5. A
A'
B B'
P
O
PAB’ i PBA’ són triangles semblants
P és comú als dos
A’ i B’ són iguals perquè abarquen
el mateix segment
PA/PB=PB’/PA’
PA·PA’=PB·PB’
Per tant:
6. EIX RADICAL
Lloc geomètric dels punts del pla
que tenen la mateixa potència
respecte a dues circumferències.
•És una recta perpendicular al
segment que uneix els dos
centres de les circumferències.
•En dues circumferències
tangents és la recta tangent
comuna a les dues.
•En dues circumferències
secants és la recta que passa
pels punts d’intersecció entre
les dues circumferències.
O O'
A
B
Circumferències secants
A i B tenen potència zero
respecte les dues
circumferències
Pertanyen a l’eix radical
11. Si tracem una de les circumferències
amb centre en l’eix radical i que sigui
secant a les de centre O1 i O2,
els radis O1 T1 i PT1 són
perpendiculars. Diem que
aquestes circumferències
són ortogonals.
L’eix radical de dues
circumferències és el lloc
geomètric dels centres
de les circumferències
ortogonals a
aquestes
circumferències
O1 O2
A
BT1
t1
t2
P
T2
P1
T3
T4
t3 t4
12. Centre radical de tres circumferències
És el punt que té igual
potència respecte a les
tres. Es troba en la
intersecció dels eixos
radicals de les
circumferències, agafades
de dues en dues.
O1
O2
O3
CR
e1
e2
P
Q
13. O1
O2
O3
CR
e1
e2
P
Q
Si des del centre radical
tracem les tangents a les
tres circumferències, els sis
segments compresos entre
el CR i cadascuna de les
circumferències tenen la
mateixa longitud.
Aquesta longitud és el radi
d’una circumferència de
centre CR la qual és
ortogonal a les tres
14. TANGÈNCIES
Casos possibles
Punt, P, recta, R, circumferència, C
PPP, PPR, PPC, PRR, PRC, PCC, RRR, RRC, RCC, CCC
PPP i RRR
PPR, PPC, PRR, RRC: resolució basada en l’eix radical
PRC, PCC, RCC, CCC : resolució basada en la inversió
Els agrupem en tres blocs: