1) Διανομή σε Υποδοχές
1.1) Διανομή Ομοίων Αντικειμένων σε Υποδοχές
1.2) Διανομή Διαφορετικών Αντικειμένων Χωρίς Σειρά σε Υποδοχές
1.3) Διανομή Διαφορετικών Αντικειμένων Με Σειρά σε Υποδοχές
2) Γνωστά Προβλήματα Διατάξεων
2.1) Εξίσωση
3) Μεθοδολογία Ασκήσεων
3.1) Διανομή Ομάδων Ομοίων
3.2) Διανομή Ομοίων με Περιορισμό
3.3) Διάταξη με Εμφύτευση Υποδοχών
Ασκήσεις
1) Διανομή σε Υποδοχές
1.1) Διανομή Ομοίων Αντικειμένων σε Υποδοχές
1.2) Διανομή Διαφορετικών Αντικειμένων Χωρίς Σειρά σε Υποδοχές
1.3) Διανομή Διαφορετικών Αντικειμένων Με Σειρά σε Υποδοχές
2) Γνωστά Προβλήματα Διατάξεων
2.1) Εξίσωση
3) Μεθοδολογία Ασκήσεων
3.1) Διανομή Ομάδων Ομοίων
3.2) Διανομή Ομοίων με Περιορισμό
3.3) Διάταξη με Εμφύτευση Υποδοχών
Ασκήσεις
1) Σύνολο Τύπων
1.1) Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
1.2) Μη Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
2) Ταυτολογική Συνεπαγωγή
2.1) Συμβολισμός της ταυτολογίας
3) Ταυτολογικά Ισοδύναμοι Τύποι
Ασκήσεις
1) Στόχος της Συνδυαστικής
2) Τρόποι Απαρίθμησης
2.1) Καταμέτρηση
2.2) Αρχές Απαρίθμησης
2.2.1) Ο κανόνας του αθροίσματος
2.2.2) Ο κανόνας του γινομένου
2.3) Γενίκευση των Αρχών Απαρίθμησης
2.4) Μαθηματικοί τύποι της Συνδυαστικής
Ασκήσεις
1) Το αξιωματικό σύστημα του Προτασιακού Λογισμού (ΠΛ)
1.1) Ορισμός του Αξιωματικού Συστήματος ΠΛ
2) Τι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σε μια τυπική απόδειξη
2.1) Υποθέσεις του Συνόλου Τύπων
2.2) Ο αποδεικτικός κανόνας Modus Ponens
2.3) Τα αξιωματικά σχήματα ΑΣ1-ΑΣ3
2.3.1) Το αξιωματικό σχήμα 1
2.3.2) Το αξιωματικό σχήμα 2
2.3.3) Το αξιωματικό σχήμα 3
2.3.4) Προς τα εμπρός συλλογιστική
2.3.5) Προς τα πίσω συλλογιστική
2.4) Τυπικά Θεωρήματα
2.5) Τυπικές Συνεπαγωγές
3) Μεθοδολογία
3.1) Προς τα εμπρός συλλογιστική
3.2) Προς τα πίσω συλλογιστική
Ασκήσεις
1) Ορισμός Αλήθειας Tarski
1.1) Ο κανόνας της ισότητας
1.2) Ο κανόνας του κατηγορηματικού συμβόλου
1.3) Ο κανόνας του μονοθέσιου συνδέσμου ¬
1.4) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∧
1.5) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∨
1.6) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου →
1.7) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ↔
1.8) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∀
1.9) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∃
2) Εύρεση Αλήθειας Τύπου
2.1) Μεθοδολογία
2.2) Παραδείγματα
3) Ικανοποιήσιμος Τύπος
3.1) Ορισμός
3.2) Παραδείγματα
4) Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
4.1) Ορισμός
4.2) Παραδείγματα
5) Έγκυρος ή Λογικά Αληθής Τύπος
5.1) Ορισμός
5.2) Παραδείγματα
6) Λογική Συνεπαγωγή
6.1) Ορισμός
6.2) Παραδείγματα
Ασκήσεις
1) Θεωρήματα του Προτασιακού Λογισμού
1.1) Το Θεώρημα Απαγωγής
1.2) Το Θεώρημα Αντιθετοαναστροφής
1.3) Το Θεώρημα Απαγωγής σε Άτοπο
1.4) Το Θεώρημα Εγκυρότητας
1.5) Το Θεώρημα Πληρότητας
2) Τρία Σημαντικά Τυπικά Θεωρήματα
