كتاب الامتحانات الوطنية من 2003 الى 2013 العلوم التجريبية المغرب

1. r
𝑬∶𝒂𝒛𝟐
+𝒃𝒛+𝒄=𝟎
𝐥𝐢𝐦
𝒖→+∞
𝟐
𝐥𝐧 𝒖
𝒖
𝒖
𝒖 − 𝟏
= 𝟎
0 1
+∞ +∞
𝐥𝐢𝐦
𝒚→+∞
𝝋−𝟏
𝒚 ; 𝝋−𝟏
𝟎
∀𝒙 ≥ 𝟏 ; 𝑭 𝒙 ≥
𝐥𝐧 𝟐𝒕 + 𝟏
𝟐𝒕 + 𝟏
𝒙
𝟏
𝒅𝒕
𝐥𝐢𝐦
𝒙→
−𝟏
𝟐
𝑭 𝒙 − 𝓵
𝒙 +
𝟏
𝟐
= +∞
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝒙 + 𝒂 𝒏
=
𝒏
𝒌
𝒙 𝒌
𝒂 𝒏−𝒌
𝒏
𝒌=𝟎
𝑃𝐵 𝐴 =
𝑝 𝐴 ∩ 𝐵
𝑝 𝐵
𝓢 ∶ 𝒙 − 𝜶 𝟐
+ 𝒚 − 𝜷 𝟐
+ 𝒛 − 𝜸 𝟐
= 𝓡 𝟐
𝑑 Ω ; 𝒫 =
𝑎𝛼 + 𝑏𝛽 + 𝑐𝛾 + 𝑑
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
∆ ∶
𝑥 = 𝑎1 𝑡 + 𝑏1
𝑦 = 𝑎2 𝑡 + 𝑏2
𝑧 = 𝑎3 𝑡 + 𝑏3
; 𝑡𝜖ℝ ∆= 𝒃 𝟐
− 𝟒𝒂𝒄 ⇒
𝓩 𝟏 =
−𝒃 − ∆
𝟐𝒂
𝓩 𝟐 =
−𝒃 + ∆
𝟐𝒂
𝓩 𝟏 𝓩 𝟐 =
𝒄
𝒂
𝓩 𝟏 𝓩 𝟐 =
−𝒃
𝒂
𝑒 𝑖𝜃
= 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑎𝑟𝑔
𝑏 − 𝑐
𝑑 − 𝑐
≡
𝜋
2
2𝜋
𝑐𝑎𝑟𝑑 Ω = 𝐶 𝑛
𝑝
=
𝑛!
𝑝! 𝑛 − 𝑝 !
𝑝 𝐴 = 1 − 𝑝 𝐴
𝐸 𝑋 = 𝑘. 𝑝 𝑥 = 𝑘
𝑛
𝑘=0
𝑝 𝑋 = 𝑘 = 𝐶 𝑛
𝑘
𝑝 𝑘
1 − 𝑝 𝑛−𝑘
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙 𝟎
𝒇(𝒙)
𝒙
= 𝒂
lim
𝑥→𝑥0
𝑓𝑥−𝑎𝑥=𝑏
0𝑥
2
+∞
0
1
𝑓
−𝑔(𝑥) 0 −
1 + 2𝑥
𝑓′(𝑥)
+∞
− −
+ +
−1
2
0
C
𝓞 𝟏
𝟏
𝛂−𝟏
𝟐
−𝟏
𝟐
0𝑥
0
−1
2
+∞
−∞−1
𝑔
+𝑔′(𝑥) 0 −
𝑝𝐴=1−𝑝𝐴
ln 1 + 2𝑡
1 + 2𝑡
𝑥
1
𝑑𝑡 =
1
4
ln 1 + 2𝑥 2
− ln 3 2
⟺ 𝑥 𝑛
=
1 − 1 − 3𝑥 𝑛
3

2. ‫الكتاب‬ ‫ِرا‬
‫تألٗف‬ َ‫و‬:٘‫الفاحت‬ َٖ‫الد‬ ‫بدز‬ ‫األضتاذ‬
‫السٖاضٗات‬ ٚ‫واد‬ ‫أضتاذ‬-‫ٔزشاشات‬
‫أكدش‬ ‫وٕالٗد‬ َ‫و‬-1985
www.professeurbadr.blogspot.com
06 60 34 41 36
ٛ‫الطباع‬:
‫الٍصس‬:
‫التٕشٖع‬:
ٛ‫املطتّدف‬ ٛ٠‫الف‬:
ًٕ‫لمعى‬ ‫البٗع‬ َ‫مث‬:2 clicks
Microsoft Office Word 2007
GraphCalc
Adobe Flash Professional CS5
Do Pdf-995
ُ‫زوضا‬ ‫ـــ‬2013‫ــــ‬
ٛٗ‫املٗكاٌٗك‬ ‫التكٍٕلٕجٗات‬ ٔ ًٕ‫العم‬ ‫وطمك‬
ٟٛٗ‫الكّسبا‬ ‫التكٍٕلٕجٗات‬ ٔ ًٕ‫العم‬ ‫وطمك‬
ٟٛٗ‫الفٗصٖا‬ ًٕ‫العم‬ ‫وطمك‬
‫األزض‬ ٔ ٚ‫احلٗا‬ ًٕ‫عم‬ ‫وطمك‬
ٛٗ‫الصزاع‬ ًٕ‫العم‬ ‫وطمك‬
FaceBook + Blogger
Googl𝑒+
ٕٝ‫احملت‬:
ٚ‫شّاد‬ ‫لٍٗن‬ ‫املٕحد‬ ‫الٕطين‬ ُ‫االوتحا‬ ‫وٕاضٗع‬
ٖٛ‫العاد‬ ‫لمدٔزتني‬ ٛ‫املفصم‬ ‫حمٕهلا‬ ٔ ‫البكالٕزٖا‬
ٔ٘‫الدزاض‬ ‫املٕضي‬ ‫وٍر‬ ٛٗ‫االضتدزاك‬2003-2004
٘‫الدزاض‬ ‫املٕضي‬ ٖٛ‫غا‬ ‫إىل‬2012-2013

3. =+
ٛ‫وقدو‬
ْ‫عمى‬ َ‫و‬ ٞ‫شا‬ ‫مما‬ ٞ٘‫بص‬ ‫لٍحٗط‬ ‫ِداٌا‬ ٙ‫الر‬ ‫هلل‬ ‫احلىد‬.‫جيعن‬ ُ‫أ‬ ‫تعاىل‬ ْ‫ٌطأل‬ ٔ
ْ‫ب‬ ُ‫ع‬َ‫ف‬‫ٍُت‬ٖ ‫مما‬ ‫الكتاب‬ ‫ِرا‬.‫لػط‬ ٔ ٞ‫الطفّا‬ ٞ‫وسا‬ ‫ُجٍبٍا‬ٖ ٔ ْ‫ب‬ ‫عىن‬ َ‫و‬ ‫أجس‬ ‫ٖسشقٍا‬ ُ‫أ‬ ٔ
‫الٍاس‬ َ‫و‬ ٞ‫الػٕغا‬ ٔ ٞ‫الدِىا‬.‫الفكس‬ ‫إعىاه‬ ٔ ، ‫اجلمٕس‬ ‫َب‬‫ص‬ٌ ‫جازٖت‬ ٌ٘‫إ‬ ٔ.
ُ‫أ‬ ٛ‫خماف‬ ‫فآٖٔت‬ ، ٓ‫ُجاؤ‬‫غ‬ ‫كجس‬ ‫ضٗال‬ ‫الفّي‬ ‫فسأٖت‬ ‫بالعقن‬ ‫اضتٗقٍت‬ ٔ ‫الٍظس‬ ‫فأوعٍت‬
‫ٖدزكين‬.‫ٍٖفعٍا‬ ‫ال‬ ‫وا‬ ‫ُعمىٍا‬ٖ ُ‫أ‬ ْ‫ب‬ ‫ٌعٕذ‬ ٔ ‫عمىٍا‬ ‫فٗىا‬ ٛ‫املٍفع‬ ‫اهلل‬ ‫ٌطأه‬ ٔ.
