1. AtCoder Regular Contest 026
解説
AtCoder株式会社
2014/6/28 1

2. A問題
ダイナミックなポーズ

3. 問題概要
• 高橋君は１問の問題を解くのに
・普段：A分かかる
・ダイナミックなポーズをとりながら：B分かかる
• 体力の消耗が激しいので、ダイナミックなポーズを
とりながら解ける問題は５問まで。
• N問の問題を解くのにかかる最短時間は？
• 1 N 10, 1 B < A 60
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4. 解法
• B < Aなので、可能な限りダイナミックなポーズを
とりながら解いたほうが良い。
• じゃあ答えは、5*B+(N-5)*A？
（５問をダイナミックなポーズをとりながら解き、
残りの問題を普段通りに解く）
→ それは間違い
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5. 解法
• 5*B+(N-5)*A はダメ。
• Nが5より小さい時はダイナミックなポーズはN回し
かしなくて良い。
•
というようにNが５より大きいか小さいか、
つまり、５回の上限までダイナミックなポーズをと
るかどうかで場合分けをしてあげればいい。
if(N < 5) answer = N*B;
else answer = 5*B+(N-5)*A;
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6. 別のやり方
• のようにダイナミックなポーズをとる回数を計算し
てから答えを計算するというような方法も考えられ
ます。
num_dynamic = min(N,5);
answer = num_dynamic*B + (N-num_dynamic)*A;
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7. ARC026解説
B:完全数

8. B-問題概要
● 与えられた整数 が完全数か、不足数か、過剰
数か、判定せよ
● 部分点1
● 部分点2
N
1≤N≤10
5
1≤N≤10
10

9. B-基本的発想
● 約数を全て調べて、総和を求めて、元の数字と
の大小を調べたい
● 約数を出来るだけ速く全列挙するのが目標
● 「自分以外の約数」というのが少し厄介
● 自分を含めた約数の総和を求めて自分の2倍と
の大小を比べれば面倒な処理はしなくて良い

10. B-約数の全列挙1
● 整数 の約数は 以下なので、 以下の全ての整
数について、それが の約数かどうかを調べれ
ば良い
● 計算量は
– 部分点1が得られる
N N N
N
N
O(N)

11. B-約数の全列挙2
● が の約数ならば、 も の約数
● か の片方がわかれば、もう片方もすぐに
分かる。
– 小さい方だけを調べれば良い
● となる条件は
● √ 以下の約数を調べるだけで良い
● 計算量は (√ )
– 満点が得られる
A
A
A≤N / A
A
N N / A N
N / A
A
2
≤N
N
NO

12. B-注意点
● が平方数の時 となる が存在する
– 誤って を2回足さないように気をつけなければな
らない
● 小課題2の入力が明らかにint型に収まらないの
で、C等の言語を使っている方は気をつけま
しょう
N A=N / A A
A

13. ARC024解説
C:蛍光灯

14. C-問題概要
● 長さがLの廊下にN個の蛍光灯がある
● i番目の蛍光灯はc_iの費用で点ける事ができる
● i番目の蛍光灯をつけると西からの距離がl_i以上
r_i以下の範囲が照らされる
● 廊下全体を照らすための最小費用を求めよ
● 1 ≦ N ≦ 100,000
● 1 ≦ L ≦ 100,000
● 1 ≦ c_i ≦ 100,000

15. C-部分点1
● 蛍光灯をl_iが小さい順にソートする
– 以降iにはこのソート後のインデックスを採用する
● dp[i][j] = i番目以前の蛍光灯を使って西から距離
ｊのところまでの全体を照らす費用の最小値
– という値を動的計画法で求める
● もしjがl_iとr_iの間にあるならば
dp[i][j] = min{dp[i-1][k] + c_i (kはl_iとr_iの間)}
ないならば
dp[i][j] = dp[i – 1][j]
という漸化式が成り立つ