2.1) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ φ→φ
2.2) Το τυπικό Θεώρημα ⊢φ→¬¬φ
2.3) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ ¬¬ φ→φ
Ασκήσεις
1) Σύνολο Τύπων
1.1) Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
1.2) Μη Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
2) Ταυτολογική Συνεπαγωγή
2.1) Συμβολισμός της ταυτολογίας
3) Ταυτολογικά Ισοδύναμοι Τύποι
Ασκήσεις
1) Στόχος της Συνδυαστικής
2) Τρόποι Απαρίθμησης
2.1) Καταμέτρηση
2.2) Αρχές Απαρίθμησης
2.2.1) Ο κανόνας του αθροίσματος
2.2.2) Ο κανόνας του γινομένου
2.3) Γενίκευση των Αρχών Απαρίθμησης
2.4) Μαθηματικοί τύποι της Συνδυαστικής
Ασκήσεις
1) Το αξιωματικό σύστημα του Προτασιακού Λογισμού (ΠΛ)
1.1) Ορισμός του Αξιωματικού Συστήματος ΠΛ
2) Τι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σε μια τυπική απόδειξη
2.1) Υποθέσεις του Συνόλου Τύπων
2.2) Ο αποδεικτικός κανόνας Modus Ponens
2.3) Τα αξιωματικά σχήματα ΑΣ1-ΑΣ3
2.3.1) Το αξιωματικό σχήμα 1
2.3.2) Το αξιωματικό σχήμα 2
2.3.3) Το αξιωματικό σχήμα 3
2.3.4) Προς τα εμπρός συλλογιστική
2.3.5) Προς τα πίσω συλλογιστική
2.4) Τυπικά Θεωρήματα
2.5) Τυπικές Συνεπαγωγές
3) Μεθοδολογία
3.1) Προς τα εμπρός συλλογιστική
3.2) Προς τα πίσω συλλογιστική
Ασκήσεις
1) Ορισμός Αλήθειας Tarski
1.1) Ο κανόνας της ισότητας
1.2) Ο κανόνας του κατηγορηματικού συμβόλου
1.3) Ο κανόνας του μονοθέσιου συνδέσμου ¬
1.4) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∧
1.5) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∨
1.6) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου →
1.7) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ↔
1.8) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∀
1.9) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∃
2) Εύρεση Αλήθειας Τύπου
2.1) Μεθοδολογία
2.2) Παραδείγματα
3) Ικανοποιήσιμος Τύπος
3.1) Ορισμός
3.2) Παραδείγματα
4) Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
4.1) Ορισμός
4.2) Παραδείγματα
5) Έγκυρος ή Λογικά Αληθής Τύπος
5.1) Ορισμός
5.2) Παραδείγματα
6) Λογική Συνεπαγωγή
6.1) Ορισμός
6.2) Παραδείγματα
Ασκήσεις
1) Θεωρήματα του Προτασιακού Λογισμού
1.1) Το Θεώρημα Απαγωγής
1.2) Το Θεώρημα Αντιθετοαναστροφής
1.3) Το Θεώρημα Απαγωγής σε Άτοπο
1.4) Το Θεώρημα Εγκυρότητας
1.5) Το Θεώρημα Πληρότητας
2) Τρία Σημαντικά Τυπικά Θεωρήματα
2.1) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ φ→φ
2.2) Το τυπικό Θεώρημα ⊢φ→¬¬φ
2.3) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ ¬¬ φ→φ
Ασκήσεις
1) The document discusses a new method for analyzing genetic data that provides higher resolution and more accurate results.
2) It presents a new algorithm and computational approach that allows for improved detection of genetic variants from DNA sequencing data.
3) This new technique provides a more detailed understanding of genetic variations and promises to help advance the fields of medicine and biology.
