Visual i Plàstica - La geometria plana - 3r ESO

Editor's Notes

• #4 La circumferència és una corba plana i tancada els punts de la qual equidisten d'un punt interior anomenat centre.   Els elements de la circumferència són: Centre: és el punt interior a la circumferència del qual equidisten tots els punts d'aquesta. Quan l'agulla del compàs es fixa sobre un punt per a fer una circumferència, es diu que s'està fent centre en aquest punt.   Radi: és la distància del centre de la circumferència a qualsevol dels seus punts. Quan es dibuixa una circumferència amb el compàs, el radi és la distància que hi ha entre la punta de l'agulla, que queda fixa, i la punta de la mina, que descriu la circumferència.   Corda: és el segment limitat per dos punts qualssevol de la circumferència.   Diàmetre: és la corda que passa pel centre de la circumferència. És la corda més gran; divideix la circumferència en dues semicircumferències iguals. El diàmetre és igual a la suma de dos radis.   Arc: és una porció de circumferència. L'arc limitat pels extrems d'un diàmetre és una semicircumferència.
• #5 El triangle és un polígon de tres costats. Segons com són els costats, hi ha diferents tipus de triangles: Triangle equilàter: els tres costats són iguals. Triangle isòsceles: només dos costats són iguals. Triangle escalè: els tres costats són diferents.     Segons com són els angles, hi ha diferents tipus de triangles: Triangle rectangle: té un angle recte i dos d'aguts. Triangle acutangle: té els tres angles aguts. Triangle obtusangle: té un angle obtús i dos angles aguts.  
• #6 El triangle és un polígon de tres costats. Segons com són els costats, hi ha diferents tipus de triangles: Triangle equilàter: els tres costats són iguals. Triangle isòsceles: només dos costats són iguals. Triangle escalè: els tres costats són diferents.     Segons com són els angles, hi ha diferents tipus de triangles: Triangle rectangle: té un angle recte i dos d'aguts. Triangle acutangle: té els tres angles aguts. Triangle obtusangle: té un angle obtús i dos angles aguts.  
• #10 Per a traçar rectes paral·leles, l'escaire resta fix mentre el cartabó es desplaça sense perdre el contacte amb la hipotenusa de l'escaire. Per a traçar rectes perpendiculars, l'escaire resta fix mentre el cartabó gira sense perdre el contacte amb el paper. Per a traçar un angle de 30º, el primer costat de l'angle es dibuixa amb la hipotenusa de la plantilla que no té l'angle que es vol obtenir, en aquest cas, el cartabó. A continuació, sempre sense moure l'escaire, es desplaça el cartabó. I, finalment, mantenint fix el cartabó, se situa l'escaire en la posició que permet fer l'altre costat de l'angle de 30º. Per a traçar un angle de 45º, el primer costat de l'angle es dibuixa amb la hipotenusa de la plantilla que no té l'angle que es vol obtenir, en aquest cas, l'escaire. A continuació, sempre sense moure el cartabó, es desplaça l'escaire. I, finalment, mantenint fix l'escaire, se situa el cartabó en la posició que permet fer l'altre costat de l'angle de 45º. Per a traçar un angle de 60º, el primer costat de l'angle es dibuixa amb la hipotenusa de la plantilla que no té l'angle que es vol obtenir, en aquest cas, el cartabó. A continuació, sempre sense moure l'escaire, es desplaça el cartabó. I, finalment, mantenint fix el cartabó, se situa l'escaire en la posició que permet fer l'altre costat de l'angle de 60º.
• #12 Cal seguir els passos següents: Se situa un punt 1 qualsevol sobre la recta.Amb centre en el punt 1 i radi 1P, es dibuixa un arc que talli la recta en els punts 2 i 3.Amb radi 2P i centre en 3, es fa l'arc que determinarà el punt 4. S'uneixen els punts P i 4.
• #13 La mediatriu d'un segment és la recta perpendicular al segment que el divideix en dues parts iguals. Per a dibuixar la mediatriu del segment AB, cal seguir aquests passos: Es fa centre en l'extrem A del segment i amb un radi més gran que la meitat del segment es tracen arcs a una banda i a l'altra del segment.  Es repeteix l'operació des del punt B i amb el mateix radi. Els arcs es tallen en els punts 1 i 2, que s'han d'unir per a dibuixar la mediatriu. 