16. C-DPの更新の仕方
● l_iとr_iの間のjに対して
dp[i][j] = min{dp[i-1][k] + c_i (kはl_iとr_iの間)}
● kをl_iからr_iまで順番に動かすときに、今まで
通過したdp[i-1][k]の最小値を更新していく
– dp[i][k] = その最小値 + c_iとなる
● dp[i]を全て求めるのにO(L)
● iはN種類なので、合計でO(NL)
– 部分点1(N,L≦3,000)が得られる

17. C-DP擬似コード
for(int i = 0;i < n;i++){
//dp[i-1][k]の最小値を保存する変数tmpmin
int tmpmin = 99999999;
for(int j = 0;j <= L;j++){
if(j < l[i] || k > r[j]){
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
for(int k = l[i];k <= r[i];k++){
dp[i][k] = min(dp[i][k], tmpmin + c[i]);
tmpmin = min(tmpmin, dp[i][k]);
}
}

18. C-考察
● 先ほどのDPは2次元配列を使っているが、dp[i]
はdp[i – 1]しか参照しない
– 1次元配列で管理することができる
● 新しいdp配列
– dp[i] = 西端から距離iのところまでの全体を照らす
のに必要な費用の最小値

19. C-考察
● 実際に費用が最小になる蛍光灯の置き方を考え
てみる
● 必ずr_iがとなりの蛍光灯の区間（両端含む）と
重なる
– dpではr_iの位置のみ更新すれば良い

20. C-擬似コード2
for(int i = 0;i < n;i++){
//dp[i]の最小値を保存する変数tmpmin
int tmpmin = 99999999;
for(int k = l[i];k <= r[i];k++){
tmpmin = min(tmpmin, dp[i][k]);
}
dp[r[i]] = min(dp[r[i]], tmpmin + c[i]);
}

21. C-高速化
● 操作の種類は
– dp[r[i]]の更新
– dp[l[i] ～ r[i]]のなかの最小値を求める
● これはRMQなのでセグメントツリーがうまく
利用できる

22. C-擬似コード3
for(int i = 0;i < n;i++){
int tmp = getmin(l[i], r[i])
//dp[l[i]～r[i]]の最小値をsegtree等で求める
setnum(r[i], min(r[i], tmp + c[i]));
//dp[r[i]]の値を更新
}

23. C-入出力例3図解

24. C-入出力例3図解

25. C-入出力例3図解

26. C-入出力例3図解

27. C-入出力例3図解

28. C-入出力例3図解

29. C-入出力例3図解

30. C-入出力例3図解

31. C-入出力例3図解

32. C-入出力例3図解

33. C-高速化
● 各蛍光灯についてO(logL)でdp[r[i]]を更新する
● 計算量はO(NlogL)
– 満点が得られる

34. C-参考
● セグメントツリーに似たデータ構造でBITとい
うものがある
– 比較的楽に実装できる
● BITは基本的にRMQはできないが、いくつかの
制約のもとで処理できる
1.値の更新は、もとより値が小さくなるもののみ
2.求める範囲の左端は0でなければならない
● 今回1つめの条件は満たしている
● 2つめの条件を満たすようにすればBITを使うこ
とができる

35. C-参考
● 実はmin(l[i], r[i]) は min(l[i], L)としてもよい
– 予めソートしてあるので、i番目の蛍光灯を見てい
る時、l[j] > l[i]となる蛍光灯jはまだ処理されてい
ない
– l[i] ～ Lと重なっている蛍光灯は、l[i] ～ r[i] と重
なっている蛍光灯のみであり、その他余計な蛍光灯
は重なっていない
● よってL側を片端とするBITでACすることがで
きる
● 計算量はセグメントツリーと同様