‫ضالتّي‬ ٓ‫ثٍاٖا‬ ‫بني‬ ُٔ‫جيد‬ ‫كتابا‬ ٞ‫األعصا‬ ‫تالورتٍا‬ ‫إىل‬ ً‫ُقد‬‫أ‬.‫فّن‬ ٚٞ‫لمقسا‬ ْ‫َّست‬‫ٖط‬ ‫لقد‬ ٔ
ْ‫ل‬ ‫قازئ‬ َ‫و‬.‫لمتمىٗر‬ ‫كافٗا‬ ٓ‫أزا‬ ‫وا‬ ‫التٕضٗح‬ ٔ ‫الصسح‬ َ‫و‬ ْٗ‫ف‬ ‫َّفت‬‫صس‬ ‫لقد‬ ٔ
ً‫العا‬ ً‫ختا‬ ‫يف‬ ‫ذلك‬ ‫اهلل‬ ٞ‫شا‬ ُ‫إ‬ ‫األشّاد‬ َ‫و‬ ُٕ‫لٗك‬ ٍْٗ‫ُع‬ٖ ٔ.ٌ‫ر‬‫آخ‬ ٌ٘‫إ‬ ٔ
ْٗ‫إل‬ ‫الٍاس‬ ‫صاز‬ ‫وا‬ ‫إىل‬ ‫ِس‬‫ص‬ٌَ ‫مل‬ ‫وا‬ ٘‫ودزض‬ ‫دخٕه‬ ‫كن‬ ‫يف‬ ٍْٗٗ‫حت‬ ٜ‫عم‬ ً‫العص‬.
‫الكتاب‬ ‫بّرا‬ ‫التمىٗرات‬ ٔ ‫التالوٗر‬ ‫أّٖا‬ ‫تصتػمٕا‬ ُ‫أ‬ ٝ‫أز‬ ، ً‫اخلتا‬ ‫يف‬ ٔ
‫كمّا‬ ٍٛ‫الط‬ ‫خاله‬ ْ‫حمتٕٖات‬ ‫تدازضٕا‬ ٔ.‫وا‬ ٜ‫حت‬ ْ‫كم‬ ‫اخلري‬ ‫ِرا‬ ‫ُرتك‬ٖ ‫أال‬ ٕ‫أزج‬ ٔ
‫قبمكي‬ ُ‫كا‬ َ‫و‬ ‫َع‬‫ز‬‫َا‬‫ط‬َ‫ت‬ ‫كىا‬ ْٗ‫إل‬ ‫ُطازعٕا‬‫ت‬‫ف‬ ‫حجاب‬ ُ‫االوتحا‬ ‫بني‬ ٔ ‫بٍٗكي‬ ُٕ‫ٖك‬
‫فصمٕا‬ ‫كىا‬ ‫فتفصمٕا‬.ُٕ‫تفمح‬ ‫لعمكي‬ ٕٓ‫فاعقم‬ ‫وجال‬ ‫األوس‬ ‫هلرا‬ ‫ضسبت‬ ‫لقد‬ ٔ.
‫انحهٕل‬ ‫رهك‬ ٍ‫ي‬ ً‫ا‬‫ٔاحذ‬ ٌٕ‫رك‬ ٌ‫أ‬ ‫فبحزس‬ ‫انحهٕل‬ ٍ‫ي‬ ‫َٓبٚخ‬ ‫ال‬ ‫يب‬ ‫رمجم‬ ٔ ‫نهفشم‬ ‫انذٚكبسرٛخ‬ ‫انًؼبدنخ‬ ْٙ ِ‫ْز‬.

4. ‫املٕحد‬ ‫الٕطين‬ ُ‫اإلوتحــــــا‬
‫البكالٕزٖـــــــــــــا‬ ٚ‫شّاد‬ ‫لٍٗن‬
ٖٛ‫العــــــــــــاد‬ ٚ‫الدٔز‬2003
‫املغربية‬‫اململكة‬
‫لي‬‫ا‬‫لع‬‫ا‬‫لتعليم‬‫ا‬ ‫و‬ ‫لوطنية‬‫ا‬ ‫لرتبية‬‫ا‬ ‫وزارة‬
‫لعلمي‬‫ا‬ ‫لبحث‬‫ا‬‫و‬ ‫األطر‬‫ين‬‫و‬‫تك‬‫و‬
‫نات‬‫ا‬‫اإلمتح‬‫و‬ ‫يم‬‫و‬‫للتق‬ ‫لوطين‬‫ا‬ ‫املركس‬
‫السٖــــــــــــــاضٗات‬ ٚ‫وــــاد‬
‫مبطالكّا‬ ٛٗ‫التجــــــــسٖب‬ ًٕ‫العم‬
‫مبطمكّٗا‬ ٛٗ‫التكٍٕلٕجــــ‬ ًٕ‫العم‬
‫االدمــاش‬ ٚ‫ود‬3h-‫املعاون‬7
ً‫الفاتح‬ ‫الدٌن‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫اقتراح‬ ‫من‬ ‫األجوبة‬-http://www.professeurbadr.blogspot.com–‫رمضان‬2013-‫الصفحة‬:1
1,00ٌ1
‫األول‬ ‫التمريه‬:(2,0‫ن‬)
1,00ٌ
‫التمريه‬‫الثاوي‬:(2,5‫ن‬)
1,50ٌ
ٗ‫ػه‬ ‫كٛظ‬ ٕ٘‫ٚحز‬6‫األػذاد‬ ‫رحًم‬ ‫ثٛضبء‬ ‫كشاد‬0ٔ0ٔ0ٔ1ٔ1ٔ2ٍٚٔ‫عٕدا‬ ٍٛ‫كشر‬ ٔ
ٍٚ‫انؼذد‬ ٌ‫رحًال‬0ٔ1(‫ثبنهًظ‬ ‫ثُٛٓب‬ ‫انزًٛٛض‬ ٍ‫ًٚك‬ ‫ال‬)
‫انكٛظ‬ ٍ‫ي‬ ٍٛ‫كشر‬ ‫ٔاحذ‬ ٌ‫آ‬ ٙ‫ف‬ ٔ ‫ػشٕائٛب‬ ‫َغحت‬.
ٍٛ‫انحذص‬ ٍ‫ي‬ ‫كم‬ ‫احزًبل‬ ‫أحغت‬𝐴ٔ𝐵ٍٛٛ‫انزبن‬:
𝐴" :ٌٕ‫انه‬ ‫َفظ‬ ٍٛ‫انًغحٕثز‬ ٍٛ‫نهكشر‬. "
𝐵" :‫يُؼذو‬ ٍٛ‫انًغحٕثز‬ ٍٛ‫انكشر‬ ٗ‫ػه‬ ٍٛ‫انًغغه‬ ٍٚ‫انؼذد‬ ‫عذاء‬. "
ٙ‫انؼشٕائ‬ ‫انًزغٛش‬ ‫َؼزجش‬𝑋ٍٛ‫انكشر‬ ٗ‫ػه‬ ٍٛ‫انًغغه‬ ٍٚ‫انؼذد‬ ‫ثًغًٕع‬ ‫عحجخ‬ ‫كم‬ ‫ٚشثظ‬ ٘‫انز‬
ٙ‫انؼشٕائ‬ ‫انًزغٛش‬ ‫احزًبل‬ ٌَٕ‫لب‬ ‫حذد‬ ، ٍٛ‫انًغحٕثز‬𝑋.
‫التمريه‬‫الثالث‬:(3,5‫ن‬)
‫التمريه‬‫الرابع‬:(2,0‫ن‬)
‫انُمطخ‬ ‫َؼزجش‬ ، ‫يًُظى‬ ‫يزؼبيذ‬ ‫يؼهى‬ ٗ‫إن‬ ‫انًُغٕة‬ ‫انفضبء‬ ٙ‫ف‬𝐴(2,0,2)ٖٕ‫انًغز‬ ٔ𝒫
‫انًؼبدنخ‬ ٔ‫ر‬:𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 3 = 0.
‫نهًغزمٛى‬ ‫ثبسايزشٚب‬ ‫رًضٛال‬ ‫حذد‬𝐷ٍ‫ي‬ ‫انًبس‬𝐴ٗ‫ػه‬ ٘‫انؼًٕد‬ ٔ𝒫
‫احذاصٛبد‬ ‫حذد‬𝐵‫انًغزمٛى‬ ‫رمبطغ‬ ‫َمطخ‬𝐷ٖٕ‫انًغز‬ ٔ𝒫.
