Дидактичні матеріали з математики для 11 класу рівня стандарту

Міністерство освіти і науки, молоді і спорту України
Головне управління освіти і науки
Черкаської обласної державної адміністрації
Відділ освіти Золотоніської міської ради та виконавчого комітету
Золотоніська гімназія ім. С.Д. Скляренка
Золотоніської міської ради та виконавчого комітету
Бей Оксана Ярославівна,
учитель-методист математики
вищої категорії
Навчальний посібник
Дидактичні матеріали
з математики
для 11 класу
рівня стандарту
м. Золотоноша
2013

БББ 74.200 (4Укр – 4 Чск)
Н – 84 (Навчально-методичний посібник), 2013 – 55 c.
АВТОР:
Бей Оксана Ярославівна – учитель-методист математики вищої
категорії
РЕЦЕНЗЕНТИ:
Козлова Ольга Миколаївна – методист ЧОІПОПП
Янча Тетяна Василівна – методист відділу освіти Золотоніської міської
ради та виконавчого комітету
Буряк Світлана Дмитрівна – заступник директора з науково-методичної
роботи Золотоніської гімназі ім. С.Д. Скляренка
Схвалено до використання
методичною радою методичного кабінету відділу освіти
Золотоніської міської ради Черкаської області
(протокол №3 від 19.12.2012)

_______________________________________________________________________________________
Золотоніська гімназія ім. С. Д. Скляренка О.Я. Бей
3
Виставка ППД «Освіта Черкащини» Дидактичні матеріали з математики для 11 класу рівня стандарту
ЗМІСТ
ВСТУП .......................................................................................................................... 4
КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ З АЛГЕБРИ ....................................................................... 8
Контрольна робота №1. Показникова та логарифмічна функція ...................... 8
Контрольна робота №2. Похідна та її застосування ........................................ 12
Контрольна робота №3. Інтеграл та його застосування. ................................ 17
Контрольна робота №4. Елементи теорії ймовірності і математичної
статистики ........................................................................................................... 24
Підсумкова контрольна робота ............................................................................ 28
КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ З ГЕОМЕТРІЇ .................................................................. 32
Контрольна робота №1. Координати та вектори у просторі ......................... 32
Контрольна робота №2. Геометричні тіла і поверхні ...................................... 35
Контрольна робота №3. Об’єми геометричних тіл .......................................... 40
Контрольна робота №4. Площі поверхонь геометричних тіл .......................... 45
Підсумкова контрольна робота ............................................................................ 51
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ .......................................................... 56

_______________________________________________________________________________________
4
ВСТУП
об стати успішним учасником




_______________________________________________________________________________________
5








_______________________________________________________________________________________
6



’
иро сподіваюся, що мій навчальний посібник, знадобиться

_______________________________________________________________________________________
7
вчителям, студентам, учням, а також всім тим, хто прагне отримати глибокі
знання з математики.

_______________________________________________________________________________________
8
КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ З АЛГЕБРИ
Контрольна робота №1
Тема: «Показникова та логарифмічна функція»
І Варіант
1. Розв’язати рівняння:
а)
(2,5 бали)
Відповідь: 16
б)
(2,5 бали)
Відповідь:
2. Розв’язати нерівність (3 бали)
( ) ( )
Відповідь:
3. Розв’язати систему (4 бали)
{
( )
Відповідь: (1;7), (7;1)
ІІ Варіант
а)
(2,5 бали)
б)
(2,5 бали)
Відповідь:
( )
( )

_______________________________________________________________________________________
9
Відповідь:
)
{
( )
Відповідь: (1;2), (2;1)
ІII Варіант
а)
(2,5 бали)
б)
(2,5 бали)
Відповідь: 27; 81
( )
( )
Відповідь: (
)
{
( )
Відповідь: (4;1)
ІV Варіант
а)
(2,5 бали)
б)
(2,5 бали)
Відповідь: 1000; 0,01

