3

2. 7 АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.)

3. АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)
1.9. Наприклад;
Зл + 1 5л + Зл2+4 0 .. Зл4 -5 л + 1 _
= 3: lim---------^----- -- 3; lim—-----------5--------7 = 3;1) lim
— л
2) lim
4л + п2- 1... ... . л’ + л3+ л2+ п + 1
->І2п+Ь fp -УІ2пЛ- П ГР ,. I - >І2п2 ГР
------- — = —V2; lim —---- 3—7=- v 2; lim —------r =W 2.
л + 3 '•-+«л + л‘ + 4 « »- 1+ л
1.10. Так, наприклад, lim 0,7 = 0,7.
*
1.11 . Василь розв’язав завдання невірно. Теорема про границю суми послідовності
вірна для скінченої кількості.
1.12. 1) Hm , ^ ,, + ? — « lim '•І2п + 3(%/4л.|+ 1- ^*+11-------
V4n + X+ sin + 3 • *-(V4/* + l+V n + 3)w4n + l-v /n + 3)
= lim
^ 2л + З (V4л + 1 - 7 л + З) .. >/2л + 3>/4л + 1 - >/2л + 3>/л + З
----------------------------------- = Jim—------------------------------------------ --
4л + 1 - (л + 3) •-*- Зл - 2
>JSn2 + 2л + 12л + 3 .. І2п2 + 6л + Зл + 9
lim ---------------------------- lim --------------------------=
я—~ Зл —2 Зл - 2
.. >/вл* + 14л + 3 .. І2п2 р 9л + 9 ..
= lim----- ---------------um-------------------= lim
л-*~ Зл - 2 я-»" Зл - 2 «-♦-
о 14 З
8 + — +
n n- lim '
3 - 1
л
о 9 92 + - + —
Л Л“
3 - І
л
2л
2) lim --------------— —
Vn2+ 1 + V2 + л2
1.13. 1) lim
lim
>/л + 2
і + !
Л
: /і г т і + і
lim J - + 1 +hm J l + —
ул у л
v/2
' 3 ’
- lim . 2 _ 2 2
«■*- L 1 /2 , 1+1 2
v1 + T7 + J-T + lV л Vn
, 2
lim N л
+ 3 /1 L з
J - + 1 + J 1+ -
Ул V л
1 1 .
3 1 + 1 2 *
1.14. і) Нш(л/лТТ - = Um lim «Ü z« =
я"4“ Vn + l + V/i *-*"Vn + l+V n
1
lim -7 — 1---- 7=- в lim . ^ —=
>/л + 1 + Vn л_*~ L 1 1
lim -і»
v л
L Г [ ї .. Г Г .. (Г 1-+0
J 1+ —+ ./— lim. 1+ —+ lim J —
V л Ул л-»~У л “-*• ул
0;
2) ь™ (^ т т " - » ) ( > / ^ + ») _ ид, _
7 л2 - л + л ----yjn2- n + Л

4. Um ;—---?■■-----= lim 1
-1 1
оч л/л3 + 2n2 - Jn* ,. (7л3 + 2л2 - л/л^Нл/л3 + 2л2 + Vn*)
3) hm--------r - ------ = lim
= lim
vn + 1
n3 + 2л2 - л:
= lim
>/л + 1(Vna+ 2л2 + л/л3)
2л2
n_>“ yjn + 1 (yjn3 + 2л2 + л/л3) /n + 1 (>/л3 + 2л2 + fn*")
2 2
= lim
^ 7 І ( ^ Д + т г ) 1 (1+
1)
= 1.
1.15.1) lim (n - 7 7 7 І ) - lim (д - . iim "* - 3 .
n + vn2 + 3
= lim
-3
л + >/л2+ 3
= lim
lim—
л
1 h 3 V , f, 3 1 + 11+J1+-T hml +Jl +—
V n »•*- Y л
A""‘n + Vn + 3
= 0;
2) lim (V 7 7 I - V ^ T ^ ) = lim ^ + 3"1 =
Vn2 + 1 + л/л2 + Зл
.. л2 + 1 - л2 - Зл ..
= Um ■ ---- g-. - = lim
1 - Зл i - 3
УІП2 + 1L+ л/л2 + Зл
lim І( І - з )
я-»—1kл /
= lim
.. L Г .. Г з 1 + 1
lim .11 + —=-+ lim J1 + —
•-“ V n *— V л
3 3
2
1.16. Ні. Не виконується умова: для будь-якого числа £ > 0 існує такий номер
л0, що для всіх л > л0 виконується |ал - а| < є.
1.17. Шпап=о
1) Можуть бути члени, більші ніж 1 000 000;
2) усі члени можуть бути від’ємними.
1.18. Послідовність є збіжною.
Наприклад, ап = —, вилучили л - 2&, залишилося а2к_х = — -— , lim — -— = 0.
л 2k - 1 *-**• 2k - 1
1.19. Послідовність залишиться збіжною, границя послідовності не зміниться.
1.20.Ні. lim sin ап = а.
Наприклад, а = ял, lim ял =
п я-**»
1.21. Ні. Наприклад, д.п= (-1)", 1іт|(-1)л| = 1, а границі ап« (-1)", п -> х н е існує.
1.22. Н та = а
я-«—
1) lim а2 = lim а -а = lim а •lim а = а •а = а2;
ся
АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)

5. 2) lima'6 = lima ■a •...- a„ = lim a. lima. •... •lima. = a a ■... a = a'
ISмножнячі» ISМВОЖИИКІР
15 мяожиихія
1.23. lima. = 2
1) lim a.a.., = lima. ■lim a.., = 2-2 = 4;
0 4 ” л a. +a.
2) hm-— 2— Jji2- = hm •= lim-
»^ ~(a.-n ) +1 » --a ;-2 a . n + n2+ l «— a2 2a 1
~ ----=-+1+—
n n n
= 1 = 2.
limlЛ-*■"‘к * ) 1
Liml
л 1
2а
-==і + 1 +
п і )
1.24. lima = 3Л—»-
X) lim(a. + a„.,)(a. - 2) = lim(a. + a.„) -lim(a. - 2) = (3 + 3) •(3 - 2) = 6;
я >•“ /W~
1-1 3 - 1 2 12) lim- , - . ------.------------------.
*-*“ a2+ 5 lim(a2+5) З2+5 14 7
2. Уявлення про границю функції в точці та про неперервність функції в точці
2) f(x) - 2х - 1, *0 = 0; lim(2x - 1) = -1;
3) Лж) =7 ^ Т ’ *•“ І!
. (дг- 2)(х+2)
Дх) = і------ ----— - = х + 2, х * 2 ;
х - 2

6. =(Т+*г)ип[:2-=,03c‘I+^=(ar)/(2

7. АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)
2.3. а) Так; б) так; в) так; г) ні; ґ) ні; д) ні; е) ні; є) ні; ж) так; з) так; і) так.
2.4. 1) а) /(1) - 3; б) ЛІ) - 2;
2) а) ні;
3) а) lim f(x) = 1;
х-*2
б) lim f(x) = 2;
Х-ФІ
б) lim Дх) = 1.
x—2
2.5. 1) fix) - Xіyx 1, fix) 1;
2) fix) - x + 1, x -> -2, fix) -> -1;
3) fix) = x -> 0, Дх) -> 1;
4) Дх) - Л, x -> a, /(x) -> /г.
2.6. 1) Дх) - x2 - l f xe - -1;
Л-1) - 1 - 1 = 0; lim(x2 ~ 1) = 0 => lim f(x) - /(-1) => Дх) неперервна в хЛ—-1;
x.-l JT-+-1 °
2) /(x) = Vx, x0 = 4;
A4) - 2; lim >/x = 2 =* lim f(x) = /(4) => fix) неперервна в xQ= 4;
U
3) xe - 1;
x
Л1) = 1; lim— = 1 => lim f(x) = /(1) => Дх) неперервна в х. = 1;
.»-*1 х *—»і и
4) fix) = V^x, х0 » -1;
Л“1) - 1; lim >/-х = 1 => lim /(х) = /(-1) fix) неперервна в х_ - -1.
2.7. І) « * ).{ * •• « .- 2 ; « 2 ,- 4 ;
[X + 2, якщо х > 2;
lim f(x) = 4 =* /(х) неперервна в х0 - 2;
2) Дх) = і х * Щ х0=» 0; Л0) = 1; ІітД х) = 1 =* fix) неперервна в х0= 0;
|і, якщо х = 0;
х2, якщо х > 1,
о , х = 1; А1) = -1, границі в х = 1
х - 2, якщо х < 1;
СЧ
3) /(х) =
не існує => fix) розривна в х0 * 1.

8. 2.8. і) f(x) =
—, якщо x < -2,
X
x -1 , якщо х > -2;
■*о - “ 2; Л -2) = -3 ;
lim f(x) = -3 => f{x) lim f(x) = /(-2 ) => f(x) неперервна в xrt = -2 ;
jt-»-2 jr »-2
0 ,5 x 2, якщо x < -1,
1;2 ) /<*> = ■ O
x + 3, якщо x > -1;
/(-1 ) ** 0,5; границі в х0 - -1 не існує => f(x) розривна в х0 * 1.
3. Означення границі функції в точці
3.1. 1) lim (2л + 1) = -1;
х~*«1
|(2х + 1) + 1| < є => 2х + 2| < є => 2|х + 1| < є => х + і| < ^ =* б = - .
2 2
£
Тоді з умови 0 < | х + і | < б = — випливає, що |2х + 2| < с => |(2х + 1) + 1| < €
2
Шп(2х + 1) = -1;
*-»-і
2) lim
х 2 - 9
х - З
= 6.
х * _9
Функція /(х) = ------—- при х * 3 збігається з /(х) =* х + 3. Оскільки значення
х —З
границі функції в точці не залежить від того, визначена функція в цій точці, то
достатньо показати, що 1іт(х + 3) = 6.
*"*3
|х + 3 - б | < є = > | х - 3 | < є = > 5 = е.
З умови 0 < | х - 3 | < 5 “ є випливає, що |л - 3 | < б =>|х + 3 - 6 | < е => 1іт(х + 3) = 6;
3) lim
х - х - 6
= -5;
X - х - 6 (х + 2)(х - 3)
= х - 3 при х * -2.
*-*-* х + 2 х + 2 х + 2
Достатньо показати, що 1іт(х - 3) = -5 .
Х-+-2
|х - 3 + 5 | < е =>|х + 2 | < є =>5 = е.
З умови 0 <[х + 2 | < 6 ~ е випливає, що |х + 2| < є => |х - 3 + 5| < є => lim (х - 3) = -5 .
х-*-2
3.2. 1) 1іт(3д; + 2) = 8;
х -»2
|3х + 2 - 8| < є => |3х - 6| < є 3|х - 2| < с |х - 2І < —=> 6 = —.
З З
З умови 0 < |х - 2| < б = ^ => |3х - 6| < є => |3х + 2 - 8| < є => 1іт(3х + 2) = 8.
З *->*
2) lim
г2 - 4
-4;
= х - 2 при х * -2 . Оскільки значення границі функції в
*—* х + 2
х2 - 4 = (х - 2)(х + 2)
х - 2 х + 2
точці не залежить від того, визначена функція в цій точці, то достатньо показа­
ти, що 1іш(х - 2) = -4 . |х - 2 + 4| < є => |х + 2| < є => б - є.
х-*~2
З умови 0 < | х + 2 | < 5 » б =>|х + 2 | < б =>|х - 2 + 4 | < с => 1іт(х - 2) = -4 .
е о
АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)

9. АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)
' х2 - 4х + 3
3) lini--------------- = -2;
х - 1
X2 - 4х + 3 (х - 1)(х - 3)
= х - 3 при х * 1.
X - 1 X - 1
Достатньо показати, що 1іш(х - 3) = -2.
х-,1
|х - 3 -і- 2| < є => |х - 1| < Б => £ - 6.
З умови 0 < | х - 1 ( < б - є = > | х - і | < £ = > | х - 3 + 2 | < є = > 1іт(х - 3) = -2.
. _ х—•1
3.3. Ііт с - су 0 = с - с| < є.
Доведення випливає з означення границі функції
у точці.
3.4. 1іт(&х + Ь) = кхп+ 6;
х-*х0
Ьх + ь - кх0 - Ь < є => кх - кх^ < є => |Л| |х - х0| < є => |х - х0| < щ , к ф 0 5 =
£
З умови 0 < |х - х0| < б = щ => |Л| X їх - Х0| < £ => |/гх - кхД < є =>
=> Ікх + Ь - кха - Ь < е =5- 1іт(/гх + Ь) = Лхп+ б.
Х - ¥ Х 0
3.5. /(*) =г~2|* х0 “ 2-
Припустимо, що границя /(х) у х 0 - 2 існує і дорівнює а. Покажемо, що, напри­
клад, для £ *» 1 неможливо підібрати 5 > 0, щоб з нерівностей 0 < |х - 2| < б ви-
х - 2
пливає нерівність
|х - 2 |
- а < 1.
Якщо 0 < х - 2 < б, то нерівність
0 < а < 2.
Якщо -б < х - 2 <0, то нерівність
-2 < а < 0.
х - 2
< 1 стає такою |1 - а| < 1. Звідси
. - < 1 стає такою h i - а < 1. Звідси
(х - 2)
Оскільки не існує значень а, які б задовольняли кожну з подвійних нерівностей
0 < а < 2 і - 2 < а < 0 , т о /(х) у х0 = 2 не має границі.
Іх + ІІ
3.6. fix)
х + 1
* Хо ” 1*
Припустимо, що границя f(x) у х = -1 існує і дорівнює а. Покажемо, що, напри­
клад, для є = 1 неможливо підібрати б > 0, щоб з нерівностей 0 < |х + 1| < б ви-
ІХ+ 1Іпливала нерівність
х + 1
< 1.
Якщо 0 < х + 1 < 5, то нерівність
0 < а < 2.
Якщо -б < х + 1 <0, то нерівність
-2 < а < 0.
|*+1І
- а
х + 1
- а
< і стає такою іі - а < 1. Звідси
< і стає такою |-1 - а < 1. Звідси
Оскільки не існує значень а, які б задовольняли кожну з подвійних нерівностей
0 < а < 2 і - 2 < а < 0 , то Дх) у х0 *= -1 не має границі.

