1. 1
10ν
΢ΔΝΑΡΙΟ
Πεηξαµαηηζµόο µε µνληέια µαζεµαηηθώλ αληηθεηµέλσλ ή θαηλνµέλσλ πνπ δηέπνληαη από
µαζεµαηηθνύο θαλόλεο ζπµπεξηθνξάο.
Διάρηζηε Απόζηαζε δπν Σξέλωλ
Γλωζηηθή πεξηνρή:
 Άιγεβξα Α΄ Λπθείνπ.
 Η ζπλάξηεζε ς= αρ2
+βρ+γ
 Γξαθηθή παξάζηαζε ηξησλύµνπ
 Εμηζώζεηο θίλεζεο.
Θέµα:
Τν πξνηεηλόµελν ζέµα αθνξά ηελ µειέηε ηεο µεηαβνιήο ηεο απόζηαζεο δύν θηλεηώλ ηα νπνία
θηλνύληαη ζε δηαθνξεηηθέο θαηεπζύλζεηο µε ζηαζεξή ηαρύηεηα. Σπγθεθξηµέλα δεηείηαη ε ειάρηζηε
απόζηαζε ησλ θηλεηώλ απηώλ ηα νπνία αλαθέξνληαη σο ηξέλα ησλ νπνίσλ νη πνξείεο ζρεµαηίδνπλ
νξζή γσλία.
Σερλνινγηθά εξγαιεία:
Τν ζελάξην πξνηείλεηαη λα πινπνηεζεί µε ην ινγηζµηθό Modellus.
΢θεπηηθό:
Βαζηθή ηδέα:
Οη µαζεηέο µε ηε βνήζεηα ηεο ςεθηαθήο ηερλνινγίαο ζα µειεηήζνπλ µία πξνζνµνίσζε ηεο θίλεζεο
δύν ηξέλσλ. Εδώ ην µαζεµαηηθό µνληέιν ηεο απόζηαζεο, όηαλ απηά θηλνύληαη ζε θάζεηεο πνξείεο,
είλαη έλα ηξηώλπµν θαη επνµέλσο ε µειέηε ηνπ θαηλνµέλνπ ηεο απνµάθξπλζεο ησλ ηξέλσλ
αλάγεηαη ζηελ µειέηε ησλ ηδηνηήησλ ηεο παξαβνιήο.
Πξνζηηζέµελε αμία.
Ο ηξόπνο µε ηνλ νπνίν παξνπζηάδεηαη ε ζπλάξηεζε f(x)= αx2
+βx+γ ζηελ δηδαζθαιία ηεο άιγεβξαο
µε ηα ζπµβαηηθά µέζα είλαη ιίγν έσο πνιύ γλσζηόο. Τν παξαθάησ απόζπαζµα είλαη
ραξαθηεξηζηηθό.
Η γξαθηθή παξάζηαζε επνµέλσο ηεο f(x)= αx2
+βx+γ πξνθύπηεη µέζα ζην πιαίζην ελόο αιγεβξηθνύ
µεηαζρεµαηηζµνύ ηεο ζπλάξηεζεο f(x)= αx2
.
Η πεξηγξαθή απηή ζπλήζσο παξνπζηάδεηαη από ηνλ δηδάζθνληα ζηνλ πίλαθα.

2. 2
Με ηηο δξαζηεξηόηεηεο ηνπ ζελαξίνπ νη µαζεηέο:
 Θα δεµηνπξγήζνπλ νη ίδηνη ζηαδηαθά ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο θαζώο ζα
επηρεηξνύλ λα ιύζνπλ έλα πξαγµαηηθό πξόβιεµα.
 Οη µαζεηέο ζα ζπλδέζνπλ ηελ µνξθή ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηνπ ηξησλύµνπ µε ηελ
εμέιημε ελόο θαηλνµέλνπ θάηη πνπ είλαη αδύλαην λα πινπνηεζεί ζε µία ζπµβαηηθή ζρνιηθή
ηάμε
 Μέζα από ηηο δπλαηόηεηεο ηνπ ινγηζµηθνύ νη µαζεηέο ζα εµπιαθνύλ ζε δηαδηθαζίεο
µνληεινπνίεζεο θαη ζηελ ζπλέρεηα ζε πινπνίεζε ηνπ µνληέινπ. Απηό ζα ηνπο επηηξέςεη λα
πεηξαµαηηζηνύλ µε ηηο παξαµέηξνπο ηεο θίλεζεο, λα µειεηήζνπλ ηελ θίλεζε θαη ηέινο λα
βγάινπλ ζπµπεξάζµαηα γηα ην θαηλόµελν πνπ µνληεινπνίεζαλ.