ٙ‫انزبن‬ ‫انزكبيم‬ ‫أحغت‬ ،‫ثبألعضاء‬ ‫يكبيهخ‬ ‫ثبعزؼًبل‬:𝐼 = ln 𝑥
2
1
𝑑𝑥
ٙ‫انزبن‬ ‫انزكبيم‬ ‫أحغت‬:(‫ٔضغ‬ ‫ًٚكُك‬:𝑡 = 𝑒 𝑥) 𝐽 = 𝑥 𝑒 𝑥
ln 4
0
𝑑𝑥
ٍ‫نٛك‬𝑚ِ‫يؼٛبس‬ ‫يؼهٕيب‬ ‫ػمذٚب‬ ‫ػذدا‬2ّ‫ػًذر‬ ٔ𝛼‫انؼمذٚخ‬ ‫األػذاد‬ ‫يغًٕػخ‬ ٙ‫ف‬ ‫َؼزجش‬ ٔ
‫انًؼبدنخ‬𝐸ٙ‫ٚه‬ ‫ثًب‬ ‫انًؼشفخ‬:𝐸 ∶ 𝑚𝑧2
− 2𝑧 + 𝑚 = 0.
(𝑚‫يشافك‬ ْٕ𝑚ٔ𝑚 = 𝑚𝑚)
‫يًُظى‬ ‫يزؼبيذ‬ ‫يؼهى‬ ٗ‫إن‬ ‫انًُغٕة‬ ٘‫انؼمذ‬ ٖٕ‫انًغز‬ ٙ‫ف‬𝒪, 𝑢 , 𝑣‫انُمظ‬ ‫َؼزجش‬:𝐴ٔ𝐵ٔ𝐶
ْٙ ٙ‫انزٕان‬ ٗ‫ػه‬ ‫أنحبلٓب‬ ٙ‫انز‬:𝑧′ٔ𝑧"ٔ𝑧′
+ 𝑧".ٙ‫انشثبػ‬ ٌ‫أ‬ ٍٛ‫ث‬𝒪𝐴𝐶𝐵‫يشثغ‬.
ٍ‫ي‬ ‫كم‬ ‫أكزت‬𝑧′ٔ𝑧′′ٔٙ‫انًضهض‬ ‫انشكم‬ ٗ‫ػه‬.
𝑧′
𝑧′′
‫ًْب‬ ‫انًؼبدنخ‬ ٙ‫حه‬ ٌ‫أ‬ ٍٛ‫ث‬:ٔ 𝑧′
=
1 + 𝑖
𝑚
𝑧′′
=
1 − 𝑖
𝑚
𝐸
1,00ٌ
1,00ٌ
1,50ٌ
1,00ٌ
0,50ٌ
0,50ٌ
2
1
2
3
1
2
1
2

5. ‫العادٌــة‬ ‫الدورة‬ ‫أجوبة‬2003-http://www.professeurbadr.blogspot.com–‫رمضان‬2013-‫الصفحة‬:2
1‫أ‬
‫انفهكخ‬ ‫َؼزجش‬𝒮‫يشكضْب‬ ٙ‫انز‬𝐴ٖٕ‫انًغز‬ ‫رمطغ‬ ٙ‫انز‬ ٔ𝒫ٙ‫انز‬ ‫انذائشح‬ ‫ٔفك‬
‫يشكضْب‬𝐵‫شؼبػٓب‬ ٔ2.
‫انفهكخ‬ ‫شؼبع‬ ‫حذد‬𝒮.
‫نهفهكخ‬ ‫دٚكبسرٛخ‬ ‫يؼبدنخ‬ ‫أكزت‬𝒮.
𝟏𝟏
𝟎𝟏𝟐C‫نهذانخ‬ ‫انًًضم‬ ُٗ‫انًُح‬ ٍ‫نٛك‬ ٔ𝑓‫يًُظى‬ ‫يزؼبيذ‬ ‫يؼهى‬ ٙ‫ف‬𝒪, 𝑖 , 𝑗.
‫انذانخ‬ ٌ‫أ‬ ٍٛ‫ث‬𝑓‫انُمطخ‬ ٙ‫ف‬ ‫يزصهخ‬𝒪.
‫انذانخ‬ ٌ‫أ‬ ٍٛ‫ث‬𝑓ٍٛ‫انًغبن‬ ٗ‫ػه‬ ‫رُبلصٛخ‬−∞ ; 0ٔ1 ; +∞‫انًغبل‬ ٗ‫ػه‬ ‫رضاٚذٚخ‬ ٔ ،0; 1
.
ُٗ‫انًُح‬ ‫أَشئ‬.
ٍ‫نٛك‬𝑕‫انذانخ‬ ‫لصٕس‬𝑓‫انًغبل‬ ٗ‫ػه‬−∞ ; 0.
ٌ‫أ‬ ٍٛ‫ث‬𝑕‫انًغبل‬ ٍ‫ي‬ ‫رمبثم‬−∞ ; 0‫يغبل‬ ٕ‫َح‬𝐽ِ‫رحذٚذ‬ ‫ٚغت‬.
‫حذد‬𝑕−1
𝑥‫نكم‬𝑥‫انًغبل‬ ٍ‫ي‬𝐽.
(‫انذانخ‬ ‫دساعخ‬ ‫َزبئظ‬ ‫اعزؼًبل‬ ٙ‫ٚه‬ ‫فًٛب‬ ‫ًٚكُك‬𝑓)
ٌ‫أ‬ ‫ثبنزشعغ‬ ٍٛ‫ث‬:∀𝑛𝜖ℕ ;
4
9
≤ 𝑢 𝑛 ≤ 1
‫انًززبنٛخ‬ ٌ‫أ‬ ٍٛ‫ث‬𝑢 𝑛 𝑛𝜖ℕ‫رضاٚذٚخ‬
‫انًززبنٛخ‬ ٌ‫أ‬ ‫اعزُزظ‬𝑢 𝑛 𝑛𝜖ℕ‫َٓبٚزٓب‬ ‫حذد‬ ‫صى‬ ‫يزمبسثخ‬.