10. 4. Теорема про арифметичні дії з границями функцій у точці
4.1. 1) 1іт(2х2 - Зх - 1) =1іт(2х2) - ІітЗх - І іт і =2 - 3 - 1 =-2;ДГ-+1 ДГ—>1 Х-+1
2) Ііт х' = 1іт(х2•х2) = Ит х2- Ііт л:2 =1-1 = 1;х-+-1 х-*-1 г-»-1 *-.-1
3) 1іт(ха - Зх - 2) = Ііт ха - Ііт Зх - Ііт 2 = 8 - 6 - 2 = 0;х-»2 дг-+2 г-»2 х-*2
2х - 1 Нт(2д - І) 5
4) І іт -------- = ---------- = —;
~ > З х - 2 1іт(Зх-2) 7
х -»З
г г _ Яг + ч 1іт(х2 - Здс+ 5) =
5) Нт-* ------------- = — = -5;
*-»в хг + 2х - 1 1іт(х + 2х -1 ) -1
х-»0
6) Ііт ( х2- —+ 2 х - 3 | = Ііт х2 - Ііт -і + Ііт 2х - Ііт 3 =
х-*-2 % ) х-+~2х-*-2X х~*-2г-*-2
= 4+ 1 - 4 - 3 =-2-ї-.
2 2
4.2. 1) 1іт(2х2+Зх +5) =Ііт 2х2+Ііт Зх +Ііт 5 =2 +3 +5 =10;X-*1 X—♦1 Х-*1 X—♦1
2) 1іт(ха - Зх2+ 2х +2) = Ііт X а - ІітЗх2+ 1іт2х + Ііт 2 = 8 - 1 2 + 4 + 2 = 2;х-»2 х-*2х-+2 х-»2х->2
3) 1іт(2ха - Зх2 + 6) = Ііт 2ха - Ііт Зх2+ Ііт 6 = -16 -1 2 + 6 = -22;
4) Ііт
7х - 5
5) Ііт-
1іп}(7х - 5) зо
- 3 - і
1іт(10 + 2х) “ 20 ~ 2 ~
1іт(х2 -1 )
*-*о -1
+ 1 1іт(ха+ 1) оо
« Ї З іТ Г г Г - їїЙ Т П г - Т - 28
*-» х2- 5х + 6 (х —3)(х —2) * -> х -2 Ііт(х -2 )
х-*3
3 + 1 4
= 3 - 2 1 _ :
2) Ііт
-Зх - 2 „ х* - 8 - Зх + 6
■= Ііт- :Ііт
(х - 2)(хг + 2х + 4) - 3(х - 2)
Xа - 8 *Тг (х - 2)(хг + 2х + 4) м і (х - 2)(х2+ 2х + 4)
= ііт (Х ~ 2Кх’ + 2* + 4 ~ 3> 1іт *г + 2х + 1 * + 2х + г)
*-*» (х - 2)(х2+ 2х + 4) «-»*х2+ 2х + 4 1іт(х2+ 2х + 4)
х-»2
■п - ї -° -75!
0. .. Зх4 - 5х2 - 12х - 4 (х - 2)(3ха+ 6х2+ 7х + 2)
3) Ііт -----------=----------- *- = ііт '------ ------------------------- - =
*-•• х2- 4 •-» (х - 2Хх + 2)
і Ііт
х-*2
Зх3 + 6х2 + 7х + 2 Цт(3*3+ 6* г + 7* + 2)
х + 2 1іт(х + 2)
х-»2
АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)

11. к
16 АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровськогота ін.)
із
I "
ЧГГ
I3
II
ЮIн
II
СИ Ч~
- зм3
л
I
II
нГЗ
Уа
ІЗ
со| со
и
X3.
ІЗ
ІЗ
ІЗ
II
ІЗ
її
ч “
ІЗ
Із
із із'
*ІОІ
ІЗ
=3
з-■©з
II со II СО II
©З
Ііт-
х-1*
ч"
ІЗ + і ?
11 'З
ІЗ
н-Іі—»
II
із :
13
із
* їх
і і
СОІЇО
II
ІЗ і з
соІ*-
II

12. ■•6. 1) lim ( — ---------- ---------) = lim
*~**V*+ 3 (x + 3)(x-3)J *•>*
3 + 6
= lim
1
(X+ 3)(* - 3)
l
* - 3 6 ’
2
» >212x* - 5* + 2 3(*
= lim
* + 3
з (x + 3)(jc- 3) *-*-• (x + 3)(jc- 3)
(:
2) lim. _ ,1 -1 л .2 c „ . о OT~2
g -4 = И п Г_____ _2
- 3* + 2) J *-* і 2(.x - 0,55)<x - 2) 3(* - 2)(x
= lim 6<* - Л + 2(* - 4)(x - 0,5) _ um 6* - 6 -j-2хг - x - 8x + 4
'♦» 6(jc- 0, ö)(jc- 2)(x - 1)
2x! - 3 x - 2
lim = lim
>2 6 (* -0 ,5 )(x -2 X * -l)
2(x - 2)(x + 0,5)
' >26(x - 0 ,5)(x - 2)(x - 1) *•*26(x - 0,5){x - 2)(x - 1)
* + 0,5 lim(* + 0,5) 2(5 2,5 5
= lim
*-*23(x - 0 ,5)(лг - 1) lim S(x - 0,5)(* - 1) 3 1 , 5 1 4,5 9
x-*t
ЯКЩОX * 0
4.7. Шп{*, - 2* + 2,ЯКІ
r^° [-1, ЯКЩОX = 0
4.8. ит - хг + 3х’ я к щ о х * 3 = о.
12, якщо x - З
4.9. lim j ^ = lim (£±i>(*' ЛГ+ 1)
= lim
ж-- 1Xя + 1 *'»* (X + l)(jcn_1 - Xя + хя~3 + ... - X + 1)
limCx*"1- хт'2+ д:,п‘3 + ... - х + 1)х *- _ х «-2 + + _ х + і
.п-з
m д о д а н к ів
1 + 1 + 1 + . . . + 1 + 1 т
п1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1
+
н
1
1 ' 1іт(дг"'" - Хп~2+ ХЯ~* + ...-JC + 1)
JT-+-1
де т і п — непарні натуральні числа.
п ДОДЯЯК1*
4.10. lim = lim + ... + х + 1)
*-*1 X - І *-і (X - 1)(хл" + хя"2+ ... + X+ 1)
"»додликі»
.. х""1 + х т ~2 + ... + X + 1 1 + 1 + ... + 1
lim-----:------------------------- = -----------------
*-*» хп~' + хп + ... + х + 1 1 + 1+ ... + 1
Л ДОДАНКІВ
5. Неперервність функції в точці. Властивості неперервних функцій
5.1. 1) lim у[х = 3;X >9
3) ^ tg * = tgT = tg(* “ f ) = ~tg7 = - 1;
2) lim sin х = і ;
я о
х“*в
4) lim arcsin х = 0;х-»0
*
5.2. 1) lim -Jx = yf2;х-*2
3) lim ctg х = ctg - —І=
x-.— v 4 /4
5) limarctgx = —.
x-*i 4
2) lim cos x = 0;
c tg -= - 1;
4
АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)

13. АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.) 4) lim arccos х = —;
х~*о 2
5) lim arcctg х = arcctg(-l) = я - arcctg 1 = я - —= — .
*-*-і 4 4
5.3. і) /(*) = yfx + з.
Функції fix) = Vx і fix) - 3 неперервні, то з теореми про арифметичні дії з не­
перервними функціями випливає, що fix) = Jx + 3 також є неперервною.
2) fix) = у[х - хг. Функції fix) = 4х і fix) “ х2неперервні, то за теоремою про ариф­
метичні дії з неперервними функціями випливає, що fix) - >fx - х2 неперервна.
3) fix) = yßx + 2.
fit) = yft и * » 5* + 2 неперервні, то за теоремою про неперервність складеної
функції випливає, що fix) = Vö* + 2 неперервна.
4) Пх) = ч/ї sin х.
Функції у = 4х і у —sin х неперервні, за теоремою про арифметичні дії з непе­
рервними функціями випливає, що fix) = fxsinx неперервна.
5) fix) =
sin х
Функції у - sin х і у —х неперервні, за теоремою про арифметичні дії з неперерв­
81П X
, х * 0 неперервна.ними функціями випливає, що fix) =
5.4. і) «х) = - + ч/і.
X
Функції у = — і у = /л: неперервні, за теоремою про арифметичні дії з неперерв­
ними функціями fix) = —+ [х неперервна.
х
2) fix) - sin д: + ctg х.
Функції у “ sin х і у —ctg х неперервні, за теоремою про арифметичні дії з не­
перервними функціями fix) “ sin х + ctg х неперервна.
3 ) /< * ) = — •
cos*
Функції у = Jx і у - cos х неперервні, за теоремою про арифметичні дії з непе­
рервними функціями частка fix) = — — теж неперервна.
cos*
4) fix) - ctg 5*.
у - ctg t і t —Ьх неперервні, за теоремою про неперервність складеної функції
fix) - ctg 5х теж неперервна.
Зтг
2) lim sin З* = sin — =-1;
r-*~ 2
5.5. 1) lim І2х - 1 = 1 ;X —*1
3) l i m t g ^ x - ^ j = 0;
5.6. 1) lim V l-3 x = 1;
3) lim ^ * + 1 = 2;
X - * l JC
4) lim cos2x = 0.
2
2) lim cos 4* = 1;
X —+—
2
4) U m c tg (x -J) = c tg ( - J ] = -1.

14. ^ у ,я к щ о * * 3 , JC0 = 3. Яз 6.
5.7.1) /(*) =
6 , Я К Щ О X - З ,
1іт /(х ) = 6 => lim f(x) = /(3) => fix) неперервна в точці хп- 3.ж-.З і -»3 и
2) f(x) =
sin2x
cosx
Я К Щ О X * — XQ = — f
. 2
1, якщо X = — ,
о
І '(f) 1, lim /(x) = 2 => lim /(x) * f
--S - 5 (f) /(x) розривна в точці х = —.
їм
5.8. і) «*) =
1 - х 2
, якщо х * -1, х0 = -1,
х + 1
0, якщо X = -1,
/( - 1) = 0, lim fix) = 2 =* lim /(х) * /(-1) /(*) розривна у точці х = -1 .
*-*-і і-*-] w
2) / ( X ) =
sin2x
, Я К Щ О X * я, х0 = я,
smx
-2, якщо х = я,
/(я) = - 2, 1іт /(х ) = -2 => 1іт /(х ) = /(я) =* /(х) неперервна в точці xft - я.
Г-.Ж х-»к °
За означенням функція неперервна.
5.9. 1) Hm Х
+ Vx V x(V x+l) .. V x+1 1
im-------j=r = lim ■ ,—p=-----г = ши “7—-----= —
-° x - Vx Vx (Vx - 1) r~*° Vx - 1 -1
2) lim — - 2 = lim Д ------= l i m - ^ — = —;
ж-»4 x - 4 (Vx - 2)(vx + 2) Vx + 2 4
-'Z* V* (V* - i ) U + V* + 1)
= lim
3) lim ------= lim-------------j=
1 -V x '-*1 1 - vx
= lim(-Vx (x + Vx + l)) = -3.
= lim
JC-»1
1 - v ?
C4A ,4 1- 2n/x - 3x Vx (2 - З-Vx) 2 - 3 Vx 2
5.10.1) lim—r ------ = lim-= 7 ------- =r = lim---------7» = -r;
*-e 3Vx - 2x Vx (З - 2Vx) ^ ° 3 - 2>/x 3
2) ■- a s - V - T +1; - 5 g ^ + ■ - *
3) Цю ^ = Km f + l)(f + =
— Т і - i ( Т І - ч ) ( 7 ї + i) W ? + V I + 1)
- l i m , = U m^ £ ^
(Л ? -і)(Л + і) ..
- 1(де - 1)(V ? + + 1) tfx* + tfx + 1 3 ’
АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)

15. 20 АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.)
II Оі її її ся II II £ її її II со II II со II слІіш-
х-*0
к ЕГГ
І З
к
І З І З
ч із
Ііш-
г-5>
І З
/-Ч __
*р:
І З
к ~
І З І З
ч
Ііш—
*■*?1
із
Цм
ІВ
ч »—
І з
к Г—
і дю
кТТ,
І З
Н-*
О
+
I^
II
СО І оо
II
Ць
+
Н1
Оі
І
+
м
+
к4ю к
+
>-* +
1
►-*
Н-*
о>
1
кК»
+
1
І=»-»
сі
+
►с*>
+
II *-*
О—■
3 1
кМі
к іь»
к^
+
+ н»
>-» о>
О +
+
о>]+
ІІ*
+ +н-* Н
II
гоІа>
соі>»
І
О».
І
Н,
£
І
К
+
II
ІЗ
СЯ
І
н
со
І
+
к
II
со
+
+
М І
оо І
І
>55
<1,к
і +со _
со
+
ю
II
ї ~
ІЗ
к
I
со
ж
к
+
со
5
І
<С
£
*~
ІЗ
со
І
*. м
+
нТТ.
із
II
»кІN0
II
СО І ь -
II
н—
ідм*-'
М
+
к
X
+
І
со
и
ІЗ
к
і
м
+
її
со
^з
£ 1
і
II
к
І З
$-
І
со
к
І
со
5
І
со
+
II

16. *+9-*дг-г(э-*)Д)(Е+*г-г*)г
21 АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.)

17. АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.) 5.13. 1) + 2х - 13 - 0.
Розглянемо неперервну функцію f(x) —х* + 2х - 13.
А0) = - 13, А2) - 55. За теоремою Больцано-Коші на відрізку [0; 2] рівняння
А*) ** 0 має корінь.
2) 3 sin х ^ 2х - 1.
З sin х - 2х + 1 - 0. Розглянемо неперервну функцію fix) = 3 sin д: - 2х + 1.
Маємо: AO) = 1> /(я) = -2к ■+■1 < 0;
За теоремою Больцано-Коші на відрізку [0;я] рівняння f(x) = 0 має корінь.
5.14. 1) х9 * Зх - 8 = 0.
Розглянемо неперервну функцію f{x) —хя + Зх - 8.
Маємо: АО) ™-8 , /(2) = 6.
За теоремою Больцано-Коші на відрізку [0; 2] рівняння f(x) = 0 має корінь.
2) 2 cos х - Xі + Ах - 6.
2 cos х - х2 - Ах + 6 = 0. Розглянемо неперервну функцію fix) - 2 cos х - х2 -
4х + 6.
Маємо: А0) ™8, /(тс) —-2 - л2 - 4я + 6 *= 4 - я2 - 4я < 0.
За теоремою Больцано-Коші на відрізку (0; я] рівняння f(x) = 0 має корінь.
5.15. 1) у - sin х + 2, -1 < sin х < 1 =* 1 < sin X + 2 < 3; E(f) = [1; 3].
2) у = cos д- - 3,-1 £ cos д < 1 -4 < cos x - 3 < -2; E{f) = [-4; -2].
n • n ^ . 7t n ^ 71 _ ^ 7t ^
3) y = —- arcsin x, < arcsin .r < -- => < - arcsin x <--=> 0 < —- arcsin * < ;t;
4 4 4 6 ^ ^
£(/) - [0; 7t].
5.16. 1) {/ - sin * - 4, -1 S sin x < 1 => -5 < sin x - 4 £ -3; E{y) = [-5; -3].
2) «/ * 3 + cos -1 < cos x £ 1 => 2 < cos x + 3 < 4; E(y) = [2; 4].
3) (/ - jt - arccos .r, 0 < arccos x <. n => -7t <, -arccos * < 0 = > O S 7 T - arccos x <, n;
E(y) - [0; 7t].
5.17. у =77-7_ « . — - > 0 для всіх x є R. /(0) = 0, то min f(x) - 0.
9x +1 9* +1 r
За нерівністю Коші маємо:
+1 2>j9x* 1 б*2 0
л 1 1
= —=> max f(x) = —. £(/)
[*ä-
5.18. if » - з
Лх + ЗдГ +1 4дг + 3 ^ + 1
> 0 для всіх х € R.
/(0) —0, то min f{x) - 0.
R
Скориставшись нерівністю Коші маємо:
4*4 +Зд: + 1 2уіЛх * • 1 + Зд:2 4х2 + Зд:2 ї х 2 7*
CSJ
C4J
1 * 1
Якщо у = то — — г------= —=» 4х4 4- Зд2 + 1 =* 7л2 => 4х4 - 4дг2 + 1 = 0 =>
7 4де + Зд:2+ 1 7
(2д:2 - І)2 - 0 => 2х2 - 1 - 0 => 2х2 = 1 => * 2 = і => д*= ± => /^ ± - ~ j = I =>
max f{x) = —; Eiy)
к 7 -К]

18. 23 АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.)