 Οη πνιιαπιέο αλαπαξαζηάζεηο ηεο ζπλάξηεζεο, ζην µαζεζηαθό πεξηβάιινλ ζην νπνίν ζα
πινπνηεζνύλ νη δξαζηεξηόηεηεο, είλαη δπλαµηθά ζπλδεδεµέλεο θαη ε µεηάβαζε από ηε µία
ζηελ άιιε γίλεηαη µέζα από ηελ δπλαηόηεηα αιιειεπίδξαζεο ησλ ςεθηαθώλ εξγαιείσλ.
 Οη µαζεηέο ζα δηαπξαγµαηεπηνύλ ηελ θαηαζθεπή ηνπ µνληέινπ ηεο πξαγµαηηθήο
θαηάζηαζεο ηόζν ηνπ µαζεµαηηθνύ όζν θαη ηνπ εηθνληθνύ θαη ζα δηεξεπλήζνπλ ηελ
ζπµπεξηθνξά ηνπ ζπλεξγαδόµελνη µεηαμύ ηνπο θαη µε ηνλ δηδάζθνληα ώζηε ε αίζνπζα λα
µεηαηξαπεί ζε έλα εξγαζηήξην µαζεµαηηθώλ δξαζηεξηνηήησλ.
Πιαίζην εθαξµνγήο:
΢ε πνηνπο απεπζύλεηαη:
Τν ζελάξην απεπζύλεηαη ζηνπο µαζεηέο ηεο Α΄ θαη Β΄ Λπθείνπ.
Υξόλνο πινπνίεζεο:
Γηα ηελ εθαξµνγή ηνπ ζελαξίνπ εθηηµάηαη όηη απαηηνύληαη 2 δηδαθηηθέο ώξεο.
Υώξνο πινπνίεζεο:
Τν ζελάξην πξνηείλεηαη λα δηεμαρζεί εμ’ νινθιήξνπ ζην εξγαζηήξην ππνινγηζηώλ. Ο
πεηξαµαηηζµόο µε ηε βνήζεηα θαηάιιεινπ ινγηζµηθνύ απαηηεί πάλσ απ’ όια εξγαζηήξην µε 10
ηνπιάρηζηνλ ζέζεηο, ώζηε λα µπνξνύλ λα εξγαζηνύλ νη µαζεηέο αλά ηξεηο. Η επηινγή από ηνλ
δηδάζθνληα λα ην πινπνηήζεη ζηελ αίζνπζα δηδαζθαιίαο µε ηελ ρξήζε βηληενπξνβνιέα ζα
αθύξσλε ην µεγαιύηεξν µέξνο ηεο πξνζηηζέµελεο αμίαο.
Πξναπαηηνύµελεο γλώζεηο:
Ωο πξνο ηα µαζεµαηηθά νη µαζεηέο ζα πξέπεη λα γλσξίδνπλ
 Τνλ ηξόπν ππνινγηζµνύ ηεο απόζηαζεο δύν ζεµείσλ ζην Καξηεζηαλό επίπεδν µέζα από ηελ
εθαξµνγή ηνπ Ππζαγνξείνπ ζεσξήµαηνο.
 Τηο εμηζώζεηο ηεο νµαιήο θίλεζεο σο πξνο έλα ζύζηεµα αλαθνξάο.
 Ωο πξνο ηελ ηερλνινγία νη µαζεηέο ζα πξέπεη λα γλσξίδνπλ
 Τνλ ηξόπν µε ηνλ νπνίν εηζάγνληαη ηα µαζεµαηηθά µνληέια(ηύπνη) ζην ινγηζµηθό modellus
 Τνλ ηξόπν µε ηνλ νπνίν πινπνηνύληαη ηα µνληέια θαη ειέγρνληαη ηα θαηλόµελα θίλεζεο.
 Τνλ ηξόπν µε ηνλ νπνίν δεµηνπξγνύληαη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ θαηλνµέλσλ.

3. 3
Απαηηνύµελα βνεζεηηθά πιηθά θαη εξγαιεία:
Κάζε νµάδα είλαη ζθόπηµν λα δηαζέηεη έλα θύιιν εξγαζίαο µέζα ζην νπνίν ν δηδάζθσλ ζα έρεη
ζέζεη ζπγθεθξηµέλα εξσηήµαηα θαη νδεγίεο. Επηπιένλ θαιό ζα είλαη νη µαζεηέο λα δηαζέηνπλ έλα
ηεηξάδην ζεµεηώζεσλ.
