю рекомендуется построить прямую y = 8x + 2 в си-
стеме координат на отрезке x ∈ [0; 1]; д) взаимно однозначное соответ-
ствие можно задать, например, формулой f(x) = tg x.
0.1.3. а) { }1; 2; 3; 4; 5A B∪ = ; { }3; 4A B∩ = ; { } 1; 2A B = ; { } 5B A = ;
б) A × B = {(1; 3); (1; 4); (1; 5); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (4; 3);
(4; 4); (4; 5)}; B × A = {(3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4);
(5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4)}; A × A = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 1); (2; 2);
(2; 3); (2; 4); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4)}.
0.1.4. а) A × B = {(a; ×); (a; *); (a; &); (b; ×); (b; *); (b; &)}; B × A =
= {(×; a); (×; b); (*; a); (*; b); (&; a); (&; b)}; A × A = {(a; a); (a; b); (b; a);](https://image.slidesharecdn.com/ovi4tagwqsagbe0to8xy-signature-2dfd883d34a9150c84f328602acf26f21197bd60f9f2637420b7ac825ad7b362-poli-160712065932/85/585-16-320.jpg)
![19
(b; b)}; б) A × A × A ={(a; a; a); (a; a; b); (a; b; a); (a; b; b); (b; a; a);
(b; a; b); (b; b; a); (b; b; b)}; A × B × A = {(a; ×; a); (a; ×; b); (a; *; a); (a; *; b);
(a; &; a); (a; &; b); (b; ×; a); (b; ×; b); (b; *; a); (b; *; b); (a; &; a); (a; &; b)}.
0.1.5. а) 16; б) 32; в) 64; г) 2n
.
0.1.6. а) A ∪ B = [1; 5]; A ∩ B = [2; 3]; A B = [1; 2); B A = (3; 5];
б) A ∪ B = (1; 5); A ∩ B = (2; 3); A B = [2; 3); B A = [3; 5);
в) A ∪ B = [1; 5]; A ∩ B = (2; 3); A B = [1; 2]; B A = [3; 5];
г) A ∪ B = [1; 5); A ∩ B = (2; 3]; A B = [2; 3]; B A = (3; 5).
0.1.7. A ∪ B = A = [1; 3]; A ∩ B = B = {1; 2; 3}; A B = (1; 2) ∪ (2; 3);
B A = ∅.
0.2.1. а)
25 26 27
26 27 28
< < ; б)
29
2,23 5
13
< < ; в)
3927
3,14159
1250
< π < ;
г) sin 43 0,69 lg5< <o
.
0.2.2. а) 1 21; 5x x= − = ; б) 1 23; 11x x= = ; в) 1 2
7
; 3
3
x x= = .
0.2.3. а) 1 2
16 16
;
5 3
x x= = ; б)
3
4
x = .
0.2.4. а) 1 1x = − ; б) [ )2;x∈ ∞ ;
0.2.5. а) ( )1; 5x∈ − ; б) [ ]1; 7x∈ ; в) ( ) ( ); 1 13;x∈ −∞ − ∪ ∞ .
0.2.6. а) от 19,2252 до 19,7752; б) 0,91 0,05;∆ = δ = .
0.2.7. 4,8∆ = ; 0,08δ = .
0.2.8. а) 0,02δ = ; б) 0,002δ = .
0.2.9. Объем цилиндра вычисляется по формуле V = πR2
h, значит, если
радиус и высота измерены с погрешностями ,R hδ δ , то V = π(R + δR)2
×
× (h + δh) = πR2
h + π∆, где ∆ = 2Rhδh + 2
Rhδ + 2RδRδh +
2
R hδ δ ,
2 2
2
2 2h R R h R hRh h R
R h
δ + δ + δ δ + δ δ
δ = .
0.2.10. а) По второму закону Ньютона: F ma= . Значит,
( ) ( )m a a m m mm a ma m a∆ = + δ ⋅ + δ − = δ + δ + δ δ , a m m mm a
ma
δ + δ + δ δ
δ = ;
б) По закону Ома U IR= , где U — напряжение, I — сила тока, R —
сопротивление; ( ) ( )I R R I R II R IR I R∆ = + δ ⋅ + δ − = δ + δ + δ δ ,
R I R II R
IR
δ + δ + δ δ
δ = .
0.3.1. Пусть дан отрезок AB в пространстве. Опустим из точек A и B
перпендикуляры на плоскость xOy, основания перпендикуляров обозначим
соответственно C и D (рис. 3). Прямые AC и CD перпендикулярны, так как
прямая AC перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости xOy. По
той же причине перпендикулярны прямые BD и CD. Следовательно, четы-](https://image.slidesharecdn.com/ovi4tagwqsagbe0to8xy-signature-2dfd883d34a9150c84f328602acf26f21197bd60f9f2637420b7ac825ad7b362-poli-160712065932/85/585-17-320.jpg)
![28
1
cos
2
−
ϕ = ,
3
sin
2
−
ϕ = и
4 4
2 cos sin
3 3
z i
π π
= +
. Если считать,
что 0 arg 2z≤ < π, то задача решена. Если же arg z−π < ≤ π, то
угол
4
3
π
не является главным значением аргумента. В этом слу-
чае (см. рис. 8)
2 2
2 cos sin
3 3
z i
− π π
= + −
.
Таким образом, сопряженные комплексные числа в тригоно-
метрической форме имеют одинаковые модули, а их аргументы
различаются только знаками.
Если главные значения аргумента не соответствуют углам,
для которых числовые значения тригонометрических функций
известны из школьной математики, то используют тригономет-
рические таблицы или выражают аргумент через обратные три-
гонометрические функции (arcsin,arccos,arctg).
Пр и м е р 2. Представить комплексное число 5 12z i= − + в
тригонометрической форме, используя главное значение аргу-
мента. Изобразить комплексное число на комплексной плоскости.
Решение: ( )2 2
5 12 13z = − + = . Поскольку
5
cos
13
−
ϕ = ,
12
sin
13
ϕ = , то радиус-вектор числа расположен во втором квад-
ранте. Арксинус использовать напрямую нельзя, так как по опре-
делению arcsin ;
2 2
x
π π
∈ −
. Поскольку [ ]arccos 0;x∈ π , то
5
arccos 0,64
12
ϕ = − ≈ π
.
( )13 cos0,64 sin0,64z i≈ π + π .
1.2.10
. Умножение и деление комплексных чисел
в тригонометрической форме. Возведение в целую степень
Складывать и вычитать комплексные числа удобнее в алгеб-
раической форме, умножать и делить – в тригонометрической.
Пусть 1 1 1(cos sin )1z i= ρ ϕ + ϕ , 2 2 2(cos sin )2z i= ρ ϕ + ϕ , тогда
1 2 1 1 2 2(cos sin )(cos sin )1 2z z i i⋅ = ρ ρ ϕ + ϕ ϕ + ϕ =](https://image.slidesharecdn.com/ovi4tagwqsagbe0to8xy-signature-2dfd883d34a9150c84f328602acf26f21197bd60f9f2637420b7ac825ad7b362-poli-160712065932/85/585-26-320.jpg)
![191
При ϕ = 0 ρ = 4a. На промежутке 0;
2
π
функция y = cos ϕ убывает, значит, и коор-
дината ρ будет уменьшаться и при
2
π
ϕ =
ρ = 2a. Функция y = cos ϕ продолжает убы-
вать на промежутке ;
2
π
π
и при ϕ = π ρ = 0.
На промежутке [ ]; 2π π функция
y = cos ϕ возрастает, значит, ρ также
возрастает.
Рассмотрим прямоугольную си-
стему координат на плоскости и по-
местим на этой же плоскости поляр-
ную систему координат так, чтобы
полюс совпал с началом прямоуголь-
ной системы координат, а направле-
ние полярной оси – с положительным направлением оси OX
(рис. 83). Тогда из прямоугольного треугольника получим:
cos
sin .
,x
y
= ρ ϕ
= ρ ϕ
Это формулы перехода от прямоугольной системы координат
к полярной. Из того же прямоугольного треугольника можно по-
лучить формулы перехода от полярной системы координат к
прямоугольной:
2 2
2 2
2 2
cos
sin
x y
x
x y
y
x y
ρ = +
ϕ =
+
ϕ =
+
Рис. 82. Кардиоида
Рис. 83. Связь прямоугольной
и полярной систем координат](https://image.slidesharecdn.com/ovi4tagwqsagbe0to8xy-signature-2dfd883d34a9150c84f328602acf26f21197bd60f9f2637420b7ac825ad7b362-poli-160712065932/85/585-189-320.jpg)
![205
4.6.11. Изобразить тело, ограниченное плоскостями:
а) 0x = , 0y = , 0z = , 2 3 5 30 0x y z+ − − = ;
б) 0z = , y x= , 2y x= , 1x y z+ + = ;
в) 2 5 7x y z+ + = , 1y = , 1x = , 0x = , 0y = , 0z = ;
г) 3 6 0x y+ − = , 3 2 12x y+ = , x y= , 3z = , 0x = , 0z = ;
д) 5 4 5 20x y z+ + = , 2z = , 2,4x = , 0x = , 0y = , 0z = ;
е) 3 2 3 12x y z+ + = , 3 6x y+ = , 0x y− = , 0y = , 0z = .
4.6.12. Изобразить тело, ограниченное поверхностями:
а)
2
2
4
y
z x= + , 1z = ; б) y x= , 6x z+ = , 2y x= , 0z = ;
в) 2
3y x= , 1x y+ = , 0y = , 3z = ; г) 2 2
1x y+ = , 2
y z= , 0z = ;
д) 2 2
x y z+ = , 2
y x≥ , 2z = ; е) 2 2 2
9x y z+ + = , 3 2 6x z+ ≤ ,
0z ≥ .
4.110
. Прикладные задачи
по теме «Аналитическая геометрия
Технические системы в первом приближении в большинстве
случаев рассматриваются как линейные системы и описываются с
помощью линейных зависимостей, графики которых являются
прямыми и плоскостями.
Для освоения основ использования аналитической геометрии
для решения физических и технических задач рекомендуется рас-
смотреть нижеследующие прикладные задачи для прямых и ли-
нейных зависимостей, графиками которых являются прямые.
1. Материальная точка в течение 30 с двигалась равномерно
со скоростью 0 20v = м/с, а затем равноускоренно с ускорением
2a = м/с2
. Построить график зависимости ( )v f t= при [ ]0; 50t ∈ .
2. Начальная скорость точки равна 10 м/с. Точка движется
прямолинейно, равнозамедленно и останавливается через 100 с.
Найти линейную зависимость скорости точки от времени. Опре-
делить скорость точки через 20 с после начала движения.
3. Луч света направлен по прямой
2
4
3
y x= − . Дойдя до плос-
кости, на которой лежит ось абсцисс, луч отражается. Найти точ-
ку встречи луча с плоскостью и уравнение отраженного луча.
Пояснения: Угол падения равен углу отражения. Прямой и от-
раженный лучи вместе с осью абсцисс лежат в одной плоскости.](https://image.slidesharecdn.com/ovi4tagwqsagbe0to8xy-signature-2dfd883d34a9150c84f328602acf26f21197bd60f9f2637420b7ac825ad7b362-poli-160712065932/85/585-203-320.jpg)
585
- 1. 3 Вылегжанин Игорь Альбертович ПожидаевАлександр Васильевич Остроменский Петр Иванович Шандаров Леонид Гаврилович Практикум по высшей математике для технических специальностей Часть I НОВОСИБИРСК : СГУПС 2011
- 2. 4 ПРЕДИСЛОВИЕ Высшая математика необходимастудентам и будущим ин- женерам, в первую очередь, как эффективный инструмент иссле- дования математических моделей технических объектов, соответ- ствующих их будущей специальности. Метод математического моделирования является основным методом построения и изуче- ния учебных дисциплин физико-математического цикла (физика, теоретическая механика, сопротивление материалов, теория ав- томатического управления и т.д.). В практической инженерной деятельности этот метод, реали- зуемый в виде вычислительных экспериментов на компьютере с математическими моделями исследуемых объектов, является наиболее быстрым, эффективным и экономически выгодным средством получения новой информации об указанных объектах. Такая информация необходима для научно обоснованного приня- тия решений при проектировании новых объектов, при диагно- стике отказов, анализе и моделировании нештатных и аварийных ситуаций, возможных при эксплуатации объектов техники. При обучении высшей математике будущих инженеров должны быть успешно решены две наиболее важные и взаимо- связанные учебные проблемы: 1) формирование устойчивых знаний, навыков и умений ре- шения различных типов математических задач, широко исполь- зуемых при изучении учебных дисциплин физико-математичес- кого цикла и в инженерных расчетах, основанных на математиче- ском моделировании технических объектов, соответствующих будущей инженерной специальности; 2) развитие знаний, навыков и умений по технологии матема- тического моделирования технических систем на примерах при- кладных задач, адаптированных к уровню математических, физи- ческих и технических знаний студентов первого и второго кур- сов. При этом основное внимание должно быть уделено вычисли- тельным аспектам метода математического моделирования. На старших курсах при изучении большинства учебных ин- женерных дисциплин продолжается более полное и осознанное овладение методом математического моделирования инженерных задач с применением компьютеров. В дальнейшем искусство ма-
- 3. 5 тематического моделирования должносовершенствоваться в те- чение всей активной инженерной деятельности. В настоящем сборнике все задачи делятся на «чисто» мате- матические и прикладные. Математические задачи предназначены для решения первой учебной проблемы. В настоящем сборнике такие задачи состав- ляют около 80 % от общего числа задач. Для решения указанных задач необходимы и достаточны знания школьной математики, а также изученные и изучаемые разделы высшей математики. К прикладным задачам относятся задачи, поставленные вне математики и решаемые средствами математики. Каждую такую задачу в общем случае необходимо предварительно формализо- вать и преобразовать в математическую, т.е. получить математи- ческую модель реального объекта, описанного в постановке при- кладной задачи на языке математики (см. приложение). В учебных прикладных задачах, приведенных в практикуме, использованы известные математические модели технических объектов, которые адаптированы для учебных целей и кратко описываются в качестве пояснений к задаче. Основное внимание уделено решению математической задачи, соответствующей ма- тематической модели инженерного объекта и цели исследования. В приложении к практикуму приведены исходные положения метода математического моделирования и пример решения ре- альной инженерной задачи указанным методом. Практикум включает все разделы математики, которые соот- ветствуют учебным рабочим программам по математике для ин- женеров технических специальностей по направлениям: строи- тельство зданий, сооружений, железных и автомобильных дорог; эксплуатация подъемно-транспортных, строительных и дорож- ных машин, а также транспортного оборудования с общим объе- мом от 570 до 650 часов. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ N — множество натуральных чисел Z — множество целых чисел Q — множество рациональных чисел R — множество действительных чисел
- 4. 6 C — множествокомплексных чисел r — алгебраический (арифметический) вектор ,r r OA uuur — геометрический вектор nV — векторное пространство размерности n n R — точечное координатное пространство размерности n 1 2 3( , , )M a a a — точка с координатами 1 2 3, ,a a a 1 2 3( , , )r a a a= r — вектор с координатами 1 2 3, ,a a a ∆ — определитель ( ), ,detA A A∆ — определитель матрицы A СЛАУ — система линейных алгебраических уравнений ⇒ — следует ⇔ — равносильно ≡ — тождественно равно ≅ — эквивалентно ⊂ — включает ⊆ — включает или равно ∈ — принадлежит ∉ — не принадлежит ∪ — объединение множеств ∩ — пересечение множеств ↑↑ — сонаправленность векторов ↑↓ — противоположная направленность коллинеарных век- торов Σ — сумма !n — факториал ...= = — промежуточные вычисления в примере опущены и должны бытии восстановлены студентами при изучении примера самостоятельно
- 5. 7 Цель расчетов –понимание, а не числа. Р.В. Хемминг [8] Тема 0: ВВЕДЕНИЕ В КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ 0.10 . Исходные положения теории множеств Современная математика строится и изучается на основе тео- рии множеств. Множество относится к первичным (исходным) математическим понятиям, которые формально не определяются. Под множеством подразумевают любую совокупность некоторых математических объектов, объединенных по определенному при- знаку. Пр и м е р ы: множество четных чисел, меньших 100; множе- ство сторон многоугольника; множество точек на отрезке прямой и т.п. В прикладных задачах синонимами понятия «множество» яв- ляются «совокупность», «собрание», «группа», «семейство» и т.д. Объекты, из которых состоит множество, называют элемен- тами и подмножествами. Элемент множества рассматривается как единое целое, неразложимое на более простые части. Под- множество – часть множества, включающая в себя некоторые (или все) элементы множества (подмножество может не включать в себя ни одного элемента множества, в этом случае оно называ- ется пустым множеством и обозначается ∅). Пр и м е р. Множество натуральных чисел N: 1, 2, 3, ... . Его подмножествами являются, например, множество четных чисел; множество чисел, не превосходящих 1000; множество, состоящее из одного числа }{1 , и т.п. Множества и подмножества обычно обозначаются заглавны- ми (обычно латинскими) буквами (иногда с индексами) , , ,..., , ,A B C X Y Z или 1 2 3, , , ...,A A A а их элементы — малыми буквами , , ,...a b c или 1 2 3, , ,...a a a . Для обозначения отношений между множествами и элемен- тами используют следующие условные знаки: B A⊆ множество B является подмножеством множества A (в частности, эти множества могут совпадать); B A⊂ множество B является подмножеством множества A и при этом B не совпадает с A;
- 6. 8 a A∈ элементa принадлежит множеству A; a A∉ элемент a не принадлежит множеству A. Множества можно задавать двумя способами: 1) перечислением всех элементов множества, например, }{ 1 2, , ..., nA a a a= ; 2) указанием характеристического свойства (признака, пра- вила), позволяющего определить любые элементы множества: }{ | ï ðèçí àê(ï ðàâèëî )A a= . Пр и м е р ы: 1) }{ | , 100A a a N a= ∈ < — множество нату- ральных чисел, меньших 100; 2) }{ 2 | , 2, 0X x x R x x= ∈ < ≠ — множество, действительных чисел, квадраты которых меньше двух и не равны нулю. В примере 2) x — любой элемент из множества X. Такие эле- менты, которые могут принимать любое значение из заданного множества, называют переменными величинами. О пр е д е ле ние: переменная величина x — это математиче- ская величина, которая может принимать любое значение из за- данного множества X. Переменная величина считается заданной, если задано мно- жество всех ее возможных значений. Если множество значений переменной величины содержит только один элемент, то такая величина называется постоянной. Математические величины являются обобщением физиче- ских величин, которые, в свою очередь, являются результатами измерений физических объектов, однородных по измеряемому признаку. В качестве переменных величин в высшей математике используют числа, векторы и другие математические объекты. О пр е д е ле ние: между множествами A и B установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу мно- жества A соответствует только один элемент множества B и наоборот, каждому элементу множества B соответствует один элемент множества A. Если между множествами A и B установлено взаимно одно- значное соответствие, то эти множества называют равномощны- ми или эквивалентными и пишут A B≅ . Пр и м е р ы: 1) }{ , , ,A a b c d= , }{1, 2, 3, 4B = , A B≅ . 2) Множество действительных чисел равномощно множеству неотрицательных действительных чисел (т.е. своей части). Необ-
- 7. 9 ходимое взаимно однозначноесоответствие задается формулой 2 ;x y x R= ∈ . 0.1.10 . Операции с множествами О пр е д е ле ние: Объединением множеств A и B называется множество }{ | èëèA B x x A x B∪ = ∈ ∈ . О пр е д е ле ние: Пересечением множеств A и B называется множество }{ | èA B x x A x B∩ = ∈ ∈ . Замечание: Если требуется записать, что объединяются или пересека- ются n множеств 1 2, ,..., nX X X , то это обозначается 1 n i i X = U или, соответ- ственно, 1 n i i X = I . О пр е д е ле ние: Разностью множеств A и B называется множество }{ | èA B x x A x B= ∈ ∉ . О пр е д е ле ние: Декартовым (или прямым) произведением множества A на множество B называется множество пар: }{( , ) | èA B x y x A y B× = ∈ ∈ . Для наглядного изображения пересечения, объединения и разности множеств используют круги Эйлера (рис. 1): Рис. 1. Операции с множеством
- 8. 10 Пр и ме р. Даны множества }{1; 2; 3; 4; 5A = и }{4; 5; 6B = . а) Перечислить все элементы множеств ,A B∪ ,A B∩ ,A B B A; б) Перечислить все элементы множества A B× . Решение: а) По определению объединения множеств ,A B∪ оно содержит те и только те элементы, которые содержатся хотя бы в одном из множеств A или B, значит, A B∪ = }{1; 2; 3; 4; 5; 6= . По определению пересечения множеств A B∩ , оно содержит те и только те элементы, которые содержатся как во множестве A, так и во множестве B, значит, }{4; 5A B∩ = . По определению разности множеств A B, оно содержит те и только те элементы, которые содержатся во множестве A и не со- держатся во множестве B, значит, }{ 1; 2; 3A B = . Аналогично, }{ 6B A = . б) Декартово произведение A B× состоит из всевозможных пар, первые элементы которых являются элементами множества A, а вторые – элементами множества B: ( ){ ( ) ( )1; 4 , 1; 5 , 1; 6 ,A B× = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2; 4 , 2; 5 , 2; 6 , 3; 4 , 3; 5 , 3; 6 , 4; 4 , 4; 5 , 4, 6 , 5; 4 , ( ) ( )}5; 5 , 5; 6 . Задачи к разделу 0.10 0.1.1. С помощью определений элемента множества или подмножества доказать, что множества A и B не равны а) }{ }{ }{ 1; 2 ; 3; 4A = , }{1; 2; 3; 4B = ; б) }{ }{ 1; 2; 3 ; 4A = , }{1; 2; 3; 4B = ; в) }{ }{ 1; 2; 3 ; 4A = , }{ }{ }{ 1; 2 ; 3; 4B = . 0.1.2. Доказать равномощность множеств а) }{1; 2; 3; 4A = и }{ ; ; ,B a b c d= ; б) множество целых чисел от 1 до 33 и множество букв рус- ского алфавита; в) множество натуральных чисел и множество четных чисел;
- 9. 11 г) множество чиселотрезков [ ]0;1 и [ ]2; 10 ; д) множество действительных чисел и интервал ; 2 2 π π − . 0.1.3. Даны множества }{1; 2; 3; 4A = и }{3; 4; 5B = . а) Перечислить все элементы множеств , , ,A B A B A B∪ ∩ B A; б) Перечислить все элементы множеств , ,A B B A A A× × × . 0.1.4. Даны множества }{ ;A a b= и }{ ; ; &B = × ∗ . а) Перечислить все элементы множеств , ,A B B A A A× × × ; б) Перечислить все элементы множеств A A A× × , A B A× × . 0.1.5. Сколько различных подмножеств содержит множество а) состоящее из четырех элементов; б) состоящее из пяти элементов; в) состоящее из шести элементов. Догадайтесь, сколько различных подмножеств содержит множество, состоящее из n элементов. 0.1.6. Для множеств A и B найти , , , A B A B A B B A∪ ∩ а) [ ] [ ]1; 3 , 2; 5A B= = ; б) ( ) ( )1; 3 , 2; 5A B= = ; в) [ ) ( ]1; 3 , 2; 5A B= = ; г) [ ] ( )1; 3 , 2; 5A B= = . 0.1.7. Для множеств A и B найти , , , A B A B A B B A∪ ∩ , если [ ] }{1; 3 , 1; 2; 3A B= = . 0.1.8. С помощью кругов Эйлера доказать тождества а) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ ; б) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ ; в) ( ) ( ) ( ) A B C A B A C∪ = ∩ . 0.20 . Числовые множества действительной переменной Натуральными числами называются числа 1, 2, 3, 4, и т.д. Множество натуральных чисел обозначается N и является исход- ным числовым множеством. О п р е д е ле н и е: Множеством целых чисел называется мно- жество }{ }{| , 0Z k k n n N= = ± ∈ ∪ .
- 10. 12 О п ре д е ле н и е: Множеством рациональных чисел называ- ется множество / , ; 0 m Q m p Z p p = ∈ ≠ . Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Числа, которые нельзя представить в таком виде, называются ир- рациональными. Примеры иррациональных чисел: 3,14159...π = , 2,71828...e = , 2 1,4142...= . Любое иррациональное число всегда можно представить приближенно рациональным числом с любой точностью. Действительными числами будем называть числа, которые можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, например: 1 3,14159.....; 0,33333.....; 7 7,00000..... 3 π = = = и т. п. Множество действительных чисел обозначается R. Очевидно, что N Z Q R⊂ ⊂ ⊂ . Множества рациональных и действительных чисел обладают тем свойством, что между двумя числами содержится бесконечно много других чисел. Множество действительных чисел можно представить так: }{ /R x x= − ∞ < < ∞ . Символы −∞ и ∞ не являются числами; они являются символами неограниченности отрицательных и поло- жительных значений действительных чисел. 0.2.10 . Абсолютная величина (модуль) действительного числа О п р е д е ле н и е: Модулем x действительного числа x назы- вается неотрицательное действительное число, удовлетворяющее определению: , åñëè 0 , åñëè 0 x x x x x ≥ = − < . Свойства модуля: 1) x y x y⋅ = ⋅ ; 2) xx y y =
- 11. 13 3) x yx y+ ≤ + ; 4) x y x y− ≤ + ; Если x a≤ и 0a > , то a x a− ≤ ≤ . При x a− < δ имеет место: x a−δ < − < δ. Если x a≥ , то x a≥ или x a≤ − . Абсолютные величины широко используют при технических и физических измерениях. О п р е д е ле н и е: если 0x — точное значение некоторой из- меряемой величины, а x — ее приближенное значение, то вели- чина 0x x∆ = − называется абсолютной погрешностью измеряе- мой величины, а величина 0x ∆ δ = — относительной погрешно- стью измеряемой величины. Абсолютная погрешность суммы и разности не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых. Если 0x , 0y — точные значения величин, ,x y∆ ∆ — их абсо- лютные погрешности, то абсолютная погрешность произведения 0 0x y равна 0 0y x x yx y∆ + ∆ + ∆ ∆ . Если ,x yδ δ — относительные погрешности множителей, то относительная погрешность произведения равна x y x yδ + δ + δ δ . Пр и м е р. При измерении сторон прямоугольника с наибольшей возможной абсолютной погрешностью 2 см получе- ны длины 2 и 3 м. Найти абсолютную и относительную погреш- ности площади прямоугольника. Решение: Длина первой стороны (в метрах) равна 2 0,02± , второй — 3 0,02± . Площадь прямоугольника равна произведе- нию длин сторон, поэтому абсолютная погрешность равна 2 0,02 2 0,02 3 0,02 0,02 0,1 ì⋅ + ⋅ + ⋅ ≈ . Относительная погрешность измерения первой стороны рав- на 1 0,02 0,01 2 δ = = , второй стороны — 2 0,02 0,0067 3 δ = ≈ , зна- чит, относительная погрешность произведения равна 1 2 1 2 0,01 0,0067 0,01 0,0067 0,0167 0,02δ = δ + δ + δ δ ≈ + + ⋅ ≈ ≈ .
- 12. 14 Задачи к разделу0.20 0.2.1. Расставить данные числа в порядке возрастания а) 25 26 27 ; ; 26 27 28 ; б) 2,23; 29 13 ; 5 ; в) 3,14159; 3927 1250 ; π; г) sin 43o ; 0,69; lg5. 0.2.2. Решить уравнения а) 2 3x − = ; б) 7 4x− = ; в) 3 8 1x − = . 0.2.3. Решить уравнения а)4 4x x− = ; б) 3 3x x− = . 0.2.4. Решить уравнения а) 3 2 1 4x x− + + = ; б) 2 2x x− − = . 0.2.5. Решить неравенства а) 2 3x − < ; б) 4 3x − ≤ ; в) 6 7x− > . 0.2.6. а) Стороны прямоугольника равны ( )1,5 0,02± см и ( )13 0,01± см. Какие значения может принимать площадь прямо- угольника? б) При измерении сторон прямоугольника линейкой с ценой деления 1 мм получены длины 4 и 5 см. Найти абсолютную и от- носительную погрешности площади прямоугольника. 0.2.7. При измерении сторон прямоугольного параллелепи- педа линейкой с ценой деления 1 мм получены длины 3, 4 и 5 см. Найти абсолютную и относительную погрешности объема парал- лелепипеда. 0.2.8. а) Радиус круга равен ( )2 0,02R = ± см. С какой отно- сительной погрешностью может быть вычислена площадь круга? б) Найти ту же относительную погрешность, если 20 0,02R = ± . 0.2.9. Вывести формулы для абсолютной и относительной погрешностей объема цилиндра, если радиус его основания R и высота h измеряются с абсолютными погрешностями ,R hδ δ . 0.2.10. а) Масса тела измерена с относительной погрешно- стью mδ , а его ускорение — с относительной погрешностью aδ . С какой относительной погрешностью можно вычислить силу, действующую на это тело при его прямолинейном движении? б) Сила тока на участке электрической цепи измерена с отно- сительной погрешностью Iδ , а сопротивление — с относитель-
- 13. 15 ной погрешностью Rδ. С какой относительной погрешностью можно вычислить напряжение на участке цепи? 0.30 . Точечные множества. Координатные пространства. Системы координат Геометрические объекты (прямые, плоскости кривые линии, геометрические тела и ограничивающие их поверхности) можно рассматривать как непрерывные точечные множества, которые являются подмножествами некоторого универсального множе- ства, называемого пространством, объединяющим точечные и числовые множества. Математическое пространство – это некоторая математиче- ская среда, в которой находятся математические объекты, для ко- торых введены алгебраические операции. При выполнении этих операций над объектами появляются новые объекты, находящие- ся в том же пространстве. Пространства, для которых определены правила нахождения расстояния между точками, будем называть координатными про- странствами. Такие пространства позволяют установить взаимно однозначное соответствие между числовыми и точечными мно- жествами с помощью систем координат. Прямые линии являются одномерными координатными про- странствами. Между действительными числами и точками пря- мой можно установить взаимно однозначное соответствие и отра- зить любое действительное число в виде точки на прямой. Для этого на прямой выбирают начало отсчета, направление положи- тельного отсчета, а также масштаб (единицу измерения при от- счете). В результате получаем координатную (числовую) ось, на которой любое действительное число можно отобразить в виде точки. В силу взаимно однозначного соответствия понятия «число» и «точка» часто используют как синонимы при описании матема- тических объектов. Переменной величине x соответствует «теку- щая точка», конкретному числовому значению переменной соот- ветствует «фиксированная точка». Если введем прямоугольную систему координат на плоско- сти из двух взаимно ортогональных (перпендикулярных) число- вых осей с общим началом отсчета, то получим двумерное коор-
- 14. 16 динатное пространство. Теперьможно установить взаимно од- нозначное соответствие между множеством точек плоскости и множеством упорядоченных пар действительных чисел ( );x y , которые являются координатами точек плоскости. Используя теорему Пифагора, расстояние между точками в двумерном координатном пространстве можно получить в виде ( ) ( ) 2 2 N M N MMN x x y y= − + − . Аналогично можно ввести трехмерное координатное про- странство, в котором устанав- ливается взаимно однозначное соответствие между точками этого пространства и упорядо- ченными тройками ( ); ;x y z дей- ствительных чисел. Расстояние между точками ( ); ;M M MM x y z и ( ); ;N N NN x y z в трехмерном координатном пространстве определяют по формуле ( ) ( ) ( ) 2 2 2 N M N M N MMN x x y y z z= − + − + − . Кроме прямоугольных систем координат в математике и ее приложениях используют и другие (косоугольные, криволиней- ные) системы координат. В общем случае, система координат – взаимосвязанная совокупность геометрических объектов в коор- динатном пространстве, позволяющая установить взаимно одно- значное соответствие между элементами точечного и числового множеств по определенным правилам. Задачи к разделу 0.30 0.3.1. Используя теорему Пифагора, доказать формулу AB = ( ) ( ) ( )2 2 2 A B A B A Bx x y y z z= − + − + − . 0.3.2. Найти расстояния между точками: а) ( )7; 3A − и ( )4; 7B − ; б) ( )1; 2A − и ( )3;4B − ; в) ( )1; 2; 3A и ( )3;5; 9B . Рис. 2. Расстояние между точками
- 15. 17 0.3.3. На координатнойплоскости даны четыре точки: ( )1; 2A − , ( )4; 1B − , ( )1; 5C и ( )2; 4D − . Доказать, что четырех- угольник ABCD – параллелограмм. 0.3.4. На координатной плоскости даны три точки: ( )1; 1A − , ( )3; 5B , ( )5; 3C . Доказать, что треугольник ABC – прямоуголь- ный. 0.3.5. На координатной плоскости даны три точки: ( )1; 1A − , ( )3; 5B , ( )5; 3C . Какими должны быть координаты точки D, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом? 0.3.6. На координатной плоскости даны две точки ( )7; 3A − и ( )4; 7B − . Какими должны быть координаты точки C , чтобы тре- угольник ABC был равносторонним? 0.3.7. В пространстве даны три точки ( )0; 0; 0O , ( )3;1, 0A и ( )3; 1; 0B − . Какими должны быть координаты точки C , чтобы у пирамиды OABC длины всех ребер были одинаковы? 0.1.8. Изобразить графически декартовы произведения а) отрезка длины 1 на отрезок длины 3; б) квадрата со стороной 1 на отрезок длины 2; в) отрезка длины 2 на круг радиуса 3; г) окружности радиуса 5 на круг радиуса 1. Требования к практическому усвоению темы «Введение в курс высшей математики» Студент должен знать: 1. Исходные положения теории множеств: понятие элемента множества, подмножества; способы задания множеств; основные условные обозначения, используемые в теории множеств; поня- тие взаимно однозначного соответствия между множествами. 2. Понятие переменных математических величин и их интер- претации в теории множеств. 3. Числовые множества действительной переменной и их подмножества (натуральные, целые, рациональные и иррацио- нальные числа). 4. Понятие абсолютной величины (модуля) действительного числа (определение и основные свойства арифметических опера- ций с модулями действительных чисел).
- 16. 18 5. Точечные множестваи координатные пространства, гео- метрическая интерпретация действительных чисел. 6. Прямоугольные системы координат (определения, рассто- яния между точками в координатных пространствах), взаимно однозначное соответствие между точками и постоянными (пере- менными) математическими величинами. Студент должен уметь: 1. Задавать конечные и бесконечные множества. 2. Устанавливать взаимно однозначное соответствие между множествами и интерпретировать математические и физические величины как элементы множеств. 3. Выполнять арифметические операции с модулями дей- ствительных чисел. 4. Определять положение точек и расстояние между точками в одномерных, двумерных и трехмерных системах координат. Ответы к задачам темы «Введение в курс высшей математики» 0.1.1. а) Множество A состоит из двух элементов, каждое из которых является множеством, множество B – из четырех элементов, каждое из ко- торых является числом; б) Множество A состоит из двух элементов, мно- жество B – из четырех элементов; в) Хотя множества и состоят из одина- кового количества элементов, но элементами множества A являются мно- жество и число, а элементами множества B – два множества. 0.1.2. а) Сопоставим элементу 1 A∈ элемент a∈B, элементу 2 A∈ элемент b∈ B, элементу 3 A∈ элемент c∈ B, элементу 4 A∈ элемент d ∈B; получим взаимно однозначное соответствие; б) Сопоставим каждой из 33 букв русского алфавита ее номер в алфавите; в) взаимно однозначное соответствие можно задать, например, формулой f (n) = 2n, т.е. каждому натуральному числу поставить в соответствие число, в два раза большее; г) взаимно однозначное соответствие можно задать, например, формулой f(x) = 8x + 2. Читателю рекомендуется построить прямую y = 8x + 2 в си- стеме координат на отрезке x ∈ [0; 1]; д) взаимно однозначное соответ- ствие можно задать, например, формулой f(x) = tg x. 0.1.3. а) { }1; 2; 3; 4; 5A B∪ = ; { }3; 4A B∩ = ; { } 1; 2A B = ; { } 5B A = ; б) A × B = {(1; 3); (1; 4); (1; 5); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (4; 3); (4; 4); (4; 5)}; B × A = {(3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4); (5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4)}; A × A = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4)}. 0.1.4. а) A × B = {(a; ×); (a; *); (a; &); (b; ×); (b; *); (b; &)}; B × A = = {(×; a); (×; b); (*; a); (*; b); (&; a); (&; b)}; A × A = {(a; a); (a; b); (b; a);
- 17. 19 (b; b)}; б)A × A × A ={(a; a; a); (a; a; b); (a; b; a); (a; b; b); (b; a; a); (b; a; b); (b; b; a); (b; b; b)}; A × B × A = {(a; ×; a); (a; ×; b); (a; *; a); (a; *; b); (a; &; a); (a; &; b); (b; ×; a); (b; ×; b); (b; *; a); (b; *; b); (a; &; a); (a; &; b)}. 0.1.5. а) 16; б) 32; в) 64; г) 2n . 0.1.6. а) A ∪ B = [1; 5]; A ∩ B = [2; 3]; A B = [1; 2); B A = (3; 5]; б) A ∪ B = (1; 5); A ∩ B = (2; 3); A B = [2; 3); B A = [3; 5); в) A ∪ B = [1; 5]; A ∩ B = (2; 3); A B = [1; 2]; B A = [3; 5]; г) A ∪ B = [1; 5); A ∩ B = (2; 3]; A B = [2; 3]; B A = (3; 5). 0.1.7. A ∪ B = A = [1; 3]; A ∩ B = B = {1; 2; 3}; A B = (1; 2) ∪ (2; 3); B A = ∅. 0.2.1. а) 25 26 27 26 27 28 < < ; б) 29 2,23 5 13 < < ; в) 3927 3,14159 1250 < π < ; г) sin 43 0,69 lg5< <o . 0.2.2. а) 1 21; 5x x= − = ; б) 1 23; 11x x= = ; в) 1 2 7 ; 3 3 x x= = . 0.2.3. а) 1 2 16 16 ; 5 3 x x= = ; б) 3 4 x = . 0.2.4. а) 1 1x = − ; б) [ )2;x∈ ∞ ; 0.2.5. а) ( )1; 5x∈ − ; б) [ ]1; 7x∈ ; в) ( ) ( ); 1 13;x∈ −∞ − ∪ ∞ . 0.2.6. а) от 19,2252 до 19,7752; б) 0,91 0,05;∆ = δ = . 0.2.7. 4,8∆ = ; 0,08δ = . 0.2.8. а) 0,02δ = ; б) 0,002δ = . 0.2.9. Объем цилиндра вычисляется по формуле V = πR2 h, значит, если радиус и высота измерены с погрешностями ,R hδ δ , то V = π(R + δR)2 × × (h + δh) = πR2 h + π∆, где ∆ = 2Rhδh + 2 Rhδ + 2RδRδh + 2 R hδ δ , 2 2 2 2 2h R R h R hRh h R R h δ + δ + δ δ + δ δ δ = . 0.2.10. а) По второму закону Ньютона: F ma= . Значит, ( ) ( )m a a m m mm a ma m a∆ = + δ ⋅ + δ − = δ + δ + δ δ , a m m mm a ma δ + δ + δ δ δ = ; б) По закону Ома U IR= , где U — напряжение, I — сила тока, R — сопротивление; ( ) ( )I R R I R II R IR I R∆ = + δ ⋅ + δ − = δ + δ + δ δ , R I R II R IR δ + δ + δ δ δ = . 0.3.1. Пусть дан отрезок AB в пространстве. Опустим из точек A и B перпендикуляры на плоскость xOy, основания перпендикуляров обозначим соответственно C и D (рис. 3). Прямые AC и CD перпендикулярны, так как прямая AC перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости xOy. По той же причине перпендикулярны прямые BD и CD. Следовательно, четы-
- 18. 20 рехугольник ABDC –прямоугольная трапеция. Опустим из точки A высоту AH. По теореме Пифагора 2 2 AB AH BH= + . Но AH = CD = ( ) ( ) 2 2 A B A Bx x y y= − + − . BH = BD – AC = zB – zB. Следовательно, ( ) ( ) ( ) 2 2 2 A B A B A Bx x y y z z= − + − + −AB . 0.3.2. а) 5; б) 2 13 ; в) 7. 0.3.3. Указание: если противоположные стороны четырехугольника равны, то четы- рехугольник является параллелограммом. 0.3.4. Указание: применить обратную теорему Пифагора (если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то треугольник – прямо- угольный); 0.3.5. Возможны три случая (рис. 4): 1) ,AB CD AD BC= = ; 2) ,AB CD AC BD= = ; 3) ,AC BD AD BC= = . Разберем, например, первый из них. AB2 = 52, BC2 = 8. Пусть ( );D x y , тогда ( ) ( ) 2 22 5 3CD x y= − + − , AD2 = (x + 1)2 + (y – 1)2 . Составим систему ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 3 52 1 1 8 x y x y − + − = + + − = ; 2 2 2 2 10 6 18 2 2 6 x x y y x x y y − + − = + + − = . Вычтем из первого уравнения второе: 2 2 12 4 12 2 2 6 x y x x y y − − = + + − = . Выразим из первого уравнения y через x : ( ) 2 2 3 1 2 2 6 y x x x y y = − + + − = . Подставим выражение y через x во второе уравнение системы: ( ) 2 3 1 10 10 3 0 y x x x = − − − = , откуда получим 5 55 10 x ± = , ( )3 5 55 10 y = m . То, что по- лучилось два ответа – неудивительно (см. рис. 4). Случай 2) рассматрива- ется аналогично; при этом один из ответов совпадет с одним из уже полу- ченных и поэтому случай 3) можно не рассматривать, так как оба его отве- та совпадут с уже полученными. Рис. 3. Длина отрезка в пространстве Рис. 4. Решение задачи 0.3.5
- 19. 21 0.3.6. 2 25AB =; Если ( );C x y , то должны выполняться условия ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 7 3 25 4 7 25 x y x y − + + = − + + = . Решая систему, получим 229 751 50 x − ± = , 5321 96 751 200 y = m . 0.3.7. 2OA OB AB= = = , значит, должно быть 2OC AC BC= = = . Сле- довательно, если ( ), ,C x y z , то ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 1 4 3 1 4 x y z x y z x y z + + = − + − + = − + + + = . Вычитая из третьего уравнения второе, получим y = 0. Подставив найденное значение y = 0, в первое и второе уравнения системы, придем к новой системе ( ) 2 2 2 2 4 3 3 x z x z + = − + = . Вычитая из первого уравнения второе, получим значение 2 3 3 x = . Затем из первого уравнения найдем 2 2 3 z = ± . 0.3.8. а) прямоугольник со сторонами 1 и 3; б) прямоугольный парал- лелепипед с ребрами 1, 1 и 2; в) цилиндр с радиусом основания 3 и высо- той 2; г) тор («бублик») с поперечным сечением радиуса 1, внутренним и внешним диаметрами 8 и 12 соответственно. Тема 1: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ОПЕРАЦИИ С НИМИ 1.10 . Исходные положения. Алгебраическая форма комплексного числа Множество действительных чисел R является недостаточным для решения многих прикладных задач, важных для инженерных приложений. Поэтому вводят множество комплексных чисел C за счет расширения множества действительных чисел ( )R C⊂ . На теории комплексных чисел в значительной степени бази- руются методы теоретической электротехники, гидродинамики и
- 20. 22 газовой динамики, теорииупругости и пластичности. В частно- сти, при расчетах сложных электрических цепей при синусои- дальном воздействии наиболее удобным является метод ком- плексных амплитуд. О п р е д е ле н и е: Полагаем 1 i− = . Это число i называется мнимой единицей. Из определения очевидно, что i2 = –1. О п р е д е ле н и е: Число z = a + ib, где a, b – действительные числа, называется комплексным числом. При этом действительное число a называется действительной частью числа z = a + ib и обозначается a = Rez; действительное число b называется мнимой частью числа z = a + ib и обозначается b = Im z. Запись комплексного числа виде z = a + ib называют алгебра- ической формой комплексного числа. При 0a = комплексные числа называются мнимыми. О п р е д е ле н и е: Два комплексных числа 1 1 1z a ib= + , z2 = 2 2a ib= + считаются равными, если 1 2a a= и 1 2b b= . Комплексное число z = a + ib равно нулю, если 0a b= = . Комплексные числа 1z и 2z называются противоположными, если 1 2z z= − . О п р е д е ле н и е: Комплексное число z = a – ib называется числом, комплексно сопряженным с числом z = a + ib. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чи- сел 1z a ib= + и 2z c id= + определяются следующими правилами: 1 ( ) ( )2z z a ñ i b d+ = + + + 1 ( ) ( )2z z a ñ i b d− = − + − 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ),2z z a ib ñ id ac ibc iad i bd ac bd i ad bc⋅ = + ⋅ + = + + + = − + + т.е. при сложении, вычитании и умножении скобки раскрываются по обычным правилам, учитывается условие i2 = –1 и приводятся подобные. 1 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) . z a ib a ib c id ac bd i bc ad z c id c id c id c d ac bd bc ad i c d c d + + − + + − = = = = + + − + + − = + + +
- 21. 23 При делении необходимочислитель и знаменатель дроби умножить на число, комплексно сопряженное к знаменателю, раскрыть скобки и привести подобные. Пр и м е р. Если z1 = 2 + 5i, z2 = 4 + 3i, то z1 + z2 = (2 + 4) + i(5 + 3) = 6 + 8i, z1 – z2 = (2 – 4) + i(5 – 3) = –2 + 2i, z1 ⋅ z2 = (2 + 5i) ⋅ (4 +3i) = 8 + 20i + 6i +15i2 = –7 + 26i, 2 1 2 2 5 (2 5 )(4 3 ) 8 20 6 15 23 14 4 3 (4 3 )(4 3 ) 25 25 23 14 25 25 . z i i i i i i i z i i i i + + − + − − + = = = = = + + − = + 1.1.10 . Решение алгебраических уравнений с использованием комплексных чисел Алгебраическое уравнение вида 1 1 1 0... 0n n nx a x a x a− −+ + + + = с комплексными (в частности – с действительными) коэффициен- тами любой целой степени n всегда имеет n комплексных кор- ней (среди которых могут быть и одинаковые). Если в уравнении 1 1 1 0... 0n n nx a x a x a− −+ + + + = все коэффи- циенты действительные и уравнение имеет корень 0x a ib= + при 0b ≠ , то комплексно сопряженное число 0x a ib= − также являет- ся корнем этого уравнения. Полное квадратное уравнение 2 0ax bx c+ + = имеет два кор- ня 1,2 2 b D x a − ± = , где 2 4D b ac= − – дискриминант; 1x , 2x – кор- ни квадратного уравнения. Квадратное уравнение всегда имеет два корня. Если коэффи- циенты , ,a b c – действительные числа, то: 1) при 0D > корни 1x , 2x – различные действительные числа; 2) при 0D = корни 1x , 2x – равные действительные числа; 3) при 0D < уравнение не имеет действительных корней. Корни такого уравнения – сопряженные комплексные числа. В высшей математике обычно используют приведенное квад- ратное уравнение вида 2 0x px q+ + = . Уравнение 2 0ax bx c+ + = легко приводится к виду 2 0x px q+ + = :
- 22. 24 2 0 b c x x aa + + = . Если корни 1x , 2x уравнения 2 0x px q+ + = известны, то ( )( )2 1 2x px q x x x x+ + = − − . Для проверки правильности нахождения корней используют формулы Виета: 1 2 b x x a + = − ; 1 2 c x x a = или 1 2x x p+ = − ; 1 2x x q= . Пр и м е р 1. Решить уравнение 2 4 13 0x x− + = . П е р в ый с п о с о б: ( ) 2 1,2 4 4 4 13 4 36 4 6 2 3 ; 2 2 2 i x i ± − − ⋅ ± − ± = = = = ± В т о р о й с п о с о б (способ выделения полного квадрата): В этом способе постоянный коэффициент разделяют на два слагаемых ( )13 4 3= + таким образом, чтобы одно из слагаемых и члены, содержащие x и 2 x , образовывали полный квадрат ( )22 4 4 2x x x− + = − . После выделения полного квадрата уравне- ние можно представить в виде 2 2 4 13 4 4 9x x x x− + = − + + = ( )2 2 9 0x= − + = ; ( )2 1,22 9 2 3 2 3x x i x i− = − ⇒ − = ± ⇒ = ± . Пр и м е р 2. Решить уравнение 2 (1 2 ) 1 0x i x i− + + − = ( ) 2 1,2 1 2 1 2 1 2 4 ( 1) 1 2 1 . ; 1 . 2 2 i i i i x x i x i + ± + − ⋅ − + ± = = = = + Любой многочлен второй степени можно представить в виде произведения двух многочленов первой степени. Так, в примере 1: 2 4 13 ( (2 3 )) ( (2 3 ))x x x i x i− + = − − ⋅ − + , а в примере 2: 2 (1 2 ) 1 ( ) ( ( 1))x i x i x i x i− + + − = − ⋅ − − . В дальнейшем удобно будет считать, что многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней (среди которых могут быть и одинаковые). О п р е д е ле н и е: если уравнение имеет k одинаковых корней x0, то говорят, что корень x0 имеет кратность k.