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)Dimitris Psounis
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1.Διαχείριση Μνήμης
1.1.Στατική Δέσμευση Μνήμης
1.2.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Συνήθεις Μεταβλητές
1.3.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Αντικείμενα
2.Δυναμική Δέσμευση Μνήμης
2.1.Δείκτες (Υπενθύμιση από C)
2.2.Οι τελεστές new και delete
2.3.Δυναμική Δέσμευση για Συνήθεις Μεταβλητές
2.4.Δυναμική Δέσμευση για Αντικείμενα
2.5.Δυναμική Δέσμευση και Κατασκευαστές
3.Κλάσεις που περιέχουν δείκτες
3.1.Παράδειγμα κλάσης που περιέχει δείκτες
3.2.…και ένα πρόβλημα (χωρίς λύση για την ώρα)
4..Δυναμική Δέσμευση Μνήμης για Πίνακες
4.1.Μονοδιάστατοι πίνακες
4.2.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για μονοδιάστατους πίνακες
4.3.Διδιάστατοι πίνακες
4.4.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για διδιάστατους πίνακες
B. Ασκήσεις
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1.Διαχείριση Μνήμης
1.1.Στατική Δέσμευση Μνήμης
1.2.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Συνήθεις Μεταβλητές
1.3.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Αντικείμενα
2.Δυναμική Δέσμευση Μνήμης
2.1.Δείκτες (Υπενθύμιση από C)
2.2.Οι τελεστές new και delete
2.3.Δυναμική Δέσμευση για Συνήθεις Μεταβλητές
2.4.Δυναμική Δέσμευση για Αντικείμενα
2.5.Δυναμική Δέσμευση και Κατασκευαστές
3.Κλάσεις που περιέχουν δείκτες
3.1.Παράδειγμα κλάσης που περιέχει δείκτες
3.2.…και ένα πρόβλημα (χωρίς λύση για την ώρα)
4..Δυναμική Δέσμευση Μνήμης για Πίνακες
4.1.Μονοδιάστατοι πίνακες
4.2.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για μονοδιάστατους πίνακες
4.3.Διδιάστατοι πίνακες
4.4.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για διδιάστατους πίνακες
B. Ασκήσεις
Α. Θεωρία
1. Κλάσεις
1.1 Γενικά
1.2 Ορισμός Κλάσης
1.3 Δημόσια (public) στοιχεία της κλάσης
1.4 Ιδιωτικά (private) στοιχεία της κλάσης
1.5 Παράδειγμα (προδιαγραφές)
2 Περισσότερα για τις κλάσεις
2.1 Ορισμός Συναρτήσεων έξω από την Κλάση
2.2 Παρουσίαση Ιδιωτικών – Δημόσιων Μέλων μιας κλάσης
2.3 Χωρισμός σε Αρχεία
3. Ειδικές Μεθόδοι Κλάσεων
3.1 Γενικά
3.2 Κατασκευαστής (constructor)
3.3 Καταστροφέας (destructor)
3.4 Ελεγκτές Πρόσβασης (accessors)
B. Ασκήσεις
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Dimitris Psounis
Α. Θεωρία
1. Κλάσεις
1.1 Γενικά
1.2 Ορισμός Κλάσης
1.3 Δημόσια (public) στοιχεία της κλάσης
1.4 Ιδιωτικά (private) στοιχεία της κλάσης
1.5 Παράδειγμα (προδιαγραφές)
2 Περισσότερα για τις κλάσεις
2.1 Ορισμός Συναρτήσεων έξω από την Κλάση
2.2 Παρουσίαση Ιδιωτικών – Δημόσιων Μέλων μιας κλάσης
2.3 Χωρισμός σε Αρχεία
3. Ειδικές Μεθόδοι Κλάσεων
3.1 Γενικά
3.2 Κατασκευαστής (constructor)
3.3 Καταστροφέας (destructor)
3.4 Ελεγκτές Πρόσβασης (accessors)