Κνηλωληθή ελνξρήζηξωζε ηεο ηάμεο
Οη µαζεηέο εξγαδόµελνη ζε νµάδεο θαη θαζνδεγνύµελνη από θύιιν εξγαζίαο, θαινύληαη λα
θαηαζθεπάζνπλ θαη λα εμεξεπλήζνπλ ζπγθεθξηµέλα ζρήµαηα θαη λα απαληήζνπλ ζε
ζπγθεθξηµέλεο εξσηήζεηο. Επνµέλσο ε δηεξεύλεζε απηή ζα γίλεη ζπλεξγαηηθά. Γηα λα ππάξρεη
θνηλόο ζηόρνο θαη θαιή ζπλεξγαζία νη µαζεηέο θαινύληαη λα ζπµπιεξώζνπλ έλα θνηλό θύιιν
εξγαζίαο πνπ πεξηέρεη εξσηήζεηο ζρεηηθέο µε ην ζέµα. Φπζηθά ην θύιιν εξγαζίαο απηό ζα πξέπεη
λα αθήλεη µηα αξθεηά µεγάιε ειεπζεξία ζηνπο µαζεηέο ώζηε λα ζέηνπλ ηα δηθά ηνπο εξσηήµαηα
θαη λα απαληνύλ ζ’ απηά.
Σηε δηάξθεηα ηεο πινπνίεζεο ηνπ ζελαξίνπ ν εθπαηδεπηηθόο ζα πξέπεη λα ειέγρεη ηα
ζπµπεξάζµαηα ησλ µαζεηώλ, λα ζπλεξγάδεηαη µαδί ηνπο, λα ηνπο θαζνδεγεί ώζηε λα
αληηιαµβάλνληαη θαιύηεξα ηα απνηειέζµαηά ηνπο θαη λα ηνπο ελζαξξύλεη λα ζπλερίζνπλ ηελ
δηεξεύλεζε.
΢ηόρνη:
Οη δξαζηεξηόηεηεο πνπ πεξηγξάθνληαη ζηε ζπλέρεηα έρνπλ σο ζηόρν ηελ µέζσ πεηξαµαηηζµνύ
πξνζέγγηζε θαη θαηαλόεζε βαζηθώλ µαζεµαηηθώλ ελλνηώλ θαη ζπγθεθξηµέλα:
Να εµπιαθνύλ ζε δηαδηθαζίεο ιύζεο πξνβιήµαηνο (ξπΛΙεηε δζΜε§)
Να δεµηνπξγήζνπλ ηελ ζπλάξηεζε ηνπ ηξησλύµνπ σο µνληέιν ηεο θίλεζεο δύν ηξέλσλ
Να µειεηήζνπλ ηδηόηεηεο ηνπ ηξησλύµνπ θαη λα ηηο ζπλδέζνπλ µε µία πξαγµαηηθή θαηάζηαζε.
Τα παξαπάλσ αθνξνύλ ηνπο γλσζηηθνύο ζηόρνπο. Οη θνηλσληθνί ζηόρνη γηα ηνπο µαζεηέο
εληνπίδνληαη θπξίσο ζηελ ζπλεξγαζία θαη ηελ δηαπξαγµάηεπζε ησλ ηδεώλ ηνπο ώζηε ε γλώζε λα
απνθηήζεη έλαλ δηππνθεηµεληθό ραξαθηήξα.
Αλάιπζε ηνπ ζελαξίνπ:
Ρνή εθαξµνγήο ηωλ δξαζηεξηνηήηωλ
Σηελ αξρή ν δηδάζθσλ ζέηεη ζηνπο µαζεηέο ην εμήο πξόβιεµα:
«∆ύν επζύγξαµµεο ζηδεξνηξνρηέο ηέµλνληαη ζρεµαηίδνληαο νξζέο γωλίεο. ∆ύν ηξέλα θηλνύληαη
ηαπηόρξνλα πξνο ην ζεµείν ηνµήο ηωλ ζηδεξνηξνρηώλ. Σν έλα έρεη μεθηλήζεη από θάπνην
ζηαζµό πνπ απέρεη 40 ρηιηόµεηξα από ην ζεµείν ηνµήο, θαη ην άιιν από θάπνην ζηαζµό πνπ
απέρεη 50 ρηιηόµεηξα από ην ίδην ζεµείν. Σν πξώην ηξέλν έρεη ηαρύηεηα 800 µέηξα αλά ιεπηό
θαη ην δεύηεξν 600 µέηξν αλά ιεπηό. ΢ε πόζα ιεπηά µεηά ηελ αλαρώξεζή ηνπο ζα έρνπλ νη
αµαμνζηνηρίεο ηελ ειάρηζηε απόζηαζε µεηαμύ ηνπο; Τπνινγίζηε ηε ζπγθεθξηµέλε απόζηαζε»
(Από ην βηβιίν ηνπ Yakov Perelman «∆ηαζθεδαζηηθά Μαζεµαηηθά» Μέξνο 2: Άιγεβξα,
εθδόζεηο Κάηνπηξν, 2001).