- 23. 25 Пр и ме р 3. Найти все корни многочлена 5 4 3 6 9 0x x x− + = . Решение: 5 4 3 3 2 6 9 ( 6 9) ( 3) ( 3).x x x x x x x x x x x− + = − + = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − Выражение ( 3) ( 3)x x x x x⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − равно 0 тогда, когда равен нулю хотя бы один из сомножителей, т.е. x = 0 или x = 0 или x = 0 или x – 3 = 0 или x – 3 = 0. Значит, уравнение имеет 5 корней: 1 2 3 0x x x= = = , 4 5 3x x= = . Задачи к разделу 1.10 1.1.1. Для данных комплексных чисел найти сумму, обе раз- ности, произведение и оба частных: а) 1 3z = , 2z i= − ; б) 1 3z i= , 2 5 12z i= − ; в) 1 3 4z i= + , 2 3 4z i= − ; г) 1 2 7z i= + , 2 4 14z i= − ; д) 1 3 4z i= + , 2 5 12z i= − ; е) 1 1 3 2 2 z i= + , 2 1 3 2 2 z i= − . 1.1.2. Даны комплексные числа 1 3 4z i= + , 2 5 12z i= − . Найти: а) ( )1 23 2 3iz i z+ + ; б) 2 2 1 1 2 22 3 4z z z z− + ; в) 1 2 2 1 2 3 z z z z − + ; г) 1 2 2 1 2 3 z iz z z − + ; д) ( )( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 z z z z z z z z − − + + . 1.1.3. Найти действительные числа ,x y из комплексного уравнения ( ) ( )3 4 5 12 3i x i y i+ + − = + . 1.1.4. Решить квадратные уравнения: а) 2 4 5 0z z− + = ; б) 2 1 0z z+ + = ; в) ( )2 2 2 0z i z i+ − − = . 1.1.5. В предположении, что количество корней уравнения совпадает с его степенью (корни могут быть кратными), найти все корни уравнений: а) 2 16 0x + = ; б) 2 4 5 0x x+ + = ; в) 2 3 3 2 0 2 i x x i + − + = ; г) 4 2 13 36 0x x+ + = ; д) 4 2 2 1 0x x+ + = ; е) 9 7 5 8 16 0x x x+ + = .
- 24. 26 1.20 . Геометрическое представлениекомплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа В математике и технических науках используют два вида представлений комплексных чисел в геометрической форме на комплексной плоскости: 1) точечное представление комплексного числа; 2) векторное представление комплексного числа. О п р е д е ле н и е: Комплексной называют плоскость, между мно- жеством всех точек которой и множеством комплексных чисел существует взаимно однозначное соответствие. На комплексной плоскости вводится специальная прямоуголь- ная система координат, содержа- щая действительную и мнимую оси (рис. 5). При векторном представлении комплексного числа положе- ние точки ( ),M a b , соответствующей комплексному числу z a ib= + , на комплексной плоскости задается радиус-вектором. Каждому радиус-вектору OM r= uuuur r на комплексной плоскости соот- ветствует ровно одно комплексное число (взаимно однозначное соот- ветствие, рис. 6). Модуль (длина) радиус-векто- ра r r называется модулем ком- плексного числа 2 2 r z a b= = + r . Положение радиус-вектора r r от- носительно действительной оси определяется углом ϕ с положи- тельным направлением отсчета против часовой стрелки. Из определений сложения векторов и сложения комплексных чисел следует, что сложение комплексных чисел можно произво- дить геометрически как сложение соответствующих им векторов (рис. 7). Рис. 5. Комплексная плоскость Рис. 6. Векторное представление комплексного числа
- 25. 27 Алгебраическое и векторное представлениекомплексного чис- ла позволяет перейти к тригоно- метрической форме этого числа. Из рисунка следует, что а = cosr= ϕ, sinb r= ϕ, откуда полу- чаем: ( )cos sinz a ib r i= + = ϕ+ ϕ . Угол ϕ называется аргумен- том комплексного числа. Комплексное число в три- гонометрической форме в об- щем случае имеет бесконечное число аргументов, которые отли- чаются друг от друга на целое число оборотов (2 nπ , где n – чис- ло полных оборотов радиус-вектора вокруг начала координат). Чтобы значение аргумента было однозначным, выделяют главное значение аргумента arg z−π < ≤ π или 0 arg 2z≤ < π. Таким обра- зом, в общем случае ( ) ( )( )cos 2 sin 2z a ib z n i n= + = ϕ+ π + ϕ+ π . При использовании главного значения аргумента получим ( )cos sinz a ib z i= + = ϕ+ ϕ . Пр и м е р 1. Сопряженные комплексные числа 1 3z i= − + и 1 3z i= − − изобразить на комплексной плоскости и представить в три- гонометрической форме, используя главные значения аргумента. Решение: Модуль комплексного числа ( ) ( ) 22 1 3 2z z= = − + ± = . Для числа z имеем: 1 cos 2 − ϕ = , 3 sin 2 ϕ = . Поскольку си- нус положителен, а косинус отрицателен, ра- диус-вектор числа z расположен во втором координатном углу (втором квадранте координатной плоскости). Таким образом, по- лучаем: 2 2 2 cos sin 3 3 z i π π = + . Для числа 1 3z i= − − имеем: Рис. 7. Геометрическое сложение комплексных чисел Рис. 8. Пример 1
- 26. 28 1 cos 2 − ϕ = , 3 sin 2 − ϕ= и 4 4 2 cos sin 3 3 z i π π = + . Если считать, что 0 arg 2z≤ < π, то задача решена. Если же arg z−π < ≤ π, то угол 4 3 π не является главным значением аргумента. В этом слу- чае (см. рис. 8) 2 2 2 cos sin 3 3 z i − π π = + − . Таким образом, сопряженные комплексные числа в тригоно- метрической форме имеют одинаковые модули, а их аргументы различаются только знаками. Если главные значения аргумента не соответствуют углам, для которых числовые значения тригонометрических функций известны из школьной математики, то используют тригономет- рические таблицы или выражают аргумент через обратные три- гонометрические функции (arcsin,arccos,arctg). Пр и м е р 2. Представить комплексное число 5 12z i= − + в тригонометрической форме, используя главное значение аргу- мента. Изобразить комплексное число на комплексной плоскости. Решение: ( )2 2 5 12 13z = − + = . Поскольку 5 cos 13 − ϕ = , 12 sin 13 ϕ = , то радиус-вектор числа расположен во втором квад- ранте. Арксинус использовать напрямую нельзя, так как по опре- делению arcsin ; 2 2 x π π ∈ − . Поскольку [ ]arccos 0;x∈ π , то 5 arccos 0,64 12 ϕ = − ≈ π . ( )13 cos0,64 sin0,64z i≈ π + π . 1.2.10 . Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в целую степень Складывать и вычитать комплексные числа удобнее в алгеб- раической форме, умножать и делить – в тригонометрической. Пусть 1 1 1(cos sin )1z i= ρ ϕ + ϕ , 2 2 2(cos sin )2z i= ρ ϕ + ϕ , тогда 1 2 1 1 2 2(cos sin )(cos sin )1 2z z i i⋅ = ρ ρ ϕ + ϕ ϕ + ϕ =
- 27. 29 1 2 12 1 2 1 2 1 2((cos cos sin sin ) (cos sin sin cos ))i= ρ ρ ϕ ϕ − ϕ ϕ + ϕ ϕ + ϕ ϕ = 1 2 1 2 1 2(cos( ) sin( )).i= ρ ρ ϕ + ϕ + ϕ + ϕ Таким образом, при умножении комплексных чисел их моду- ли перемножаются, а аргументы складываются. 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 (cos sin ) (cos sin )(cos sin ) (cos sin ) (cos sin )(cos sin ) ((cos cos sin sin ) (sin cos sin cos )) (cos sin ) (cos( ) sin( )). 1 2 z i i i z i i i i i ρ ϕ + ϕ ρ ϕ + ϕ ϕ − ϕ = = = ρ ϕ + ϕ ρ ϕ + ϕ ϕ − ϕ ρ ϕ ϕ + ϕ ϕ + ϕ ϕ − ϕ ϕ = = ρ ϕ + ϕ ρ = ϕ − ϕ + ϕ − ϕ ρ Значит, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются. Замечание: Из вышесказанного следует, что для любых комплексных чисел z1, z2 имеют место равенства 1 2 1 2z z z z⋅ = ⋅ и 11 2 2 zz z z = . Пусть (cos sin )z i= ρ ϕ+ ϕ , тогда, поскольку при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются: 2 2 (cos2 sin 2 )z i= ρ ϕ+ ϕ ; 3 2 3 (cos3 sin3 )z z z i= ⋅ = ρ ϕ+ ϕ ; 4 3 4 (cos4 sin 4 )z z z i= ⋅ = ρ ϕ+ ϕ и т.д. Кроме того, 1 11 cos sin (cos( ) sin( )) (cos sin ) i z i i − −ϕ− ϕ = = = ρ −ϕ + −ϕ ρ ϕ+ ϕ ρ ; ( ) 22 1 2 (cos( 2 ) sin( 2 ))z z i− − − = = ρ − ϕ + − ϕ и т. д. Таким образом, имеет место формула Муавра: (cos sin )n n z n i n= ρ ϕ+ ϕ при n Z∈ . Пр и м е р. Найти z 4 , если z = –1 + i. Решение: Поскольку 3 3 2 cos sin 4 4 z i π π = + , то
- 28. 30 ( ) 4 4 33 2 cos 4 sin 4 4( 1 0 ) 4 4 4 z i i π π = ⋅ + ⋅ = − + ⋅ = − . 1.2.20 . Извлечение корней из комплексных чисел в тригонометрической форме О п р е д е ле н и е: Корнем степени n из комплексного числа z называется комплексное число w такое, что wn = z. Очевидно, что если (cos sin )z i= ρ ϕ+ ϕ , то число 0 cos sinnw i n n ϕ ϕ = ρ + , где под выражением n ρ подразумевает- ся арифметический корень степени n из действительного числа, является корнем степени n из числа z. Кроме того, при любом целом значении числа k комплексное число 2 2 cos sinn k k k w i n n ϕ+ π ϕ+ π = ρ + также является корнем степени n из числа z. Действительно: 2 2 cos sin (cos( 2 ) sin( 2 )) (cos sin ) . n k k k w n i n n n k i k i z ϕ+ π ϕ+ π = ρ ⋅ + ⋅ = = ρ ϕ+ π + ϕ+ π = ρ ϕ+ ϕ = Среди чисел 2 2 cos sinn k k k w i n n ϕ+ π ϕ+ π = ρ + различными являются только n чисел. Эти числа получаются, если числу k по- следовательно придавать значения k = 0, 1, 2, …, n – 1. Если представить эти корни в виде точек на комплексной плоскости, то эти точки будут лежать на окружности радиуса n ρ с центром в начале координат. При этом указанные точки будут делить окружность на n равных частей. Пр и м е р 1. Найти 3 i . Представить найденные корни в ал- гебраической форме. Решение: Найдем геометрическую форму числа i. Модуль числа равен 1, аргумент равен 2 π , поэтому cos sin 2 2 i i π π = + .
- 29. 31 Поскольку извлекается ко- реньтретьей степени ( 3n = ), в формуле 2 2 cos sinn k k k w i n n ϕ+ π ϕ+ π = ρ + надо будет брать три значения: 0, 1, 2k k k= = = . При 0k = : 0 0 0 3 12 2cos sin . 3 3 2 2 w i i π π + + = + = + При 1k = : 1 2 2 3 12 2cos sin 3 3 2 2 w i i π π + π + π − = + = + . При 2k = : 0 4 4 12 2cos sin 3 3 2 w i i π π + π + π = + = − . С помощью операции извлечения корня можно решать ал- гебраические уравнения вида 0n aw b+ = , где ,a b – действитель- ные или комплексные числа. Пр и м е р 2. Найти z при 3 1 2 2 z i= + . Решение: Найдем сначала геометрическую форму комплекс- ного числа 3 1 2 2 z i= + : 2 2 3 1 3 1 1 2 2 4 4 ρ = + = + = . 3 1 cos ; sin 2 2 ϕ = ϕ = , значит, 6 π ϕ = . Следовательно, 1 cos sin 6 6 z i π π = ⋅ + . 2 2 cos sin 2 2 k k z i ϕ+ π ϕ+ π = ρ + , 0, 1k = . При 0k = : 3 1 2 3 2 3 cos sin 2 2 12 12 2 2 i i i π π + − + = + = + . Рис. 9. Пример 1
- 30. 32 При 1k =: 3 1 13 13 2 3 2 3 cos sin 2 2 12 12 2 2 i i i π π + − + = + = − − . Замечание 1. Если комплексные числа, являющиеся корнями степени n из 1, отметить на комплексной плоскости, то они будут являться верши- нами правильного n-угольника с центром в начале координат. Замечание 2. Для любого комплексного числа c уравнение xn = c имеет ровно n различных комплексных корней. 1.2.30 . Показательная форма комплексного числа В математике и общетехнических науках, например, теорети- ческой электротехнике, широкое применение находит показа- тельная форма комплексного числа. К показательной форме комплексное число приводят с по- мощью формулы Эйлера cos sini e iϕ = ϕ+ ϕ. Значит, ( )cos sin i z i e ϕ = ρ ϕ+ ϕ = ρ . Основные операции с комплексными числами 1 1 1 i z e ϕ = ρ , 2 2 2 i z e ϕ = ρ в показательной форме производятся следующим образом: ( )1 2 1 2 1 2 i z z e ϕ +ϕ ⋅ = ρ ρ ; ( )1 21 1 2 2 iz e z ϕ −ϕρ = ρ ; 1 1 inn n z e ϕ = ρ ; 1 2 1 1 ; 0,1, ..., 1 k i nn nz e k n ϕ + π = ρ = − . Пр и м е р. Найти показательную форму комплексного числа ( )3 1u i= + . Решение: Пусть 4 1 1 1 2 2 cos sin 2 4 42 2 i z i i i e π π π = + = + = + = , то- гда 3 3 4 42 2 2 i i u e e π π = = .
- 31. 33 Задачи к разделу1.20 1.2.1. Найти геометрическую форму комплексных чисел а) 2z = ; б) 1z = − ; в) z i= ; г) 5z i= − ; д) 1 3 2 2 z i= + ; е) 1 3 2 2 z i= − ; ж) 1 3 2 2 z i= − + ; з) 2 2z i= + . 1.2.2. Найти модуль и аргумент комплексных чисел а) 3 3z i= + ; б) 3 4z i= + ; в) 2 7z i= − . 1.2.3. Для 2 2 3z i= − найти 5 z и 7 z . 1.2.4. Вычислить: а) 8i ; б) 32i− ; в) 3 4i+ ; г) 1 3i− . 1.2.5. Найти все комплексные корни: а) третьей степени из 1; б) восьмой степени из 1; в) четвертой степени из –1; г) шестой степени из –64; д) третьей степени из i. 1.2.6. В предположении, что количество корней уравнения совпадает с его степенью (корни могут быть кратными), найти все корни уравнений а) 6 1 0x − = ; б) 4 0x i+ = . 1.2.7. Решить уравнения а) 3 2 1 0x x x+ + + = ; б) 5 4 3 2 1 0x x x x x+ + + + + = . Указание: домножить урав- нения на 1x − . 1.2.8. Найти показательную форму комплексных чисел а) 2z = ; б) 1z = − ; в) z i= ; г) 5z i= − ; д) 1 3 2 2 z i= + ; е) 1 3 2 2 z i= − ; ж) 1 3 2 2 z i= − + ; з) 2 2z i= + . 1.2.9. Составить неравенства, задающие множества A, B, D, изображенные на рис. 10. Рис. 10. Задача 1.2.9
- 32. 34 1.2.10. Нарисовать накомплексной плоскости множества, удовлетворяющие условиям: а) 2z < ; б) 1 3z − > ; в) 3 1z i+ − < ; г) arg z < π; д) arg 6 3 z π π ≤ ≤ . 1.30 . Прикладные задачи по теме «Комплексные числа и операции с ними» В инженерных исследованиях комплексные числа широко используются в электротехнике при расчете электрических це- пей. С помощью этих чисел выполняются алгебраические опера- ции с синусоидальными токами и напряжениями одной и той же частоты, но с различными амплитудами и фазами. Комплексное число в показательной форме имеет вид i z re α = . Если принять, что α — переменная величина и tα = ω + ψ, где t — переменный параметр; ω и ψ — постоянные величины, то получим комплексную функцию действительного аргумента t, которую можно представить в виде произведения двух сомножителей i t z re eψ ω = ⋅ . В электротехнике и физике буква i используется для обозна- чения электрического тока, поэтому мнимую единицу обознача- ют так: 1j = − . Тогда электрический ток ( )sinmi I t= ω + ψ в комплексной форме можно представить в виде j j t j t mmi I e e I e • ψ ω ω = = , где mI — амплитудное значение электрического тока; ω — угло- вая частота ( constω = , 2 fω = π , где f — частота в герцах); ψ — начальная фаза тока при 0t = ; j m mI I e • ψ = — комплексная ампли- туда тока. Замечание: по существу для тока введена комплексная функция дей- ствительной переменной t (t — текущее время). В линейных электрических цепях синусоидальный ток и напряжение не изменяют своей угловой ча- стоты (изменяются только амплитуды и фазы этих величин, т.е. комплекс- ные амплитуды). Поэтому переменный множитель j t e ω фактически не участвует в расчетах. Его приписывают в окончательном результате или он сокращается при вычислениях. Поэтому все расчеты проводят с комплекс-
- 33. 35 ными амплитудами токаmI • , напряжениями mU • , электродвижущими си- лами mE • , т.е. с постоянными комплексными числами. Такой метод расчета называют методом комплексных амплитуд. В соответствии с общей методологией математического моде- лирования (см. приложение) реальные электрические системы за- меняются в линейном приближении расчетными схемами, содер- жащими идеальные элементы: источники тока, электродвижущие силы, активные, индуктивные и емкостные сопротивления. Последовательные соединения указанных сопротивлений за- меняют одним комплексным сопротивлением 1 Z r j L C = + ω − ω . Действительная часть любого комплексного сопротивления соответствует активному сопротивлению, на котором электриче- ская мощность рассеивается в виде тепловой энергии, мнимая часть соответствует реактивному сопротивлению цепи, которое изменяет фазовые соотношения между током и напряжением. Ре- активное сопротивление содержит индуктивное сопротивление ( LX L= ω ,L — индуктивность) и емкостное сопротивление ( 1 CX C = ω , C — емкость). Комплексные сопротивления при необходимости объединя- ют в одно сопротивление, используя расчетные формулы, приве- денные в таблице Исходные расчетные схемы Эквивалентные схемы и формулы 1 Z r j L C = + ω − ω параллельное соединение комплексных сопротивлений 1 2 1 2 Z Z Z Z Z = + последовательное соединение комплексных сопротивлений 1 2Z Z Z= +
- 34. 36 Рассмотрим простые примерырасчета электротехнических цепей. Пр и м е р 1. Найти комплексное полное сопротивление в по- казательной форме участка цепи, состоящего из последовательно соединенных активного сопротивления 8 Î ìr = и индуктивно- сти 0,0012 ÃíL = (генри), если угловая частота синусоидального тока 1 5000 ñ− ω = . Решение: в общем случае комплексное сопротивление в по- казательной форме имеет вид j Z Z e φ = . В нашем случае комплексное сопротивление в алгебраиче- ской форме 8 5000 0,0012 8 6Z r j L j j= + ω = + ⋅ = + . Модуль ком- плексного сопротивления 2 2 2 10 Î ìZ r L= + ω = . Аргумент комплексного сопротивления 6 tg 8 L r ω ϕ = = = 0,75= ⇒ 36 50′ϕ = o . Тогда получаем 36 50 10 j Z e ′⋅ = o . Аргумент комплексного сопротивления характеризует в коли- чественной форме сдвиг фаз между током и напряжениям в цепи. Рассмотрим методику расчета цепи переменного тока мето- дом комплексных амплитуд. Пр и м е р 2. Две параллельно соединенные катушки индуктивно- сти имеют комплексные сопротив- ления 1 5 8Z j= + , 2 4 4Z j= + . Опре- делить комплексную амплитуду тока в цепи (рис. 11, а) при напряжении 220 вольт. Решение: определяем полное ком- плексное сопротивление: ( )( )1 2 1 2 5 8 4 4 12 52 2,3 2,72 5 8 4 4 9 12 j jZ Z j Z j Z Z j j j + + − + = = = ≈ + + + + + + . Заменяем параллельно соединенные комплексные сопротив- ления 1Z и 2Z одним сопротивлением (рис. 11, б). Используя за- кон Ома в комплексной форме, получим комплексную амплитуду тока в алгебраической форме 220 39,88 47,16 2,3 2,72 m m U I j Z j • • = = ≈ − + . Рис. 11. Пример 2
- 35. 37 Переводим комплексную амплитудутока в показательную форму. Для этого находим амплитудное значение тока 2 2 39,88 47,16 61,8mI • = + ≈ . Начальная фаза тока: 47,16 tg 1,1825 39,88 − ψ = ≈ − 49 48′⇒ ψ ≈ − o . Комплексная амплитуда тока 49 48 61,8j j m mI I e e • • ′ωψ − ω = ≈ o . Если начальная фаза напряжения равна нулю, то сдвиг фаз между током и напряжением соответствует начальной фазе тока. Задачи к разделу 1.30 1.3.1. Найти комплексное сопротивление в показательной форме для участка цепи, состоящего из последовательно соеди- ненных элементов цепи с параметрами: а) 8 Î ìr = , 9 1,5 10 Ôñ − = ⋅ (фарада); б) 8 Î ìr = , 0,0012 ÃíL = , 9 1,5 10 Ôñ − = ⋅ . 1.3.2. Найти комплексное сопротивление в показательной форме для участка цепи, показанного на рис. 12, где 4 10 ÃíL − = , 1 1 Î ìr r= = , 2 2 Î ìr = , 9 1 2 10 Ôñ ñ − = = ⋅ , 9 2 10 Ôñ − = . Рис. 12. Задача 1.3.2 1.3.3. Найти комплексную амплитуду общего тока в электри- ческой цепи (рис. 12) при электрическом напряжении U = = 220 вольт. Определить сдвиг фаз между током и напряжением.
- 36. 38 Требования к практическомуусвоению темы «Комплексные числа и операции с ними» Студент должен знать: 1. Определение комплексного числа в алгебраической, три- гонометрической и показательной формах. 2. Перевод комплексного числа из одной формы в другую. 3. Геометрические интерпретации комплексных чисел в виде точек и векторов на комплексной плоскости. 4. Арифметические операции с комплексными числами в различных формах. 5. Извлечение корней произвольной степени из комплексных чисел. Студент должен уметь: 1. Переводить комплексные числа из одной формы в другую. 2. Представлять комплексные числа на комплексной плоско- сти. 3. Выполнять арифметические операции с комплексными числами в различных формах. 4. Извлекать корни из комплексных чисел. 5. Решать квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к квадратным и уравнения вида 0n au b+ = с действительными и комплексными коэффициентами. Ответы к задачам темы «Комплексные числа и операции с ними» 1.1.1. а) 1 2 3z z i+ = − ; 1 2 3z z i− = + ; 2 1 3z z i− = − − ; 1 2 3z z i= − ; 1 2 3 z i z = ; 2 1 1 3 z i z = − ; б) 1 2 5 9z z i+ = − ; 1 2 5 15z z i− = − + ; 2 1 5 15z z i− = − ; 1 2 36 15z z i= + ; 1 2 36 15 169 169 z i z = + ; 2 1 5 4 3 z i z = − − ; в) 1 2 6z z+ = ; 1 2 8z z i− = ; 2 1 8z z i− = − ; 1 2 25z z = ; 1 2 7 24 25 25 z i z = − + ; 2 1 7 24 25 25 z i z = − − ; г) 1 2 6 7z z i+ = − ; 1 2 2 21z z i− = − + ; 2 1 2 21z z i− = − ; 1 2 106z z = ; 1 2 45 14 106 53 z i z = − + ; 2 1 90 48 53 53 z i z = − − ; д) 1 2 8 8z z i+ = − ; 1 2 2 16z z i− = − + ; 2 1 2 16z z i− = − ;
- 37. 39 1 2 6316z z i= − ; 1 2 33 56 169 169 z i z = − + ; 2 1 33 56 25 25 z i z = − − ; е) 1 2 1z z+ = ; 1 2 3z z− = ; 2 1 3z z− = − ; 1 2 1z z = ; 1 2 1 3 2 2 z i z = − + ; 2 1 1 3 2 2 z i z = − − . 1.1.2. а) 34; б) 679 594i− − ; в) 1 2 2 i− + ; г) 315 154 386 386 i− + ; д) 17 32 . 1.1.3. 31 9 ; 46 56 x y= = . 1.1.4. а) 1,2 2z i= ± ; б) 1,2 1 3 2 2 z i= − ± ; в) 1 22;z z i= = . 1.1.5. а) 1 24 ; 4x i x i= = − ; б) 1 22 ; 2x i x i= − + = − − ; в) 1 1 1 ; 2 2 x i= + 2 2 2x i= + ; г) 1,2 3,42 ; 3x i x i= ± = ± ; д) 1 2 3 4;x x i x x i= = = = − ; е) 1 2 2x x i= = ; 3 4 2x x i= = − ; 5 6 7 8 9 0x x x x x= = = = = . 1.2.1. а) ( )2 cos0 sin0z i= + ; б) cos sinz i= π + π; в) cos 2 z π = + sin 2 i π + ; г) 3 3 5 cos sin 2 2 z i π π = + ; д) cos sin 3 3 z i π π = + ; е) cos 3 z π = − + sin 3 i π + − ; ж) 2 2 cos sin 3 3 z i π π = + ; з) 2 cos sin 4 4 z i π π = + . 1.2.2. а) 2 3; arg 3 z z π = = ;б) 4 5; arg arcsin 5 z z= = ;в) 53 argz z= = 7 arcsin 53 = − . 1.2.3. 5 512 512 3z i= + , 7 8192 8192 3z i= − . 1.2.4. а) ( )8 2 2i i= ± + ; б) ( )32 4 4i i− = ± − ; в) 3 4i+ = ( )2 5 5i= ± + ;г) 3 1 1 3 2 2 i i − = ± − . 1.2.5. Найти все комплексные корни: а) 0 1w = ; 1,2 1 3 2 2 w i= − ± ; б) 1 1 1; ; 2 2 i i± ± ± ± ; в) 1 1 2 2 i± ± ; г) ( ) ( )2 3 ; 2 ; 2 3i i i± + ± ± − ; д) 3 1 ; 2 2 i i− ± + . 1.2.6. а) 1 3 1 3 1; ; 2 2 2 2 i i ± ± + ± − ± ;
- 38. 40 б) 2 22 2 ; 2 2 i + − ± + 2 2 2 2 2 2 i − − ± + . 1.2.7. а) 1; i− ± ; б) 1 3 1; 2 2 i− ± ± . 1.2.8. а) 0 2z e= ; б) i z e π = ; в) 2z e π = ; г) 3 25 i z e π = ; д) 3 i z e π = ; е) 3 i z e π − = ; ж) 2 3 i z e π = ; з) 42z e π = . 1.2.9. }{ | , 1,5 Re 0, Im 0A z z C z z= ∈ − ≤ ≤ ≥ ; }{ | , 3 1B z z C z= ∈ − ≤ ; | ,0 arg 6 C z z C z π = ∈ ≤ ≤ ; 1.2.10. Рис. 13. Решение задачи 1.2.10 Тема 2: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Центральной задачей линейной алгебры является решение систем линейных уравнений с конечным числом неизвестных. Такие системы уравнений широко встречаются в задачах строи- тельной механики, теоретической электротехнике, теории авто- матического управления. Для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вводятся новые математические объекты (определители, матрицы, векторы) и алгебраические операции с ними. Умение выполнять алгебраические операции с указанными математиче-
- 39. 41 скими объектами ирешать СЛАУ с их использованием является одной из основных задач изучения данного раздела высшей ма- тематики. 2.10 . Определители: вычисление и применение О п р е д е ле н и е: Определи- тель n-го порядка — это матема- тический объект, представляю- щий число, вектор или функцию в виде квадратной таблицы, со- держащей по n элементов в каж- дой строке и каждом столбце (рис. 14). Число строк (столбцов) в определителе определяет его поря- док. Элементами в определителе могут быть действительные или комплексные числа, а также функции. ija — элемент определителя (i — номер строки, j — номер столбца). Представление векторов и числовых функций с помощью определителей существенно повышает компактность записи ма- тематических соотношений и является эффективным способом сокращения вычислений. О п р е д е ле н и е: Определителем второго порядка называет- ся математический объект вида 11 12 11 22 12 21 21 22 a a a a a a a a = − . Левая часть равенства является свернутой (табличной) фор- мой определителя. Правая часть представляет собой определи- тель в развернутой форме и одновременно правило вычисления определителя в символьной форме. Пр и м е р ы: 1) ( ) 2 4 2 3 4 1 6 4 10 1 3 = ⋅ − − ⋅ = − − = − − ; 2) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 i i i i = ⋅ − ⋅ = − − = ; Рис. 14. Определитель
- 40. 42 3) ( )( ) 21 1 1 1 3 1 1 x x x x x x x x + − = + − − = + + . О п р е д е ле н и е: Определителем третьего порядка называ- ется математический объект, представленный в виде 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 31 32 33 13 31 22 12 21 33 23 32 11. a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − − Развернутую форму представления определителя третьего порядка в правой части равенства запоминать не нужно. Ее мож- но записать и при необходимости вычислить, используя следую- щие правила: 1) правило треугольников (правило Саррюса); 2) правило дополнительных столбцов; 3) правило разложения по элементам строки или столбца. Сущность правила треугольников легко понять, запомнить и использовать согласно схеме (рис. 15). Для запоминания правила дополнительных столбцов также удобно использовать мнемоническую схему (рис. 16). Рис. 15. Правило треугольников Рис. 16. Правило дополнительных столбцов Замечание. Элементы, перечеркнутые по диагонали, перемножаются. В результате получаем одночлены, которые суммируются или вычитаются согласно схеме. Пр и м е р. Вычислить определитель 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .
- 41. 43 Решение: 1 2 3 45 6 1 5 9 2 6 7 3 4 8 3 5 7 2 4 9 7 8 9 1 6 8 45 84 96 105 72 48 0. = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ = + + − − − = Правило разложения по элементам строки или столбца яв- ляется частным случаем способа разложения, который можно ис- пользовать для определителя любого порядка. Для определителя третьего порядка правило разложения в символьной форме мож- но представить так (если разложение производить по элементам первой строки): 11 12 13 21 22 23 11 11 12 12 13 13 31 32 33 a a a a a a a M a M a M a a a = − + = 22 23 21 23 21 22 11 12 13 32 33 31 33 31 32 a a a a a a a a a a a a a a a = − + , где 11 12 13, ,M M M — миноры элементов первой строки определи- теля. Миноры определителя третьего порядка — это определители второго порядка, которые получаются удалением из исходного определителя элементов строки и столбца, соответствующих ин- дексам минора. В рассмотренном примере миноры 11 12 13, ,M M M получены удалением элементов первой строки и соответственно первого, второго и третьего столбца. Разложение определителя можно производить по элементам любой строки или столбца. Знаки слагаемых в разложении опре- делителя располагают в шахматном порядке согласно схеме + − + − + − + − + . Пр и м е р. Разложить определитель по элементам второго столбца.
- 42. 44 12 22 32 xa a a x a aM xM aM a a x − = − + − = ( )2 2a a x a x a a x a x x a a x a x a a − = − + − = − − . 2.1.10 . Решение неоднородных СЛАУ с помощью определителей (по формулам Крамера) О п р е д е ле н и е: Системой m линейных уравнений от n неиз- вестных называется система уравнений 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... ... ... n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = , где ( )1, ..., , 1, ...,ija i m j n= = – постоянные коэффициенты; ib – свободные члены (постоянные числа); xi — неизвестные, значе- ния которых требуется определить. Первый индекс i числа aij означает номер уравнения в системе, второй индекс j – номер неизвестного. Решением СЛАУ называют множество действительных чисел 0 0 0 1 2, , ..., nx x x , которые при подстановке их вместо неизвестных 1 2, , ..., nx x x в каждое уравнение системы обращают его в тождество. Система линейных алгебраических уравнений называется не- однородной, если хотя бы один из свободных коэффициентов 1 2, ,..., nb b b не равен нулю. Если число уравнений равно числу неизвестных ( )m n= , то такую неоднородную систему называют крамеровской. Ее можно решить при определенных условиях с помощью определителей по формулам Крамера. Для системы 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ... ... ........... ... 1 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + =
- 43. 45 корни находят поформулам Крамера (при 0∆ ≠ ) 1 2 1 2, ,..., n nx x x ∆∆ ∆ = = = ∆ ∆ ∆ , где 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... n n n n nn a a a a a a a a a ∆ = – основной определитель из коэффици- ентов СЛАУ; 1 12 1 2 22 2 1 2 ... ... ... ... ... n n n n nn b a a b a a b a a ∆ = – первый вспомогательный определи- тель, полученный заменой в основном определителе элементов первого столбца соответствующими свободными членами; 11 1 1 21 2 2 2 1 ... ... ... ... ... n n n n nn a b a a b a a b a ∆ = – второй вспомогательный определи- тель, полученный заменой в основном определителе элементов второго столбца соответствующими свободными членами и так далее до определителя n∆ включительно. Замечание. Формулы Крамера компактны и удобны при изложении теоретических вопросов. Практическое вычисление корней СЛАУ по ука- занным формулам является трудоемким, так как объем вычислений резко возрастает с увеличением порядка определителя. Поэтому по формулам Крамера решают СЛАУ не выше четвертого порядка. Пр и м е р. Решить систему линейных уравнений 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 4 3 2 3 4 2 7 8 x x x x x x x x x + + = − + = + − = .
- 44. 46 Решение: 1 2 1 32 3 24 2 7 1 ∆ = − = − ; 1 4 2 1 4 2 3 24 8 7 1 ∆ = − = − ; 2 1 4 1 3 4 3 24 2 8 1 ∆ = = − ; 3 1 2 4 3 2 4 24 2 7 8 ∆ = − = . По формулам Крамера получим: 1 1 24 1 24 x ∆ = = = ∆ ; 2 2 24 1 24 x ∆ = = = ∆ ; 3 3 24 1 24 x ∆ = = = ∆ . 2.1.20 . Вычисление определителей четвертого и более высоких порядков Определители высоких порядков ( )3n > можно вычислять методом понижения порядка, используя разложение определите- ля по элементам какой-либо строки или столбца 11 12 1 21 22 2 1 1 2 2 1 2 ... ... ... ... ... ... n n i i i i in in n n nn a a a a a a a A a A a A a a a = + + + (разложение по i-й строке) 11 12 1 21 22 2 1 1 2 2 1 2 ... ... ... ... ... ... n n j j j j nj nj n n nn a a a a a a a A a A a A a a a = + + + (разложение по j -му столбцу) 1 2 1 2, , ..., , , , ...,i i in j j njA A A A A A –- алгебраические дополнения эле- ментов определителя; ( )1 i j ij ijA M + = − – алгебраическое дополне- ние элемента ija ; ijM – минор определителя, полученный удале- нием из него i-й строки и j -го столбца.
- 45. 47 Полученные после такогоразложения миноры являются определителями ( )1n − -го порядка, которые можно снова разло- жить по какой-либо строке или столбцу. После многократного разложения придем к минорам третьего или второго порядков, которые вычисляются по правилам, разобранным выше. Данный алгоритм приводит к большому объему вычислений. Например, вычисление определителя пятого порядка в общем случае сводится к вычислению пяти определителей четвертого порядка после первого разложения или двадцати определителей третьего порядка после второго разложения. Чтобы уменьшить объем вычислений предварительно произ- водят «обнуление элементов» определителя с использованием следующих свойств: 1) Если в определителе ∆ все элементы какой-либо строки или столбца равны нулю, то ∆ = 0. 2) Если в определителе поменять местами две строки или столбца, то определитель изменит знак на противоположный. 3) Если в определителе имеются две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то определитель равен нулю. 4) Если все элементы какой-либо строки или столбца умно- жить на одно и то же число, то значение определителя умножится на то же число. 5) Если в определителе имеются две пропорциональные строки или два пропорциональных столбца, то значение опреде- лителя равно нулю. 6) Если к элементам какой-либо строки (столбца) определи- теля прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то значение опре- делителя не изменится. Пр и м е р. Вычислить определитель 1 3 2 5 4 0 1 2 0 5 3 2 3 2 0 1 − − − − . Решение: пользуясь свойством 6, получим нули вместо эле- ментов a21, a41. Для этого умножим первую строку на (–4) и поэлементно прибавим ко второй строке (рис. 17):
- 46. 48 –4 –12 8–20 + 4 0 –1 2 = 0 –12 7 –18 Затем умножим первую строку на 3 и прибавим к четвертой строке: 3 9 –6 15 + –3 2 0 1 = 0 11 –6 16 Получим, раскладывая определитель по первому столбцу: 1 3 2 5 12 7 18 12 7 18 0 12 7 18 1 5 3 2 5 3 2 0 5 3 2 11 6 16 11 6 16 0 11 6 16 − − − − − − − = ⋅ − = − − − − − . Полученный определитель третьего порядка можно уже вы- числить по правилу треугольников или по правилу дополнитель- ных столбцов, но можно снова воспользоваться методом «обну- ления элементов», примененным выше к определителю четверто- го порядка. 12 7 18 1 1 2 0 1 0 2 8 5 3 2 5 3 2 2 3 8 5 4 11 6 16 11 6 16 5 6 4 ( 8 40) 48. − − − − − − = − = − = − = − − − = − − − = Были произведены следующие действия: 1) к первой строке прибавили третью; 2) к первому столбцу прибавили второй и к третьему столбцу прибавили второй, умноженный на 2; 3) разложили определитель по второму столбцу; 4) вычислили определитель второго порядка. Для контроля промежуточных вычислений рекомендуется использовать дополнительный контрольный столбец. Элемент контрольного столбца равен сумме элементов соответствующей строки. При преобразовании строки тем же преобразованиям подвергается и соответствующий элемент контрольного столбца. Затем элементы преобразованной строки суммируются и сравни- Рис. 17. Обнуление элементов столбца
- 47. 49 ваются с преобразованнымэлементом контрольного столбца. При несовпадении полученных чисел ищем ошибку. Пр и м е р. Вычислить определитель 1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1 − − − − − − . Решение: введем контрольный столбец: 1 2 3 4 | 6 2 1 4 3 | 2 3 4 1 2 | 4 4 3 2 1 | 8 − − − − − − − . С помощью первой строки обнуляем элементы первого столбца: 1 2 3 4 | 6 0 5 10 5 | 10 0 2 10 14 | 22 0 11 10 17 | 16 − − − − − − − − − − . Сумма чисел по каждой строке совпадает с соответствующим контрольным элементом. Вынесем общий множитель 5 из второй строки и общий множитель 2 из третьей строки: 1 2 3 4 | 6 0 1 2 1 | 2 10 0 1 5 7 | 11 0 11 10 17 | 16 − − − − ⋅ − − − − − − . Сумма чисел по каждой строке совпадает с соответствующим контрольным элементом. С помощью второй строки обнуляем соответствующие элементы второго столбца: 1 2 3 4 | 6 0 1 2 1 | 2 10 0 0 3 6 | 9 0 0 12 6 | 6 − − − − ⋅ − − − − .
- 48. 50 Сумма чисел покаждой строке совпадает с соответствующим контрольным элементом. Вынесем общий множитель ( )3− из третьей строки и общий множитель ( )6− из четвертой строки: 1 2 3 4 | 6 0 1 2 1 | 2 180 0 0 1 2 | 3 0 0 2 1 | 1 − − − − ⋅ − − . Сумма чисел по каждой строке совпадает с соответствующим контрольным элементом. С помощью третьей строки обнулим последний элемент (в четвертой строке): 1 2 3 4 | 6 0 1 2 1 | 2 180 0 0 1 2 | 3 0 0 0 5 | 5 − − − − ⋅ . Сумма чисел по каждой строке совпадает с соответствующим контрольным элементом. Значение определителя равно 180 1 1 1 5 900⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = . Задачи к разделу 2.10 2.1.1. Вычислить определители второго порядка: а) 5 2 7 3 − − ; б) 1 2 6 3 − − ; в) 2 4 3 6 − − ; г) 512 1024 128 512 ; д) 0,875 0,375 0,375 0,125 − ; е) 1 1 2 3 7 5 6 18 ; ж) 3 1 2 2 1 3 22 − . 2.1.2. Вычислить определители второго порядка: а) 2 s t st s t + − − ; б) 2 1 4 1 3 5 5 7 1 6 1 4 5 7 3 5 3 5 2 x y x y x y x y ; в) 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b b a a b a b + + − + + ;
- 49. 51 г) cos sin sin cos ϕϕ − ϕ ϕ ; д) log log log log a b c b b c b a . 2.1.3. Вычислить определители второго порядка: а) 5 2 7 3 i i − − ; б) 5 2 3 2 3 2 5 2 i i i i − + − + ; в) 4 14 9 ix ix ix ix e e e e− . 2.1.4. Вычислить определители третьего порядка: а) 1 2 3 3 5 2 2 4 3 ; б) 7 8 1 8 1 7 1 7 8 ; в) 1 2 3 0 5 2 0 0 3 ; г) 1 1 1 2 3 5 1 1 1 3 5 2 1 1 1 5 2 3 . 2.1.5. Вычислить определители третьего порядка: а) 0 0 0 0 0 0 a b c ; б) 0 0 0 a d e b f c ; в) 0 0 0 a d b e f c ; г) 0 0 0 0 0 0 a b c ; д) 0 0 0 a b d c e f ; е) 0 0 0 d e a f b c ; ж) 0 0 0 a b a c b c − − − ; з) 2 2 2 1 1 1 x y z x y z ; и) 1 sin cos 1 sin cos 1 sin cos α α β β γ γ ; к) 2 2 2 2 2 2 cos sin cos2 cos sin cos2 cos sin cos2 α α α β β β γ γ γ . 2.1.6. Вычислить определители третьего порядка: а) 0 1 0 2 3 1 3 2 0 i i i i i i − − − − − ; б) 1 3 1 3 1 2 1 2 2 1 3 1 3 1 2 2 2 2 a b c i i i i + − + − .