36. D問題
道を直すお仕事

37. 問題概要
• N頂点M辺のグラフが与えられる
• 各辺はC,Tの二つの値を持っている
• グラフが連結になるように辺を選ぶとき、
Cの総和/Tの総和 の最小値は？
• 1 N,M 10^4, 1 Ci,Ti 10^6
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38. 20点解法 (M 16)
• それぞれの辺を修理するかどうかを全て試す
• 各辺につき、する/しないの２通りがあるので全部
で2^M通りのパターンがあり得る
• グラフが連結になるような辺の選び方のうち、
Cの和/Tの和が最小となるものが答え
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39. 連結判定 方法１
• 適当な頂点を選び、その頂点を含む連結成分の大き
さをDFSなどで計算し、それがNであれば連結
bool used[N]; // falseで初期化
int dfs(int v){
if(used[v]) return 0;
used[v] = true;
int count = 1;
for(Edge e : vから出ている辺){
count += dfs(e.to);
}
return count;
}
連結成分の大きさを求める例：
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40. 連結判定 方法２
• 以下のアルゴリズムのように、連結成分を集合とし
て管理する
• これを実現するためのデータ構造として、
Union Find 木を使う
各頂点に対し、その頂点のみを含む集合を作る
for(Edge e : 修理することにした辺){
e.fromが属する集合とe.toが属する集合を合併する
}
全ての頂点が同じ集合に属しているかをチェックする
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41. Union Find 木
• 以下の２つの操作が出来るデータ構造
・ある要素がどの集合に属しているかを調べる
・２つの集合を合併する
• 要素を頂点とした木構造で集合を管理する
• 各頂点は親への辺を持っておく
• 根の要素をその集合の代表と考える
• 詳細は以下のスライドが分かりやすいと思います
http://www.slideshare.net/iwiwi/ss-3578491
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42. Union Find 木
• 実装例 (ならし計算量O(α(N)))
int parent[N];
void init(){
for(int i = 0; i < N; ++i) parent[i] = -1;
}
int root(int x){
if(parent[x] == -1) return x;
return parent[x] = root(parent[x]);
}
void unite(int x, int y){
x = root(x); y = root(y);
if(parent[x] < parent[y]) swap(x,y);
if(parent[x] == parent[y]) parent[x]--;
parent[y] = x;
}
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43. 20点解法 (M 16)
• 辺の選び方を全て試すためにはビット演算を利用す
ると書きやすい
• あわせて計算量はO(2^M * N)となり、この部分点
を得ることが出来ます
for(int i = 0; i < 1<<M; ++i){ // 選び方を全て試す
for(int j = 0; j < M; ++j){
if((i>>j&1) == 1) j本目の辺は今選ばれている
}
}
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44. 満点解法 (M 10000)
• 答えで二分探索
• ΣCi / ΣTi x となるような最小のxが答え
• 小数の二分探索は収束判定が難しいので、
50回だけ探索するというようにすると良い。
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45. 二分探索
• ΣCi / ΣTi x を式変形をすると・・・
• ΣCi / ΣxTi 1 → ΣCi ΣxTi → ΣCi-xTi 0
• 辺ごとに独立して計算できるようになる！
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46. 二分探索
• ΣCi-xTi 0 を満たすような辺の選び方があるかど
うかを判定したい
• Ci-xTi 0となる辺は全て選んで良い
• グラフが連結になるように、残ったCi-xTi > 0の辺
からいくつかの辺を選ぶ。
→ 最小全域木問題のアルゴリズムが使えそう
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47. クラスカル法
• クラスカル法：最小全域木を求めるアルゴリズム
連結成分の管理にはUnion Find 木を使うと良い
answer = 0
for(Edge e : 辺をコストの昇順に){
if(e.fromとe.toが違う連結成分に属している){
answer += e.cost
e.fromの連結成分とe.toの連結成分を合併する
}
}
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48. 最小コストを求める
• 今回の問題は最小全域木問題とは少しだけ違います
が、似たようなアルゴリズムで解くことが出来ます
answer = 0
for(Edge e : 辺をコストの昇順に){ // コスト = c-xt
if(e.fromとe.toが違う連結成分に属している
または e.cost < 0){
answer += e.cost
e.fromの連結成分とe.toの連結成分を合併する
}
}
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49. 満点解法 (M 10000)
• 二分探索で探索する回数をKとすると、
• 計算量はO(K M log M)となり、Kが100程度でも
満点を得ることが出来る。
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