‫انذانخ‬ ٌ‫أ‬ ٍٛ‫ث‬𝑓‫انُمطخ‬ ٙ‫ف‬ ‫نإلشزمبق‬ ‫لبثهخ‬𝒪(ٌ‫أ‬ ‫َزكش‬:) lim
𝑡→0
ln 1+𝑡
𝑡
= 1
‫نكم‬ َّ‫أ‬ ٍ‫ي‬ ‫رحمك‬𝑥 < 0‫نذُٚب‬:
𝑓(𝑥)
𝑥
= 3
ln −𝑥
𝑥
+
ln 1 − 𝑥−3
𝑥
ٍٛ‫انُٓبٚز‬ ‫أحغت‬:ٔ. lim
𝑡→−∞
𝑓(𝑥)lim
𝑡→+∞
𝑓(𝑥)
‫انًززبنٛخ‬ ‫َؼزجش‬𝑢 𝑛 𝑛𝜖ℕٙ‫ٚه‬ ‫ثًب‬ ‫انًؼشفخ‬:
𝑢 𝑛+1 = 4𝑢 𝑛 𝑢 𝑛 − 3 𝑢 𝑛
2
; ∀𝑛𝜖ℕ
𝑢0 =
4
9
‫انؼذدٚخ‬ ‫انذانخ‬ ‫َؼزجش‬𝑓ٗ‫ػه‬ ‫انًؼشفخ‬ℝٙ‫ٚه‬ ‫ثًب‬:𝑓 𝑥 =
ln 1 − 𝑥3
; 𝑥 < 0
4𝑥 𝑥 − 3𝑥2
; 𝑥 ≥ 0
0,50ٌ
0,50ٌ
0,50ٌ
1,00ٌ
1,50ٌ
0,50ٌ
0,50ٌ
0,50ٌ
1,00ٌ
1,00ٌ
0,50ٌ
0,50ٌ
1,00ٌ
𝟏𝟏
𝟎𝟏𝟐C
ُٗ‫نهًُح‬ ٍٛٛ‫انالَٓبئ‬ ٍٛ‫انفشػ‬ ‫أدسط‬. 𝟏𝟏
𝟎𝟏𝟐C
3
‫أ‬
‫ب‬
‫أ‬
‫ب‬
2
4
5
‫ط‬
‫ب‬
‫أ‬
‫ب‬
‫أ‬
‫ب‬
‫ج‬
3
0,50ٌ
‫التمريه‬‫الخامس‬:(10,0‫ن‬)
3
3
1
3
3
5
5
1,00ٌ6
6
6
6

6. ً‫الفاتح‬ ‫الدٌن‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2013‫الصفحة‬:𝟑 ‫العادٌــــة‬ ‫الدورة‬ ‫امتحان‬ ‫أجوبة‬2003
‫األول‬ ‫التمرٌن‬:
ln 𝑥
2
1
𝑑𝑥 = 1 ∙ ln 𝑥
2
1
𝑑𝑥
= 𝑢𝑣 1
2
− 𝑢𝑣′
2
1
𝑑𝑥
= 𝑥 ln 𝑥 1
2
− 𝑥 ∙
1
𝑥
2
1
𝑑𝑥
= 𝑥 ln 𝑥 1
2
− 1
2
1
𝑑𝑥
= 𝑥 ln 𝑥 1
2
− 𝑥 1
2
= 2 ln 2 − 1 ln 1
0
− 2 − 1
= 2 ln 2 − 1
𝑡 = 𝑒
𝑥
2 𝑡 = 𝑒 𝑥 ‫نضع‬:ً‫ٌعن‬:
𝑥 = 2 ln 𝑡𝑑𝑥 =
2
𝑡
𝑑𝑡 ‫منه‬ ‫و‬:‫إذن‬:
𝑥 = 0𝑡 = 0 ‫كان‬ ‫إذا‬:‫فإن‬:
𝑥 = ln 4𝑥 = 2 ‫كان‬ ‫إذا‬:‫فإن‬:
𝑥 𝑒 𝑥 = 2𝑡 ln 𝑡 ‫كذلك‬ ‫لدٌنا‬ ‫و‬:
ً‫الثان‬ ‫التمرٌن‬:
‫الحدثٌن‬ ‫التمرٌن‬ ‫هذا‬ ً‫ف‬ ‫لدٌنا‬𝐴‫و‬𝐵ً‫ٌل‬ ‫كما‬ ‫معرفٌن‬:
‫التجربة‬ ‫هذه‬ ‫امكانٌات‬ ‫كون‬ ‫فإن‬ ‫واحد‬ ‫آن‬ ً‫ف‬ ‫كرتٌن‬ ‫الكٌس‬ ‫من‬ ‫نسحب‬ ‫عندما‬
‫بـ‬ ‫معرف‬ ‫العشوائٌة‬𝑐𝑎𝑟𝑑 Ω = 𝐶8
2
= 28.
‫كذلك‬ ‫لدٌنا‬ ‫و‬𝐶6
2
‫بٌضاوٌن‬ ‫كرتٌن‬ ‫على‬ ‫للحصول‬ ‫امكانٌة‬.
‫كذلك‬ ‫لدٌنا‬ ‫و‬𝐶2
2
‫سوداوٌن‬ ‫كرتٌن‬ ‫على‬ ‫للحصول‬ ‫امكانٌة‬.
‫ٌساوي‬ ‫اللون‬ ‫نفس‬ ‫من‬ ‫كرتٌن‬ ‫على‬ ‫الحصول‬ ‫احتمال‬ ‫إذن‬:
1
0 1
1 0
0
0
2
‫الحدث‬ ‫احتمال‬ ‫لحساب‬𝐵‫المضاد‬ ‫الحدث‬ ‫تقنٌة‬ ‫نستعمل‬:𝑝 𝐵 = 1 − 𝑝 𝐵
𝑢′ 𝑣
= 4 ln 𝑡
2
1
𝑑𝑡
= 4 ln 𝑡
2
1
𝑑𝑡
= 4 2 ln 2 − 1
𝐽 = 𝑥 𝑒 𝑥
ln 4
0
𝑑𝑥 = 2𝑡 ln 𝑡 ∙
2
𝑡
2
1
𝑑𝑡 ً‫بالتال‬ ‫و‬:
𝐴" :‫اللون‬ ‫نفس‬ ‫من‬ ‫المسحوبتان‬ ‫الكرتان‬"
𝐵" :‫منعدم‬ ‫الكرتٌن‬ ‫على‬ ‫المسجلٌن‬ ‫العددٌن‬ ‫جداء‬"
‫االحتمال‬ ‫تقنٌة‬ ‫كذلك‬ ‫و‬ ‫االحتمال‬ ‫تعرٌف‬ ‫التمرٌن‬ ‫هذا‬ ً‫ف‬ ‫نستعمل‬ ‫سوف‬
‫التالٌتٌن‬ ‫المتساوٌتٌن‬ ‫أقصد‬ ‫و‬ ‫المضاد‬:
𝑝 𝐴 =
𝑐𝑎𝑟𝑑 𝐴
𝑐𝑎𝑟𝑑 Ω
𝑝 𝐵 + 𝑝 𝐵 = 1
𝑝 𝐴 = 𝑝 ‫اللون‬ ‫نفس‬ ‫من‬ ‫الكرتان‬
= 𝑝 ‫بٌضاوٌن‬ ‫أو‬ ‫سوداوٌن‬
= 𝑝 ‫بٌضاوٌن‬ + 𝑝 ‫سوداوٌن‬
=
𝑐𝑎𝑟𝑑 ‫بٌضاوٌن‬
𝑐𝑎𝑟𝑑 Ω
+
𝑐𝑎𝑟𝑑 ‫سوداوٌن‬
𝑐𝑎𝑟𝑑 Ω
=
𝐶6
2
28
+
𝐶2
2
28
=
15
28
+
1
28
=
16
28
=
4
7
𝑝 ‫منعدم‬ ‫الجداء‬ = 1 − 𝑝 ‫منعدم‬ ‫غٌر‬ ‫الجداء‬
= 1 − 𝑝 ‫معا‬ ‫الصفر‬ ‫تخالفان‬ ‫الكرتان‬
= 1 −
𝑐𝑎𝑟𝑑 ‫معا‬ ‫الصفر‬ ‫تخالفان‬ ‫الكرتان‬
𝑐𝑎𝑟𝑑 Ω
= 1 −
𝐶4
2
28
= 1 −
6
28
=
22
28
=
11
14
2
1
1

7. ً‫الفاتح‬ ‫الدٌن‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2013‫الصفحة‬:𝟒 ‫العادٌــــة‬ ‫الدورة‬ ‫امتحان‬ ‫أجوبة‬2003
‫الثالث‬ ‫التمرٌن‬:
‫المتغٌر‬ ‫هذا‬ ‫قٌم‬ ‫من‬ ‫قٌمة‬ ‫كل‬ ‫احتمال‬ ً‫عشوائ‬ ‫متغٌر‬ ‫احتمال‬ ‫بقانون‬ ‫نقصد‬
ً‫العشوائ‬.‫تحملها‬ ً‫الت‬ ‫األعداد‬ ‫بل‬ ‫الكرات‬ ‫ألوان‬ ‫تهمنا‬ ‫ال‬ ‫السؤال‬ ‫هذا‬ ً‫ف‬.
‫الحصول‬ ‫ٌمكن‬ ً‫الت‬ ‫الخمس‬ ‫اإلمكانٌات‬ ‫فإن‬ ‫الكٌس‬ ‫من‬ ‫كرتٌن‬ ‫نسحب‬ ‫عندما‬
ً‫كالتال‬ ً‫ه‬ ‫علٌها‬:00‫أو‬01‫أو‬02‫أو‬11‫أو‬21.