- 50. 52 2.1.7. Вычислить определителичетвертого порядка а) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − ; б) 5 2 3 3 6 4 5 2 7 8 5 5 6 5 4 4 − − − ; в) 2 2 6 10 15 10 2 15 5 6 6 21 10 2 3 2 3 5 3 − . 2.1.8. Вычислить определители четвертого порядка а) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a b c d ; б) 0 0 0 0 0 0 a e f g b h x c y d ; в) 0 0 0 0 a b c a d e b d f c e f − − − − − − . 2.1.9. Решить уравнения а) 7 3 1 15 2 1 0 8 3 1 x x x x x + + + = − ; б) 2sin cos sin 1 cos sin cos 1 0 cos sin sin 3 α α − α α + α α = α − α α . 2.1.10. Найти все значения параметра a, при которых систе- ма уравнений имеет единственное решение а) ( ) 2 1 5 6 2 a x y a x y − = − + = ; б) sin 0 cos 0 x a y x y a + = + = ; в) 1 1 1 ax y z x ay z x y az + + = + + = + + = . 2.1.11. Решить системы уравнений по правилу Крамера: а) 2 9 3 2 7 x y x y + = − = ; б) 2 3 9 3 2 7 x y x y + = − = ; в) 0,5 3,5 9,1 1,2 2,4 7,8 x y x y + = − = ; г) 1 3 2 ix y x iy i + = − = ; д) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 3 2 5 2 i x i y i i x y i − + + = + + − = − .
- 51. 53 2.1.12. Решить системыуравнений по правилу Крамера: а) 3 1 2 2 4 4 4 2 x y z x y z x y z + + = − − + = − + + = − ; б) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 4 2 11 2 4 2 4 3 2 4 11 x x x x x x x x x + − = + − = − + = ; в) 3 4 17 5 4 14 3 5 18 x y y z z x + = + = + = ; г) 3 1 2 2 4 4 4 2 ix y z x iy z x y iz + + = − − + = − + + = − . 2.1.13. Решить системы уравнений по правилу Крамера а) 10 6 4 2 x y z t x y z t x y z t x y z t + + + = − + + = + − + = + + − = ; б) 1 2 3 4 y z t x z t x y t x y z + + = + + = + + = + + = . 2.20 . Матрицы и операции с ними При исследовании технических, экономических и производ- ственных систем в линейном приближении матрицы являются наиболее удобными и, по существу, незаменимыми математиче- скими объектами для записи и обработки количественной ин- формации на компьютерах. В строительной механике широко ис- пользуются матричные методы расчета в форме метода конечных элементов. Матричные методы лежат в основе многих методов оптимизации технических и производственных систем. О пр е д е ле ние: матрицей называется математический объ- ект с общим числом элементов n m× , которые расположены в ви- де прямоугольной таблицы из n строк и m столбцов (n m× – размер матрицы, в общем случае n m≠ ). 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... m m n n nm a a a a a a a a a Элементами матрицы ija ( )1, 2, ..., ; 1, 2, ...,i n j m= = могут быть числа, функции, матрицы меньших размеров. В отличие от
- 52. 54 определителей матрицы нельзявыразить в виде одного числа (кроме простейшего случая 1n m= = ). Замечание 1. В записи ija первый индекс i является номером строки, в которой расположен элемент ija , второй индекс j – номером столбца. Замечание 2. Если n m= , то матрица называется квадратной матрицей. Замечание 3. Говорят, что элементы квадратной матрицы 11,a 22 , ..., nna a расположены на главной диагонали квадратной матрицы, а эле- менты 1 1, ...,n na a – на побочной диагонали. Замечание 4. Матрицы будем обозначать заглавными буквами латин- ского алфавита: A, B, C, D… О пр е д е ле ние: Если 1n = , то матрицу называют матри- цей-строкой. Если 1m = , то матрицу называют матрицей- столбцом. О пр е д е ле ние: Две матрицы называются равными, если у них одинаковые порядки ( )n m× и равны числа, стоящие на соот- ветственных местах этих матриц. О пр е д е ле ние: Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Нулевые матрицы будем обозначать бук- вой Î . Квадратная матрица называется единичной, если все элемен- ты ее главной диагонали равны 1, а все остальные элементы рав- ны нулю. О пр е д е ле ние: Матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Матрица называется правой верхнетреугольной, если все ее элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. Матрица называется левой нижнетреугольной, если все ее элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю. Замечание. Совокупность элементов квадратной матрицы (n m= ) при необходимости можно рассматривать как определитель, который является числовой характеристикой матрицы и позволяет устанавливать, является ли матрица вырожденной ( 0∆ = ). Над матрицами можно выполнять следующие линейные опе- рации, после выполнения которых получаются матрицы того же размера: 1) умножение матрицы на число; 2) сложение (вычитание) матриц.
- 53. 55 Обе эти операциипроизводятся поэлементно. Замечание 1. Очевидно, что для любых матриц А, В и С выполняются равенства: A B B A+ = + и ( ) ( )A B C A B C+ + = + + Замечание 2. Очевидно, что для любой матрицы A верно A O A+ = . Пр и м е р 1. 1 3 2 2 6 4 2 ; 7 0 5 14 0 10 1 3 2 4 1 0 5 2 2 ; 7 0 5 6 2 2 1 2 7 − − ⋅ = − − + = − 1 3 2 4 1 0 3 4 2 7 0 5 6 2 2 13 2 3 − − − − = − − . Произведение матриц О пр е д е ле ние: Матрицы A и B в произведении A B⋅ бу- дем называть согласованными, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. В этом и только в этом случае матрицу A можно умножать на матрицу B. О пр е д е ле ние: Если матрица 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... m m n n nm a a a a a a A a a a = име- ет порядок n m× , а матрица 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... k k m m mk b b b b b b B b b b = – порядок m k× (т.е. матрицы согласованы), то матрицу А можно умножать на матрицу В. При этом получится матрица С порядка n k× , эле- менты которой находятся по правилу 1 1 2 2 ...ij i j i j im mjc a b a b a b= + + + , т.е. каждый элемент i-й строки матрицы A умножается на соот- ветствующий (по порядку) элемент j-го столбца матрицы B, и полученные попарные произведения складываются.
- 54. 56 Пр и ме р 2. 4 3 2 1 5 6 7 8 A = , 1 2 6 3 4 1 5 0 3 7 8 5 B − − = − − . Найти AB . Решение: ( )11 4 1 3 3 2 5 1 7 10c = ⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅ = ; ( )12 4 2 3 4 2 0 1 8 12c = ⋅ − + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ; ( ) ( )13 4 6 3 1 2 3 1 5 20c = ⋅ + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ = ; ( )21 5 1 6 3 7 5 8 7 44c = ⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅ = ; ( )22 5 2 6 4 7 0 8 8 78c = ⋅ − + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ; ( ) ( )23 5 6 6 1 7 3 8 5 43c = ⋅ + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ = ; 10 12 20 44 78 43 C AB = = . Для проверки правильности умножения матриц A B C⋅ = ре- комендуется использовать следующее равенство: A B CS S S⋅ = , где AS – матрица-строка, в которой каждый элемент равен сумме всех элементов соответствующего столбца матрицы A; BS – мат- рица-столбец, в которой каждый элемент равен сумме всех эле- ментов соответствующей строки матрицы B; CS равно сумме всех элементов матрицы C . В рассмотренном примере: ( ) ( )4 5 3 6 2 7 1 8 9 9 9 9AS = + + + + = ; ( ) ( ) ( ) 51 2 6 63 4 1 85 0 3 207 8 5 BS + − + + + − = = −− + + − + + ; ( ) 5 6 9 9 9 9 207 8 20 A BS S ⋅ = ⋅ = − ;
- 55. 57 10 44 1278 20 43 207C A BS S S= + + + + + = = . Если бы равенство A B CS S S⋅ = не выполнялось, это значило бы, что вычисления содержат ошибки. Операция умножения в общем случае не обладает свойством коммутативности: AB BA≠ . В связи с этим различают умноже- ние матрицы A на матрицуB справа и слева. Кроме того, у пря- моугольных матриц (m n≠ ) может существовать одно из произ- ведений ,AB BA, а второе – нет. Пр и м е р. Для матриц 4 3 2 1 5 6 7 8 A = , 1 2 6 3 4 1 5 0 3 7 8 5 B − − = − − произведение AB существует, а произведение BA не существует. Замечание. Если Е – единичная матрица, А – согласованная с ней квадратная матрица, то AE EA A= = . Транспонированием матрицы называется операция, при кото- рой каждая строка становится столбцом с тем же номером (условное обозначение операции транспонирования матрицы T A ). Пр и м е р. Если 1 3 2 7 0 5 A − = , то 1 7 3 0 2 5 T A = − . Операция транспонирования обладает следующими свой- ствами: 1) ( ) TT A A= ; 2) ( )T T T A B A B+ = + ; 3) ( )T T T AB B A= . Задачи к разделу 2.20 2.2.1. Составить матрицу порядка 4 4× , элементы которой удовлетворяют соотношениям а) ija i= ; б) 2ija i j= + − ; в) ija i j= − ; г) ij i a j = ;
- 56. 58 д) ija равнонаибольшему из чисел ,i j. 2.2.2. На рис. 18 изображен так назы- ваемый «неориентированный граф». Его вершины обозначены цифрами. Линии, со- единяющие вершины, называются ребра- ми графа. Две вершины называются смежными, если они соединены ребром. Составить матрицу, элементы ija которой равны 1, если вершины, обозначенные цифрами i и j, смежны, и 0 – если они не смежны. Каждая верши- на считается смежной сама с собой. 2.2.3. Матрицы систематически применяются при решении систем линейных уравнений. Для данной системы линейных уравнений составьте матрицу, в i-й строке которой находятся ко- эффициенты i-го уравнения, а в j-м столбце – коэффициенты при j-м неизвестном а) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 4 2 11 2 4 2 4 3 2 4 11 x x x x x x x x x + − = + − = − + = ; б) 3 5 4 10 6 x y y z z u x u v x v + = + = + = + + = + = . 2.2.4. Составьте матричную модель аудитории, в которой Вы находитесь, приписывая каждому месту для сидения число 0, ес- ли оно никем не занято, число 1, если оно занято лицом мужского пола, и число –1, если оно занято лицом женского пола. 2.2.5. Даны матрицы 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 = A , 0 0 0 2 0 0 2 1 2 1 0 0 1 0 0 0 = B . Найти матрицу 2А – 3В. 2.2.6. Определить, какие из перечисленных матриц можно перемножать, и найти эти произведения Рис. 18. Задача 2.2.2
- 57. 59 ( )1 20 3A = − ; 0 5 1 2 0 2 0 3 0 1 B − = − ; 2 1 4 3 C = ; 0 3 1 2 4 0 2 1 D − = − ; 5 2 1 5 2 0 2 0 1 2 5 5 F = ; 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 G = . 2.2.7. Определить, какие из перечисленных матриц можно перемножать, и найти эти произведения ( )5 2 1A i i= − + ; 2 0 3 0 0 i i B i + = − ; 0 1 0 2 1 2 0 i C i i i = − − − ; 2 2 0 0 i i D i i + − = − ; 3 2 4 3 i F i i + = − ; 1 0 0 1 0 0 1 i i G i i i − = − − . 2.2.8. Найти произведения АВ и ВА. Сделать вывод о резуль- тате перемножения диагональных и треугольных матриц. Посчи- тать определители матриц А, В, АВ и ВА и сделать соответствую- щий вывод. а) 1 0 0 0 2 0 0 0 3 A = , 2 0 0 0 4 0 0 0 5 B = − ; б) 1 4 5 0 2 6 0 0 3 A − = − , 2 1 1 0 3 4 0 0 5 B − = − ; в) 1 0 0 4 2 0 5 7 3 A = − − , 2 0 0 1 3 0 4 5 5 B = − − ;
- 58. 60 2.2.9. Даны выраженияпеременных x1, x2, x3 через перемен- ные y1, y2, y3 и выражения переменных y1, y2, y3 через переменные z1, z2, z3: 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 3 31 1 32 2 33 3 1x a y a y a y x a y a y a y x a y a y a y = + + = + + = + + , 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 3 31 1 32 2 33 3 1y b z b z b z y b z b z b z y b z b z b z = + + = + + = + + . а) Убедиться в том, что выражения коротко можно записать так: ,X AY Y BZ= = , где 1 2 3 x X x x = , 1 2 3 y Y y y = , 1 2 3 z Z z z = , 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a = , 11 12 13 21 22 23 31 32 33 b b b B b b b b b b = . б) Пусть X CZ= . Убедиться в том, что C A B= ⋅ . 2.2.10. Для матрицы A из задачи 2.2.5 найти матрицу A2 – – 5A + 6E, где E – единичная матрица. 2.2.11. Даны матрицы 0 1 2 3 0 0 1 2 ; 0 0 0 1 0 0 0 0 A = 0 0 1 5 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 B = . Найти наименьшие натуральные числа ,n m такие, что 0, 0n m A B= = . 2.2.12. Убедиться, что данная матрица A удовлетворяет за- данному соотношению а) 2 2 1 3 A = ; A2 – 5A + 4E = 0; б) 5 2 3 6 A = ; A2 – 11A + 24E = 0;
- 59. 61 в) 1 4 5 02 6 0 0 3 A = ; A3 – 6A2 + 11А – 6E = 0. 2.30 . Обратная матрица: вычисление и применение Операции деления матриц нет. Вместо этой операции ис- пользуют операцию умножения матрицы B справа или слева на матрицу, обратную к матрице A. Матрица A имеет обратную, если: 1) она является квадратной (m n= ); 2) она является невырожденной ( 0A ≠ ). О пр е д е ле ние: Матрица 1 A− называется обратной по от- ношению к квадратной матрице A, если оба их произведения равны единичной матрице: 1 1 A A AA E− − = = . Обратную матрицу вычисляют двумя способами: 1) способ присоединенной матрицы; 2) способ элементарных преобразований объединенной мат- рицы. 2.3.10 . Нахождение обратной матрицы способом присоединенной матрицы В способе присоединенной матрицы обратную матрицу находят по формуле 1 1 A A A − = % , где A% – присоединенная (союз- ная) матрица: 11 21 1 12 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n n n nn A A A A A A A A A A = % , где ( )1 i j ij ijA M + = − – алгебраическое дополнение элемента ija ; ijM – минор, соответствующий элементу ija .
- 60. 62 Алгоритм вычисления обратнойматрицы способом присоединенной матрицы: 1. Находим определитель A исходной матрицы A. Если 0A = , то матрица A не имеет обратной. 2. Если 0A ≠ , то транспонируя исходную матрицу, получим матрицу T A . 3. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы T A и строим присоединенную матрицу A% . 4. Находим обратную матрицу по формуле 1 1 A A A − = % . 5. Проверяем правильность вычислений, используя равенство 1 A A E− = . Замечание 1. Алгебраические дополнения ijA и соответствующие ми- норы ijM всегда равны по абсолютной величине, но могут различаться только знаками. Числа ijA и ijM имеют одинаковые знаки, если сумма ин- дексов i j+ является четным числом, и имеют противоположные знаки, если i j+ – нечетное число. Учитывая это, можно вычислять миноры мат- рицы T A и подставлять их в присоединенную матрицу A% с соответствую- щими знаками. Например, для матрицы 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a = получим 11 21 31 12 22 32 13 23 33 M M M A M M M M M M − = − − − % . Замечание 2. После деления элементов присоединенной мвтрицы A% на числовое значение определителя A элементы обратной матрицы во многих случаях становятся дробными числами. Для упрощения вычисле- ний при использовании обратной матрицы лучше представлять ее с выне- сенным общим множителем 1 1 A A A − = % . Если элементами матрицы А бы- ли целые числа, то матричные операции при таком представлении также будут производиться с целыми числами.
- 61. 63 Пр и ме р. Вычисляя алгебраические дополнения элементов матриц, найти матрицы, обратные к данным, и произвести про- верку а) 1 2 3 9 A = ; 1 2 3 4 5 6 7 8 10 B = . Решение: а) Вычислим определитель матрицы: 1 2 3 9 A = = 9 6 3= − = . Вычеркивая первую строку и первый столбец, полу- чим ( )1 1 11 1 9 9A + = − ⋅ = . Аналогично, вычеркивая первую строку и второй столбец, получим ( )1 2 12 1 3 3A + = − ⋅ = − . Аналогично ( ) ( )2 1 2 2 21 221 2 2; 1 1 1A A + + = − ⋅ = − = − ⋅ = . Значит, 1 2 3 9 21 3 3 1 13 1 3 A− − − = ⋅ = − − . Проверка: 1 9 2 1 2 3 0 1 01 1 3 1 3 9 0 3 0 13 3 A A− − = = = − . б) Вычислим определитель матрицы: 1 2 3 4 5 6 50 84 96 105 48 80 3 7 8 10 B = = + + − − − = − . Вычисляем алгебраические дополнения элементов: ( ) 1 1 11 5 6 1 2 8 10 B + = − = , ( ) 1 2 12 4 6 1 2 7 10 B + = − = , ( ) 1 3 13 4 5 1 3 7 8 B + = − = − , ( ) 2 1 21 2 3 1 4 8 10 B + = − = ,
- 62. 64 ( ) 2 2 22 13 1 11 7 10 B + = − = − , ( ) 2 3 23 1 2 1 6 7 8 B + = − = , ( ) 3 1 31 2 3 1 3 5 6 B + = − = − , ( ) 3 2 32 1 3 1 6 4 6 B + = − = , ( ) 3 3 33 1 2 1 3 4 5 B + = − = − . 1 2 4 1 3 32 4 3 1 2 11 2 11 6 2 3 3 3 3 6 3 1 2 1 B− − − − = − ⋅ − = − − − − − . Проверка: 1 2 4 3 1 2 3 1 2 11 6 4 5 6 3 3 6 3 7 8 10 B B− − = − − = − 3 0 0 1 0 0 1 0 3 0 0 1 0 3 0 0 3 0 0 1 − = − − = − . 2.3.20 . Нахождение обратной матрицы способом элементарных преобразований Трудоемкость вычисления обратной матрицы с помощью присоединенной (союзной) матрицы резко возрастает при увели- чении порядка матрицы. Например, для получения союзной мат- рицы третьего порядка необходимо вычислить 9 миноров второго порядка, для нахождения союзной матрицы четвертого порядка – уже 16 миноров третьего порядка. Объем вычислений можно существенно сократить, если ис- пользовать специальную матрицу, которую получают, приписы- вая к квадратной матрице A справа единичную матрицу того же размера. Указанная специальная матрица называется объединен-
- 63. 65 ной. Например, дляматрицы 1 2 3 4 5 6 7 8 10 B = объединенная мат- рица имеет вид 1 2 3 | 1 0 0 | 4 5 6 | 0 1 0 7 8 10 | 0 0 1 B E = . Матрицу |A E приводят к матрице 1 |E A− с помощью эле- ментарных преобразований строк: 1) умножения всех элементов любой строки на одно и то же число; 2) прибавления ко всем элементам любой строки соответ- ствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число; 3) перестановки строк. Замечание. Вместо элементарных преобразований строк можно ис- пользовать элементарные преобразования столбцов: 1) умножение всех элементов любого столбца на одно и то же число; 2) прибавление ко всем элементам любого столбца соответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно и то же число; 3) перестановка столбцов. Пр и м е р 1. Методом элементарных преобразований найти матрицы, обратные к данным а) 1 2 3 9 A = ; 1 2 3 4 5 6 7 8 10 B = . Решение: а) Рассмотрим матрицу 1 2 | 1 0 3 9 | 0 1 . Вычтем из второй строки матрицы первую строку, умножен- ную на 3: 1 2 | 1 0 0 3 | 3 1 − .
- 64. 66 Умножим вторую строкуна 1 3 : 1 2 | 1 0 1 0 1 | 1 3 − . Прибавим к первой строке вторую строку, умноженную на 2− : 2 1 0 | 3 3 1 0 1 | 1 3 − − . Слева от черты получили единичную матри- цу, значит справа – матрицу, обратную к матрице A. 1 2 3 3 1 1 3 A− − = − . б) Рассмотрим матрицу 1 2 3 | 1 0 0 4 5 6 | 0 1 0 7 8 10 | 0 0 1 . Прибавим ко второй строке первую, умноженную на 4− , а к третьей строке – первую, умноженную на 7− : 1 2 3 | 1 0 0 0 3 6 | 4 1 0 0 6 11 | 7 0 1 − − − − − − . Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 2− : 1 2 3 | 1 0 0 0 3 6 | 4 1 0 0 0 1 | 1 2 1 − − − − . Прибавим ко второй строке третью, умноженную на 6, а к первой строке – третью, умноженную на 3− :
- 65. 67 1 2 0| 2 6 3 0 3 0 | 2 11 6 0 0 1 | 1 2 1 − − − − − . Поделим вторую строку на 3− : 1 2 0 | 2 6 3 2 11 0 1 0 | 2 3 3 0 0 1 | 1 2 1 − − − − − . Прибавим к первой строке вторую, умноженную на 2− : 2 4 1 0 0 | 1 3 3 2 11 0 1 0 | 2 3 3 0 0 1 | 1 2 1 − − − − − . При элементарных преобразованиях матрицы |A E для ис- ключения текстовых пояснений целесообразно применять услов- ные обозначения, использованные при «обнулении» элементов определителя (см. 0 2.1 ). При этом необходимо учитывать следу- ющие отличия: 1) при перестановке двух строк (столбцов) множитель (–1) перед матрицей не ставят; 2) при выносе общего множителя строки (столбца) за знак матрицы его просто отбрасывают; 3) в любую строку (столбец) матрицы можно внести общий множитель, при этом матрицу в целом не нужно умножать на ве- личину, обратную этому множителю. Замечание. Для контроля правильности вычислений можно использо- вать контрольный столбец.
- 66. 68 Пр и ме р. Найти обратную матрицу для матрицы 2 4 3 1 2 4 3 1 5 A − = − − способом элементарных преобразований объеди- ненной матрицы с контрольным столбцом. 1 6 17 10 1 7 1 5 25 5 10 0 A− − − ⇒ = − − − . 2.3.30 . Решение СЛАУ методом обратной матрицы Систему уравнений 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... .......................... ... n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = можно представить в виде матричной формы
- 67. 69 11 12 11 1 21 22 2 2 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... n n n n nn n n a a a x b a a a x b a a a x b ⋅ = . Если обозначить 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n n n nn a a a a a a A a a a = – матрица коэффи- циентов, 1 2 ... n x x X x = – матрица-столбец неизвестных, 1 2 ... n b b B b = – матрица-столбец правой части, то матричное уравнение запишет- ся в краткой форме: AX B= . Умножим обе части этого равенства слева на матрицу 1 A− : 1 1 A AX A B− − = . Тогда 1 EX A B− = и 1 X A B− = . То есть, для решения системы достаточно найти об- ратную матрицу и умножить ее на матрицу-столбец правой части. Пр и м е р. Решить неоднородную СЛАУ с помощью обрат- ной матрицы: 2 3 10 4 5 6 38 7 8 10 47 x y z x y z x y z + + = + + = + + = . Решение: запишем систему в матричном виде: 1 2 3 10 4 5 6 38 7 8 10 47 x y z ⋅ = . Найдем матрицу, обратную к матрице 1 2 3 4 5 6 7 8 10 A = :
- 68. 70 1 2 4 3 1 211 6 3 3 6 3 A− − = − ⋅ − − − . Вычислим матричное произведение 1 2 4 3 10 3 1 2 11 6 38 2 3 3 6 3 47 1 A B− − ⋅ = − ⋅ − ⋅ = − − , значит, 3; 2; 1x y z= = = . Проверка: подставим найденные корни в уравнения систе- мы: 3 2 2 3 1 10+ ⋅ + ⋅ = – верно, 4 3 5 2 6 1 38⋅ + ⋅ + ⋅ = – верно, 7 3 8 2 10 1 47⋅ + ⋅ + ⋅ = – верно.
- 69. 71 Задачи к разделу2.30 2.3.1. Для данных матриц найти обратные матрицы двумя различными способами и убедиться, что результаты совпадают а) 2 0 0 5 ; б) 1 2 0 1 ; в) 1 2 7 15 ; г) 0 0 i i − ; д) 2 3 i i i i − ; е) 2 3 3 4 4 5 5 6 i i i i + + + + . 2.3.2. Для данных матриц найти обратные матрицы двумя различными способами и убедиться, что результаты совпадают а) 2 0 0 0 3 0 0 0 4 ; б) 1 2 3 0 5 6 0 0 2 ; в) 1 0 0 4 5 0 7 8 2 ; г) 1 5 0 0 2 0 0 0 3 ; д) 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ; е) 1 2 3 4 5 6 7 8 0 ; ж) 2 1 3 5 3 2 1 4 3 ; з) 3 2 4 4 1 2 5 2 3 − − − . 2.3.3. Для данных матриц найти обратные матрицы двумя различными способами и убедиться, что результаты совпадают а) 1 2 0 0 0 2 3 0 0 0 3 4 i i i − − − ; б) 2 1 0 3 2 0 0 4 i i i i . 2.3.4. Для данных матриц найти обратные матрицы наиболее рациональным способом а) 1 0 0 0 0 1 5 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ; б) 1 2 3 4 0 1 5 1 0 0 1 0 0 0 0 1 − − ; в) 3 2 1 0 0 3 2 1 0 0 3 2 0 0 0 3 ; г) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − ; д) 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 ; е) 2 5 1 2 3 7 1 4 5 9 2 7 4 6 1 2 − − − − − .
- 70. 72 2.3.5. По результатамзадач 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3, 2.2.4 убедиться, что определитель обратной матрицы равен числу, обратному к определителю матрицы. 2.3.6. Решить системы уравнений матричным способом а) 2 9 3 2 7 x y x y + = − = ; б) 2 3 9 3 2 7 x y x y + = − = ; в) 0,5 3,5 9,1 1,2 2,4 7,8 x y x y + = − = ; г) 1 3 2 ix y x iy i + = − = ; д) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 3 2 5 2 i x i y i i x y i − + + = + + − = − . 2.3.7. Решить системы уравнений матричным способом а) 3 1 2 2 4 4 4 2 x y z x y z x y z + + = − − + = − + + = − ; б) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 4 2 11 2 4 2 4 3 2 4 11 x x x x x x x x x + − = + − = − + = ; в) 3 4 17 5 4 14 3 5 18 x y y z z x + = + = + = ; г) 3 1 2 2 4 4 4 2 ix y z x iy z x y iz + + = − − + = − + + = − . 2.3.8. Решить системы уравнений матричным способом а) 10 6 4 2 x y z t x y z t x y z t x y z t + + + = − + + = + − + = + + − = ; б) 1 2 3 4 y z t x z t x y t x y z + + = + + = + + = + + = . 2.40 . Ранг матрицы: вычисление и применение При решении СЛАУ возможны три случая: 1) СЛАУ имеет единственное решение; 2) СЛАУ имеет бесконечное множество решений; 3) СЛАУ не имеет решений. Для определения того, к какому случаю относится рассмат- риваемая система, используют числовые характеристики матриц, которые называются рангами. О пр е д е ле ние: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы.
- 71. 73 Для определения рангаматрицы используют два способа: 1) способ окаймляющих миноров; 2) способ элементарных преобразований матрицы. Условное обозначение ранга матрицы – ( )rangA r A≡ . В способе окаймляющих миноров выбирают не равный нулю элемент матрицы и вычисляют окаймляющие его миноры второго порядка. Если все окаймляющие миноры второго порядка матри- цы равны нулю, то ранг матрицы равен 1. Если найден отличный от нуля минор второго порядка, то вычисляют все окаймляющие его миноры третьего порядка. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен 2; если найден отличный от нуля минор третьего порядка, то вычисляют окаймляющие его миноры четвертого по- рядка и т.д. Вычисления прекращают тогда, когда все окаймляющие ми- норы наивысшего возможного порядка меньшего или равного числу строк матрицы равны нулю или когда уже нет окаймляю- щих миноров. Пр и м е р. Найти ранг матрицы 2 4 6 8 0 3 6 9 12 0 2 3 4 0 5 5 0 0 1 2 − − − − − − . Решение: если не все элементы матрицы равны нулю, а в данном примере это так, значит, ранг матрицы не меньше 1. От- личным от нуля минором первого порядка можно считать, например, 1 2∆ = − (число в левом верхнем углу матрицы). Будем искать какой-либо отличный от нуля минор второго порядка, окаймляющий 1∆ ; обычно начинают с первых двух строк или первых двух столбцов. Нам удобнее будет начать со столбцов, так как в этом случае предстоит считать меньшее коли- чество миноров. 2 4 0 3 6 − = − ; 2 4 2 0 2 3 − = − ≠ − . Поскольку найден отличный от нуля минор второго порядка, то ранг матрицы не меньше двух. Полагаем 2 2 4 2 3 − ∆ = − и будем
- 72. 74 искать отличный отнуля минор третьего порядка, окаймляющий 2∆ . Начнем с первых трех столбцов: 2 4 6 3 6 9 0 2 3 4 − − − = − ; 2 4 6 4 6 2 3 4 5 10 0 3 4 5 0 0 − − − − = ⋅ = − ≠ − . Найден отличный от нуля минор третьего порядка, значит, ранг матрицы не меньше трех. Найденный минор обозначим 3∆ , и будем искать окаймляющий его минор четвертого порядка, от- личный от нуля. 2 4 6 8 2 4 6 0 3 6 9 12 3 6 9 0 0 2 3 4 0 2 3 4 5 5 0 0 1 5 0 0 2 − − − − − − = = − − − . Других миноров, окаймляющих 3∆ , нет, значит, все окайм- ляющие миноры четвертого порядка равны нулю и ранг матрицы меньше 4. Ранг матрицы равен 3. Способ окаймляющих миноров является достаточно трудо- емким, и используют его обычно только для проверки. С помощью элементарных преобразований матрицу приводят к ступенчатому виду (см. метод вычисления обратной матрицы). В такой матрице все элементы ija при j i> равны нулю. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Пр и м е р. Найти ранг матрицы способом элементарных пре- образований 2 4 6 8 0 3 6 9 12 0 2 3 4 0 5 5 0 0 1 2 − − − − − − . Решение: переставим строки: 5 0 0 1 2 3 6 9 12 0 2 3 4 0 5 2 4 6 8 0 − − − − − − .
- 73. 75 Переставим столбцы: 1 00 5 2 12 6 9 3 0 0 3 4 2 5 8 4 6 2 0 − − − − − − . Эти преобразования были проведены только ради удобства дальнейших вычислений с целью получить в левом верхнем углу матрицы число, равное по модулю 1. Умножим первую строку на 12 и сложим со второй, затем умножим первую сроку на (–8) и сложим с четвертой: 1 0 0 5 2 0 6 9 63 24 0 3 4 2 5 0 4 6 42 16 − − − − − − . Поделим вторую строку на (–3), а четвертую – на 2: 1 0 0 5 2 0 2 3 21 8 0 3 4 2 5 0 2 3 21 8 − − − − − − − − . Умножим вторую строку на 1,5 и прибавим к третьей, затем умножим вторую строку на (–1) и прибавим к четвертой: 1 0 0 5 2 0 2 3 21 8 0 0 0,5 29,5 7 0 0 0 0 0 − − − − − − − . Преобразования завершены, так как матрице все элементы 0ija = при j i> . Ненулевых строк – три, значит, ранг матрицы равен трем.
- 74. 76 Пр и ме р. Найти ранг матрицы 1 3 1 4 1 11 3 5 5 2 5 5 3 17 12 4 2 2 3 1 A = спо- собом элементарных преобразований с использованием условных обозначений преобразований и с контрольным столбцом. Получена ступенчатая матрица, три строки которой не пол- ностью состоят из нулей, значит, ранг матрицы равен трем. Проверка способом окаймляющих миноров: 1 3 0 0 10 ≠ , 1 3 1 0 10 3 0 0 0 1 ≠ , любой минор четвертого порядка равен нулю, так как его последняя строка – нулевая. 2.4.10 . Определение совместности СЛАУ Рассмотрим систему линейных уравнений, в которой количе- ство уравнений может не совпадать с количеством неизвестных 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... ............................ ... m m m m n n nm m n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = . Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система называется несовместной.
- 75. 77 Замечание. Ранг матрицы 1112 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... m m n n nm a a a a a a A a a a = меньше либо ра- вен рангу матрицы 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... 1 2 m m n n nm n a a a b a a a b A a a a b = . Матрицу A называют расширенной матрицей системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли Система линейных уравнений совместна тогда и только то- гда, когда ранг матрицы A системы равен рангу расширенной матрицы системы. Из теоремы Кронекера-Капелли следует: 1) если ранги матрицы и расширенной матрицы равны между собой и равны числу неизвестных, то СЛАУ имеет единственное решение; 2) если ранги матрицы и расширенной матрицы равны меж- ду собой, но меньше числа неизвестных, то СЛАУ имеет беско- нечно много решений; 3) если ранги матрицы и расширенной матрицы не равны, то система не имеет решений. Пр и м е р. Определить, является ли совместной система 2 3 2 3 3 1 5 2 2 4 x y z x y z x y z − + = + − = − − = , если система совместна, то решить ее. Решение: Составим расширенную матрицу и будем приво- дить ее к ступенчатому виду. Для проверки правильности вычис- лений используем контрольный столбец 2 3 1 | 2 | 2 3 1 3 | 1 | 2 5 2 2 | 4 | 5 − − − − ; 6 9 3 | 6 | 6 6 2 6 | 2 | 4 5 2 2 | 4 | 5 − − − − − − − ;
- 76. 78 2 3 1| 2 | 2 0 11 9 | 4 | 2 5 2 2 | 4 | 5 − − − − ; 10 15 5 | 10 | 10 0 11 9 | 4 | 2 10 4 4 | 8 | 10 − − − − − ; 2 3 1 | 2 | 2 0 11 9 | 4 | 2 0 11 9 | 2 | 0 − − − ; 2 3 1 | 2 | 2 0 11 9 | 4 | 2 0 0 0 | 2 | 2 − − − − . Ранг матрицы A равен двум, а ранг матрицы A равен трем, значит, система несовместна. Пр и м е р. Определить совместность системы уравнений 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 2 2 3 4 11 2 4 5 6 3 7 18 x x x x x x x x x x x x − − = + − = − − = − − = . Если система совместна, то решить ее. Решение: составляем расширенную матрицу и приводим ее к ступенчатому виду способом элементарных преобразований: Система уравнений совместна. По расширенной матрице составляем эквивалентную систему уравнений
- 77. 79 1 2 3 23 3 3 4 11 11 10 31 23 123 x x x x x x + − = − + = − − = . Решая систему, получим корни 1 2 98 47 ; ; 23 23 x x= − = − 3 123 23 x = − . Проверка: Возьмем четвертое уравнение, которое не участво- вало в определении корней при решении эквивалентной СЛАУ, и подставим в него найденные корни: 98 47 6 3 23 23 − − − − 123 7 18 23 − − = – верно. Задачи к разделу 2.40 2.4.1. Найти ранги матриц, используя понятие миноров или путем элементарных преобразований матриц а) 1 3 2 2 6 4 3 9 6 − − − − − ; б) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ; в) 1 2 3 4 5 6 7 8 10 . 2.4.2. Найти ранги матриц, используя понятие миноров или путем элементарных преобразований матриц а) 3 8 7 2 4 5 0 1 6 2 1 4 4 2 3 − − − − ;б) 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 1 3 3 1 4 1 ; в) 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 . 2.4.3. Найти ранги матриц, используя понятие миноров или путем элементарных преобразований матриц а) 1 1 i i − − ; б) 2 5 3 7 3 7 2 5 i i i i + + − − ; в) 1 2 1 3 4 4 5 6 6 7 5 2 12 9 i i i i i i i i i + − − + − + − − .
- 78. 80 2.4.4. Найти прикаком значении параметра λ матрица будет иметь наименьший ранг а) 8 7 9 5 4 6 2 1 λ ; б) 3 8 7 2 4 5 1 6 2 1 4 4 2 3 λ − − − − . 2.4.5. С помощью теоремы Кронекера-Капелли проверить совместность системы линейных уравнений а) 4 7 1 2 5 8 4 3 9 15 3 x y z x y z x y z + + = − + + = − + + = ; б) 5 2 4 3 2 4 3 7 5 7 4 6 5 3 x y z w x y z w x y z w − + + + = − + + + = − − + = . 2.50 . Методы Гаусса и Гаусса-Жордана для решения произвольных СЛАУ Методы Крамера и обратной матрицы пригодны только для решения крамеровских СЛАУ, в которых число неизвестных рав- но числу уравнений и определитель матрицы не равен нулю. С другой стороны, при большом количестве уравнений эти мето- ды являются достаточно трудоемкими. Метод Гаусса является, с одной стороны, наиболее общим, пригодным для решения произвольных СЛАУ, с другой – наиме- нее трудоемким. Основная идея метода заключается в последовательном ис- ключении неизвестных и приведении СЛАУ к специальному ви- ду: все уравнения, начиная со второго, не содержат первой неиз- вестной; все уравнения, начиная с третьего, – второй неизвест- ной; все уравнения, начиная с четвертого, – третьей неизвестной и т.д. Такие преобразования можно производить не с уравнениями, а с расширенной матрицей СЛАУ, приводя эту матрицу к ступен- чатому виду. При этом одновременно решается вопрос о сов- местности СЛАУ. Пр и м е р 1. Решить СЛАУ методом Гаусса с использовани- ем расширенной матрицы и контрольного столбца
- 79. 81 1 2 3 12 3 1 2 3 1 2 3 2 2 3 7 2 4 4 2 1 x x x x x x x x x x x x − + = − + − = − + = − − − = . Решение: Составляем расширенную матрицу и приводим ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований Ранги расширенной матрицы и матрицы коэффициентов СЛАУ равны и совпадают с числом неизвестных, поэтому систе- ма уравнений имеет единственное решение. По ступенчатой мат- рице составляем эквивалентную систему уравнений и решаем ее: 1 2 3 2 3 2 2 1 x x x x x − + = − − = − − = ; 1 2 3 1 2 1 x x x = = = − . Замечание. Для проверки правильности решения СЛАУ лучше ис- пользовать одно из исходных уравнений, которое подвергалось наиболь- шим преобразованиям. Судя по преобразованной расширенной матрице, таким уравнением является четвертое. Проверка: ( )4 1 2 2 1 1⋅ − ⋅ − − = . Верно. Дальнейшим развитием метода Гаусса с расширенной матри- цей является метод Гаусса-Жордана. Этот метод заключается в том, что с помощью элементарных преобразований матрицу ко- эффициентов СЛАУ в составе расширенной матрицы приводят к диагональному виду, а затем к единичной матрице. После этого можно сразу выписать решение СЛАУ.
- 80. 82 Пр и ме р 2. Решить методом Гаусса-Жордана систему урав- нений 3 4 6 8 6 2 5 9 7 3 3 7 1 3 2 5 5 x y z t x y z t x y z t x y z t + + + − = + + − = − + − = − + + − = . Решение: Результаты действий прямого хода в матричном виде представлены ниже 3 1 4 6 | 8 0 0 3 3 | 9 0 2 1 1 | 9 0 0 2 1 | 3 − − − − − − − − − ; 3 1 4 6 | 8 0 2 1 1 | 9 0 0 3 3 | 9 0 0 2 1 | 3 − − − − − − − − − ; 3 1 4 6 | 8 0 2 1 1 | 9 0 0 1 1 | 3 0 0 2 1 | 3 − − − − − − − − ; 3 1 4 6 | 8 0 2 1 1 | 9 0 0 1 1 | 3 0 0 0 1 | 3 − − − − − − − . Прибавим к первой строке четвертую, умноженную на –6, ко второй – четвертую, умноженную на –1, к третьей – четвертую, умноженную на –1 (цель – избавиться от неизвестной t в первых трех уравнениях); получим матрицу (*). Теперь с помощью третьей строки избавимся от неизвестной z в первых двух строках, полу- чим матрицу (**). Поделим вторую строку на –2, получим матрицу (***) ( ) 3 1 4 0 | 10 0 2 1 0 | 12 * 0 0 1 0 | 0 0 0 0 1 | 3 − − − − − ; ( ) 3 1 0 0 | 10 0 2 0 0 | 12 ** 0 0 1 0 | 0 0 0 0 1 | 3 − − − − ; ( ) 3 1 0 0 | 10 0 1 0 0 | 6 *** 0 0 1 0 | 0 0 0 0 1 | 3 − − .
- 81. 83 К первой строкеприбавим вторую, умноженную на –1, полу- чим матрицу (****). Поделим первую строку на 3 – получим от- вет в виде последнего столбца расширенной матрицы. ( ) 3 0 0 0 | 11 0 1 0 0 | 6 **** 0 0 1 0 | 0 0 0 0 1 | 3 − − ; ( ) 11 1 0 0 0 | 3 0 1 0 0 | 6 **** 0 0 1 0 | 0 0 0 0 1 | 3 − − ; 11 ; 6; 0; 3 3 x y z t= − = = = . Пр и м е р. Решить методом Гаусса-Жордана систему уравне- ний 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 5 2 4 2 7 2 3 9 3 3 0 x x x x x x x x x x x x x x x x − + − = + − − = − − + + = + − + = . Решение: используем метод Гаусса-Жордана с расширенной матрицей. Приведение матрицы коэффициентов в составе расши- ренной матрицы к треугольному виду проводим с помощью эле- ментарных преобразований. Для контроля правильности преобра- зований используем контрольный столбец.
- 82. 84 Проведенные преобразования, прикоторых расширенная матрица приводится к ступенчатому виду, называются прямым ходом Гаусса. Второй этап преобразований, при котором матрица коэффи- циентов в составе расширенной матрицы приводится к единич- ной матрице, называется обратным ходом Гаусса. Следовательно, 2 3 41, 1, 2, 01 x x x= = − = =x . Задачи к разделу 2.50 2.5.1. Решить системы уравнений методом Гаусса а) 3 1 2 2 4 4 4 2 x y z x y z x y z + + = − − + = − + + = − ; б) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 4 2 11 2 4 2 4 3 2 4 11 x x x x x x x x x + − = + − = − + = ; в) 3 4 17 5 4 14 3 5 18 x y y z z x + = + = + = . 2.5.2. Решить системы уравнений методом Гаусса а) 10 7 4 2 x y z t x y z t x y z t x y z t + + + = − + + = + − + = + + − = ; б) 1 2 3 4 y z t x z t x y t x y z + + = + + = + + = + + = ; в) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 6 5 6 4 0 5 9 7 8 6 0 6 12 13 9 7 0 4 6 6 5 4 0 2 5 4 5 3 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = ; г) 3 5 4 10 6 x y y z z u x u v x v + = + = + = + + = + = .
- 83. 85 2.5.3. Решить системыметодом Гаусса-Жордана а) 9 3 2 7 x y x y + = − = ; б) 2 9 3 2 7 x y x y + = − = ; в) 2 5 9 3 2 7 x y x y + = − = . 2.5.4. Решить системы из задачи 2.5.1 методом Гаусса- Жордана. 2.5.5. Решить системы методом Гаусса а) 1ix y x iy i − = − = ; б) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 2 5 i x y i i x y i + − = + − − = + ; в) 1ix y x iy i − = + = ; г) 3 1 2 2 4 4 2 ix y z x iy z i x y iz + + = − − + = − + + = − . 2.60 . Решение однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений СЛАУ называется однородной, если матрица-столбец сво- бодных коэффициентов является нулевой. В матричной форме однородная СЛАУ имеет вид A X O⋅ = . Однородная система всегда совместна, так как она всегда имеет тривиальное решение X O= . Если в системе линейных уравнений A X O⋅ = число уравне- ний больше числа неизвестных, то СЛАУ имеет бесконечно мно- го нетривиальных решений. Среди бесконечного множества решений можно выделить конечное число линейно независимых решений, которые в сово- купности образуют фундаментальную систему решений. Вопрос об общем количестве фундаментальных решений позволяет решать следующая теорема: Если ранг матрицы коэффициентов однородной СЛАУ меньше числа неизвестных ( )( )r A n< , то эта система уравнений имеет фундаментальную систему из ( )n r A− решений. Если фундаментальная система решений известна, то общее решение однородной СЛАУ можно представить в виде линейной комбинации фундаментальных решений: ( ) ( ) ( )1 2 0 1 0 2 0 0... k kX c X c X c X= + + + ,
- 84. 86 где 1 2,, ..., kc c c – произвольные постоянные; ( ) ( ) ( )1 2 0 0 0, ,..., k X X X – фундаментальные решения СЛАУ. Для нахождения фундаментаных решений однородной СЛАУ используют следующий алгоритм: Пусть дана однородная система, содержащая n неизвестных и m уравнений. 1. По заданной СЛАУ выписываем матрицу коэффициентов, приводим матрицу к ступенчатому виду и определяем ее ранг ( )r A . 2. При ( )r A n< по ступенчатой матрице записываем эквива- лентную СЛАУ. 3. Выбираем базисные и свободные неизвестные. Выбор этих неизвестных неоднозначен; однозначным является лишь количе- ство базисных неизвестных, оно равно рангу матрицы A. Опре- делитель, составленный из коэффициентов при базисных неиз- вестных, не должен быть равен нулю. 4. После выбора базисных неизвестных их выражают через свободные неизвестные, используя эквивалентную систему урав- нений. 5. Находим фундаментальные решения по эквивалентной си- стеме уравнений, поочередно задавая одной свободной неизвест- ной единичное значение, а остальным свободным неизвестным – нулевые значения. 6. Записываем общее решение однородной СЛАУ через фун- даментальные решения с заменой свободных неизвестных на произвольные постоянные. Пр и м е р 1. Найти общее решение однородной СЛАУ и вы- разить его через фундаментальную систему решений 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 4 5 3 2 3 5 0 6 4 3 5 7 0 9 6 5 7 9 0 3 2 4 8 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + = + + + + = + + + + = + + + = . Решение: 1. Приводим матрицу коэффициентов к ступенча- тому виду, используя элементарные преобразования.