_______________________________________________________________________________________
10
( ) ( )
Відповідь:
{
Відповідь: (
)
Розв’язки завдань
І Варіант
а)
(2,5 бали)
Розв’язання
О.Д.З.
б)
(2,5 бали)
О.Д.З.
Виконаємо заміну
Відповідь:
( ) ( )

_______________________________________________________________________________________
11
{
{
{
{
Розв’язки нерівності відсутні
Відповідь:
{
( )
О.Д.З {
{
{
( )
Відповідь: (1;7), (7;1)

_______________________________________________________________________________________
12
Тема: «Похідна та її застосування»
І Варіант
1. Обчисліть границі функцій (2 бали)
а)
( )
Відповідь: -2
б)
2. Обчисліть похідні (8 балів)
а) √
Відповідь:
√
б)
Відповідь:
в)
Відповідь:
( )
г)
Відповідь:
3. Напишіть рівняння дотичної до графіка функції ( ) в точці
(2 бали)
Відповідь:
ІI Варіант
а)
( )

_______________________________________________________________________________________
13
б)
а) √
Відповідь:
√
б)
Відповідь:
в)
Відповідь:
( )
г)
(2 бали)
ІII Варіант
а)
( )
б)
а) √
Відповідь:
√

_______________________________________________________________________________________
14
б)
Відповідь:
в)
Відповідь:
( )
г)
(2 бали)
ІV Варіант
а)
( )
б)
а) √
Відповідь:
√
б)
Відповідь:
в)
Відповідь:
( )
г)

_______________________________________________________________________________________
15
(2 бали)
І Варіант
а)
( )
( )
б)
( )
а) √
√
√
Відповідь:
√
б)
Відповідь:

_______________________________________________________________________________________
16
в)
( )( ) ( )
( )
( )
( )
Відповідь:
( )
г)
( )
Відповідь:
(2 бали)
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
Відповідь:

_______________________________________________________________________________________
17
Тема: «Інтеграл та його застосування»
І Варіант
1. Обчислити (6 балів)
а)
∫ √
Відповідь:
√
б)
∫
Відповідь:
в)
∫
Відповідь: √
г)
∫ (
)
Відповідь: 8,1
2. Знайдіть площу фігури обмеженої лініями (6 балів)
а)
Відповідь:
(кв. од.)
б)

_______________________________________________________________________________________
18
Відповідь: ( )
ІI Варіант
а)
∫ √
Відповідь:
б)
∫
в)
∫ (
)
Відповідь:
г)
∫
а)
(кв. од.)
б)
Відповідь: (кв од )

_______________________________________________________________________________________
19
ІII Варіант
а)
∫( )
б)
∫
в)
∫
г)
∫ (
)
Відповідь:
а)
Відповідь: 4,5 (кв. од.)
б)
Відповідь:
(кв. од.)
ІV Варіант

_______________________________________________________________________________________
20
а)
∫ √
Відповідь:
б)
∫
в)
∫ (
)
Відповідь:
г)
∫
а)
Відповідь: 36 (кв. од.)
б)
Відповідь:
(кв. од.)
І Варіант

_______________________________________________________________________________________
21
а)
∫ √
∫ √
∫( )
( )
√( )
√
√
√
Відповідь:
√
б)
∫
∫
Відповідь:
в)
∫
∫
(
)
√
г)

_______________________________________________________________________________________
22
∫ (
)
∫ (
)
(
)
(
)
а)
Побудуємо фігуру площу якої треба знайти.
- парабола, вітки вниз.
Знайдемо координати вершини параболи:
. (
) - вершина
параболи.
Знайдемо точки перетину параболи з
осями координат:
Вісь ОХ перетинається в точках:
(-1; 0), (4; 0). Вісь ОY перетинається в точці
(0; 4).
Знайдемо межі інтегрування,
розв’язавши рівняння:
.
∫(
) ∫(
)
(
)
(
)

_______________________________________________________________________________________
23
( )
Відповідь:
(кв. од.)
б)
Побудуємо фігуру площу якої
треба знайти.
- гіпербола. - пряма
паралельна осі ОХ, що перетинає вісь
ОY в точці 4. – пряма паралельна
осі ОY, що перетинає вісь ОX в точці 3.
Знайдемо межі інтегрування,
розв’язавши рівняння:
∫ (
)
( ( )) =
Відповідь: (кв. од.)