B. Ασκήσεις
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1. Η Γλώσσα C++
1.1. Γενικά
1.2. Ιστορία – Εκδόσεις
1.3. Η αναγκαιότητα της C
1.4. Μεταγλωττιστές
2. Hello World!
2.1. Πηγαίος Κώδικας
2.2. Σχόλια
2.3. Βιβλιοθήκη iostream
2.4. main, block κώδικα, return
2.5 Είσοδος/Έξοδος
2.5.1. Έξοδος με την cout
2.5.2. Οδηγία using
2.5.3. Περισσότερα για την cout
2.5.4. Είσοδος με την cin
3. Στοιχεία της C
3.1. Μεταβλητές
3.2. Σταθερές
3.3. Τελεστές και η Δομή Ελέγχου
3.4. Δομές Επανάληψης
3.5. Συναρτήσεις
3.5.1. Πολυμορφισμός Συναρτήσεων
3.6. Πίνακες
3.7. Συμβολοσειρές
3.8. Δείκτες
B.Ασκήσεις
Εφαρμογή 1
Εφαρμογή 2
Εφαρμογή 3
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)Dimitris Psounis
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1. Η Γλώσσα C++
1.1. Γενικά
1.2. Ιστορία – Εκδόσεις
1.3. Η αναγκαιότητα της C
1.4. Μεταγλωττιστές
2. Hello World!
2.1. Πηγαίος Κώδικας
2.2. Σχόλια
2.3. Βιβλιοθήκη iostream
2.4. main, block κώδικα, return
2.5 Είσοδος/Έξοδος
2.5.1. Έξοδος με την cout
2.5.2. Οδηγία using
2.5.3. Περισσότερα για την cout
2.5.4. Είσοδος με την cin
3. Στοιχεία της C
3.1. Μεταβλητές
3.2. Σταθερές
3.3. Τελεστές και η Δομή Ελέγχου
3.4. Δομές Επανάληψης
3.5. Συναρτήσεις
3.5.1. Πολυμορφισμός Συναρτήσεων
3.6. Πίνακες
3.7. Συμβολοσειρές
3.8. Δείκτες
B.Ασκήσεις
Εφαρμογή 1
Εφαρμογή 2
Εφαρμογή 3
1. • Διακρίνουμε διαφορετικές περιπτώσεις
για αυτό που μετράμε
• Συμβαίνει ή το Α ή το Β στην τελική λύση
• Τα Α και Β είναι αμοιβαία αποκλειόμενα
ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ
Έστω μια επιλογή (γεγονός) Α που γίνεται με m τρόπους
και μια επιλογή (γεγονός) Β που γίνεται με n τρόπους
Τότε
οι τρόποι που μπορεί να γίνει ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ είναι
m+n
ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ
Α+Β
Έχουμε στην βιβλιοθήκη μας 3 βιβλία Φυσικής και 4 βιβλία
Μαθηματικών. Θέλουμε να επιλέξουμε δύο βιβλία του ίδιου
αντικειμένου. Πόσοι τρόποι υπάρχουν;
ΛΥΣΗ:
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
• Να επιλέξουμε βιβλία φυσικής: Με καταμέτρηση οι τρόποι
είναι: Φ1Φ2,Φ1Φ3,Φ2Φ3, άρα 3 τρόποι.
• Να επιλέξουμε βιβλία μαθηματικών: Με καταμέτρηση οι
τρόποι είναι: Μ1Μ2,Μ1Μ3,Μ1Μ4,Μ2Μ3,Μ2Μ4,Μ3Μ4, άρα 6
τρόποι
Άρα από τον κανόνα του αθροίσματος οι τρόποι είναι:
3 + 6=9
• Κατασκευάζουμε τη λύση σε Φάσεις (Στάδια)
• Ερώτηση: Συμβαίνει και το Α και το Β στην τελική λύση
• Η λύση αποτελείται από ανεξάρτητα μέρη
ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ
Έστω μια επιλογή (γεγονός) Α που γίνεται με m τρόπους
και μια επιλογή (γεγονός) Β που γίνεται με n τρόπους
Τότε
οι τρόποι που μπορεί να γίνουν ΚΑΙ ΤΑ ΔΥΟ είναι m•n
ΚΑΝΟΝΑΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ
Α • Β
Πόσοι 3ψήφιοι αριθμοί υπάρχουν που ξεκινούν με 2, το 2ο
ψηφίο τους είναι ζυγός (άρτιος), το 3ο ψηφίο είναι μονός
(περιττός)
ΛΥΣΗ:
• Για το 1ο ψηφίο έχουμε 1 τρόπο (υποχρεωτικά το 2)
• Για το 2ο ψηφίο έχουμε 5 τρόπους (με καταμέτρηση θα είναι
0,2,4,6 ή 8)
• Για το 3ο ψηφίο έχουμε 5 τρόπους (με καταμέτρηση θα είναι
1,3,5,7 ή 9)
Άρα από τον κανόνα του γινομένου οι τρόποι είναι
1 • 5 • 5 = 25