1. Geometria analítica en el pla PART I – Geometria Afí Matemàtiques I

2. Índex de continguts I- Geometria afí: Introducció: història Sistema de coordenades cartesianes La recta en el pla Posició relativa entre rectes II- Geometria mètrica (angles i distàncies): Distància entre punts Angle entre dues rectes Distància punt-recta, recta-recta Aplicacions

3. 1. La geometria analítica 4 Trigonometria 5 Vectors en el pla 6 Geometria analítica en el pla 7 Llocs geomètrics i còniques Geometria plana Què va suposar? Aplicar el llenguatge algebraic per a resoldre problemes geomètrics Qui? René Descartes (1596-1650), filòsof, científic i matemàtic francès, considerat el fundador de la filosofia moderna.

4. 2. Sistema de referència cartesià Un sistema de referència en el pla queda determinat per: - un punt O anomenat origen - una base de vectors B ={ u , v } Si triam la base canònica B ={ i , j } obtenim un sistema de referència Cartesià j i O A OA Vector de posició del punt A

5. 3. La recta en el pla Una recta queda definida per: - Dos punts, o - Un punt i un vector director Formes d’expressar la recta en el pla: Equació vectorial Equació paramètrica Equació contínua Equació general Equació punt-pendent Equació explícita Equació segmentària Equació normal

6. 3. La recta: Equació vectorial Recta que passa pel punt A i té la direcció del vector u (vector director) Per a tot nombre real  r j i O A X X

7. 3. La recta: Equació vectorial Activitat: Escriu l’equació vectorial de la recta que passa pel punt A (2,-3) i té vector director u =(1, -1).

8. 3. La recta: Equació paramètrica Partim de l’equació vectorial de la recta i expressam els vectors en components Per a cada valor real de  que donem, obtenim un punt (x, y) de la recta Igualam component a component

9. 3. La recta: Equació contínua Partim de l’equació paramètrica Activitat: Escriu l’equació vectorial, paramètrica i contínua de la recta que passa pel punt A (-3,2) i té vector director u =(2, -1). i aïllam  de cada equació: Igualam les dues expressions

10. 3. La recta: Equació contínua Activitat: Escriu l’equació vectorial, paramètrica i contínua de la recta que passa pel punt A (-3,2) i té vector director u =(2, -1).

11. 3. La recta: Equació general Partim de l’equació contínua Activitat: Donada la recta 2 x +3 y -7=0 troba el vector director i un punt. Expressa-la en forma contínua. i feim el producte creuat operant Trobam l’eq. general Fixa’t, el vector director és

12. Activitat: Donada la recta 2 x +3 y -7=0 troba el vector director i un punt. Expressa-la en forma contínua. 3. La recta: Equació general

13. 3. La recta: Equació punt-pendent Determinar la recta que passa per dos punts A (a x , a y ) B (b x , b y ) m és el pendent de la recta Vector director: La recta en forma contínua és: Operant: j i O A B

14. 3. La recta: Equació punt-pendent Determinar la recta que passa per dos punts A (a x , a y ) B (b x , b y ) Significat del pendent de la recta, m j i O A B b y - a y b x - a x  m >0 m <0  

15. 3. La recta: Equació punt-pendent Activitat: Calcula l’equació punt-pendent de la recta que passa pels punts A(2,4) i B(5,0). Troba l’angle que forma la recta amb l’eix OX.

16. 3. La recta: Equació explícita y=... Quin és el vector director? Partim de l’equació punt-pendent Operam i aïllam la y en funció de x És a dir, Activitat: Donada la recta y =3 x -5 troba el vector director i un punt. Expressa-la en forma paramètrica.

17. 3. La recta: Equació explícita y =... Activitat: Donada la recta y =3 x -5 troba el vector director i un punt. Expressa-la en forma paramètrica.

18. 3. La recta: Equació segmentària Quin és el significat geomètric de p i q ? Partim de l’equació explícita p q x y Operam i dividim per n És a dir, Activitat: Donada la recta y+2 =5( x -1), expressa-la en forma segmentària. Troba els talls amb els eixos de coordenades.

19. 3. La recta: Equació segmentària Activitat: Donada la recta y+2 =5( x -1), expressa-la en forma segmentària. Troba els talls amb els eixos de coordenades. Gràfica de la recta

20. 3. La recta: Equació normal Primer mirem com calcular el vector normal d’una recta: u =(u x ,u y ) és el vector director, n =(n x ,n y ) és el vector normal Ha de passar que ja que formen un angle de 90º. Triem n =(u y ,-u x ) Activitat: Calcula el vector normal de la recta 2 x -3 y +5=0. x y

21. 3. La recta: Equació normal Equació d’una recta sabent un punt A(a x ,a y ) i el vector normal n =(n x ,n y ) Fixa’t bé: Vector normal Vector director Expressant la relació en components: S’ha de complir Activitat: Calcula l’equació de la recta que passa pel punt A(2,1) i que té com a vector normal n =(1,4) x y A

22. 3. La recta: Equació normal Activitat: Calcula l’equació de la recta que passa pel punt A(2,1) i que té com a vector normal n =(1,4)

23. 4. Posició relativa entre dues rectes en el pla Quines possibilitats existeixen?  Té infinites solucions r s x y Es tallen en un punt r s x y Són paral·leles r s x y Són coincidents són linealment independents són linealment dependents  Té solució única  No té solució són linealment dependents

24. 4. Posició relativa entre rectes en el pla Exemple : Determina la posició relativa del parell de rectes r : x – 2y +1 =0 i s : 2x – 4y – 6 =0 Cercam primer els vectors directors de cada recta: Veim que són linealment dependents (les rectes poden ser paral·les o coincidents): 0 = 4 Impossible! Sistema incompatible Les rectes són paral·leles

25. 4. Posició relativa entre rectes en el pla Activitats : Determina la posició relativa del parell de rectes a) r : x – 2y + 1= 0 i s : 3x – 2y – 9 =0 b) r : 3x – 2y – 9 =0 i s : 2x + 3y + 9 =0 c) r : 2x + 3y – 4 = 0 i s : 4x + 6y – 8 =0