ً‫العشوائ‬ ‫المتغٌر‬ ‫أن‬ ‫بما‬𝑋‫تحملهما‬ ‫اللذٌن‬ ‫العددٌن‬ ‫بمجموع‬ ‫سحبة‬ ‫كل‬ ‫ٌربط‬
ً‫العشوائ‬ ‫المتغٌر‬ ‫ٌأخذها‬ ً‫الت‬ ‫القٌم‬ ‫فإن‬ ‫المسحوبتان‬ ‫الكرتان‬Xً‫ه‬0‫و‬1
‫و‬2‫و‬3.‫آخر‬ ‫بتعبٌر‬ ‫أي‬:𝑋 Ω = 0; 1; 2; 3
‫القٌم‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫قٌمة‬ ‫كل‬ ‫احتمال‬ ‫اآلن‬ ‫لنحسب‬:
ً‫العشوائ‬ ‫المتغٌر‬ ‫احتمال‬ ‫قانون‬ ‫إذن‬𝑋‫التطبٌق‬ ‫هو‬𝑃𝑋ً‫ٌل‬ ‫بما‬ ‫المعرف‬:
ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫على‬ ‫تحصل‬ ‫أن‬ ‫ٌجب‬ ‫اإلجابة‬ ‫صحة‬ ‫من‬ ‫للتأكد‬:
‫لدٌنا‬ ‫البداٌة‬ ً‫ف‬:𝑚 = 2𝑒 𝑖𝛼
.
‫كذلك‬ ‫و‬:𝑧′
=
1 + 𝑖
𝑚
=
2𝑒
𝑖𝜋
4
2𝑒 𝑖𝛼
= 𝑒
𝑖
𝜋
4
−𝛼
‫إذن‬:𝑧′′
=
1 − 𝑖
𝑚
=
2𝑒
−𝑖𝜋
4
2𝑒 𝑖𝛼
= 𝑒
−𝑖
𝜋
4
+𝛼
ً‫بالتال‬ ‫و‬:
𝑧′
𝑧′′
=
𝑒
𝑖
𝜋
4
−𝛼
𝑒
−𝑖
𝜋
4
+𝛼
= 𝑒
𝑖𝜋
2 = 𝑖
‫بـ‬ ‫نرمز‬𝑧𝐴‫و‬𝑧 𝐵‫و‬𝑧 𝐶‫النقط‬ ‫أللحاق‬𝐴‫و‬𝐵‫و‬𝐶
‫عقدي‬ ‫عدد‬ ‫معٌار‬ ‫تعرٌف‬ ‫باستعمال‬ ‫لدٌنا‬:
𝑝 𝑋 = 3 = 𝑝 2 ‫االخرى‬ ‫و‬ 1 ‫احداهما‬
=
𝑐𝑎𝑟𝑑 2 ‫االخرى‬ ‫و‬ 1 ‫تحمل‬ ‫إحداهما‬
𝑐𝑎𝑟𝑑 Ω
=
𝐶3
1
× 𝐶1
1
28
=
3
28
𝑝 𝑋 = 0 = 𝑝 ‫الصفر‬ ‫معا‬ ‫تحمالن‬ ‫الكرتان‬
=
𝑐𝑎𝑟𝑑 ‫الصفر‬ ‫معا‬ ‫تحمالن‬ ‫الكرتان‬
𝑐𝑎𝑟𝑑 Ω
=
𝐶4
2
28
=
6
28
=
3
14
𝑝 𝑋 = 1 = 𝑝 1 ‫االخرى‬ ‫و‬ 0 ‫تحمل‬ ‫إحداهما‬
=
𝑐𝑎𝑟𝑑 1 ‫االخرى‬ ‫و‬ 0 ‫تحمل‬ ‫إحداهما‬
𝑐𝑎𝑟𝑑 Ω
=
𝐶4
1
× 𝐶3
1
28
=
4 × 3
28
=
3
7
=
𝐶3
2
28
+
𝐶4
1
× 𝐶1
1
28
=
3
28
+
4
28
=
7
28
=
1
4
=
𝑐𝑎𝑟𝑑 1 ‫معا‬ ‫تحمالن‬ ‫الكرتان‬
𝑐𝑎𝑟𝑑 Ω
+
𝑐𝑎𝑟𝑑 2 ‫االخرى‬ ‫و‬ 0 ‫احداهما‬
𝑐𝑎𝑟𝑑 Ω
𝑝 𝑋 = 2 = 𝑝 1 + 1 ‫أو‬ 2 + 0
= 𝑝 1 + 1 + 𝑝 2 + 0
= 𝑝 1 ‫معا‬ ‫تحمالن‬ ‫الكرتان‬ + 𝑝 2 ‫االخرى‬ ‫و‬ 0 ‫احداهما‬
𝑃X 0 + PX 1 + PX 2 + PX 3 = 1
𝑃𝑋 ∶ 0; 1; 2; 3 → 0; 1
𝑃𝑋 0 =
3
14
𝑃𝑋 1 =
3
7
𝑃𝑋 2 =
1
4
𝑃𝑋 3 =
3
28
‫لدٌنا‬:∆= −2 2
− 4𝑚𝑚
= 4 − 4𝑚𝑚
= 4 1 − 𝑚𝑚
= 4 1 − 𝑚 2
= 4 1 − 2
2
= 4 1 − 2
= −4
= 2𝑖 2
‫إذن‬:𝑧′
=
2 + 2𝑖
2𝑚
=
1 + 𝑖
𝑚
𝑧′′ =
2 − 2𝑖
2𝑚
=
1 − 𝑖
𝑚
‫و‬
‫كذلك‬ ‫لدٌنا‬ ‫و‬:1 + 𝑖 = 2
2
2
+ 𝑖
2
2
= 2 cos
𝜋
4
+ 𝑖 sin
𝜋
4
= 2𝑒
𝑖𝜋
4
= 2 cos
𝜋
4
− 𝑖 sin
𝜋
4
= 2 cos
−𝜋
4
− 𝑖 sin
−𝜋
4
= 2𝑒−
𝑖𝜋
4
‫و‬1 − 𝑖 = 2
2
2
− 𝑖
2
2
𝑂𝐴 = 𝑧𝐴 − 𝑧 𝑂 = 𝑧′ = 𝑒
𝑖
𝜋
4
−𝛼
= 1
𝐴𝐶 = 𝑧 𝐶 − 𝑧𝐴 = 𝑧′′ = 𝑒
−𝑖
𝜋
4
+𝛼
= 1
𝐶𝐵 = 𝑧 𝐵 − 𝑧 𝐶 = −𝑧′ = −𝑒
𝑖
𝜋
4
−𝛼
= 1
𝑂𝐵 = 𝑧 𝐵 − 𝑧 𝑂 = 𝑧′′ = 𝑒
−𝑖
𝜋
4
+𝛼
= 1
3
2
1
2
𝐸 ∶ 𝑚𝑧2
− 2𝑧 + 𝑧 = 0 ∶ ‫التالٌة‬ E ‫المعادلة‬ ‫حال‬ 𝑧′′
‫و‬ 𝑧′
‫لٌكن‬

8. ً‫الفاتح‬ ‫الدٌن‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2013‫الصفحة‬:𝟓 ‫العادٌــــة‬ ‫الدورة‬ ‫امتحان‬ ‫أجوبة‬2003
‫الخامس‬ ‫التمرٌن‬:
ً‫الرباع‬ ‫أن‬ ‫إذن‬ ‫نستنتج‬𝑂𝐴𝐵𝐶‫متقاٌسة‬ ‫أضالعه‬ ‫جمٌع‬ ‫ألن‬ ‫معٌن‬.
‫قائمة‬ ‫زواٌاه‬ ‫إحدى‬ ‫أن‬ ‫نبٌن‬ ‫أن‬ ً‫ٌكف‬ ‫مربعا‬ ‫ٌصبح‬ ً‫لك‬ ‫و‬.
‫الزاوٌة‬ ‫أن‬ ‫بساطة‬ ‫بكل‬ ً‫ٌعن‬ ‫هذا‬ ‫و‬𝐶‫قائمة‬ ‫زاوٌة‬
ً‫بالتال‬ ‫و‬𝑂𝐴𝐶𝐵‫قائمة‬ ‫زواٌاه‬ ‫إحدى‬ ‫معٌن‬ ‫ألنه‬ ‫مربع‬.
‫لدٌنا‬:𝒫 ∶ 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 3 = 0
‫إذن‬𝑛 1;1; −1‫المستوى‬ ‫على‬ ‫منظمٌة‬ ‫متجهة‬𝒫
‫لتكن‬𝑀 𝑥; 𝑦; 𝑧‫المستقٌم‬ ‫من‬ ‫نقطة‬𝒟.
‫المتجهتان‬ ‫فإن‬𝑛‫و‬𝐴𝑀‫مستقٌمٌتان‬.
ً‫حقٌق‬ ‫عدد‬ ‫ٌوجد‬ ‫إذن‬𝑡‫بحٌث‬:𝐴𝑀 = 𝑡𝑛.
ً‫ٌعن‬:
𝑥 − 2
𝑦 − 0
𝑧 − 2
= 𝑡
1
1
−1
ً‫ٌعن‬:
𝑥 − 2 = 𝑡
𝑦 = 𝑡
𝑧 − 2 = −𝑡
‫للمستقٌم‬ ‫بارامتري‬ ‫تمثٌل‬ ‫عن‬ ‫عبارة‬ ‫االخٌرة‬ ‫الكتابة‬ ‫هذه‬ ‫و‬𝒟.
‫لتكن‬𝐵 𝑥 𝐵; 𝑥 𝐵; 𝑥 𝐵‫المستوى‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬𝒫‫المستقٌم‬ ‫و‬𝒟
.
‫نعوض‬𝑥 𝐵‫و‬𝑦 𝐵‫و‬𝑧 𝐵‫للحصول‬ ‫ذلك‬ ‫و‬ ‫النظمة‬ ‫من‬ ‫معادلة‬ ‫آخر‬ ً‫ف‬
‫البارامتر‬ ‫فقط‬ ‫تضم‬ ‫معادلة‬ ‫على‬𝑡.
‫لدٌنا‬:𝑥 𝐵 + 𝑦 𝐵 − 𝑧 𝐵 − 3 = 0
‫إذن‬:𝑡 + 2 + 𝑡 − −𝑡 + 2 − 3 = 0
ً‫ٌعن‬:3𝑡 = 3‫أي‬:𝑡 = 1
‫نعوض‬ ‫و‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬ ‫نرجع‬𝑡 = 1‫تعابٌر‬ ً‫ف‬𝑥 𝐵‫و‬𝑦 𝐵‫و‬𝑧 𝐵‫على‬ ‫فنحصل‬:
H
B
A
2
𝒫
‫لتكن‬𝐻‫مركزها‬ ً‫الت‬ ‫الدائرة‬ ‫من‬ ‫نقطة‬𝐵‫شعاعها‬ ‫و‬2.
‫الفلكة‬ ‫شعاع‬𝒮‫المسافة‬ ‫هو‬𝐴𝐻
‫السؤال‬ ‫نتٌجة‬ ‫حسب‬ ‫لدٌنا‬1:𝒟‫من‬ ‫مار‬ ‫مستقٌم‬𝐴‫على‬ ‫عمودي‬ ‫و‬𝒫.
‫المثلث‬ ‫إذن‬𝐵𝐴𝐻‫النقطة‬ ً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قائم‬𝐵.
‫المثلث‬ ً‫ف‬ ‫فٌتاغورس‬ ‫مبرهنة‬ ‫استعمال‬ ‫بإمكانك‬ ‫إذن‬𝐵𝐴𝐻ً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫القائم‬𝐵
.𝐴𝐻2
= 𝐻𝐵2
+ 𝐴𝐵2
= 22
+ 3
2
= 7
‫الفلكة‬𝒮‫مركزها‬𝐴 2; 0; 2‫شعاعها‬ ‫و‬7
ً‫التال‬ ‫الشكل‬ ‫على‬ ‫تكتب‬ ‫الدٌكارتٌة‬ ‫معادلتها‬ ‫إذن‬:
𝑥 − 2 2
+ y − 0 2
+ z − 2 2
= 7
2
𝑥2
− 2𝑥 + 4 + 𝑦2
+ 𝑧2
− 2𝑧 + 4 = 7
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
− 2𝑥 − 2𝑧 + 1 = 0
‫للفلكة‬ ‫دٌكارتٌة‬ ‫معادلة‬ ‫عن‬ ‫عبارة‬ ‫االخٌرة‬ ‫الكتابة‬ ‫هذه‬ ‫و‬𝒮.
‫لدٌنا‬ ‫البداٌة‬ ً‫ف‬:𝑓 0 = 4 × 0 × 0 − 3 × 02
= 0
‫إذن‬𝑓‫الصفر‬ ً‫ف‬ ‫الٌمٌن‬ ‫على‬ ‫متصلة‬ ‫دالة‬.
‫كذلك‬ ‫لدٌنا‬ ‫و‬:lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0+
4𝑥 𝑥 − 3𝑥2
= 0 = 𝑓(0)
‫كذلك‬ ‫لدٌنا‬ ‫و‬:lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0+
ln 1 − 𝑥3
= 0 = 𝑓(0)
‫إذن‬𝑓‫الصفر‬ ً‫ف‬ ‫الٌسار‬ ‫على‬ ‫متصلة‬ ‫دالة‬.
ً‫بالتال‬ ‫و‬𝑓‫الٌسار‬ ‫و‬ ‫الٌمٌن‬ ‫على‬ ‫متصلة‬ ‫ألنها‬ ‫الصفر‬ ً‫ف‬ ‫متصلة‬ ‫دالة‬.
𝒮
‫المستقٌم‬ ‫أن‬ ‫بما‬‫النقطة‬ ‫من‬ ‫مار‬𝐴‫المستوى‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫و‬. 𝒟𝒫
‫لدٌنا‬:
‫إذن‬:
𝑧′
+ 𝑧′′
− 𝑧′′
𝑧′ + 𝑧′′ − 𝑧′
=
𝑧′
𝑧′′
= 𝑒
𝑖𝜋
2
𝑧 𝐶 − 𝑧 𝐵
𝑧 𝐶 − 𝑧𝐴
= 𝑒
𝑖𝜋
2
ً‫ٌعن‬:
𝑥 = 𝑡 + 2
𝑦 = 𝑡
𝑧 = −𝑡 + 2
ً‫حقٌق‬ ‫عدد‬ ‫ٌوجد‬ ‫إذن‬t‫بحٌث‬:
𝑥 𝐵 = 𝑡 + 2
𝑦 𝐵 = 𝑡 + 2
𝑧 𝐵 = 𝑡 + 2
𝑥 𝐵 + 𝑦 𝐵 − 𝑧 𝐵 − 3 = 0
𝑥 𝐵 = 1 + 2 = 3
𝑦 𝐵 = 1
𝑧 𝐵 = −1 + 2 = 1
ً‫بالتال‬ ‫و‬:𝐵
3
1
1
‫المستوى‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ً‫ه‬𝒫‫المستقٌم‬ ‫و‬𝒟.
=
1 × 2 + 1 × 0 − 1 × 2 − 3
12 + 12 + −1 2
=
3
3
= 3
‫المسافة‬ ‫و‬𝐴𝐵ً‫ه‬:𝐴𝐵 = 𝑑 𝐴; 𝒫
‫إذن‬:𝐴𝐻 = 7
lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = 𝑓(0)
1‫أ‬
‫ب‬ 3 2
1
‫أ‬
‫الرابع‬ ‫التمرٌن‬:
3
‫منه‬ ‫و‬:𝐴𝐶; 𝐵𝐶 ≡
𝜋
2
𝜋

9. ً‫الفاتح‬ ‫الدٌن‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2013‫الصفحة‬:𝟔 ‫العادٌــــة‬ ‫الدورة‬ ‫امتحان‬ ‫أجوبة‬2003
‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫على‬ ‫نبرهن‬ ً‫لك‬𝑓‫النقطة‬ ً‫ف‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬𝒪‫نبرهن‬ ‫أن‬ ً‫ٌكف‬
‫الصفر‬ ‫ٌسار‬ ‫على‬ ‫و‬ ‫ٌمٌن‬ ‫على‬ ‫المشتق‬ ‫العدد‬ ‫نفس‬ ‫تمتلك‬ ‫أنها‬ ‫على‬.
‫الصفر‬ ‫ٌمٌن‬ ‫على‬ ‫االشتقاق‬ ‫أوال‬ ‫لندرس‬𝒙 > 0.
‫لدٌنا‬𝑥 > 0‫إذن‬𝑓 𝑥 = 4𝑥 𝑥 − 3𝑥2
.
ً‫ٌل‬ ‫كما‬ ‫الٌمٌن‬ ‫على‬ ‫النهاٌة‬ ‫نحسب‬ ‫منه‬ ‫و‬:
‫الصفر‬ ‫ٌسار‬ ‫على‬ ‫االشتقاق‬ ‫ثانٌا‬ ‫لندرس‬𝒙 < 0.