20. ' 'її тар
Т>4
ч
« н —^ 11 ч«> її с
<с:
II
Зі
II
IIО І Сл
к
' Ч| >и ч ч соч II
<С « Ч ~
>-* 1 .£ II ~ и ІЗ
оо
у■
9;
У'
1
со
.4.II
II
о* о* -!* ** к к
II II
® і~ ч <-і—
1
| ^
ко 1 ко
Ч
ч II
Ч
II
05 І ^
II
II
1 II
1
Ю 1 ►-* її
05 | Я *к. 1 а О 1 н - к | •и 1 Н-*
н “ н* м и к ( н ій к
*-ч к «ІОв « и
н 2 І 2 5 І З
-зіпх;/'(
і
о
о
О)
к
1
сп
В
к
>
й
О
О
00
к
ч »
N3 го
«і я - «і
II
к>
СР|<»
II
І
00 І СЛ
к
1 ►-СіЗ
II00Іч
'С
вві«-
<с
II
к«і-«
Ч
II
0>| Ч
«с
о
к
в
Ч
и
1
-•
Ч►—
о и
«0
со
к—
-о
к
<с
0
к
« <с
ч
1
11
к
105
к ч
-Г* »
-
со
00
к
<с: -*
II 05
'-1-
II
к
«СГ
II
к«і—
ч ч
II II
1
00
к
і
СЛ1н-
к #
VI*-
Я <с II
* И к
Ч ^ »
і
сл
05
ао
аа
а
а
її
*Зо3
**
ІЗ
її
£=г
ІЗ
I
II
а>
о
II
&:г
ІЗ
аг
II
го
'С
<с
ю
кд ІЗ
к^
II К + ко
? к
& +
К
^ г її
її
ІГ“
ІЗ
25 АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.)
+Зх*Ах+Злг0(Адг)а+(А*)'

21. Um-2^^>2+3A*=lim(2i+д*+3)=2*0+3;
А%»л«-»ft00
ü i ШМ

22. 27 АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.)
7.12.*<*„)-/'(*„)
1)/(*)=і3.х.--1;Г(х)-=з*2,/4-І)-з=>к

23. АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)
7.24. $(0 - і2. в*(0 —(*2)' * 2і => 5 = 2 ^ = 1. Знайдена величина
миттєвою швидкістю у момент часу І = —.
2
7.25. «(*) “ *3. а'(0 * З*2 => а'(2) = 1 2 — миттєва швидкість у момент часу і - 2.
7.27. /(*) =
х 2 - х, якщо х й 2, х0 = 2,
4х - б, якщо х > 2;
/(2) = 2.
А/ _ (х0 + Ах)* - 2 - Хр + 2 _ х * + 2х 0Ах + (Ах)2 - х*
Якщо Дх < 0, то
Дх Дх Дд:
2дг0 + Дх = 4 + Дд:, Дх -> 0.
с . ^ л Ы 4(х0 + Дд:) - 6 - 4х0 + 6 4х0 + 4Дх - 4х0 .
Якщо Дд: > 0, то — = —^ --------------------------- = — 2----------------- - = 4.
' ДхДх
Отже, Г(2) «= 4.
7.28. /(X) - х|х|, х0 - 0. /(0) - 0.
Якщо Дх > 0, то
А/ _ (*о + А*)* ~ *о _ х2 + 2х„Ах + (Дх)2 - X2 _
Дх Дх Дх
2х0 + Дх = Дх, Дх.-> 0.
Якщо Дх < 0, то
А/ _ —(хл + Дх)2+ х* _ ~х2 - 2х0Ах - (Дх)2 + х2 _
Дх Дх Дх
- -2 х 0 - Дх = -Д х, Дх —> 0.
ПО) = 0.
7.29. Кх) - х2{х|, х0 = 0; /(0) - 0.
Якщо Дд: > 0. то У - = (*" + ^ ~ *1 = <*£>!. = (Д*)*, д* _> 0 .
Дх Дх Дх
Якщо Дх < 0, то — = - 1* + * * * +-*± = =_(Дх)«. д* _ о.
Дх Дх Дх
Г ( 0 ) - 0 .
7.30. у = V I - х 2, х, - - і , х2 = і.
гд
= ІІШ— = ІІШ ъ £ 4 . .
Д х - * 0 Д у Л х - * 0 Л У

24. в)у-12-сЛвх;у'=12'-(сієх)'
29 АЛГЕБРА {до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.)
(“г-і/1+,(ЗГ7+°х)-іД)*у
г(*У+°Г)-іД)(г°*-іД-;(ху+»X)-іД)

25. зо АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.)
<4
II
К ^
х
І
І
Ч,
і
сп
х^
ьГ
І
І
00к
1
А
х
II ^
<с
II
<с
II
о Іо Xю е*
я І
II
*5 ж,
X
І
II
•С
II
со <с
II
сп
х 1
со
X ч
1
сп
х
1
1 <—ч X
СП
Х^
со
X 4: н-»
ж» 1
со
т*
со
X
ч
3 1
Сі5
- »
І
СЛ
X
<с
II
X
<*■
X
ь-|ь- <е%
II
X
04
X
+
X
м Я
8
X
<с
II
X
и
«и.
ч
X
+
СП
і ? «1
д ч-
+
х4
+
сп
§
$1
СОх
X «
II 1
со
Ч х
4-
со _
х -
+ <с
к «'
і я;
х
+
Й1
•+ *І| к
' *1
к
* ] ! * ■
Ч о . і?
$4
+
кі я
*1
+
кЧ Є
к і
ігі
X
+
к*
5 і
ЇП
+
со
X
+ 04
X
І
со + со
<с оо<с:
В Я І
X + ■«“ Ч
” СП£
5* X +
I ОО
X Ск>
Л к
А .
X со
мX
+ +
*&>•<с*
*+ і
Сп х
+ +
к ІЗ
’ + *„
ІЗ 1
м £■
к *
І +
а «;
км О СО
о» X X
5 І +
я СО^
+ ж
, со
Хм Х^
о Іг»
X '
- І
І ^
* Я
Я +
+ го
спД
І Я
+
X сп
» к
о» К~
ъ І
І
К Я
X +
СО ^

26. ■ г
+
3
II
»-» х-ч *2+ И - М
+
СО
я
к
V- « *
«і і 7
I
л. ^
*18 £1
+
со
£
£
II
I
л -1 го
I
ьо
II
I
N3|—
I
ЬО
II
I
II
О
I
ьо
го ^
Л 3
Ч* и
+ -I I
II
Іб
00 ^
к,
II
< I ОС
+
СП
к
I
го
о*
I
Мп.
ч I
1 со
—ч.
^ I
Т кго — .
« • V—«• т
-ч | £>
2 00оН
II + II
I *“• I
н ~ | 00 I - •
+ —
Я* I
-ч «?
2
II
со ^ 100
II
со
* II СП
II со ьо
<с
ьо
к <с <с ■ь.
к «с
II 'к II II 1 II II
км " к к I —
1
ьо ►“* К-
к + ** К з і ^ 1 ю о к
+
± *<
— + 1 ” 1
к 05 Ч» 05 Чс Н -0 1
ьо 05 ^ — '** •• £ 4- *
1 00
к + 1 - + „ со
— к
N ^
Ч ~
—
ГО <с
- ч II
к
к ^
+
05
£
1
к -
Ч . о
і
+ к
го
+
—
-3)
(-6)
О 1
•
ГО
*!
оо
Ь>
31 АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.)

27. 3)у-соз2ху'—вії)2хх(2х)'=-2зіп2х
4)у=зіп2х;у'=2зіпжх(зіп*)'-2зіпхсовл-зіп2х;
32
ПІ ш
АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.)
м ©о оо
*V У>.
уо 7а-
II і—* X
СО1Н- <сг §х В ъ
1 Я
о То £|
^----<. X а>
СОІн
X
00| н-* X + X X
X То »— + +
1 X ьо
О) + № ■*
4 -------< со
5•ч 2
II ег •^4.
о> 1
2
СОІ»—
X
о 1
ьо
II
1
о>
X5
Зі Зі
+ + +
-* со ьо
1
II
НІ
2
II
XІ
І *
&Н4
■ їй
2.
ТТ
І £-1
II
Ча|
І
X І СО
+
ьо оо
Х^ н -
н >
Н X,
ас і!
ї ї
II я
Е1я
-ї з
2а. я;
і -
слЙ.
я »
: &
і
и
л.| о
Д ю
' II
** +
І МІ»—
“ІЮ
II
^ !
н
ЬО І ь
+
* М « 0 ЬО
II
•М*) ^
+
XІ►-•ЧЮ
ьо о о
+ 5 ^ *-ч
-^Ч
о о
2 2 з “ £ > 2
2 Н-»
в І ч “ і І II
II X н 1
. ьо я
СО
Н-* І о
1 °• 00
2
II
Xбіг
БІП.
'■ і *
кч 1
со | ►-
X
х~1
І
х
+ *
X х
н
4^Ін-
І З
сдІ>-
х
гп
Ін-*
О
II

28. 33 АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.)

29. ПН11ПШ
34 АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.)
ОзІЯ
+
+
ю
А
аг
Л
N
изІ>-
+
О
а
з
я
V
I
ЬоІЬ
II
5 СЛ к 1
2 2
(Ті н
V
р
и
Ю 1»-»
2
и
>2
+
ЦІ
Я
+ ЮІ Н-* 1
аз я СЛ
з
я
1
о
8
V
о
Зі 1]
II
І
»1-
Ч»
+
со
Я^
І
сл
я
+
я4
ю ц оо со из оо
й и 5
І А '
л. |х я я
оо
п н * £ II а II
4 . 0 ?
+ х 7
1
ЮІ н*| 0*
о
«■*
°ч
Й
N3
''Ч
2
м. (ТІ 11 я Я II
« ■ т ?
1
00 Я * 1
н^_8 1
и
о
II 1
и
2
V
о
X
V
0
ц
*—*
1
я
V
*■
І
4*Ія
ч
2
II
II
Iсп
5*
о| а
II
I
тоІЬ-
II
аг
II
І
юі>-|ю
II
*•
II
0
Я*
II
І
ь І СО
II
4чІЯ
п ГІ
с из
аз
"'І'
О
Й
В
ю
из 2 ю
о §со
03 я я II о
со N3
я ю и я
Л-ІЯ
II
О
II
аг
II
І со
ОО Д Д ОО
ІАСоЗ^-~>І ~ о>• п « ■
-
і X~ +
5 + м
^ ю-ї;
о ж ~
5. , +О, + СЛ
я * <2СЛ -
+<
II
4^ І СО

30. І
35 АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.)

32. 37 АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.)

34. 8.34. Д* + т ) - f(x).
у ' = lim * = Um -/<■?.> = Um + &* + П - А*. + Г>.
,w .ОД.Ї ЛГ-.0 Дх v.-.n Дх
Наприклад, у ~ sin х періодична функція, у' = cos х теж періодична.
8.35. Д -х) - f(x) — парна функція. Продиференціюємо рівність: f'(-x) х (-х )’ -
• f'(x) =>-f'(-x) —f (х), замінимо -х - а => х - -а => - f ( a ) **/’(-о) непарна функція.
Наприклад, і/ - cos х — парна функція, а у' —-sin х — непарна функція.
8.36. Д -х )«»-Д х) — непарна функція. Продиференціюємо рівність: /'(-х) х (-х)' =■
*■ -f'(x) => -f(~x) •* -Д х ) Д -х ) - Д х) — парна функція.
Наприклад, у - sin х — непарна функція, а у' = cos х — парна.
8.37. 1) Не диференційована. Наприклад, f'(x) —х диференційована в х0 «= 0, а
g(x) =■|х| — ні, то у - f(x) + д(х) —х + |хі не диференційована в х0 = 0.
2) Може бути диференційованою, а може — ні.
Наприклад, !{х) - |х| не диференційована в х0 - 0, £(х) = -|х| теж не диференці­
йована в х0 “ 0, а у - Дх) + g(x) - 0 диференційована в х„ =» 0.
Ах) = — і g(x) = Дг не диференційована в х„ = 0, сума у = /(х) + g(x) = —+ -V
х х х х
теж не диференційована в х„ = 0.
8.38. 1) Може бути диференційованою, а може — ні.
Наприклад, f(x) - 0 диференційована в х0 —0, а g(x) —|х| — ні. Добуток
у = ((х) g(x) = 0 диференційована в х , - 0.
Дх) - х диференційована в х„ - 0, a Д х) = — ні, у = Дх)д(х) = не дифе­
ренційована в ї , = 0. * *
2) Може бути диференційованою, а може — ні.
Дх) = і Д х) = не диференційована в х0 - 0, а добуток у - f(x)g(x) = 1 е
vx
функція диференційована в х0 «• 0.
Дх) = — і £(х) = -^ не диференційовані в х„ —0, добуток і/ = f(x)g(x) = теж
х х х
функція не диференційована в х0 = 0.
9. Рівняння дотичної
9.1. X) Дх) - ха + Зх, х„ - -1; Дх„) - Д -1) - -2; Д х) - 2х + 3; Д -1 ) «= 1.
Рівняння дотичної: у —Дх„)(х - х0) + Дх„); j /“ X + l - 2 = > j/“ x - l .
2) Дх) - х3 - 27, х0 - 2; Д2) - -19; Д х) - 3xä; Д 2) = 12.
Рівняння дотичної: у - 12(х - 2) - 19; у - 12х - 24 - 19; і/ •» 12х - 43;
Рівняння дотичної: (/ = -4^х - і j + 2; у ™-4 х + 4.
4) Дх) = 47х - З, і , - 9; Д9) - 9; Д(х) = /'(9) = | .
2 2 2
Рівняння дотичної: і / = —( х - 9 ) + 9; У ~ —х - 6 + 9; у = —х + 3.
З 3 3
П2
егз
АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)

35. 5) fix) = sin x, x0 = 0; /(0) = 0; f(x) - cos де, /'(0) - 1.
Рівняння дотично:: у = х.
f(x) - cosx, х„ - я, f(n) = -1;
6) А х) - -sin х, f (я ) = 0.
Рівняння дотичної: у = -1.
7)
Д І1П П П Л Д У І П - І П Ш . у -- І .
/(x) = t g ( x - - ) f ^ 0 = 2 - ' ( f ) “ 1: /,(jc)= - f A я у r ( f ) = 2-
( n V
Рівняння дотичної: у = 2^x - —J+ 1; у = 2х - я + 1.
8) fix) = х
х + 1
•о - 2, /(х„) = /( - 2 ) - 2; /'( х ) =
Рівняння дотичної: у = х + 2 + 2 ;у = х + 4.
9) /<жг) = V2x + 5, х„ = 2, /(2) = 3; /'(х) =
1
X+1
г; /'(-2)
^ т т ґ /,(2)4
і 1 2 1 7Рівняння дотичної: у = —(* - 2) + 3; у = —х — +3; у = —х + —.
з З З з з
9.2. 1) /(X) = 2ха - Зх, х0 - 1, /(1) = -1; fix) - 6х2 - 3; A D - 3.
Рівняння дотичної:у —3(х - 1) - 1; у —Зх - 3 - 1; j; = Зх - 4.
2) fix) = 0,5х2- 2х + 2, х„ - 0. .ДО) = 2; Ах) = х - 2; /40) - -2.
Рівняння дотичної:у = -2х + 2.
3) /(х) = cos х, х „ = -|, А х) - -sin х, / ' ( | ] = -1-
Рівняння дотичної: «/ = —^де — ; у = - х + ^ .
4) /(х) = -sin х, x „ = Y = 2lt + f : ^ ( ^ ) = sin( 2n + f ) = sinf = 1;
к
- cos —= 0.
2
А х) = cos x, /'(^ p ) = cos^2n +
Рівняння дотичної: у =» 1.
5 )/(* ) = c tg (x + j ) , x0 = - ^ ; / ( - £ ) = ctg ( - l ) = - l ;
Г(Х) = " . ,[ кУ Г("?) = " . J к) = ~
81П1X+l ) , 4 4 2
=- f - 2-
Рівняння дотичної: у = -2^x + -1; у
6) /(x) = Alx2 + Зх, x0 - -1 . fix0) = /(-1) = 1;
8x + 3
-2x - n - 1.
/'(x) = , .
2 j4 x ‘ + 3x
Рівняння дотичної: у
хг - 4x
7) fix) ■■
x - 2
х0 - 3. /(3 )=
2,5(x + 1) + 1; j/
9 - 1 2
-2,5x - 2,5 + 1; у = -2,5x - 1,
= -3;
,,, „ (2x - 4)(x - 2) - (x2 - 4x) 2x2 - 4x - 4x + 8 - x2 + 4x
ПХ)= ------------ 0^2? =(x - 2)2
x2 - 4x + 8 ..... 9 - 1 2 + 8
1 (3) ■ 5.
(x - 2)2 ’ ' "" 1
Рівняння дотичної: у = 5(x - 3) - 3; у —5x - 15 - 3; у = 5x - 18.