• #14 Per a obtenir la perpendicular a una recta des d'un punt exterior cal seguir aquests passos: Amb centre en P, es traça un arc que determina en r els punts 1 i 2. Es tracen dos arcs del mateix radi amb centres en 1 i 2, que es tallaran en el punt 3.  Per a dibuixar la perpendicular que es busca, s'uneix P amb 3. 
• #15 Perpendicular a una semirecta per l'extrem Per a obtenir la perpendicular a una semirecta per l'extrem cal seguir aquests passos: Fent centre en P i amb un radi qualsevol, es dibuixa l'arc que talla la semirecta en el punt 1. Fent centre en el punt 1 i amb el mateix radi, es fa un arc per a obtenir el punt 2.  Amb centre en el punt 2, es traça l'arc que determinarà el punt 3. Amb centre en el punt 3, es fa un arc per a obtenir el punt 4. Per a dibuixar la perpendicular a r, s'uneix el punt 4 amb l'extrem P de la semirecta. 
• #16 La bisectriu d'un angle és la recta que, passant pel vèrtex, el divideix en dos angles iguals. Per a construir-la, cal seguir aquests passos: Fent centre en el vèrtex V i amb un radi qualsevol, es traça un arc que tallarà els costats de l'angle en els punts 1 i 2. Fent centre en els punts 1 i 2, es tracen arcs amb el mateix radi, que es tallaran en el punt 3.  S'uneix el punt 3 amb el vèrtex V.
• #17 Per a dividir un angle en tres angles iguals cal seguir aquests passos: Fent centre en el vèrtex V, es traça un arc, amb un radi arbitrari, que talla els costats de l'angle en els punts 1 i 2. Amb el mateix radi, es dibuixen arcs amb centres 1 i 2. Així s'obtenen els punts 3 i 4. S'uneixen els punts 3 i 4 amb V i l'angle de 90º quedarà dividit en tres angles de 30°.
• #18 P er a construir un angle de 30º cal seguir aquests passos: Es traça una semirecta i, fent centre en l'extrem V, es dibuixa, amb un radi arbitrari, un arc que determinarà el punt 1. Amb centre en el punt 1 i amb el mateix radi, es traça un arc que tallarà l'arc anterior en el punt 2. Fent centre en el punt 2 i amb el mateix radi, es traça l'arc que determinarà el punt 3.  S'uneix el punt 3 amb V, que és el vèrtex de l'angle de 30°.
• #19 L'angle de 45° s'obté dibuixant un angle de 90° i traçant-ne la bisectriu. 
• #20 Sempre es pot trobar un angle que sigui la meitat d'un altre fent la bisectriu d'aquest. Fent la bisectriu es divideix l'angle en dos angles iguals. Fent les bisectrius d'aquests dos angles, l'angle quedarà dividit en quatre parts iguals, i així successivament. 
• #21 A partir de l'angle de vèrtex V se'n pot construir un d'igual de vèrtex V'. Es dibuixa la semirecta, l'extrem V' de la qual serà el vèrtex del nou angle. Fent centre en el punt V, es dibuixa un arc amb un radi arbitrari que tallarà els costats de l'angle en els punts 1 i 2. Amb el mateix radi, es traça un arc amb centre en V'; així s'obté el punt 1'. Es torna a l'angle primer i, amb el compàs, es mesura la distància (corda) 1-2, que es transportarà al nou angle fent centre en 1'. Així, es determina el punt 2'.S'uneix el punt 2' amb V' per a acabar de dibuixar l'angle.
• #23 Amb la mesura del radi es pot dividir la circumferència en sis parts iguals. Primer es dibuixa un diàmetre, amb la qual cosa s'obtenen dos dels sis vèrtexs de l'hexàgon. Fent centre en els extrems del diàmetre, amb una mesura igual al radi, es tracen arcs per a obtenir les quatre divisions que hi falten. S'uneixen les sis divisions per a dibuixar l'hexàgon. 
• #24 Si es divideix la circumferència en sis parts iguals i s'uneixen les divisions alternativament, s'obté el triangle equilàter. Es dibuixa un diàmetre i fent centre en un dels extrems es traça un arc que talli la circumferència. Es dibuixa el triangle. 