_______________________________________________________________________________________
24
Тема: «Елементи теорії ймовірності і математичної статистики»
І Варіант
1. Скільки чотиризначних номерів можна утворити із 6 цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6,
якщо кожна цифра зустрічається один раз? (2 бали)
Відповідь: 360 номерів
2. Розв’яжіть рівняння:
(4 бали)
3. Піднести до степеня: ( ) (3 бали)
Відповідь:
4. У вазі 20 троянд і 10 ромашок. Яка імовірність того, що серед навмання
взятих 5 квіток виявиться 2 ромашки? (3 бали)
Відповідь: 36%
ІІ Варіант
1. У профшколі 9 осіб. Із них треба вибрати голову, заступника, секретаря і
культорга. Скількома способами це можна зробити? (2 бали)
Відповідь: 3024 способами
(4 бали)
Відповідь:
4. У партії із 30 деталей 7 бракованих. Яка імовірність того, що із навмання
взятих 4 деталей 1 бракована? (3 бали)

_______________________________________________________________________________________
25
ІІІ Варіант
1. У команді з плавання 5 осіб. Всього в змаганнях бере участь 25 осіб.
Скількома способами можуть розділитись місця, зайняті членами цієї
команди? (2 бали)
Відповідь: 6375600 способів
(4 бали)
Відповідь:
4. У ящику 8 однакових кубиків, помічених номерами від 1 до 8. Навмання
виймають 5 кубиків. Яка імовірність того, що серед них виявиться кубик
з № 4 та № 5? (3 бали)
ІV Варіант
1. Скільки чотиризначних номерів можна утворити із 5 цифр: 1; 2; 3; 4; 5,
(4 бали)
Відповідь: 6; 11
Відповідь:
4. У коробці 12 білих і 8 червоних кульок. Навмання виймають 5 кульок.
Яка імовірність, що серед них буде 2 червоні? (3 бали)
І Варіант
1. Скільки чотиризначних номерів можна утворити із 6 цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6,

_______________________________________________________________________________________
26
(номерів)
(4 бали)
( )
( )
( )( )
( )
– не задовольняє умову
- не задовольняє умову
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Відповідь:
4. У вазі 20 троянд і 10 ромашок. Яка імовірність того, що серед навмання
взятих 5 квіток виявиться 2 ромашки? (3 бали)
Подія А – із 5 квіток 2 ромашки.

_______________________________________________________________________________________
27
( )

_______________________________________________________________________________________
28
Підсумкова контрольна робота
І Варіант
1. Знайти проміжки зростання (спадання) та точки екстремуму функції
( )
(4 бали)
Відповідь: Функція зростає на ( ) ( ), спадає на
( ) ( ). x=-4 – точка максимуму, x=2 – точка мінімуму
2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:
(5 балів)
3. Записати рівняння дотичної до графіка функції , що
проходить через точку (3 бали)
Відповідь:
ІI Варіант
( )
(4 бали)
(5 балів)
Відповідь: 9 (кв. од.)
Відповідь:
ІII Варіант
( )
(4 бали)

_______________________________________________________________________________________
29
(5 балів)
Відповідь:
І Варіант
( )
(4 бали)
Область визначення функції:
( )
( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )( )
Функція зростає на ( )і( ),
спадає на ( ) ( ).
x=-4 – точка максимуму,
x=2 – точка мінімуму.
( ) ( ). x=-4 – точка максимуму, x=2 – точка мінімуму.
(5 балів)

_______________________________________________________________________________________
30
Побудуємо фігуру площу якої треба знайти.
- парабола, вітки
вгору. Знайдемо координати вершини
параболи: . ( ) -
вершина параболи.
Знайдемо точки перетину
параболи з осями координат:
Вісь ОХ
перетинається в точці: (-1; 0). Вісь ОY
перетинається в точці (0; 1).
Знайдемо межі інтегрування, розв’язавши рівняння:
.
∫(
) ∫(
)
(
)
(
)
( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )

_______________________________________________________________________________________
31
Відповідь:

_______________________________________________________________________________________
32
КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ З ГЕОМЕТРІЇ
Тема: «Координати та вектори у просторі»
І Варіант
1. На осі y знайдіть точку рівновіддалену від точок A (-3; 7; 2) і B(2; -3; 3).
(3 бали)
Відповідь: (0; 2; 0)
2. Дано три вершини A (1; 4; 2), B(2; -1; 5), C(0; -2; 4) прямокутника ABCD.
Знайдіть координати четвертої вершини D. (4 бали)
Відповідь: (-1; 3; 1)
3. Напишіть рівняння площини, що проходить через точки: A1 (4; 0; 3),
А2(5; 2; 0), А3(3; 1; 2) (5 балів)
Відповідь: x+4y+3z-13=0
ІI Варіант
1. На осі z знайдіть точку рівновіддалену від точок A (-2; 0; 3) і B(0; 2; -1).
(3 бали)
2. Дано три вершини A (1; -2; 7), B(2; 3; 5), D(-1; 3; 6) ромба ABCD.
Знайдіть координати четвертої вершини С. (4 бали)
3. Знайдіть рівняння площини, що проходить через точки: A1 (1; 2; 2), А2(1;
-2; 2), А3(-1; 1; -2) (5 балів)
Відповідь: 2x-z=0
ІIІ Варіант
1. На осі y знайдіть точку, віддалену від точки A (5; -1; 4) на віддаль √ . (3
бали)
Відповідь: (0; -3; 0) і (0; 1; 0)
2. Дано три вершини A (-1; 1; -4), B(-2; 0; 0), C(1; -1; -2) паралелограма
ABCD. Знайдіть координати четвертої вершини D. (4 бали)

_______________________________________________________________________________________
33
Відповідь: (2; 0; -6)
3. Знайдіть рівняння площини, що проходить через три точки: B1 (-1; 2; 0),
B2(1; -1; 3), B3(0; -1; 2) (5 балів)
Відповідь: 3x-y-3z+5=0
ІV Варіант
1. На осі z знайдіть точку рівновіддалену від точок A (1; 2; 0) і B(-1; -2; 1).
(3 бали)
Відповідь: (0; 0; 0,5)
2. Дано три вершини A (2; -1; 8), B(3; 4; 6), D(0; 4; 6) ромба ABCD.
Знайдіть координати четвертої вершини C. (4 бали)
3. Знайдіть рівняння площини, що проходить через три точки: C1 (2; 3; 0),
C2(-1; 1; -1), C3(0; -2; -1) (5 балів)
Відповідь: 3x+y-11z-9=0
І Варіант
1. На осі y знайдіть точку рівновіддалену від точок A (-3; 7; 2) і B(2; -3; 3).
(3 бали)
Нехай це точка C(0; y; 0); AC=BC.
AC2=(0+3)2+(y-7)2+(0-2)2=9+y2-14y+49+4=y2-14y+62;
BC2=(0-2)2+(y+3)2+(0-3)2=4+y2+6y+9+9=y2+6y+22;
y2-14y+62= y2+6y+22;
20y=40;
y=2;
Отже це точка C(0; 2; 0)
2. Дано три вершини A (1; 4; 2), B(2; -1; 5), C(0; -2; 4) прямокутника ABCD.
Знайдіть координати четвертої вершини D. (4 бали)

_______________________________________________________________________________________
34
О – точка перетину діагоналей прямокутника.
O (x; y; z). O – середина AC.
(
).
Нехай D (x'; y'; z'). O – середина BD, маємо
Отже D(-1; 3; 1)
Відповідь: (-1; 3; 1)
3. Напишіть рівняння площини, що проходить через точки: A1 (4; 0; 3),
А2(5; 2; 0), А3(3; 1; 2) (5 балів)
( ) ( ) ( )
( )
{
{
{
( ) ( ). Рівняння площини x+4y+3z+d=0. A1 – належить
площині, тому 4+0+9+d=0; d=-13.
Отже рівняння площини: x+4y+3z-13=0
Відповідь: x+4y+3z-13=0

_______________________________________________________________________________________
35
Тема: «Геометричні тіла і поверхні»
І Варіант
1. У правильну чотирикутну піраміду, плоский кут при вершині якої
дорівнює , вписано кулю радіуса r. Знайдіть сторону основи піраміди. (6
балів)
Відповідь:
(
)
√
2. Знайти радіус кулі, описаної навколо правильної чотирикутної призми зі
стороною основи а і вистою h. (6 балів)
Відповідь:
√
ІI Варіант
1. У правильну шестикутну піраміду, кут між висотою і апофемою якої
дорівнює , вписано кулю радіуса r. Знайдіть апофему піраміди. (6 балів)
Відповідь:
( )
2. Навколо прямої призми з висотою h, в основі якої лежить рівнобедрений
трикутник з основою а і прилеглим до неї кутом , описано кулю.
Знайдіть її радіус. (6 балів)
Відповідь:
√
ІII Варіант
1. У правильну трикутну піраміду, вписано кулю радіуса r. Знайдіть
сторону основи піраміди, якщо кут між висотою і бічною гранню
дорівнює . (6 балів)
Відповідь: ( )√
2. Знайдіть радіус кулі, описаної навколо правильної шестикутної призми зі
стороною основи а і висотою h. (6 балів)
Відповідь:
√

_______________________________________________________________________________________
36
ІV Варіант
1. У правильну чотирикутну піраміду, кут між висотою і апофемою якої
дорівнює , вписано кулю радіуса r. Знайдіть апофему піраміди. (6 балів)
Відповідь:
( )
2. Знайдіть радіус кулі, описаної навколо правильної трикутної призми зі
стороною основи а і висотою h. (6 балів)
Відповідь:
√
√

_______________________________________________________________________________________
37
І Варіант
1. У правильну чотирикутну піраміду, плоский кут при вершині якої
дорівнює , вписано кулю радіуса r. Знайдіть сторону основи піраміди. (6
балів)
SABCD – правильна чотирикутна піраміда, SO1 – її висота, О – центр
вписаної кулі. ; ON=OO1=r.
Нехай сторона основи дорівнює а.
. Із
( )
. Із ( )
√ √
√
;
√
.
, як прямокутні за гострим кутом.

_______________________________________________________________________________________
38
√
;
√
√
(
)
√
Відповідь:
(
)
√
2. Знайти радіус кулі, описаної навколо правильної чотирикутної призми зі
стороною основи а і вистою h. (6 балів)
ABCDA1B1C1D1 – правильна чотирикутна призма. AB=BC=CD=AD=a;
O1O2=h; O – центр кулі. OO2=OO1=
. AO1=
√
.

_______________________________________________________________________________________
39
Із ( ) √
√
√
Відповідь:
√

_______________________________________________________________________________________
40
Тема: «Об’єми геометричних тіл»
І Варіант
1. Основою прямого паралелепіпеда є ромб, площа якого рівна S1. Площі
діагональних перерізів дорівнюють S2 і S3. Знайдіть об’єм паралелепіпеда
(4 бали)
Відповідь:
√
2. В правильній шестикутній призмі діагональ найбільшого діагонального
перерізу рівна d і утворює з площиною основи кут . Знайдіть об’єм
призми. (4 бали)
Відповідь:
√
3. За висотою h правильного тетраедра знайти його об’єм. (4 бали)
Відповідь:
√
IІ Варіант
1. В прямому паралелепіпеді сторони основи 4 і 6 см., утворюють кут 600.
Більша діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут 450.
Знайдіть об’єм паралелепіпеда. (4 бали)
2. Основа призми – трикутник зі сторонами 8, 9 і 11 см. Знайдіть об’єм
призми, якщо її висота рівна найбільшій висоті основи. (4 бали)
3. Основа піраміди DABC – трикутник, у якого .
Знайдіть об’єм піраміди, якщо бічне ребро AD перпендикулярне до
площини основи і кут між площинами . (4 бали)
Відповідь:
IIІ Варіант
1. Основою похилого паралелепіпеда є квадрат зі стороною a, а бічні грані -
ромби з гострими кутами по 600. Знайдіть об’єм паралелепіпеда (4 бали)

