3. Νηθήηα Μ. Ρηδόπνπινπ Φπζηθνύ «Μεραληθή» ISBN 978-960-93-4429-6
- 553 -
ΗΛΔΚΣΡΟΜΑΓΝΗΣΙΚΟ ΚΤΜΑ
Οη εμηζώζεηο ηνπ Maxwell πεξηγξάθνπλ πιήξσο ηα ζέκαηα ηνπ θιαζηθνύ
ειεθηξνκαγλεηηζκνύ όπσο νη εμηζώζεηο ηνπ Νεύησλα ηα ζέκαηα ηεο
θιαζηθήο κεραληθήο. Αλ E θαη B νη εληάζεηο ηνπ ειεθηξηθνύ θαη
καγλεηηθνύ πεδίνπ αληίζηνηρα, νη εμηζώζεηο απηέο ζην θελό ρσξίο ηελ
παξνπζία ειεθηξηθώλ θνξηίσλ θαη ειεθηξηθώλ ξεπκάησλ είλαη νη εμήο:
0
E
(10.1)
B
E
t
(10.2)
0
B
(10.3)
E
B
t
(10.4)
όπνπ εν=1/36π109
C2
/Nm2
θαη κν=4π10-7
N/A2
Δθαξκόδνπκε ηελ ηαπηόηεηα ηεο δηαλπζκαηηθήο αλάιπζεο
B
A
C
C
A
B
C
B
A
νπόηε από (10.2)
έρνπκε
B
t
E
E
t
B
E
Καη από ηηο (10.1) θαη (10.4) πξνθύπηεη
2
2
2
0
t
E
t
E
t
E
θαη ηειηθά
0
2
2
2
t
E
E
(10.5)
Οκνίσο έρνπκε από ηελ (10.4) πξνθύπηεη
E
t
B
B
t
E
B
Καη από ηηο (10.2) θαη (10.3) πξνθύπηεη
2
2
2
0
t
B
t
B
t
B
θαη ηειηθά
0
2
2
2
t
B
B
(10.6)
Οη παξαπάλσ εμηζώζεηο κπνξνύλ λα ζε παξαιιειηζκό κε ηελ (8.4α) λα
γξαθνύλ 0
1
2
2
2
2
t
E
c
E (10.5α)
0
1
2
2
2
2
t
B
c
B (10.6α)
Όπνπ c ε ηαρύηεηα ηνπ θσηόο. Από ηηο παξαπάλσ εμηζώζεηο πξνθύπηεη
4. Νηθήηα Μ. Ρηδόπνπινπ Φπζηθνύ «Μεραληθή» ISBN 978-960-93-4429-6
- 554 -
2
1
c
1
c
(10.7) θαη κε αληηθαηάζηαζε δίλεη c = 3∙108
m/s
Τπνζέηνπκε όηη κηα κνλνρξσκαηηθή αθηηλνβνιία δηαδίδεηαη θαηά ηελ
δηεύζπλζε ηνπ άμνλα x. Σα κέηξα ησλ εληάζεσλ ηόηε δίδνληαη από ηηο
ζρέζεηο
x
t
E
E o
θαη
x
t
B
B o
κε
T
2
θαη
2
επνκέλσο ηζρύεη 0
z
E
y
E
.
Από ηελ (10.1)
0
,
,
,
, z
y
x E
E
E
z
y
x
x
E
E
x
t
E
x
E
z
E
y
E
x
E
ox
ox
x
z
y
x
0
0
0
0
νκνίσο θαη από ηελ (10.3) x
B
Με βάζε ηα παξαπάλσ θαη από ηελ (10.2) πξνθύπηεη
t
B
k
x
E
j
x
E
t
B
E
E
z
y
x
k
j
i
y
z
z
y
0
από ηηο παξαγσγίζεηο πξνθύπηεη
x
t
k
E
j
E
k
x
t
E
j
x
t
E
t
B
oy
oz
oy
oz
από
ηελ νινθιήξσζε πξνθύπηεη
x
t
k
E
j
E
dx
x
t
k
E
j
E
B oy
oz
t
o
oy
oz
νπόηε
x
t
k
E
j
E
T
x
t
k
B
j
B oy
oz
oz
oy
2
2
k
E
j
E
T
k
B
j
B oy
oz
oz
oy
θαη ηειηθά k
c
E
j
c
E
k
B
j
B
oy
oz
oz
oy
νπόηε
c
E
B oz
oy
θαη
c
E
B
oy
oz
Άξα
x
t
B
B
E
E
B
B
E
E
B
E oz
oy
oz
oy
z
y
z
y
2
,
,
0
,
,
0
,
,
0
,
,
0
B
E
x
t
c
E
E
c
E
E
x
t
B
E
B
E
B
E
oy
oz
oz
oy
oz
oz
oy
oy
0
2
2
Δπνκέλσο ην ειεθηξνκαγλεηηθό θύκα ζην θελό δηαδίδεηαη κε ζηαζεξή
ηαρύηεηα (ηνπ θσηόο) θαη ε έληαζε ηνπ ειεθηξηθνύ θαη ηνπ καγλεηηθνύ
πεδίνπ είλαη θάζεηεο ζηελ δηάδνζε ηνπ θύκαηνο θαη κεηαμύ ηνπο.
Δπίζεο c
B
B
B
B
c
B
B
B
c
B
c
B
B
E
E
B
E
x
t
B
x
t
E
B
E
oz
oy
oz
oy
oz
oy
oy
oz
oz
oy
oz
oy
o
o
o
o
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
5. Νηθήηα Μ. Ρηδόπνπινπ Φπζηθνύ «Μεραληθή» ISBN 978-960-93-4429-6
- 555 -
ΧΜΑΣΙΓΙΑΚΗ ΦΤΗ ΣΟΤ ΦΧΣΟ
Η ειεθηξνκαγλεηηθή ζεσξία όκσο δελ κπνξεί λα εμεγήζεη ηελ εθπνκπή
θαη απνξξόθεζε ηεο αθηηλνβνιίαο ηνπ απόιπηα καύξνπ ζώκαηνο.
