Potència i eix radical. Tangències.

1. 2
PA·PA'=PB·PB'=PC·PC'=K=PT
A
A'
B
B'
C
C'
D D'
T
P
POTÈNCIA
La potència d’un punt P respecte d’una circumferència és el producte de les
distàncies entre el punt P i els punts de tall
d’una secant qualsevol traçada des de P

2. A
A'
B
B'
C
C'
D
D'
P
PA·PA'=PB·PB'=PC·PC'=-K

3. A
A'
B B'
P
O

4. A
A'
B B'
P
O

5. A
A'
B B'
P
O
PAB’ i PBA’ són triangles semblants
P és comú als dos
A’ i B’ són iguals perquè abarquen
el mateix segment
PA/PB=PB’/PA’
PA·PA’=PB·PB’
Per tant:

6. EIX RADICAL
Lloc geomètric dels punts del pla
que tenen la mateixa potència
respecte a dues circumferències.
•És una recta perpendicular al
segment que uneix els dos
centres de les circumferències.
•En dues circumferències
tangents és la recta tangent
comuna a les dues.
•En dues circumferències
secants és la recta que passa
pels punts d’intersecció entre
les dues circumferències.
O O'
A
B
Circumferències secants
A i B tenen potència zero
respecte les dues
circumferències
Pertanyen a l’eix radical

7. TO O'

8. Circumferències exteriors
P
O1 O2
Oaux
e1 e2

9. O1
O2
Oaux
P
Circumferències interiors

11. Si tracem una de les circumferències
amb centre en l’eix radical i que sigui
secant a les de centre O1 i O2,
els radis O1 T1 i PT1 són
perpendiculars. Diem que
aquestes circumferències
són ortogonals.
L’eix radical de dues
circumferències és el lloc
geomètric dels centres
de les circumferències
ortogonals a
aquestes
circumferències
O1 O2
A
BT1
t1
t2
P
T2
P1
T3
T4
t3 t4

12. Centre radical de tres circumferències
És el punt que té igual
potència respecte a les
tres. Es troba en la
intersecció dels eixos
radicals de les
circumferències, agafades
de dues en dues.
O1
O2
O3
CR
e1
e2
P
Q

13. O1
O2
O3
CR
e1
e2
P
Q
Si des del centre radical
tracem les tangents a les
tres circumferències, els sis
segments compresos entre
el CR i cadascuna de les
circumferències tenen la
mateixa longitud.
Aquesta longitud és el radi
d’una circumferència de
centre CR la qual és
ortogonal a les tres

14. TANGÈNCIES
Casos possibles
Punt, P, recta, R, circumferència, C
PPP, PPR, PPC, PRR, PRC, PCC, RRR, RRC, RCC, CCC
PPP i RRR
PPR, PPC, PRR, RRC: resolució basada en l’eix radical
PRC, PCC, RCC, CCC : resolució basada en la inversió
Els agrupem en tres blocs:

15. Circumferències tangents a una recta passant per dos punts
donats, PPR

16. Circumferències tangents a una recta passant per dos punts
donats, PPR

17. Circumferències tangents a una circumferència passant per
dos punts donats, PPC

18. Circumferències tangents a una circumferència passant per
dos punts donats, PPC

19. Circumferències tangents a dues rectes passant per un punt
donats, PRR

20. Circumferències tangents a dues rectes passant per un punt
donats, PRR

21. Circumferències tangents a dues rectes i a una circumferència
compresa entre elles, CRR

22. Circumferències tangents a dues rectes i a una circumferència
compresa entre elles, CRR

23. Circumferències tangents a una recta r i a una circumferència
c donat el punt de tangència T a la circumferència.

24. Circumferències tangents a una recta r i a una circumferència
c donat el punt de tangència T a la circumferència.

25. Circumferències tangents a una recta r i a una circumferència
c donat el punt de tangència T a la recta.

26. Circumferències tangents a una recta r i a una circumferència
c donat el punt de tangència T a la recta.