_______________________________________________________________________________________
41
Відповідь:
√
2. Основою похилої призми є прямокутний трикутник з катетами 6 і 8 см.
Бічна грань, що проходить через гіпотенузу основи, має площу 200 см2 і
перпендикулярна до основи. Знайдіть об’єм призми. (4 бали)
3. Основа піраміди – ромб з тупим кутом і меншою діагоналлю d.
Висота піраміди проходить через точку перетину діагоналей ромба.
Знайдіть об’єм піраміди, якщо більше бічне ребро нахилене до площини
основи під кутом . (4 бали)
Відповідь:
IV Варіант
1. Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат площею 18 см2.
Знайдіть об’єм паралелепіпеда, якщо його діагональ дорівнює 10 см. (4
бали)
Відповідь:
2. Основою прямої призми є прямокутний трикутник з гострим кутом і
радіусом описаного кола R. Діагональ бічної грані, що містить гіпотенузу,
нахилена до площини основи під кутом . Знайдіть об’єм призми. (4
бали)
Відповідь:
3. У правильній трикутній піраміді апофема дорівнює 8 см і утворює з
висотою кут 300. Знайти об’єм піраміди. (4 бали)
Відповідь:
І Варіант
1. Основою прямого паралелепіпеда є ромб, площа якого рівна S1. Площі
діагональних перерізів дорівнюють S2 і S3. Знайдіть об’єм паралелепіпеда
(4 бали)

_______________________________________________________________________________________
42
ABCDA1B1C1D1 – даний прямий паралелепіпед. ABCD – ромб.
.
Нехай . Тоді:
{
{
;
√
√
√
.
; S=
√
√
√ .
Відповідь:
√
2. В правильній шестикутній призмі діагональ найбільшого діагонального
перерізу рівна d і утворює з площиною основи кут . Знайдіть об’єм
призми. (4 бали)

_______________________________________________________________________________________
43
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 – правильна шестикутна призма. AA1D1D –
найбільший діагональний переріз, АD1 – його діагональ.
.
.
√
√
√
√
√
Відповідь:
√
3. За висотою h правильного тетраедра знайти його об’єм. (4 бали)

_______________________________________________________________________________________
44
SABC – правильний тетраедр. SO – його висота. Нехай сторона
тетраедра рівна a.
√
(за умовою).
√
√
√
√
Відповідь:
√

_______________________________________________________________________________________
45
Тема: «Площі поверхонь геометричних тіл»
І Варіант
1. Відрізок, що з’єднує центр основи циліндра із точкою кола іншої основи
дорівнює b і утворює зі своєю проекцією на основу кут . Знайти повну
поверхню циліндра. (4 бали)
2. Конус з вистою 4 см вписано в піраміду, основою якої є рівнобедрений
трикутник. Точка дотику основи конуса до бічної сторони трикутника
ділить її на відрізки 7 см і 5 см, рахуючи від його вершини. Знайдіть
бічну поверхню конуса. (4 бали)
Відповідь:
√
3. Два перерізи кулі мають одну спільну точку, а їх площини утворюють
між собою кут 900. Площі утворених перерізів рівні
.
Знайдіть площу поверхні кулі. (4 бали)
Відповідь:
ІІ Варіант
1. Хорда основи циліндра рівна a. Відрізок, що сполучає центр іншої основи
з серединою даної хорди, дорівнює d і утворює з площиною основи кут
. Знайти бічну поверхню циліндра. (4 бали)
2. Конус описано навколо піраміди, в основі якої лежить прямокутний
трикутник з катетами 4 см і √ см. Твірні конуса, що проходять через
кінці гіпотенузи утворюють між собою кут 1200. Знайти повну поверхню
конуса. (4 бали)
Відповідь:
( √ )
між собою кут 600. Одна з них проходить через центр кулі. Площа