Ο Max Planck γηα λα εμεγήζεη ηελ απνξξόθεζε – εθπνκπή απηή εηζάγεη
κηα επαλαζηαηηθή ζεσξία ζύκθσλα κε ηελ νπνία ε ελέξγεηα ηεο
αθηηλνβνιίαο κεηαδίδεηαη θαηά παθέηα – ζσκαηίδηα – κε κεδεληθή κάδα
πνπ νλνκάδνληαη θβάληα θσηόο ή θσηόληα.
Η ελέξγεηα ελόο θσηνλίνπ είλαη αλάινγε ηεο ζπρλόηεηαο f ηεο
αθηηλνβνιίαο θαη δίδεηαη από ηε ζρέζε:
hc
hf
E
(10.8)
Με c ηελ ηαρύηεηα ηνπ θσηόο ι ην κήθνο θύκαηνο θαη h ηελ ζηαζεξά ηνπ
Planck ίζε κε js
h 34
10
67
,
6
Με βάζε ηα παξαπάλσ ε ζπλνιηθή ελέξγεηα πνπ κεηαθέξεη κηα
αθηηλνβνιία είλαη ην άζξνηζκα ηεο ελέξγεηαο ησλ θσηνλίσλ
1
i
i
E hf
εηδηθά γηα κνλνρξσκαηηθή αθηηλνβνιία (αθηηλνβνιία κηαο ζπρλόηεηαο)
είλαη
hc
N
Nhf
E
κε Ν ηνλ αξηζκό ησλ θσηνλίσλ ηεο αθηηλνβνιίαο.
ύκθσλα κε ηελ εηδηθή ζρεηηθόηεηα έλα ζσκαηίδην έρεη ζπλνιηθή ελέξγεηα
2 4 2 2
o
E m c p c
. Γηα ην θσηόλην ηζρύεη mo=0, ηζρύεη
E
E pc p
c
θαη ηειηθά:
hf h
p
c
(10.9)
Από ην παξαπάλσ ζπλάγεηαη όηη ην θσηόλην έρεη νξκή πνπ είλαη
αληηζηξόθσο αλάινγε ηνπ κήθνπο θύκαηνο ηεο αθηηλνβνιίαο.
ΦΧΣΟΗΛΔΚΣΡΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΔΝΟ
Όηαλ πάλσ ζε κεηαιιηθή επηθάλεηα πξνζπέζεη ειεθηξνκαγλεηηθή
Αθηηλνβνιία, απνζπά από απηήλ ειεθηξόληα αλ ην κήθνο ηεο είλαη
κηθξόηεξν από έλα νξηαθό ινξ. Η απόζπαζε ή όρη ησλ ειεθηξνλίσλ είλαη
αλεμάξηεηε από ηελ ζπλνιηθή ελέξγεηα ή έληαζε ηεο αθηηλνβνιίαο.
6. Νηθήηα Μ. Ρηδόπνπινπ Φπζηθνύ «Μεραληθή» ISBN 978-960-93-4429-6
- 556 -
Η εμήγεζε ηνπ θαηλνκέλνπ δόζεθε από ηνλ
Einstein. ύκθσλα κε απηή ε απόζπαζε ελόο
ειεθηξνλίνπ από έλα κέηαιιν νθείιεηαη ζε έλα
θσηόλην θαη αξθεί ε ελέξγεηα ηνπ θσηνλίνπ λα
είλαη κεγαιύηεξε ελόο νξηαθνύ έξγνπ θ πνπ
εμαξηάηαη από ην κέηαιιν θαη νλνκάδεηαη έξγν
(ελέξγεηα) εμαγσγήο. Η ηειηθή θηλεηηθή ελέξγεηα
ηνπ ειεθηξνλίνπ από ηελ αξρή δηαηήξεζεο ηεο
ελέξγεηαο είλαη:
E
K νπόηε
hf
K ή
hc
K (10.10)
Αλ ε ηαρύηεηα ηνπ ειεθηξνλίνπ είλαη π<<c ε παξαπάλσ ζρέζε γξάθεηαη:
hf
m 2
2
1
ή
hc
m 2
2
1
(10.10α)
Γηα λα απνζπαζηεί έλα ειεθηξόλην από ην κέηαιιν ζα πξέπεη ε ελέξγεηα
ηνπ θσηνλίνπ λα είλαη κεγαιύηεξε ή ίζε κε ην έξγν εμαγσγήο.
Ιζρύεη επνκέλσο E hf f
h
Η νξηαθή ειάρηζηε ζπρλόηεηα πνπ κπνξεί λα απνζπάζεη ειεθηξόλην από
κέηαιιν (θαηώθιη ζπρλόηεηαο) είλαη
h
fo
θαη ην κέγηζην επηηξεπόκελν
κήθνο θύκαηνο είλαη
hc
max .
ΦΑΙΝΟΜΔΝΟ COMPTON
Αλ κνλνρξσκαηηθή αθηηλνβνιία κε κήθνο θύκαηνο ι πξνζπέζεη ζε έλα
ειεθηξόλην ηόηε ζθεδάδεηαη ζε απηή εθπέκπνληαο δεπηεξνγελή
αθηηλνβνιία κε κήθνο ιf>ιi. Σν θαηλόκελν απηό δελ εμεγείηαη από ηελ
θιαζζηθή θπζηθή. Μπνξεί λα εμεγεζεί ρξεζηκνπνηώληαο ην ζσκάηην
θσηόλην θαη ηελ ζρεηηθόηεηα. Έηζη ην ειεθηξόλην έρεη ελέξγεηα εξεκίαο
2
o
E mc
θαη θηλνύκελν έρεη ελέξγεηα 2 4 2 2
E m c p c
.