36. 9.3. Г М = х2- з* - з.
Графік функції перетинається з віссюординат, якщо х = 0.
/(0) - -3; Г(х) - 2х - 3; /'(0) - -3.
Рівняння дотичної: у = -Зх - 3.
Л0 )-о о .|-І;2) /(x) =cos(|- л0-0.
.... 1 . ( х к ) 1 . ( п ) 1 . л 1 7з 73
2 2 3 ) 2 У 3 ) 2 3 2 2 4
v/з I
Рівняння дотичної: у=-—х+—.
9.4. 1) Я*) = 2л:3- 5л + 2.
Графік функції перетинається з віссюординат, якщо х = 0.
/(0) = 2; Г(х) = 6х2- 5; Г(0) - -5.
Рівняння дотичної: і/ = -5х + 2.
2) /(х) =зіп^Зх - -jj, хо= 0; /(0) =sin^“ j
/'<*>« Зсов(здг- І), ПО) =3cos[-^) =
І Ї
2 '
sin—=
4
„ я Зч/2Зcos—=----
Рівняння дотичної: у =—;—х-З-J2
2
9.5. 1) Г(х) - 8л3- 1.
Графік функції перетинається з віссюабсцис, якщо у = 0.
8х3_ , ---- зРозв’яжемо рівняння /(х) = 0. 8х3- 1 * 0
п Л) = 24л2; г ( |) = ;6.
Рівняння дотичної: у=6[х - —]; у —6х - З
1 2J
2) /(х) =х - - .
х
1 х * _1
Якщо у = 0, то х ---=0, ------ =0 =>х1
X X
т > = і + Л ; /Ч±і) = 2.
х
Рівняння дотичних: у = 2(х - 1) і у - 2(х + 1);
у = 2х - 2 і у « 2х + 2.
9.6. і) Лл) =
1=> х =—=*х =—
8 2
1 = 0 =>х = ±1;
х —1
х2 + 1
Знайдемо координати точки перетину графіка функції з віссюабсцис,
х —1
fix) - 0
Xі + 1
=0 =>х - 1 1.
. х2+1- (х- 1) 2х х2+1 - 2х2+2х -х2+2х+1 у 2 1
/ ( * ) = --------- — 2— 7Т5----------= ------- ~ 2— 7^ ---------= Т " 2— / ( 1) = Т = о*
(х +1) (х2+1) (х2+1) 4 2
Рівняння дотичної: у =—(х- 1); у= х- —.
2) /(х) - Зх - х2. ' 2 2 2
Розв’яжемо рівняння /(х) = 0=^3х-х2= 0=> х(3 -х) = 0=>х-0 або х = З
П х ) = 3 - 2х, ПО ) = 3; П З ) = -3.
Рівняння дотичної: у = 3(х - 0) і у —-3(х - 3);;
у = Зх і у * -Зх + 9.
АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)

37. АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка;Д.А.Номіровськоготаін.)
9.7. у —2х2^ * + 1, дотична паралельна прямій у = 7 х - 8.
у' = 4х - 1, */'(*0) = Л * 7 = э 4 х - 1 = 7 =^4хе=8=2>х —2=> <у(2) =*8-2 + 1 « 7
=> координат*1точки (2; 7).
9.8. у = —, Д ОТИЧНІ паралельні прямій с/- -х.
х
У ' = -р -» £'(*<>) = к * - 1 => - —5- = -1 =>дг2 = - 1 ^ > х - ± 1 = > у(1) « 1, г/(-1) « -1
=> координат*1точок (1; 1) і (-1; - 1).
9.9. № - 2 *іп х + з С08 х, ж, = хг = ^ , / ( | ] = 2. / ( у ) = -2;
Г(х) - 2 соз * - 3 він х, г ( | ] = -3, / ' ( у ) = 3.
Рівняння дот>1Чыих: у = -3 ^ * - ^ + 2 і у = З^х - у ) - 2;
у = -Зх +— •*■2 і у = Зх - 2 =>&, = -3, к2- З, А1* кі дотичні перетинаються.
9.10. 1) Дх) *>х2- 7х + 3, а - 45*.
/’(х) = 2х - 7, * = А*») ^ Ье а => к = 45" =, 1 =>2х- 7 = 1=>2х = 8 = > х “ 4
=> Д4) - 16 - 28 т 3 - -9 => (4; -9);
2) /(х) = -Зхг+2і/3х - 2, а = 60*.
Г(х) = -6х + Ф , Ь= 60° = 73;
-6 х + 2 /з = ^ = * -6 х = -7 з => х = — => ^Г.?/®] = _ і. + і
/ і - ч 6 V6 / 4
(#■-?)■
3) /(х) = -УзІ+2, а = 45*.
З і. і_ іс* і з
9 - 1 1 52 = - 1Т = --- =>
4 4
/'(*) ' = != » 2>/Зх + 2 = ;
2.УЗх"+ 2 ’ ° " " 2Узх + 2
4(3х + 2) = 9 =>Зх +2 = 2 =>3х = і =» = -і-=> /("-А.) = .І- + 2 = ./А = - =>(— •
4 4 12 ч12/ ї/4 І4 2 І 1 2 ’ 2 І ’
4) «х) = ^ ± |. а = 135*.
х - 2
/'(х) =
х - 2 - (* +7) _ х - 2 - х - 7 9
(х-2)1 ( * - 2)2 (* - 2)
А -1Є135* = иГ(180 -45*)= 45* - - 1; - - - ^ ^ -І =>(х-2)2- 9 = > х - 2 - 3
а6ох-2 = - 3 « * = 5а б о х * -1 =>/(5) = Н = 4: , (_1) = _ | = _2 (5;4). (-1; -2).
9.11.1) Пх)=>'1З х - у , а —60*.
Мх) = х/3-х?. * =/ (*о) = 4?60° = х/З х/з - X і = 7з =» х = 0 =>/(0) « 0 =>(0- 0)
2) /(х) = х* - 2хг + х - 1, а = 45*.
/(■*) “=Зх2- 4-*’+ 1» /(*<>) **^ = *£ 45* ■=1 ^ Зх2- 4х + 1 - 1 => Зх2- 4Х = о=>
=> х(3х - 4) * 0 =>х = 0 або Зх - 4 - 0 => х - 0 або х = і =>/(0) - -1,
г ( - ) _ Л - 12 і 4 ! _ 64 -96 і 1 ^ 32 ^_9^= 23
І О І пя А О 27 ° Пт о« п»
‘ 27 0 З 27 27

38. 9.12. 1) f(x) - 6 - x - x*, f'(x) - -1 - Зх2 < 0, д: e R => tg a < 0 => a є f к j
a тупии кут;
■X+ 3 - 5 + x
i x - 3 )
7 < 0;
( x - 3 ) 2
x e (-oo; 3) u (3; +oo) = > t g a < 0 = ^ > a — тупий кут.
9.13. 1) fix) « x5 + 2x - 8, /'(л) - 5л:4+ 2 > 0, х е R => tg a > 0 => a — гострий кут;
2) fix) =
1 -л:
, /'(*) = -------- 5- > 0, х є (-ос; 1) w (1; +х) = > t g a > 0 =>a — гострий кут.
(1 —х)
9.14. 1) fix) «=х3 - Зх + 1, f (*) = Зх2- З, Д х) - 0 , Л - 0 = > З х 2 - 3 - 0 = > х 2- 1 = 0
=> х = ±1 => /(1) = - 1 ; /(-І) = 3 => рівняння дотичних: у - -1 і у - 3.
2) f{x) = - х* - 4 х 2 + 1, Г(х) = 2х3 - 8х, f(x) - 0, k - 0 => 2х* - 8х - 0 => х3 - 4х - 0
2
=* х(х2 - 4) - 0 => х(х - 2)(х + 2) - 0 х - 0 або х - ±2 => /(0) « 1, f{±2) =>
—8 - 1 6 + 1 - - 7 = ^ рівняння дотичних: у - 1 і у - -7 .
9.15. /(х) = - Xі - 3* + 4; f{x) - х2- 2л: - 3; k = 0 => Д х 0) =»0=>х2- 2 х - 3 = 0
З
=> Xj = 3, х2 = -1 => /(3) = -5 , /(-1) = - і - 1 + 3 + 4 = 5^ = => рівняння
Г7
З
дотичних: і/ - -5 і у =
9.16. 1) /(х) “ х2 - 5х, дотична паралельна прямій у - -х.
f(x ) - 2х ± 5, k - -1 , А - /'(х) => 2х - 5 « -1 => 2х - 4 => х - 2 =* /(2) - 4 - 10 - - 6.
Рівняння дотичної: у = -(х - 2 ) - 6 = > у - - х + 2 - 6 = > у - - х - 4 .
2) /(х) = х - - і , дотична паралельна прямій у - Зх.
х
л* >= і + 4 - = * = п х а) - з
X X
X3 + 2
= 3 => Зх3 = х3 + 2 2х3 - 2
- 1 => х - 1 => /(1) - 0 .
Рівняння дотичної: у - 3(х —1) => г/ З х - З .
3) fix) *» 2х3 + Зх2 - Юх - 1 , дотична паралельна прямій у - 2х + 1.
fix) - 6х2 + 6х - 10, k - f( xQ) - 2 => 6х2 + 6х - 10 = 2 => 6х2 + 6х - 12 = 0=*
х2 + х - 2 - 0 = > х —-2 , х - 1 => /(-2) - -16 + 12 + 20 - 1 = 15, /(1) - - 6.
Рівняння дотичних: у - 2(х + 2) + 15 і у - 2(х - 1 ) - 6 = > у = 2х + 4 + 15 і
у - 2 х - 2 - 6 = > у - 2 х + 1 9 і у - 2 х - 8 .
9.17. 1) fix) ** Зх2 + 5х + 3, дотична паралельна прямій у - -7 х + 3.
fix) - 6х + 5, /г - f i x Q) - -7 => 6х + 5 = -7 => 6х = -12 => х = -2 => /(-2)=
- 1 2 - 1 0 + 3 - 5 .
Рівняння дотичної у - -7(х + 2) + 5 =? у - -7 х - 14 + 5 => у = ~7х - 9.
2) f(x) = VI. х > 0.'дотична паралельна прямій у —х.
= 1 2-Ух = 1 => *Ух = і =* х = —=>
2Vx 2 4
П*> =
І 7 х
, х > 0 , /г - Г(хЛ) - 1
ш+/
2 ї ї г
Рівняння дотичної: у = х - —+ —=* у = х + —.
9.18. /(х) = 4х3, у - 12х - 10, k - f(x 0) - 12.
fix) - 12х2, 12х2 - 12 => х2 - 1 => х - ±1 => fi1) - 4, /(-І) - -4 .
Рівняння дотичних: у —12(х - 1) + 4 і у « 12(х + 1) - 4 => у « 12х - 12 + 4 і у «
—12х + 12 - 4 => у - 12х - 8 і у - 12х + 8 => пряма у = 12х - 10 не являється
дотичною.
сгз
*3"
АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)

39. АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)
. I
■р
ІІ
•м
>
5
9.19. у - sin л, у ®X.
*/' - COS x, k = f(xQ) = 1 cos X - 1 -> X = 2лЛ, Л € Z => (/(2ял) = 0, я e Z.
Рівняння дотичних: у = х - 2лл, л € Z.
Якщо /і - 0, то у * х. Отже, х «= 0.
9.20. У = 4х, у=і-г +і;
У' = І 7 Г * = П х в) Л =» - ^ _ = І ^ , - x ^ ^ D - i .
Рівняння дотичної: і/ = ^ (* - 1) + 1 => у = і х - і +1 => {/ = ^ х + - пряма
2 2 2 2 2
У = —х + і дотична до графіка функції у = 7х. Отже, х0 - 1.
9.21. /(х) « х2 - 4, х0 = - 2 , /( - 2) - 0 .
Г{х) - 2л, Г(-2) = -4.
Рівняння дотичної:
у = -4(х t 2) => j/ - -4л - 8.
•S.V.C* = ^ІОАІ •ІОВІ = І •2 •8 = 8 (кв. од.)
9.22. /(*) - х* + х* - бх + і,
х0 - 1*
/(1) “ -3 .
fix) - Зл2 + 2л - 6,
Ш ) - - 1.
Рівняння дотичної:
у = —(л - 1 ) - 3 г з > у —- х + 1 - 3 =
S„OB = ГІОАІ •ІОВІ = і •2 •2 = 2 (кв. од.)
9.23. .2 _ 2, і/ “ л3 - 2х, у « х2 - 2л, у - -л 2, л0 « 1.
Дотична з віссю абсцис утворює тупий кут, отже, Г(х ) < 0.
У' = 2л, е/'(1) = 2 > 0; у' = Зл2 - 2, </'(1) - 1 > 0; у’ = 2л - 2, ^'(1) - 0; у' - -2л,
У 1) - ”2.
З цього випливає, що на рисунку 9.2 зображена дотична до графіка функції у * -л 2.
9.24. /(*) =-л/гГТТ, дотична перпендикулярна до прямої у - 2л + 1 *-*0.
Прямі перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли виконується рівність кхкг = -1 .
Л1 - 2 => к2 = - ^ .
/'(*) =
1
г"«---- = => 4 2 7 + 1 = 2
V2x + 1 22%/2л + 1 %/2л + 1 ’ ° 2
= > 2 л + Х = 4 = > 2 л « = 3 = > л = 1,5 => /(1,5) - -2 => (1,5; 2).
9.25. /(*) » л* + 2л - 1.
Припустимо, що існує дотична до графіка функції, яка перпендикулярна до пря­
мої у * -л . Тоді виконується умова к.к, =* - І . Маємо: к, - -1 =* Л « 1.
/'(л) * Зл2 + 2, /Чл0) - /г2 33 1 => Зл2 + 2 = 1 => х7 = — не має розв’язків =>
. З
не існує дотичної до графіка функції, яка перпендикулярна до прямої у = -л.
9.26. у - л2 + Ьх + с, у “ 4л + 1, л0 == І, уп «= 4 + 1 ** 5;
у' « 2л + 6, у'О) * 2 + Ь, к ** /'(л.) « = 4 = > 2 -е 6 = 4 2;
у = х2 + 2л + с, у(1) - 1 + 2 + с,і/()*=5=>3+- с = 5 = > с - 2 .
Отже, 6 " с - 2.

40. 2а + b = 7, а = З,
а + b = 4 [6 = 1.
9.27. у - ах2 + Ьх + 1, у —7х - 2, Л(1; 5).
у' = 2ах + 6, і/#(1) * 2а + 6, у'(*0) = А = 7=^2а + 6 = 7.
Підставимо координати точки А в рівняння у = ах2 + 6 х + 1 : а + Ь + 1 = 5.
Г2а + 6=7,
Розв’яжемо систему лінійних рівнянь: < =>
[а + 6 1 = 5
9.28. f(x) ** 2х2 + 2, Л/(0; 1), рівняння дотичної у = kx + 1.
f(*) = 4х, f(x 0) = 4х0, k ~ 4х0 => у = 4х0х + 1.
Нехай (х0; у0) — точка перетину /(х) = 2л2 + 2 і прямої у = 4х0х + 1, тоді
2*о + 2 = 4*о*о + 1 =» 2*о = 4*0 - 1 => -2x1 = -І =» | =* *„ = ± =>
А = ±-Д» = = ±2^2 => рівняння дотичних: у = 2-j2x + 1 і u = - 2V2x + l.
V2 2
9.29. rt*) - *г - 4, М(2; - 1).
Нехай у = kx + b рівняння дотичної, тоді 2к + Ь = -1 b - -1 - 2к => у =
» *х - 1 - 2*;
f(*) = 2х, k = f (х0) - 2ху.
(х0; у0) — точка дотику fx) = х2- 4 і прямої у = /гх - 1 - 2 k => у •* 2х0х - 1 - 2 х
х 2х0 => x* - 4 = 2xq - 1 - 4х0 => xj - 4х0 + 3 = 0 => х0 = 1 або х0 = 3 => k = 2 або
* = 6.
Рівняння дотичних: і/ = 2х - 5 і у = 6х - 13.
9.30. /(х) = — — 0 (0; 0), у = kx — дотична.
/'(*) = 4Х ~ { Х ї ї ) = 4* 4* + 1 = і_ ; /'(*„) = -!-= А;
(*0; </0) ~ точка дотику /(х) = — — - і у = кх = -^.
Маємо рівняння:
4х0 - 1 х0 4хл - 1 1
=> 4хл- 1 - 1 => 4хл= 2 ■=> хп = —
' G M - * - Q 4
№
9.31. У = х + —, (0; 6), у =* йх + 6 — дотична.
х
З 3 ( з
У' = 1 ї » у'(*0) = 1 Ї = к =» у = 1 5- х + 6 — дотична.
X х0 V х0 у
(Хп; Уп) — точка дотику у = X+ — і прямої у = [ 1 - ■їх + 6.
* І 4 )
2 / з д 2 0
Розв’яжемо рівняння: х0 + — = І 1 ---- =- х0 + 6 => х0 + — = х0 ------+ 6 => — = 6
*о І 4 ) х о х о х о
=>х0 - 1 г » А 1 ) - 4 ^ > ( 1 ; 4 ) .
9.32. Д*) = 3 - | * 2, Л(0; Ь).
х
Нехай рівняння перпендикулярних дотичних мають вид: у = /гх + 6 і у = - —+ Ь
(добуток кутових коефіцієнтів дорівнює - 1).
LP3
АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)

41. АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.) /'(*) в ~Х, Пхп) = -х „ => рівняння дотичних у = -х0х + 6 і у = — +6.
(*<>; Уо) 41~хо* У<) *“ точки дотику.
Маємо:
з ■- • *- +6;& Хп
|0 = 1 - х*. [•*0=±1.
1
1 . => < 7 Опке, Ь= —.
6=4- Й : I6=2-
9.33. 1/= Л(0; 6).
1 1
—х* ~ —х2+Ь 2■*« хо т ~
=> ^
^V*2 і . А. У^ 1
к у
2х» - 1+6, у Г .
/ і
/ ! 1
____А ! 1
1
1 х 4___1___1
/ /
1-----Г“ї Г ---^
1.1
МІ!
і*
і/ - /гх + 6 і */ = -^- + 6 перпендикулярні дотичні (добуток кутових коефіцієнтів
дорівнює -1 — умова перпендикулярності двох прямих).
Пх) =
Розв’яжемо систему рівнянь:
2 = а2х0+ а,
а 2(4х0 + 1) = 4;
( а - 2)2- 0 =>а- 2 = 0 = > а^ 2.
4(2 - а) +а2= 4; [а2- 4а + 4 = 0;
9.35. Ґ(х) = >І4х - 1, у =* 2х + а; /'(*) =—т—1 = —г 2 ■;
2у4*-1 ч/4дт-1
1у = 2 => V4дг —1 =1 = > 4 л - 1 = 1 = > 4 д : = 2=> д: = —=*
У4дт - 1 2
СО
* = П*о) - 2
= 1 ^ рівняння дотичної і/ = 2^х - ^ + 1 => ї/= 2х - 1 + 1 =^у = 2д:=>а = 0.

42. 9.36. Д х )-х 2- 2x + 5, g{x) = x2+ 2x - 11; /(x0) = xf - 2x0 + 5; g{xx) = xf + 2x, - 11;
Ax) - 2x - 2; іГ(дг) = 2x + 2; f(x0) = 2x0 - 2; ^(x,) ~ 2x, + 2.
Рівняння дотичної для /(x):
і/ = (2x0 - 2)(x - x0) + xf - 2x0 +5 = 2x0x - 2x‘ - 2x + 2x0 + xf - 2x0 + 5 =
= -xf + 2x0x - 2x + 5 = (2x0 - 2)x + 5 - xf.
Рівняння дотичної для g(x):
у = (2xt + 2)(x - xt) + xf + 2x, -11 = 2XjX - 2xf + 2x - 2xx+ xf + 2x, - 11 =
= -xf + 2XjX+ 2x - 11 = (2x, + 2)x - 11 - xf.
Дотичні збігаються за умов.
2хй- 2 = 2х. + 2, і-*
+
H
и
r-H
l
c
5 - x f = - l l - x f ; K - x ; = - 16;
fx, - xn = - 2,
H
t
II
1
to
< => <
1—2(х, + x0) = -16; [x, + x0 = 8;
Xj —Xq — 2,
(Xj - x 0X*, + x0) = -16;
2Xj = 6, x, = 3,
2x0 = 10; [xn = 5.
Отже, рівняння дотичної у - 8х - 20.
9.37. /(*) - х2 4- 4х + 8 ;g{x) = х2 + 8х + 4.
/(*0) = х£ + 4х0 + 8, ^(х1) = х1г + 8 x ^ 4 ;
Г(*)-2х+4, *Ч*)-2х+8
А *,) = 2х0 + 4, *(*,) - 2х; + 8.
Рівняння дотичної для /(х):
у = (2х0 + 4)(х - х0) + х£ + 4х0 + 8 = 2х0х - 2х20 + 4х - 4х0 + xf + 4х0 + 8 =
= 2х(х0+ 2) - х* + 8.
Рівняння дотичної для £(х):
у = (2х, + 8)(х - х,) + х,2+ 8х1 + 4 = 2хлх - 2х + 8х - 8х, + х,2 + 8х1 + 4 =
= 2х(х, + 4) - х + 4.
Дотичні збігаються за умов.
|х 0 + 2 = х1+ 4, |х , - х0 = -2, |х , - х0 = -2, |х , - х 0 = -2,
{-х^ + 8 = -х, + 4; ^ - дг* = -4; ^(х, - х„)(*і + х0) = -4; ^ {-2 (х , + *„) = -4; ^
- *0 = “2- ^ | 2*і = 0, їх, = 0,
і*, + * 0 = 2; ^ {*0 = 2; ^ |* 0 = 2.
Отже, рівняння дотичної у = 8х + 4.
10. Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа
10.1. 1) /(*) - *6. *„ - 0; Пх) = б*5. ПО) = 0;
2) /(*) - sin *, *„ = П*) = cos *, = 0.
10.2. 1) т - 5 - Xs, *0 - 0; Г(х) = -2*; ПО) “ 0;
2) /(х) = cos х, х0 = к; Ах) «* -sin х; А*) " 0.
10.3. 1) fix) - х3, [1; 2]; /(1) - 1, /(2) = 8, х є (1; 2);
И*) ” 3*®; /(2) - /(1) - 7 => П*„) - 7 => Зх® = 7 => *0 =
АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)

43. АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)
2) /(х) = і , ЛІ) “ 1. f(2) = f(2) - /(1) = і - 1 = - і ;
ї„ 6 ( 1; 2), /'(*) = - Л
л2
1 1
75;
пх
3) f{x) = sin - у . /(1) = 1» /(2) “ 0, /(2) - /(1) = - 1;
/і v я пх я ял0 . ялЛ 2 ялА 2
л0є(1;2), f (л) = —cos— =* —cos = -1 =э cos— ~ = ----=> — - = я - arccos —
2 arccos
2 2 2 ' 2
2
*0 = 2
10.4. l) /(*) - *2, [1; 3], A3) “ 9. AI) - 1; f{3) tJ {1) = /'(*„),
*o є(1; 3), /*(*) - 2л => 2x0 = 4 => x0 = 2;
2)/(*) =7?. ((3) =7з, A D -l. /'(*)-j Jj -. ^ /a )-n*«)
7з-і
>/*o = /Г - ^ V ^
7з + 1
2 > /Z _ 2 ~ ' • ' • - Д - І - ~ (-ч/з - і)(7з + 1)
( 7 з + 1)2 3 + 273 + 1 4 + гТз , 7з
7з +і
ЛА = = 1 +
ox / / X ГС* -/0 . З я Я V2 ,,„v Т І
3) /(л) = cos — , /(3) = cos — = - cos - = — —; /(!) = — ;
4 4 4 2 2
72 ТІ
/( 3 ) - /( l) 2 2 TІ v я . яд:
------ö------= — «— ~ = — — r f M = - - s i n — =>
'j i'"
iii
M
T i яд:,.я . ял0
—Sin--- - = ------ => sin ----
4 4 2 4
2ТІ ядео _
4
= arcsin
272
f
. 272
л0 = —arcsin
я я
10.5. 1) /(*)-*• + * + 1, х0 - -0,5; /)(/) = R.
Л(*) * 4дг* + 1, /'(-0,5) =» -0,5 + 1 s 0,5 * О => за теоремою Ферма /(х) не набуває
в точці х0 = -0,5 ні найбільшого, ні найменшого значення.
2) /(*) = —! - - * + 4 г. Ш - U ; 3), ж = 2.
Г М - ^ ^ ~ 1 + • / #(2) =1-1-*- —= і^ 0 = > за теоремою Ферма f{x) не набуває
в точці л0 ™2 ні найбільшого, ні найменшого значення.
3) /(*) » sin л + cos л2, D{f) - [1; 2), л0 = ■-;
Г М = cos х - 2дг sin х2, = —я s i n * 0 =* за теоремою Ферма f M не
набуває в точці л0 = ні найбільшого, ні найменшого значення.
10.6. 1) /(*) - (*2 + 6л + 8)(л2 + 14л: + 48), л0 - -3.
Г М = (2л + 6)(л2 + 14л + 48) + (л2 + 6л + 8)(2л + 14) = 2л3 4- 28л2 + 96л + 6л2 +
288 + 2л3 + 14л2 + 12л2 + 84л2 + 16л + 112 - 4л3 + 60л2 + 280л + 400;

44. /'(-3) = 4 x (-27) + 60 X 9 - 280 x 3 + 400 - -108 + 450 - 840 + 400 - -8 * 0 =>
за теоремою Ферма fix) не набуває в точці xQ= -3 ні найбільшого, ні найменшо­
го значення.
2) /(*) = - + х2+ —Ц , D(f) = (0; +»), = 1.
х х + З
2 1 1 1
f'{x) ------- + 2.г-----------7-; /'(1) = - 2 + 2 ----- = ------ * 0 => за теоремою Ферма
х {х + 3) 16 16
fix) не набуває в точці х0 = 1 ні найбільшого, ні найменшого значення.
3) f(x) = cosx - sin д:2, D{f) = [0; 2], xQ= J^;
fix) = -sin дг- 2д: cos Xі ; /' ^^ j = - sin * 0 => за теоремою Ферма fix) не набуває
в точці х0 = ні найбільшого, ні найменшого значення.
10.7. 1) ’cos х - cos у < х - у
fit) = cos t , /(f) диференційована на [де; у].
За теоремою Лагранжа існує t0 є (д:; у) така, що f'(t0) =
cos х - cos у
f(x) - т
x -У
, /'(f) = -sin t.
Ґ (to) - r ~L—— ^ = —sin t0 => |cos д: - cos j/| =* ]-sin fj x x - y => |-sin fJ < 1
x —у
|cos д: - cos y < x - y.
2) |tg * - tg J/II !* - |/l,
fit) = tg t диференційована на [у; х]. f'(t) = —
cos t
За теоремою Лагранжа існує t0 є(у; x) така, що f'it0) =
fix) - fiy)
tg x - tg у
x - y
1
COS“
tg* - tgy
X - y
t g x - tgy| = => cos2 f0 £ 1,
>1, Itg X - tg t/| > x - e/|.
COS j0
10.8. 1) |sin X - sin y < x - y.
f{t) = sin / диференційована на [іу; де].
За теоремою Лагранжа існує є іух) така, що f'(t0) =
/ЧО = cos t
sin* - sin у
X - y
cos <0 => |sin x - sin y - x - y x |cos fj
|cos tJ й 1 => |sin * - sin </| £ |* - y|.
2) |ctg * - ctg y>x - y, x є (0; л), у є (0; л);
f(t) - ctg <, f(t) =
sin f
fit) диференційована на [у; де]. За теоремою Лагранжа існує tQє(у; х) така, що
/ ю
fix) - fiy) c t g x - c t g y
x - y x - y Sin tn
|ctg x —ctg y| = sin2 tn<, 1;
T T > 1, jctg x - ctg y £ x - y- en
АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)

45. АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)
1ГЭ
10.9. g(x) « f(x) sin X. x0 e [0; It].
Функції fix) і у ~ sin x диференційовані на R, то g{x) теж диференційована на R.
За теоремою Ролля існує х0 є [0; я], що g'(x0) = 0.
£'(х) “ fix) sin х 4- f{x) cos x * 0.
10.10. Розглянемо у - fix) cos x : f{x) і у - cos x диференційовані на R.
За теоремою Ролля існує х0 є що У'іх0) ”
Отже, у1= fix) cos х - fix) sin x => рівняння fix) cos x - fix) sin x *=0 має принаймні
( я
один корінь на х є — ; —І.
fix) cos х ^ /(х) sin х => /'(дг) - fix) tg х має теж принаймні один корінь на
10.11. Ні, Василь неправий, fix) = |х| недиференційована в точці х0 = 0.
11. Ознаки зростання і спадання функції
11.1.1) fix) - х2+ 4х - 7, fix) = 2х + 4, 2дт 4- 4 > 0 => х > -2 , 2* 4- 4 < 0
Зростає на [-2; 4-од), спадає на (-од; -2].
2) fix) - 2х3 - Зх2 + 1, /'(х) - б*2 - 6х - 6х(х - 1).
Зростає на (-од; 0] u [1; 4-од), спадає на [0; 1].
3) fix)
— 3(х2
-х3 + 9х2 4- 2Ід:, /’(х) - -З х2 4- 18а: + 21
6х 7) - -3(х - 7Кх + 1);
Зростає на [-1; 7], спадає на (-од; -1] u [7; 4-од).
4) fix) = х4- 2х2 - 3, fix) =
” 4х3 - 4х = 4х{хг - 1) =
- 4х(х - 1)іх 4- 1).
Зростає на [-1; 0] ^ [1; 4-од), спадає на (-од; -1] u (0; 1].
5) fix) = х* 4- 4х - 8, fix) = Зх2 + 4 > 0 => зростає на R;
__
/ 4- Л,
6) /(*) = ! і 4
4
8х 4- 9, fix) = х3 - 8.
Зростає на [2; 4-од), спадає на (-од; 2].
11.2. 1) Ях) - -х 2 4- 6х - 5,
fix) - -2х 4- 6 - -2(х - 3).
Зростає на (-од; 3], спадає на [3; 4-од).
2) /(х) - х3 4- Зх2 - 9х, fix) = Зх2 4- 6х - 9 =
- 3(х24- 2х - 3) = 3(х - 1)(х 4- 3).
Зростає на (-од; 3] u [1; 4-од), спадає на [-3; 1].
3) fix) = —х4 - 2х2 4-1, fix) - х3 - 4х =
4
- х(х2 - 4) - х(х - 2)(х 4- 2).
Зростає на [-2; 0] u [2; 4-од),
спадає на (-од; - 2] и [0; 2]. ________ v • ^
4) fix) - х4 4- 4х - 20, f(x) “ 4х3 + 4 = Цх94- 1). х
Спадає на (-од; -1], зростає на (-1; 4-од).
11.3. 1) fix) ° х4 - 4 Х 3 4- 4х2 - 1, f(x) -
= 4х3 - 12х2 4- 8х = 4х(х2 - Зх 4- 2) “ 4х(х -
Зростає на (0; 1] kj [2; 4-од), спадає на (-од; 0] v [її 2].
1)іх - 2).