_______________________________________________________________________________________
46
перерізу кулі, утвореного іншою площиною дорівнює 49 . Знайдіть
площу поверхні кулі. (4 бали)
Відповідь:
1. Хорда основи циліндра рівна a і стягує дугу 2 . Відстань від центра
іншої основи до цієї хорди рівна d. Знайти повну поверхню циліндра. (4
бали)
Відповідь:
( √
2. Конус описано навколо піраміди, в основі якої лежить прямокутний
трикутник з катетами 4 см і √ см. Твірні конуса, що проходять через
кінці гіпотенузи утворюють між собою кут 1200. Знайти повну поверхню
конуса. (4 бали)
Відповідь:
( √ )
3. Кулю перетнуто площиною. Діаметр утвореного перерізу, площа якого
рівна 36 , видно з центра кулі під кутом 1200. Знайдіть площу
поверхні кулі. (4 бали)
ІV Варіант
1. Діагональ осьового перерізу циліндра l, а кут між діагоналлю перерізу і
віссю циліндра – . Знайти бічну поверхню циліндра. (4 бали)
Відповідь:
2. Два діаметри основи конуса перетинають під кутом 600. Відрізок, що
з’єднує їх кінці лежить проти заданого кута, рівний 6 см. Знайти повну
поверхню конуса, якщо його висота рівна 8 см. (4 бали)
Відповідь:
3. Площа поверхні кулі 400 . На якій відстані від центра кулі проведено
переріз, площа якого 64 (4 бали)
Відповідь: .

_______________________________________________________________________________________
47
І Варіант
1. Відрізок, що з’єднує центр основи циліндра із точкою кола іншої основи
дорівнює b і утворює зі своєю проекцією на основу кут . Знайти повну
поверхню циліндра. (4 бали)
Згідно умови OA=b; .
( ) .
Із ( ) .
( ) ( )
2. Конус з вистою 4 см. вписано в піраміду, основою якої є рівнобедрений
трикутник. Точка дотику основи конуса до бічної сторони трикутника
ділить її на відрізки 7 см. і 5 см., рахуючи від його вершини. Знайдіть
бічну поверхню конуса. (4 бали)

_______________________________________________________________________________________
48
SO – висота конуса вписаного в піраміду, трикутник ABC –
рівнобедрений. N – точка дотику основи конуса до бічної сторони трикутника
ABC. SO=4 см; AN=7см; NC=5 см.
AC=7+5=12 (см). AK=7 см; KB=5 см; BM=KB, CM=NC , як відрізки
дотичних, продених до кола з однієї точки. BM=MC=5 см; BC=10 см. ON=r;
√ ( )( )( )
√
( )( )(
( )
√
√
.

_______________________________________________________________________________________
49
, як радіус до дотичної. За теоремою про три перпендикуляри
. Із ( ) √ √
√
√
√
Відповідь:
√
між собою кут 900. Площі утворених перерізів рівні
.
Знайдіть площу поверхні кулі. (4 бали)
O – центр кулі, О1, О2 – центри перерізів кулі, які мають одну спільну
точку – B.
√
√
√
√
√

_______________________________________________________________________________________
50
Відповідь:

_______________________________________________________________________________________
51
Підсумкова контрольна робота
І Варіант
1. Висота правильної трикутної піраміди рівна h, а двогранний кут при ребрі
основи - . Знайдіть об’єм кулі, вписаної в дану піраміду. (4 бали)
Відповідь:
2. Основою прямого паралелепіпеда є ромб із стороною а і тупим кутом .
Більша діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом
. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда. (4 бали)
Відповідь: √ √
3. Точка А знаходиться на відстані 9 см від площини а. похилі AB і AC
утворюють із площиною а кути 450 і 600, а кут між проекціями похилих
на площину а рівний 1500. Знайдіть відстань між точками B і C. (4 бали)
ІІ Варіант
1. Апофема правильної трикутної піраміди рівна h, а двогранний кут при
ребрі основи - . Знайдіть площу поверхні сфери, вписаної в дану
піраміду. (4 бали)
Відповідь:
2. Основою прямої призми є ромб із діагоналями 10 см і 24 см. Менша
діагональ призми рівна 26 см. Обчисліть площу бічної поверхні призми.
(4 бали)
3. З точки M до площини а проведено похилі MB і MC , які утворюють із
площиною а кути по 300. Знайдіть відстань від точки M до площини а,
якщо , а BC=8 см. (4 бали)
1. Висота правильної чотирикутної піраміди рівна h, а двогранний кут при
ребрі основи - . Знайдіть об’єм кулі, вписаної в дану піраміду. (4 бали)