• #25 Es divideix la circumferència en quatre parts iguals dibuixant dos diàmetres perpendiculars. S'uneixen els extrems dels diàmetres per a dibuixar el quadrat. 
• #26 Es divideix la circumferència en quatre parts iguals. Es fan les bisectrius dels quatre angles rectes que s'han obtingut. S'uneixen els vuit punts determinats a la circumferència per a dibuixar l'octàgon.
• #27 Es tracen dos diàmetres perpendiculars.  Es traça la mediatriu del radi OA per a determinar el punt B. Amb centre en B i radi BC, es fa un arc de circumferència que tallarà el diàmetre horitzontal en el punt D.  CD és la mesura del costat del pentàgon.  Es transporta la mesura CD amb el compàs al llarg de la circumferència per a obtenir els vèrtexs del pentàgon.
• #28 Es dibuixa un pentàgon regular seguint el mètode explicat. Es tracen els cinc diàmetres que passen pels vèrtexs del pentàgon.  S'uneixen els deu extrems dels diàmetres per a dibuixar el decàgon. 
• #29 Es tracen dos diàmetres perpendiculars i així s'obtenen quatre angles rectes. Es divideix cadascun d'aquests angles en tres parts iguals fent centre en els extrems dels diàmetres i traçant arcs amb la mesura del radi de la circumferència.La circumferència quedarà dividida en dotze parts iguals, que caldrà unir per a obtenir el dodecàgon. 
• #30 Els polígons estrellats són polígons còncaus que tenen forma d'estrella. Per a dibuixar un polígon regular estrellat, cal dividir la circumferència en un nombre de parts iguals i unir els punts de la divisió d'una manera alterna. Després de fer més d'una volta a la circumferència, cal tornar al primer vèrtex per a considerar que el polígon està acabat.
• #32 Per a construir un triangle equilàter, cal saber que els angles interiors d'aquest triangle són de 60°.Pels extrems del costat AB es fan angles de 60º i s'obté el vèrtex C.
• #33 Per a construir un triangle equilàter de costat AB amb el compàs cal seguir els passos següents: Es tracen arcs de circumferència amb radi igual a la mesura del costat i centre en els punts A i B, respectivament.  Aquests arcs es tallen en el punt C, tercer vèrtex del triangle. Es dibuixa el triangle. 
• #34 Per a construir un quadrat, cal saber que els seus costats formen 90° i que la diagonal forma 45° amb els costats.   
• #35 Per a construir un quadrat de costat AB amb el compàs cal seguir els passos següents: Sobre l'extrem A del costat del quadrat es dibuixa una perpendicular.  Amb centre en A i radi AB, es fa un arc per a obtenir el punt D.  Amb el mateix radi, es dibuixen arcs amb centres B i D i es determina C. Es dibuixa el quadrat. 
• #36 Si es tracen les diagonals de l'hexàgon regular, es formaran sis triangles equilàters. Per tant, hi haurà una sèrie d'angles de 60° que serviran de guia a l'hora de construir-lo.
• #37 El centre de la circumferència que inscriu l'hexàgon és el vèrtex d'un triangle equilàter de costat AB. Amb radi AB, es tracen arcs fent centre en A i en B.  Així s'obté O, que és el centre de la circumferència en la qual està inscrit l'hexàgon regular. El radi d'aquesta circumferència és igual al costat de l'hexàgon. Es transporta sobre la circumferència la mesura del costat de l'hexàgon per a obtenir els vèrtexs. Es dibuixa l'hexàgon. 
• #39 Pel mètode de les perpendculars, cal seguir els passos següents: Es fa una recta auxiliar, r, separada de la figura. Des dels vèrtexs A, B, C, D, E, F i G, es tracen perpendiculars a la recta r. Així s'obtenen els punts 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7. Es traça una recta r' sobre la qual es transporten les distàncies entre els punts 1, 2, 3, etc. Així s'obtenen els punts 1', 2', 3', etc., des dels quals es fan perpendiculars a la recta r'.Sobre aquestes rectes s'aniran transportant amb el compàs les distàncies dels vèrtexs a la recta r. Així s'obtenen els punts A', B', C', etc., que són els vèrtexs de la figura igual a la donada. S'uneixen els punts obtinguts per a dibuixar la figura.