46. Зростає на (-ос; -3] u [-1; 1] u [3; +со), спадає на [-3; -1] u [1; 3].
4) /(*) = х 2 + - , f x ) = 2х - — =
2х - 2 2(х3 - 1)
Зростає на [1; +оо), спадає на (-ос; 0) w (0; і].
, 9 , 9 jc2 - 9 (* - ЗКх + 3)
5) /(*) = * + - , П *) = 1 - — = ---- — = ^ ^
X X X X
Зростає на (-ос; -3 ] u [3; -ке), спадає на [-3; 0) и (0; 3].
2х(х + 2) - (х2 - 3) 2х2 + 4х - хг + З
6) Ах) =
х2 - З
х + 2
, /'(*)
( х + 2) ‘ (х + 2)2
х 2 + 4х + 3 (х + 1)(х + 3)
(х + 2у (х + 2) -З
Зростає на (-оо; -3 ] u [-1; +03), спадає на [-3; -2] и (-2; -1].
7) Ах)
X - 2х + 1
, Г(х)
(2х - 2)(3 - х) + (х2 - 2х +1)
3 -
6х - 2х2 - 6 +
X
2X + Jг2 - 2х + 1
(3 - X)2
(х - 5)(х - 1;)
(3 - х )2
ОО
■*г + 6* - 5 -(х 2 - 6х + 5)
( 3 - х )2 (3 - х)2
Спадає на ( - 00; 1] <j [5; +оо), зростає на (1; 3) w (3; 5).
лч „ х ч х2 - 9 - х 2х -х 2 - 9
8) Ах) = —— f (х) = — — — — — = — — — < 0Т х * ±3.
х 2 - 9 (х2 - 9)2 (х2 - 9)2
Спадає на (-сс; -3 ) j (-3; 3) ^ (3; +оо).
11.4. 1) Ах) = Зх4 - 20Х3 + Збх2- 4, /'(х) - 12х3 - 60х2 + 72х = 12х(х2 - 5х + 6)
« 12х(х - 3)(х - 2).
Ах) зростає на [0; 2] w [3; +00), ----------- ; 1---------►
спадає на (-со; 0] и [2; 3).
2) /(х) = 9 + 4х3 - х4, f(x) - 12х2 - 4х3 - 4х2(3 - х).
Ах) зростає на (-оо; 3], спадає на [3; +оо).
3) /(, ) , * ц » , r w = - 2 (x - 5 )- (2jJ- 9) 2^ - 1 0 - 2^ 9
х - 5 (х - 5)2
f(x) спадає на (-ос; 5) kj (5; +00).
( х - 5 у ( x - 5 f < 0 ' X " 5-
4) f(x) =
x l + 5х
/'(х) =
(2х + 5Кх - 4) - (х2 + 5х)
х - 4 (х - 4у
_ 2х2 - 8х 4- 5х - 20 - х2 - 5х _ х2 - 8х - 20 _ (х - 10)(х + 2)
(х - 4)‘ (х - 4) ( х - 4 )2
Ах) зростає на (-со; -2 ] [10; +00), спадає на [-2; 4) w (4; 10].
б, М - 9 Х + Ц . A , ) - =
X X X X
Ах) зростає на (-со; 0) vj [2; +сс), спадає на (0; 2]. «
АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)

47. к. ,, . _ X і ... . _ 2х(х2 - 4) - х г 2х _ 2х3 - 8х - 2х3 8х
)Г ( ) “ *, - 4 ’ (х2-4)г (х2-4)2 = (хг-4)2
f(x) зростає на (-сс; -2) и (-2; 0], спадає на [0; 2) u (2; +оо).
- 2 0" _____
11.5. Спадає на (-«>; х,] о [х2; х3].
11.6. б)
11.7. Зростає на (-а>; -3 ] и [3; +сс).
11.8. f(x) спадає на [-1; 1J.
11.9. У= §(•*) спадає на R, тому що g'ix) < 0 на R.
11.10. 1) /(х) = 6 - х + і х 2 - і х я; f ( x ) = - l + x - x ! = -(x ’ - * + 1) =
- ( Н ) Ч ) ~ Н Н <0і
2) /(х) = -2 х а + 2х2 - Юх + 80; /'(*) = -6 х г + 4х - 10 = - б ( х 2 - | г + ^ } =
- Ч Н Ч М ( Ч ) ’ * Н М Н ) ’ " т ) - "
3) /(х) = sin 2х - Зх; Г(х) = 2 cos 2х - З < 0; -1 5 cos 2х S 1; -2 < 2 cos 2х < 2;
-5 < 2 cos 2х - 3 < -1 .
11.11 . 1) fix) ~ 10х3 - 9х- + 24х - 90; f(x ) - ЗОх2- 18х + 24 ~ 6(5х2 - Зх + 4) > 0;
Д = 9 - 4 х 5 х 4 = -71 < 0;
2) fix) = sin х + х3 + х; Ґ(х) = cos х + Зх2 + 1 > 0; cos х + 1 £ 0; Зх2 > 0;
3) fix) = cos Зх + 4х; f(x) = -3 sin Зх + 4 > 0; -1 < sin Зх < 1;-3 <, -3 sin Зх < 3;
1 < -3 sin Зх + 4 < 7.
1 1 .1 2 .1 ) f(x) = хІ2 + sin х; f i x ) = І2 + cos х > 0 => /(х) зростає на R;
2) f(x) = х - cos х; f ix ) = 1 + sin х > 0 => /(х) зростає на R;
ox t, х хл/з . х/з vS х/З
3) /(х) = cosx + —— ; /( x ) = - s m x + — ; - s m x + — = 0 ^ sin x = —
2 2 2 2
______ "+ V______/~ +
х = ( -і)* -+ я * , * e z .
з
/(х) спадає на
я „ 2я
+ 2ял; — + 2ял
ЗL3
4я я ч- -----' 2п
3 3 3 3 .
Г2я 7я 1
— + 2ял; — +2ял l . n e Z .
1 3 3 J
11.13. і )f(x) - sin х - х; f(x) -■ cos х - 1 < 0. Спадає на R.
2) f(x) - —~~~ - sinx; f'ix) = ^ - cosx; - ^ - c o s x = 0=> cosx = ^ =>
спадає на

49. b
I
<
(T3
s
X
X
>4
a
&
c
o
3
z
LD
<
і
I
in
11.20. 1) у = x9 - a x t у' =3 x 2 - a.
Якщ о a < 0, то у' > 0 у зростає на R => а є ( 0].
2) у - 3 sin 4x 4- ax, y' ~ 12 cos 4x 4- a.
Якщ о a > 12, то y' > 0 ==> у зростає на R => a e [12; +-:c).
3) у = - 2 /l - x + ax', y' - - 7-_-— + a.
v/l —x
Я кщ о a > 0, то у' > 0 у зростає на R ^ a e [0; +•*).
x 3
4) у = — 4- 2(a + l)x 2 -f 9x - 4, y' «= x 2 4- 4(a 4- l) x *f 9.
3
Я кщ о D < 0 , to y' > 0 для x є R.
Щ = (2(a + l))2 - 9 = 4(a + l) 2 - 9 = (2(a + 1 ) - 3)(2(a + 1) + 3) =
4
= (2a - l)(2a + 5)=> (2a - l)(2a + 5) < 0;
11.21. 1)У“ ax - xR, y' = a - 5x4.
Якщо a < 0, to i/' < 0 => у спадає на R. Отже, а є (-co; 0].
2) у = 2 cos Зх 4- ax, у' = -6 sin Зх + a.
Якщо a < - 6, то у' < 0 у спадає на R. Отже, а є (—оо; - 6].
а
3) у —- 2Jx + 3 + ах, у' = - 7■ ■■4-а.
vx + З
Якщо а < 0, то у' < 0 => у спадає на R. Отже, а е (-оо; 0].
4) у = ~~~ 4* ~ 4х 4- 21, у* — —х 2 4* сіх ~ 4.
о 2
Якщо D й 0, то у' < 0 у спадає на R.
D=»a2- 1 6 = > a 2- 1 6 £ 0 = > ( a - 4)(a + 4) < 0.
Отже, а є [-4; 4].
11.22. ах) = (с - 12)*3 + 3(с - 12)*2+ 6-г + 7;
f'(x) = 3(с - 12)х2+ 6(с - 12)л: + 6 > 0 => f(x) зростає на R.
(с - 12)д:2+ 2(с - 12)х + 12 > 0.
Якщо с - 12 > 0 і D < 0, то f(x) > 0 при х є R.
D - 4(с - 12)2- 8(с - 12) - 4(с - 12)(с - 12 - 2) «=
- 4(с - 12)(с - 14) £ 0;
Отже, с є [12; 14].
11.23. У - (а 4- 2 )х 3 - З а х 2 4- 9 а х - 2;
у' = 3(а 4- 2)х2- бах 4- 9а; 3(а 4- 2)х2- бах 4- 9а < 0 =о (а 4- 2)х2- 2ах 4- За < 0.
Якщо а 4 - 2 < 0 і £ ) £ 0 , то у' < 0 => у спадає на R.
£) = 4 д 2 - 4 (д 4- 2) х З а = 4 а 2 - 1 2 а 2 - 2 4 а = - 8 а 2 - 2 4 а = - 8 а ( а 4- 3).
О < 0, якщо а € (-оо; -3] и [0; 4-со).
а + 2 < 0 => а < - 2.
З умови І > 5 0 і а 4 - 2 < 0 випливає, що а є (-оо; -3].
11.24. У - (а 4- 3)х84- 3(а 4- 3)х2- 5х 4- 12;
у' “ 3(а 4- 3)х24- б(а 4- 3)х - 5 й 0 у спадає на Я.
Якщо а 4 * 3 < 0 і £ ) £ 0 , то у' < 0.
В = З б (а 4- З )2 - 4 х 3 (а 4- 3) х ( - 5 ) - 1 2 (а 4- З К З (а 4- 3) 4* 5) = 1 2 (а 4- 3 )(3 а 4- 14);
ае[-М;-з]; а + 3 < 0 => а < -3.
Отже, а є ^ - і і ; - з | .
2 2 2
11.25. cosх > 1- cosx-l + ^->0; f(x) = cosx - 14-— ; /(0) = 0.
2 2 2

50. 12.Точкиекстремумуфункції

51. АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)
са
LP5
5) f(x) - 2х4 - 4х3 + 2,
fix) •- 8а-3 - 12х*12 - 4дг2(2дг - 3),
Г(х) = 0 => х, - 0, х, - 1,5 хяііп = 1,5;
6) /(х) - 2 + х2 4 2х3 - 2 х /Чх) = 2х - 6х 2 - 8х3 - 2х(1 4 Зх - 4х2), fix) - 0 =j
2х(1 - Зх - 4х2) - 0 ^ х я 0 або -4 х 2 4 3х + 1* =0 = >х = 0 або 4х2 - Зх- 1 = 0
D ~ 9 - 4 х 4 х (-1) - 25
3 + 5 , 3 - 5 1
х. = ------ = 1, = -------= —
1 8 2 8 4
1у е , П 1 V = _____ у а 1
nvin | ' '* 'т л * 1 '
12.8. хт.о - -5 , хм% = 1, ХИ1}Й- 4, 6.
12.9. У = fix ), f i x ) > 0 => критичних точок немає => немає точок екстремуму.
12.10. 1) fix) = - х ‘ - 2х3 + 7, fix) = х3 - 6хг = х2(х - 6), fix) - 0 з ї »О, х - 6
4
+__ спадає х е (-оо; 6], зростає х є [6; 4ос), х . = 6;
2) /(х) - (х - Щ х - 2)2, fix) = 3(х - Щ х - 2)2 4 2(х - 1)3(х - 2) - (х - 1)2х
х(х - 2)(3(х - 2) 4 2(х - 1)) - (х - 1)2(х - 2)(3х - 6 + 2х - 2) = (х - 1)2(х - 2)(5х - 8),
fix) = 0 => х, - 1, х2 = 2, х3 = І
+----- зростає на ^—оо;~ J , [2; 4ос);
[ ! 4
спадає на Х т*х ~ g » *иіті
З) fix) = - X е + | х 5 + х 4 + 3, fix) - х5 + 4х4 + 4х3 - х3(х2 + 4х + 4) = х3(х + 2)2,
6 5
■---- ► спадає на (-оо; 0), зростає на [0; 4ос), х = 0.
12.11. 1) fix) - Зх1 - 8х3 4 6х2 - 9, fix) =>12Х3 - 24х2 + 12х = 12х(х2 - 2х 4 1) =
- 12х(х - I f , fix) = 0 => х = 0, х = 1
+ ч/
*►спадає на (-со; 0], зростає на [0; 4оо), xmin = 0;
2) fix) = (х 4 4)4(х - З)3, fix) - 4(х 4 4)3(х - З)3 4 3(х + 4)4(х - 3)2= (х 4 4)3х
х(х - 3)2(4(х - 3) -ь 3(х *44)) - (х 4 4)3(х - 3)2(4х - 12 4 Зх + 12) - (х 4 4)3(х - З)2х 7х,
fix) = 0 х в -4 , х —3, х *» 0
4 4 ^ / ^ 4 зростає на (-оо; -4) і [0; 4со);
_4Х _ - _ ^ /0 f **:х спадає на [-4; 0]. х ,^ = -4 , хМа - 0.
12.12. 1) fix) = )-х3 - 2х* + 4х - 10, fix) - х2 - 4х + 4 = (х - 2)J > 0 => немає то-
З
чок екстремуму, fix) зростає на Я;
2) fix) “ sin х - х, /Чх) = cos х - 1 < 0 => немає точок екстремуму, fix) спадає на R.
12.13. 1) fix) - 6х* - 15х4 4 10х3 - 20, fix) = 30х4- 60х3 + 30х2 - ЗОх^х2- 2x 4
1) = 30х2(х - І )2 > 0 => fix) зростає на R, немає точок екстремуму;
2) fix) = cos х 4 х, fix) = -sin x 4 1 > 0 => fix) зростає на Я, немає точок екстремуму.
12.14.1) fix) = х + —5-, Д х )= = ї ї , Д х ) - 0 => ^Ц -^ = 0 =>х = 2, х *0
X X X X
зростає на (-оо; 0) і [2; 4ео),
2 д. спадає на (0; 2], xmjn = 2;

52. .. _ х2 —3 _ 2х(х - 2) - (х 2 - 3) _ 2х* - 4х - х2+ 3 _ X і - 4х + З
Х ~ х - 2 ~ ( х - 2 ) 2 " ( * - 2)г ” (х - 2)2
(* " 3)<X" 1), Л х )-0 = » * - 8 . * - 1 . * ^ 2
зростає на (-со ; 1 ] u [ 3 ; -»-ос),
х спадає на [-1; 2) ^ (2; 3], хш>>- 1, х - 3;
3) «х) =
<*’ +1У
зростає на (—оо; 0],
* спадає на [0; +оо), х —0;
4) = +
4 х
х 2 9 Xі - 3 6 (х2 - 6)(х2+ 6) (х -Т б )(х + /б)(х2 + 6)
" 2 х3 ' 2х3 2х3 2х3 :
f{x) - 0 => х = 7б, х = —>/б, х * 0
----- зростає на [-7б; О) і [7б; + оо),
л/6 0^ ^ -^ W 6 х спадає на (-оо;-7б] і (О; ч/б], = ->/б,
. *2 - (* - 1) •2* д:2 - 2д:г + 2* 2х - х2 х{2 - х) 2 - х
. f (*) = ---------- Г“ 1-----= ----------«------- = ----- 5— = ----- г—1 = —у v’ V4 V* V**
б) f(x) =
JC—1
fix) = 0 => д: *= 2, х * 0
- г зростає на (0; 2],
в) f(x) =
(х - ЗY
, Пх)
х спадає на (-оо; 0) і [2; -Но), х]плх = 2;
2
(х - 3):
, fix) * 0, х * З
7) fix) =
зростає на (3; +ос),
д: спадає на (-оо; 3 ), точок екстремуму не має;
(лг2 - 16) + 16
*2 - 1 6 *2 - 1 6
= 1+
16
X* —16
Г ( Х ) = -
32д:
(дг2 - 16)2 *
зростає на (-о с ; 4) і (-4; 0],
X спадає на [0; 4) і (4; +со), х = 0;
f{x) = 0 = > д г - 0 , дг*±4
+
-4 0
8) f(x) = 2n/I - х, х S 0, fix) = 4 - - 1 = fix) - 0 = > х - 1, x * 0
slX six
зростає на [0; 1],
0 спадає на [1; +ос), =» 1.
12.15. і) f (x )= х- ~ 6 х ,
х + 2
щ ху _ (2х - 6)(* + 2) - {хи- 6х) _ 2хг + 4* - 6* - 12 - jc2 + 6х _
t
e Xі + 4дг - 12 _ (л + 6Х* - 2)
(* + 2)2 (х + 2)г
(дг+ 2)z (* + 2)2
; fix) - 0 => х = - 6, д: * 2, х * -2
І
1ГЭ
АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)

53. АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін,)
+• ^ зростає на (-со; -б] і [2 ; +оо);
2 * спадає на [ - 6; - 2) і (-2; 2], хіаьк •= - 6, хьЛв = 2;
2) 1(Х) =* +- , х*0. Г(Х) =1- Л = =(д:~3)г +3); Г(*> = о ^ = з,
X = -3 , * * 0
~+ зростає на (-ос; - 3 ] і [3 ; 4-оо),
~*х спадає на [-3; 0) і (0; 3], =■-3 , - 3;
х спадає на (-со; 0], хтіл = 0;
4) /(х) = 7 - - у , х * - 1. Г М = - у — :т
(х + 1)“ (х + 1)
^ зростає на (-со ; - 1),
* спадає на ( - 1; +ос), точок екстремуму не має:
-н ^ зростає на (0; 4) і (4; +оо),
4 спадає на (-со; -4) і (-4; 0], = 0;
6) « * ) = 2* - >/ї, х * 0 , Г(х) = 2 - ^ = - ^ - >
_1_
16
3) ні
12.17.1) ні, може не існувати 2) ні

54. и N>1
59 АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.)

55. АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)
I ";і !
)р!if,
С0
12.20. у - X9 - 3ах2 + 27* - 5, у' » З*2 - 6а* + 27 = 3(*2 - 2а* + 9). у ’ = 0 => *2
- 2а* + 9 - 0 => якщо D = 0, то рівняння матиме один корінь. Отже, D * 4а2 -
36 = 0 => а2 - 9 => а = ±3.
12.21. у = і *'4 - 2а*2 + 4* -1 5 , у' ^ х2 - 4а* + 4, і/' = 0 => *2 - 4а* + 4 = 0 =>
З
Якщо D = 0, то рівняння матиме один корінь. Отже, D = 16а2 - 1 6 ^ 0 ^ а2 =
1 =>а м ±1.
12 .22. 1) Пх) = хг - Vl - х. 1-х: > 0 => * S 1
:г 4х(1 - х) - х* 4х - 4хгг - хг 4х - 5х~
2 j l - x
*(4 - 5*)
Г(х) = 2*Vl - х -
2n/1 - х 2>/ї - х 271 - * 2V1 - х
, / ’(*) = 0 => * « 0 або 4 - 5 * = 0, * * ! , * = 0,8
зростає на [0 ; 0,8],
х спадає на (-ос; 0] і [0,8; 1], *
2) f(x) = (1 - х )7 І, х > 0
. і- 1 - х -2 х +1 - х -З х +1 ,,, . _
f (X ) = VX + — 7= . = — — г=— = Пх) - 0 :
о. “ 0.8;
~2>fx ~ 2>Гх 27 *
зростає на |^0; i j ,
-З* + 1 = 0, 1
=> * = —
х * 0, * > 0; З
спадає на
[і:+4
* _ = —
3) f(x) = - ~ . х іО
* + 1
Г М =
—^ ( * + i ) - V *
_ 2 j x __________ * + 1 - 2* 1 - *
(х + 1)2 2*У*(*+І)2 2>/*(*+І)2
зростає на [0 ; 1],
х спадає на [1; +х), *
; Г(х) = 0 = > * - 1 , * * 0
1;
4) /(*) = Д^-~—, 3 - * > 0 = > * < 3
V3 - *
2ч/з" * +
Пх) =
2 * - 7
2 V 3 - * 4 ( 3 - * ) + 2 * - 7 1 2 - 4 * + 2 * - 7 5 - 2 *
2(3- * ) 2
5 - 2* = 0, J* = 2,5,
* < 3; 1* < 3;
зростає на (-оо; 2,5],
2(3 - X)2
2,5.
2(3 - *)2
2 ,5 ^ _ j ^ /3 х спадає на [2,5; 3), *L
12.23. 1) f(x) = x 2yjx + 2, * + 2 £ 0 = > * > - 2
« /-----« х 2 4*(* + 2) + *2 4*2 + 8* + ** 5*2+ 8*
/ (*) = 2*v* + 2 +
2-У*+2 2v* +2 2-У*+2 ^ * + 2
*(5* + 8)
; f(x ) - 0
* = 0 або 5* + 8 = 0,
* > - 2;
* = 0 або * =
* > - 2;

56. 61 АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.

58. ьо
о
СО
а
ю
&
| н
і
ьо
со
I!
I
СО I я
+
N5
Я
*•
?Г
т
N
83 АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.)
****

59. і
і

60. 4а -ь 7 - 8а2 + 2Аа 2а + l-2 a 2 + 6а
~ 6 " 3 ~
4а - 7-8а2 + 24а 2а - 7-2а2 + 6а
6 = З
х 1 і х 2 точки екстремуму
£
Для того, щоб х0 = 2 була би точкою екстремуму, необхідно щоб виконувалася
хоча б одна умова: х 1 = 2 або х2 — 2 .
Розв’яжемо рівняння:
2а + 7 -2 а2 + 6а 2а - У-2а2 -+6а
З
= 2
2а + 7 -2 а 2 + 6а = 6
7 -2а 2 + 6а = 6 - 2а
6 - 2а > 0 => -2а > -6
=> а < З, Я > 0, якщо а є (0; 3) =>
=> а е (0 ; 3)
-2 а 2 4- 6а 23 36 - 24а 4- 4а2
6а 2 - 30а 4- 36 - 0| : 6
а 2 - 5а 4- 6 - 0
2а - 7-2а2 + 6а = 6
2а - 6 = 7 -2 а2+6а
2 а - 6 > 0 = і > а > 3 >а € (0; 3) =>
=> розв’язків не має
а х - 2, а 2 - 3 в? (0; 3).
Відповідь: а * 2.
13. Найбільше і найменше значення функцій на відрізку
13.1. 1) Ї М - Зх2 - Xа, [-1; 3], /'(х) = 6* - З*2, ГМ = 0 => Зх(2 - х ) - 0 = > х = 0
або х - 2; ДО) = 0, /(2) = 4, /(-1 ) = 4, ДЗ) - 0 =>
=> шах /(х) = /(2) = /(—1) = 4, т іп /(х) = /(0) = /(3) = 0;
2) Дх) - х< - 2х2 + 5, [0; 2], Г М - 4х* - 4х - 4х(х2 - 1) - 4х(х - 1)(х 4- 1),
Г М - 0 => х - 0, х - 1, * - -1 € [0; 2], ДО) - 5, Д1) = 4, Д2) = 13
шах /(х) = ї (2) = 13, т іп Ї М = /(1) = 4;
10:2]
3) ГМ ” *3 ~ 2л*2 4- 8х - 3, [1 ; 3], ГМ - Зх2 - 4х 4- 8, Д(х) - 0 =э Зх2 - 4л: 4- 8 -
**=0 => =* 1 6 - 4 x 3 x 8 “ -8 0 < 0 => критичних точок не має, ГМ > 0 => Дх)
зростає на [1 ; 3]
Д ї) - 4, ДЗ) = 27 - 18 + 24 - 3 = ЗО
т іп /(х) = /(1) = 4, т а х /(х ) = /(3) = 30;
ї»:*1 Р:*1
4) Дх) - 2хя - 9хг - 3, [ - 1; 4]. ГМ - 6х2 - 18л - 6х(х - 3),
Г М * 0 => х - 0 або х —З
Д -1 ) » -2 - 9 - 3 = -1 4 , ДО) * -З , ДЗ) « 54 - 81 - 3 = -ЗО, Д4) = 128 - 144 -
- З “ -1 9
т іп Ї М = /(3) = -ЗО, т а х /(х) = /(0) = -3;
І-!:«! »(*1:4)
5) Дх) - 2х3 4- 9х2 - 60л - 7, [-1; 3],
Г(л) - 6л2 4- 18л - 60 = 6(х2 4- Зл - 10) = 6(х 4- 5)(х - 2),
Г М “ 0 => х - -5 або х « 2 , х — -5 «£ [ - 1 ; 3] =>
Д -1 ) - -2 4- 9 4- 60 - 7 = 60. Д2) = 16 4- 36 - 120 - 7 = -7 5 ,
З Усі ГДЗ. и кл.кн.2
1ГЭ
со
АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)

61. f{3)-54+81-180-7=-52
minf(x)=f(2)=-75,maxf(x)=f(-l)=60;
6)/(*)=^—[-3;0],

62. Б7 АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.)
1(т-*г)(г-х)(і+*)г-
х)(г-*)(і+*)г-(г-*)г(і+*)г+г(г-*Мі+*)г-(*),;
(т:г-1іг-*Ш+*)«(ху(е

63. 68 АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.)
? і : з «з

64. 13.7. Нехай перше число буде х, тоді друге — (8 - х). З умови випливає, що 0
й х <, 8. Розглянемо функцію f(x) *» х3(8 - х). Знайдемо найбільше значення f{x)
на відрізку [0; 8].
f{x) = Здг2(8 - х) - х3 = х2(3(8 - х) - х) = х2(24 - Зх - х) - х2(24 - 4х) = 4х2(6 - х),
fix) - 0 => х = 0 або х = 6
ДО) = 0, /(6) - б3 х 2 = 432, /(8) - 0.
Отже, fix) набуває найбільшого значення при х = 6.
Маємо: 8 = 6 + 2.
13.8. Нехай перше число буде х, тоді друге — (12 - х). З умови випливає, що
0 £ х < 12. Розглянемо функцію f{x) = х2 х 2(12 - х). Знайдемо найбільше
значення f(x) на відрізку [0; 12].
fix) = 4х(12 - х) - 2х2 = 48х - 4х2 - 2х2 = 48х - 6х2 » 6х(8 - х),
fix) = 0 => х = 0 або х = 8
ДО) = 0, Д8 ) = 128 х 4 = 512, Д12) - 0.
Отже, fix) набуває найбільшого значення при х = 8.
Маємо 12 = 8 + 4.
13.9. 1) f(x) = 2 sin 2х + cos 4х, 0;-^ І,
fix) = 4 cos 2х - 4 sin 4х; fix) = 0 => cos 2х - sin4х = 0 => cos2х - 2 sin 2х cos 2х *
=« 0 => cos 2х(1 - 2 sin 2х) = 0 cos 2х = 0 абоsin 2х = —=> 2х = —+ лл або
2 2
_ . ,.j я , л лл . . л л лА . г> і v
2х = (-1) —+ лА => х = —+ — або х = (-1) — + ~ * « є Z. Із знайдених чисел
проміжку £о;
т - и / ( f ) - » - i - k '( ї ? ) - 1* ! - « ' ( f ) - 5 ' І
P I ,w ■'<»'- ' ( ї ) ■ 'P lf" '1■/( п ) ■1,51
2) fix) = л/3 sin 2х + cos 2х - 5,
f i x ) - 2>/3 cos 2х - 2 sin 2х, fix) = 0 => n/з cos 2х - sin 2х = 0 => >/з - tg 2х = 0
я . л
належить х = — і х = —
4 12
оіі
_ ГТ х Л ЛЯЛ _
tg 2х = V3 => 2х = —+ ял => х = —+ — , л є Z.
3 6 2
Із знайдених чисел проміжку ^0;—j належить число х = —.
« 0 ) - - 4 ; / ( f ) - V 3 f + i - S . -З; / ( § ) - Л
™ > « » - Ж » - / ( І ) ■ -4. [ | М - ' ( f ) - -З!
# - і - 5 - 4
2 2
■ [*? ]•
R
3) fix) = 2 sin х + sin 2х
х
fix) - 2 cos х + 2 cos 2x, fix) = 0 => cos x + cos 2x - 0 => 2 cos — cos—= 0 =>
* 2 2
Зх л„ х ^ З х л . x л _ л 2лл
cos— = 0 або cos —= 0 => — = —+ лл або —= —+ лл, л є z => х = —+ ------
2 2 2 2 2 2 3 3
або х =* л + 2лл, л є Z.
т L Зл я
Із знайдених чисел проміжку 0;— належить х = —, х = л.
L 2 З
АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)

65. т - о , м
fiff“ ■'(f)' -2' рьу<“"'(!) зЛ
13.10. 1 ) /(х) - 2 cos х - sin 2х,
Л я]
2 J2j
/'(*) = -2 sin x - 2 cos 2х; ГМ - 0 => sin х + cos 2*
04 0 => sin х + 1 - sin2 x - sin2x *- 0 ^
- 1 = О=> заміна sin x —у
2y* - у - 1 - 0, D = 1 + 4 x 2 - 9, ^
або sin x = - —
2
0 => sin x + cos2x - sin2X
у - 1
sin X = 1
2 sin2x + sin x + 1
1 + 3
~ 1* У2
1 - 3
4
2 sin2 x - sin x
1
2
x = —+ 2л/г
2
(_!)*♦> £ + л*, /г є Z
Із знайдених чисел проміжку
л п
належать числа х = —, х = — ,
2 6
' Н Ь ' Й Ь
”Д ,М ■' И ) - ' ( і ) ■“■г а ' 1*' ■'( - f ) - i r =
2) /(х) = 2ТЗ cos х + 2 sin х, | - ^ ~ j ,
f ' M = -2>/з sinx + 2cosx, ГМ * 0 =$> -л/з sin х + cos х = 0 =* —>/3tgx + l = 0 =>
tg x =
y/S
— + ЯЛ, л є Z .
6
Із знайдених чисел проміжку
sf3
належить х = —.
6
Ч-f]-* 'й)-2-®f *2 'Г 3-‘-4='(f) - 2
13.11. Нехай перше число буде х, друге — 2х, третє — (180 - Зх). З умови ви­
пливає, що 0 £ х < 60. Розглянемо /(х) = х х 2х х (180 - Зх) = 2х2(180 - Зх) і
знайдемо найбільше значення /(х) на проміжку [0; 60].
Г М - 4х(180 - Зх) - 6х2 = 720х - 12х2 - 6х2 - 720х - 18х2 - 18х(40 - х);
Г(х) « 0 => х * 0 або х “ 40
/(0) = 0; /(60) - 0, /(40) = 2 х 1600 х 60 = 192000
Отже, х = 40, 2х « 80, 180 - Зх = 60, 180 - 40 + 80 + 60.
13.12. Нехай перше число буде 8х, друге — Зх, а третє — (18 - 11х). З умови
18
випливає, що 0 < х < — • Розглянемо /(х) - (8х)3+ (Зх)3 + (18 - 11х)3і знайдемо
найменше значення /(х) на
L uJ
f(x) = 512х3 + 27л:3 + (18 - llx )3 - 539х3 + (18 - 11л:)3;
f(x) - 539 х Зх3 - 11 х 3(18 - 11ж)2 - 1617л:3 - 33(18 - 11х)3 - 33(49х3 - (18 -
- 11х)3) = 33(7л - (18 - 11х)Х7х + 18 - 11л) = 33(7х - 18 + 11лХ18 - 4л) - 33(18л -
- 18)(18 - 4л) - 33 х 18 х 2(х - 1X9 - 2л);

66. Г(х) = 0 .=> х - 1 або х - 4,5.
Із знайдених чисел проміжку 0;— 1
. Н і
належить х - 1.
/0) - 18я - 5832; /(1) = 539 + 343 = 882;
юЗГ18^ 539 1
V II) 11л
18" 49 •18" 285768 оос1 87 діїц/(х) = /(1) = 882.
-------= ----------- = /оо І------
121 121 121
т іп ,
Р і
Отже, 8х - 8;3х - 3;18 - 11л: = 7; 18 ~ 8 + 3 + 7.
13.13. K N « х см, ЬК » у см, 0 < х < 12, 0 < у < 10
* ху* $ Две = ~ ВО АС = і 10 12 = 60 см2,
+ ^лМА>С = 2 ~ &ММ = 2 ^ ^ ~ ^ Х*
5 . ........» - Б . . , , , . - (5 ^ ^ + 5 ,4(ЧГ^)ЛКС ~&ВІМ AtSC*
2ху = 120 - (10 - у):х - (12 - х)і/; 2ху » 120 - Юх + ху - 12у + ху;
120 -Ю х 60 - 5дг
12у = 120 - Юх; і/
5
У
12 6
5 60 -5 * 6 0 -Ю х
'КІМ.У'--' 0
6 0 - 5 - 6
6 6
= 5 = > 5 * 5 x 6 = ЗО см2.
60 - 5х
^ &кши ~ є
’^ , м = 0 => X = 6,
1
13.14. СВ = —АВ = 8 см як катет, що лежить навпроти кута 30°.
За теоремою Піфагора
АС = NІАВг - ВСг = ^1б2 - 8 2 = ТЇ92 = 764 -3 = 8л/3 (см).
Нехай /С// = х см, /Сі = і/ см, тоді 5 ху, АГА/ - АВ-А/У - МВ.
0 З AAKN КИ ~ х см, А/С «* 2х см (/.А “ 30°), за теоремою Піфагора
= -Іа К^~-~КЇ^ = л/4*2 - * 2 = 7 з ? = ТЗд: (см).
М ДВМВ прямокутний ЬМ ” х см, ^В = 60°;
_ ——- = / в => МВ = ------ - = —р= (см).
в м в Ьйz в 7з
4х
Маємо ЫМ = 16 - >/Зх -
7 Г 1 6 “ 7 з ;
&ХЛ/Ш
= (16_ З І ) * =
1« 4х2 с , а 8х
ІЬ х~ И з ' ~ 1 ь _ 7 з ’
ъ км = о =* 1 6 - ^ = ° => 2 - ^ = ° => - і- = 2 => х = 273 см;
7з
= 2 /З см , л а = 1 6 - 1 - ^ = 8(см).
Відповідь: 2>/3 см і 8 см.
13.15.
З _____ С Я = 20 см. Нехай АВ - х см. АВАО прямокутний, за теоремою
Піфагора
АО - VВО2 - АВ2; ЛО = 7 я 2 - х
0 Б «лвсв = АВ А І) = АВ ■2АО - 2дг>/Л2 - я2
АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)