_______________________________________________________________________________________
52
Відповідь:
2. Основою прямого паралелепіпеда є ромб із стороною а і гострим кутом
. Менша діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під
кутом . Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда (4 бали)
3. Точка K знаходиться на відстані 6 см від площини а. похилі KA і KB
утворюють із площиною а кути 450 і 300, а кут між похилими рівний 1350.
Знайдіть відстань між точками B і А. (4 бали)

_______________________________________________________________________________________
53
І Варіант
1. Висота правильної трикутної піраміди рівна h, а двогранний кут при ребрі
основи - . Знайдіть об’єм кулі, вписаної в дану піраміду. (4 бали)
SABC – правильна трикутна піраміда. SO=h; . За теоремою
про три перпендикуляри
- центр вписаної кулі.
Відповідь:
2. Основою прямого паралелепіпеда є ромб із стороною а і тупим кутом .
Більша діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом
. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда. (4 бали)

_______________________________________________________________________________________
54
ABCDA1B1C1D1 – прямий паралелепіпед. ABCD – ромб,
= AC – більша діагональ основи.
.
√ √ √ √
√ √ √ √
√ √
3. Точка А знаходиться на відстані 9 см від площини . похилі AB і AC
утворюють із площиною кути 450 і 600, а кут між проекціями похилих
на площину рівний 1500. Знайдіть відстань між точками B і C. (4 бали)

_______________________________________________________________________________________
55
( ) √ ( )
√
√ √ ( ) √ √
√ ( )

_______________________________________________________________________________________
56
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Бурда М.І., Бішеніна О.Я., Вашуленко О.П., Прокопенко Н.С. Збірник
завдань для державної підсумкової атестації з математики. 11 клас. –
Харків: Гімназія, 2008.
2. Веселовський С.Б, Рябчинськая В.Д. Дидактиктические материалы по
геометрии для 11 класса. – Москва: Просвещение, 1992.
3. Возняк Г.М., Возняк О.Г. Збірник задач з геометрії для 10-11 класів. –
Київ: Освіта, 1993.
4. Гоєва Т.Г. Зошит для самостійних і контрольних робіт. Геометрія, 11. –
Харків: 2004.
5. Істер О.С., Глобін О.І., Панкратова І.Є. Збірник завдань для державної
підсумкової атестації з математики. 11 клас. – Київ: Центр навчально-
методичної літератури, 2011.
6. Лоповок Л.М. Збірник задач з геометрії для 10-11 класів. – Київ: Освіта,
1993.
7. Підручна М.В., Янченко Г.М., Гринчишин Я.Г. Дидактичні матеріали з
геометрії для 11 класу. – Тернопіль: Підручники і посібники, 1996.
8. Рябчинська В.Д. Дидактичні матеріали з алгебри і початків аналізу для
10-11 класів. – Київ: Освіта, 1993.
9. Старова О.О., Маркова І.С. Готуємось до підсумкової атестації,
зовнішнього незалежного оцінювання. – Харків: Видавнича група
«Основа», 2008.

Дидактичні матеріали з математики для 11 класу рівня стандарту

More Related Content

What's hot

Similar to Дидактичні матеріали з математики для 11 класу рівня стандарту

More from zologym

Recently uploaded

Дидактичні матеріали з математики для 11 класу рівня стандарту