- 85. 87 Ранг матрицы равен2. 2. Выписываем по ступенчатой матрице эквивалентную си- стему уравнений: 1 2 3 4 5 3 4 5 3 2 3 0 3 0 x x x x x x x x + + + + = − − = . 3. Ранг ( ) 2r A = , поэтому выбираем две базисных неизвест- ных. Неизвестные 1x и 2x нельзя использовать в качестве базис- ных, так как определитель при этих неизвестных равен нулю 3 2 0 0 0 = . Выберем в качестве базисных неизвестных 2x и 3x . Тогда свободными неизвестными будут 1x , 4x и 5x . 4. Выражаем базисные неизвестные через свободные, исполь- зуя эквивалентную СЛАУ. 3 4 5 2 1 4 5 3 3 2 4 2 x x x x x x x = + = − − − . 5. Находим фундаментальные решения системы, соответ- ствующие свободным неизвестным: при 1 1x = , 4 0x = , 5 0x = получаем ( )1 0 3 1, , 0, 0, 0 2 T X = − ; при 1 0x = , 4 1x = , 5 0x = получаем ( ) ( )4 0 0, 2, 1, 1, 0 T X = − ; при 1 0x = , 4 0x = , 5 1x = получаем ( ) ( )5 0 0, 4, 3, 0, 1 T X = − ; 6. Записываем общее решение СЛАУ, используя фундамен- тальные решения: ( ) ( ) ( )1 4 5 1 0 2 0 3 0X c X c X c X= + + , или
- 86. 88 1 2 3 10 0 1,5 2 4 0 1 3 0 1 0 0 0 1 X c c c − − − = + + , где 1 2 3, ,c c c – произвольные постоянные. Проверка: примем, например, 1 2 32, 1c c c= = = , тогда полу- чим частное решение ÷àñòí 1 0 0 2 1,5 2 4 9 2 0 1 3 4 0 1 0 1 0 0 1 1 X − − − − = + + = . Подставляем найденные корни 1 2 3 4 52, 9, 4, 1x x x x x= = − = = = в одно из уравнений, не входящее в эквивалентную систему: ( )9 2 6 9 5 4 7 1 9 1 0⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ + ⋅ = , убеждаемся в правильности ре- шения. Пр и м е р 2. Найти фундаментальную систему решений си- стемы уравнений 2 7 3 0 3 5 2 2 0 9 4 7 0 x y z t x y z t x y z t + + + = + + + = + + + = и ее общее решение Решение: Методом, изложенным выше, переходим к системе 2 7 3 3 5 2 2 x y z t x y z t + = − − + = − − . Полагая z = 1, t = 0, получим систему 2 7 3 3 5 2 x y x y + = − + = − , решив которую найдем 1 5 , 11 11 x y= = − , поэтому первым вектором фундаментальной системы решений будет век- тор ( )1 0 1 5 , , 1, 0 11 11 X = − .
- 87. 89 Полагая z =0, t = 0, получим систему 2 7 1 3 5 2 x y x y + = − + = − , которая имеет решение 9 1 , 11 11 x y= − = и второй, последний, вектор фун- даментальной системы решений: ( )2 0 9 1 , , 0, 1 11 11 X = − . Общее решение системы уравнений можно представить в виде 0 1 2 1 5 9 1 , , 1, 0 , ,0,1 11 11 11 11 X c c = − + − , где 1 2,c c – произвольные числа. Задачи к разделу 2.60 2.6.1. Для данных систем линейных однородных уравнений найти фундаментальные системы решений и общие решения. Указать какие-либо частные решения. а) 3 2 0 2 6 4 0 3 9 6 0 x y z x y z x y z − + − = − + = − + − = ; б) 2 3 0 4 5 6 0 7 8 9 0 x y z x y z x y z + + = + + = + + = ; в) 2 3 0 4 5 6 0 7 8 9 0 x y z x y z x y z + + = + + = + − = . 2.6.2. Для данных систем линейных однородных уравнений найти фундаментальные системы решений и общие решения. Указать какие-либо частные решения. а) 3 8 7 2 4 0 5 6 2 0 4 4 2 3 0 x y z u v x z u v x y z u v + + + + = − + − = − + + − + = ; б) 2 4 6 8 10 0 3 6 9 12 15 0 2 3 4 5 0 x y z u v x y z u v x y z u v − + − + = − + − + − = − + − + = . 2.6.3. Для данных систем линейных однородных уравнений найти фундаментальные системы решений и общие решения. Указать какие-либо частные решения. а) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 5 0 2 6 7 4 0 2 2 6 8 10 0 x iy i z ix i y z i x i y i z − + + + = + − + = − + − + + = ; б) ( ) ( ) 4 0 2 1 0 1 0 ix y t it u i v z i t v − + = − + + = − − + = . 2.6.4. Системы линейных уравнений можно использовать для составления уравнений химических реакций. Введя неопределен- ные коэффициенты и приравнивая количества атомов справа и
- 88. 90 слева для каждогоэлемента в отдельности, составить систему уравнений и, решив ее, составить уравнения химических реакций а) 2 2 7 2 4 3 4 2K Cr O H SO CrO KHSO H O+ → + + ; б) ( ) ( )3 2 2 2 333 Cr NO Na S H O Cr OH H S Na NO+ + → + + . 2.70 . Решение неоднородных СЛАУ Неоднородная СЛАУ в матричной форме имеет вид AX B= . В случае совместной системы ее общее решение можно предста- вить в виде 0 1X X X= + , где 0X – общее вешение соответствую- щей однородной системы AX O= ; 1X – частное решение неод- нородной СЛАУ. Базисным решением неоднородной СЛАУ называется ее частное решение, в котором все свободные неизвестные приняты равными нулю. Пр и м е р. Найти общее решение неоднородной СЛАУ в ви- де суммы базисного и фундаментального решений 2 3 2 1 2 3 3 3 5 9 10 9 0 x y z t x y z t x y z t + − − = − − + + = + − − = . Решение: приводим расширенную матрицу СЛАУ к ступен- чатому виду с помощью элементарных преобразований: 1 2 3 2 | 1 2 3 1 3 | 3 5 9 10 9 | 0 − − − − − ; 1 2 3 2 | 1 0 1 5 1 | 5 0 1 5 1 | 5 − − − − − − ; 1 2 3 2 | 1 0 1 5 1 | 5 0 0 0 0 | 0 − − − − . Ранги матрицы и расширенной матрицы совпали, следова- тельно, система имеет решения. Исходная СЛАУ равносильна следующей: 2 3 2 1 (*) 5 5 x y z t y z t + − − = − − = .
- 89. 91 Рассмотрим соответствующую однороднуюсистему: 2 3 2 0 5 0 x y z t y z t + − − = − − = . Используя рассмотренный ранее алгоритм, найдем фунда- ментальную систему решений однородной СЛАУ. В качестве ба- зисных неизвестных выберем ,x y ; выразим базисные неизвест- ные через свободные: 5 7 y z t x z = + = − ; ( ) ( )1 0 7,5, 1, 0X = − , ( ) ( )2 0 0,1, 0, 1X = . Тогда общее решение однородной системы имеет вид ( ) ( )0 1 27, 5, 1, 0 0,1, 0,1X c c= − + . Находим базисное решение неоднородной СЛАУ, полагая 0z t= = в системе (*): 2 1 (*) 5 x y y + = = . Из системы находим 9; 5x y= − = , значит, ( )1 9, 5, 0, 0X = − и ( ) ( ) ( )1 27, 5, 1, 0 0,1, 0,1 9, 5, 0, 0X c c= − + + − . Задачи к разделу 2.70 2.7.1. Исследовать совместность и найти общее решение си- стем уравнений. а) 3 7 2 6 4 7 9 2 2 5 2 3 4 x y z t x y z t x y z t + + + = + + + = + + + = ; б) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 3 3 5 2 8 6 7 10 3 12 9 13 x x x x x x x x x x x x + + + = + + + = + + + = ; в) 5 2 4 3 2 4 3 7 5 7 4 6 5 3 x y z w x y z w x y z w − + + + = − + + + = − − + = ; г) 4 3 2 2 5 6 7 7 5 4 9 1 5 2 3 2 3 2 2 2 3 2 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d + + + = − + + + = − + + + = + + + = + + + = .
- 90. 92 2.80 . Векторные пространства. Линейнаязависимость и независимость векторов О пр е д е ле ние: n-мерным вектором называется упорядо- ченная совокупность действительных чисел ( )1 2, , ..., na a a a= . Числа 1 2, , ..., na a a называются координатами вектора. Замечание. Введенные векторы являются алгебраическими (арифме- тическими). Они имеют много общих свойств и операций с геометриче- скими векторами, которые рассматриваются как направленные отрезки прямых. Вместе с тем для геометрических векторов определены операции и свойства, которыми алгебраические векторы не обладают. В инженерных задачах n-мерные векторы используют при технико-экономических расчетах, при оптимизации технологиче- ских процессов и т.д. Прикладной пример использования n-мерного вектора: век- тор цен комплекта запасных деталей для ремонта автомобиля ( )1 2, , ..., na a a a= , где 1a – цена детали № 1; 2a – цена детали № 2 и т.д. О пр е д е ле ние: Векторы ( )1 2, , ..., na a a a= и ( )1 2, , ..., nb b b b= называются равными, если равны их соответственные координа- ты и одинаково общее количество координат (a b= ⇔ , 1, 2, ...,i ia b i n⇔ = = ). Замечание. Сложение и вычитание векторов и умножение вектора на число определяются как соответствующие действия с матрицами: ( )1 1 2 2, , ..., n na b a b a b a b± = ± ± ± ; ( )1 2, , ..., na a a aλ = λ λ λ . О пр е д е ле ние: Нулевым вектором называется вектор ( )0 0,0, ..., 0= . Вектором, противоположным к вектору ( )1 2, , ..., na a a a= , называется вектор ( )1 2, , ..., na a a a− = − − − . О пр е д е ле ние: Множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число, называется n-мерным векторным пространством (число n назы- вается размерностью векторного пространства). О пр е д е ле ние: Вектор ( )1 2, , ..., nb b b b= n-мерного вектор- ного пространства называется пропорциональным вектору ( )1 2, , ..., na a a a= , если найдется число k такое, что b ka= .
- 91. 93 Ча с тные с л у ч а и: 1) нулевой вектор пропорционален лю- бому другому; 2) любой вектор пропорционален самому себе. О пр е д е ле ние: Вектор ˆb называется линейной комбинацией векторов 1 2, , ..., na a a , если найдутся числа 1 2, , ..., nl l l такие, что 1 1 2 2 ... n nb l a l a l a= + + + . О пр е д е ле ние: Множество векторов 1 2, , ..., na a a называет- ся линейно зависимым, если хотя бы один из этих векторов явля- ется линейной комбинацией остальных. В противном случае множество векторов называется линейно независимым. Теорема (линейная зависимость и линейные комбинации) Множество векторов 1 2, , ..., na a a линейно зависимо тогда и только тогда, когда найдутся числа 1 2, , ..., nk k k не все равные ну- лю и такие, что 1 1 2 2 ... 0n nk a k a k a+ + + = (нулевому вектору). Теорема (о подмножестве линейно независимого множества) Если некоторое подмножество 1 2 , , ..., ms s sa a a множества век- торов 1 2, , ..., na a a линейно зависимо, то линейно зависимым яв- ляется и все множество 1 2, , ..., na a a . Следствие. Если множество векторов 1 2, , ..., na a a линейно независимо, то любое его подмножество также линейно независи- мо. О пр е д е ле ние: Множество линейно независимых векторов 1 2, , ..., na a a называется максимальным (или базисом), при добав- лении к этому множеству любого вектора полученное множество векторов будет линейно зависимым.
- 92. 94 Теорема (о максимальном множествевекторов) В n-мерном векторном пространстве всякое множество, со- стоящее из n линейно независимых векторов, является макси- мальным. Любое максимальное множество в n-мерном векторном про- странстве состоит из n векторов и образует базис, если векторы упорядочены. Пусть 1 2, , ..., na a a – множество векторов, образующих базис в n-мерном векторном пространстве. Условное обозначение бази- са имеет вид }{ 1 2, , ..., na a a . Любой вектор b , принадлежащий векторному пространству, можно разложить по базису в виде 1 1 2 2 ... n nb b a b a b a= + + + , где 1 2, ,..., nb b b – координаты вектора b в базисе }{ 1 2, ,..., na a a . В заданном базисе разложение вектора является единствен- ным. В различных базисах один и тот же вектор имеет разные ко- ординаты. При этом любые два базиса содержат одинаковое ко- личество векторов. При вычислениях с использованием матриц вектор ia в коор- динатной форме можно представить в виде матрицы-столбца 1 2 ... i i i in a a a a = . Совокупность векторов одного и того же векторного пространства ( )1 11 12 1, ,... T na a a a= , ( )2 21 22 2, ,... T na a a a= , … ( )1 2, , ... T m m m mna a a a= в матричной форме можно представить так: 11 21 1 12 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... m m n n mn a a a a a a A a a a = . Матрицу A называют координатной матрицей.
- 93. 95 Количество линейно независимыхвекторов в заданном мно- жестве 1 2, , ..., ma a a равно рангу координатной матрицы. О пр е д е ле ние: Пусть 1 2, , ..., na a a – произвольное множе- ство векторов. Количество линейно независимых векторов в этом множестве называется рангом этого множества. Пр и м е р 1. Проверить линейную зависимость векторов ( )2; 3; 2; 5− , ( )4; 6; 3; 0− − , ( )6; 9; 4; 0− , ( )8;12; 0; 1− − ; ( )0; 0; 5; 2 . Решение: Составим матрицу, столбцами которой являются данные векторы 2 4 6 8 0 3 6 9 12 0 2 3 4 0 5 5 0 0 1 2 − − − − − − . Если векторы линейно независимы, то ранг матрицы совпа- дет с количеством ее строк или столбцов. В одном из предыду- щих примеров было установлено, что ранг матрицы равен 3. Зна- чит, векторы линейно зависимы. Пр и м е р 2. Проверить, являются ли следующие множества векторов базисами в соответствующих векторных пространствах а) ( )1 1; 1, 3; 4a = , ( )2 4; 5, 6, 5a = ; ( )3 1; 1, 3, 1a = − ; б) ( )1 1; 1, 3a = , ( )2 4; 5, 6a = ; ( )3 5; 6, 0a = . Решение: Для того чтобы проверить, являются ли векторы базисом, нужно составить матрицу, столбцами которой являются эти векторы. Множество векторов будет являться базисом в том и только том случае, если эта матрица квадратная и ее определи- тель не равен нулю. а) множество данных векторов не является базисом, так как составленная из них матрица не является квадратной. б) 1 4 5 1 5 6 9 0 3 6 0 = − ≠ . Матрица – квадратная, ее определитель не равен нулю, зна- чит, данное множество векторов образует базис.
- 94. 96 Пр и ме р 3. Даны векторы ( )1; 3a = , ( )2; 2b = − и ( )2; 4c = − в базисе ( )1 1; 0e = и ( )2 0;1e = . Проверить, образуют ли векторы a и b базис. Если это так, то разложить вектор c в новом базисе }{ ,a b . Решение: составляем координатную матрицу 1 2 3 2 A = − . Поскольку 1 2 8 0 3 2 A = = − ≠ − , то ранг матрицы A равен двум и, следовательно, векторы a и b образуют базис. Пусть ,a bc c – координаты вектора c в новом базисе }{ ,a b , т.е. a bc c a c b= + . Векторное уравнение можно представить в ко- ординатной форме 2 1 2 4 3 2 a bc c = + − − , а затем в виде неоднородной СЛАУ 2 2 3 2 4 a b a b c c c c + = − = − . Определитель системы 1 2 8 0 3 2 A = = − ≠ − , поэтому система имеет единственное решение: 1 5 , 2 4 a bc c= − = . Таким образом, вектор c в «новом» базисе }{ ,a b имеет координаты 1 5 ; 2 4 c = − . Задачи к разделу 2.80 2.8.1. Проверить линейную зависимость векторов а) ( )1; 2; 3 , ( )3; 2;1 , ( )4; 4; 4 ; б) ( )5; 2; 3− , ( )10;4; 6− − ; в) ( )1; 2 , ( )2; 3 , ( )3; 4 ;г) ( )1;1;1; 0 , ( )1;1; 0;1 , ( )1; 0;1;1 , ( )0;1;1;1 ;
- 95. 97 д) ( )1;5; 2; 7− , ( )3;1; 6; 3− , ( )1; 7;1; 0− , ( )1; 1; 5;10− − . 2.8.2. Из множества векторов выбрать все возможные базисы а) ( )1; 2 , ( )2; 3 , ( )3; 4 ; б) ( )1; 2; 3 , ( )2; 3, 1 , ( )3;1; 2 ; ( )4; 4; 4 ; в) ( )1;1;1; 0 , ( )1;1; 0;1 , ( )1; 0;1;1 , ( )0;1;1;1 ; ( )1;1;1;1 . 2.8.3. Проверить, являются ли следующие множества векто- ров базисами в соответствующих векторных пространствах а) ( )1 1; 2a = , ( )2 3; 4a = ; б) ( )1 1; 2a = , ( )2 2; 4a = ; в) ( )1 1; 2a = , ( )2 3; 4a = ; ( )3 5; 6a = ; г) ( )1 1; 2, 3a = , ( )2 4; 5, 6a = ; ( )3 7; 8, 9a = ; д) ( )1 1; 2, 3a = , ( )2 4; 5, 6a = ; ( )3 7; 8, 9a = − ; е) ( )1 1; 1, 3a = , ( )2 4; 5, 6a = ; ж) ( )1 1; 1, 0, 0a = , ( )2 0; 1, 1, 0a = ; ( )3 0; 0, 1, 1a = , ( )4 1; 0, 0, 1a = . 2.8.4. Проверить, являются ли следующие множества векто- ров базисами в соответствующих векторных пространствах а) ( )1 1;a i= − , ( )2 ; 1a i= ; б) ( )1 ;1, 1a i= , ( )2 1; , 1a i= ; ( )3 1; 1,a i= . 2.8.5. Разложить данный вектор b по данному базису 1 2, , ..., na a a а) ( )1 1, 2a = ; ( )2 3, 4a = ; ( )6, 10b = ; б) ( )1 1, 2a = ; ( )2 3, 4a = ; ( )1, 1b = ; в) ( )1 1, 2, 3a = ; ( )2 4, 5, 6a = ; ( )3 7, 8, 0a = ; ( )18, 24, 21b = ; г) ( )1 1, 0, 0a = ; ( )2 0, 1, 0a = ; ( )3 0, 0, 1a = ; ( )2, 3, 4b = ; д) ( )1 1, 1, 1, 0a = ; ( )2 1, 1, 0, 1a = ; ( )3 1, 0, 1, 1a = ; ( )3 0, 1, 1, 1a = ; ( )1, 2, 3, 4b = . Прикладные задачи по теме «Линейная алгебра» За да ч а 1. Для сборки трех различных узлов используют три вида деталей, приведенных в табл. 1. Для изготовления каж- дой детали используют два вида сырья (табл. 2). Определить об-
- 96. 98 щую потребность всырье для изготовления заданного количества узлов. а) узлов первого типа – 5, второго – 10, третьего – 15; б) узлов первого типа – 6, второго – 12, третьего – 9; в) узлов первого типа – 3, второго – 6, третьего – 9.
- 97. 99 Таблица 1 Таблица2 Наимен. детали Тип узла Материал Наим. детали 1 2 3 колесо ось корпус Колесо 4 6 8 Пластмасса 0,5 0 3 Ось 2 2 3 Металл 0 1 1 Корпус 1 1 1 Пояснения к решению: пусть ix – число узлов ( )1, 2, 3i = , jy – общее число деталей, необходимых для сборки заданного коли- чества узлов ( )1, 2, 3j = . Общее число деталей представляем в виде уравнений по данным табл. 1: 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 4 6 8 2 2 3 (1) y x x x y x x x y x x x = + + = + + = + + . В матричной форме уравнения (1) можно представить так: 1 1 2 2 3 3 4 6 8 2 2 3 (2) 1 1 1 x y x y AX Y x y = ⇒ = . Количество сырья ( )1 2,m m , необходимого для изготовления заданного количества узлов ( )1 2 3, ,y y y , определяем по данным табл. 2: 1 1 2 3 2 1 2 3 0,5 0 3 (3) 0 m y y y m y y y = + ⋅ + = ⋅ + + или в матричной форме 1 1 2 2 3 0,5 0 3 (4) 0 1 1 y m y BY M m y = ⇒ = . Из (2) и (4) следует 1 2 3 4 6 8 0,5 0 3 2 2 3 0 1 1 1 1 1 x M BY BAX x x = = = .
- 98. 100 За да ча 2. Тяжелая бал- ка весом P удерживается в равновесии с помощью тро- сов, прикрепленных к балке в точках , ,A B C . Необходимо найти силы натяжения тросов 1 2 3, ,R R R . Пояснения к реше- нию: методами теоретической механики составляем систему уравнений равновесия в коор- динатной форме: 2 3 1 0: cos cos 0; n kx k F R R = = − α + β =∑ 1 2 3 1 0: sin sin 0; n ky k F R R R P = = + α + β − =∑ ( ) ( ) ( )1 2 1 2 3 1 2 30: sin sin 0km F Pl R l l R l l l= − + α + + β + + =∑ . Силы натяжения тросов можно найти, решив полученную си- стему уравнений: а) методом Крамера; б) методом Гаусса с расширенной матрицей; в) методом обратной матрицы; при следующих данных: Р, кН 1l 2l 3l α β 60 4 2 2 60 30 100 5 3 3 30 45 200 3 3 0 45 60 Внимание! Проверку правильности вычислений следует проводить подстановкой корней в исходные уравнения. Если корни найдены верно, то при их подстановке в уравнения системы каждое из уравнений обратится в тождество. За да ч а 3. Найти токи в электрической цепи, приведенной на рис. 20. Условные обозначения: 1 2 3 4, , ,E E E E – электродвижу- щие силы, 1 2 3, ,I II – контурные электрические токи, 1 2 3 4, , , ,R R R R 5 6,R R – активные сопротивления. Рис. 19. Прикладная задача 2
- 99. 101 Пояснения к решению:методом контур- ных токов, основанном на втором законе Кирхгофа, составляют систему алгебраиче- ских уравнений (теоретическая электротех- ника). Для заданной электрической схемы указанные уравнения имеют вид ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 2 3 2 3 5 2 3 3 3 2 2 4 3 6 3 3 2 3 4 (1) R R I R I E E E R R R I R I R I E E R R I R I E E + − = − − + + − − = − + − = + . Найти контурные токи 1 2 3, ,I II из си- стемы (1) при следующих исходных данных: 1R , Ом 2R , Ом 3R , Ом 4R , Ом 5R , Ом 6R , Ом 1E , в 2E , в 3E , в 4E , в 10 10 6 1 5 15 100 30 10 6 5 10 8 0 10 10 100 50 20 0 15 15 10 2 5 10 50 50 10 10 Ответы к задачам темы «Линейная алгебра» 2.1.1. а) – 1; б) – 9; в) 0; г) 512 1024 4 8 128 128 128 128 8 131072 128 512 1 4 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ; д) 0,875 0,375 7 3 1 0,125 0,125 16 0,25 0,375 0,125 3 1 64 − − = ⋅ ⋅ = ⋅ = ; е) 1 4 − ; ж) 1. 2.1.2. а) 2 2 2s t st− + ; б) xy ; в) 1; г) 1; д) 0. 2.1.3. а) 29; б) 16; в) 0. 2.1.4. а) 3; б) –688; в) 15; г) 1891 27000 − . 2.1.5. а) abc; б) abc; в) abc; г) abc− ; д) abc− ; е) abc− ; ж) 0; з) ( )( )( )y x z x z y− − − ; и) ( ) ( ) ( )sin sin sinα −β + β − γ + γ − α ; к) 0. Рис. 20. Прикладная задача 3
- 100. 102 2.1.6. а) 0;б) ( )( )1 3a c i+ + . 2.1.7. а) –8; б) 90; в) 0. 2.1.8. а) abcd ; б) abcd ; в) ( ) 2 af be cd− + . 2.1.9. а) 1 25; 9x x= − = ; б) , 8 2 k k Z π π α = + ∈ . 2.1.10. а) ( ) ( ) ( ); 6 6, 1 1,a∈ −∞ − ∪ − ∪ ∞ ; б) При всех значениях параметра; в) ( ) ( ) ( ); 2 2, 1 1,a∈ −∞ − ∪ − ∪ ∞ . 2.1.11. а) 25 13 ; 7 7 x y= = ; б) 3; 1x y= = ; в) 9,1; 1,3x y= = ; г) 3 5 ; 2 2 x i y= = ; д) 79 109 33 42 ; 82 82 82 82 x i y i= − = − . 2.1.12. а) 0, 2, 1x y z= = = − ; б) 1 2 37, 5x x x= = = − ; в) 3, 2, 1x y z= = = ; г) 60 111 86 12 56 24 , , 29 29 29 29 29 29 x i y i z i= + = − + = − . 2.1.13. а) 1, 2, 3, 4x y z t= = = = ; б) 7 4 1 2 , , , 3 3 3 3 x y z t= = = = − . 2.2.1. а) 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 ; б) 0 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 ; в) 0 1 2 3 1 0 1 2 2 1 0 1 3 2 1 0 − − − − − − ; г) 1 1 1 1 2 3 4 2 1 2 1 3 2 3 3 3 1 2 4 4 4 2 1 3 ; д) 1 2 3 4 2 2 3 4 3 3 3 4 4 4 4 4 . 2.2.2. 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 . 2.2.3. а) 3 4 2 2 4 2 3 2 4 − − − ; б) 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 . 2.2.5. 6 3 2 4 3 0 0 2 4 0 0 6 2 4 6 3 − − − − − − .
- 101. 103 2.2.6. ( )42AD = − , 1 3 1 3 1 0 0 0 0 0 BG = , 2 10 1 4 1 6 20 5 8 3 CB − − = − − , 6 0 9 0 3 4 5 7 2 2 0 20 4 8 0 2 10 5 4 1 DB − − − − = − − − − , 12 9 6 5 8 4 0 1 DC − − = − , 16 6 8 6 32 6 FD = − . 2.2.7. ( )1 5 1 2 4 9AC i i i= − − − + , ( )1 3 7AD i i= − − , 28 9AF i= − , ( )0 4 2 3 5 1AG i i i= + − − , 3 5 2 2 1 0 2 i i i BC − + + = − , 4 5 0 1 i BD − = − , 1 7 3 4 i BF i + = − − , 1 1 2 3 2 2 0 1 0 i i i i BG i − + − + = − − , 1 1 2 1 2 2 i CD i i i i = − − + − − − , 3 5 3 9 10 i CF i i + = − − − , 2 2 1 2 3 1 2 1 i i i CG i i i − = − − − − − − − , 3 4 1 2 3 6 0 1 0 1 2 0 3 i i i DB i + + − + = − − + − ; 2 3 11 16 3 2 3 4 26 7 4 3 1 2 5 i i i FA i i i i i − + + = − − − − − + . 2.2.8. а) 2 0 0 0 8 0 0 0 15 AB BA = = − ; при перемножении диагональных матриц снова получается диагональная матрица; умножение диагональных матриц перестановочно; б) 2 13 8 0 6 22 0 0 15 AB = − − , 2 6 1 0 6 22 0 0 15 BA − = − − ; в) 2 0 0 10 6 0 29 36 15 AB = − − , 2 0 0 11 6 0 9 15 15 BA = − − − − ; при перемножении треугольных матриц снова получается треугольная матрица; умножение треугольных матриц не перестановочно.
- 102. 104 2.2.10. 2 10 45 10 1 8 0 5 5 6 10 0 8 4 5 10 1 10 A A E − − − − + = − − − . 2.2.11. 4, 2n m= = . 2.3.1. а) 1 0 2 1 0 5 ; б) 1 2 0 1 − ; в) 15 2 7 1 − − ; г) 0 0 i i − ; д) 1 2 7 7 3 1 7 7 i i i i − − − ; е) 6 5 4 3 4 4 5 4 3 2 4 4 i i i i − + − − − + . 2.3.2. а) 1 0 0 2 1 0 0 3 1 0 0 4 ; б) 2 3 1 5 10 1 3 0 5 5 1 0 0 2 − − − ; в) 1 0 0 4 1 0 5 5 3 4 1 10 5 2 − − − ; г) 5 1 0 2 1 0 0 2 1 0 0 3 − ; д) 3 1 1 4 4 4 1 3 1 4 4 4 1 1 3 4 4 4 − − − − − − ; е) 16 8 7 9 9 9 14 7 5 9 9 9 1 2 1 9 9 9 − − − − ; ж) 1 9 7 40 40 40 13 3 11 40 40 40 17 7 1 40 40 40 − − − ; з) 1 2 0 5 5 2 11 2 5 5 3 4 1 5 5 − − − − − .2.3.3. а) 1 2 0 0 5 5 2 3 0 0 13 13 3 4 0 0 25 25 i i i + + + ;б) 1 5 2 6 24 1 0 3 6 0 0 4 i i i i − − − − .
- 103. 105 2.3.4. При отсутствиинавыков быстрого устного счета наиболее ра- циональным способом является метод элементарных преобразований а) 1 0 0 0 0 1 5 0 0 0 1 0 0 0 0 1 − ; б) 1 2 13 6 0 1 5 1 0 0 1 0 0 0 0 1 − − − ; в) 1 2 1 4 3 9 27 81 1 2 1 0 3 9 27 1 2 0 0 3 9 1 0 0 0 3 − − − ; г) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 2 2 − − − − ; д) 2 1 1 1 3 3 3 3 1 2 1 1 3 3 3 3 1 1 2 1 3 3 3 3 1 1 1 2 3 3 3 3 − − − − ; е) 5 1 2 0 3 3 3 7 2 4 1 3 3 3 26 10 17 6 3 3 3 2 1 1 1 3 3 3 3 − − − − − − − − − . 2.3.6. а) 25 13 ; 7 7 x y= = ; б) 3; 1x y= = ; в) 1,82; 2,34x y= = ; г) 3 5 ; 2 2 i x y= = ; д) 79 109 16 21 ; 82 82 41 41 x i y i= − = − − . 2.3.7. а) 0; 2; 1x y z= = = − ; б) 1 2 37; 5x x x= = = − ; в) 3; 2; 1x y z= = = ; г) 99 28 86 12 ; ; 1 29 29 29 29 x i y i z i= − − = − + = + . 2.3.8. а) 1; 2; 3; 4x y z t= = = = ; б) 7 4 1 2 ; ; ; 3 3 3 3 x y z t= = = = − . 2.4.1. а) 1Rang = ; б) 2Rang = ; в) 3Rang = . 2.4.2. а) 2Rang = ; б) 4Rang = ; в) 2Rang = . 2.4.3. а) 2Rang = ; б) 2Rang = ; в) 2Rang = .
- 104. 106 2.4.4. а) 3λ= . Указание: существуют миноры второго порядка с от- личным от нуля определителем, поэтому достаточно приравнять определи- тель матрицы к нулю и решить полученное уравнение; б) 2 4 28 0 6 2 = − ≠ − , значит, ранг матрицы равен двум или трем. Рас- смотрим окаймляющие миноры: 7 2 4 7 2 4 1 6 2 22 0 14 0 4 2 3 11 0 7 − − = − − = − ; 3 2 4 3 2 4 5 6 2 4 0 14 0 1 2 3 2 0 7 − = − − = − − ; 8 2 4 8 2 4 6 2 24 0 14 4 2 3 12 0 7 λ − = λ − − = − 24 14 2 14 12 7 λ − − = − = − λ. Чтобы ранг матрицы был равен двум, необходимо 0λ = . 2.4.5. а) система несовместна; б) система несовместна. 2.5.1. а) 0; 2; 1x y z= = = − ; б) 1 2 37; 5x x x= = = − ; в) 3; 2; 1x y z= = = . 2.5.2. а) 1; 2; 3; 4x y z t= = = = ; б) 7 4 1 2 ; ; ; 3 3 3 3 x y z t= = = = − ; в) 1 2 3 4 5 0x x x x x= = = = = ; г) 2; 5; 0; 4; 8x y z u v= − = = = = . 2.5.3. а) 5; 4x y= = ; б) 25 13 ; 7 7 x y= = ; в) 53 13 ; 19 19 x y= = . 2.5.5. а) 0; 1x y= = − ; б) 7 7 17 17 ; 10 10 5 10 x i y i= − − = − ; в) система несовместна; г) 97 33 14 64 31 53 ; ; 116 116 29 29 116 116 x i y i z i= − − = − + = − − . 2.6.1. а) Ранг матрицы системы равен 1. Если принять переменные y и z за свободные неизвестные, то фундаментальная система решений состоит из векторов ( ) ( )1 0 3;1;0X = и ( ) ( )2 0 2;0;1X = − . Общее решение имеет вид ( ) ( )1 2 0 0X X X= α + β , где ,α β – произвольные коэффициенты; б) Ранг матри- цы системы равен 2. Если принять переменную z за свободную неизвест- ную, то фундаментальная система решений состоит из единственного век- тора ( ) ( )1 0 1; 2;1X = − . Общее решение имеет вид ( )1 0X X= α , где α – произ- вольный коэффициент; в) СЛАУ имеет единственное решение 0x y z= = = . Фундаментальной системы решений нет. 2.6.2. а) Ранг системы равен 2. Если принять переменные , ,z u v за свободные неизвестные, то фундаментальная система решений будет со-
- 105. 107 стоять из векторов( )1 0 1 19 ; ;1;0;0 5 20 X = − , ( )2 0 6 1 ; ;0;1;0 5 5 X = − и ( )3 0 2 13 ; ;0;0;1 5 20 X = − , а общее решение имеет вид ( )1 0X X= α + ( ) ( )2 3 0 0X X+β + γ , где , ,α β γ – произвольные коэффициенты; б) Ранг системы равен 1. Если принять переменные , , ,y z u v за свободные неизвестные, то фундаментальная система решений будет состоять из векторов ( ) ( )1 0 2;1;0;0;0X = , ( ) ( )2 0 3;0;1;0;0X = − , ( ) ( )3 0 4;0;0;1;0X = и ( ) ( )4 0 5;0;0;0;1X = − а общее решение имеет вид ( ) ( )1 2 0 0X X X= α + β + ( ) ( )3 4 0 0X X+γ + δ , где , , ,α β γ δ – произвольные коэффициенты. 2.6.3. а) Ранг системы равен 2. Если принять переменную z за сво- бодную неизвестную, то фундаментальная система решений будет состо- ять из одного вектора ( )1 0 32 23 4 6 ; ;1 7 7 7 7 X i i = + − − , а общее решение име- ет вид ( )1 0X X= α , где α – произвольный коэффициент; б) Ранг системы равен 3. Если принять переменные , ,x t v за свободные неизвестные, то фундаментальная система решений будет состоять из векторов ( ) ( )1 0 1 ;0;0;0;0X i= , ( ) ( )2 0 0;4;1 ;1;2 ;0X i i= − и ( ) ( )3 0 0;0; 1;0;1 ;1X i= − + а об- щее решение имеет вид ( ) ( ) ( )1 2 3 0 0 0X X X X= α + β + γ , где , ,α β γ – произволь- ные коэффициенты. 2.6.4. а) Пусть коэффициенты равны , , , ,x y z t u соответственно: 2 2 7 2 4 3 4 2K Cr O H SO CrO KHSO H Ox y z t u+ = + + . Тогда количество атомов калия в левой части уравнения равно 2x, а в правой — t; поэтому 2x t= или 2 0x t− = Приравнивая количество атомов хрома в левой и правой частях урав- нения, получим 2 0x z− = . Для кислорода: 7 4 3 4 0x y z t u+ − − − = . Для водорода: 2 2 0y t u− − = . Для серы: 0y t− = . Запишем полученную СЛАУ: 2 0 2 0 7 4 3 4 0 2 2 0 0 x t x z x y z t u y t u y t − = − = + − − − = − − = − = .
- 106. 108 Среди решений системынужно найти такое, чтобы значения неиз- вестных были натуральными числами и, желательно, взаимно простыми. Из первых двух уравнений следует, что z t= , а из последнего – y t= . Упростим систему: 2 0 7 3 0 2 0 x y x y u y u − = − − = − = . Из первого и последнего уравнений системы следует, что x u= ; 2 0 6 3 0 x y x y − = − = . Ранг последней системы равен 1; полагая 1y = , получим 1 2 x = . Учи- тывая условия z t= , y t= , x u= , получим, что фундаментальная система решений исходной системы состоит из единственного вектора ( )1 0 1 1 1;1;1; 2 2 X = , общее решение имеет вид ( )1 0X X= α , где α — произ- вольный коэффициент. Подберем значение коэффициента α так, чтобы значения всех неизвестных стали целыми числами; в данной задаче это очень просто: α = 2. Нужное нам частное решение имеет вид ( )0 12;2;2;1X = и уравнение реакции выглядит так: 2 2 7 2 4 3 4 2K Cr O 2H SO 2CrO 2KHSO H O+ = + + ; б) ( ) ( )3 2 2 2 333 2Cr NO 3Na S 6H O 2Cr OH 3H S 6 Na NO+ + = + + ; 2.7.1. а) ( ) ( ) ( )11; 4;1;0 13; 5;0;1 2;0;0;0X = α − +β − + ; б) ( ) ( ) ( )1; 3;1;0 1; 2;0;1 1;1;0;0X = α − +β − + ; в) система несовместна; г) 13 3 23 3 3 5 ; ; ;1 ; ; ;0 8 4 8 4 2 4 X = α − + − . 2.8.1. а) зависимы; б) зависимы; в) зависимы; г) независимы; д) зависимы. 2.8.2. а) любые два вектора из данных трех образуют базис; б) любые три вектора из данных четырех образуют базис; в) любые четыре вектора из данных пяти образуют базис. 2.8.3. а) базис; б) не базис; в) не базис; г) не базис; д) базис; е) не ба- зис; ж) не базис. 2.8.4. а) не базис; б) базис. 2.8.5. а) 1 23b a a= + ; б) 1 2 1 1 2 2 b a a= − + ; в) 1 2 33 2b a a a= + + ; г) 1 2 32 3 4b a a a= + + ; д) 1 2 3 4 2 1 4 7 3 3 3 3 b a a a a= − + + + .
- 107. 109 Требования к практическомуусвоению темы «Линейная алгебра» Студент должен знать: 1. Определение определителя и его основные свойства. Спо- соб вычисления определителя второго порядка, способы вычис- ления определителей третьего порядка (правило треугольников (Саррюса), разложение по элементам строки или столбца). 2. Вычисление определителей четвертого и более высоких порядков приведением их к треугольному виду. 3. Способ решения неоднородных систем линейных алгебра- ических уравнений с помощью определителей (формулы Краме- ра). 4. Определение матрицы, виды матриц. Основные операции с матрицами и их свойства. Элементарные преобразования матриц. 5. Обратная матрица: определение, способы вычисления. 6. Способ решения СЛАУ с помощью обратной матрицы. 7. Ранг матрицы: определение и способы вычисления (с по- мощью окаймляющих миноров и с помощью элементарных пре- образований). 8. Определение совместности СЛАУ с использованием тео- ремы Кронекера-Капелли. 9. Способы решения произвольных совместных СЛАУ с по- мощью элементарных преобразований расширенной матрицы (методы Гаусса и Гаусса-Жордана). 10. Решение однородной СЛАУ с использованием фундамен- тальной системы решений. 11. Решение неоднородной СЛАУ с использованием общего решения однородной СЛАУ. 12. Определение векторного пространства и линейной зави- симости и независимости векторов в этом пространстве. 13. Базис векторного пространства. Разложение вектора по базису. Студент должен уметь: 1. Вычислять определители второго порядка; вычислять определители третьего порядка тремя способами. 2. Вычислять определители четвертого и пятого порядков приведением к треугольному виду с использованием контрольно- го столбца.