4. 4
Η όιε δηαδηθαζία µπνξεί λα δηαθξηζεί ζε ζηάδηα ηεο µνληεινπνίεζεο.
• Η ΠΡΩΣΗ ΜΟΝΣΔΛΟΠΟΙΗ΢Η
Οη µαζεηέο ζα ππνζέζνπλ όηη νη δύν ζηδεξνηξνρηέο απνηεινύλ ηνπο θάζεηνπο άμνλεο x θαη y. Τα δύν
ηξέλα θηλνύληαη ζηνπο δύν άμνλεο µε ηαρύηεηεο 600 m/min = 0.6 km/min θαη 800 m/min = 0.8
km/min αληίζηνηρα. Οη εμηζώζεηο θίλεζεο ησλ δύν ηξέλσλ σο πξνο ην ζύζηεµα αλαθνξάο xΟy
δίλνληαη από ηηο παξαθάησ ζρέζεηο:
Έλα από ηα δεηνύκελα ηνπ πξνβιήκαηνο είλαη ν ρξόλνο πνπ ρξεηάδεηαη ώζηε «νη ακαμνζηνηρίεο λα
βξεζνύλ ζηελ ειάρηζηε απόζηαζε d κεηαμύ ηνπο».
Από ηε γεσκεηξία ηνπ ζρήκαηνο θαη κε ηελ εθαξκνγή ηνπ Ππζαγνξείνπ ζεσξήκαηνο έρνπκε:
22
1y1xd 
• ΜΟΝΣΔΛΟΠΟΙΗ΢Η ΜΔ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ
Τα παξαπάλσ δεδνµέλα, δειαδή νη δύν εμηζώζεηο θίλεζεο x1 θαη y1 πνπ αλαθέξνληαη ζηελ θίλεζε
ησλ δύν ηξέλσλ θαη ε ζρέζε ππνινγηζµνύ ηεο απόζηαζεο d, απνηεινύλ ηηο ζρέζεηο πνπ ζα γξάςνπλ
ζην παξάζπξν «Μνληέιν» ηνπ Modellus.

5. 5
Με θιηθ ζην θνπµπί Γηεξµελεία ην πξόγξαµµα αλαγλσξίδεη ηηο ηξεηο εμηζώζεηο µε ηηο ηέζζεξηο
µεηαβιεηέο {x1, y1, d, t} ηνπ πξνβιήµαηνο. Σηε ζπλέρεηα, θαζώο νη µαζεηέο ζα ηξέμνπλ ην
πξόγξαµµα, ππνινγίδνληαη νη ηηµέο ησλ µεηαβιεηώλ {x1, y1, d} γηα ηηο ηηµέο ηεο αλεμάξηεηεο
µεηαβιεηήο t (0, 1, 2, 3, 4, …….) θαη έηζη µπνξνύλ λα έρνπλ ζηε δηάζεζή ηνπο ηηο γξαθηθέο
παξαζηάζεηο θαη ηνπο πίλαθεο ηηµώλ απηώλ ησλ µεηαβιεηώλ.
Οη ηηµέο ηεο αλεμάξηεηεο µεηαβιεηήο πξνζδηνξίδνληαη µέζα από έλα πιαίζην µε όλνµα Δπηινγέο
πνπ αλαδύεηαη ζηελ νζόλε µε θιηθ ζην αληίζηνηρν θνπµπί ηνπ παξαζύξνπ µε όλνµα Έιεγρνο :
• ΜΟΝΣΔΛΟΠΟΙΗ΢Η ΣΗ΢ ΚΙΝΗ΢Η΢ ΣΩΝ ∆ΤΟ ΣΡΔΝΩΝ
Γηα λα πξαγµαηνπνηεζεί ε πξνζνµνίσζε ησλ δύν ηξέλσλ πνπ θηλνύληαη ζηνπο θάζεηνπο άμνλεο,
ζεσξνύµε ηα ηξέλα σο πιηθά ζεµεία. Τν Modellus επηηξέπεη λα δεµηνπξγνύµε ζσµαηίδηα ζηελ
νζόλε Παξνπζίαζε µε θιηθ ζην θνπµπί ΢ωµαηίδην θαη ζηε ζπλέρεηα θιηθ ζηελ νζόλε.