Θεσξώληαο ηελ θξνύζε ειαζηηθή έρνπκε δηαηήξεζε ηεο νξκήο θαη ηεο
ελέξγεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο θσηόλην – ειεθηξόλην. Έηζη:
2 2 4 2 2 2 4 2 2 2
( )
i f i f
E E hf mc hf m c p c m c p c h f f mc
Τςώλνληαο ηα κέιε ζην ηεηξάγσλν θαη κεηά ηηο απινπνηήζεηο πξνθύπηεη:
2
2 2 2 2
2
i f i f
p c h f f hmc f f
(10.11)
Από ηελ δηαηήξεζε ηεο νξκήο έρνπκε:
7. Νηθήηα Μ. Ρηδόπνπινπ Φπζηθνύ «Μεραληθή» ISBN 978-960-93-4429-6
- 557 -
f f
i i
x x
hf hf
hf hf
p p p p
c c c c
θαη
0 f f
hf hf
p p
c c
Τςώλνπκε ζην ηεηξάγσλν θαη πξνζζέηνπκε θαηά κέιε ηηο παξαπάλσ
ζρέζεηο νπόηε:
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2
f i f
i
h f h f f
h f
p
c c c
θαη ηειηθά
2 2 2 2 2 2 2
2
i f i f
p c h f h f h f f
(10.12)
Δμηζώλνληαο ηα δεύηεξα κέιε ησλ (10.11) θαη (10.12) πξνθύπηεη:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
i f i f i f i f i f
h f h f h f f hmc f f h f h f h f f
θαη κεηά ηηο απινπνηήζεηο
2 2
2 2 1 2 2 1
i f i f
f f
c c c c
mc f f hf f mc h
θαη
2
3
2 2 1 1
f
f
f f
c
mc h mc h
θαη ηειηθά
1
f i
h
mc
(10.13)
ΓΙΣΣΗ ΜΟΡΦΗ ΣΧΝ ΧΜΑΣΙΓΙΧΝ
Από ηα παξαπάλσ απνδεηθλύεηαη ε δηηηή κνξθή ηνπ θσηόο, θύκα θαη
ζσκαηίδην. Ο Louis de Broglie ζηελ δηδαθηνξηθή ηνπ δηαηξηβή ππνζηήξημε
πσο θαη ε ύιε έρεη δηηηή κνξθή. Έηζη έλα ειεθηξόλην πνπ θηλείηαη κε
ηαρύηεηα π είλαη θαη θύκα κήθνπο ι. Αξγόηεξα ε πξόβιεςε ηνπ
επαιεζεύζεθε πιήξσο θαη πεηξακαηηθά. Με βάζεη ηελ ππόζεζε απηή θαη
8. Νηθήηα Μ. Ρηδόπνπινπ Φπζηθνύ «Μεραληθή» ISBN 978-960-93-4429-6
- 558 -
επεηδή γηα ην θσηόλην ηζρύεη
h
p
αληίζηνηρα γηα ην ειεθηξόλην ζα
έρνπκε
h
m
δειαδή ειεθηξόλην ή γεληθά ζσκαηίδην κάδαο m πνπ
θηλείηαη κε ηαρύηεηα κέηξνπ π ζπκπεξηθέξεηαη θαη ζαλ θύκα κε κήθνο
h
m
(10.14)
Έηζη ππάξρεη ηζνδπλακία κεηαμύ ζσκαηηδίνπ θαη θύκαηνο. Κάζε
ζσκαηίδην ζπκπεξηθέξεηαη ζαλ θύκα θαη θάζε θύκα ζαλ ζσκαηίδην.
ΑΣΟΜΟ ΣΟΤ BORH
Έλα ειεθηξόλην πνπ πεξηζηξέθεηαη γύξσ
από ηνλ ππξήλα ζε ηξνρηά αθηίλαο r,
ηζνδπλακεί κε θύκα. Γηα λα ππάξρεη
ζηαζεξόηεηα ζα πξέπεη ε πεξίκεηξνο
λα είλαη πνιιαπιάζην ηνπ κήθνπο θύκαηνο.
Άξα ηζρύεη
2 r nι
θαη ζύκθσλα κε ηελ αξρή ηνπ de Broglie
2π
h
n
mυ
h
n
2
r
m
r
Οπόηε ηζρύεη
2π
h
n
L (10.15)
δειαδή νη επηηξεπόκελεο ηξνρηέο είλαη απηέο, πνπ ε ζηξνθνξκή ηνπ
ειεθηξνλίνπ ( κέγεζνο θβαληηζκέλν) είλαη αθέξαην πνιιαπιάζην ηνπ
2
h
θαη απνηειεί θαη ηελ πξώηε ζπλζήθε ηνπ Borh.
ην άηνκν ηζρύεη
mr
e
k
r
m
r
e
k
r
m
F c
c
2
2
2
2
2
2
Με βάζε ηα παξαπάλσ ε θηλεηηθή ελέξγεηα είλαη
r
e
k
m
K c
2
2
1 2
2
αιιά θαη
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
mr
8
2
m
L
m
2
1
2
1
n
h
mr
L
r
m
K
Καη από ηηο παξαπάλσ ηζρύεη
9. Νηθήηα Μ. Ρηδόπνπινπ Φπζηθνύ «Μεραληθή» ISBN 978-960-93-4429-6
- 559 -
2
2
2
2
2
2
2
2
C
4
k
4 n
m
e
k
h
r
n
h
mr
e
C
πνπ ζεκαίλεη όηη ε αθηίλα ηεο ζηνηβάδαο είλαη θβαληηζκέλε κε
2
1
n
r n r
κε n=1,2,3,… (10.16)
όπνπ ε r1 ε αθηίλα ηεο ζεκειηώδνπο ζηνηβάδαο είλαη ίζε κε
2
1 2 2
4 e
C
h
r
k m
Η ελέξγεηα δίδεηαη από ηε ζρέζε
r
e
k
r
e
k
K
U
E c
c
2
2
2
2 2 2 4
2
2 2 2
1
2 1
2 2
C c
n C n n
k e k e m
e
E k E E
r n r h n
αλ ζεσξήζνπκε
2 2 4
1 2
2 c
k e m
E
h
ηόηε θαη ε ελέξγεηα πνπ είλαη θαη απηή θβαληηζκέλε θαη ίζε κε
2
1
n
E
En κε n=1,2,3,… (10.17)
Έλα ειεθηξόλην ζύκθσλα κε ηνλ θιαζζηθό ειεθηξνκαγλεηηζκό όηαλ
πεξηζηξέθεηαη γύξσ από ηνλ ππξήλα ζα έπξεπε λα αθηηλνβνιεί ιόγν ηεο
επηηάρπλζεο ηνπ. Υάλνληαο όκσο ελέξγεηα θαηεβαίλεη ζε ρακειόηεξε
ζηνηβάδα θαη ιόγσ δηαθνξεηηθήο επηηάρπλζεο εθπέκπεη θαη δηαθνξεηηθή
αθηηλνβνιία. Άξα ην άηνκν ζα έπξεπε λα εθπέκπεη ζπλερή αθηηλνβνιία.
Σν άηνκν όκσο εθπέκπεη γξακκηθό θάζκα. Σν πξόβιεκα απηό ην
μεπέξαζε ν Borh κε ηε δεύηεξε ζπλζήθε. ύκθσλα κε απηή αλ έλα
ειεθηξόλην αληί λα βξίζθεηαη ζηε ζηνηβάδα πνπ ην άηνκν έρεη ηελ
κηθξόηεξε ελέξγεηα βξίζθεηαη ζε ζηνηβάδα κεγαιύηεξεο ελέξγεηαο, ιέκε
όηη ην άηνκν βξίζθεηαη ζε δηεγεξκέλε θαηάζηαζε. Σν άηνκν επαλέξρεηαη
ζηελ αξρηθή ελεξγεηαθή θαηάζηαζε κε κεηάβαζε ηνπ ειεθηξνλίνπ ζηελ
αξρηθή ζηνηβάδα εθπέκπνληαο έλα θσηόλην ελέξγεηαο ίζεο κε ηελ δηαθνξά
ελέξγεηαο ηνπ αηόκνπ ζηηο δπν θαηαζηάζεηο.
νπόηε
2 2 4
2 2 2
2 1 1
c
k e m
E E hf hf
h n n
Δπνκέλσο ην άηνκν εθπέκπεη κόλν νξηζκέλα ραξαθηεξηζηηθέο
αθηηλνβνιίεο αλ ην ζηνηρείν είλαη ζε αέξηα κνξθή κε κηθξή ππθλόηεηα θαη
είλαη ζε δηεγεξκέλε θαηάζηαζε.
Αλ θαη επαλαζηαηηθή ε ζεσξία ηνπ Borh εγθαηαιείθζεθε γξήγνξά γηαηί
ελώ εμεγνύζε κε αθξίβεηα ην θάζκα ησλ πδξνγνλνεηδώλ αηόκσλ
αδπλαηνύζε λα εμεγήζεη ηα θάζκαηα ησλ πνιπεθηξνληαθώλ αηόκσλ.
11. Νηθήηα Μ. Ρηδόπνπινπ Φπζηθνύ «Μεραληθή» ISBN 978-960-93-4429-6
- 561 -
Πξώην ζύκα ηεο αξρήο ηνπ Heisenberg, ήηαλ ην κόιηο πξηλ ιίγα ρξόληα
πξνηαζέλ κνληέιν αηόκνπ από ηνλ Borh. ην κνληέιν απηό ην ειεθηξόλην
πξνζδηνξίδεηαη αθξηβώο σο πξνο ηελ ζέζε –ζηνηβάδα αθξηβώο
πξνζδηνξηζκέλε – θαη σο πξνο ηελ νξκή. Με βάζε ηελ λέα αξρή ε
ζηνηβάδα δελ πξνζδηνξίδεηαη απόιπηα. Η ζηνηβάδα αληηθαζίζηαηαη από ην
ηξνρηαθό θαη ε απόιπηε ζέζε από ηελ πηζαλόηεηα λα βξεζεί θάπνπ ην
ειεθηξόλην. Σν λέν κνληέιν θαζνξίδεηαη από ηελ ιύζε ηεο εμίζσζεο ηνπ
Schrödinger – πνπ ζα δνύκε παξαθάησ – θαη όρη από ηνπο θαλόλεο ηνπ
Borh.
ΜΔ ΣΗ ΜΑΣΙΑ ΣΟΤ SCHRODINGER
ύκθσλα όκσο κε ηελ αξρή ηνπ Louis de Broglie έλα ζσκαηίδην
ζπκπεξηθέξεηαη θαη ζαλ θύκα κε κήθνο θύκαηνο
h
p
κε h ε ζηαζεξά ηνπ Plack.
Άξα γηα κηα ρξνληθή ζηηγκή t1 έλα ζσκαηίδην κπνξεί λα είλαη ηζνδύλακν
κε αξκνληθό θύκα ηεο κνξθήο:
Φ(x)=Aεκ(kx–σt1) κε k=
2
(10.20)
ηελ θιαζηθή κεραληθή κεηαμύ νξκήο θαη θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηζρύεη ε
ζρέζε
2
2
p
K
m
θαη επεηδή K=E–U , όπνπ E ε νιηθή ελέξγεηα θαη U ε δπλακηθή ελέξγεηα
έρνπκε:
2
2
p
E U
m
Από ηα παξαπάλσ πξνθύπηεη
2 2
2
2 2 ( )
h h
E U
m m E U
νπόηε θαη
2
2
8 ( )
m E U
k
h
(10.21)
12. Νηθήηα Μ. Ρηδόπνπινπ Φπζηθνύ «Μεραληθή» ISBN 978-960-93-4429-6
- 562 -
παξαγσγίδνληαο δύν θνξέο ηελ (10.20) έρνπκε:
1
( )
d
x t
dx
θαη
2 2
2 2
1
2 2
( )
d d
x t
dx dx
θαη
από ηελ (10.21) έρνπκε
2 2
2 2
8 ( )
Φ
d m E U
dx h
νπόηε πξνθύπηεη ε θπκαηηθή
εμίζσζε ηνπ Schrödinger γηα κηα δηάζηαζε κε ηε ζρέζε:
0
)
(
8
dx 2
2
2
2
U
E
h
m
d
(10.22)
Οξίδεηαη αθόκε ζαλ (h bar) ε πνζόηεηα
2
h
νπόηε ε (10.22)
γξάθεηαη 0
2
2
2
2
U
E
m
dx
d
(10.22α)
ηελ θβαληνκεραληθή βαζηθό ζηνηρείν είλαη ε θπκαηνζπλάξηεζε Φ.