- 108. 110 3. Определять условиявозможности решения и находить ре- шение СЛАУ по формулам Крамера. 4. Выполнять линейные операции с матрицами; умножать матрицы и транспонировать их; производить элементарные пре- образования матриц и проверку правильности преобразований с помощью контрольного столбца. 5. Вычислять обратную матрицу двумя способами. 6. Определять условия возможности решения и находить ре- шение СЛАУ с помощью обратной матрицы. 7. Вычислять ранг матрицы двумя способами (способом окаймляющих миноров и приведением матрицы к ступенчатому виду), использовать для проверки контрольный столбец. 8. Определять совместность произвольной СЛАУ сравнением рангов матрицы коэффициентов и расширенной матрицы. 9. Использовать методы Гаусса и Гаусса-Жордана для реше- ния произвольных СЛАУ или определения их несовместности. 10. Находить фундаментальные решения однородной СЛАУ и использовать их для определения общего решения СЛАУ. 11. Находить общее решение неоднородной СЛАУ с исполь- зованием базисного решения и фундаментального решения одно- родной СЛАУ, соответствующего исходной СЛАУ. 12. Проверять, являются ли векторы линейно зависимыми, определять, образует ли базис заданная система векторов. 13. Находить координаты вектора в «новом» базисе, если из- вестны координаты вектора в «старом» базисе. Тема 3: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В векторной алгебре изучаются геометрические векторы как направленные отрезки прямых, в которых определены начальные и конечные точки. Такое представление векторов позволяет дать наглядную геометрическую интерпретацию важнейшим физиче- ским величинам (скорости и ускорения точек, силы, моменты сил и т.д.). Большинство физических законов представляется в век- торной форме. Поэтому хорошо усвоенные навыки владения ос- новными операциями с геометрическими векторами являются существенно необходимыми для понимания и осмысленного за- поминания современных вузовских курсов физики, теоретиче-
- 109. 111 ской механики, теоретическойэлектротехники, сопротивления материалов и т.д. 3.10 . Общие сведения о геометрических векторах При математическом описании геометрических векторов совмещают алгебраические и геометрические методы. В математике используются свободные векторы и векторы с фиксированной начальной точкой (радиус-векторы). О пр е д е ле ние: Свободным называют геометрический век- тор, который можно переносить параллельно самому себе в лю- бую область пространства. С позиции линейной алгебры геометрический вектор – это математический объект, заданный в векторном пространстве упорядоченным набором трех действительных чисел ( )1 2 3, ,a a a a= r . Эти числа яв- ляются коэффициентами в разложении вектора a r по ба- зису }{ 1 2 3, ,e e e r r r и называются координатами вектора в ука- занном базисе. При этом век- тор a r можно единственным образом разложить по задан- ному базису в виде 1 1 2 2 3 3a a e a e a e= + + r r r r . С позиции геометрии геометрический вектор – это направ- ленный отрезок, который характеризуется (рис. 21): а) линией действия; б) направлением действия; в) начальной и конечной точками вектора; г) модулем (длиной) вектора AB AB= uuuur . Все определения и теоремы, справедливые для алгебраических (арифметических) векто- ров, справедливы и для геометрических векто- ров той же размерности. Обратные утвержде- ния справедливы не всегда. Рис. 21. Вектор как геометрический объект Рис. 22. Равенство векторов
- 110. 112 Введем определения векторов,часто используемые при ре- шении задач. О пр е д е ле ние: коллинеарны- ми называются векторы, линии действия которых совпадают или параллельны; Эти векторы могут иметь оди- наковые направления (быть сона- правленными a b↑↑ rr , рис. 23) или быть противоположно направлен- ными ( )a b↑↓ rr . Если существен- ным является только параллель- ность линий действия, то исполь- зуется условное обозначение ||a b rr . О пр е д е л е ни е: векторы, ле- жащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, назы- ваются компланарными. О пр е д е ле ние: Свободным называется геометрический вектор, который можно переносить параллельно самому себе в любую область пространства. Иными словами, два свободных вектора считаются равными, если один из них можно получить из другого параллельным переносом (см. рис. 22). О пр е д е ле ние: Вектор, начало и конец которого совпада- ют, называется нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается 0 r . О пр е д е ле ние: Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. 3.20 . Декартовы системы координат с ортонормированным репером Пространство геометрических векторов V3 является важным частным случаем n-мерного векторного пространства. В трехмерном пространстве V3 геометрических векторов лю- бые три линейно независимых вектора образуют базис. Если объ- единить трехмерное пространство V3 геометрических векторов и точечное координатное пространство R3 , то получим трехмерное аффинное пространство. В этом пространстве свободные векто- Рис. 23. Пример: сонаправленные векторы скоростей точек тела при его поступательном непрямолинейном движении
- 111. 113 ры базиса параллельнымпереносом приведем к общему началу (полюсу). О пр е д е ле ние: Совокупность трех базисных векторов 1 2 3, ,e e e r r r и общей начальной точки (полюса) называется репером }{ 1 2 3, , ,O e e e r rv . Если с линиями действия векторов репера совместим коор- динатные оси с общей начальной точкой, то получим общую де- картову (аффинную) систему координат. В общем случае такие системы являются косоугольными с разными масштабами для разных координатных осей. Указанные системы координат ши- роко используют при описании свойств кристаллических струк- тур и анизотропных материалов (анизотропными называют мате- риалы, которые имеют различные физические свойства в разных направлениях. Например, дерево имеет различную прочность вдоль и поперек волокон). Если в качестве базиса выбрать взаимно ортогональные век- торы единичной длины ( ( ) ( ) ( )1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1i j k= = = rr r ), то получим ортонормированный репер. Реперы разделяют на правосторон- ние и левосторонние. Правосторонним (правым) называют репер }{ , , ,O i j k rr r , в котором векторы расположены друг от- носительно друга так, что глядя с конца третьего вектора, поворот от первого вектора ко второму на наименьший угол виден против часовой стрелки. В против- ном случае репер называется левосто- ронним (левым) (рис. 24). Замечание. Если в правом репере поменять местами два вектора, то репер станет левым. И наоборот: если в левом репере поменять местами два вектора, то репер станет правым. Если координатные оси совместить с линиями действия пра- вого ортонормированного репера }{ , , ,O i j k rr r , то получим правую Рис. 24. Репер
- 112. 114 прямоугольную систему координат.Далее будем использовать в основном только такую систему. 3.30 . Линейные операции над векторами К линейным операциям относятся: 1) сложение и разложение векторов; 2) вычитание векторов; 3) умножение векторов на действительные числа. 1. Сложение векторов производится по правилу параллело- грамма, треугольника и многоугольника (рис. 25). При сложении по правилу параллело- грамма и треуголь- ника все три вектора , ,a b c rr r расположены в одной плоскости (компланарны). Па- раллельными пере- носами векторы пе- реводят в положения, указанные на рисунке, и суммируют. По правилу многоугольника можно сум- мировать некомпланарные векторы в трехмер- ном пространстве (рис. 26). Свойства операции сложения: 1) коммутативность a b b a+ = + r rr r для лю- бых векторов ,a b rr ; 2) ассоциативность ( )a b c+ + = rr r ( )a b c+ + rr r для любых векторов , ,a b c rr r ; 3) существует нулевой вектор такой, что для любого вектора 0a a+ = rr r ; 4) для каждого вектора a r существует про- тивоположный вектор a′ r такой, что 0a a′+ = rr r . 2. Разложение вектора на составляющие. При выполнении этой операции применяют правило парал- лелограмма, используя разлагаемый вектор a r как диагональ па- раллелограмма. Схема разложения вектора на составляющие век- торы приведена на рис. 27. Рис. 25. Сложение векторов Рис. 26. Правило многоугольника в пространстве
- 113. 115 Операция разложения векторана составляющие неодно- значна. Рис. 27. Разложение вектора на составляющие Рис. 28. Вычитание векторов 3. Вычитание (разность) векторов. О пр е д е ле ние: Если векторы a r и b r приложены к одному началу, то вектор c r с началом в конце вектора a r и с концом в конце вектора b r называется разностью c r = b r – a r (рис. 29). О пр е д е ле ние: После умножения вектора a r на скаляр λ получаем новый вектор b r с модулем aλ r , коллинеарный векто- ру a r . b a= λ r r . При λ > 0 векторы a r и b r сонаправлены. При λ < 0 векторы a r и b r противоположно направлены. При λ = 0 вектор 0b = r r . Операция умножения вектора на число обладает следующи- ми свойствами: 1) ассоциативность 1 2 1 2( ) ( ) ;a aλ λ = λ λ r r 2) дистрибутивность ( ) ,a b a bλ + = λ + λ r rr r 1 2 1 2( ) .a a aλ + λ = λ + λ r r r Если использовать единичный вектор 0 l , сонаправленный с вектором l , то этот вектор можно представить в виде 0 l l l= r r r . Пр и м е р 1. Выразить вектор c r через векторы a r и b r (рис. 29). Решение: а) по правилу тре- угольника получим a b c+ = rr r ; б) по правилу треугольника: b c a+ = r r r или, по правилу вычита- Рис. 29. Пример 1
- 114. 116 ния векторов, ab c− = rr r , что одно и то же; в) по правилу много- угольника 0a b c+ + = r rr r . Пр и м е р 2. Какому условию удовлетворяют ненулевые век- торы a r и b r , а) если a b a b+ = − r rr r ; б) a b a b+ > − r rr r ; в) a b a b+ < − r rr r . Решение: В общем случае при сложении по правилу параллелограмма имеем, что одна из диа- гоналей соответствует сумме векторов, а другая – разности этих векторов (рис. 30). Равенство а) выполняется, если диагонали равны, т.е. парал- лелограмм является прямоугольником 2 π α = ; равенство б) вы- полняется, если угол α – острый 2 π α < ; равенство в) выполня- ется, если угол α – тупой 2 π α > . 3.40 . Основные геометрические свойства линейно зависимых и независимых векторов По аналогии с алгебраическими векторами, используя линей- ные операции с геометрическими векторами, можно ввести поня- тие линейной комбинации векторов 1 2, ,..., na a a r r r в виде 1 1 2 2 ... n na a aλ + λ + + λ r r r . Если векторы линейно зависимы, то спра- ведливо векторное равенство 1 1 2 2 ... 0n na a aλ + λ + + λ = rr r r при некоторых 1 2, ,..., nλ λ λ таких, что 2 2 2 1 2 ... 0nλ + λ + + λ ≠ . Если геометрические векторы линейно независимы, то векторное ра- венство 1 1 2 2 ... 0n na a aλ + λ + + λ = rr r r справедливо только при 1 2 ... 0nnλ = λ = = λ = . Рис. 30. Пример 2 a r α
- 115. 117 Линейная зависимость геометрическихвекторов имеет сле- дующий геометрический смысл: Т е о р е м а 1. Два ненулевых геометрических вектора ли- нейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Следствие: Два любых неколлинеарных вектора на плоско- сти образуют базис на плоскости. Теорема (О пропорциональности коллинеарных векторов) Если векторы a r и b r коллинеарны, то найдется число λ такое, что a b= λ rr . Т е о р е м а 2. Три ненулевых геометрических вектора ли- нейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Следствие 1. Три любых некомпланарных вектора в трех- мерном векторном пространстве образуют базис. Следствие 2. Четыре геометрических вектора в трехмерном векторном пространстве всегда линейно зависимы. Теорема (о разложении вектора по базису) 1) Пусть 1 2,a a r r – базис на плоскости, b r – вектор на этой плос- кости. Тогда найдутся числа λ1, λ2 такие, что 1 1 2 2b a a= λ + λ r r r . 2) Пусть 1 2 3,,a a a r r r – базис в пространстве, b r – произвольный вектор. Тогда найдутся числа λ1, λ2, λ3 такие, что 1 1b a= λ + r r 2 2 3 3a a+λ + λ r r . Пр и м е р. В тетраэдре ABCD точка M – точка пересечения медиан треуголь- ника ABC (рис. 31). Разложить вектор DM uuuur по базе DA uuur , DB uuur , DC uuur . Решение: Пусть точка K – основание медианы, проведенной из вершины C. ( )2 2 3 3 DM DC CM DC CK DC CB BK = + = = + = + + = uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 1 2 1 3 2 3 3 DC CB BA DC CB BA = + + = + + = uuur uuur uuur uuur uuur Рис. 31. Пример
- 116. 118 ( ) () ( )2 1 1 3 3 3 DC DB DC DA DB DA DB DC= + − + − = + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur . Задачи к разделам 3.10 –3.40 3.1.1. В треугольнике ABC точка M лежит на стороне BC и при этом 5 7BM CM= . Разложить вектор AM uuuur по базису AB uuur , AC uuur . 3.1.2. В треугольнике ABC дана точка пересечения медиан M. Разложить вектор AM uuuur по базису AB uuur , AC uuur . 3.1.3. В параллелограмме ABCD с параллельными сторонами AB и CD точка M расположена на стороне AB так, что 3 7AM MB= , а точка N расположена на стороне BC так, что 5 9BN NC= . Разложить вектор MN uuuur по базису AB uuur , AD uuur . 3.1.4. В параллелограмме ABCD с параллельными сторонами AB и CD разложить векторы AB uuur , BC uuur , CD uuur и DA uuur по базису AC uuur , BD uuur . 3.1.5. На рис. 32 изображен паралле- лограмм ABCD, при этом четырехуголь- ник AFOH также является параллелограм- мом. Разложить векторы OH uuur , GO uuur и GH uuur по базе AB uuur , AD uuur . 3.1.6. В трапеции ABCD большее ос- нование AD в 5 раз больше меньшего ос- нования BC. Разложить векторы AB uuur , BC uuur , CD uuur и DA uuur по базису AC uuur , BD uuur . 3.1.7. На рис. 33 изображена тра- пеция ABCD, при этом AD = 2BC, BF перпендикулярна AD, GH параллель- на BC. Разложить векторы BC uuur , BF uuur , OH uuur по базису AC uuur , BD uuur . 3.1.8. а) Точка O – центр пра- вильного шестиугольника ABCDEF . Доказать, что 0OA OB OC OD OE OF+ + + + + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur r . б) Точка O – центр правильного пятиугольника ABCDE . До- казать, что 0OA OB OC OD OE+ + + + = uuur uuur uuur uuur uuur r . Рис. 32. Задача 3.1.5 Рис. 33. Задача 3.1.6
- 117. 119 в) Обобщить результатна случай произвольного правильного многоугольника. Дать физическую интерпретацию результата 3.1.9. В параллелепипеде 1 1 1 1ABCDA B C D точка O является се- рединой диагонали AC1, а точка M – серединой грани ABCD. Разложить вектор OM по базе AB uuur , AD uuur , 1AA uuur . Разложить тот же вектор по базе AB uuur , AC uuur , 1AC uuuur . 3.1.10. В тетраэдре ABCD точки M и N являются серединами ребер AB и CD соответственно. Разложить вектор MN uuuur по базе AB uuur , AC uuur , AD uuur . 3.50 . Проекции геометрического вектора в прямоугольной системе координат Геометрический подход к векторам как направленным отрез- кам реализуется в аналитической форме через проекции векторов в прямоугольных системах координат. В данном разделе показа- но, что проекции геометрических векторов на оси координат можно рассматривать как координаты векторов. Это позволяет использовать методы линейной алгебры и геометрии при изуче- нии геометрических векторов. Рассмотрим основные виды проекций векторов в прямо- угольной системе координат. 3.5.10 . Векторная проекция вектора на ось или плоскость (составляющая вектора) О пр е д е ле ние: Орто- гональная проекция точки А на ось или плоскость – это точка пересечения оси или плоскости перпендикуляром, опущенным из точки А на ось или плоскость (рис. 34). О пр е д е ле ние: Векторной проекцией вектора AB uuur (состав- ляющей вектора AB uuur ) на ось или плоскость называется новый вектор A B′ ′ uuuur , лежащий на оси или плоскости. Точки начала и конца вектора A B′ ′ uuuur совпадают с Рис. 34. Ортогональная проекция точки Рис. 35. Векторная проекция вектора
- 118. 120 ортогональными проекциями точекначала и конца вектора AB uuur на ось или плоскость (рис. 35). Условные обозначения: lA B p AB′ ′ = Π uuuur uuur uuur , A B p ABπ ′ ′ = Π uuuur uuur uuur . Модуль вектора A B′ ′ uuuur равен cosA B AB′ ′ = α uuuuur uuur , где α – острый угол между вектором и линией, проходящей через начальную точку вектора AB uuur и параллельную оси или плоскости. При этом указанная линия и линия действия вектора AB uuur лежат в одной плоскости. Основные свойства составляющей вектора: 1) составляющая вектора на ось или плоскость не изменится при любом параллельном переносе вектора, оси или плоскости в пространстве; 2) составляющая суммы конечного числа векторов равна сумме составляющих слагаемых векторов; 3) составляющая вектора на ось или плоскость равна нулю, если вектор перпендикулярен указанной оси или плоскости; 4) при умножении вектора a r на скаляр (действительное чис- ло) λ его составляющая на ось или плоскость умножается на то же число l lp a p aΠ λ = λΠ uuur r uuur r ; 5) если векторы линейно зависимы, то линейно зависимы и их одноименные составляющие. 3.5.20 . Числовая проекция вектора на ось О пр е д е ле ние: числовой (алгебраической) проекцией век- тора на ось называется скаляр- ная величина, равная модулю составляющей вектора на той же оси со знаком «+» или «–». Знак «+» ставится в случае, когда направление составляющей век- тора совпадает с положительным направлением оси и знак «–» – в противоположном случае (рис. 36). Замечание 1. Основные свойства числовых проекций вектора анало- гичны таким же свойствам составляющих вектора. Рис. 36. Числовая проекция вектора на ось
- 119. 121 Замечание 2. Вприложениях векторные проекции вектора обычно называют составляющими вектора, а числовые проекции – просто проек- циями вектора на ось или плоскость. 3.5.30 . Проекции вектора на вектор О пр е д е ле ние: векторная проекция вектора a r на вектор b r равна векторной проекции вектора a r на ось, совпадающую с ли- нией действия и направлением вектора b r . Обозначение: bbp a aΠ =r uuur r r . О пр е д е ле ние: Числовая проекция вектора a r на вектор b r равна числовой проекции вектора a r на ось, совпадающую с ли- нией действия и направлением вектора b r . Обозначение: bb p a aΠ = ±r r . Очевидно, имеет место равенство ( )cos ,b p a a a bΠ = ⋅r r rr r . Числовые и векторные проекции вектора на вектор взаимо- связаны: 0 b b a p a b= Π ⋅r rr r , где 0 b r – единичный вектор, совпадаю- щий по направлению с вектором b r . 3.5.40 . Правило двойного проектирования вектора В общем случае при определении числовых и векторных про- екций на ось (вектор) используют правило двойного проектиро- вания, суть которого следует из рис. 37. Рис. 37. Правило двойного проектирования Пусть необходимо вектор AB uuur спроектировать на направле- ние оси l. Выбираем плоскость π, в которой лежит ось l, проекти- руем вектор AB uuur на плоскость π и получаем векторную проекцию p AB A Bπ ′ ′Π = uuur uuur uuuur . Затем векторную составляющую A B′ ′ uuuur проектиру-
- 120. 122 ем на осьl и получаем вектор A B′′ ′′ uuuuur , являющийся составляющей вектора A B′ ′ uuuur . По известной из геометрии теореме о трех перпен- дикулярах, cos coslp AB A B AB′′ ′′Π = = α β uuur uuuuur . 3.5.50 . Определение вектора через его проекции в прямоугольной системе координат В трехмерном векторном пространстве с ортонормирован- ным базисом }{ , ,i j k rr r вектор a r с позиции линейной алгебры можно разложить по базису: 1 2 3a a i a j a k= + + r rv v , где 1 2 3, ,a a a – координаты вектора a r в базисе }{ , ,i j k rr r . С другой стороны, в прямоугольной системе координат с ортонормированным репе- ром }{ , , ,O i j k rr r вектор a r можно представить в виде x y za a i a j a k= + + r rv v , следовательно, координаты вектора равны его проекциям на векторы репера, и координаты вектора можно представить так: ( ), ,x y za a a a= r . Из теоремы Пифагора следует, что модуль вектора равен 2 2 2 x y za a a a= + + r . О пр е д е ле ние: если вектор a r составляет с осями коорди- нат углы α, β, γ, то числа cos α, cosβ, cos γ называются направля- ющими косинусами этого вектора. Замечание: из определения координат и направляющих косинусов следует: cos , cos , cosx y za a a a a a= α = β = γ r r r . Направляющие косинусы любого вектора удовлетворяют со- отношению: cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. Пр и м е р. Вектор a r образует с осью OX угол α 30°, а с осью OZ – угол γ = 90°. Какой угол образует вектор a r с осью OY? Решение: cos2 β = 1 – cos2 α – cos2 γ; cos2 β = 2 23 1 0 2 − − = 3 1 1 4 4 = − = ; 1 cos 2 β = ± . Значит, β = 60° или β = 120°.
- 121. 123 Основные свойства числовыхпроекций вектора в прямо- угольной системе координат: 1) проекции вектора не изменяются при параллельном пере- носе вектора или оси, на которую вектор переносится; 2) проекция суммарного вектора равна алгебраической сумме одноименных проекций слагаемых векторов: если c a b= + = rr r x y zc i c j c k= + + rr r то x x xc a b= + , y y yc a b= + , z z zc a b= + ; 3) каждая проекция вектора равна разности соответствующих координат конечной и начальной точек вектора ( ), ,B A B A B AAB x x y y z z= − − − uuur ; Замечание. Если необходимо определить расстояние между двумя точками, то принимая их за начальную и конечную точки вектора, длину вектора можно вычислить как расстояние между точками: ( ) ( ) ( ) 22 2 B A B A B AAB x x y y z z= − + − + − uuur . 4) при умножении вектора на действительное число все его проекции на координатные оси умножаются на то же число ( ), ,x y za a a aλ = λ λ λ r . Если ||a b rv , то b a= λ r r и получаем аналитическое условие коллинеарности векторов yx z x y z aa a b b b = = . Теорема (аналитическое условие коллинеарности) Векторы 1 2 3( , ),a a a a= r и 1 2 3( , ),b b b b= r коллинеарны тогда и только когда 1 2 3 1 2 3 a a a b b b = = . В случае равенства нулю одного или нескольких знаменателей, соответствующие равенства следует понимать как пропорции.
- 122. 124 Замечание. Всюду вдальнейшем выражения, подобные равенству 1 2 1 2 a a b b = , будем понимать как пропорции, чтобы отдельно не оговаривать случай равенства знаменателей нулю. Пр и м е р 1. При каких значениях параметров α и β векторы u r и v v коллинеарны: 3u i j k= α + + β vv vr , 3 2v i j k= − + vv vv . Решение: yx z x y z uu u v v v = = 3 3 1 2 α β = = − . Из пропорции следует: 9; 6α = − β = − . Пр и м е р 2. Даны координаты вектора 4; 12x ya a= = − и его модуль 13a = v . Найти третью координату, определить направля- ющие косинусы вектора. Решение: ( )22 2 13 4 12 za a= = + − + r . Решив это уравнение, получим 3za = ± . Таким образом, опре- делены два вектора: ( )4; 12; 3a = − r и ( )* 4; 12; 3a = − − r . Направляющие косинусы вектора a r : 4 cos 13 xa a α = =r , 12 cos 13 ya a β = = −r , 3 cos 13 za a γ = =r . Проверка: 2 2 2 16 144 9 cos cos cos 1 169 169 169 α + β + γ = + + = . Аналогично определяются направляющие косинусы вектора * a r . 3.5.60 . Деление отрезка прямой в данном отношении При решении геометрических задач методами векторной ал- гебры часто бывает необходимо найти координаты точки M, де- лящей заданный отрезок AB в заданном отношении m n = λ. Тогда координаты точки M определяются по формулам: 1 A B M x x x + λ = + λ ; 1 A B M y y y + λ = + λ ; 1 A B M z z z + λ = + λ .
- 123. 125 Пр и ме р. На отрезке AB, где ( )1, 2,6A и ( )6, 12,21B найти точку M такую, что 2 3 AM MB = . Решение: 2 1 6 3 3 21 1 3 A B M x x x + ⋅ + λ = = = + λ + ; 2 2 12 3 6 21 1 3 A B M y y y + ⋅ + λ = = = + λ + ; 2 6 21 3 12 21 1 3 A B M z z z + ⋅ + λ = = = + λ + . Задачи к разделу 3.50 3.5.1. На плоскости даны четыре точки ( )2; 3A ; ( )3;4B − ; ( )0; 5C − ; ( )3; 0D : а) найти координаты вектора 2 5AB BC+ uuur uuur ; б) найти длину и направляющие косинусы вектора OB uuur , где O – начало координат; в) разложить вектор AD uuur по базе AB uuur , AC uuur . 3.5.2. Известны координаты векторов ( )2 5 1; 2; 3c a b= + = rr r и ( )3 4; 5; 6d a b= + = r rr . Найти координаты векторов a r и b r . 3.5.3. Вектор a r составляет с положительным направление оси OX угол 30°, а с положительным направлением оси OZ – угол 90°. Какой угол составляет вектор a r с положительным направле- нием оси OY? 3.5.4. Вектор a r составляет с положительными направления- ми координатных осей в пространстве равные углы. Найти коор- динаты этого вектора, если его длина равна 3. 3.5.5. В пространстве заданы пять точек ( )2; 3; 5A − ; ( )3 ;4;1B − ; ( )0; 5; 1C − ; ( )5; 6; 5D − , ( )3; 1; 2E − : а) найти координаты вектора 3 2 5a AB AC AD= − + uuur uuur uuurr ; б) найти длину и направляющие косинусы вектора a r ; в) проверить, будет ли четырехугольник ABCD трапецией; г) проверить, будет ли четырехугольник ABCD параллело- граммом;
- 124. 126 д) разложить векторAD uuur по базе AB uuur , AC uuur , AE uuur . 3.5.6. Даны три точки ( )2; 3A ; ( )3;4B − ; ( )0; 5C − . Найти ко- ординаты центра и радиус окружности, проходящей через эти точки. 3.5.7. Даны четыре точки ( )3 ;4;1B − ; ( )0; 5; 1C − ; ( )5; 6; 5D − , ( )3; 1; 2E − . Найти координаты центра и радиус сферы, проходя- щей через эти точки. 3.5.8. На отрезке AB , где ( )1, 2,3A и ( )4, 5,6B найти точку M такую, что а) 2 5 AM MB = ; б) 5 2 AM MB = ; в) 1 AM MB = ; г) 1 5 AM MB = . 3.5.9. Даны координаты середин сторон треугольника ( )2; 3A ; ( )3;4B − ; ( )0; 5C − . Найти координаты его вершин. 3.5.10. Даны координаты двух смежных вершин параллело- грамма ( )2; 3A и ( )3;4B − и точка пересечения его диагоналей ( )0; 5C − . Найти координаты двух других вершин. 3.60 . Скалярное произведение векторов О п р е д е ле н и е: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними cosa b a b⋅ = ⋅ ⋅ α r rr r . Из определения скалярного произведения следует, что a b a b a p b b p a⋅ = ⋅Π = ⋅Π rr r r rr r r . Свойства скалярного произведения: Для любых векторов a r и b r верно: 1) a b b a⋅ = ⋅ r rr r ; 2) 2 a a a⋅ = r r r . Если 0a ≠ rr и 0b ≠ r r , то 0a b⋅ > rr тогда и только тогда, когда угол α острый; 0a b⋅ < rr тогда и только тогда, когда угол α тупой; 0a b⋅ = rr тогда и только тогда, когда угол α прямой.
- 125. 127 Теорема (скалярное произведение илинейные операции) 1) Для любых векторов a r и b r и любого числа λ: ( )( )a b a bλ ⋅ = λ ⋅ r rr r ; 2) Для любых векторов a r , b r , c r : ( )a b c a c b c⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ r rr r r r r . Замечание. Из теоремы следует, что при раскрытии скобок в выраже- ниях, содержащих операции векторного сложения, вычитания, умножения на число и скалярного умножения можно действовать так же, как и при раскрытии скобок, содержащих операции с числами. Теорема (скалярное произведение в координатах) Если 1 2 3( , ),a a a a= r и 1 2 3( , ),b b b b= r , то 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b⋅ = + + rr . 3.6.10 . Геометрические приложения скалярного произведения векторов 1) Если векторы a r и b r ортогональны, т.е. ( )cos , cos 0 2 a b π = = rr , то из определения скалярного произведения следует условие ор- тогональности векторов в векторной форме: 0a b⋅ = rr . 2) Если 1 2 3( , ),a a a a= r и 1 2 3( , ),b b b b= r , то угол между этими векторами можно вычислить по формуле ( ) 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos , a b a b a b a b a a a b b b + + = + + + + rr ; 3) Учитывая, что aa b a p b⋅ = ⋅Π r r rr r , получим формулу 1 1 2 2 3 3 2 2 2 1 2 3 a a b a b a b p b a a a + + Π = + + r r ; 4) Скалярное произведение вектора на орт оси позволяет определить координату (числовую проекцию) вектора на ось, например, 1a a i= ⋅ rr .
- 126. 128 Пр и ме р 1. Определить угол между векторами a i j= − + r rr и 2 2b i j k= − + r rr r . Решение: ( ) 2 2 2 2 2 2 cos , x x y y z z x y z x y z a b a b a b a b a a a b b b + + = = + + + + rr ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 1 1 1 2 0 2 3 1 2 9 21 1 0 1 2 2 − ⋅ + ⋅ − + ⋅ − = = = − − + + + − + . Значит,( ) 3 , 4 a b π = vr . Пр и м е р 2. Даны векторы 2a i j k= + + rr rr и 4b i j k= − + r rr r . Определить проекцию вектора a r на вектор b r . Решение: ( ) ( )22 2 1 1 1 1 2 4 4 2 31 1 4 x x y y z z b a b a b a b p a b + + ⋅ + ⋅ − + ⋅ Π = = = + − + r r r . При решении геометрических задач с помощью формул векторной алгебры ли- нейные элементы геометрических фигур представляются в виде векторов. Пр и м е р 3. Найти длины сторон и уг- лы треугольника с вершинами в точках ( )1; 2; 4A − − , ( )4; 2; 0B − − , ( )3; 2; 1C − . Решение: представляем стороны треугольника в виде векто- ров (рис. 38) и находим координаты этих векторов: ( ) ( )( ) ( )4 1 ; 2 2 ; 0 4 3;0; 4AB a= = − − − − − − − = − − uuur r ; ( ) ( )( ) ( )3 1 ; 2 2 ; 1 4 4;0; 3AC c= = − − − − − − = − uuur v ; ( )7; 0; 1BC b= = uuur r . Найдем длины этих векторов: ( ) ( )2 22 3 0 4 5AB = − + + − = uuuur , 5; 5 2AC BC= = uuur uuur . Определяем углы между сторонами: Рис. 38. Пример A B γ
- 127. 129 ( ) ( )( ) ( )3 4 0 0 4 3 cos cos , 0 5 5 a c a c a c − ⋅ + ⋅ + − ⋅ −⋅ α = = = = ⋅ ⋅ rv r r r r ; 2 π α = . ( ) ( )7 4 0 0 1 3 1 cos cos , 5 5 2 2 b c ⋅ + ⋅ + ⋅ − β = = = ⋅ r r 4 π ⇒ β = . По теореме о сумме углов треугольника должно быть 4 π γ = . Проверим: ( ) ( ) ( )3 7 0 0 4 1 1 cos , 5 5 2 2 a b − ⋅ + ⋅ + − ⋅ = = − ⋅ rr ; cosγ = ( )( ) ( )7 4 0 0 1 3 1 cos , 5 5 2 a b ⋅ + ⋅ + ⋅ − = π− = − = ⋅ rr (см. рис. 38). 3.6.20 . Определение координат (проекций) вектора при изменении системы координат Пусть задан вектор ( )1 2 3, ,a a a a= r в некоторой (старой) пря- моугольной системе координат Oxyz. Необходимо определить координаты того же вектора ( )1 2 3, ,a a a a′ ′ ′= r в новой системе ко- ординат Ox y z′ ′ ′. Пусть начала координат в обеих системах совпадают. Это не уменьшает общности получаемых результатов, так как парал- лельный перенос вектора не изменяет его проекций (координат). Вектор a r в двух системах координат имеет вид 1 2 3a a i a j a k= + + rrvr ; 1 2 3a a i a j a k′ ′ ′ ′ ′ ′= + + r urrr . ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 1 2 3a a i a i a j a k i a i i a j i a k i′ ′ ′ ′ ′ ′= ⋅ = + + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ r r r r rr rr r r rr ; 1 11 1 12 2 13 3a a a a′ = α + α + α , где ( )11 cos ,i i i i′ ′α = ⋅ = r rr r , ( )12 cos ,j i i j′ ′α = ⋅ = r urr r , ( )13 cos ,k i k i′ ′α = ⋅ = r rr r . Аналогично получаем: 2 21 1 22 2 23 3a a a a′ = α + α + α ; 3 31 1 32 2 33 3a a a a′ = α + α + α . Эти формулы можно представить в матричной форме:
- 128. 130 1 11 1213 1 2 21 22 23 2 3 31 32 33 3 a a a a a a ′ α α α ′ = α α α ⋅ ′ α α α . Или, более коротко: a′ = r ( )ik a= α r . Пусть на плоскости даны две различные прямоугольные си- стемы координат XOY и X O Y′ ′ ′и дан вектор a r , координаты кото- рого в системе XOY известны. Требуется найти координаты того же вектора в системе X O Y′ ′ ′. Теорема (о переходе к новым координатам) Пусть координаты произвольного вектора a r в системе XOY равны 1 2,a a , а в системе X O Y′ ′ ′ – 1 2,a a′ ′ тогда если система X O Y′ ′ ′ получена из системы XOY поворотом на угол α вокруг точки О против часовой стрелки, то cos sin ; sin cos . x x y y x y ′ ′= α − α ′ ′= α + α В тензорном исчислении, которое находит наиболее широкое применение в механике сплошной среды (гидромеханике, теории упругости и т.д.) закон преобразования координат лежит в основе определения вектора, который считают тензором первого ранга. 3.70 . Векторное произведение векторов Определение: векторным произведением вектора a r на вектор b r называется вектор c a b= × rr r , удовлетворяющий условиям: Рис. 39. Переход к новым координатам
- 129. 131 1) Длина вектораc r равна про- изведению длин векторов a r и b r на синус угла между ними: c = r sina b= ⋅ α rr . 2) Линия действия вектора c r перпендикулярна линиям действия векторов a r и b r . 3) Вектор c r направлен так, что наблюдатель, смотрящий с конца вектора c r , видит поворот от век- тора a r к вектору b r на наименьший из двух возможных углов, происходящим против часовой стрелки Теорема (свойства векторного произведения) Для любых векторов , ,a b c rr r имеют место тождества: 1) ( )a b b a× = − × r rr r (от перестановки множителей меняется знак произведения); 2) Для любого числа A верно: ( ) ( )Aa b A a b× = × r rr r . 3) ( )a b c a c b c+ × = × + × r rr r r r r . Теорема (векторное произведение в координатах) Если ( )1 2 3, ,a a a a= r и 1 2 3( , ),b b b b= r , то 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( , , )a b a b a b a b a b a b a b× = − − − rr . Замечание. Для запоминания и вычисления координат векторного произведения используют определитель 1 2 3 1 2 3 i j k a a a b b b rr r , и его разложение по первой строке Рис. 40. Векторное произведение
- 130. 132 2 3 13 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( ) ( ) ( ) 1 2 3 , i j k a a a a a a a a a i j k b b b b b b b b b i a b a b j a b a b k a b a b = ⋅ − ⋅ + = = − + − + − rr r rr r rr r т.е. коэффициенты при векторах , ,i j k rr r будут равны соответствующим координатам вектора c a b= × rr r . Теорема (двойное векторное произведение) Для любых векторов a r , b r , c r имеет место тождество ( ) ( ) ( )a b ñ b a ñ ñ a b× × = ⋅ − ⋅ r r rr r r r r r . Пр и м е р. Даны векторы ( )2; 0; 5a = − r ; ( )3 ;4;1b = − r ; ( )0; 5; 1c = − r . Найти a b× rr , b a× r r , ( )a b c× × rr r . Решение: 1) 2 0 5 20 13 8 3 4 1 i j k i j k− = + + − r r r r r r , значит, a b× = rr ( )20, 13, 8= ; 2) ( )20, 13, 8b a a b× = − × = − − − r rr r ; 3) 20 13 8 53 20 100 0 5 1 i j k i j k= − + + − r r r r r r . ( ) ( )53,20,100a b c× × = − r r r . 3.7.10 . Геометрические приложения векторного произведения 1) Модуль векторного произведения двух векторов a r и b v ра- вен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах. 2) Если векторы a r и b v коллинеарны, то условие коллинеарно- сти в векторной форме имеет вид 0a b× = r rr .
- 131. 133 Пр и ме р. Даны координаты вершин треугольника ( )7,3,4A , ( )1,0,6B , ( )4,5, 2C − . Вычислить площадь треугольника ABC . Решение: Площадь треугольника равна половине площади соответствующего параллелограмма, значит, 1 2 ABCS AB AC= × uuur uuur . Найдем координаты векторов AB uuur и AC uuur : ( ) ( )1 7, 0 3, 6 4 6, 3, 2AB = − − − = − − uuur ; ( ) ( )4 7, 5 3, 2 4 3, 2, 6AC = − − − − = − − uuur ; Вычислим координаты векторного произведения AB AC× uuur uuur : 6 3 2 14 42 21 3 2 6 i j k i j k− − = − − − − vr r rr r . Найдем длину полученного вектора: ( ) ( )2 22 2 2 2 14 42 21 7 2 6 3 49AB AC× = + − + − = + + = uuur uuur . Следовательно, 1 49 24,5 2 2 ABCS AB AC= × = = uuur uuur кв. ед. 3.80 . Смешанное произведение векторов Определение: смешанным произведением векторов a r , b v , c r называется скаляр, равный скалярному произведению вектора a b× rr на вектор c r . Условные обозначения: ( )a b c× ⋅ rr r , ( ), ,a b c rr r , abc rr r . Основные свойства смешанного произведения 1. Смешанное произведение не изменится, если поменять ме- стами знаки скалярного и векторного умножений ( ) ( )a b c a b c× ⋅ = ⋅ × r rr r r r . 2. При перестановке любых двух векторов смешанное произ- ведение меняет свой знак
- 132. 134 ( ) ()a b c b a c× ⋅ = − × ⋅ r rr r rv . Если известны координаты векторов ( ), ,x y za a a a= r , ( ), ,x y zb b b b= r , ( ), ,x y zc c c c= r , то смешанное произведение векто- ров можно представить в виде x y z x y z x y z a a a abc b b b c c c = rr r . 3.8.10 . Геометрические приложения смешанного произведения 1. Модуль смешанного произведения abc rr r равен объему па- раллелепипеда, построенного на векторах , ,a b c rr r как на сторонах ï àðV abc= rr r . Объем тетраэдра (треугольной пирамиды) равен 1 6 òåòV abc= rr r . 2. Если векторы , ,a b c rr r компланарны, то их смешанное произ- ведение равно нулю. 3. Если смешанное произведение 0abc > rr r , то векторы , ,a b c rr r образуют правую тройку; если 0abc < rr r – левую тройку. 4. Четыре точки ( ), ,A A AA x y z , ( ), ,B B BB x y z , ( ), ,C C CC x y z и ( ), ,D D DD x y z лежат в одной плоскости тогда и только тогда, ко- гда ( ) 0AB AC AD× ⋅ = uuur uuur uuur . Пр и м е р 1. Даны векторы ( )3,4,0a = r , ( )0, 3,1b = − r , ( )0,2,5c = r . Найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах; определить ориентацию векторов , ,a b c rr r . Решение: 3 4 0 3 1 0 3 1 3 51 2 5 0 2 5 abc − = − = = − rr r .
- 133. 135 Объем параллелепипеда равен51 кв. ед. Ориентация векто- ров – левая, так как 0abc < rr r Пр и м е р 2. Проверить, образуют ли базу в пространстве векторы ( )1,2,3a = r , ( )4,5,6b = r , ( )7,8,9c = r . Решение: 1 2 3 1 0 0 3 6 4 5 6 4 3 6 0 6 12 7 8 9 7 6 12 abc − − = = − − = = − − − − rr r . Векторы компланарны, значит, базу не образуют. Задачи к разделам 3.60 –3.80 3.6.1. Длина вектора a r равна 4, длина вектора b r равна 5, угол между этими векторами равен 60°. а) Найти скалярные произведения:ab rr и ( ) ( )3 2 5a b a b+ ⋅ − rvr r ; б) Найти длину проекции вектора 3 4a b− rr на вектор b r ; в) Найти длину проекции вектора 3 4a b− rr на вектор 5a b+ rr . 3.6.2. На рис. 41 изображен квадрат ABCD со стороной 1. При этом BF = FC. Найти скалярные произведения AB BD⋅ uuur uuur , BD AF⋅ uuur uuur .
- 134. 136 3.6.3. Даны векторы( )1; 2; 3a = − r и ( )3; 1; 0b = − r . а) Найти ab rr и ( ) ( )3 2 5a b a b+ ⋅ − rvr r ; б) Найти длину проекции вектора 3 4a b− rr на вектор 5a b+ rr ; в) Найти косинус угла между этими векторами; 3.6.4. Найти работу силы в 60 Н по пе- ремещению тела на расстояние 10 м, если косинус угла между направлением силы и направлением перемещения равен 0,4. 3.6.5. Даны векторы a r и b r . Вектор c v является проекцией вектора a r на ось, определяемую вектором b r . Выразить вектор c v через векторы a r и b r . 3.6.6. Даны векторы a r и b r . Вектор c v является проекцией вектора a r на плоскость, перпендикулярную вектору b r . Выразить вектор c v через векторы a r и b r . 3.6.7. К вершине куба приложены три силы 1 2F H= r , 2 3F H= r и 3 4F H= r направленные по диагоналям граней куба, выходящим из этой вершины. Найти величину равнодействующей силы F r и углы, составляемые равнодействующей с составляющими силами. 3.6.8. На рис. 42 изображен квадрат ABCD со стороной 1. При этом BF = FC. Найти координаты векторных произведений AB BD× uuur uuur , BD AF× uuur uuur . 3.6.9. Дан куб 1 1 1 1ABCDA B C D .с длиной ребра равной 1. Чему равны векторные про- изведения AB AD× uuur uuur , AB BC× uuur uuur , AC DB× uuur uuur , AB AC× uuur uuur , 1AB DD× uuur uuuur , AB CD× uuur uuur ? 3.6.10. Длина вектора a r равна 4, длина вектора b r равна 5, угол между этими векторами равен 30°. а) Найти длины векторных произведений: a b× rr и ( )3a b+ × vr ( )2 5a b× − rr ; Рис. 41. Задача 3.6.2 Рис. 42. Задача 3.6.8
- 135. 137 б) Найти площадьтреугольника, построенного на векторах a r и b r как на сторонах. 3.6.11. В пространстве заданы четыре точки ( )2; 3; 5A − ; ( )3 ;4;1B − ; ( )0; 5; 1C − ; ( )3; 1; 2D − . а) Найти векторное произведение AB AC× uuur uuur ; б) Найти вектор единичной длины, перпендикулярный к век- торам AB uuur и AC uuur ; в) Найти векторные произведения ( )AB AC AD× × uuur uuur uuur и ( )AB AC AD× × uuur uuur uuur прямым вычислением; г) Найти векторные произведения ( )AB AC AD× × uuur uuur uuur и ( )AB AC AD× × uuur uuur uuur переходом к скалярному. 3.6.12. Даны три точки ( )2; 3A ; ( )3;4B − ; ( )0; 5C − на плос- кости. Найти AB AC× uuur uuur . 3.6.13. Пользуясь формулой, связывающей двойное вектор- ное произведение со скалярным произведением: ( )a b c× × = rr r ( ) ( )b a c c a b= ⋅ − ⋅ r rr r r r , вывести формулы для векторных произведе- ний: а) ( )a b c× × r rv ; б) ( )( )a b c d× × × r rrv ; в) ( ) ( )a b c d× × × r rrv ; 3.6.14. Длина вектора a r равна 4, длина вектора b r равна 5, угол между этими векторами равен 30°, вектор c v длины 3 перпендикулярен каждому из векторов a r и b r . Чему может быть равно смешанное произведение abc rr r ? 3.6.15. На рис. 43 изображен прямоугольный параллелепипед 1 1 1 1ABCDA B C D , в котором 11, 2, 3AD AA AB= = = . Найти смешан- ные произведения 1AB AD AD× ⋅ uuur uuuuruuuur , 1 1 1AB AA D B× ⋅ uuur uuur uuuur , 1 1AD D B AB× ⋅ uuuur uuuur uuur . 3.6.16. Найти объем пирамиды с вершинами ( )1; 1; 0A , ( )0; 1; 1B ; ( )1; 0; 1C ; ( )3; 4; 5D . Рис. 43. Задача 3.6.15
- 136. 138 3.6.17. При какомзначении параметра α векторы ( ); 2; 3a = α r , ( )4; 5; 6b = r , ( )7; 8; 9c = r будут компланарны? 3.90 . Прикладные задачи по теме «Векторная алгебра» 3.9.10 . Применение векторных диаграмм в технических расчетах В инженерных расчетах и интерпретациях синусоидальных величин в технических системах, рассматриваемых в линейном приближении, широко используют векторные диаграммы. Векторной диаграммой синусоидальной физической величи- ны называется графическое представление указанной величины с помощью вращающегося вектора. Тогда синусоидальные вели- чины представляются в виде проекций вращающихся векторов на оси прямоугольной системы координат. Рис. 44. Представление синусоидального тока в виде вращающего вектора Например, при построении векторной диаграммы тока ( )0sinmi I t= ω + ϕ амплитудное значение тока mI приравнивают модулю вектора. Частоту ω считают угловой скоростью вращения вектора. Отсчет угла поворота производят от горизонтаного поло- жения радиус-вектора в положительном направлении против ча- совой стрелки, в отрицательном – по часовой стрелке. При этом сначала отсчитывают начальную фазу ( 0ϕ при 0t = ) (рис. 44). Если векторная диаграмма строится на действительной плос- кости, то проекция вектора mI uur на вертикальную ось равна ( )sinmi I t= ω + ψ , на горизонтальную ось ( )cosmi I t= ω + ψ .
- 137. 139 Если для построениявекторной диа- граммы применяют комплексную плос- кость, то используют представление тока (или другой физической величины) в виде ( ) ( )( )cos sin j t mi I t j t I e • • ω = ω + ψ + ω + ψ = . При этом модуль вращающегося ра- диус-вектора равен mI . Если техническая система является линейной и все синусоидальные величи- ны имеют одну и ту же частоту, то фазо- вые соотношения между различными синусоидальными величинами сохраня- ются для любого момента времени. Тогда векторную диаграмму из амплитуд (комплексных амплитуд) нескольких физических ве- личин достаточно построить для любого, обычно, начального момента времени. С течением такая диаграмма в целом будет вращаться с постоянной угловой скоростью без изменения ам- плитудных и фазовых соотношений. Это позволяет в расчетах не учитывать изменение величин во времени использовать только амплитудные и фазовые отношения. При построении векторных диаграмм на комплексной плоскости используют метод ком- плексных амплитуд (см. тема 1, прикладные задачи). Если необходимо сложить две синусоидальные величины од- ной и той же частоты ( )1sinma A t= ω + ψ и ( )2sinmb B t= ω + ψ , то строим векторную диаграмму и суммируем амплитудные зна- чения mA и mB как векторы геометрически m m mC A B= + r r r . Модуль вектора mC r определяем из треугольника OCD(рис. 45): ( )2 2 2 12 cosm m m m m mC C A B A B= = + + ψ − ψ r . Начальную фазу ψ для вектора mC r находим так: 1 2 1 2 sin sin tg cos cos m m m m A BCD OD A B ψ + ψ ψ = = ψ + ψ . Рис. 45. Сложение двух синусоидальных величин
- 138. 140 Если необходимо найтиразность двух векторных величин m m mE A B= − rr r , то геометрически суммируют вектор mA r и противоположный вектор ( )mB− r , при этом в расчетных формулах угол 2ψ заменяют на угол 2π + ψ (рис. 46). Пр и м е р 1. Построить векторную диа- грамму для электрической цепи (рис. 47, а) и найти общий ток в цепи. Решение: принимаем, что по цепи проходит ток ( )sinmi I t= ω + ψ с нулевой начальной фазой. Отложим вектор тока mI по горизонтали. Электрическое напряжение на активном сопротивлении 1r по закону Ома будет равно 1 1ma mU I r= . Сдвиг фазы между 1a mU и mI равен нулю. Напряжение на индуктивности 1L′ 1 1L mU I L= ω . Это напряжение опережает ток на 2 π (это физическое свойство любого индуктив- ного элемента в цепи переменного тока). Продолжая аналогич- ные рассуждения для элементов цепи 2r и 2L строим векторную диаграмму для всей электрической цепи (рис. 47, б). Рис. 47. Пример 1 с решением Используя формулы элементарной геометрии и тригономет- рии из векторной диаграммы находим ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2a a L LU U U U U= + + + . Рис. 46. Разность двух векторных величин
- 139. 141 Во всех элементахэлектрической цепи проходит один и тот же ток. Тогда, используя закон Ома, получим полное сопротивление цепи ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 21 2 1 2 2 1 2 1 2 Ir Ir I L I LU Z r r L L I I + + ω + ω = = = + + ω + . Сдвиг фаз ϕ между током и напряжением определяем по формуле 1 2 1 2 1 2 1 2 arctg arctgL L a a U U L L U U r r + ω + ω ϕ = = + + . 3.9.20 . Прикладные задачи с векторными физическими величинами В предыдущем разделе скалярные синусоидальные физиче- ские величины представлялись в виде вращающихся радиус- векторов. В технических расчетах широко используют векторные фи- зические величины (силы, скорости, ускорения точек и т.п.). В большинстве случаев в приложениях используют векторы с фиксированными точками приложения и скользящие векторы, которые можно перемещать вдоль линии действия, не выходя за границы исследуемого объекта как абсолютно твердого тела. Па- раллельный перенос скользящих векторов выполняется по осо- бым правилам, которые изучаются в технических науках, в част- ности, в теоретической механике. В инженерных силовых расчетах широко используют урав- нения статического и динимического равновесия в векторной форме, которые затем проектируют на оси координат. В резуль- тате для случая статических расчетов получают системы алгебра- ических уравнений, которые решают методами линейной алгебры (см. тема 2, прикладные задачи). В случае динамических расчетов получают системы дифференциальных уравнений. Пр и м е р. Вертикальный столб удерживается в вертикаль- ном положении наклонными растяжками (рис. 48). Углы наклона растяжек относительно продольной оси стол- ба одинаковы и равны α = 30°. На столб действуют силы со сто-
- 140. 142 роны натянутых проводов1 2 1000 HP P P= = = . Найти силу вер- тикального давления на столб и усилия в растяжках, если угол между вертикальными плоскостями, в которых лежат растяжки, ϕ = 60°. Рис. 48. Пример Решение: составляем условие равновесия в векторной форме системы сходящихся сил 1 2 1 2 0R P P T T+ + + + = rr r r r v , где R r – сила реакции со стороны столба; 1 2,T T r v – силы реакции растяжек на столб. Проектируем векторное равенство на оси координат. При проектировании силы 1T r на оси Ox и Oy используем правило двойного проектирования 2 π ψ = −ϕ ; 1 1 1 1 1sin cos sin sin , sin cosx yT T T T T= α ψ = α ϕ = α ϕ. Уравнения равновесия в проекциях на координатные оси бу- дут иметь вид: 1 1 1 1 sin sin 0xP T P T− + = − + α ϕ = ; 2 1 2 2 1 2sin sin cos sin 0yP T T P T T− + + α = − + α ϕ+ α = ; 1 2cos cos 0R T T− α − α = .