67. 5'(у)-0=>у=3тах3(у)=Я(3)=2>/б•6=12-Уб.
|0;®1
Відповідь:12^6м2.
■—
72 А Л Г Е Б Р А (до п ід р у ч н и к а А. Г. М е р зл я к а , Д, А. Н о м ір о в с ь к о г о та ін.)
со І '
& 1
І 2.
ч<с м м
1 ссГ]|сЛю _
& со
І
II £
І
ГО
со
МІ
І
со
&
со
І
<с:
£п £
£-1° "^ 1 І СО
Ю|
І £
Ю СО
І
II
►-» к
N5
1
Уу ьм 1
1
со
к
Со
І '
у
— їо
II
0 1
к
II “
їо
1
ю
к14
В
О
и
нК»
II
Со
ГО
*
К» ю
* го
1
го $ п
г*
1 к1 о* 1
к
N 1
СО
к
1
кN
к м
& І
Ьз
и
0
1
ю
со 1
и
йГ
1м
150
$Г]
1
сГ о 0
1
к о ю 1
& 1 1 о о 1 1 км
к со
1
1
кN
2 II
ю
к
II
кГО кго 1
£п

68. 4ft —у
13.19. Нехай АС = х см, АВ = — -— = (24 - 0,5*) см.
Р 48
За формулою Герона S = у]р{р - а)(р - Ь)(р - с), р - — = — - 24 см.
£ L*
Я = уІ24{24 - х)(24 - 24 + 0,5х)2 = 2>/б ■>/(24 - ж) 0,5* = >/бх ч/24 - х,
А‘ * 0<х<24; ^ х ) = Тб Я Г Г х - Рбх , 1 = ^ 4 - х) - Убх =
2^24 - х 2>/24 - .г
48ч/б - 2^/бдг - >/бх _ 48>/б - З ^ х _ 3>/б(16 -х),
2^24 - х 2^24 - х 2л/24 - х
£'(*) * 0 => * - 16; тах£(*) = 5(16).
Відповідь'. 16 см. <0'2<1
13.20. Василь міркує невірно, він не враховує той факт, що /(*) у точці * * О
розривна.
13.21.
В С Проведемо ВК 1 АО, СМ 1 АО.
Нехай А/С = дг, ВСМК — прямокутник, ВС = КМ = а.
а Трапеція АВСО — рівнобока => А/С —МО = *.
. ч З ААВК (прямокутний) за теоремою Піфагора випливає,
П— а г—------г Я П А П
ВКА К М D що ВК = -1аг - х 2, 0 < х < a. = ВС- - —
ВС —a, AD = а + 2х. ART = л/а! - хг .
Отже, S(*) =
а + а + 2дг г-*-----j
•Va2 - дг* = (a -f дг) va2 - *2;
„„ v П -----2 (<*+ x)x a2 - x2 - (a + дг)дг (а - х)(а + *) - (а + дг)дг
S(*) = Va -дг - - 7=т ---- - = ------.........7 ------= ----------- -П---- 2--------- =
yja - х а - дг >/а - х
(а + х Ха - * - х) „„ . Л . а
= ----- ^ S (дг) = 0 => дг = -а — не задовольняє умові задачі; х = —
max S(x) = S[ —|.
Отже, AD = а + 2х = 2а. 5
13.22.
З Нехай ZOA/C - дг, тоді ZA = 2х, 0 < 2* < —.
Сл
Із ОАК: — = tgx =» АК = — => АС = — .
А/С tg * tg дг
**■ я г ■ s = І1Г.
cos 2* tg*cos2*’ лЛВС 2
п З ААВК: = cos 2* АВ
° і АВ
А К С
Р = АВ + ВС + АС = 2АВ + АС, АВ = ВС за умовою.
я - + * L - j L f - L - + A
t£*cos2* tg* tg*vcos2* /
s w = r " ( " V + 1) ;tg * vcos 2* /
^ г2 f 1 , ^ , 2r2 sin 2* = r" f 1 і ll
tg2*cos2*cos2* ) tg* cos22* sin2* lc o s 2* )
CO
АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)

70. Ч * °°!*
Ія ооІя 8.
+ 3 3
II
001я -І ?
II
І
СО І я
і*|Х 00ІЯ
II +
юІд «Нх
і и
00Ія ЮІя
N3СО
5’
оо|я оо|а
її + і ооІа
о л.ІЯ І“ І
II
о
•Ч £
II
о
0>о*о
‘І"
“ І??
II
00Іи
ОС І Я
І ш
<0
00 І Я
+
»и|х
и
о
со
2.
З’
СО І Я N>1 Я
£>00|Я 00|Я - , -
І, ' + °°|а
' ; VII
о
*ч|»
І
N5ІX
І
X
II
о
&
й
о
и
4ъІЯ
І
N>1X
І
«*■ІЯ
І
N3 І X
££
X
II
О од
и X
00 І Я
Ч ?
її
о
с*
х
!я
соІх
о
и
75 АЛГЕБРА (до підручника А. Г. Мерзляка, Д. А. Номіровського та ін.)

71. АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)
к
13.24.
АК X ВС, нехай ОК = х, тоді АК = Я + х.
АВОС рівнобедрений (ВО = ОС = Я), висота ОК є медіаною.
За теоремою Піфагора ВК = уЯ2 - х2, 0 < х < Я.
ВС = 2ВЛ = 2 7 л 2 - * 2;
^ вс = |(л +ж)-2 7 л2- хг = (Л +л)7 л2 - ж4;
_ гр — ^7 _ (Я + х)х _ Я2 - х2 - Я* - х2 _ -2 х 2 - Ях + Я2
1 7 я2 -х 2 л/я2 - х2>/я2 - х*
Я'(х) = 0 -2 х 2 - Ях + Я2 = 0 => 2х2 + Ях - Я2 - 0 => В - Я2 + 8Я2 - 9Я2 =>
-Я + 2Я л г „ -Я - ЗЯ
х, = ------------= 0,5Я, х„ = -------------= -Я не задовольняє умові задачі
► 5 - 5(0,5Я); А Я - Я + Х - Я + 0.5Я - 1.5Я.
РІВНЯННЯ ДОТИЧНОЇ у “ у0 + 1/'(Хо)(Х - Х0).
Нехай А(х0, у0) — точка дотику до графіка функ­
ції у = 7 х .
Маємо, л(х0,>/х0), х0 > 0.
Рівняння дотичної в точці А:
У = у ^ + 7П=,,-х ~ хо) -
27*о
5 а л е = 2 В * '*С .
Знайдемо точки перетину дотичної з віссю Оу і прямою у - 2:
У (0)= 2 ^ Г = ^ ; = 2 ^ Х' + Х = 4'ІЇ' =* * = Ф о ~ * о -
Отже, » В (4 ^ х ^ -х 0;2).
і—
Маємо, ЛГС= 2 -2 ^ 2 ., КВ = 4 ^ - х„,
^лВкс = | ( 2 - (4„/*Г - *„) = ( і - ^ - ) ( 4ч/*# - *«) = 4^ - *0 - *0 +
+ -^- = 4>/*7-2*0 + -^-;
84*) = * 2 + 3 - = 1 6 - 1 6 ^ + З*.
>/*Г 8 3^*о
СО 5'(х) = 0 => 16 - 16ЧС~ + Зх0 = 0 => заміна = а => За2 - 16а + 16 - 0 ^ £> «*
256 - 12 х 16 - 256 - 192 - 64;

72. 16 + 8 . 1 6 - 8 4 і— л 0
а, = --------- = 4; а2 - --------- = — => уІх0 = 4 або х 0 - 8 не задовольняє умові задачі
6 6 3
Маємо, А
( ? 4
£'(*) = § * ’ -2 * 0 -3,5 =
$'(*) Зхі - 4х0 - 7 = 0 = > / ) “ 1 6 - 4 х З х (-7) = 100 => х0 =
* Л =
4 - 1 0
4 + 10 = 7
6 З
= -1 не задовольняє умові задачі.
. . 49 28 , 4 9 -2 8 3 + 9 26
Маємо, Л « Т - Т + 1 - -------- Г “ = ” Т
5(2) - |2 х (-3)1 - 6; Й(3) - |2,5 х (-2)1 - 5;
■ Ш - Н - ( - т ї - 3 - * & * — ©■
Отже, С
Нехай СХ> = хкм, тоді А£> = (285 - х) км.
За теоремою Піфагора з прямокутного ЛВСП зна­
йдемо відстань від В до £>: ВИ = >/3600 + х 2 (км).
Час на дорогу від В до Г> івр =
ТзбОО+ ДС
285 —х . .
А від Л до І>: ^ = — —— (год).
20
(год),
„ ч 1 х -5>/3600 + х2 + ІЗх
*(X) = -----+ -----, = --------- 1 -"ТТ—П.Т----
52 20у3600 + х 2 260у3600 + х2
*'(х) - 0 => ІЗх = 5^3600 + х2 =* 169х2 - 25(3600 + х2) => 169х2 - 90 000 + 25х2
=> 144х2 - 90 000 => х2 * 625 => х = 25
АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)

73. 25 285 х
*к»лч. “ *(25). Отже, на відстані 25 км від пункту С час перебування в дорозі від
пункту А до пункту В буде найменшим.
13.28.
За теоремою Піфагора з прямокутного ДABC:
ВС = V l303 - 5 0 г = 7 іб 900 -2 5 0 0 = JlA 400 = 120 км.
ААСК прямокутний, нехай ZAKC = х°, тоді ~ = tg х,
СК АК
sin х
СК
50
tg x
АК =
50
ВК = ВС - СК = 1 2 0 -
50
зюд; tg x
За умовою задачі сказано, що вартість перевезення по шосе у
2 рази більш», ніж залізницею. Тоді вартість перевезення від
заводу А до пункту В буде: і{х) = ~ + 120 -
ґ{х ) = _100 со вх + 50
Sin X tg XCOSX
Sill X
100 cos .г
sin2 X
tg *
50 ■100 cos x + 50
sin x
t'(x) = 0 => -1 0 0 cos x + 50 «* 0 => cos x = — x —60°
Під кутом 60° до залізниці слід провести шосе від заводу
130 х А, щоб доставка вантажів з А до В була найдешевшою.
13.29. “ 20 < х3 - Зх2 < 16, де х є [ - 2; 4]
-2 0 Ч ^ - ^ 2
Розглянемо функцію у = х3 - Зх2, на [-2; 4] вона неперервна.
Знайдемо у' » Зх2 - 6* = Зх(х - 2). Маємо у ’ = 0 х *= 0 або х « .
У(-2) - -20; у(0) = 0; у(2) = -4 ; у(4) = 64 - 48 = 16;
шах у(х) = і/(4) = 16, min у(х) = і/(-2) = -20.
Отже, -2 0 < х3 —Зх2 < 16, де х є [-2; 4).
13.30. fix) - -5** + хх - 1|, [0; 2]
Розглянемо Дх) = -5х* - х(х - 1) ***-5 х 3 - х 2 + х , де х є (0; 1].
/'(*) - -1 5 х 2 - 2х + 1 , ГМ - 0 => -1 5 х 2 - 2х 4- 1 = 0 15х2 + 2х 1 - 0
D = 4 4- 60 = 64
/(0) = 0; /(1) - -
-2 + 8 1 -2
" 30 " 5 ’ *2 “
3^
25*
^v3 + х(х
8 1
— — = - — не входить в [0; 1].
* 'Ш -
коре-
Розглянемо Дх) = -од:3 4- х(х - 1) - -5 х 3 + х 2 - х , дех € [1; 2].
f M - ” 15х2 4- 2х - 1, Г М - 0 => 15.x2 - 2х + 1 = 0=> D = 4 - 60= -56
нів немає, /'(*) < 0 f M на (1; 2] спадає.
/(1) = -о , Д2) - -38.
Отже. тах/(л:) = / ( і ) = ^ 7 , m m /(x) = /(2) = -38.
13.31. f(x) - 4х3 - хх - ,2j, [0; 3]
Розглянемо Дх) = 4х3 + х(х - 2) ■= 4х* + х2 - 2х, де х є [0; 2];
Г М “ 12х2 + 2х - 2 => /'(*) “ 0 12х2 4- 2х - 2 = 0 => 6х2 + х - 1 = 0;
D —1 + 24 —25 => х, =
1 + 5 1. - 1 - 5 1
12 3 ’
х2 -
12 2
4 1 5 4 15 _ 11
27 3 3 " 27 27 27 *

74. Розглянемо f(x) - 4х3 - х(х - 2) = 4х3 - х2 + 2х, де х є [2; 3].
Г(х) - 12х2 - 2х + 2, /'(х) - 0 => 6х2 - х + 1 - 0 D « 1 - 24 - -2 3 => коренів
не має, f{x ) > 0 => f(x) зростає на [2; 3].
/(2) “ 32; /(3) = 105.
Отже, ш ах/(x) = 105, m i n f ( x ) - - — .
13.32. V5 - х + J x - 3 = х* - 8х + 18
Розглянемо /j(x) = V5 - х + Vx - 3, D(f) = [3; 5].
{^ х ) ~ - Ч Ж ^ + Ж Г ї ’ /і'(*) = 0 * - ^ + ^ Т 7 = ° =
/і(3) = V2; /,(4) - 2; /Д5) = v/2, т а xf^x) = Л(4).
[ 3 :5 j
Розглянемо / 2(х) - х2 - 8х + 18, /2'(х) = 2х - 8 => £(х) = 0 => х - 4.
/ 2(3) - 9 - 24 + 18 « 3; /2(4) = 2; /,(5) - 25 - 40 + 18 - 3, т а х /2(х) = £(4).
/j і f2 мають одну критичну точку х —4, в якій досягають однакового максималь­
ного значення. Отже х = 4 — єдиний корінь рівняння.
13.33. V x+ T + Vl - х = x l + 6х + 13
Розглянемо Д(х) = у]х + 7 + Vl - х, = ["7; 1]
№ ) = -а £ ; Т - г Л * ’ ^(;г) = 0 ^ - ' / * + ’ = 0; і - * - * + 7;
2х - -6 ; ж = -3 .
/і(-7 ) = >/в = 2>І2; / ,( - 3 ) - 4 ; £(1) = 2>/2, ш м /.М = /,(-3) = 4.
Розглянемо f2(x) = х2 + 6х + 13, £(х) = 2х + 6; //(х) = 0 =$• х * -3 .
/ 2(-7 ) - 49 - 42 + 13 - 20, f2( - 3) - 9 - 1 8 + 1 3 - 4 , / 2(1) * 20, m in /(x ) = 4.
fx і / 2 неперервні на [-7; 1], мають єдину критичну точку х - -3 , в якій досяга­
ють однакового значення. Маємо, х —-3 — корінь рівняння.
§ 14. Друга похідна. Поняття опуклості функції
14.1. 1) у =■ X3, у' = З х у" - 6х;
2) у - х2 - 2х + 5, у' - 2х - 2, і/" - 2;
оч 1 , 1 „ 23 ) у = _ , у
4 )у = ^ ’ у,=і Ь уЧ И ) = - х ~1 = - т Ь ' ’
б) у - cos х, р' —- sin х, і/" - -cos х;
6) у - (2х - 1)ь, у' - 10(2х - І)4, г/" - 80(2х - 1)*;
7) у —sin Зх, у' = 3 cos Зх, у" —-9 sin Зх;
8) у - cos2 х, у' = -2 cos х sin х —-sin 2х, у" - -2 cos 2х;
Л4 X , 1 X 1 . x
9) y = s i n - , 1/ = 7 COS-, у = - — s in - ;
4 4 4 lb 4
10) у —X sin X, у' —sin X + х cos x, у" —cos X + cos X - x sin X = 2 cos x - x sin X.
14.2. 1) У = x 4, у ’ - 4x*. у" - 12x2;
2) у - 3 - 5x + X 3, у' - -5 + Зх2, у" - 6х;
3) у = —Ц -, !/' = -
1
1
(х — 1)
2 »
(* -1 )
3 »
03
АЛГЕБРА(допідручникаА.Г.Мерзляка,Д.А.Номіровськоготаін.)