Έηζη, νη µαζεηέο ζα θαηαζθεπάζνπλ πξώηα ην ηξέλν - ζσµαηίδην1 νπόηε εµθαλίδεηαη ε θαξηέια
ησλ ραξαθηεξηζηηθώλ ηνπ ζσµαηηδίνπ 1 νπόηε επηιέγνπµε εθείλα ηα ραξαθηεξηζηηθά πνπ
επηζπµνύµε λα έρεη απηό ην ζσµαηίδην.

6. 6
Πην ζπγθεθξηµέλα, πξέπεη νη µαζεηέο λα επηιέμνπλ ηηο µεηαβιεηέο πνπ ραξαθηεξίδνπλ ην
ζσµαηίδην1 ηόζν ζηνλ άμνλα ρ όζν θαη ζηνλ άμνλα y θαζώο θαη ηηο αληίζηνηρεο θιίµαθεο.
Σηελ ζπγθεθξηµέλε πεξίπησζε, επηιέγνπλ ηε µεηαβιεηή x1 ζηνλ νξηδόληην άμνλα θαη 0 (ζηαζεξά)
ζηνλ θαηαθόξπθν θαη γηα θιίµαθα 1 Pixel = 0.5.
Τν ηειεπηαίν ζεµαίλεη όηη ην x1 αλαπαξηζηάλεηαη µε µνλάδα µήθνπο
(πξνζνµνίσζεο)=2pixels (νζόλεο)
Τν πξόγξαµµα ππνινγίδεη ηηο ηηµέο ηνπ x1 γηα ηηο δηάθνξεο ηηµέο ηνπ ρξόλνπ t θαη ηνπνζεηεί ην
ζσµαηίδην1 ζηελ αληίζηνηρε ζέζε.

7. 7
Σηε ζπλέρεηα γίλεηαη ε θαηαζθεπή ηνπ ηξέλνπ -ζσµαηίδην2 πνπ πξέπεη λα θηλείηαη ζηνλ άμνλα y,
νπόηε εµθαλίδεηαη ε θαξηέια µε ηα ραξαθηεξηζηηθά πνπ πξέπεη λα έρεη ην ζσµαηίδην2
Πξέπεη λα επηιέμνπλ, θαη εδώ, ηηο µεηαβιεηέο πνπ ραξαθηεξίδνπλ ην ζσµαηίδην2, ηόζν ζηνλ άμνλα
ρ όζν θαη ζηνλ άμνλα y θαζώο θαη ηηο αληίζηνηρεο θιίµαθεο.
Σηελ πεξίπησζή ηνπ ζσµαηηδίνπ2, επηιέγνπλ ηε µεηαβιεηή y1 ζηνλ θαηαθόξπθν άμνλα θαη 0
(ζηαζεξά) ζηνλ νξηδόληην θαη γηα θιίµαθα ζηνλ θαηαθόξπθν, 1 Pixel = 0.5, ίδηα µε απηή πνπ
δηαιέμαµε γηα ην x1.
Τν ηειεπηαίν ζεµαίλεη όηη ην y1 παξηζηάλεηαη µε µνλάδα µήθνπο (πξνζνµνίσζεο) = 2 pixels
(νζόλεο)
Μεηά ηηο παξαπάλσ ελέξγεηεο, ζηελ νζόλε Παξνπζίαζε εµθαλίδνληαη ηα δύν ηξέλα -ζσµαηίδηα µε
ηα αληίζηνηρα ζπζηήµαηα αλαθνξάο.
Με θιηθ θαη ζύξζηµν µπνξεί πιένλ λα µεηαθεξζεί ην ζύζηεµα αλαθνξάο ηνπ ζσµαηηδίνπ2 ζην
ζύζηεµα αλαθνξάο ηνπ ζσµαηηδίνπ1 έηζη ώζηε ηα δύν ζπζηήµαηα λα ζπµπίπηνπλ αθξηβώο. Μ’
απηόλ ηνλ ηξόπν επηηπγράλεηαη, µε ην ηξέμηµν ηεο εθαξµνγήο, ε πξνζνµνίσζε ηεο θίλεζή ηνπο σο
πξνο έλα θνηλό ζύζηεµα αλαθνξάο.

8. 8
• ΣΡΔΞΙΜΟ ΔΦΑΡΜΟΓΗ΢ ΚΑΙ ΑΝΑΠΑΡΑ΢ΣΑ΢Η
Τώξα νη µαζεηέο µπνξνύλ λα ηξέμνπλ ηελ εθαξµνγή από ην παξάζπξν Έιεγρνο.