- 141. 143 Подставляя известные числовыезначения сил и углов, после преобразований получаем систему линейных алгебраических уравнений 1 2 1 2 1 3 3 2 0 2 4000 3 4000 T T R T T T + − = + = = . Решая СЛАУ, находим неизвестные силы 1 2, ,R T T . Задачи к разделу 3.90 3.9.1. Построить векторную диаграмму в масштабе для цепи (рис. 47), если 1 4 Î ìr = , 2 6 Î ìr = , 1 2 Î ìLω = , 2 6 Î ìLω = . Определить полное сопротивление цепи, величину тока и сдвиг фаз между током и напряжением, равным 220 вольт. 3.9.2. Построить векторную диа- грамму в масштабе для цепи, показан- ной на рис. 49 при 1 35 Î ìr = , 2 25 Î ìr = , 1 75 Î ì=X , 2 45 Î ìX = . Определить полное сопротивление це- пи, величину тока и сдвиг фаз между током и напряжением 220 вольт. Пояснение. Реактивное сопротивление емкостного элемента 1 CX C = ω . Электрическое напряжение на емкостном элементе 1 Cm mU I C = ω отстает по фазе на 2 π − , поэтому такие напряжения на векторной диаграмме поворачивают на угол 2 π по часовой стрелке. 3.9.3. Найти величину тока I и фазовый сдвиг относительно пере- менного напряжения источника 240BU = , если 1 4Î ìr = , 2 10 Î ìr = , 3 12 Î ìr = , 3 Î ìLX = , 5 Î ìÑX = (рис. 50). Рис. 49. Задача 3.9.2 Рис. 50. Задача 3.9.3
- 142. 144 3.9.4. Найти силуверти- кального давления на столб и усилия в растяжках (в примере из 3.9.20 ) при 4 π ϕ = и 2 π ϕ = . 3.9.5. Найти усилия в стержнях , ,OB OC OA от дей- ствия груза весом Q (рис. 51) 3.9.6. На точку действуют ускорения ( )1 1, 2, 0a = r и ( )2 4, 3, 0a = r . Найти модуль и направление результирующего ускорения, действующего на точку. Задачу решать двумя спосо- бами: а) используя правило геометрического сложения векторов; б) применяя операции с проекциями вектора. 3.9.7. Вычислить работу силы ( )3, 5, 2F = − r при перемеще- нии точки приложения силы из начала координат в точку с коор- динатами ( )2, 5, 7− − . Пояснение: работа силы F r при перемещении точки ее при- ложения из B в C определяется по формуле ( )A F F BC= ⋅ uuurr r . 3.9.8. Даны три силы ( )1 3,4, 2F = r , ( )2 2, 3, 5F = − r , ( )3 3, 2, 4F = − − r , прило- женные в одной точке. Вычислить ра- боту равнодействующей этих сил при прямолинейном перемещении точки приложения равнодействующей из точ- ки ( )1 5, 3, 7M − в точку ( )2 4, 1, 4M − − . 3.9.9. Найти величину и направле- ние равнодействующей трех сил (рис. 52). 3.9.10. Найти величину и направление момента силы 2 3F i j k= + − rr r r относительно точки ( )0,1,1O , если сила действует Рис. 51. Задача 3.9.5 Q, кН 100 75 50 α 30 45 60 β 60 45 30 Рис. 52. Задача 3.9.9
- 143. 145 вдоль прямой, проходящейчерез точку ( )1,3,4A , в которой при- ложена сила. Пояснение: векторный момент силы F r относительно точки О определяют по формуле ( )0m F r F= × urrr r , где r r – вектор, соединя- ющий точку О с точкой приложения силы F r , которая является скользящим вектором. Ответы к задачам темы «Векторная алгебра» 3.1.1. 5 7 12 12 AM AB AC= + uuuur uuur uuur . 3.1.2 1 1 3 3 AM AB AC= + uuuur uuur uuur . 3.1.3. 3 9 10 14 MN AB AD= + uuuur uuur uuur . 3.1.4. 1 1 2 2 AB AC BD= − uuur uuur uuur , 1 1 2 2 BC AC BD= + uuur uuur uuur , 1 1 2 2 CD AC BD= − + uuur uuur uuur 1 1 2 2 DA AC BD= − − uuur uuur uuur . 3.1.5. 1 2 OH AB= − uuur uuur , 1 1 4 4 GO AB AD= + uuur uuur uuur , 1 1 4 4 GH AB AD= − + uuur uuur uuur . 3.1.6. 5 1 6 6 AB AC BD= − uuur uuur uuur , 1 1 6 6 BC AC BD= + uuur uuur uuur , 1 7 6 6 CD AC BD= + uuur uuur uuur , 5 5 6 6 DA AC BD= − − uuur uuur uuur . 3.1.7. 1 1 3 3 BC AC BD= + uuur uuur uuur , 1 1 2 2 BF AC BD= − + uuur uuur uuur , 1 1 6 6 OH AC BD= + uuur uuur uuur 3.1.8. а) OA OB OC OD OE OF+ + + + + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0OA OD OB OE OC OF= + + + + + = + + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r r ; б) Проведем прямую OA. Диаго- наль параллелограмма, построенного на векторах OB uuur и OE uuur , лежит на этой прямой, значит, эта прямая является линией действия вектора a OB OE= + uuur uuurr . Аналогично, эта же прямая является линией действия вектора b OC OD= + uuur uuurr , а значит, и линией действия вектора OA OB OC OD OE OA a b+ + + + = + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur rr . Проведем теперь прямую OB . Аналогично доказывается, что эта прямая является линией действия того Рис. 53. Решение задачи 3.1.7
- 144. 146 же вектора OAOB OC OD OE+ + + + uuur uuur uuur uuur uuur . Но эти прямые не параллельны, значит данный вектор может быть только нулевым. в) Физическая интерпретация: равнодействующая одинаковых по мо- дулю сил с одинаковыми углами между их линиями действия равна нулю. 3.1.9. 1 1 2 OM AA= − uuuur ; 1 1 1 2 2 OM AC AC= − + uuuur uuur uuuur . 3.1.10. 1 1 1 2 2 2 MN AB AC AD= − + + uuuur uuur uuur uuur ; 3.5.1. а) ( )2 5 5; 43AB BC+ = − uuur uuur ; б) 3 4 5; cos , cos 5 5 OB = α = − β = uuur ; в) 1 1 3 3 AD AB AC= − + uuur uuur uuur . 3.5.2. ( )17; 19; 21a = − − − r , ( )7; 8; 9b = r . 3.5.3. 60° или 120°. 3.5.4. ( )3; 3; 3a = r или ( )3; 3; 3a = − − − r . 3.5.5. а) ( )46;14;60a = − r ; б) 23 2 1478; cos ,cos 1478 a = α = − β = r 7 , 1478 = 30 cos 1478 γ = ; в) да, так как ||AB CD uuur uuur ; г) да, так как AB CD= uuur uuur ; д) AD AB AC= + uuur uuur uuur . 3.5.6. Координаты центра окружности – 9 3 ; 7 7 O , ра- диус 29 7 R = . 3.5.7. Координаты центра сферы – 51 69 111 ; ; 16 16 16 O , радиус 18851 16 R = . 3.5.8. а) 13 20 27 ; ; 7 7 7 M ; б) 22 29 36 ; ; 7 7 7 M ; в) 5 7 9 ; ; 2 2 2 M ; г) 3 5 7 ; ; 2 2 2 M . 3.5.9. ( )1; 12M − ; ( )5; 4N − − ; ( )5; 6L − . 3.5.10. ( )2; 13− − и ( )3; 14− . 3.6.1. а) 10ab = rr ; ( ) ( )3 2 5 333a b a b+ ⋅ − = − rvr r ; б) ( )3 4 14b p a bΠ − = −v rv ; в) ( )5 342 3 4 741 a b p a b+ Π − = −vr rv . 3.6.2. 1AB BD⋅ = − uuur uuur , 1 2 BD AF⋅ = − uuur uuur . 3.6.3. а) 5ab = rr , ( ) ( )3 2 5 117a b a b+ ⋅ − = − rvr r ; б) ( )5 113 3 4 314 a b p a b+ Π − = −vr rv ; в) ( ) 35 cos , 14 a b = rr .
- 145. 147 3.6.4. 1 60 10 300 2 AF S= ⋅ = ⋅ ⋅ = rr (Дж). 3.6.5. 2 ab c b b = ⋅ rrrv r . 3.6.6. 2 ab c a b b = − ⋅ rrrrv r . 3.6.7. Поместим куб в прямоугольную систему координат так, чтобы указанная его вершина совпала с началом координат. Считаем, что 1 2F = r , 2 3F = r , 3 4F = r . Тогда ( )1 0; 2; 2F = r , 2 3 3 2;0; 2 2 2 F = r , ( )3 2 2;2 2;0F = r ; 1 2 3 7 5 2;3 2; 2 2 2 F F F F = + + = r r r r , 55F = r ; ( )1 11 cos , 2 55 F F = r r , ( )2 18 cos , 3 55 F F = r r , ( )3 13 cos , 2 55 F F = r r . 3.6.8. Найдем сначала координаты перемножаемых векторов: ( )0; 1; 0AB = uuur , ( )1; 1;0BD = − uuur , 1 ; 1; 0 2 AF = uuur . Тогда ( )0;0; 1AB BD× = − uuur uuur , 3 0; 0; 2 BD AF × = uuur uuur . 3.6.9. 1AB AD AA× = uuur uuur uuur , 1AB BC AA× = uuur uuur uuur , 12AC DB AA× = − uuur uuur uuur , 1AB AC AA× = uuur uuur uuur , 1AB DD AD× = − uuur uuuur uuur , 0AB CD× = uuur uuur r ; 3.6.10. а) 10a b× = rr , ( ) ( )3 2 5 110a b a b+ ⋅ − = rvr r ; б) 5; 3.6.11. а) ( )8;8; 8AB AC× = − − uuur uuur ; б) 1 1 1 ; ; 3 3 3 − − или 1 1 1 ; ; 3 3 3 − ; в), г) ( ) ( )40;96;56AB AC AD× × = uuur uuur uuur , ( )AB AC AD× × = uuur uuur uuur ( )50;202;8= . 3.6.12. ( )0;0;42AB AC× = uuur uuur . 3.6.13. а) ( ) ( )a b c b a c× × = ⋅ − r rr r rv ( )a b c− ⋅ rr r ; б) ( )( ) ( )( ) ( )( )a b c d a c b d b c a d× × × = ⋅ × − ⋅ × r r r r r rr r r r rv ; в) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )a b c d b c d a a c d b× × × = × ⋅ − × ⋅ r r r r r rr r r r rv . 3.6.14. 30abc = ± rr r . 3.6.15. 1 3AB AD AD× ⋅ = uuur uuuuruuuur , 1 1 1 3AB AA D B× ⋅ = uuur uuur uuuur , 1 1 3AD D B AB× ⋅ = − uuuur uuuur uuur . 3.6.16. 5 3 . 3.6.17. 1α = .
- 146. 148 Требования к практическомуусвоению темы «Векторная алгебра» Студент должен знать: 1. Определение геометрического вектора, виды векторов; ра- венство, коллинеарность и компланарность векторов; алгебраи- ческий и геометрический подходы к математическому описанию геометрических векторов. 2. Линейные операции над геометрическими векторами и их свойства. 3. Линейная зависимость и независимость геометрических векторов; геометрический смысл указанных терминов. 4. Декартовы системы координат; определение репера: об- щий случай, ортонормированные реперы; левосторонние и пра- восторонние реперы; прямоугольная система координат. 5. Проекции геометрического вектора в прямоугольной си- стеме координат (векторные и числовые проекции вектора на ось, плоскость и другой вектор); основные свойства векторных про- екций вектора. 6. Определение вектора через его проекции в прямоугольной системе координат. Модуль вектора, направляющие косинусы. 7. Основные свойства числовых проекций вектора. Условия коллинеарности векторов в векторной и алгебраической формах. 8. Скалярное произведение векторов (определение, основные свойства, выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов). 9. Геометрические приложения скалярного произведения векторов (определение ортогональности векторов, угла между векторами, числовой проекции одного вектора на другой вектор или на ось). 10. Векторное произведение векторов (определение модуля и направления вектора, основные свойства, выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов). 11. Геометрические приложения векторного произведения (применение для вычисления площади параллелограмма, условие коллинеарности). 12. Смешанное произведение векторов (определение, основ- ные свойства, выражение через координаты). 13. Геометрические приложения смешанного произведения (определение объема параллелепипеда или треугольной пирами-
- 147. 149 ды, условие компланарности,определение левосторонности или правосторонности репера). 14. Способ определения координат (проекций) вектора при изменении системы координат. Студент должен уметь: 1. Выполнять линейные операции с геометрическими векто- рами в графической форме. 2. Находить векторные и числовые проекции вектора на ось, плоскость и другой вектор. 3. Выражать вектор через его проекции в прямоугольной си- стеме координат. Находить модуль вектора и направляющие ко- синусы. 4. Вычислять скалярное произведение векторов и использо- вать его для определения ортогональности векторов, угла между векторами, проекции одного вектора на другой и на ось. 5. Вычислять векторное произведение векторов; определять направление вектора, соответствующего векторному произведе- нию, использовать векторное произведение для определения кол- линеарности векторов и площади параллелограмма (треугольни- ка), построенного на перемножаемых векторах. 6. Вычислять смешанное произведение векторов, использо- вать его для определения компланарности векторов, левосторон- ности-правосторонности репера, определять объем параллелепи- педа (пирамиды), построенного на векторах. 7. Использовать векторную алгебру для решения геометриче- ских задач (определения расстояния между точками, деление от- резка в заданном отношении, определение расположения четырех точек в одной плоскости). 8. Вычислять координаты вектора при изменении системы координат. Тема 4: АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В аналитической геометрии свойства геометрических объек- тов описываются и изучаются алгебраическими методами с ис- пользованием основных результатов линейной и векторной ал- гебры, а также элементарной геометрии. К геометрическим объектам относятся точки, прямые и кри- вые линии, плоскости и кривые поверхности.
- 148. 150 Исходным геометрическим объектомпринимается точка. Другие геометрические объекты рассматриваются как множества точек, удовлетворяющих определенным условиям в двумерном или трехмерном координатном пространстве. Изучение начинают с прямых линий и плоскостей, которые относятся к линейным геометрическим объектам, так как описы- ваются алгебраическими уравнениями первого порядка в прямо- угольных системах координат. 4.10 . Прямые линии на плоскости Теорема (об общем уравнении прямой на плоскости) 1) В прямоугольной системе координат любая прямая может быть задана уравнением Ax + By + C = 0, где A, B, С – некоторые действительные числа 2) Любое уравнение вида Ax + By + C = 0, где A, B, С – дей- ствительные числа, удовлетворяющие условию А2 + B2 ≠ 0, задает на плоскости некоторую прямую. О п р е д е л е н и е: Вектор ( , )n A B= r называется нормальным вектором прямой Ax + By + C = 0. Теорема (о совпадении прямых) 1) Разные прямые на плоскости задаются разными уравнени- ями 2) Два уравнения A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0 за- дают на плоскости одну и ту же прямую тогда и только тогда, ко- гда 1 1 1 2 2 2 A B C A B C = = . Следствие: Два уравнения A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + + C2 = 0 задают на плоскости параллельные прямые тогда и толь- ко тогда, когда 1 1 1 2 2 2 A B C A B C = ≠ . Теорема (частные случаи общего уравнения) Пусть прямая задана уравнением Ax + By + C = 0, тогда: 1) если A = 0, то прямая параллельна оси ОХ; 2) если В = 0, то прямая параллельна оси ОУ; 3) если С = 0, то прямая проходит через начало координат.
- 149. 151 Уравнение прямой, проходящейчерез две данные точки Даны точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), требуется составить урав- нение прямой, проходящей через эти точки. 1 1 2 1 2 1 x x y y x x y y − − = − − является уравнением прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой «в отрезках» Рассмотрим общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0 при условиях A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0 и преобразуем его: 1 0 A B x y C C − − − = , 1 x y C C A B + = − − . Обозначив , C C a b A B − = − = , получим уравнение прямой «в отрезках»: 1 x y a b + = . Поскольку при x = 0 из урав- нения получаем y = b, а при y = 0 получим x = a, то числа a, b явля- ются длинами отрезков, отсекае- мыми прямой на осях координат, взятыми с соответствующим знаком (рис. 54). Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть прямая задана уравнени- ем Ax + By + C = 0 и B ≠ 0, тогда A C y x B B = − − . Обозначим A k B − = , C b B − = : y = kx + b. Число k называется угловым коэффициентом прямой, оно равно тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси ОХ (рис. 55). Угол отсчитывается против часовой стрелки. Рис. 54. Уравнение прямой «в отрезках» Рис. 55. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- 150. 152 Пусть tgk =α, тогда: – если 0 2 π < α < , то 0k > ; – если 2 π < α < π, то 0k < ; – если 2 π α = , то k = ±∞ и уравнение с угловым коэффициен- том использовать нельзя. Модуль параметра b прямой равен длине отрезка, отсекаемо- го прямой на оси Oy. При k = 0 получим y b= – уравнение пря- мой, параллельной оси Ox. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, ( )0 0y y k x x− = − , где ( )0 0,x y – данная точка; k – произвольный параметр. Каноническое уравнение прямой 1 1x x y y m p − − = , где ( )1 1,x y – координаты некоторой точки, лежащей на прямой; ( ),s m p= r – направляющий вектор прямой, т.е. любой вектор, линия действия которого параллельна прямой. Параметрические уравнения прямой 1 1 x x mt y y pt = + = + , где ( )1 1,x y – координаты некоторой точки, лежащей на прямой; ( ),s m p= r – направляющий вектор прямой; t – переменный пара- метр ( )0 t≤ ≤ ∞ . 4.1.10 . Основные задачи для прямых на плоскости 1. Угол между прямыми Угол ϕ между прямыми A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = = 0 равен углу между их нормальными векторами, поэтому
- 151. 153 1 2 12 2 2 2 2 1 1 2 2 cos A A B B A B A B + ϕ = + + . 1 2 1 2 tg 1 k k k k − ϕ = ± + , где k1, k2 – угловые коэффициенты рассматрива- емых прямых. Следствие: 1) прямые y = k1x + b1 и y = k2x + b2 перпендику- лярны тогда и только тогда, когда k1k2 = –1. 2) прямые y = k1x + b1 и y = k2x + b2 параллельны тогда и только тогда, когда k1 = k2. 2. Определение расстояния от фиксированной точки до прямой Пусть дана прямая Ax + By + C = 0 и точка M0(x0, y0), тогда искомое расстояние можно вычислить по формуле 0 0 2 2 Ax By C d A B + + = + . 3. Пересечение двух прямых Линейное уравнение с двумя неизвестными можно рассмат- ривать как уравнение прямой на плоскости, значит, решение си- стемы 11 12 1 21 22 2 a x a y b a x a y b + = + = можно трактовать как нахождение коор- динат точек, принадлежащих одновременно двум данным пря- мым. Поэтому, в случае ∆ ≠ 0, прямые, задаваемые уравнениями системы, пересекаются; в случае ∆ = ∆x = ∆y = 0 – совпадают; и в случае ∆ = 0, но ∆x ≠ 0 или ∆y ≠ 0 – параллельны. Пр и м е р. Построить прямые по известным уравнениям а) 3 6 0x y− + = ; б) 5 7 0x y+ = ; в) 5 4 0y + = . Решение: а) перейдем к уравнению пря- мой «в отрезках»; для этого перенесем сво- бодный член уравнения в его правую часть и поделим уравнение на (–6): 3 6x y− = − , 1 2 6 x y + = − (рис. 56); б) в уравнении нет сво- бодного члена, поэтому нельзя воспользо- ваться уравнением «в отрезках». Восполь- Рис. 56. Пример а)
- 152. 154 зуемся уравнением сугловым коэффициентом: 5 7 y x= − . Оче- видно, прямая проходит через начало координат. Рис. 57. Пример б), в) в) Снова воспользуемся уравнением с угловым коэффициен- том: 4 0,8 5 y = − = − . Прямая параллельна оси Ox. Пр и м е р: определить параметры ,k b прямых а) 2 5 10 0x y− − = ; б) 2 5 0x y+ = ; в) 7y = ; г) 1 5 10 x y + = . Решение: для нахождения параметров ,k b достаточно выра- зить в уравнении переменную y : а) 5 2 10y x= − ; 2 2 5 y x= − ; значит, 2 , 2 5 k b= = − ; б) 2 5 y x= − ; значит, 2 , 0 5 k b= − = ; в) 0, 7k b= = ; г) 1 10 5 y x = − ; 2 10y x= − + ; значит, 2, 10k b= − = ; Пр и м е р. Даны вершины треугольника ( )0,1A , ( )6,5B , ( )12, 1C − . Составить уравнение высоты треугольника, проведен- ной из вершины С. Решение: прямая, отрезок которой является высотой CD тре- угольника ABC , перпендикулярна прямой AB . Составим уравнение прямой AB как уравнение прямой, про- ходящей через две заданные точки: 1 1 2 1 2 1 x x y y x x y y − − = − −
- 153. 155 0 1 6 05 1 x y− − = − − ; 1 6 4 x y − = ; ( )4 6 1x y= − ; 6 4 6y x= + ; 2 1 3 y x= + . Угловой коэффициент высоты определим из условия 1 2 1k k = − : 2 2 1 3 k = − ; 2 3 2 k = − . Уравнение искомой высоты можно записать в виде 3 2 y x b= − + , где коэффициент b пока не определен. Значение этого коэффициента определим из того, что прямая CD проходит через данную точку ( )12, 1C − : 3 1 12 2 b− = − ⋅ + ; 17b = . Уравнение высоты – 3 17 2 y x= − + . Пр и м е р. Определить, какие из данных прямых параллель- ны и какие перпендикулярны: 1) 3 2 17 0x y− + = ; 2) 6 4 9 0x y− − = ; 3) 6 4 5 0x y+ − = ; 4) 2 3 16 0x y+ − = . Решение: Прямая 1) параллельна прямой 2), так как 3 2 6 4 − = − ; прямая 1) не параллельна прямой 3), так как 3 2 6 4 − ≠ , по той же причине прямая 1) не параллельна прямой 4). Прямые 3) и 4) па- раллельны. Прямая 1) не перпендикулярна прямой 3), так как 3 6⋅ + ( )2 4 0+ − ⋅ ≠ . Прямая 1) перпендикулярна прямой 4), так как 3 2⋅ + ( )2 3 0+ − ⋅ = . Прямая 2) перпендикулярна прямой 4), прямые 3) и 4) не перпендикулярны. Пр и м е р. На плоскости дана точка ( )1; 2A . а) составить уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору ( )4; 5n = r ; б) составить уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно вектору ( )3; 4l = r ; в) составить уравнение прямой, проходящей через точки ( )1; 2A и ( )2; 3B − ;
- 154. 156 г) составить уравнениепрямой, проходящей через данную точку под углом 45° к положительному направлению оси OX ; д) составить уравнение прямой, проходящей через данную точку и отсекающей на осях координат треугольник площади 10; Решение: а) Пусть точка M(x, y) лежит на прямой, тогда век- торы ( )1; 2AM x y= − − uuuur и ( )4, 5n = r взаимно перпендикулярны и, следовательно, их скалярное произведение равно нулю: ( ) ( )4 1 5 2 0x y− + − = . Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим общее уравнение прямой: 4 5 14 0x y+ − = . б) Сведем задачу к предыдущей: для этого надо найти какой- либо вектор, перпендикулярный данной прямой. Но если вектор перпендикулярен искомой прямой, то он будет перпендикулярен и вектору ( )3; 4l = r . Вектор ( )4; 3n = − r перпендикулярен вектору l r , так как их скалярное произведение равно нулю. Значит, ( ) ( )4 1 3 2 0x y− − + − = . Общее уравнение прямой: 4 3 2 0x y− + − = . в) По приведенной выше формуле получим: 1 2 2 1 3 2 x y− − = − − − . Раскрыв это равенство как пропорцию и приведя подобные сла- гаемые, получим общее уравнение прямой: 3 7 0x y+ − = . г) Если речь идет о каких-либо углах, лучше воспользоваться уравнением прямой с угловым коэффициентом y kx b= + . Поскольку tg 45 1k = =o , то y x b= + . Подставим в последнее уравнение координаты точки ( )1; 2A : 2 1 b= + . Значит, 1b = и уравнение прямой: 1y x= + . д) Если речь идет об отрезках, отсекаемых прямой на осях координат, удобно бывает воспользоваться уравнением прямой «в отрезках» 1 x y a b + = . По условию 1 2 1 a b + = и 1 10 2 ab = . Решим систему 1 2 1 20 a b ab + = = : 2 1 20 b a ab ab + = = ; 2 1 20 20 b a ab + = = ;
- 155. 157 2 20 20 b a ab += = ; ( ) 2 20 20 2 20 b a a a + = − = ; ( ) 2 20 10 10 b a a a + = − = ; 2 2 20 10 10 0 b a a a + = − + = ; 20 2 10 60 2 b a a = − ± = ; 10 2 15 5 15 b a = = ± m . Задача имеет два решения: 1 5 15 10 2 15 x y + = + − и 5 15 x + − 1 10 2 15 y + = + . Задачи к разделу 4.10 4.1.1. Дано общее уравнение прямой: 5 6 30 0x y− + = . а) составить уравнение этой прямой с угловым коэффициен- том; б) составить уравнение этой прямой «в отрезках»; в) составить параметрические уравнения этой прямой; г) построить эту прямую в системе координат. 4.1.2. Даны параметрические уравнения прямой: 2 3x t= + , 4 5y t= − ; а) составить общее уравнение этой прямой; б) составить уравнение этой прямой «в отрезках»; в) составить уравнение этой прямой с угловым коэффициен- том; г) построить эту прямую в систе- ме координат. 4.1.3. а) Составить уравнения изображенных на рис. 58 прямых 1L и 2L . б) Найти площади треугольников OAB и OAC. 4.1.4. Дано уравнение прямой L на плоскости: 5 6 30 0x y− + = и точка ( )1; 2A : а) составить уравнение прямой, параллельной L и проходя- щей через данную точку; Рис. 58. Задача 4.1.3
- 156. 158 б) составить уравнениепрямой, перпендикулярной L и про- ходящей через данную точку; в) составить уравнение прямой, проходящей через данную точку под углом 45° к прямой L. 4.1.5. На плоскости задан треугольник с вершинами в точках ( )2; 3A ; ( )3;4B − ; ( )0; 5C − ; а) составить уравнение его медианы AM ; б) составить урав- нение его высоты AH . 4.1.6. Даны три вершины параллелограмма ( )2; 3A ; ( )3;4B − ; ( )0; 5C − ; а) какие координаты могут быть у его четвертой вершины? б) какие координаты могут быть у центра параллелограмма? в) доказать, что площадь параллелограмма не зависит от ко- ординат его четвертой вершины. 4.1.7. Определить взаимное положение пар прямых на плос- кости: а) 6 2 10 0y x− − = и 3 9 15 0x y− + = ; б) 5 6 30 0x y− + = и 6 3x t= − + , 5 2y t= − ; в) 6 3x t= − + , 5 2y t= − и 6 3x t= − , 5 2y t= − + . 4.1.8. Составить уравнения прямых, от которых равноудале- ны три данные точки ( )2; 3A ; ( )3;4B − ; ( )0; 5C − . 4.1.9. Найти взаимное расположение трех прямых: а) log 3xy = , 2 3 6 0x y+ + = и 2 6 3 0x y− − = ; б) log 3xy = , 6 11 0x y+ − = и 1 0x y+ − = ; в) 6 2 10 0y x− − = , log 3xy = и 3 9 15 0x y− + = . 4.1.10. Составить уравнения прямых, параллельных прямой 1 0x y+ − = и отстоящих от нее на расстояние 2. 4.20 . Плоскость в пространстве Теорема (об общем уравнение плоскости) 1) Любая плоскость в прямоугольной системе координат мо- жет быть задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, В, С, D – некоторые действительные числа. 2) Любое уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 при условии A2 + B2 + С2 ≠ 0 задает в пространстве некоторую плоскость.
- 157. 159 О п ре д е л е н и е: вектор ( , , )n A B C r называется нормальным вектором плоскости Ax + By + Cz + D = 0. В качестве нормального вектора можно использовать любой вектор, перпендикулярный плоскости. Теорема (о совпадении плоскостей) Уравнения A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0 задают одну и ту же плоскость тогда и только то- гда, когда 2 2 2 2 1 1 1 1 A B C D A B C D = = = . Следствие: Плоскости A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + + C2z + D2 = 0 параллельны тогда и только тогда, когда 2 2 2 2 1 1 1 1 A B C D A B C D = = ≠ . Очевидно, что если D = 0, то плоскость Ax + By + Cz + D = 0 проходит через начало координат. Пусть A = 0, тогда нормальный вектор плоскости Ax + By + + Cz + D = 0 лежит в координатной плоскости YOZ и, следователь- но, перпендикулярен оси ОХ. Значит, плоскость Ax + By + Cz + D = = 0 параллельна оси ОХ. Аналогично показывается, что если B = 0, то плоскость па- раллельна оси OY, а если C = 0, то плоскость параллельна оси OZ. Из вышесказанного следует: – если A = 0 и B = 0, то плоскость Ax + By + Cz + D = 0 парал- лельна координатной плоскости XOY; – если A = 0 и С = 0, то плоскость Ax + By + Cz + D = 0 парал- лельна координатной плоскости XOZ; – если B = 0 и С = 0, то плоскость Ax + By + Cz + D = 0 парал- лельна координатной плоскости YOZ; – если A = 0 и D = 0, то плоскость Ax + By + Cz + D = 0 про- ходит через координатную ось OX; – если B = 0 и D = 0, то плоскость Ax + By + Cz + D = 0 про- ходит через координатную ось OY; – если С = 0 и D = 0, то плоскость Ax + By + Cz + D = 0 про- ходит через координатную ось OZ. Рис. 59. Нормальный вектор плоскости
- 158. 160 Пусть A ≠0, B ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ 0. Преобразуем уравнение Ax + By + Cz = –D: 1 x y z D D D A B C + + = − − − . Переобозначив по- стоянные, получим уравнение плоскости «в отрезках» 1 x y z a b c + + = . При x = 0, y = 0 из последнего уравнения следует, что z = c, при x = 0, z = 0 следует, что y = b и при z = 0, y = 0 сле- дует: x = a. Значит, a, b, c – взятые с соответствующим знаком длины отрезков, отсекаемых плоскостью 1 x y z a b c + + = от осей ко- ординат, поэтому уравнение 1 x y z a b c + + = называется уравнением плоскости «в отрезках». Уравнение плоскости, проходящей через данную фиксиро- ванную точку ( )0 0 0 0, ,M x y z перпендикулярно заданной нормали ( ), ,n A B C= r , можно записать в виде ( ) ( ) ( )0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = . Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки: ( )1 1 1 1, ,M x y z , ( )2 2 2 2, ,M x y z и ( )3 3 3 3, ,M x y z . Решение: Допустим сначала, что данные три точки не лежат на одной прямой и, следовательно, задача имеет единственное решение. Пусть точка ( ), ,M x y z принадлежит искомой плоско- сти, тогда векторы 1 2M M uuuuuur , 1 3M M uuuuuur и 1M M uuuuur компланарны. Условие компланарности для этих векторов имеет вид 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 0 x x y y z z x x y y z z x x y y z z − − − − − − = − − − . Раскрыв определитель в левой части равенства и приведя по- добные слагаемые, получим уравнение искомой плоскости. Если точки ( )1 1 1 1, ,M x y z , ( )2 2 2 2, ,M x y z и ( )3 3 3 3, ,M x y z лежат на одной прямой, то после раскрытия определителя вместо уравнения получим тождество 0 = 0.
- 159. 161 4.2.10 . Основные задачидля плоскости в пространстве Большинство математических задач для плоскости в про- странстве решается при совместном использовании решений ос- новных задач: 0. Построение плоскости в пространстве по заданному урав- нению. 1. Определение уравнения плоскости по заданным условиям. 2. Определение угла между плоскостями. Определение па- раллельности и перпендикулярности плоскостей. 3. Определение расстояния от заданной точки до заданной плоскости. Рассмотрим примеры решения указанных задач. Пр и м е р 1. Построить плоскости в пространстве по урав- нениям: а) 5 2 3 10 0x y z− + − = ; б) 3 2 0x y z+ + = ; в) 3 2 6x y+ = ; г) 2 7 0z − = . Решение: а) перейдем к уравнению плоскости в отрезках: 1 102 5 3 x y z − + = . Откладываем на координатных осях от- резки длин 10 2, 5, 3 − соответственно. Соединяем эти точки отрезками (рис. 60); б) плоскость проходит через начало координат. В системе координат от ее начала строим нормаль к плоскости ( )3, 2, 1n r , а плоскость изображаем перпендикулярно нормали; Рис. 61 в) перейдем к уравнению плоскости в отрезках: 1 2 3 x z + = . Рис. 60
- 160. 162 Поскольку нет слагаемогос координатой y, то плоскость бу- дет параллельна оси Oy; г) плоскость отсекает на оси Oz отрезок длины 7 2 , две другие оси координат она не пересекает. Пр и м е р 2. Дано общее уравнение плоскости 5 6 2x y z− − + 30 0+ = ; составить уравнение плоскости, параллельной данной и проходящей через точку ( )3; 4; 5A . Решение: Если две плоскости параллельны, то нормальный вектор первой плоскости является нормальным вектором и для второй плоскости. Значит, уравнение искомой плоскости имеет вид 5 6 2 0x y z D− − + = ,где D – некоторая, пока неизвестная, по- стоянная. Для определения этой постоянной подставим в уравне- ние 5 6 2 0x y z D− − + = координаты точки ( )3; 4; 5A : 15 24− − 10 0D− + = . Следовательно, 19D = и искомая плоскость задается общим уравнением 5 6 2 19 0x y z− − + = . Пр и м е р 3. Найти угол между плоскостями A1x + B1y + C1z + + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Решение: угол между плоскостями, очевидно, равен углу между их нормальными векторами. По формуле вычисления ко- синуса угла между векторами получим формулу косинуса угла между плоскостями: 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cos A A B B C C A B C A B C + + α = + + + + . Из этой формулы, в частности, следует: Условие перпендику- лярности прямых: 1 2 1 2 1 2 0A A B B Ñ Ñ+ + = . Пр и м е р 4. Найти расстояние от точки ( )0 4,3,0M до плос- кости, проходящей через точки ( )1 1,3,0M , ( )2 4, 1,2M − , ( )3 3,0,1M . Решение: составляем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки: 1 3 0 4 1 1 3 2 0 0 3 1 0 3 1 0 x y z− − − − − − − = − − − .
- 161. 163 Раскрывая определитель, получимобщее уравнение плоско- сти 2 5 0x y z+ − − = . Воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости: 0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D d A B C + + + = + + : ( )22 2 2 4 1 3 1 0 5 6 6 62 1 1 d ⋅ + ⋅ − ⋅ − = = = + + − . Задачи к разделу 4.20 4.2.1. Дано общее уравнение плоскости 5 6 2 30 0x y z− − + = . а) составить уравнение этой плоскости «в отрезках»; б) построить эту плоскость в системе ко- ординат. 4.2.2. Составить уравнение плоскости, изоб- раженной на рис. 62. 4.2.3. В пространстве задана точка ( )3; 4; 5A : а) составить уравнение плоскости, прохо- дящей через эту точку перпендикулярно вектору ( )1; 2; 3a = r ; б) составить уравнение плоскости, проходящей через эту точку параллельно векторам ( )1; 2; 3a = r и ( )4; 5; 6b = r ; в) составить уравнение плоскости, про- ходящей через точки ( )3; 4; 5A и ( )0; 1; 1B параллельно вектору ( )1; 2; 3a = r ; г) составить уравнение плоскости, про- ходящей через точки ( )3; 4; 5A и ( )0; 1; 1B перпендикулярно вектору ( )1; 2; 3a = r ; д) составить уравнение плоскости, про- ходящей через точки ( )3; 4; 5A , ( )0; 1; 1B и ( )1; 0; 1C . 4.2.4. Составить уравнения плоскостей, изображенных на рис. 63. Рис. 62. Задача 4.2.2 Рис. 63. Задача 4.2.4
- 162. 164 4.2.5. В плоскостиXOY задана прямая 2x – y + 5 = 0. а) составить уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и точку ( )3; 4; 5A ; б) составить уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно оси OZ . 4.2.6. Найти угол между плоскостями а) 5 6 2 30 0x y z− − + = и 6 5 7 0x y+ − = ; б) 4 8 12 0x y z− − + = и 20 7 62 0x y z+ + − = . 4.2.7. Плоскость, проходящая через точку ( )3; 4; 5A , отсекает на осях координат отрезки равной длины. Найти объем пирамиды, ограниченной этой плоскостью и координатными плоскостями. 4.2.8. В пространстве заданы четыре точки ( )1; 1; 0A , ( )0; 1; 1B ; ( )1; 0; 1C ; ( )3; 4; 5D . Сколько существует плоскостей, равноуда- ленных от этих точек? Составить уравнения одной из таких плос- костей. 4.30 . Прямые линии в пространстве Прямую можно рассматривать как пересечение двух плоско- стей и поэтому задавать системой уравнений: 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + = + + + = . О п р е д е л е н и е: любой вектор, параллельный некоторой прямой, называется направляющим вектором этой прямой. Пусть некоторая прямая L с направляющим вектором ( ), ,s m p q r проходит через точку ( )0 0 0 0, ,M x y z . Некоторая точка ( ), ,M x y z будет принадлежать прямой L тогда и только тогда, когда векторы ( ), ,s m p q r и 0 0 0 0( ), ,M M x x y y z z= − − − uuuuur коллине- арны. Условие коллинеарности этих векторов: 0x x m − = 0 0y y z z p q − − = = . Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой. Полагая 0 0 0x x y y z z t m p q − − − = = = , получим параметриче- ские уравнения прямой:
- 163. 165 0 0 0 x x mt yy pt z z qt = + = + = + . Пр и м е р 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки ( )1 1 1 1, ,M x y z , ( )2 2 2 2, ,M x y z . Решение: точка ( ), ,M x y z будет лежать на прямой тогда и только тогда, когда векторы 1 2M M uuuuuur и 1M M uuuuur коллинеарны. Поэто- му условие коллинеарности будет являться уравнением прямой, проходящей через две точки: 1 1 1 2 1 2 1 2 1 x x y y z z x x y y z z − − − = = − − − . Пр и м е р 2. Найти угол между прямыми 1 1 1 1 x x y y l m − − = = 1 1 z z n − = и 2 2 2 2 2 2 x x y y z z l m n − − − = = . Решение: угол между прямыми равен углу между их направ- ляющими векторами, поэтому 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cos l l m m n n l m n l m n + + α = + + + + . 4.3.10 . Основные задачи для прямых в пространстве Большинство математических и прикладных задач для пря- мой в пространстве решается при совместном использовании ре- шений следующих основных задач: 1. Приведение общих уравнений прямой как линии пересече- ния двух плоскостей к канонической или параметрической форме. Решение: для составления канонических и параметрических уравнений прямой нужно знать ее направляющий вектор и коор- динаты какой-либо точки, лежащей на прямой. Координаты точ- ки найдем как любое частное решение СЛАУ 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + = + + + = .
- 164. 166 Нетрудно понять, чтонаправляющий вектор прямой перпен- дикулярен каждому из нормальных векторов плоскостей, задаю- щих эту прямую. Поэтому в качестве направляющего вектора можно взять векторное произведение нормальных векторов плос- костей. Пр и м е р 1. Найти канонические и параметрические урав- нения прямой как линии пересечения плоскостей 3 2 4 11 0 2 3 1 0 x y z x y z + + − = + − − = . Решение: нормальные векторы плоскостей равны соответ- ственно ( )1 3,2,4n = r и ( )2 2,1, 3n = − r . В качестве направляющего вектора прямой можно взять ( )1 2 3 2 4 10,15, 1 2 1 3 i j k n n× = = − − − rr r r r . В системе 3 2 4 11 0 2 3 1 0 x y z x y z + + − = + − − = полагаем, например, 0z = : Замечание: прямая обязательно пересекает хотя бы одну координат- ную плоскость. Здесь мы приняли, что это – плоскость ( 0)xOy z = . Если полученная СЛАУ не будет иметь решений, то вместо 0z = надо будет взять 0x = или 0y = . 3 2 11 2 1 x y x y + = + = . 3 2 11 4 2 2 x y x y + = + = ; 9; 19x y= − = . Значит, канонические уравнения прямой имеют вид 9 19 10 15 1 x y z+ − = = − − , а параметрические – 10 9 15 19 x t y t z t = − − = + = − .
- 165. 167 2. Определение угламежду прямыми в пространстве. Усло- вия параллельности и перпендикулярности прямых. Решение: угол между прямыми равен углу между направля- ющими векторами. 3. Определение расстояния от точки до прямой. Пусть дано каноническое уравнение пря- мой L 0 0 0x x y y z z l m n − − − = = и точка ( )1 1 1 1, ,M x y z . Направляющий вектор ( ), ,s l m n= r прямой можно параллельно перенести так, что его начало совпадет с точкой ( )1 1 1 1, ,M x y z (рис. 64). Тогда расстояние от точки до прямой определяется из прямоугольного треугольника: 0 1 sind M M= α uuuuuur , значит, 2 2 0 1 0 1 0 1 0 1 1 cos 1 M M s d M M M M M M s ⋅ = − α = − ⋅ uuuuuur ruuuuuur uuuuuur uuuuuur r . 4. Определение взаимного положения двух прямых в про- странстве. Две прямые в пространстве могут либо совпадать, либо быть параллельными, либо пересекаться, либо скрещиваться. Рассмотрим уравнения двух прямых 1 1 1 1 1 1 x x y y z z l m n − − − = = и 2 2 2 2 2 2 x x y y z z l m n − − − = = . Пусть 1 1 1( , , )q l m n= r , 2 2 2( , , )r l m n= r , ( )0 0 0 0, ,M x y z , ( )1 1 1 1, ,M x y z . На рис. 65 приведены случаи совпадения, параллельности и пересечения прямых: 1) Прямые совпадают тогда и только тогда, когда векторы 1 0, ,q r M M ur r uuuuuur коллинеарны; Рис. 64. Расстояние от точки до прямой
- 166. 168 2) Прямые параллельнытогда и только тогда, когда векторы ,q r ur r коллинеарны, а вектор 1 0M M uuuuuur им не коллинеарен; 3) Прямые пересекаются тогда и только тогда, когда векторы 1 0, ,q r M M ur r uuuuuur компланарны, а векторы ,q r ur r не коллинеарны; 4) Прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда векторы 1 0, ,q r M M ur r uuuuuur не компланарны. Рис. 65. Взаимное положение кривых 4.3.20 . Основные задачи для прямой и плоскости в пространстве 1. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельно- сти и перпендикулярности прямой и плоскости. Пусть дана прямая 0x x l − = 0 0y y z z m n − − = = и плоскость Ax + + By + Cz + D = 0. Решение: Пусть α – искомый угол между прямой и плоскостью, β – угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости, тогда α + β = 90° и sinα = cos β. Значит, 2 2 2 2 2 2 sin lA mB nC l m n A B Ñ + + α = + + ⋅ + + . Условие параллельности: 0lA mB nC+ + = . Условие перпен- дикулярности: A B C l m n = = . 2. Определение взаимного положения прямой и плоскости в пространстве. Рис. 66. Угол между прямой и плоскостью
- 167. 169 Прямая может пересекатьплоскость, лежать в этой плоско- сти или быть ей параллельной. Определить взаимное положение прямой и плоскости можно, рассмотрев систему, состоящую из уравнения плоскости и уравнений прямой: если система имеет единственное решение – прямая и плоскость пересекаются в единственной точке; если система имеет бесконечно много реше- ний – прямая лежит в плоскости; если система не имеет реше- ний – плоскость и прямая параллельны. Можно привести и менее громоздкий способ определения взаимного положения прямой и плоскости: 1) Прямая 0x x l − = 0 0y y z z m n − − = и плоскость Ax + By + Cz + + D = 0 пересекаются тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости не перпендику- лярны: Al + Bm + Cn ≠ 0. 2) Прямая лежит в плоскости тогда и только тогда, когда Al + + Bm + Cn = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. 3) Прямая параллельна плоскости тогда и только тогда, когда Al + Bm + Cn = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0. 4) Прямая перпендикулярна плоскости, если A B C l m n = = . 3. Определение точки пересечения прямой и плоскости. Если известно, что прямая и плоскость пересекаются ( )0Al Bm Cn+ + ≠ , то найти координаты их точки пересечения можно решив систему, состоящую из уравнения плоскости и уравнений прямой. Пр и м е р 1. Установить взаимное положение прямых 1 2 3 7 8 9 x y z− − − = = и 4 5 6 5 6 2 x y z− − − = = − . Решение: Направляющий вектор первой прямой – ( )7; 8; 9q = r , второй – ( )5; 6; 2r = − r . Точка ( )1; 2; 3M лежит на первой прямой, точка ( )4; 5; 6N – на второй, ( )3; 3; 3MN = uuuur . Век- торы q r и r r не коллинеарны, значит, прямые не совпадают и не параллельны. Проверим компланарность векторов q r , r r и MN uuuur :
- 168. 170 7 8 97 1 2 1 2 5 6 2 5 11 3 3 57 0 11 3 3 3 3 3 0 0 − = − − = = ≠ − − , значит, прямые скре- щиваются. Пр и м е р 2. Найти расстояние между прямыми 1 7 x − = 2 3 8 9 y z− − = = и 4 5 6 5 6 2 x y z− − − = = − . Решение: проведем через точку ( )1; 2; 3M , лежащую на пер- вой прямой, прямую 2L , параллельную второй прямой. Вектор ( )5; 6; 2r = − r , являющийся направляющим для второй прямой, будет направляющим и для прямой 2L . Построим на векторах q r , r r и MN uuuur параллелепипед. Длина высоты этого параллелепипеда равна искомому расстоянию. Объем V параллелепипеда равен произведению площади основания S на высоту h: V Sh= . С дру- гой стороны, объем V равен смешанному произведению векторов q r , r r и MN uuuur , а площадь основания – модулю векторного произве- дения q r и r r , значит, V q r MN h S q r × ⋅ = = × r r uuuur r r . 7 8 9 5 6 2 57 3 3 3 q r MN× ⋅ = − = r r uuuur ; ( )7 8 9 70; 31; 82 5 6 2 i j k q r× = = − − r r r r r ; 2 2 2 70 31 82 12585q r× = + + = r r ; 57 0,51 12585 h = ≈ . Задачи к разделу 4.30 4.3.1. Даны общие уравнения прямой в пространстве 2 3 0 4 5 1 0 x y z z y − + = − + = ;
- 169. 171 а) составить каноническиеуравнения этой прямой; б) составить параметрические уравнения этой прямой; в) определить, пересекается ли данная прямая с плоскостью 6 5 7 0x y+ − = . 4.3.2. Даны канонические уравнения прямой 1 2 3 4 5 6 x y z− − − = = ; а) составить какие-нибудь общие уравнения этой прямой; б) составить параметрические уравнения этой прямой. 4.3.3. Даны параметрические уравнения прямой в простран- стве: 2 3x t= + , 4 5y t= − , 5 6z t= + ; а) составить общие уравнения этой прямой; б) составить канонические уравнения этой прямой. 4.3.4. Составить канонические уравнения прямой в простран- стве, если: а) прямая проходит через точку ( )3; 4; 5A перпендикулярно плоскости 4 8 12 0x y z− − + = ; б) прямая проходит через точку ( )3; 4; 5A перпендикулярно векторам ( )1; 2; 3a = r и ( )4; 5; 6b = r ; в) прямая проходит через точки ( )3; 4; 5A и ( )0; 1; 1B . 4.3.5. Установить взаимное положение а) плоскости 5 6 2 30 0x y z− − + = и прямой 1 2 3 5 6 2 x y z− − − = = − ; б) плоскости 5 6 2 30 0x y z− − + = и прямой 3 2 1 2 1 2 x y z− − − = = . 4.3.6. Установить взаимное положение прямых а) 1 2 3 5 6 2 x y z− − − = = − и 4 1 5 6 2 x y z+ − = = − ; б) 4 1 5 6 2 x y z+ − = = − и 1 6 3 5 6 2 x y z− + − = = − ; в) 1 6 3 5 6 2 x y z− + + = = − и 5 12 9 1 2 3 x y z+ + + = = − ;
- 170. 172 г) 1 5 3 56 2 x y z− + + = = − и 5 12 9 1 2 3 x y z+ + + = = . 4.3.7. Найти косинус угла: а) между плоскостями 5 6 2 30 0x y z− − + = и 1 0y z− + = ; б) между прямыми 1 5 3 5 6 2 x y z− + + = = − и 5 12 1 2 x y+ + = = 9 3 z + ; в) между прямой 5 12 9 1 2 3 x y z+ + + = = и плоскостью 5x − 6 2 30 0y z− − + = . 4.3.8. Найти расстояние между прямыми 1 5 3 5 6 2 x y z− + + = = − и 5 12 9 1 2 3 x y z+ + + = = . 4.3.9. Найти расстояние от точки ( )3; 4; 5A до прямой 3 2 x − = 2 1 1 2 y z− − = = . Требования к практическому усвоению темы «Прямые и плоскости» Студент должен знать: 1. Виды уравнений прямой на плоскости: – общее уравнение и его важные частные случаи; – уравнение «в отрезках»; – уравнение с угловым коэффициентом; – каноническое и параметрические уравнения; – уравнение прямой, проходящей через заданную точку. 2. Геометрический смысл коэффициентов, входящих в урав- нения прямых. 3. Алгоритмы решения основных задач для прямых на плос- кости: – построение прямой по ее уравнению; – нахождение уравнения прямой по условиям задачи; – переход от одного вида уравнения к другому виду; – вычисление угла между пересекающимися прямыми, опре- деление перпендикулярности и параллельности прямых; – определение расстояния от заданной точки до прямой; – определение координат точки пересечения прямых.
