Proporcionalitat

1. U6 i U7: Proporcionalitat
geomètrica i semblança

2. Raó i proporcionalitat de
segments

3. Teorema de Tales
Si dues rectes secants són tallades per rectes
paral·leles, els segments d’una recta són
proporcionals als segments de l’altra recta

4. Teorema de Tales

5. Exercicis
Calcula les longituds desconegudes

6. Divisió d’un segment en parts
iguals
Des d'un extrem del segment tracem
una línia amb un angle aproximat de 45º
i d'una mesura divisible pel nombre de
parts que volem fer al segment
Dividim la línia acabada de traçar en
tantes parts iguals com vulguem dividir
el segment.
Unim l'últim punt de la línia traçada
amb el punt B del segment. A partir
d'aquí anem traçant paral·leles des de
cada un dels punts marcats a la recta
auxiliar. El segment ens quedarà dividit
en parts iguals.
Vídeo

7. Divisió d’un segment en parts
proporcionals

8. Criteris de semblança dels
triangles
Dos triangles són semblants si passa algun d’aquests
criteris:
- Cal que els dos triangles tinguin dos angles iguals
- Cal que els dos triangles tinguin els seus tres costats
proporcionals
-Cal que els dos triangles tinguin un angle igual i els
costats que el formen
siguin proporcionals

9. Triangles semblants
Els angles dels dos triangles
són iguals:
A=A’ B=B’ C=C’
Els costats dels dos
triangles són proporcionals
• Construcció

10. Triangles amb posició de Tales

11. Exercicis:Triangles semblants

12. Quan mesura la
cistella de bàsquet?

13. Exercicis: Triangles semblants
Busca la x i la y per tal que els
dos triangles siguin semblants
cmy
y
y
cmx
x
x
12
5
60
4·15·5
15
4
5
3
15
45
5·9·15
5
9
15
==
=
=
==
=
=
cmx
x
x
cmy
y
3
15
45
5·9·15
9
5
15
12
5
4·15
45
15
==
=
=
==
=

14. Problemes per practicar
1. La Marta té una alçada de 160 cm, mentre que la seva amiga Laura
mesura 10 cm més. En un determinat moment, la Marta projecta
una ombra de 1,8 m. Determina quants centímetres més mesurarà
l’ombra de la Laura en el mateix instant
2. Els dos triangles rectangles de la figura són semblants. Per quin
motiu? Troba’n la raó de semblança, calcula’n les àrees i comprova
que la raó entre aquestes és el quadrat de la raó de semblança.
Comprova-ho gràficament mesurant el costat x
3. Determina la x i la y

15. Polígons semblants
Construcció
Dos polígons són semblants si tenen els angles iguals i
els seus costats corresponents són proporcionals.
Per la construcció de polígons semblants cal saber la raó
de semblança.

16. Perímetres de polígons
semblants
La raó entre els perímetres de dos polígons semblants és
igual a la seva raó de semblança.
Exercici.
Sabent que els dos polígons són semblants comprova que el
seu perímetre té la mateixa raó de semblança que els
costats del polígon

17. Àrees de polígons semblants
La raó entre les àrees de dos polígons semblants
és igual al quadrat de la raó de semblança
Exercici:
Sabent que els dos
polígons són semblants
comprova que la seva àrea
és el quadrat de la raó de
semblança dels costats
del polígon

18. Problemes de polígons semblants
1 . Calcula les longituds x, y i z sabent que les dues
figures són semblants. Calcula l’àrea del segon poliedre
sabent que el primer mesura 9,5cm2.
2. Les dues figures són semblants. ¿Quina és la raó entre
les seves àrees?

19. Escales

20. Escales
En un plànol d’escala 1:40, quines mides tindrà una taula
rectangular si a la realitat fa 0,96 m x 0,72m?

21. Problema

22. Exercicis escales
Calcula l’amplada de la façana si en el plànol mesura 3cm i el plànol
està fet a una escala de 1:250
mcmcmx
x
cm
5,7750250·3
3
250
1
===
=
2000000
1
000.000.2
744000000·372
000.000.744
3721
=
=
=
==
E
x
x
xreal
dibuix
La distància entre dues ciutats en línia recta és de 744 km. En
mesurar aquesta distància en un mapa el valor és de 372mm. Quina és
l’escala del mapa?

23. Problemes
• En un plànol, 2 cm del dibuix corresponen a 5 km
de la realitat. Quina escala té?
• En un mapa, a escala 1:10000, la distància entre
dos pobles és 10,6 cm. Quina és la distància
real, en Km, que els separa?

24. Teorema de Pitàgores
En tot triangle rectangle es compleix el
teorema de Pitàgores.
“El quadrat de la hipotenusa és igual a la
suma dels quadrats dels catets”

25. Vídeo del teorema de
Pitàgores

26. Exercicis

27. Exercici:

28. Exercicis:
En el triangle A busca el valor de la hipotenusa, i
en el triangle B busca el valor del catet, aplicant
el teorema de Pitàgores
http://www.wikisaber.es/Contenidos/LObjects/pythagoras_usage/index.htm
l
http://www.wikisaber.es/Contenidos/LObjects/pythagoras_eg1/index.html
http://www.wikisaber.es/Contenidos/ContentObject.aspx?level=5&subject=1

29. Exercici
Característiques d’un hexàgon:
Quant mesura l'apotema d'aquest hexàgon si els seus
costats mesuren 7 cm?
C2
= a2
+ b2
72
= 3,52
+ b2
49 = 12,25 + b2
49-12,25 =b2
b=6,06cm