En aquest powerpoint trobareu un resum de l'unitat de llocs geomètrics impatida en el primer de batxillerat, orientat a classes de suport extra-lectiu.

1. SOFIA PATRICIA MORENO KÜBEL
1

2. Mediatriu d’un segment
 La mediatriu d’un segment és la recta que passa pel
punt mitjà del segment i és perpendicular a aquest.
A B
P
Q
2

3. Bisectriu d’un segment
 La bisectriu d’un angle és la recta que divideix l’angle
en dos parts iguals.
3
α
P

4. Elements d’una circumferència
 El centre és el punt del qual equidistem tots els punts
que formen la circumferència
 El radi és un segment que uneix el centre amb un punt
qualsevol de la circumferència
4
centre
radi

5.  La corda és un segment que uneix dos punts de la
circumferència.
 El diàmetre és una corda que passa pel centre de la
circumferència.
5
diàmetre
corda

6.  Altres rectes
6
Recta tangent
Recta secant
Recta exterior

7. Poliedres i cossos de revolució
 Un poliedre és la regió del espai limitada per cares
poligonals (prismes, piràmides).
 Els cossos de revolució s’obtenen en girar una figura
plana al voltant d’una recta (eix de gir).
7
cilindre con esfera

8. Cons
 Un con és un cos geomètric engendrat per un triangle
rectangle que gira al voltant d’un dels catets. La
generatriu del con coincideix amb la hipotenusa del
triangle.
8
Superfície lateral
Base
Radi
Eix de gir

9. Rectes paral·leles als eixos
 Rectes paral·leles al eix X
 Rectes paral·leles al eix Y
9
•Tenen com a expressió la forma y = n
•Tallen al eix Y, al punt (0, n)
•Tenen com a expressió la forma x = n
•Tallen al eix X, al punt (n, 0)
y = 3
y = -5
(0, 3)
(0, -5)
(2, 0)
(-7, 0)
x = -7
x = 2

10. Seccions còniques
 Una superfície cònica s’obté al girar una recta g
(generatriu) al voltant d’un altre recta e (eix), a la qual
talla un punt V (vèrtex).
10
e
g
V

11.  Una secció cònica és una corba que resulta de la
intersecció d’un pla amb una superfície cònica. Aquestes
poden ser de diferents tipus segons la inclinació del pla
que talla respecte l’eix.
1. Circumferència: el pla és perpendicular.
2. El·lipse: pla oblic al eix i talla totes les generatrius.
11

12. 3. Cònica parabòlica: pla oblic i paral·lel a la generatriu.
4. Corba hipèrbola: pla paral·lel a les dues generatrius.
12

13. Llocs geomètrics
 Un lloc geomètric és un conjunt de punts que
compleixen una propietat geomètrica determinada.
Ex:
13
Els punts que
compleixen aquesta
condició formen una
circumferència
d(P, C) = r
r
r
r
P
P
P

14. El·lipse
 L’el·lipse és el lloc geomètric dels punts del pla, la suma
de les distàncies de les quals dos punts fixos, anomenats
focus, és constant.
 Elements d’una el·lipse:
Focus: punts fixos F i F’.
Eix focal: recta que conté el focus.
Vèrtex: punts A, A’, B i B’.
Eix major: segment AA’.
Eix menor: segment BB’.
Centre: punt d’intersecció dels dos eixos.
14
F F’
B
B’
A’
A

15.  El·lipse en els eixos cartesians, compleix que:
 L’eix major i menor d’una el·lipse també són els eixos de
simetria.
15
F(-c, 0) F’(c, 0)
B(0, b)
B’(0, -b)
A’(a, 0)
A(-a, 0)
Y
X
d(F, F’) = 2c
d(A, A’) = 2a
d(B, B’) = 2b

16.  Propietats de l'el·lipse
1. La suma de les distàncies des de un punt de l’el·lipse
al focus es 2a.
2. La distància des dels vèrtex B i B’ a cadascun dels
focus és a.
3. En una el·lipse es compleix sempre que:
16
d(B, F’) = a
d(B, F) = a
D(A, F) + (F’, A) = 2a
a2 = b2 + c2

17.  Equació de l’el·lipse
17
F F’
P(x, y)
Y
X

18.  Excentricitat de l’el·lipse
L’excentricitat d’una el·lipse és el valor que està comprès
entre 0 i 1, i es calcula mitjançant el quocient:
Com c és més petit que a, l’excentricitat d’una el·lipse és
sempre menor que 1.
18

19.  Per a un valor de a contant, a més d(F, F’).
 Per a un valor de a contant, a menys d(F, F’).
19
F F’ A’
A
F’
F
A A’

20. Hipèrbola
 La hipèrbola és el lloc geomètric dels punts que
compleixen que el valor absolut de la diferència de les
distàncies els dos punts fixos, anomenats focus, és contant.
20
F F’
P

21.  Elements de la hipèrbola
Focus (F, F’): punts fixos de la hipèrbola.
Eix focal: recta que uneix els focus.
Els vèrtex (A, A’): són els dos punts d’intersecció de l’eix
focal amb la hipèrbola.
Centre (O): punt mitjà del segment que uneix els focus.
Asímptotes(r, r’): les dues rectes a les quals la hipèrbola
s’acosta indefinidament, però que no arriba a tocar.
21
F F’
A A’
r
r'

22.  En l’eix cartesià es compleix que:
22
F(-c, 0) F’(c, 0)
A(-a, 0) A’(a, 0)
Y
X
d(F, F’) = 2c
d(A, A’) = 2a

23.  Propietats d’una hipèrbola
La diferència de les distàncies des d’un punt de la
hipèrbola al focus és 2a.
Sempre es compleix que:
23
a2 = b2 + c2
F F’
A A’
B
X
c
b
a

24.  Equació de la hipèrbola
24
F(-c, 0) F’(c, 0)
A(-a, 0) A’(a, 0)
Y
X
P

25.  L’excentricitat de la hipèrbola
L’excentricitat de la hipèrbola és sempre major que 1,
perquè c > a.
25

26. 26

27. Paràbola
 La paràbola és el lloc geomètric dels punts que
equidisten d’un punt fix, anomenat focus, i d’una recta
que s’anomena directriu.
27
F
P
s

28.  Elements de la hipèrbola
28
F
s
e
V
Focus (F) de la paràbola
Directiu (s)
p : distància entre la directriu i el focus.
L’eix (e): recta que passa per F i és perpendicular a s.
El vèrtex (V): és un punt, intersecció de l’eix amb la
paràbola.

29.  Coordenades cartesianes
29
F
s
Y
X
0

30.  Equació d’una paràbola (reduïda)
30

31. Circumferència
 La circumferència és el lloc geomètric dels punts del
pla que són a la mateixa distància d’un punt fix,
anomenat centre.
 La distància constant s’anomena radi (r) de la
circumferència.
31
P(x, y)
C(a, b)
Y
X

32.  Equació general de la circumferència
 Equació reduïda de la circumferència
32

33. Posicions de dues circumferències
1. Exteriors
2. Tangents exteriors
33
c1
r1
c2
r2
d
c1
r1
c2
r2
d

34. 3. Secants
4. Tangents interiors
34
c1
r1
c2
r2
d
r2
r1
c1
c2
d

35. 5. Interiors
6. Concèntriques
35
r2
r1
c1
c2
d
c2 =c1

36. Posicions de les rectes i les circumferències
Exterior Tangents Secants
36
s
s
s
r r r

37. FINAL DEL TEMA
37