Σην παξάζπξν Παξνπζίαζε εµθαλίδνληαη ηα δύν ζσµαηίδηα - ηξέλα λα θηλνύληαη ην θαζέλα µε
ζηαζεξή ηαρύηεηα ζηνπο δύν άμνλεο θαη µόιηο νινθιεξσζεί ν ρξόλνο πνπ έρεη επηιεγεί ζην
παξάζπξν Έιεγρνο ε πξνζνµνίσζε ζηαµαηάεη.
Δξώηεµα
«Πόζνο ρξόλνο πεξλάεη µέρξη λα βξεζνύλ ηα δύν ηξέλα ζηελ ειάρηζηε απόζηαζε µεηαμύ ηνπο»
Η απάληεζε ζην εξώηεµα µπνξεί λα δνζεί µόλν αλ δεηεζεί ην άλνηγµα ηνπ παξαζύξνπ Γξάθεµα.
Σ’ απηό επηιέγεηαη ε µεηαβιεηή d ζηνλ θαηαθόξπθν άμνλα θαη ε µεηαβιεηή t ζηνλ νξηδόληην. Τώξα,
βιέπνληαο θαη µόλν ηελ µνξθή ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο, νη µαζεηέο αλαµέλεηαη λα εηθάζνπλ γηα
ηελ πηζαλή ιύζε.
Αλ από ην κελνύ Παξάζπξν επηιέμνπκε Νένο πίλαθαο ηηµώλ θαη θαηόπηλ επηιεγεί ε εµθάληζε
ηηµώλ ησλ µεηαβιεηώλ t, x1, y1 θαη d ηόηε έρνπκε ηελ παξαθάησ εηθόλα:

9. 9
Με ην θνπκπί κπνξνύκε λα αληηγξάςνπκε ηηο ηηκέο ζην πξόρεηξν θαη κεηά λα ηηο
επηθνιιήζνπκε γηα παξάδεηγκα ζε έλα έγγξαθν.
t x1 y1 d
0.00 50.00 -40.00 64.03
1.00 49.40 -39.20 63.06
2.00 48.80 -38.40 62.10
3.00 48.20 -37.60 61.13
4.00 47.60 -36.80 60.17
5.00 47.00 -36.00 59.20

10. 10
6.00 46.40 -35.20 58.24
7.00 45.80 -34.40 57.28
8.00 45.20 -33.60 56.32
9.00 44.60 -32.80 55.36
10.00 44.00 -32.00 54.41
11.00 43.40 -31.20 53.45
12.00 42.80 -30.40 52.50
13.00 42.20 -29.60 51.55
14.00 41.60 -28.80 50.60
15.00 41.00 -28.00 49.65
16.00 40.40 -27.20 48.70
17.00 39.80 -26.40 47.76
18.00 39.20 -25.60 46.82
19.00 38.60 -24.80 45.88
20.00 38.00 -24.00 44.94
21.00 37.40 -23.20 44.01
22.00 36.80 -22.40 43.08
23.00 36.20 -21.60 42.15
24.00 35.60 -20.80 41.23
25.00 35.00 -20.00 40.31
26.00 34.40 -19.20 39.40
27.00 33.80 -18.40 38.48
28.00 33.20 -17.60 37.58
29.00 32.60 -16.80 36.67
30.00 32.00 -16.00 35.78
31.00 31.40 -15.20 34.89
32.00 30.80 -14.40 34.00
33.00 30.20 -13.60 33.12
34.00 29.60 -12.80 32.25
35.00 29.00 -12.00 31.38
36.00 28.40 -11.20 30.53
37.00 27.80 -10.40 29.68
38.00 27.20 -9.60 28.84
39.00 26.60 -8.80 28.02
40.00 26.00 -8.00 27.20
41.00 25.40 -7.20 26.40

11. 11
42.00 24.80 -6.40 25.61
43.00 24.20 -5.60 24.84
44.00 23.60 -4.80 24.08
45.00 23.00 -4.00 23.35
46.00 22.40 -3.20 22.63
47.00 21.80 -2.40 21.93
48.00 21.20 -1.60 21.26
49.00 20.60 -0.80 20.62
50.00 20.00 0.00 20.00
51.00 19.40 0.80 19.42
52.00 18.80 1.60 18.87
53.00 18.20 2.40 18.36
54.00 17.60 3.20 17.89
55.00 17.00 4.00 17.46
56.00 16.40 4.80 17.09
57.00 15.80 5.60 16.76
58.00 15.20 6.40 16.49