• #40 Pel mètode de les coordenades, cal seguir els passos següents: Es fan dues rectes perpendiculars r i s, que seran els eixos de coordenades. Des de cada vèrtex es tracen perpendiculars a cadascun dels eixos i s'obtenen les coordenades de cada punt, a les quals s'assigna un nombre (per al punt A,1-1; per al punt E, 2-4, etc.).Es dibuixen les rectes r' i s', perpendiculars entre si, i es transporten les distàncies obtingudes en les perpendiculars a les rectes r' i s' per a obtenir els vèrtexs de la figura.S'uneixen els punts A', B', C', etc. per a traçar una figura igual a la donada.
• #41 Amb el mètode de la quadrícula, cal seguir els passos següents: S'inscriu la figura ABCDEFGH en un rectangle. A continuació, es tracen perpendiculars als costats del rectangle passant pels vèrtexs de la figura que estiguin dins del rectangle.Si es vol fer una figura semblant a l'anterior però duplicant-ne les mesures, es fa un rectangle els costats del qual mesurin el doble que els costats del primer; es reproduirà la quadrícula amb les mesures duplicades. Se situa cada vèrtex en el seu lloc i ja es pot traçar la figura A'B'C'D'E'F'G'H'. Aquesta figura tindrà la mateixa forma que la figura donada, però els seus costats mesuraran el doble.
• #42 Si s'observa el dibuix, es pot entendre fàcilment què és una homotècia. En els triangles homotètics, els punts homòlegs (A, A'; B, B'; C, C') estan alineats amb un punt fix, O, que és el centre de l'homotècia. Els costats que es corresponen (AB, A'B'; BC, B'C'; CA, C'A') són paral·lels. La figura A'B'C'D'E'F'G'H', semblant a la figura ABCDEFGH, s'obté de la manera següent: Se situa un punt P en qualsevol lloc del pla. Es tracen rectes des dels vèrtexs fins al punt P.Se situa el punt A', homòleg del punt A, sobre el segment AP. Si la raó de semblança fos 1/2, el punt A' se situaria en el punt mitjà del segment AP. Pel punt A' es dibuixa una recta paral·lela al costat AB; així s'obté en el segmentBP el punt B'. Es continuen fent paral·leles en cada costat de la mateixa manera fins a obtenir la figura semblant.
• #43 La proporció és la relació d'una part amb una altra o amb el tot. Matemàticament, s'expressa amb la igualtat de dues raons: a/b = c/d. Des de molt antic, artistes, científics i filòsofs han intentat relacionar les obres creades per les persones amb les proporcions que existeixen en la natura. Les cultures egípcia, grega i, més tard, la renaixentista són moments clau de la nostra cultura occidental en l'estudi de la proporció. Tales de Milet (segle vii aC) a Grècia iLeonardo da Vinci (segle xv dC) durant el Renaixement van fer les aportacions més importants sobre aquest concepte. La proporció àuria es va utilitzar en diverses construccions antigues, com les piràmides d'Egipte o el Partenó d'Atenes, i en edificis més recents, com la catedral de Nôtre-Dame de París. A més dels arquitectes, els pintors han aplicat sovint aquesta proporció en les seves obres.  
• #44   Quan es fa un dibuix d'un objecte real, normalment és més petit o més gran que l'objecte representat. Si aquest dibuix conserva les proporcions de l'objecte real, és a dir, si només ha variat de grandària però no pas de forma (no està deformat), es diu que el dibuix és fet a escala.   L'escala és la relació que hi ha entre el dibuix i la realitat. S'expressa d'aquesta manera:   La relació de mesures en l'escala és sempre lineal.Si un segment que en la realitat mesura 20 cm es representa amb una longitud de 2 cm, es diu que és dibuixat a escala 1:10 perquè: Hi ha diferents tipus d'escala: Escala natural: el dibuix té les mateixes dimensions que l'objecte representat.   Escala de reducció: el dibuix és més petit que l'objecte real.   Escala d'ampliació: el dibuix és més gran que l'objecte real.     Quan es dibuixa el plànol d’una casa, s’utilitza una escala de reducció (el dibuix és més petit que la realitat); quan es fa l’esquema d’una molècula, es fa servir una escala d’ampliació (el dibuix de la molècula és més gran que la molècula real).