‫لدٌنا‬𝑥 < 0‫إذن‬𝑓 𝑥 = ln 1 − 𝑥3
.
ً‫ٌل‬ ‫كما‬ ‫الٌسار‬ ‫على‬ ‫النهاٌة‬ ‫نحسب‬ ‫منه‬ ‫و‬:
‫نضع‬𝑡 = −𝑥 3
‫إذن‬𝑥 = −𝑡
1
3
‫كان‬ ‫إذا‬𝑥 < 0‫فإن‬−𝑥 > 0‫أن‬ ً‫ٌعن‬−𝑥 3
> 0.
‫إذن‬:𝑡 > 0
‫المتغٌر‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫أنه‬ ً‫ٌعن‬ ‫هذا‬ ‫و‬𝑥‫الٌسار‬ ‫جهة‬ ‫من‬ ‫الصفر‬ ‫إلى‬ ‫ٌؤول‬
‫المتغٌر‬ ‫فإن‬𝑡‫الٌمٌن‬ ‫جهة‬ ‫من‬ ‫الصفر‬ ‫إلى‬ ‫ٌؤول‬.
‫تصبح‬ ‫النهاٌة‬ ‫إذن‬:
lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥 − 𝑓(0)
𝑥 − 0
= lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→0+
4𝑥 𝑥 − 3𝑥2
𝑥
= lim
𝑥→0+
4 𝑥 − 3𝑥
= 4 0 − 3 × 0
= 0 = 𝑓𝑑
′
0
lim
𝑥→0−
𝑓 𝑥 − 𝑓(0)
𝑥 − 0
= lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→0−
ln 1 − 𝑥3
𝑥
‫إذن‬𝑓‫على‬ ‫حصلنا‬ ‫و‬ ‫الصفر‬ ً‫ف‬ ‫الٌمٌن‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬:𝑓𝑑
′
0 = 0.
1
‫إذن‬𝑓‫على‬ ‫حصلنا‬ ‫و‬ ‫الصفر‬ ً‫ف‬ ‫الٌسار‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬:𝑓𝑔
′
0 = 02
‫النتٌجتٌن‬ ‫من‬1‫و‬2‫أن‬ ‫نستنتج‬:𝑓𝑑
′
0 = 𝑓𝑔
′
0.
‫الدالة‬ ‫إذن‬𝑓‫النقطة‬ ً‫ف‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬𝒪‫هو‬ ‫المشتق‬ ‫العدد‬ ‫و‬:𝑓′
0 = 0
.
‫للمنحنى‬ ‫مماس‬ ‫األفاصٌل‬ ‫محور‬ ‫بأن‬ ‫نقول‬ ‫هندسٌا‬ ‫النتٌجة‬ ‫هذه‬ ‫لتفسٌر‬ ‫و‬
‫أفصولها‬ ً‫الت‬ ‫النقطة‬ ً‫ف‬0‫ألن‬𝑓 0 = 0‫و‬𝑓′ 0 = 0.
𝟏
𝟏𝟐C
‫الدالة‬ ‫اشتقاق‬ ‫ندرس‬𝑓‫حالتٌن‬ ‫وفق‬:
‫االولى‬ ‫الحالة‬:‫كان‬ ‫إذا‬𝒙 < 0‫إذن‬:𝑓 𝑥 = ln 1 − 𝑥3
ً‫ٌل‬ ‫بما‬ ‫التذكٌر‬ ‫وجب‬ ‫البداٌة‬ ً‫ف‬:‫كانت‬ ‫إذا‬𝑔‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫و‬ ‫معرفة‬ ‫دالة‬
‫مجال‬ ‫على‬𝐼‫كانت‬ ‫و‬𝑓‫مجال‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫و‬ ‫معرفة‬ ‫دالة‬𝐽.‫تكون‬ ‫إذن‬
‫الدالة‬𝑓 ∘ 𝑔‫المجال‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬𝐼‫المجال‬ ‫عناصر‬ ‫صور‬ ‫جل‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬
𝐼‫بالدالة‬𝑔‫بالدالة‬ ‫صورا‬ ‫تقبل‬𝑓.‫كان‬ ‫إذا‬ ، ‫أسهل‬ ‫بتعبٌر‬ ‫أو‬:𝑔(𝐼) ⊆ 𝐽.
‫الدالة‬ ‫لدٌنا‬𝑔 ∶ 𝑥 → 1 − 𝑥3
‫المجال‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫و‬ ‫معرفة‬
−∞; 0‫حدودٌة‬ ‫النها‬.
‫أٌضا‬ ‫لدٌنا‬ ‫و‬𝑕 ∶ 𝑥 → ln 𝑥‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫و‬ ‫معرفة‬ ‫دالة‬0; +∞.
‫المجال‬ ‫صورة‬ ‫أن‬ ‫على‬ ‫لنبرهن‬−∞; 0‫بالدالة‬𝑔‫ضمن‬ ‫توجد‬0; +∞.
‫أن‬ ‫على‬ ‫نبرهن‬ ‫أن‬ ‫نرٌد‬ ً‫ٌعن‬:𝑔 −∞; 0 ⊆ 0; +∞.
‫عنصرا‬ ‫نختار‬ ‫ذلك‬ ‫أجل‬ ‫من‬𝑥‫المجال‬ ‫من‬−∞; 0‫صورته‬ ‫أن‬ ‫نبٌن‬ ‫و‬
‫بالدالة‬𝑔‫المجال‬ ‫إلى‬ ً‫تنتم‬0; +∞.
‫لٌكن‬𝑥‫المجال‬ ‫من‬ ‫عنصرا‬−∞; 0.
‫إذن‬:𝑥 < 0‫منه‬ ‫و‬:𝑥3
< 0.
‫أي‬:−𝑥3
> 0ً‫ٌعن‬:1 − 𝑥3
> 1‫أي‬:𝑔 𝑥 > 1 > 0.
‫منه‬ ‫و‬:𝑔 𝑥 > 0‫إذن‬:𝑔 𝑥 𝜖 0; +∞.
ً‫بالتال‬ ‫و‬:𝑔 −∞; 0 ⊆ 0; +∞.
‫أن‬ ‫نقول‬ ‫أن‬ ‫اآلن‬ ‫نستطٌع‬𝑥 → ln 1 − 𝑥3
‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬−∞; 0.
‫على‬ ‫سٌؤثر‬ ‫ذلك‬ ‫أن‬ ‫أعتقد‬ ‫فال‬ ‫االمتحان‬ ‫أثناء‬ ‫هذا‬ ‫تكتب‬ ‫لم‬ ‫أنك‬ ‫افترضنا‬ ‫إذا‬ ‫و‬
‫السؤال‬ ‫هذا‬ ‫نقطة‬.‫المشتقة‬ ‫الدالة‬ ‫اٌجاد‬ ‫هو‬ ‫المؤكد‬ ‫و‬ ‫المهم‬ ‫الشًء‬ ‫و‬:
‫لدٌنا‬:𝑓 𝑥 = 𝑕 ∘ 𝑔(𝑥)‫بحٌث‬:
𝑕 𝑥 = ln 𝑥
𝑔 𝑥 = 1 − 𝑥3.
ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫دالتٌن‬ ‫ب‬َّ‫ك‬َ‫ر‬ُ‫م‬ ‫مشتقة‬ ‫مبرهنة‬ ‫حسب‬ ‫إذن‬:
‫أن‬ ‫بما‬ ‫و‬𝑥 < 0‫فإن‬1 − 𝑥3
> 0‫و‬−3𝑥2
< 0.
‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫نستنتج‬ ‫هذا‬ ‫من‬ ‫و‬𝑓‫المجال‬ ‫على‬ ‫قطعا‬ ‫تناقصٌة‬−∞; 0.
‫الثانٌة‬ ‫الحالة‬:‫كان‬ ‫إذا‬𝒙 ≥ 𝟎‫إذن‬:𝑓 𝑥 = 4𝑥 𝑥 − 3𝑥2
‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫نستنتج‬ ‫منه‬ ‫و‬𝑓‫المجال‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫و‬ ‫معرفة‬
0; +∞‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫و‬ ‫متصلة‬ ‫دوال‬ ‫من‬ ‫منسجمة‬ ‫تشكٌلة‬ ‫النها‬
‫المجال‬ ‫على‬0; +∞.