Από ηελ ζρέζε (10.22α) ε νξκή p είλαη ηειεζηήο πνπ γηα κηα δηάζηαζε
δίδεηαη από ηε ζρέζε:
dx
d
i
p
θαη 2
2
2
2
dx
d
p
Γηα ηξεηο δηαζηάζεηο γξάθεηαη
i
p όπνπ , ,
x y z
θαη
2
2
2
p κε
2 2 2
2
2 2 2
x y z
από ηα παξαπάλσ πξνθύπηεη ε θπκαηηθή γεληθή κνξθή γηα κηα ρξνληθή
ζηηγκή ηεο εμίζσζεο ηνπ Schrödinger είλαη δηαηππσκέλε κε ηε ζρέζε:
0
2
2
2
U
E
m
(10.22β)
Η ζπλάξηεζε Φ(x) είλαη ζπλήζσο κηγαδηθή. Σν ηεηξάγσλν ηνπ κέηξνπ ηεο
ζε έλα ζεκείν δίλεη ηελ πηζαλόηεηα λα βξεζεί ην ζσκαηίδην ζην ζεκείν
απηό. Η πηζαλόηεηα ινηπόλ απηή είλαη:
2 *
κε Φ* ηελ ζπδπγή ζπλάξηεζε ηεο Φ.
13. Νηθήηα Μ. Ρηδόπνπινπ Φπζηθνύ «Μεραληθή» ISBN 978-960-93-4429-6
- 563 -
ΓΔΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΣΗ ΔΞΙΧΗ ΣΟΤ
SCHRODINGER
Γηα ηελ παξαπάλσ κνξθή ηεο εμίζσζεο ηνπ Schrödinger ζεσξήζακε όηη ν
ρξόλνο είλαη ζηαζεξόο (ζηηγκηόηππν). Θα δνύκε ηώξα ηη κνξθή έρεη κε ηνλ
ρξόλν ζαλ κεηαβιεηή. Γηα ιόγνπο απιόηεηαο ζα πάξνπκε κηα δηάζηαζε,
νπόηε κηα θπκαηνκνξθή κπνξεί λα πεξηγξαθεί κε εθζεηηθή κνξθή ζαλ
t
kx
i
Ae
t
x
, κε
2
k θαη επεηδή
h
p ηζρύεη p
h
k
2
αθόκε f
2
2
θαη επεηδή hf
E ηζρύεη E
h
2
κε βάζε ηα
παξαπάλσ ε εμίζσζε ηνπ θύκαηνο γξάθεηαη
Et
px
h
i
Ae
t
x
2
,
Παξαγσγίδνπκε νπόηε
t
x
h
E
i
t
E
h
i
Ae
t
Et
px
h
i
,
2
2
2
θαη
ιύλνληαο σο πξνο ηελ ελέξγεηα πξνθύπηεη
t
t
x
i
E
,
(10.23)
Αθόκε
p
h
i
Ae
x
Et
px
h
i
2
2
θαη από ηελ δεύηεξε παξάγσγν πξνθύπηεη
t
x
p
p
h
Ae
x
Et
px
h
i
,
1
4
2
2
2
2
2
2
2
2
θαη ε νξκή είλαη
2
2
2
2
, x
t
x
p
(10.24)
Από ηελ ελέξγεηα πξνθύπηεη E=K+U U
m
p
E
2
2
θαη από
ηηο (10.23) θαη (10.24) πξνθύπηεη ε γεληθόηεξε εμίζσζε ηνπ Schrödinger
t
x
x
U
x
m
t
i ,
2 2
2
2
(10.25)
γηα ηξείο δηαζηάζεηο ε παξαπάλσ εμίζσζε γξάθεηαη
t
z
y
x
z
y
x
U
m
t
i ,
,
,
,
,
2
2
2
(10.25α)
Όπσο εηπώζεθε παξαπάλσ ε νξκή εκθαλίδεηαη ζαλ ηειεζηήο πνπ δξα ζηελ
θπκαηνζπλάξηεζε θαη έρεη κνξθή
x
i
p
γηα κνλνδηάζηαην
πξόβιεκα θαη
i
p γηα ηξεηο δηαζηάζεηο.
Οκνίσο ε ελέξγεηα είλαη επίζεο ηειεζηήο κε κνξθή
t
i
E
14. Νηθήηα Μ. Ρηδόπνπινπ Φπζηθνύ «Μεραληθή» ISBN 978-960-93-4429-6
- 564 -
ΑΞΙΟΗΜΔΙΧΣΔ ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΗ
ΔΞΙΧΗ ΣΟΤ SCHRODINGER
Η κειέηε πξνβιεκάησλ κε βάζεη ηελ εμίζσζε ηνπ Schrodinger καο δίλεη
ελδηαθέξνπζεο θαη «εμσηηθέο ιύζεηο» αζπκβίβαζηεο κε ηελ θιαζηθή
θπζηθή πνπ όκσο επαιεζεύνληαη πεηξακαηηθά.
Α1. ΣΑ ΜΤΣΙΚΑ ΣΟΤ ΜΟΝΟΓΙΑΣΑΣΟΤ
ΠΗΓΑΓΙΟΤ ΓΤΝΑΜΙΚΟΤ ΑΠΔΙΡΟΤ ΒΑΘΟΤ
σκαηίδην κε ελέξγεηα Δ >0 ηνπνζεηείηαη ζε έλα πεγάδη δπλακηθνύ
απείξνπ βάζνπο θαη πιάηνπο L, νπόηε ε δπλακηθή ελέξγεηα δίδεηαη από ηελ
παξαθάησ ζρέζε:
L
x
L
x
0
0
0
x
)
(x
U
νπόηε ην ζσκαηίδην έρεη παξνπζία ζην δηάζηεκα 0<x<L.