59.00 14.60 7.20 16.28
60.00 14.00 8.00 16.12
61.00 13.40 8.80 16.03
62.00 12.80 9.60 16.00
63.00 12.20 10.40 16.03
64.00 11.60 11.20 16.12
65.00 11.00 12.00 16.28
66.00 10.40 12.80 16.49
67.00 9.80 13.60 16.76
68.00 9.20 14.40 17.09
69.00 8.60 15.20 17.46
70.00 8.00 16.00 17.89
71.00 7.40 16.80 18.36
72.00 6.80 17.60 18.87
73.00 6.20 18.40 19.42
74.00 5.60 19.20 20.00
75.00 5.00 20.00 20.62
76.00 4.40 20.80 21.26
77.00 3.80 21.60 21.93

12. 12
78.00 3.20 22.40 22.63
79.00 2.60 23.20 23.35
80.00 2.00 24.00 24.08
81.00 1.40 24.80 24.84
82.00 0.80 25.60 25.61
83.00 0.20 26.40 26.40
84.00 -0.40 27.20 27.20
85.00 -1.00 28.00 28.02
86.00 -1.60 28.80 28.84
87.00 -2.20 29.60 29.68
88.00 -2.80 30.40 30.53
89.00 -3.40 31.20 31.38
90.00 -4.00 32.00 32.25
91.00 -4.60 32.80 33.12
92.00 -5.20 33.60 34.00
93.00 -5.80 34.40 34.89
94.00 -6.40 35.20 35.78
95.00 -7.00 36.00 36.67
96.00 -7.60 36.80 37.58
97.00 -8.20 37.60 38.48
98.00 -8.80 38.40 39.40
99.00 -9.40 39.20 40.31
100.00 -10.00 40.00 41.23
Είλαη εύθνιν λα δηαπηζηώζνπλ νη µαζεηέο όηη γηα t=62 ιεπηά ε απόζηαζε µεηαμύ ησλ δύν ηξέλσλ
παίξλεη ηελ ειάρηζηε ηηµή d = 16 km.

13. 13
Η επίιπζε ηνπ πξνβιήµαηνο ζην ηεηξάδην.
Αθνινπζώληαο παξνόµνηνπο ζπιινγηζµνύο µε απηνύο ηεο πξνθαηαξθηηθήο θάζεο (µε ην Modellus)
έρνπµε 3 εμηζώζεηο:
x1=50-0.6t
y1=40-0.8t
22
1y1xd  νπόηε µεηά από πξάμεηο παίξλνπµε ηελ εμίζσζε
t2
-124t+4100-d=0 από όπνπ ππνινγίδεηαη ην t.
Αθνύ ε d νθείιεη λα είλαη ζεηηθή ζα πξέπεη d2
-256 > 0 ή θαη’ ειάρηζηνλ d2
-256 = 0
Βξίζθνπµε d = 16 θαη t = 62.
Σα εξγαιεία πνπ ζα ρξεζηµνπνηεζνύλ
Γηα ηελ πινπνίεζε ηνπ ζελαξίνπ ζα ρξεζηµνπνηεζεί ην ινγηζµηθό modellus. Τν ζπγθεθξηµέλν
ινγηζµηθό δηαζέηεη ηέζζεξα βαζηθά παξάζπξα θαη 2-3 αλαδπόµελα ώζηε λα ζπλππάξρνπλ ζηελ
νζόλε ε πξνζνµνίσζε ελόο θαηλνµέλνπ, ηα εξγαιεία ειέγρνπ ηνπ, ην αιγεβξηθό ηνπ µνληέιν θαη ε
γξαθηθή ηνπ παξάζηαζε. Κάζε έλα από ηα παξαπάλσ εξγαιεία δηαζέηεη µία ζεηξά από
ιεηηνπξγηθόηεηεο νξηζµέλεο από ηηο νπνίεο είλαη απαξαίηεηεο γηα ηηο δξαζηεξηόηεηεο. Γηα
παξάδεηγµα ε ρξήζε ηνπ πίλαθα ηηµώλ ή ν πίλαθαο ησλ επηινγώλ γηα ηνλ έιεγρν ηνπ θαηλνµέλνπ.
Δπέθηαζε:
Οη δξαζηεξηόηεηεο ζα µπνξνύζαλ λα επεθηαζνύλ ζηελ µειέηε ηεο απόζηαζεο ησλ δύν θηλεηώλ
όηαλ απηά θηλνύληαη ζε πνξείεο νη νπνίεο δελ ζρεµαηίδνπλ νξζή γσλία. Σηελ πεξίπησζε απηή ε
µνληεινπνίεζε είλαη πεξηζζόηεξν απαηηεηηθή αθνύ ην Ππζαγόξεην ζεώξεµα δελ είλαη θαηάιιειν
γηα ηνλ ππνινγηζµό ηεο απόζηαζεο.
