Trigonometria 4 eso

1. IES Tulell d’ Alzira 1r batxillerat cient´ıfic
FORMULARI DE TRIGONOMETRIA
Raons trigonom`etriques d’un angle agut
a
c
b
α
sin α =
catet oposat
hipotenusa
=
a
b
cos α =
catet adjacent
hipotenusa
=
c
b
tan α =
catet oposat
catet adjacent
=
a
c
csc α =
1
sin α
=
b
a
sec α =
1
cos α
=
b
c
cot α =
1
tan α
=
c
a
Raons trigonom`etriques d’un angle qualsevol
O
P
E A
C
1
cos α
sin α
tan α
B
D
sin α = PE= Valor de l’ordenada yP del punt P
cos α = OE= Valor de l’abcisa xP del punt P
tan α = AC cot α = BD
sec α = OC csc α = OD
Signes de les raons trigonom`etriques d’un angle qualsevol
Quadrant α Abcisa Ordenada sin α cos α tan α
I 0o
< α < 90o
+ + + + +
II 90o
< α < 180o
- + + - -
III 180o
< α < 270o
- - - - +
IV 270o
< α < 360o
+ - - + -
Valor de les raons trigonom`etriques
−1 ≤ sin α ≤ 1 −1 ≤ cos α ≤ 1 −∞ < tan α < +∞
Raons dels angles b`asics
0o
30o
45o
60o
90o
180o
270o
sin 0
1
2
√
2
2
√
3
2
1 0 -1
cos 1
√
3
2
√
2
2
1
2
0 -1 0
Relacions fonamentals entre les raons d’un angle
sin2
α + cos2
α = 1
tan α =
sin α
cos α
cot α =
1
tan α
=
cos α
sin α
1 + tan2
α = sec2
α =
1
cos2 α
1 + cot2
α = csc2
α =
1
sin2
α

2. IES Tulell d’ Alzira 1r batxillerat cient´ıfic
Reducci´o al primer quadrant de les raons trigonom`etriques
Angles suplementaris: sin(180o
− α) = sin α cos(180o
− α) = − cosα
Angles que difereixen en 180o
: sin(180o
+ α) = − sin α cos(180o
+ α) = − cosα
Angles oposats o que sumen 360o
: sin(−α) = sin(360o
− α) = − sin α cos(−α) = cos(360o
− α) = cos α
Angles complementaris: sin(90o
− α) = cos α cos(90o
− α) = sin α
Angles que es difereixen en 90o
: sin(90o
+ α) = cos α cos(90o
+ α) = − sin α
Angles m´es grans que 360o
: sin(n · 360o
+ α) = sin α cos(n · 360o
+ α) = cos α, n ∈ Z
Resoluci´o de triangles qualsevol
Teorema del sinus:
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
= 2R R= radi circumfer`encia circumscrita.
Teorema del cosinus: a2
= b2
+ c2
− 2bc cosA
b2
= a2
+ c2
− 2ac cosB
c2
= a2
+ b2
− 2ab cosC
Els quatre casos en la resoluci´o d’un triangle
1. Dades: Dos angles i un costat (Soluci´o ´unica):
El tercer angle es calcula amb la relaci´o: A + B + C = 180o
.
Els altres dos costats amb el teorema del sinus.
2. Dades: Dos costats i l’angle compr´es (Soluci´o ´unica):
El tercer costat i un angle amb el teorema del cosinus.
El tercer angle amb la relaci´o:A + B + C = 180o
.
3. Dades: Dos costats i un angle no compr´es: (Una, dues o cap soluci´o):
El segon angle amb el teorema del sinus.
El tercer angle restant-li a 180o
els dos angles coneguts.
El tercer costat amb el teorema del sinus.
4. Dades: Els tres costats (Una o cap soluci´o):
Dos angles amb el teorema del cosinus.
Tercer angle restant-li a 180o
els dos primers.
F´ormules de l’`area d’un triangle
`Area=
base · altura
2
`Area=
1
2
ab sin C
F`ormula de Her´on: `Area= p · (p − a) · (p − b) · (p − c), p =semiperimetre=
a + b + c
2

3. IES Tulell d’ Alzira 1r batxillerat cient´ıfic
Relaci´o entre graus sexagesimals i radiants
360o
=2π rad ⇐⇒ 180o
=π rad.
La mesura d’un angle en radiants coincideix amb la longitud de l’arc que abarca eixe angle en la circum-
fer`encia goniom`etrica
Raons de la suma i difer`encia d’angles:
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin(α − β) = sin α · cos β − cos α · sin β
cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β cos(α − β) = cosα · cos β + sin α · sin β
tan(α + β) =
tan α + tan β
1 − tan α · tan β
tan(α − β) =
tan α − tan β
1 + tan α · tan β
Raons de l’angle doble i de l’angle meitat:
sin(2α) = 2 · sin α · cos α sin
α
2
= ±
1 − cos α
2
cos(2α) = cos2
α − sin2
α cos
α
2
= ±
1 + cos α
2
tan(2α) =
2 tan α
1 − tan2
α
tan
α
2
= ±
1 − cos α
1 + cos α
Transformaci´o de sumes en productes:
sin A + sin B = 2 · sin
A + B
2
· cos
A − B
2
sin A − sin B = 2 · cos
A + B
2
· sin
A − B
2
cos A + cos B = 2 · cos
A + B
2
· cos
A − B
2
cos A − cos B = −2 · sin
A + B
2
· sin
A − B
2
Equacions trigonom`etriques:
1 tipus Sols hi ha una ra´o trigonom`etrica d’un angle. Fem un canvi de variable i resolem l’equaci´o elemental
que queda.
2 tipus Hi ha varies raons d’un angle. Les f´ormules fonamentals permeten escriure l’equaci´o en funci´o d’una
sola ra´o trigonom`etrica. Estem en el primer tipus.
3 tipus Hi raons diferents d’angles diferents. S’apliquen les f´ormules de suma, resta, angle doble, etc i estem
en els casos anteriors.
Sistemes trigonom`etrics:
Es resolen pels m`etodes tradicionals de substituci´o i reducci´o i aplicant les f´ormules trigonom`etriques en
general.