Η (10.22) ηόηε γξάθεηαη 0
8
dx 2
2
2
2
h
mE
d
γηα 0<x<L.
Η ιύζε ηεο παξαπάλσ δηαθνξηθήο εμίζσζεο είλαη κηα αξκνληθή
ζπλάξηεζε ηεο κνξθήο Φ(x)= Αεκ(kx+θ) κε
2
2
8π mE
h
k θαη επεηδή
Φ(0)=0θ=0 νπόηε x
2
2
h
mE
8π
Αεκ
(x)
(10.26)
Αθόκε επεηδή Φ(L)=0 ζα πξέπεη 2
2
2
2
2
2
2
h
mEL
8
h
mE
8π
n
n
L
νπόηε ε
ελέξγεηα ηνπ είλαη:
2
2
2
8
h
n
mL
(10.27) κε n=1,2,3,…
πνπ καο δίλεη ηηο δπλαηέο ηηκέο πνπ κπνξεί λα πάξεη ε ελέξγεηα ηνπ
ζσκαηηδίνπ (θβαληηζκέλν κέγεζνο).
Από ηελ (10.23) θαη (10.24) πξνθύπηεη ε εμίζσζε ηεο θπκαηνζπλάξηεζεο:
x
L
nπ
Αεκ
(x)
(10.28)
15. Νηθήηα Μ. Ρηδόπνπινπ Φπζηθνύ «Μεραληθή» ISBN 978-960-93-4429-6
- 565 -
Η πηζαλόηεηα λα βξεζεί ην ζσκαηίδην ζηε ζέζε x είλαη
2
(x)
θαη επεηδή
ην ζσκαηίδην βξίζθεηαη ζην δηάζηεκα (0, L) ηζρύεη:
1
(x)
2
0
dx
L
άξα: 1
x)
L
(
0
2
2
dx
n
A
L
2
0
2nπ
1 ζπλ
L
1
2
L x
A dx
L
2 2
0 0
2
dx 1
2 2
L
A A n x
dx
L
L
2 2
0
0
2n
1
2 4 L
L
A A L x
x
n
2 2 2
0 ( 2n 0) 1 1
2 4 2
A A L A L
L
n
L
A
2
Καη ηειηθά x
L
nπ
εκ
L
2
(x)
(10.29)
κε 0≤x≤L θαη n=1,2,3...
Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηεο θπκαηνζπλάξηεζεο Φ(x) θαη ηεο
πηζαλόηεηαο P(x)=
2
(x)
ζε ζπλάξηεζε κε ην x/L είλαη νη παξαθάησ:
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
x/L
Ψ(χ)
n=1
n=2
n=3
17. Νηθήηα Μ. Ρηδόπνπινπ Φπζηθνύ «Μεραληθή» ISBN 978-960-93-4429-6
- 567 -
ε ιύζε ηεο εμίζσζεο ηεο θπκαηνζπλάξηεζεο γξάθεηαη
1
n π
2
(x) εκ
L
x
a
κε 0≤x≤a θαη
n1=1,2,3... Καη ε ελέξγεηα ζηνλ άμνλα x δίδεηαη από ηε ζρέζε
2
2
1
2
h
8
x n
ma
κε n1=1,2,3,…Καη
ηνλ άμνλα y νκνίσο ηζρύεη
2
n π
2
(y) εκ y
b b
θαη
2
2
2
2
h
8
y n
mb
Από ηα παξαπάλσ βγαίλεη όηη ε ζπλνιηθή θπκαηνζπλάξηεζε είλαη:
( , ) ( ) ( )
x y x y
νπόηε
1 2
2
( , )
n x n y
x y
a b
ab
θαη ε ελέξγεηα x y
E E E
νπόηε
2 2
2
1 2
2 2
8
n n
h
E
m a b
Αλ ην νξζνγώλην είλαη ηεηξάγσλν κε πιεπξά L ηόηε νη παξαπάλσ ζρέζεηο
γξάθνληαη:
1 2
2
( , )
n x n y
x y
L L L
θαη
2
2 2
1 2
2
8
h
E n n
mL
ε πηζαλόηεηα λα βξεζεί ην ζσκαηίδην ζηε ζέζε (x,y) είλαη
2 2 2
1 1
2
4
( , ) ( , )
n x n y
P x y x y
L L L
Γίδνληαη παξαθάησ ελδεηθηηθέο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηεο πηζαλόηεηαο λα
βξεζεί ην ζσκαηίδην ζε έλα ζεκείν ηνπ ηεηξαγώλνπ P(x,y) γηα δηάθνξεο
ηηκέο ησλ n1 θαη n2. Παξαηεξείζηε όηη ηα ζεκεία κε κεδεληθή πηζαλόηεηα
βξίζθνληαη πάλσ ζε ζπγθεθξηκέλεο αλάινγα κε ηελ πεξίπησζε επζείεο.
18. Νηθήηα Μ. Ρηδόπνπινπ Φπζηθνύ «Μεραληθή» ISBN 978-960-93-4429-6
- 568 -
n1=n2=1 n1=1, n2=2
n1= n2=2 n1= n2=3
Α3. ΣΑ ΜΤΣΙΚΑ ΣΟΤ ΚΟΤΣΙΟΤ
Έζησ ζσκαηίδην ελέξγεηαο Δ >0 πνπ ηνπνζεηείηαη ζε έλα
παξαιιειεπίπεδν θνπηί δηαζηάζεσλ a,b,c. ηνλ άμνλα x :
1
n π
2
(x) εκ
L
x
a
κε 0≤x≤a θαη n1=1,2,3...
Η ελέξγεηα ζηνλ άμνλα x δίδεηαη από ηε ζρέζε
2
2
1
2
h
8
x n
ma
κε n1=1,2,3,…
19. Νηθήηα Μ. Ρηδόπνπινπ Φπζηθνύ «Μεραληθή» ISBN 978-960-93-4429-6
- 569 -
ηνπο άμνλεο y θαη z νη θπκαηνζπλαξηήζεηο θαη νη ελέξγεηεο αληίζηνηρα
είλαη:
2
n π
2
(y) εκ y
b b
θαη 3
n π
2
(z) εκ z
c c
θαη νη
ελέξγεηεο
2
2
2
2
h
8
y n
mb
θαη
2
2
3
2
h
8
z n
mc
Από ηα παξαπάλσ βγαίλεη όηη ε ζπλνιηθή θπκαηνζπλάξηεζε είλαη:
( , , ) ( ) ( ) ( )
x y z x y z
3
1 2
8
( , , )
n z
n x n y
x y z
abc a b c
θαη ε ελέξγεηα x y z
E E E E
2
2 2
2
3
1 2
2 2 2
8
n
n n
h
E
m a b c
Αλ ην θνπηί είλαη θύβνο κε αθκή L ηόηε νη παξαπάλσ ζρέζεηο γξάθνληαη:
3
1 2
3
8
( , , )
n z
n x n y
x y z
L L L L
θαη
2
2 2 2
1 2 3
2
8
h
E n n n
mL
Β1. Η ΓΙΑΣΡΗΣΗ ΦΤΛΑΚΗ ΣΟΤ ΧΜΑΣΙΓΙΟΤ 1
Έζησ ζσκαηίδην πνπ ηνπνζεηείηαη ζε έλα πεγάδη δπλακηθνύ πνπ ε
δπλακηθή ελέξγεηα δίδεηαη από ηελ παξαθάησ ζρέζε:
x<0
( ) 0 0 x L
x>L
U x
U ό
ηνπνζεηνύκε ζσκαηίδην ζην δηάζηεκα [0,L] κε ζπλνιηθή ελέξγεηα Δ<U.
20. Νηθήηα Μ. Ρηδόπνπινπ Φπζηθνύ «Μεραληθή» ISBN 978-960-93-4429-6
- 570 -
ύκθσλα κε ηελ θιαζηθή θπζηθή ην ζσκαηίδην δελ κπνξεί λα βγεη από ηελ
παγίδα ηνπ θαη παξακέλεη ζπλερώο ζην δηάζηεκα [0,L].
Γηα ην παξαπάλσ δηάζηεκα ε εμίζσζε ηνπ Schrödinger γξάθεηαη:
0
8
dx 2
2
2
2
h
mE
d
Η ιύζε ηεο παξαπάλσ εμίζσζεο θαη κε ην δεδνκέλν όηη Φ(0)=0 είλαη
x
2
2
h
mE
8π
Αεκ
(x)
(10.31) ή
(x) Αεκ(θ )
x
(10.31α)
κε
2
2
2
8 mE
h
Αο ππνζέζνπκε όηη
2
U
E 2
U E
γηα x>L ε εμίζσζε ηνπ
Schrödinger είλαη:
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
8 8
( ) 0 0 0
dx
d m d mE d
E U
h dx h dx
Η ιύζε ηεο παξαπάλσ εμίζσζεο είλαη ηεο κνξθήο:
( ) ( )
(x) x L x L
e Ce
θαη επεηδή ( ) 0
( )
(x) x L
e
γηα x>L
γηα λα ππάξρεη ζπλέρεηα ζην ζεκείν κε x=L πξέπεη λα ηζρύεη:
0
( ) ( ) ( ) ( )
L L A L Be B A L
θαη
0
( ) ( )
( ) ( )
d L d L
A L B e L
dx dx
από ηηο παξαπάλσ πξνθύπηεη όηη εθ(θL)= –1 πξνθύπηεη:
(4 1)
4 4
L n L n
(10.32)
Από ηηο (10.19) θαη (10.20) πξνθύπηεη
2 2 2
2
2
8
(4 1)
16
mEL
n
h
2
2
2
(4 1)
128
h
n
mL
(10.33) κε n=1,2,3,…
πνπ καο δίλεη θαη ηηο επηηξεπηέο ηηκέο ηεο ελέξγεηαο (θβαληηζκέλν
κέγεζνο).
Από ηελ (10.20)
2 2 2
2 2
8 (4 1)
(4 1)
128 4
mh n
n
mh L L
θαη
(4 1) (4 1)
4 4
n n
B A L A
L
Από ηα παξαπάλσ πξνθύπηεη όηη:
21. Νηθήηα Μ. Ρηδόπνπινπ Φπζηθνύ «Μεραληθή» ISBN 978-960-93-4429-6
- 571 -
( )
0 0
( ) 0
(4 1)
4
x L
x
x A x x L
n
A e x L
κε
(4 1)
4
n
L
Η πηζαλόηεηα λα βξεζεί ην ζσκαηίδην ζηε ζέζε x δίδεηαη από ηε ζρέζε:
2 2 2
2 2 2 ( )
0 0
( ) ( ) 0
(4 1)
4
x L
x
P x x A x x L
n
A e x L
ύκθσλα κε ηα παξαπάλσ ην ζσκαηίδην κπνξεί λα βξεζεί ζην δηάζηεκα
[0,+∞) άξα
2
0
( ) 1
x dx
2 2 2
2 ( )
0 0
2 1
2 4 4
L L x L
L
A A A
x x e
2 2 2 2 2 2
2(4 1)
0 0 0 1 1 4 1 1
2 4 4 4 2 4 2 4
A A n A A A A
L L L n
L k
2 2 2
1
2 4 4
A L A A
2
( 1) 2
A L
2(4 1)
((4 1) 4)
n
A
n L
θαη ηειηθά ε θπκαηνζπλάξηεζε έρεη ηε κνξθή:
(4 1)
( )
4
0 0
2(4 1) (4 1)
( ) 0
((4 1) 4) 4
2(4 1) (4 1)
(4 1) 4) 4
n
x L
L
x
n n
x x x L
n L L
n n
e x L
n L
κε n=1,2,3,…
Αθνινπζνύλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηεο θπκαηνζπλάξηεζεο Φ(x) θαη
ηεο πηζαλόηεηαο P(x) λα βξεζεί ην ζσκαηίδην ζε κηα ζέζε.