- 171. 173 4. Виды уравненийплоскости в пространстве: – общее уравнение и его важные частные случаи; – уравнение «в отрезках»; – уравнение плоскости, проходящей через одну или три за- данные точки. 5. Геометрический смысл коэффициентов, входящих в урав- нения плоскости. 6. Алгоритмы решения основных задач для плоскости: – построение плоскости в прямоугольной системе координат по ее уравнению; – нахождение уравнения плоскости по условиям задачи; – переход от одного вида уравнения к другому виду; – вычисление угла между пересекающимися плоскостями, определение перпендикулярности и параллельности плоскостей; – определение расстояния от заданной точки до плоскости. 7. Виды уравнений прямой в пространстве: – общие уравнения прямой как линии пересечения двух плоскостей; – уравнения прямой, проходящей через две заданные точки; – канонические и параметрические уравнения прямой. 8. Геометрический смысл коэффициентов, входящих в урав- нения прямой. 9. Алгоритмы решения основных задач для прямой в про- странстве: – построение прямой по координатам двух заданных точек; – приведение общих уравнений прямой к каноническим или параметрическим уравнениям; – вычисление угла между пересекающимися прямыми, опре- деление перпендикулярности и параллельности прямых; – определение расстояния от заданной точки до прямой; – определение взаимного положения двух прямых в про- странстве. 10. Алгоритмы для решения прямой и плоскости в простран- стве: – вычисление угла между прямой и плоскостью; – определение взаимного положения прямой и плоскости (перпендикулярность, параллельность, расположение прямой в плоскости);
- 172. 174 – определение координатточки пересечения прямой и плос- кости. Студент должен уметь: 1. Строить прямые на плоскости, а также плоскости и прямые в пространстве. 2. Находить уравнения прямой и (или) плоскости по задан- ным условиям задачи. 3. Решать основные задачи о прямых на плоскости и в про- странстве, о плоскостях и о прямых и плоскостях в пространстве по известным алгоритмам. 4. Находить решения составных задач, содержащих комбина- ции основных задач. 4.40 . Уравнения и виды кривых линий. Основные задачи аналитической геометрии кривых Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат и некоторая кривая линия. Любая кривая представляет собой точечное множество и об- ладает некоторым характеристическим свойством, на котором основывается определение кривой. Выражая указанное свойство в математической форме, получают общее уравнение плоской кривой в виде ( ), 0f x y = . Между всеми парами переменных ( ),x y , для которых вы- полняется уравнение ( ), 0f x y = , и точками кривой с координа- тами ( ),x y должно существовать взаимно однозначное соответ- ствие. Любые координаты точек плоскости, не принадлежащие кривой, не должны удовлетворять данному уравнению. Представление плоской кривой уравнением ( ), 0f x y = не является единственно возможной формой представления. В при- кладных задачах широко используют параметрический способ описания кривой в виде ( ) ( ) x x t y y t = = , где t – переменный параметр, принимающий значения из некоторо- го конечного или бесконечного интервала действительных чисел.
- 173. 175 Указанный способ удобентем, что позволяет использовать единообразное описание кривых в n-мерных пространствах. В частности, в трехмерном пространстве параметрические уравне- ния кривой имеют вид ( ) ( ) ( ) x x t y y t z z t = = = . В прямоугольной системе координат пространственную кри- вую можно определить как линию пересечения двух поверхно- стей ( ) ( ) , , 0 , , 0 f x y z g x y z = = . Замечание: В частном случае прямая в пространстве в прямоугольных координатах определяется как линия пересечения двух плоскостей. Если левая часть уравнения ( ), 0f x y = является многочле- ном степени n, то такая линия называется алгебраической линией n -го порядка. Наибольшее прикладное значение имеют алгебраические кривые второго порядка, которые описываются уравнением вида 2 2 1 2 3 1 2 0A x A y A xy B x B y C+ + + + + = , где 1 2 3 1 2, , , , ,A A A B B C R∈ , 2 2 2 1 2 3 0A A A+ + ≠ . Если 1 2 3 0A A A= = = , то получим уравнение первого поряд- ка, которому соответствуют линейные геометрические объекты (плоскости и прямые). Алгебраические кривые второго порядка являются нелинейными геометрическими объектами. Уравнение кривой второго порядка можно существенно упростить за счет линейных смещений и поворотов прямоуголь- ной системы координат. Наиболее простой вид алгебраические кривые второго порядка имеют в специальных (канонических) прямоугольных системах координат. При этом порядок алгебраи- ческих кривых при преобразованиях координат не изменяется (многочлен в левой части уравнения остается многочленом вто- рого порядка).
- 174. 176 Неалгебраические (трансцендентные) кривыеописываются наиболее простыми формулами в системах координат, отличных от декартовых. При этом для плоских кривых обычно используют полярную систему координат, а для пространственных неалгеб- раических кривых – цилиндрические и сферические системы ко- ординат. Указанные системы координат при необходимости ис- пользуют и для алгебраических кривых. При изучении кривых методами аналитической геометрии обычно рассматривают две основных (прямую и обратную) задачи: 1) по характеристическому свойству кривой получить уравне- ние кривой в выбранной системе координат; с помощью уравне- ния изучить основные геометрические свойства кривой (вид сим- метрии, форма кривой, место расположения на плоскости и т.д.); 2) по уравнению кривой, заданному в определенной системе координат, установить вид кривой и ее основные геометрические свойства и параметры. 4.50 . Алгебраические кривые второго порядка К кривым второго порядка относятся следующие кривые: окружность, эллипс, гипербола и парабола. При исследовании свойств этих кривых и их построении обычно используют кано- нические системы отсчета. Поэтому рассмотрим указанные кри- вые и их свойства в канонических осях. 4.5.10 . Окружность О пр е д е ле ние: Окружностью называется алгебраическая кривая второго порядка, все точки которой равноудалены от од- ной фиксированной точки, не принадлежащей окружности. Указанная в определении фиксирован- ная точка называется центром окружно- сти. Характеристическое свойство окруж- ности: constOM R= = , где M – текущая точка окружности; R – радиус окружности (рис. 67). По теореме Пифагора 2 2 2 x y R+ = . Это уравнение называется каноническим уравнением окружности. Рис. 67. Окружность
- 175. 177 4.5.20 . Эллипс О пре д е ле ние: Эллипсом называется алгебраическая кри- вая второго порядка, каждая точка которой удалена от двух фик- сированных точек (фокусов), не принадлежащих эллипсу, так, что сумма расстояний от фокусов до любой точки эллипса посто- янна. Обозначим фокусы буквами F1, F2, расстояние между фоку- сами обозначим 2с. Это расстояние называется фокальным (фо- кусным). Поместим начало прямоугольной системы координат xOyв середину отрезка F1F2 так, чтобы направление вектора 1 2F F uuuur совпало с положительным направлением координатной оси, ко- торая называется фокальной осью. Расстояние с от начала координат до фокуса называется ли- нейным эксцентриситетом эллипса. Расстояния от начала коор- динат до наиболее и наименее удаленных точек (вершин) эллипса (a и b) называются полуосями эллипса. При этом отрезок наибольшей полуоси лежит на фокальной оси эллипса. Расстоя- ния от фокусов эллипса до любой его точки называются фокаль- ными радиусами. Если фокальная ось эллипса совпадает с коор- динатной осью Ox (рис. 68, а), то a b> и характеристическое свойство эллипса, лежащее в основе его определения, в матема- тической форме имеет вид 1 2 2r r a+ = , линейный эксцентриситет 2 2 c a b= − , каноническое уравнение 2 2 2 2 1 x y a b + = . Аналогично, если фокальной осью эллипса является координатная ось Oy (рис. 68, б) то при a b< имеют место равенства 1 2 2r r b+ = и 2 2 c b a= − .
- 176. 178 Рис. 68. Эллипс Каноническоеуравнение эллипса при a b< имеет тот же вид. Оси Ox и Oy являются осями симметрии эллипса, начальная точка системы координат – центром эллипса. Важной числовой характеристикой эллипса является его экс- центриситет, который характеризует отклонение формы эллипса от окружности. Для количественной оценки указанного отклоне- ния кроме линейного эксцентриситета используют относитель- ный эксцентриситет c e a = при a b> и c e b = при a b< . Замечание: для эллипса: 0 1e≤ < . При 1e = эллипс вырождается в отрезок прямой, при 0e = – в окружность. Фокальные радиусы можно выразить через эксцентриситет эллипса следующим образом: при a b> 1 2 M M r a ex r a ex = + = − , при a b< 1 2 M M r b ex r b ex = + = − . Для определения эллипса можно использовать его директо- риальное свойство. Теорема (директориальное свойство эллипса) Отношение расстояния от любой точки эллипса до фокуса к расстоя- нию от той же точки до ближайшей к этому фокусу директрисы равно экс- центриситету этого эллипса. О пр е д е ле ние: Две прямые, перпендикулярные фокальной оси эллипса и отстоящие от его центра на расстоянии d e , где e – эксцентриситет эллипса; d – его большая полуось, называются директрисами эллипса. Рис. 69. Директориальные свойства эллипса
- 177. 179 Пр и ме р 1. Задано уравнение эллипса 2 2 1 25 64 x y + = . Найти параметры эллипса (длины полуосей, линейный и относительный эксцентриситеты); построить эллипс по характерным точкам (точ- ки пересечения эллипса с осями координат, фокусы); проверить правильность построения по его характеристическому свойству. Решение: полуоси эллипса равны 25 5a = = , 64 8b = = . Поскольку a b< , то фокусы эллипса лежат на оси Oy. Расстояние от начала координат до фокусов (линейный эксцентриситет): 2 2 c b a= − 64 25 39 6,25= − = ≈ . Коорди- наты фокусов: ( )1 0, 39F , ( )2 0, 39F − . Определим абсциссы точек 1M , 2M , при- надлежащих эллипсу, при одинаковых орди- натах 39y = : 2 39 1 25 64 x + = ; 2 25 25 64 x = ; 1,2 25 3,125 8 x = ± = ± . Таким образом, ( )1 3,125; 39M , ( )2 3,125; 39M − . Строим эллипс (рис. 70). Производим проверку, используя характеристическое свой- ство эллипса 1 2 2r r b+ = : 1 1 1 3,125r F M= = ; ( ) ( )( ) 22 2 2 1 3,125 0 39 39 12,875r F M= = − + − − = ; 1 2 3,125 12,825 2 2 8 16r r b+ = + = = ⋅ = . Пр и м е р 2. Составить каноническое уравнение эллипса, ес- ли известны его эксцентриситет – 0,8 и уравнение директрисы 12,5x = . Решение: Поскольку директриса вертикальна, то a b> и, зна- чит, c e a = , Составим систему уравнений для нахождения полу- осей эллипса: Рис. 70. Пример построения эллипса
- 178. 180 2 2 2 2 0,8 12,5 ac b c a a c − = = = ; 2 2 2 2 0,8 12,5 a c b c a a c − = = = ; 2 2 2 2 0,8 12,5 0,8 a c b c a a a − = = = ⋅ . Из последнего уравнения системы находим 10a = , затем из второго – 8c = , и из первого 6b = . Следовательно, каноническое уравнение эллипса имеет вид 2 2 1 100 36 x y + = . 4.5.30 . Гипербола О пр е д е ле ние: Гиперболой называется алгебраическая кривая второго порядка, каждая точка которой удалена от двух фиксированных точек (фокусов), не принадлежащих гиперболе, так, что модуль разности расстояний от фокусов до любой точки гиперболы постоянна. Обозначим фокусы буквами F1, F2, расстояние между фоку- сами обозначим 2с. Это расстояние называется фокальным (фо- кусным). Поместим начало прямоугольной системы координат xOyв середину отрезка F1F2 так, чтобы направление вектора 1 2F F uuuur совпало с положительным направлением координатной оси, ко- торая называется действительной осью гиперболы. Вторая коор- динатная ось называется мнимой осью гиперболы. Рис. 71. Гипербола
- 179. 181 Расстояние с отначала координат до фокуса называется ли- нейным эксцентриситетом гиперболы. Расстояние от начала ко- ординат до любой из точек пересечения (вершин) гиперболы с ее действительной осью называется действительной полуосью. Расстояния от фокусов гиперболы до любой его точки назы- ваются фокальными радиусами. Если действительная ось гипер- болы совпадает с координатной осью Ox (рис. 71, а), то характе- ристическое свойство гиперболы, лежащее в основе его опреде- ления, в математической форме имеет вид 1 2 2r r a− = , линейный эксцентриситет 2 2 c a b= + , каноническое уравнение 2 2 2 2 1 x y a b − = , где b – мнимая полуось гиперболы. Аналогично, если действи- тельной осью гиперболы является координатная ось Oy (рис.71, б) то действительная полуось гиперболы равна b, фокусы лежат на оси Oy, характеристическое свойство имеет вид 1 2 2r r b− = , линейный эксцентриситет 2 2 c a b= + , а каноническое уравнение гиперболы имеет вид 2 2 2 2 1 y x b a − = . Оси координат Ox, Oy являются осями симметрии гиперболы, а начало координат – центром симметрии. Гипербола состоит их двух ветвей, симметричных относительно мнимой оси; каждая ветвь пересекает действительную ось. При неограниченном увели- чении координат x и y точек гиперболы ветви гиперболы неограни- ченно приближаются к наклонным прямым, которые называются асимптотами гиперболы и имеют уравнения b y x a = и b y x a = − . Если a b= , то асимптоты будут взаимно ортогональными ( ,y x y x= = − ). Если эти асимптоты использовать в качестве ко- ординатных осей, то уравнение гиперболы будет иметь вид , const m y m x = = . Это уравнение называется уравнением обрат- ной пропорциональности (рис. 72). Замечание: асимптоты гиперболы обладают следующим свойством: расстояние от точки асимптоты до гиперболы неограниченно уменьшается при удалении от начала координат.
- 180. 182 Рис. 72. Графикобратной пропорциональности Для оценки влияния изменения длин полуосей гиперболы на форму ее ветвей обычно используют относительный эксцентри- ситет ( )1 e< < ∞ : c e a = , если a – действи- тельная ось гиперболы; c e b = , если b – действитель- ная ось гиперболы. При 1e → ветви гиперболы «выпрямляются», приближаясь к параллельным прямым, пер- пендикулярным действительной оси; при e → ∞ ветви гипербо- лы «складываются», приближаясь к действительной оси. Для определения гиперболы можно использовать ее директо- риальное свойство (рис. 73). О пр е д е ле ние: Две прямые, перпендикулярные фокальной оси гиперболы и отстоящие от центра гиперболы 2 2 2 2 1 x y a b − = на расстояние a e (соответственно для гиперболы 2 2 2 2 1 y x a b − = на рас- стояние b e ), называются директрисами гиперболы. Рис. 73. Директориальное свойство гиперболы
- 181. 183 Теорема (директориальное свойствогиперболы) Отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от той же точки до ближайшей к этому фокусу ди- ректрисы равно эксцентриситету этой гиперболы. Пр и м е р. Задано уравнение гиперболы в канонических осях 2 2 1 36 64 y x − = . Найти параметры гиперболы; построить гиперболу по характерным точкам; проверить правильность построения по ее характеристическому свойству. Решение: по уравнению гиперболы определяем длины полу- осей: 64 8; 36 6a b= = = = . Расстояние от фокуса до начала координат: 64 36 10c = + = . Поскольку фокусы лежат на оси OY , то ( )1 0, 10F − и ( )2 0, 10F . Найдем абсциссы точек 1M и 2M гиперболы при одинаковых ординатах 1 2 10y y c= = = : 2 2 10 1 36 64 x − = ; 100 64 32 8 1 8 10,67 36 36 3 x = ± − = ± = ± ≈ ± . Сначала строим прямо- угольник с центром в нача- ле координат и сторонами 2 16a = и 2 12b = (рис. 74). Диагонали прямоугольника являются асимптотами ги- перболы. Строим точки 1 32 , 10 3 M , 2 32 , 10 3 M − и симметричные им относи- тельно оси абсцисс точки 3 32 , 10 3 M − и 4 32 , 10 3 M − − . Вершина верхней ветви гипер- болы имеет координаты ( )0, 6 , нижней – ( )0, 6− . Производим проверку, используя характеристическое свой- ство гиперболы 2 1 1 1 2 2 6 12F M F M b− = = ⋅ = : Рис. 74. Пример: построение гиперболы
- 182. 184 2 1 32 3 F M= ; ( )( ) 2 2 1 1 32 4624 68 0 10 10 3 9 3 F M = − + − − = = ; 2 1 1 1 68 32 36 12 3 3 3 F M F M− = − = = . Вычисления и построение проведены правильно. 4.5.40 . Парабола О пр е д е ле ние: Параболой называется алгебраическая кривая второго порядка, для каждой точки которой расстояние от некото- рой точки, называемой фокусом, равно рас- стоянию до некоторой прямой, называемой директрисой (рис. 75). О пр е д е ле ние: Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы называется фо- кальным параметром параболы и обозначается p. Характеристическое свойство параболы FM MN= , где FM – расстояние от фокуса до точки M , принадлежащей параболе; MN – расстояние от той же точки до директрисы. Уравнение па- раболы в канонических осях 2 2y px= ( )2 2y px= − . Ось OX – ось симметрии параболы. Если осью симметрии параболы является ось OY , то канони- ческое уравнение параболы имеет вид 2 2x py= ( )2 2x py= − (рис. 76). В кано- нических систе- мах координат вершина парабо- лы совпадает с началом коорди- нат, расположен- ным в средней точке фокального параметра. Пр и м е р. Рис. 75. Парабола Рис. 76. Канонические уравнения параболы
- 183. 185 Задано уравнение параболы2 8x y= . Найти параметры параболы; построить параболу по характерным точкам; проверить правиль- ность построения по ее характеристическому свойству. Решение: осью симметрии явля- ется ось OY . Уравнение директрисы 2 2 p x = − = − , координаты фокуса ( )0, 2F . Находим абсциссы точек 1M и 2M параболы при одинаковых ординатах 1 2 2y y= = : 2 8 2x = ⋅ ; 4x = ± ; ( )1 4, 2M , ( )2 4, 2M − . Найдем координаты еще двух точек 3M и 4M , лежащих на параболе, например, ( )3 8, 8M , ( )4 8, 8M − . Строим график пара- болы по найденным координатам точек (рис. 77). Производим проверку, используя характеристическое свой- ство параболы 3 3FM NM= : ( ) ( )2 2 3 8 0 8 2 10FM = − + − = ; ( ) ( )2 2 3 8 8 2 8 10NM = − + − − = . 4.60 . Уравнения кривых второго порядка в параллельно смещенных осях Кривые второго порядка в общем случае описываются урав- нениями 2 2 11 22 12 10 20 02 0a X a Y a XY a X a Y a+ + + + + = . Замечание: изменение обозначений необходимо, так как одни и те же кривые будут рассматриваться в двух различных системах координат. Если 12 0a = , то получаем уравнение в параллельно смещен- ных осях 2 2 11 22 10 20 0 0a X a Y a X a Y a+ + + + = , которое можно привести к «почти каноническому виду», исполь- зуя способ дополнения до полных квадратов для переменных X Рис. 77. Пример: построение параболы
- 184. 186 и Y .Затем параллельным смещением осей переходим к уравне- ниям в канонических осях xOy. Уравнения кривых второго порядка в «почти канонических» и канонических осях сведем в таблицу Уравнения в «почти канонической» форме Уравнения в канонической форме О к р у ж н о с т ь ( ) ( ) 2 2 2 0 0X X Y Y R− + − = 2 2 2 x y R+ = Э л л и п с ( ) ( ) 2 2 0 0 2 2 1 X X Y Y a b − − + = 2 2 2 2 1 x y a b + = Г и п е р б о л а ( ) ( ) 2 2 0 0 2 2 1 X X Y Y a b − − − = 2 2 2 2 1 x y a b − = Окончание таблицы Уравнения в «почти канонической» форме Уравнения в канонической форме ( ) ( ) 2 2 0 0 2 2 1 Y Y X X b a − − − = 2 2 2 2 1 y x b a − = П а р а б о л а ( ) ( ) 2 0 02Y Y p X X− = ± − 2 2y px= ± ( ) ( ) 2 0 02X X p Y Y− = ± − 2 2x py= ±
- 185. 187 0 0,X Y– координаты начальной точки канонической системы коорди- нат в исходной параллельно смещен- ной системе координат ' XOY . Пр и м е р. Построить линию 2 2 25 16 100 32 316 0x y x y− + + − = . Решение: Преобразуем заданное уравнение и приведем его к почти ка- нонической форме: ( ) ( )2 2 25 4 16 2 316 0x x y y+ − − − = ; ( ) ( )2 2 25 4 4 100 16 2 1 16 316 0x x y y+ + − − − + + − = ; ( ) ( )2 2 25 2 16 1 400x y+ − − = ; ( ) ( )2 2 2 1 1 16 25 x y+ − − = . Это – почти каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (–2; 1), полуосями 4 и 5 и ветвями, направленными вправо и влево (рис. 78). 4.70 . Общий случай приведения уравнений кривых второго порядка к каноническому виду В общем случае уравнение кривой второго порядка в исход- ной произвольной системе координат xO y′ имеет вид 2 2 1 2 3 1 2 0A x A y A xy B x B y C+ + + + + = . (1) Приведем уравнение (1) к промежуточной параллельно сме- щенной системе координат XO Y′ . Для этого повернем исходную систему координат на угол α, определяемый по формуле 1 2 3 ctg 2 2 A A A − α = и переходим к промежуточным координатам, заменяя перемен- ные по формулам cos sin ; sin cos . x X Y y X Y = α − α = α + α Рис. 78. Пример: параллельно смещенная гипербола
- 186. 188 В результате получимуравнение кривой в промежуточной системе координат XO Y′ 2 2 11 22 10 20 0 0a X a Y a X a Y a+ + + + = . (2) Уравнение (2) приводим к «почти каноническому» виду с помощью преобразований, основанных на выделении полных квадратов и, используя замену переменных по формулам: 0 0 ; . x X x y Y y = − = − Получаем каноническое уравнение кривой второго порядка. Пр и м е р. Построить линию xy – 2y – 3x + 5 = 0. Решение: При решении будем использовать различные си- стемы координат, поэтому переобозначим переменные в задан- ном уравнении: 2 3 5 0xy y x− − + = . Коэффициенты в уравнении имеют следующие числовые значения 1 2 3 1 20, 1, 3, 2, 5A A A B B C= = = = − = − = . Определяем угол поворота промежуточной системы коорди- нат ' XOY относительно исходной системы xO y′ : 0 0 ctg 2 0 2 1 − α = = ⋅ ; 2 2 4 π π α = ⇒ α = . В исходном уравнении кривой заменяем координаты на про- межуточные по формулам: cos sin ; sin cos , x X Y y X Y = α − α = α + α в результате получаем ( ) ( ) 1 1 ; 2 2 x X Y y X Y= − = + ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 3 5 0 2 2 2 X Y X Y X Y X Y− + − + − − + = . После алгебраических преобразований и выделения полных квадратов получим «почти каноническое» уравнение кривой
- 187. 189 2 2 5 1 22 1 2 2 X Y − + − = . Производя замену переменной 5 1 , 2 2 x X y Y= − = + , получаем каноническое уравнение гипербо- лы 2 2 1 2 2 x y − = . Для построения полученной гиперболы нужно повернуть ис- ходную систему координат против часовой стрелки на угол 4 π α = и осуществить параллельный перенос повернутой системы коорди- нат с начальной точкой с координатами 5 1 ; 2 2 − (рис. 79). 4.80 . Трансцендентные (неалгебраические) плоские кривые. Полярная система координат Плоские кривые, уравнения которых будучи записанными в прямоугольных координатах, не являются алгебраическими и не приводятся к алгебраическим при любых поворотах и смещениях прямоугольных систем координат, называются трансцендентны- ми. Простейшими примерами таких кривых являются известные из школьной программы графики функций siny x= , 2x y = и др. Уравнения многих трансцендентных плоских кривых, широ- ко используемых в технике, имеют наиболее простой вид в по- лярной системе координат. О п р е д е л е н и е: Пусть на плоскости выбрана некоторая точка О, называемая полюс и луч Р с началом в полюсе, называе- мый полярной осью. Если на плоскости также выбран масштаб и положительное направление отсчета углов, то говорят, что на плоскости задана полярная система координат. Рис. 79. Пример: построение линии по уравнению общего вида
- 188. 190 Замечание: положительным направлениемотсчета углов всегда будем считать направление против часовой стрелки. О п р е д е л е н и е: Координатами точ- ки М в полярной системе координат яв- ляются: длина ρ вектора ОМ (полярный радиус) и полярный угол ϕ (обычно из- меряемый в радианах) от полярной оси до полярного радиуса. Замечание: в полярной системе коорди- нат, так же как и в прямоугольной, можно за- давать уравнения линий в виде некоторой функциональной связи между координатами: F(ρ, ϕ) = 0. Будем считать, что угол ϕ может принимать любые значения, а радиус ρ – только неотрицательные. В полярных координатах обычно описываются кривые, кото- рые определяют кинематическим способом как траекторию точки, участвующей одновременно в нескольких движениях. При этом одно из движений является вращением вокруг неподвижной оси. Пр и м е р 1. Спираль Архимеда ρ = aϕ, a > 0. Из уравнения видно, что чем больше ϕ, тем больше ρ. Спираль Архимеда можно определить как траекторию точки, участвующей од- новременно в двух равномерных движениях, одно из которых прямолинейное, другое – вращение вокруг неподвижной точки. В технике спираль Архимеда находит применение для описания профилей кулачков в самоцентрирую- щихся патронах токарных станков и др. Пр и м е р 2. Кардиоида ρ = 2a(1 + cosϕ), a > 0. Рис. 80. Полярная система координат Рис. 81. Спираль Архимеда
- 189. 191 При ϕ =0 ρ = 4a. На промежутке 0; 2 π функция y = cos ϕ убывает, значит, и коор- дината ρ будет уменьшаться и при 2 π ϕ = ρ = 2a. Функция y = cos ϕ продолжает убы- вать на промежутке ; 2 π π и при ϕ = π ρ = 0. На промежутке [ ]; 2π π функция y = cos ϕ возрастает, значит, ρ также возрастает. Рассмотрим прямоугольную си- стему координат на плоскости и по- местим на этой же плоскости поляр- ную систему координат так, чтобы полюс совпал с началом прямоуголь- ной системы координат, а направле- ние полярной оси – с положительным направлением оси OX (рис. 83). Тогда из прямоугольного треугольника получим: cos sin . ,x y = ρ ϕ = ρ ϕ Это формулы перехода от прямоугольной системы координат к полярной. Из того же прямоугольного треугольника можно по- лучить формулы перехода от полярной системы координат к прямоугольной: 2 2 2 2 2 2 cos sin x y x x y y x y ρ = + ϕ = + ϕ = + Рис. 82. Кардиоида Рис. 83. Связь прямоугольной и полярной систем координат
- 190. 192 Замечание: эти формулыможно задать и иначе: 2 2 x yρ = + ; arctg , åñëè 0 arctg , åñëè 0 y x x y x x > ϕ = π− < . Последнюю формулу используют в физических приложениях, связан- ных с вращением объектов. Пр и м е р 3. Записать уравнение лемнискаты Бернулли (x2 + + y2 )2 = 2a2 (x2 – y2 ) в полярной системе координат. Решение: Подставим выражение cosρ ϕ в уравнение лемниска- ты вместо переменной x, а выражение sinρ ϕ вместо переменной y: ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 2 cos sinaρ ϕ+ ρ ϕ = ρ ϕ−ρ ϕ ; ( ) ( ) 2 4 2 2 2 2 2 2 cos sin 2 cos sinaρ ϕ+ ϕ = ρ ϕ− ϕ ; 2 2 2 cos , 2cos2a aρ = ϕ ρ = ϕ . Уравнения линий второго порядка в полярной системе коор- динат имеют вид 1 cos p e ρ = − ϕ , где p – произвольный положительный параметр; e – эксцентриси- тет линии. При e < 1 получится уравнение эллипса, при e = 1 – параболы, при e > 1 – гиперболы. Для многих важных для приложений трансцендентных кри- вых, определяемых как траекторию сложного движения точки, совершающей несколько движений, также удобными являются параметрические уравнения кривой. О п р е д е л е н и е: говорят, что линия на плоскости задана па- раметрически, если координаты ее точек заданы как некоторые функции некоторого параметра. Пр и м е р 1. Любая линия, являющаяся графиком некоторой функции y = f(x) может быть задана параметрически следующими формулами: ( ). ,x t y f t = =
- 191. 193 Пр и ме р 2. Определим, какая линия на плоскости задается параметрическими уравнениями cos ; ( 0, 0) sin . x a t a b y b t = > > = Поделим первое уравнение на a, второе – на b, возведем в квадрат каждое из поделенных уравнений и сложим: 2 2 2 2 2 2 cos sin x y t t a b + = + , значит 2 2 2 2 1 x y a b + = , т.е. параметрические уравнения задают эллипс с полуосями a и b. В частности, параметрическими уравнениями окружности будут уравнения cos ; ( 0) sin . x R t R y R t = > = Пр и м е р 3. По прямой катится без скольжения окружность радиуса a. Составить параметрические уравнения линии, которую описывает произвольная точка окружности. Пусть в начальном поло- жении окружности нижняя точка окружности совпадает с началом прямоугольной си- стемы координат, N – центр окружности через некоторое время, M – положение, в кото- рое перешла нижняя точка начального положения окруж- ности, S – основание перпен- дикуляра, опущенного из точки N на ось OX, Р – основание пер- пендикуляра, опущенного из точки М на ту же ось, Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую NS. Пусть t = MNQ – радианная мера угла, на который повернулась окруж- ность, перейдя в новое положение (рис. 84). Из рисунка определим координаты точки М: sinx OP OS PS SM MQ at a t= = − = − = − ( ; cosy MP QS NS NQ a a t= = = − = − ; Рис. 84. Составление уравнения циклоиды
- 192. 194 ( sin ) (1cos ) x a t t y a t = − = − Линия, задаваемая полученными уравнениями, называется циклоидой. Циклоиду описывает точка на по- верхности качения железнодорожного колеса. При этом точки, лежащие на ре- борде колеса, описывают удлиненную циклоиду, которая имеет узловые точки (рис. 85). Задачи к разделам 4.50 –4.80 4.5.1. По уравнению эллипса 2 2 9 25 1x y+ = определить полу- оси эллипса, фокусное расстояние, эксцентриситет и уравнения директрис. Построить эллипс в системе координат. 4.5.2. По уравнению гиперболы 2 2 144 25 1x y− = определить ее полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения ди- ректрис и асимптот. Построить гиперболу в системе координат. 4.5.3. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы па- раболы 2 6y x= − . 4.5.4. На рис. 86 изображены эллипс, парабола и гипербола. Со- ставить их уравнения, если точка ( )1 3; 0F является фокусом эллипса и параболы, а точка ( )2 5; 0F – фо- кусом гиперболы. 4.5.5. Составить каноническое уравнение эллипса, если известны: а) расстояние между фокусами – 24 и полуось –13; б) эксцентриситет – 0,8 и уравнение директрисы 12,5x = ; в) координаты двух его точек 1 3 ; 2 2 2 M , 2 2 3; 4 3 M . 4.5.6. Составить каноническое уравнение гиперболы, если гипербола не пересекает оси ОY, одна из полуосей равна 3, и из- вестны координаты одного из фокусов ( )5; 0F . Рис. 85. Удлиненная циклоида Рис. 86. Задача 4.5.4
- 193. 195 4.5.7. Составить каноническоеуравнение параболы, если а) известно уравнение директрисы 2x = ; б) парабола проходит через точки ( )1 1; 3M − , ( )2 2; 12M − − . 4.5.8. Составить уравнение окружности, радиуса 1, касаю- щейся осей координат. 4.5.9. Найти координаты центра и радиусы окружностей а) 2 2 4 0x y y+ − = ; б) 2 2 0x y x+ − = ; в) 2 2 2 6 0x y x y+ − + = ; г) 2 2 3 3 6 4 1x y x y+ − + = . 4.5.10. Привести уравнения кри- вых к почти канонической форме. По- строить кривые и проверить правиль- ность построения, используя характе- ристические свойства кривых: а) 2 2 4 4 8 4 0x y x y− + + − = ; б) 2 2 4 4 8 4 0x y x y+ + − + = ; в) 2 4 2 7 0x y x− − − = ; г) 2 4 2 7 0y x y− − − = . 4.5.11. Составить уравнения эл- липса и параболы, изображенных на рис. 87. 4.5.12. Составить уравнение окружности, проходящей через точки ( )1 1; 3M − , ( )2 2; 12M − − и начало координат. 4.5.13. Какому условию должны удовлетворять координаты трех данных точек, чтобы через них можно было провести окружность? 4.5.14. Составить каноническое уравнение линии второго по- рядка, проходящей через точки ( )1 4; 4M , ( )2 6; 2M . 4.5.15. Составить уравнение эллипса, оси которого парал- лельны осям координат и касающегося осей OX и OY в точках ( )1 7; 0M , ( )2 0; 4M . 4.5.16. По уравнению эллипса 2 2 4 4 8 4 0x y x y+ + − + = опре- делить полуоси эллипса, фокусное расстояние, эксцентриситет и уравнения директрис. 4.5.17. По уравнению гиперболы 2 2 4 4 8 4 0x y x y− + + − = определить ее полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот. Рис. 87. Задача 4.5.11
- 194. 196 4.5.18. Найти координатыфокуса и уравнение директрисы парабол 2 4 2 7 0x y x− − − = и 2 4 2 7 0y x y− − − = . 4.5.19. Построить линии: а) 2 3 6 0xy x y− − + = ; б) 2 3 6 0xy x y− − − = . 4.5.20. Найти точки пересечения гиперболы 2 3xy x y− − + 6 0+ = и прямой log 3xy = . 4.5.21. Найти точки пересечения эллипса 2 2 1 25 36 x y + = и ги- перболы 2 2 1 4 y x − = . 4.5.22. Материальная точка движется в плоскости XOY по за- данному закону в зависимости от времени t. Составить уравнение траектории движения а) 2 5x t= − , 4 3y t= − ; б) 2 1x t= − , 2 2 3y t t= − + ; в) 3 x t= , 5 y t= ; г) cosx t= , siny t= ; д) 2cosx t= , 3siny t= . 4.5.23. Окружность радиуса R катится по прямой без про- скальзывания. Составить параметрические уравнения линии, описываемой произвольной точкой окружности. 4.5.24. Окружность радиуса 1 катится по окружности радиу- са 3, оставаясь вне ее. Составить параметрические уравнения ли- нии, описываемой точкой катящейся окружности. За начало коор- динат принять центр неподвижной окружности, а за параметр – угол между положительным направлением оси OX и радиусом не- подвижной окружности, направленным в общую точку касания. 4.5.25. Окружность радиуса 1 катится по окружности радиу- са 3, оставаясь внутри ее. Составить параметрические уравнения линии, описываемой точкой катящейся окружности. За начало ко- ординат принять центр неподвижной окружности, а за параметр – угол между положительным направлением оси OX и радиусом не- подвижной окружности, направленным в общую точку касания. 4.5.26. Построить в пространственной системе координат ли- нию, заданную параметрическими уравнениями а) cosx t= , siny t= , 2z = ; б) cosx t= , siny t= , 4 cos sinz t t= − − ; в) cosx R t= , siny R t= , z ct= ; г) cosx a t= , siny b t= , z ct= .
- 195. 197 4.5.27. Проведя краткоеисследование уравнения линии, про- верив периодичность, симметрию и определив область существо- вания, построить заданную линию в полярной системе координат а) ρ = ϕ; 2ρ = ϕ; 2ρ = − ϕ; б) 4cosρ = ϕ; 2sinρ = ϕ; 6sinρ = − ϕ; в) cos2ρ = ϕ; cos3ρ = ϕ; г) sin 2ρ = ϕ; sin3ρ = ϕ; д) 1 cosρ = + ϕ; 1 cosρ = − ϕ; 1 sinρ = + ϕ; 1 sinρ = − ϕ; е) 1 2cosρ = + ϕ; 1 0,5cosρ = + ϕ; ж) cos2ρ = ϕ ; sin 2ρ = ϕ . 4.5.28. Построить линии второго порядка в полярной системе координат: а) 1 1 cos ρ = − ϕ ; 2 1 cos ρ = − ϕ ; б) 1 1 2cos ρ = − ϕ ; 1 1 3cos ρ = − ϕ ; 2 1 3cos ρ = − ϕ ; в) 1 1 0,5cos ρ = − ϕ ; 1 1 0,25cos ρ = − ϕ ; 3 1 0,5cos ρ = − ϕ . 4.5.29. Даны уравнения линий в прямоугольной системе ко- ординат. Составить уравнения этих же линий в полярной системе. а) 2 2 25x y+ = ; б) 2 16 8y x= + ; в) 2 2 2 2 4 4x y y x y+ + = + . 4.90 . Алгебраические поверхности второго порядка Поверхностью будем называть множество всех таких точек трехмерного пространства, которые в прямоугольной системе ко- ординат удовлетворяют уравнению ( ), , 0F x y z = . Если это урав- нение является алгебраическим уравнением второй степени и этому уравнению соответствует какая-либо поверхность, то она называется алгебраической поверхностью второго порядка. В общем случае в прямоугольной системе координат уравне- ние алгебраической поверхности второго порядка записывается в виде 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0, A x A y A z B xy B xz B yz C x C y C z D + + + + + + + + + + = где A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3 – некоторые действительные числа, не все равные нулю.
- 196. 198 С помощью преобразованияповорота cos sin sin cos x x y y x y ′ ′= α − α ′ ′= α + α соответствующим подбором угла α можно добиться того, что в новой системе координат уравнение данной поверхности не бу- дет содержать произведения x y′ ′. Затем, с помощью преобразо- вания cos sin sin cos y y z z y z ′ ′′ ′′= β − β ′ ′′ ′′= β + β подбором угла β можно добиться того, что в новой системе коор- динат уравнение данной поверхности не будет содержать произ- ведения y z′′ ′′. И, наконец, с помощью преобразования cos sin sin cos z z x x z x ′′ = γ − γ ′′ = γ + γ подбором угла γ можно добиться того, что в новой системе ко- ординат уравнение данной поверхности не будет содержать про- изведения xy и уравнение поверхности примет вид 2 1a x + 2 2 2 3 1 2 3 0a y a z c x c y c z d+ + + + + + = , где 1 2 3 1 2 3, , , , , ,,a a a c c c d – не- которые действительные числа. О п р е д е ле н и е: Уравнение вида 2 2 2 1 2 3 1a x a y a z c x+ + + + 2 3 0c y c z d+ + = будем называть параллельно смещенным уравне- нием второго порядка. Поверхности второго порядка изучаются и строятся методом сечений. Сечения в координатных плоскостях и плоскостях, па- раллельных координатным, являются кривыми второго порядка. Рассмотрим поверхности второго порядка в канонических осях. 4.9.10 . Эллипсоиды Эллипсоид – поверхность второго порядка, которая в канони- ческой системе координат задается уравнением 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = .
- 197. 199 В координатной плоскостиxOy сечение эллипсоида – эллипс с полу- осями a и b. В координатной плоскости xOz сечение эллипсоида – эллипс с полу- осями a и c . В координатной плоскости yOz сечение эллипсоида – эллипс с полу- осями b и c . При a b c= ≠ или a c b= ≠ или b c a= ≠ получим эллипсоид вращения, у которого одно из сече- ний в соответствующей координатной плоскости является окружностью. При a b c= = получим каноническое уравнение сферы 2 2 2 2 x y z R+ + = (рис. 88). 4.9.20 . Гиперболоиды Поверхность, определяемая уравнением 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + − = , называется однополостным гиперболоидом (рис. 89). Рис. 89. Гиперболоиды В координатной плоскости xOy и параллельных ей плоско- стях сечения однополостного гиперболоида – эллипсы или окружности. Поверхность, определяемая уравнением 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + − = − , называется двуполостным гиперболоидом (рис. 89). При a b= получаем гиперболоид вращения. Рис. 88. Сфера
- 198. 200 4.9.30 . Параболоиды Поверхность, определяемая уравне- нием 22 2 x y z p q + = , при 0, 0p q> > назы- вается эллиптическим параболоидом (рис. 90) при p q≠ и пара- болоидом вращения при p q= . Поверхность, определяемая уравнением 2 2 2 x y z p q − = , при 0, 0p q> > называется гиперболическим параболоидом (рис. 90). Сечения в координатных плоскостях yOz и xOz и параллельных им плоскостях – параболы. В сечениях, параллельных плоскости xOy – гиперболы. При 0z = – пара пересекающихся прямых. 4.9.40 . Цилиндры второго порядка Поверхность второго порядка, определяемая уравнением 2 2 2 2 1 x y a b + = , при a b≠ называется эллиптическим цилиндром (рис. 91), а при a b= – круговым цилиндром. Рис. 91. Эллиптический и гиперболический цилиндры Линии, параллельные оси Oz, называются направляющими цилиндрической поверхности. Рис. 90. Параболоиды
- 199. 201 Поверхность второго порядка,определяемая уравнением 2 2 2 2 1 x y a b − = , называется гиперболическим цилиндром (рис. 91). Поверхность второго порядка, определяемая уравнением 2 2y px= , называется параболическим цилиндром (рис. 92). 4.9.50 . Конусы второго порядка Поверхность второго порядка, определяемая уравнением 2 2 2 2 2 2 0 x y z a b c + − = , называется конусом (рис. 92). При a b= полу- чим круговой конус. Рис. 92. Параболический цилиндр и конус 4.9.60 . Приведение уравнений поверхностей второго порядка в параллельно смещенных осях к каноническому виду Уравнения поверхностей второго порядка в параллельно смещенных осях приводятся к каноническому виду по общей ме- тодике, являющейся аналогом аналогичной методики для кривых второго порядка. Пр и м е р 1 . Построить поверхность 4x2 – y2 – z2 + 32x –12z + + 44 = 0. Решение: 4x2 + 32x – y2 – (z2 + 12z) + 44 = 0; 4(x2 + 8x) – y2 – (z2 + 12z) + 44 = 0; 4(x2 + 8x + 16 – 16) – y2 – (z2 + 12z + 36 – 36) + 44 = 0; 4(x2 + 8x + 16) – 64 – y2 – (z2 + 12z + 36) + 36 + 44 = 0; 4(x + 4)2 – y2 – (z + 6)2 = –16; 2 2 2 ( 4) ( 6) 1 4 16 16 x y z+ + − + + = .