Αμηνιόγεζε µεηά ηελ εθαξµνγή:
Ωο πξνο ηηο επηδηώμεηο ηνπ ζελαξίνπ:
Μεηά ηελ πινπνίεζε ηνπ ζελαξίνπ ν δηδάζθσλ ειέγρεη θαηά πόζν επεηεύρζεζαλ νη ζηόρνη ηνπ
ζελαξίνπ. Έλαο ηξόπνο είλαη θαη ε θαηαζθεπή θαηάιιεισλ εξσηήζεσλ ηηο νπνίεο ζην ηέινο ζα
απεπζύλεη πξνο ηνπο µαζεηέο γηα λα ειέγμεη ηνλ βαζµό θαηαλόεζεο ησλ ελλνηώλ πνπ είραλ
εµπιαθεί.
Ωο πξνο ηα εξγαιεία:
Η εθαξµνγή µέζα ζε πξαγµαηηθέο ζπλζήθεο µηαο δξαζηεξηόηεηαο παξνπζηάδεη µε αλαµελόµελεο
δπζθνιίεο νη νπνίεο µπνξεί λα νθείινληαη ζην ςεθηαθό εξγαιείν πνπ ρξεζηµνπνηείηαη. Οη
πνιιαπιέο αλαπαξαζηάζεηο ζπρλά παξαµέλνπλ αζύλδεηεο θαη αζαθείο µε απνηέιεζµα λα
ζηεξνύληαη λνήµαηνο θαη λα παξνπζηάδεηαη αδπλαµία εξµελείαο ηνπο µέζα ζηα πιαίζηα ηνπ
θαηλνµέλνπ πνπ µειεηνύλ νη µαζεηέο. Οη δπζθνιίεο πνπ ζα παξνπζηαζηνύλ ζα θαηαγξαθνύλ από
ηνλ δηδάζθνληα ν νπνίνο ζα είηε ζα βειηηώζεη ηηο απαηηήζεηο ηνπ ζελαξίνπ είηε ζα ζρεδηάζεη µηα
πεξηζζόηεξν θαηεπζπλόµελε πνξεία εθαξµνγήο ηνπ ίδηνπ ζελαξίνπ.

14. 14
Ωο πξνο ηελ δηαδηθαζία πινπνίεζεο
Η δνµή ηνπ ζελαξίνπ, ε ζεηξά ησλ δξαζηεξηνηήησλ θαη ηα εξσηήµαηα πνπ ηίζεληαη ζηνπο µαζεηέο
απνηεινύλ αληηθείµελν αμηνιόγεζεο από ηνλ ίδην ηνλ δηδάζθνληα. Κξαηώληαο ζεµεηώζεηο γηα ηηο
δπζθνιίεο πινπνίεζεο ζπγθεθξηµέλσλ δξαζηεξηνηήησλ µπνξεί λα εθηηµήζεη ηα ζεµεία ζηα νπνία
νη µαζεηέο δήισλαλ ή εθδήισλαλ δπζθνιίεο θαηαλόεζεο ή εθαξµνγήο. Σηελ ζπλέρεηα, µε
θαηάιιειεο επεµβάζεηο ζηηο δξαζηεξηόηεηεο, επηρεηξεί λα ζεξαπεύζεη ηα πξνβιήµαηα πνπ
πξνέθπςαλ απινπνηώληαο δηαδηθαζίεο ή πεξηγξάθνληαο µε µεγαιύηεξε ζαθήλεηα ηηο εξσηήζεηο
ησλ δξαζηεξηνηήησλ.
Ωο πξνο ηελ πξνζαξµνγή θαη επεθηαζηµόηεηα
Ο εθπαηδεπηηθόο µεηά από θάζε εθαξµνγή ηνπ ζελαξίνπ επαλεθηηµά ηελ δνµή ηνπ ζελαξίνπ θαη
ζρεδηάδεη λέεο δπλαηόηεηεο θαη επεθηάζεηο. Τν ζπγθεθξηµέλν ζελάξην ζα µπνξνύζε λα απνηειέζεη
ηελ βάζε πάλσ ζηελ νπνία είλαη δπλαηόλ λα νξγαλσζεί ε δηεξεύλεζε ηεο ηαπηόρξνλεο θίλεζεο δύν
αληηθεηµέλσλ ζε µία πνηθηιία πεξηπηώζεσλ. Γη παξάδεηγµα θαιό ζα είλαη λα δηεξεπλεζεί ε
πεξίπησζε παξαιιήισλ θηλήζεσλ, θηλήζεσλ ππό ζπγθεθξηµέλε γσλία θ.ι.π.