28. Νηθήηα Μ. Ρηδόπνπινπ Φπζηθνύ «Μεραληθή» ISBN 978-960-93-4429-6
- 578 -
ΚΔΓΑΗ ΣΗΝ ΚΒΑΝΣΟΜΗΥΑΝΙΚΗ
Α. Αλ έλα ζσκαηίδην θηλείηαη θαηά κήθνο ηνπ άμνλα x, ζην πεδίν
δπλακηθήο ελέξγεηαο πνπ εηθνλίδεηαη παξαθάησ, έρνληαο ελέξγεηα E>U(x)
ηόηε απηό κπνξεί λα αλαθιαζηεί ζην ζεκείν Ο(x=0) ή λα δηαζιαζηεί.
Αλ ε δπλακηθή ελέξγεηα δίδεηαη από ηε ζρέζε
0
0
0
x
U
x
x
U
o
, ε
θπκαηνζπλάξηεζε ηνπ ζσκαηηδίνπ γηα x<0είλαη
0
0
8 2
1
2
2
2
2
2
2
k
dx
d
h
mE
dx
d
κε E
h
m
k 2
2
2
1
8
.
Η ιύζε ηεο ζύκθσλα κε ηα παξαπάλσ είλαη x
ik
x
ik
Be
Ae 1
1
.
Σν αξρηθό θύκα έρεη ζεηηθή θνξά άξα ζα έρεη εμίζσζε ζύκθσλα κε ηα
παξαπάλσ x
ik
Ae 1
1
θαη ην αλαθιώκελν x
ik
Be 1
2
Γηα x0 γηα ην δηαζιώκελν ζσκαηίδην ε θπκαηνζπλάξηεζε είλαη
0
0
2 2
2
2
2
2
2
2
k
dx
d
U
E
m
dx
d o
κε
U
E
h
m
k
2
2
2
2
8
θαη ε ιύζε ηεο είλαη x
ik
Ce 2
3
.
ην ζεκείν Ο(x=0) ηζρύεη C
B
A
θαη C
k
B
A
k
C
ik
B
ik
A
ik
΄
΄ 2
1
2
1
1
από ηελ δηαίξεζε
θαηά κέιε πξνθύπηεη
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
k
k
B
k
k
A
B
k
A
k
B
k
A
k
C
k
C
B
A
k
B
A
θαη ηειηθά
A
k
k
k
k
B
2
1
2
1
θαη A
k
k
k
k
k
k
C
A
k
k
k
k
A
C
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
νπόηε
A
k
k
k
C
2
1
1
2
Οξίδεηαη ζαλ ξεύκα πηζαλόηεηαο ε ζπλάξηεζε
dx
d
dx
d
mi
J
*
*
2
όπνπ Φ*
ε ζπδεγήο ζπλάξηεζε ηεο Φ νπόηε
29. Νηθήηα Μ. Ρηδόπνπινπ Φπζηθνύ «Μεραληθή» ISBN 978-960-93-4429-6
- 579 -
x
ik
x
ik
x
ik
x
ik
x
ik
x
ik
x
ik
x
ik
e
e
A
A
ik
e
e
A
A
ik
mi
dx
e
A
d
Ae
dx
dAe
e
A
mi
J 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
A
m
k
A
A
mi
i
k
J
νκνίσο
2
1
2 B
m
k
J
θαη
2
2
3 C
m
k
J
Οξίδεηαη αθόκε ν ζπληειεζηήο αλάθιαζεο R θαη δηέιεπζεο T
2
2
1
2
A
B
J
J
R
θαη 2
2
1
2
1
3
A
C
k
k
J
J
T
θαη κε βάζε ηα παξαπάλσ νη ζπληειεζηέο R θαη T ηζνύηαη κε
2
2
1
2
1
k
k
k
k
R θαη
2
2
1
2
1
4
k
k
k
k
T
Παξαηεξνύκε όηη
1
2
4
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
T
R
Αλ αληηθαηαζηήζνπκε ηηο ζηαζεξέο k1 θαη k2 ηόηε νη ζπληειεζηέο ζε
ζπλάξηεζε κε ηελ ελέξγεηα γίλνληαη
2
o
o
U
E
E
U
E
E
R θαη
2
4
o
o
U
E
E
U
E
E
T
Β. ηελ πεξίπησζε πνπ ηζρύεη E<Uo δειαδή E-Uo<0 , γηα x<0 δελ έρνπκε
αιιαγή ζηηο θπκαηνζπλαξηήζεηο, γηα x>0 όκσο ε θπκαηνζπλάξηεζε έρεη
πξαγκαηηθό εθζέηε. Οη ιύζεηο δειαδή ζηελ παξαπάλσ πεξίπησζε είλαη
x
ik
Ae 1
1
, x
ik
Be 1
2
θαη x
k
Ce 2
3
γηαηί
0
3
ην ζεκείν Ο(x=0) ηζρύεη C
B
A
θαη C
k
B
A
ik
C
k
B
ik
A
ik
΄
΄ 2
1
2
1
1
από ηελ δηαίξεζε
θαηά κέιε πξνθύπηεη
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
k
ik
B
k
ik
A
B
ik
A
ik
B
k
A
k
C
k
C
B
A
ik
B
A
θαη ηειηθά A
k
ik
k
ik
B
2
1
2
1
Ο ζπληειεζηήο αλάθιαζεο R είλαη
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
k
k
k
k
k
ik
k
ik
A
B
J
J
R
θαη o ζπληειεζηήο δηέιεπζεο T=0.
ηελ θιαζζηθή θπζηθή αλ ε ελέξγεηα είλαη κηθξόηεξε από ηελ δπλακηθή
ελέξγεηα πνπ απαηηείηαη, ζα ήηαλ αδύλαηε ε δηέιεπζε ηνπ ζσκαηηδίνπ.
ηελ θβαληνκεραληθή κπνξεί ζηηγκηαία ην ζσκαηίδην λα πεξάζεη ην
θξάγκα δπλακηθνύ. Η πηζαλόηεηα λα πεξάζεη ην ζσκαηίδην κεηώλεηαη