- 200. 202 Получено уравнение однопо- лостногогиперболоида с центром в точке O (–4; 0; –6), осью симмет- рии, параллельной координатной оси OX и полуосями a = 2, b = с = 4 (рис. 93). Пр и м е р 2. Уравнения 3x2 + + 2y2 – 6x + 8y – 6z + 11 = 0 и 3y2 + + 4 z 2 + 18y – 16z – 12x + 31 = 0 по- сле выделения полных квадратов при- нимают вид 2 ( 1) 2 x z − = + 2 ( 2) 3 y + + и 2 ( 3) 1 4 y x + + = + 2 ( 2) 3 z − + следовательно, задают эллиптические па- раболоиды (рис. 94). Пример 3. Уравнение x2 + + 4x + 2y + 6 = 0 может быть при- ведено к виду (x + 2)2 = –2(y + 1). Если это уравнение рассматри- вать как уравнение линии на плоскости XOY, то оно задает параболу, значит, рассматривае- мое как уравнение поверхности, оно задает параболический ци- линдр (рис. 95). 4.100 . Построение тел, ограниченных плоскостями и поверхностями второго порядка Методика пространственного построения тел сводится к сле- дующим операциям: 1) определение и описание видов поверхностей по их уравне- ниям; приведение уравнений к каноническому виду; 2) построение сечений тела в координатных плоскостях и определение точек пересечения плоскостей и поверхностей с осями координат; Рис. 93. Пример 1: гиперболоид Рис. 94. Эллиптические параболоиды Рис. 95. Построение параболического цилиндра
- 201. 203 3) определение «габаритных»размеров и построение прямо- угольного параллелепипеда, внутри которого должно находиться тело; 4) пространственное изображение тела по данным, получен- ным в предыдущих пунктах. Пр и м е р. Изобразить тело, огра- ниченное поверхностями 0z = , 0x = , 2 z y= , 2 3 6x y+ = ; Решение: 1) 0z = – координатная плоскость; 0x = – координатная плоскость, 2 z y= – параболический цилиндр с образующими, параллельными оси Ox, 2 3 6x y+ = 1 3 2 x y ⇒ + = – плоскость, параллельная оси Oz и отсекающая на осях Ox и Oy отрезки соответственно 3 и 2; 2) сечения тела в координатных плос- костях приведены на рис. 96; 3–4) наибольшие («габаритные») раз- меры тела: * * * 3, 2, 4x y z= = = . Задачи к разделам 4.90 –4.100 4.6.1. Построить в системе координат цилиндрические по- верхности а) 2 2 1x y+ = ; 2 2 4z y+ = ; 2 2 4 0x z z+ − = ; б) 2 2 9 25 1x z+ = ; 2 2 4 4 8 4 0x y x y+ + − + = ; в) 2 2 144 25 1z y− = ; 2 2 4 4 8 4 0x y x y− + + − = ; г) 2 6y x= − ; 2 4 2 7 0x z x− − − = . 4.6.2. Найти координаты центра и радиус следующих сфер: а) 2 2 2 4 6 12 0x y z x y z+ + + − − = ; б) 2 2 2 8 12 0x y z z+ + − + = . 4.6.3. Составить уравнения круговых цилиндров (рис. 98). Рис. 96. Пример. Сечение тела в координатных плоскостях Рис. 97. Пример: построение тела
- 202. 204 4.6.4. Составить уравне- ниецилиндра, образующие которого параллельны оси OY и касаются сферы x2 + 2 2 1y z+ + = . 4.6.5. Составить уравне- ния поверхностей, получен- ных вращением заданных линий вокруг оси OX: а) ( )1; 2 ; 2 3x y= ; 2y x= ; б) ( )2 2 4 1 16 9 x y− + = ; в) 2 2 1 16 9 x y − = ; 2 2 1 16 9 x y − = − ; г) ( ) ( ) 2 2 2 2 1x y− + − = . 4.6.6. Схематично построить поверхности второго порядка: а) 2 2 2 1 16 9 9 x y z + + = ; 2 2 2 1 16 16 9 x y z + + = ; 2 2 2 1 16 9 16 x y z + + = ; б) 2 2 2 1 16 9 9 x y z − + = ; 2 2 2 1 16 9 9 x y z + − = ; 2 2 2 1 16 9 9 x y z − + + = ; в) 2 2 2 1 16 9 9 x y z − − = ; 2 2 2 1 16 9 9 x y z − − + = ; 2 2 2 1 16 9 9 x y z − + − = ; г) 2 2 2 0 16 9 9 x y z + − = ; 2 2 2 0 16 9 9 x y z − + = ; 2 2 2 0 16 9 9 x y z − + + = ; д) 2 2 9 4 0x y z+ − = ; 2 2 9 4 0x z y+ − = ; 2 2 9 4 0z y x+ + = ; е) 2 2 9 4 0x y z− − = ; 2 2 9 4 0x z y− + = . 4.6.7. Схематично построить поверхности второго порядка: а) 2 2 2 4 9 36 16 18 72 47x y z x y z+ − + − − = ; б) 2 2 9 4 18 8 36 121 0x y x y z+ + − − + = . 4.6.8. Схематично построить поверхности: а) 2 4 0x zy− = ; 2 4 0y zx− = ; б) 2 2 2 2 2 1 0x xy y z z+ + − + − = . 4.6.9. Проверить, пересекаются ли плоскость 3x y z+ + = и эллипсоид 2 2 2 4 4 4x y z+ + = . 4.6.10. По какой линии пересекаются плоскость 1x = и по- верхность 2 2 2 4 9 1x y z+ − = ? Рис. 98. Задача 4.6.3
- 203. 205 4.6.11. Изобразить тело,ограниченное плоскостями: а) 0x = , 0y = , 0z = , 2 3 5 30 0x y z+ − − = ; б) 0z = , y x= , 2y x= , 1x y z+ + = ; в) 2 5 7x y z+ + = , 1y = , 1x = , 0x = , 0y = , 0z = ; г) 3 6 0x y+ − = , 3 2 12x y+ = , x y= , 3z = , 0x = , 0z = ; д) 5 4 5 20x y z+ + = , 2z = , 2,4x = , 0x = , 0y = , 0z = ; е) 3 2 3 12x y z+ + = , 3 6x y+ = , 0x y− = , 0y = , 0z = . 4.6.12. Изобразить тело, ограниченное поверхностями: а) 2 2 4 y z x= + , 1z = ; б) y x= , 6x z+ = , 2y x= , 0z = ; в) 2 3y x= , 1x y+ = , 0y = , 3z = ; г) 2 2 1x y+ = , 2 y z= , 0z = ; д) 2 2 x y z+ = , 2 y x≥ , 2z = ; е) 2 2 2 9x y z+ + = , 3 2 6x z+ ≤ , 0z ≥ . 4.110 . Прикладные задачи по теме «Аналитическая геометрия Технические системы в первом приближении в большинстве случаев рассматриваются как линейные системы и описываются с помощью линейных зависимостей, графики которых являются прямыми и плоскостями. Для освоения основ использования аналитической геометрии для решения физических и технических задач рекомендуется рас- смотреть нижеследующие прикладные задачи для прямых и ли- нейных зависимостей, графиками которых являются прямые. 1. Материальная точка в течение 30 с двигалась равномерно со скоростью 0 20v = м/с, а затем равноускоренно с ускорением 2a = м/с2 . Построить график зависимости ( )v f t= при [ ]0; 50t ∈ . 2. Начальная скорость точки равна 10 м/с. Точка движется прямолинейно, равнозамедленно и останавливается через 100 с. Найти линейную зависимость скорости точки от времени. Опре- делить скорость точки через 20 с после начала движения. 3. Луч света направлен по прямой 2 4 3 y x= − . Дойдя до плос- кости, на которой лежит ось абсцисс, луч отражается. Найти точ- ку встречи луча с плоскостью и уравнение отраженного луча. Пояснения: Угол падения равен углу отражения. Прямой и от- раженный лучи вместе с осью абсцисс лежат в одной плоскости.
- 204. 206 4. По горизонталь- нойжесткой балке ве- сом 2,4 кН медленно катится каток весом 1,3 кН (рис. 99). Найти за- висимость вертикаль- ной реакции опоры В от расстояния оси катка до опоры А. Расстояние между опорами Sм = 5 м. Построить график зависимости ( )BR f x= . Указание: Реакцию BR r найти из уравнения для суммы моментов всех сил относительно точки А. 5. Стержень длиной 0,5 м подвешен за концы с помощью двух тросов. Один из тросов не может выдержать без разрыва си- лу натяжения, превышающую 200 Н. На каком критическом рас- стоянии êðx от точки крепления «слабого» троса можно закрепить груз 1000 Н, чтобы натяжение этого троса равнялось 200 Н. По- строить график зависимости ( )AR f x= при êð 0,5x x≤ ≤ . При решении данной задачи использовать указание к задаче 4. Кривые второго порядка нашли широкое применение при описании траекторий движения небесных тел и других физиче- ских и технических объектов, которые можно представить рас- четной моделью в виде «точки» в кинематике и «материальной точки» в динамике. 6. Меридиан земного шара имеет форму эллипса с отношени- ем полуосей 299 / 300. Найти эксцентриситет меридиана. 7. Земля движется по эллиптической орбите, в одном из фо- кусов эллипса расположено Солнце. Минимальное расстояние от Земли до Солнца приближенно равно 6 147,5 10⋅ км, а наибольшее 6 152,5 10⋅ км. Найти полуоси и эксцентриситет орбиты Земли. 8. Из отверстия бака, расположенного на расстоянии 1,5 от дна, вытекает струя жидкости, имеющая форму параболы 2 6x y= − . На каком расстоянии от края бака по горизонтали пада- ет струя жидкости на землю? Рис. 99. Прикладная задача 4
- 205. 207 9. Камень, брошенныйпод острым углом к горизонту, описал дугу параболы на расстоянии 16 м от места броска. Наибольшая высота, достигнутая камнем, составляет 12 метров. Найти урав- нение параболической траектории камня. Формы многих инженерных сооружений соответствуют при- ближенно кривым второго порядка. (Так, например, в курсе стро- ительной механики будет показано, что рациональная форма трехшарнирной арки, загруженной вертикальной равномерно распределенной нагрузкой, есть парабола. – Ред.) 10. Найти высоту арки моста длиной 24 м, если арка имеет вид параболы 2 6x y= − . 11. Провод подвешен между опорами на одинаковой высоте. Расстояние между опорами равно 20 м. В точке, расположенной на расстоянии 2 м от опоры, величина вертикального провисания провода составляет 14,4 см. Определить величину провисания провода в середине между опорами, принимая форму провисшего провода параболической. Алгебраические кривые второго и более высоких порядков, а также трансцендентные кривые наиболее часто встречаются в инженерных расчетах как траектории точек в различ- ных механизмах. Кривые как траектории обычно определяют в параметриче- ской форме, где роль пара- метра выполняет текущее время. Пр и м е р. Определить траекторию точки M кривошипно- шатунного механизма (рис. 100) в параметрической форме при AM d= . Решение: Необходимо найти ( )Mx x t= , ( )My y t= . sin sin sin sin AC r t r t AC l l = ⇒ α = = α ; 2 cos cos cos 1 sinMx OC CE r t d r t d= + = + α = + − α = Рис. 100. Прикладные задачи. Пример
- 206. 208 2 2 2 cos 1 sin r rt d t l = + − . sin sinMy ME DC AC AE r t d= = = − = − α = ( )sin sin sin r l dr r t d t t l l − = − = . Получены параметрические уравнения замкнутой кривой, ха- рактеризующие траекторию точки M шатуна. После исключения параметра t в прямоугольных координатах получим уравнение кривой четвертого порядка. 12. Определить и построить траекторию точки M в виде ( )y f x= для механизма, показанного на рисунке, при OA AB= , 3AB AM= и 2AB AM= . Кривые как профили плоских ку- лачков в большинстве случаев описы- вают в полярных координатах. Пр и м е р. Пусть необходимо, чтобы в кулачковом механизме толкатель, то- рец которого скользит по профилю ку- лачка, совершает гармонические колеба- ния. Тогда наилучшим конструктивным решением является выполнение профиля кулачка в виде улитки Паскаля (рис. 100.1). В полярных координатах урав- нение улитки Паскаля имеет вид 2 cosr lρ = ϕ+ . Геометрический смысл постоянных параметров (r и l) кри- вой установим из ее построения. Пусть имеется окружность радиуса r , которая проходит через полюс, центр окружности лежит на гори- зонтальной полярной оси OM . В каждом положении полярного радиуса к переменной вели- чине ( )0 1 2, , ,..., 2 cosi iON ON ON ON r= ϕ прибавляется постоянная величина l( )0 0 1 1 2 2 ...N M N M N M= = = . Профиль кулачка зависит от соотношения 2r и l (рис. 100.2). Рис. 100.1. Кулачковый механизм Рис. 100.2. Улитка Паскаля
- 207. 209 За да ни е: построить профили кулачка в виде улитки Паска- ля при r = 10 мм и l = 20 мм и l = 25 мм в полярных координатах, а также зависимость ( )fρ = ϕ в прямоугольных координатах. В технических системах наиболее широкое применение нашли оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы. Из физики известно, что свет, звук, ультразвук отражаются так, что угол падения равен углу отражения. При этом под углом подразумевают угол между лучом и нормалью (перпендикуляром) к касательной в точке падения луча на отражающую поверхность. Если отражающая поверхность имеет форму эллипсоида вращения и в один из фокусов эллипса поместить точечный ис- точник света (звука), то после отражения лучи соберутся в дру- гом фокусе эллипса. Это свойство эллипса используют, в частности, в медицинских приборах для дробления ультразвуком камней в почках. Излуча- тель ультразвука помещают в одном из фокусов отражателя вне ор- ганизма. После отражения ультразвук концентрируется в другом фокусе внутри организма в почечном камне и разрушает его. Если сечение отражателя выполнить в виде ветви гиперболы и в фокусе поместить точечный источник света (звука), то луч будет отражен так, что будет казаться, что излучатель находится в другом фокусе (рис. 101). Рис. 101. Оптические свойства эллипса и гиперболы Для повышения эффективности оптических свойств отража- тели выполняют в виде поверхностей вращения второго поряд- ка.(эллипсоидов и гиперболоидов вращения). Если отражательную поверхность выполнить в виде парабо- лоида вращения, то пучок параллельных лучей света после отра- жения от поверхности концентрируется в фокусе. И наоборот, излучатель в фокусе после отражения создает параллельный пу- чок света. Эти свойства параболы используются в телескопах и радиотелескопах, прожекторах и т.п.
- 208. 210 13. Из левогофокуса эллипса 2 2 1 45 20 x y + = под углом α к оси Ox направлен луч света ( )tg 2α = − . Найти уравнение луча, отра- женного от эллипса. 14. Из правого фокуса гиперболы 2 2 1 5 4 x y − = под углом α 3 ; tg 2 2 π π < α < α = . Найти уравнение луча, отраженного от гиперболы. 15. Зеркальная поверхность прожектора образована вращени- ем параболы вокруг оси симметрии. Диаметр зеркала равен 100 см, глубина зеркала – 20 см. Найти расстояние от вершины параболы до фокуса, в котором необходимо поместить источник света. 16. Найти уравнение параболы, вращением которой образо- вана зеркальная поверхность автомобильной фары. Наибольший диаметр зеркальной поверхности равен 20 см, глубина – 15 см. Ответы к задачам темы «Аналитическая геометрия» 4.1.1. а) 5 5 6 y x= + ; б) 1 6 5 x y − + = ; в) 6 5 30 x t y t = = + . 4.1.2. а) 2 11 0x y− − = ; б) 1 5,5 11 x y − = ; в) 2 11y x= − ; г) см. рис.102. 4.1.3. а) 1L : 3 3 0x y+ − = и 2L : 3 0y x− = ; б) 1,5OABS = , 0,75OACS = . 4.1.4. а) 5 6 7 0x y− + = ; б) 6 5 16 0x y+ − = ; в) 11 23 0x y+ − = и 11 9 0y x− + = . 4.1.5. а) 1 0x y− + = ; б) 3 7 0x y− + = . Рис. 102. Решение задачи 4.1.2, г
- 209. 211 4.1.6. а) ()1;12− или ( )5; 4− − или ( )5; 6− ; б) 1 7 ; 2 2 − или 3 1 ; 2 2 − − или ( )1; 1− ; в) площадь параллелограмма равна удвоенной площади тре- угольника с вершинами , ,A B C . 4.1.7. а) прямые совпадают; б) прямые пересекаются; в) прямые па- раллельны. 4.1.8. 8 11 0x y− + = ; 3 2 0x y+ − = и 5 4 0x y+ + = . 4.1.9. а) прямые попарно пересекаются в трех различных точках; б) прямые попарно пересекаются в трех различных точках; в) первая и третья прямые совпадают, третья их пересекает. 4.1.10. 1 2 0x y+ − − = и 1 2 0x y+ − + = . 4.2.1. а) 1 6 5 15 x y z − + + = ; б) см. рис. 103. 4.2.2. 6 3 2 6 0x y z+ + − = ; 4.2.3. а) 2 3 26 0x y z+ + − = ; б) 2 0x y z− + = ; в) 5 3 2 0x y z− + + = ; г) такой плоскости не суще- ствует; д) 2 2 3 1 0x y z+ − + = . 4.2.4. 3 2 6 0x z+ − = и 2 2 0x y+ − = . 4.2.5. а) 10 5 7 25 0x y z− − + = ; б) log 3xy = . 4.2.6. а) 90°; б) 45° (или 135°). 4.2.7. 288. 4.2.8. Таких плоскостей семь: плоскость, равноудаленная от точки D и плоскости ABC и три аналогичных плоскости; также плоскость, равно- удаленная от двух скрещивающихся прямых AB и CD и две аналогичных плоскости. Найдем уравнение плоскости, равноудаленной от точки D и плоскости ABC . Уравнение плоскости ABC : 2 0x y z+ + − = . Уравнение плоскости, параллельной ABC и проходящей через точку D: 12 0x y z+ + − = . Оче- видно, что искомая плоскость параллельна плоскости ABC и, следова- тельно, ее уравнение имеет вид 0 0x y z C+ + + = . Искомая плоскость должна проходить строго посередине между плоскостями 2 0x y z+ + − = и 12 0x y z+ + − = , поэтому ее уравнение имеет вид 7 0x y z+ + − = . Найдем уравнение плоскости, равноудаленной от двух скрещиваю- щихся прямых AB и CD . Эта плоскость должна быть параллельна векто- рам AB uuur и CD uuur , а, значит, перпендикулярна их векторному произведению ( )4;6; 4n AB CD= × = − − uuur uuurr . Поэтому уравнение плоскости имеет вид 04 6 4 0x y z C− + − + = . Значение постоянной 0C можно будет определить после изучения уравнений прямой в пространстве. Рис. 103. Решение задачи 4.2.1, б
- 210. 212 4.3.1. а) дляодной и той же прямой можно составить бесконечно мно- го различных канонических уравнений. В качестве направляющего вектора прямой можно взять векторное произведение нормальных векторов плос- костей: ( )7;8;10 . В качестве точки, лежащей на прямой можно взять любое частное решение системы 2 3 0 4 5 1 0 x y z z y − + = − + = , например, ( )0,3; 0,2; 0 . Тогда получим канонические уравнения 0,3 0,2 7 8 10 x y z− − = = ; б) Полагая 0,3 0,2 7 8 10 x y z t − − = = = , получим 7 0,3x t= + , 8 0,2y t= + , 10z t= ; в) составим систему линейных уравнений: 2 3 0 5 4 1 6 5 7 x y z y z x y − + = − + = − + = . Если ее определитель не равен нулю, то плоскость и прямая пересе- каются. 2 3 1 0 5 4 82 0 6 5 0 − − = − ≠ . Прямая и плоскость пересекаются. 4.3.2. а) самый простой способ составить общие уравнения – рассмот- реть отдельно каждое из двух равенств и раскрыть пропорции: 5 4 3 0 6 5 3 0 x y y z − + = − + = ; б) 4 1; 5 2; 6 3x t y t z t= + = + = + . 4.3.3. а) например, 2 11 0 5 4 49 0 x y y z − − = − + = ; б) 3 5 6 2 4 5 x y z− + − = = . 4.3.4. а) 3 4 5 1 4 8 x y z− − − = = − − ; б) 3 4 5 3 6 3 x y z− − − = = − − ; в) 3 4 5 3 3 4 x y z− − − = = . 4.3.5. а) плоскость и прямая пересекаются; б) плоскость и прямая па- раллельны. 4.3.6. а) прямые параллельны; б) прямые совпадают; в) прямые скре- щиваются; г) прямые скрещиваются; 4.3.7. а) 2 2 65 − ; б) 1 13 70 − ; в) 909 910 . 4.3.8. 127 3 101 . 4.3.9. 4 5 3 . 4.5.1. 1 1 ; 3 5 a b= = ; 4 15 c = ; 4 5 e = ;
- 211. 213 уравнения директрис: 5 12 x =± (рис. 104). Рис. 104. Решение задачи 4.5.1 Решение задачи 4.5.2 4.5.2. 1 1 ; 12 5 a b= = ; 13 60 c = ; 13 5 e = ; уравнения директрис: 5 156 x = ± ; уравнения асимптот: 12 5 y x= ± (рис. 104). 4.5.3. Фокус 3 ; 0 2 F − , директриса 3 2 x = . 4.5.4. Эллипс 2 2 1 25 16 x y + = , парабола 2 12y x= , гипербола 2 2 1 9 16 x y − = . 4.5.5. а) 2 2 1 169 25 x y + = ; б) 2 2 1 100 36 x y + = ; в) 2 2 1 9 16 x y + = . 4.5.6. 2 2 1 9 16 x y − = . 4.5.7. а) 2 8y x= − ; б) 2 1 3 x y= − . 4.5.8. Таких окружностей четыре: ( ) ( ) 2 2 1 1 1x y− + − = , ( ) ( ) 2 2 1 1 1x y+ + − = , ( ) ( ) 2 2 1 1 1x y− + + = , ( ) ( ) 2 2 1 1 1x y+ + + = . 4.5.9. а) центр ( )2; 0 , радиус равен 2; б) центр 1 ; 0 2 , радиус ра- вен 1 2 ; в) центр ( )1; 3− , радиус равен 10 ; г) центр 2 1; 3 − , радиус равен 4 3 . 4.5.10. См. рис. 105, 106. Рис. 105. Решение задачи 4.5.10 a, б
- 212. 214 Рис. 106. Решениезадачи 4.5.10 в, г 4.5.11. Эллипс ( ) 2 2 10 1 100 576 x y− + = , парабола ( ) ( ) 2 10 10 10x y− = − − . 4.5.12. ( ) 2 2 14 925 9 3 9 x y + + + = . 4.5.13. Пусть координаты точек: ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , , ,x y x y x y . Эти точки не должны лежать на одной прямой. Используя условие коллинеарности векторов, получим искомое условие: 2 1 2 1 3 1 3 1 x x y y x x y y − − ≠ − − . 4.5.14. 2 2 1 128 128 3 5 x y + = . 4.5.15. ( ) ( ) 2 2 7 4 1 49 16 x y− − + = . 4.5.16. Полуоси 2; 1a b= = ; фокусное расстояние 3c = ; эксцентри- ситет 3 2 e = ; уравнения директрис: 4 2 3 x = − ± . 4.5.17. Полуоси 2; 1a b= = ; фокусное расстояние 5c = ; эксцентри- ситет 5 2 e = ; уравнения директрис: 4 2 5 x = − ± ; уравнения асимптот: ( ) 1 1 2 2 y x− = ± + . 4.5.18. Фокус ( )1; 1F − , директриса 3y = − . Фокус ( )1;1F − , директри- са 3x = − . 4.5.19. См. рис. 107. Рис. 107. Решение задачи 4.5.19
- 213. 215 4.5.20. 1 3 ;2 2 M − и ( )2 3;11M . 4.5.21. Четыре точки: 1,2,3,4 5 3 5 ; 12 17 17 M ± ± . 4.5.22. а) 2 3 7 0y x+ + = ≠; б) 2 9 4 2 4 x x y = − + ; в) 3 5 y x= ; г) 2 2 1x y+ = ; д) 2 2 1 4 9 x y + = . 4.5.23. Циклоида: ( ) ( )sin , 1 cosx R t t y R t= − = − . 4.5.24. Эпициклоида 4cos cos4 , 4sin sin2x t t y t t= − = − . 4.5.25. Гипоциклоида 2cos cos2 , 2sin sin2x t t y t t= + = − . 4.5.26. См. рис. 108, 109. Рис. 108. Решение задачи 4.5.26, а, б Рис. 109. Решение задачи 4.5.26, в, г 4.5.27. а) спирали Архимеда; б) окружности; в) см. рис. 110; г) двух- лепестковая «роза» Декарта, повернутая против часовой стрелки на 45° и трехлепестковая роза Декарта, повернутая против часовой стрелки на 30°; д) Кардиоида и результаты ее поворота против часовой стрелки на 180°, 90° и 270° соответственно; е) см. рис. 111; ж) лемниската Бернулли и она же, повернутая на 45° против часовой стрелки. Рис. 110. Решение задачи 4.5.27, в
- 214. 216 Рис. 110. Решениезадачи 4.5.27, е 4.5.28. а) параболы; б) гиперболы; в) эллипсы. Указание: перейти к прямоугольной системе координат. 4.5.29. а) 5ρ = ; б) 2 2 sin 8 cos 16ρ ϕ− ρ ϕ = ; в) ( )4 1 sinρ = − ϕ . 4.6.1. а) см. рис. 112; б) см. рис. 113; в) гиперболические цилиндры; г) параболические цилиндры. Рис. 112. Решение задачи 4.6.1, а Рис. 112. Решение задачи 4.6.1, б 4.6.2. а) центр ( )2; 3; 6− , радиус равен 7; б) центр ( )0; 0; 4 , радиус равен 2. 4.6.3. ( ) 22 5 25x y+ − = ; ( ) 22 5 4x z+ − = . 4.6.4. 2 2 1x y+ = . 4.6.5. а) 2 2 2y z x+ = ; ( )4 2 2 9x y z= + ; 2 2 2 4y z x+ = ; б) ( ) 2 2 2 4 1 16 9 9 x y z− + + = ; в) 2 2 2 1 16 9 9 x y z − − = ; 2 2 2 1 16 9 9 x y z − − = − ; г) ( )( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 3 16x y z y z− + + + = + . 4.6.6. а) эллипсоиды вращения с осями симметрии , ,OX OZ OY соот- ветственно; б) однополостные гиперболоиды вращения с осями симметрии , ,OY OZ OX соответственно; в) двуполостные гиперболоиды вращения с осями симметрии , ,OX OZ OY соответственно; г) круговые конусы с ося-
- 215. 217 ми симметрии ,,OZ OY OX соответственно; д) эллиптические параболои- ды; е) гиперболические параболоиды. 4.6.7. а) однополостный гиперболоид вращения с осью, параллельной координатной оси OZ , центром в точке ( )2; 1; 1− − и полуосями 3; 2; 1a b c= = = ; б) эллиптический параболоид с вершиной в точке ( )1;1;3− , направленный вдоль положительного направления оси OZ . 4.6.8. а) круговой конус, осью симметрии которого является прямая 0x z y = = и круговой конус с осью симметрии 0y x z = = ; б) пара пересекающих- ся плоскостей 1 0x y z+ + − = и 1 0x y z+ − + = . 4.6.9. Не пересекаются. 4.6.10. По паре пересекающихся прямых. 4.6.11. См. рис. 114–116. Рис. 114. Решение задачи 4.6.11, а, б Рис. 115. Решение задачи 4.6.11, в, г
- 216. 218 Рис. 116. Решениезадачи 4.6.11, в, г 4.6.12. См. рис. 117–119. Рис. 117. Решение задачи 4.6.12, а, б Рис. 118. Решение задачи 4.6.12, в, г Рис. 119. Решение задачи 4.6.12, д, е Требования к практическому усвоению темы «Аналитическая геометрия (кривые линии и поверхности)» Студент должен знать: 1. Общие сведения о кривых линиях на плоскости в про- странстве (уравнения кривых линий в прямоугольных координа- тах и в параметрической форме; алгебраические и трансцендент- ные кривые). 2. Две основных задачи аналитической геометрии кривых.
- 217. 219 3. Алгебраические кривыевторого порядка (окружность, эл- липс, гипербола, парабола): определения, характеристические свойства, канонические уравнения, уравнения в параметрической форме (для окружности и эллипса); основные понятия, использу- емые при описании кривых (полуоси, фокусные расстояния, экс- центриситеты, директрисы, асимптоты). 4. Уравнения плоских кривых второго порядка в параллельно смещенных осях; способ приведения этих уравнений к канониче- скому виду (дополнение до полных квадратов). 5. Приведение уравнений плоских кривых второго порядка к каноническому виду с поворотом координатных осей. 6. Трансцендентные плоские кривые (определение), исполь- зование полярной системы координат и уравнений кривых в па- раметрической форме. 7. Алгебраические поверхности второго порядка (определе- ние, приведение уравнений поверхностей к каноническому виду, канонические уравнения и изображения в канонических осях эл- липсоидов, гиперболоидов, параболоидов, цилиндров и конусов). 8. Приведение уравнений поверхностей второго порядка в параллельно смещенных осях к каноническому виду. 9. Методика построения тел, ограниченных плоскостями и поверхностями второго порядка. Студент должен уметь: 1. Строить кривые второго порядка в канонических осях, определять параметры кривых, проверять правильность построе- ния кривых по характеристическим свойствам. 2. Составлять уравнения кривых второго порядка по услови- ям задач. 3. Приводить кривые второго порядка в параллельно сме- щенных осях к каноническому виду. 4. Приводить кривые второго порядка к каноническому виду в общем случае с использованием поворота осей координат. 5. Строить трансцендентные кривые в полярной системе ко- ординат и прямоугольных координатах с использованием урав- нений кривых в параметрической форме. 6. Составлять уравнения трансцендентных кривых, определя- емых кинематическим способом как сложное движение точки.
- 218. 220 7. Строить алгебраическиеповерхности второго порядка в канонических и параллельно смещенных осях с использованием метода сечений. 8. Выполнять на плоскости трехмерные изображения тел, ограниченных плоскостями и поверхностями второго порядка, определять габаритные размеры тел.
- 219. 221 Приложение Исходные положения математического моделированияв технике и их приложения к решению прикладных задач При любом виде моделирования исследуемый объект (объект- оригинал) заменяется другим объектом (моделью), который фактиче- ски и исследуется. Затем результаты исследования переносятся на оригинал. При математическом моделировании объект-оригинал заменяют математической моделью, которую исследуют методами математики. Математическая модель объекта-оригинала (существующего, проектируемого, виртуального) представляет собой совокупность уравнений, неравенств и других математических соотношений, со- ставленных исходя из цели исследования на основе формализованных эмпирических данных, теоретических представлений и предположе- ний об объекте и его взаимосвязях с другими объектами. Рассмотрим основные этапы решения реальных прикладных за- дач методом математического моделирования, которые приведены на схеме (рис. П1.1). Рис. П1.1. Основные этапы решения реальных прикладных задач методом математического моделирования П е р в ы й э т а п. Разработка формализованной модели пред- метной области задачи, исходя из цели решения, на основе исходных данных, эмпирических и теоретических представлений и предполо- жений (гипотез) об объектах задачи, их свойствах и взаимосвязях, со- держащихся в описании предметной области задачи.
- 220. 222 При этом используютбазовые расчетные схемы и идеальные объекты, принятые в физике и технических науках физико-математи- ческого цикла (материальные точки, абсолютно твердые тела и т.п.). В т о р о й э т а п. Составление математической модели предмет- ной области задачи, соответствующей формализованной модели, в виде уравнений, неравенств и других математических соотношений, интерпретированных на языке формализованной модели. Замечание: при составлении формализованной и математической моделей задачи за основу принимают базовые формализованные и математические моде- ли из физики и общетехнических наук физико-математического цикла (теорети- ческая механика, сопротивление материалов, электротехника, теория автомати- ческого управления и т.д.). Т р е т и й э т а п. Формулировка и решение математических задач, соответствующих цели решения и математической модели. Замечание: Если возможно, то решение математических задач проводятся на языке предметной области задачи. Ч е т в е р т ы й э т а п. Проверка и анализ решения математических задач на языке предметной области задачи. Принятие управленческо- го решения о достижении цели решения прикладной задачи. Чтобы выработать устойчивые навыки активного использования математического моделирования в инженерной деятельности необхо- димо при решении прикладных задач обращать особое внимание на первый и второй этапы. Необходимо в явном виде выделять основные утверждения и предположения, при которых справедлива разработан- ная математическая модель задачи. Эта неформализованная часть разработки математической моде- ли очень важна и должна выполняться, в основном, инженерами. Ошибки, допущенные на этих этапах, обесценивают дальнейшие ис- следования, а применение компьютера создает только иллюзию до- стоверности и точности решения прикладной задачи. Многочисленные попытки привлечь математиков к разработке математических моделей конкретных инженерных объектов во мно- гих случаях не приводят к успеху. Обобщая этот печальный опыт, академик Н.Н. Моисеев писал: «…чтобы справиться (математику) с инженерной задачей, надо отчетливо понимать ее содержание, т.е. самому сделаться инженером. Математику приходится искать то «жемчужное зерно», которое впоследствии он назовет моделью. Не- понимание этого принципа часто приводит к тому, что прекрасно подготовленный юноша-математик, оказавшись в промышленности,
- 221. 223 так и ненаходит своего места…» (Н.Н. Моисеев. Математика ставит эксперимент. М.: Наука, 1979). Таким образом, без практического овладения инженером техно- логией разработки эффективных математических моделей нельзя в полной мере реализовать огромные потенциальные возможности ускорения технического прогресса, заложенные в вычислительной технике. Пример решения реальной прикладной задачи Задача. Найти способ экспериментальной количественной оцен- ки энергетических потерь в редукторах при изменении полезной нагрузки, различных дестабилизирующих воздействиях (холод, ваку- ум, ротация и т.д.), конструктивных и технологических изменениях (смена вида смазки, материала, технологии обработки и т.п.). Оценка должна проводиться с точностью не более 10 % при минимальном ко- личестве экспериментов. Замечание 1: для решения данной задачи достаточны знания школьных курсов физики и математики. Замечание 2: задача взята из инженерной практики одного из соавторов и адаптирована для учебных целей. П е р в ы й э т а п. Разработка формализованной модели на основе известных экспериментальных данных и теоретических представле- ний о потерях в передаточных механизмах (редукторах). Редуктор – это передаточный механизм, обычно содержащий зубчатые передачи и позволяющий уменьшить скорость выходного вала в u раз (u – передаточное число редуктора, âõ âû õ u ω = ω , где âõω , âû õω – угловые скорости входного и выходного вала редуктора, constu = ). Энергетические потери в редукторах оценивают с помощью ко- эффициента полезного действия (КПД) í ä N N η = , 0 1< η < , (П1.1) где íN – мощность полезной нагрузки на выходном валу редуктора; äN – мощность движущих сил на входном валу редуктора. В установившемся режиме движения ( âõ constω = ) имеет место равенство
- 222. 224 ä í ïí õN N N N= + + , (П1.2) где ï íN – мощность потерь в редукторе от действия полезной нагруз- ки ( í 0N ≠ ); õN – мощность потерь холостого хода (при í 0N = ). Потери холостого хода не связаны с действием полезной нагруз- ки. Поэтому кроме (П1.1) вводят нагрузочный КПД, характеризую- щий потери только от действия полезной нагрузки í ï î ä x N N N η = − . (П1.3) Из (П1.3) и (П1.1) следует, что всегда ï îη < η . Эксперимен- тальные зависимости ( )äf Nη = для различных типов редукторов с цилиндрическими, коническими, червячными зуб- чатыми передачами имеют вид плавно возрастающей ограни- ченной функциональной зави- симости. На рис. П1.2 приведен пример таких зависимостей. На основе анализа известных экспериментальных данных и теоретических представлений можно выдвинуть следующие гипотезы: 1. При дестабилизирующих воздей- ствиях, конструктивных и технологиче- ских изменениях вид зависимости ( )äf Nη = сохраняется, но изменяются числовые значения õN и ï îη (во всех случаях функция ( )äf Nη = является не- прерывной и возрастающей). 2. В установившемся движении ре- дуктора, при стационарных дестабилизи- рующих воздействиях, фиксированных технологических и конструк- тивных изменениях, величины õN и ï îη являются постоянными (па- раметрами), но их числовые значения различны при разных видах и Рис. П1.2. Зависимость КПД редуктора от мощности движущих сил в нормальных условиях (НУ), на холоде (–50 °С) и на центрифуге при ускорении 30g ≈ 294 м/с2 Рис. П1.3. График η = f (Ng)
- 223. 225 уровнях дестабилизирующих воздействийи изменениях технологии и конструкции. Поэтому влияние указанных воздействий и изменений можно однозначно оценивать с помощью постоянных параметров õN и ï îη . 3. Зависимость ( )äf Nη = является гиперболической. Прямая ï î constη = является одной из асимптот графика этой зависимости. В т о р о й э т а п. Составление математической модели. Эта модель должна позволить: – выразить КПД редуктора через параметры õN и ï îη в явном виде; – найти условия, при которых предположения 1–3 выполняются. Исходя из формул (П1.1), (П1.3) получим ä õ ä õí í õ ï î ä ä õ ä õ ä ä 1 N N N NN N N N N N N N N N − − η = ⋅ = = η − − − . (П1.4) График функции (П1.4) будет соответствовать ветви равнобочной гиперболы в параллельно-смещенных осях, если параметры õN и ï îη будут постоянными величинами (рис. П1.3). Очевидно, что в установившемся движении ( âõ = constω , constu = ) редуктора мощность потерь холостого хода ( õN ) при í 0N = будет постоянной величиной. Определим, при каких условиях будет постоянным нагрузочный КПД ( ï îη ) í í í ï î ä õ í ï í õ õ í ï í N N N N N N N N N N N η = = = − + + − + . (П1.5) Из (П1.5) следует, что ï îη будет постоянной величиной, если принять, что мощность потерь под нагрузкой имеет вид ï í 1 íN N= ψ , где 1ψ – постоянный коэффициент пропорциональности (коэффици- ент нагрузочных потерь). В этом случае из (П1.5) имеем í ï î í 1 í 1 1 const 1 N N N η = = = + ψ + ψ (П1.6) Справедливость предположения, что мощность потерь под нагрузкой ï íN пропорциональна мощности нагрузки
- 224. 226 ï í 1íN N= ψ при 1 constψ = (П1.7) необходимо обосновать. Допустим, что мы не располагаем достаточными материалами и знаниями для такого обоснования. Поэтому примем предположение (П1.7) как рабочую гипотезу. Косвенным подтверждением этой гипо- тезы является близкий к гиперболическому характер эксперименталь- ных зависимостей ( )äf Nη = (рис. П1.3). Т р е т и й э т а п. Формулировка и решение математических задач, соответствующих математической модели. Из этапов 1 и 2 следует, что математическая модель для опреде- ления зависимости КПД нагруженного редуктора от мощности дви- жущих сил имеет вид õ ï î ä 1 N N η = η − при õ constN = и í ï î í ï í const N N N η = = + . (П1.8) Используя эту модель, необходимо решить следующую матема- тическую задачу: найти расчетные формулы, позволяющие выразить параметры ï îη и õN через измеряемые величины äN и íN при ми- нимальном количестве экспериментов. Известно, что две неизвестных величины можно найти из сов- местного решения двух алгебраических уравнений. Используя обо- значения математических величин из предметной области задачи и результаты двух экспериментов для двух фиксированных значений мощности нагрузки (1) íN и (2) íN и мощности движущих сил (1) äN и (2) äN , из формул (П1.8) получим ( )1(1) (1) (1) ä ï î ä í (2) (2) (2) (2) ä ï î ä í N N N N N N η −α = η = η −α = η = , (П1.9) где ï î õNα = η – const. Из (П1.9) следует (2) (2) (1) (1) (2) (1) ä ä í í ï î (2) (1) (2) (1) ä ä ä ä N N N N N N N N η − η − η = = − − ; (П1.10) (1)(1) (1) (1) í õ ä ä ï î ï î 1 N N N N η = − = − η η . (П1.11)
- 225. 227 При (1) í 0N= (режим холостого хода привода) из (П1.10) и (П1.11) получим (2) í ï î (2) ä õ N N N η = − . (П1.12) Таким образом, для определения зависимости ( )äf Nη = в нор- мальных условиях, при дестабилизирующих воздействиях, при кон- структорских и технологических изменениях, достаточно двух экспе- риментов. При том один из экспериментов можно проводить при не- нагруженном редукторе ( í 0N = ) в режиме холостого хода. Ч е т в е р т ы й э т а п. Проверка и анализ решения математической задачи на языке предметной области прикладной задачи. Проверка полученных расчетных формул (П1.8), (П1.10), (П1.11), (П1.12) проводилась на базе известных экспериментальных данных, имеющих не менее трех различных числовых значений величин ( )i η и ( ) ä i N , по следующей методике: 1) результаты двух экспериментов использовались для определе- ния параметров ï îη и õN по формулам (П1.10), (П1.11) или (П1.12); 2) вычислялись значения КПД в остальных экспериментальных точках, не использованных в п. 4.1 по формулам (П1.8); 3) из сравнения вычисленных значений КПД в п. 4.2 и экспери- ментальных значений КПД, определенных по формуле (П1.1), нахо- дилась относительная погрешность расчетных и измеренных значе- ний КПД. Результаты проверки по данной методике для различных типов приводов (более 10 типов) показали, что несовпадение расчетных и экспериментальных данных в нормальных условиях не превыси- ло 5 %± . Проверка расчетных зависимостей проводилась также на экспери- ментальных данных для тягового привода мотор-колеса «Лунохода-1», опубликованных в книге «Передвижная лаборатория на Луне» – «Лу- ноход-1». М.: Наука, 1978. Т. 2. С. 47–66. Результаты расчетов приведены в таблице Условия измерения КПД привода ( )gf Mη = Результаты расчетов по п. 4.1 x , MM H í îη 1. В нормальных условиях на Земле 0,028 0,98 2. При движении «Лунохода-1» по Луне* 0,034 0,98
- 226. 228 * При движениипо лунной поверхности КПД тягового привода мотор- колеса «Лунохода-1» изменялся от 0,5 до 0,8. Несовпадение расчетных (п. 4.2) и экспериментальных данных не превысило 10 %. Примечания: 1. На основе данной модели разработано три способа измере- ния КПД приводов при дестабилизирующих воздействиях на уровне изобрете- ний (а.с. 354300, 433368, 516919). 2. Для редукторов с существенно деформирующимися звеньями (например, волновых редукторов) приведенная математическая модель должна быть услож- нена (подробности в статье Остроменского П.И. К теории экспериментальных методов определения энергетических потерь в передаточных механизмах // Ма- шиноведение. 1984. № 6. С. 38–41).
- 227. 229 Список литературы Основная литература 1.Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. 1. Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2008. 159 с. 2. Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. 2. Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2008. 159 с. 3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 1. М.: Рольф, 2000. 288 с. И более поздние издания. 4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1994. 374 с. И более поздние издания. 5. Каган М.Л., Самохин М.В. Математика в инженерном вузе: Ал- гебра и геометрия. М.: Стройиздат, 2003. 208 с. Дополнительная литература 1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. М.: Высшая школа, 1999. 304 с. И более поздние издания. 2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 1970. И более поздние издания. 3. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука, 1986. 320 с. И более поздние издания. 4. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука, 1976. 870 с. И более поздние издания 5. Бёрд Дж. Инженерная математика: карманный справочник. – М.: Додэка –XXI, 2008. 544 с. 6. Математический энциклопедический словарь. М.: Большая российская энциклопедия, 1998. 846 с. 7. Мантуров О.В., Солнцев Ю.К. и др. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 1 и 2. М.: Просвещение, 1978. И более поздние издания. 8. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1972. 400 с.
- 228.
- 229.
- 230.
- 231.
- 232. 234 Учебное издание Вылегжанин ИгорьАльбертович Пожидаев Александр Васильевич Остроменский Петр Иванович Шандаров Леонид Гаврилович Практикум по высшей математике для технических специальностей Часть I Редактор П.В. Грес Компьютерная верстка Н.Н. Садовщикова Изд. лиц. ЛР № 021277 от 06.04.98 Подписано в печать 12.05.2011 14,25 печ. л. 11,6 уч.-изд. л. Тираж 200 экз. Заказ № 2407 Издательство Сибирского государственного университета путей сообщения 630049, Новосибирск, ул. Д. Ковальчук, 191 Тел./факс: (383) 328-03-81. E-mail: press@stu.ru