‫لٌكن‬𝑥‫المجال‬ ‫من‬ ‫عنصرا‬0; +∞.
𝑓′
𝑥 = 𝑔′
𝑥 ∙ 𝑕′
𝑔 𝑥 = −3𝑥2
1
1 − 𝑥3
=
−3𝑥2
1 − 𝑥3
‫إذن‬‫أي‬:𝑓′
𝑥 < 0
−3𝑥2
1 − 𝑥3
< 0
𝑓′
𝑥 = 4𝑥 ∙ 𝑥
1
2 − 3𝑥2
′
= 4𝑥
3
2 − 3𝑥2
′
= 4
3
2
𝑥
1
2 − 3 2𝑥
= 6𝑥
1
2 − 6𝑥
= 6𝑥
1
2 1 − 𝑥
1
2
= 6 𝑥 1 − 𝑥
1‫ب‬2
lim
𝑥→0−
ln 1 − 𝑥3
𝑥
= lim
𝑥→0−
ln 1 + −𝑥 3
𝑥
= lim
𝑡→0+
ln 1 + 𝑡
−𝑡
1
3
= lim
𝑡→0+
ln 1 + 𝑡
−𝑡
−2
3 × 𝑡
= lim
𝑡→0+
−𝑡
2
3
ln 1 + 𝑡
𝑡
= lim
𝑡→0+
−𝑒
2
3
ln 𝑡 ln 1 + 𝑡
𝑡
= −𝑒
2
3
ln 0+
1 = −𝑒
2
3
−∞
= −𝑒−∞
= 0 = 𝑓𝑔
′
0
‫المتغٌر‬ ‫تغٌٌر‬ ‫تقنٌة‬ ‫باستعمال‬ ‫التالٌة‬ ‫النهاٌة‬ ‫نحسب‬lim
𝑥→0−
ln 1 − 𝑥3
𝑥

10. ً‫الفاتح‬ ‫الدٌن‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2013‫الصفحة‬:𝟕 ‫العادٌــــة‬ ‫الدورة‬ ‫امتحان‬ ‫أجوبة‬2003
‫الدالة‬ ‫تغٌرات‬ ‫جدول‬ ً‫التال‬ ‫الجدول‬ ‫ٌبٌن‬ ‫و‬𝑓‫المجال‬ ‫على‬0; +∞
.
10
𝑓′
(𝑥)
+𝑥
1
−
+∞𝒙
𝑓
1 − 𝑥
0
−0+
+
+
0 −∞
0
0
‫ٌؤول‬ ‫عندما‬𝑥‫إلى‬−∞‫الدالة‬ ‫تعبٌر‬ ‫ٌكون‬𝑓‫هو‬𝑓 𝑥 = ln 1 − 𝑥3
.‫الدالة‬ ‫نهاٌة‬ ‫نحسب‬ ‫إذن‬𝑓ً‫ٌل‬ ‫كما‬ ‫عند‬:
‫ٌؤول‬ ‫عندما‬ ‫و‬𝑥‫إلى‬+∞.
‫الدالة‬ ‫تعبٌر‬ ‫ٌكون‬𝑓‫هو‬:𝑓 𝑥 = 4𝑥 𝑥 − 3𝑥2
.
‫الدالة‬ ‫نهاٌة‬ ‫نحسب‬ ‫إذن‬𝑓ً‫ٌل‬ ‫كما‬ ‫عند‬:
‫لٌكن‬𝑥‫إذن‬ ‫قطعا‬ ‫سالبا‬ ‫حقٌقٌا‬ ‫عددا‬:
‫التالٌتٌن‬ ‫الهامتٌن‬ ‫بالنهاٌتٌن‬ ُ‫ر‬ِّ‫ك‬َ‫ذ‬ُ‫ن‬ ‫البداٌة‬ ً‫ف‬:
‫نضع‬:𝑡 = −𝑥 −3
‫إذن‬𝑥 = −𝑡
−1
3
.‫كان‬ ‫إذا‬ ‫أنه‬ ‫نالحظ‬𝑥 → −∞‫فإن‬𝑡 → 0+
.
‫تصبح‬ ‫النهاٌة‬ ‫إذن‬:
‫ب‬ ‫السؤال‬ ‫نتٌجة‬ ‫حسب‬ ‫لدٌنا‬:
𝑓(𝑥)
𝑥
= 3
ln −𝑥
𝑥
+
ln 1 − 𝑥−3
𝑥
‫إذن‬:lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= 3 lim
𝑥→−∞
ln −𝑥
𝑥
+ lim
𝑥→−∞
ln 1 − 𝑥−3
𝑥
‫النهاٌة‬ ‫لنحسب‬:lim
𝑥→−∞
ln 1 − 𝑥−3
𝑥
= lim
𝑥→−∞
ln 1 + −𝑥 −3
𝑥
‫التالٌة‬ ‫النهاٌة‬ ‫لنحسب‬:lim
𝑥→−∞
ln −𝑥
𝑥
lim
𝑥→−∞
ln −𝑥
𝑥
= − lim
𝑥→−∞
ln −𝑥
−𝑥
= − lim
𝑡→+∞
𝑡=−𝑥
ln 𝑡
𝑡
= 0
‫التالٌة‬ ‫النهاٌة‬ ‫نظٌف‬:
ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫على‬ ‫إذن‬ ‫حصلنا‬:lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= 0
‫سبق‬ ‫ما‬ ‫حسب‬ ‫لدٌنا‬ ‫و‬:lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = +∞
‫المنحنى‬ ‫أن‬ ‫نستنتج‬ ‫النهاٌتٌن‬ ‫هاتٌن‬ ‫من‬ ‫إذن‬ً‫ف‬ ‫شلجمٌا‬ ‫فرعا‬ ‫ٌقبل‬
‫االفاصٌل‬ ‫محور‬ ‫اتجاه‬.
𝟏
𝟏𝟐C
‫لدٌنا‬ ‫ثانٌة‬ ‫جهة‬ ‫من‬:lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = −∞
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−∞
ln 1 − 𝑥3
= ln 1 − −∞ 3
= ln 1 − −∞
= ln 1 + ∞
= +∞
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→+∞
4𝑥 𝑥 − 3𝑥2
= lim
𝑥→+∞
4𝑥 ∙ 𝑥
1
2 − 3𝑥2
= lim
𝑥→+∞
4𝑥
3
2 − 3𝑥2
= lim
𝑥→+∞
𝑥2
4𝑥
−1
2 − 3
= +∞ 4 × 0 − 3
= +∞ −3
= −∞
𝑓 𝑥 = ln 1 − 𝑥3
= ln 1 + −𝑥 3
= ln −𝑥 3
1 +
1
−𝑥 3
= ln −𝑥 3
+ ln 1 +
1
−𝑥 3
= 3ln −𝑥 + ln 1 −
1
𝑥3
= 3ln −𝑥 + ln 1 − 𝑥−3
‫إذن‬:
𝑓(𝑥)
𝑥
= 3
ln −𝑥
𝑥
+
ln 1 − 𝑥−3
𝑥
lim
𝑥→−∞
ln 1 + −𝑥 −3
𝑥
= lim
𝑥→−∞
ln 1 + 𝑡
−𝑡
−1
3
= lim
𝑡→0+
ln 1 + 𝑡
−𝑡 ∙ 𝑡
−4
3
= lim
𝑡→0+
−𝑡
4
3
ln 1 + 𝑡
𝑡
= lim
𝑡→0+
−𝑒
4
3
ln 𝑡
ln 1 + 𝑡
𝑡
= lim
𝑡→0+
−𝑒
4
3
ln 𝑡
ln 1 + 𝑡
𝑡
1
= −𝑒
4
3
ln 0+
× 1
= −𝑒
4
3
−∞
× 1
= −𝑒 −∞
× 1
= −0 × 1 = 0
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→+∞
4𝑥 𝑥 − 3𝑥2
𝑥
= lim
𝑥→+∞
4 𝑥 − 3𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑥
4
𝑥
− 3 = +∞
4
+∞
− 3 = +∞ 0 − 3
= +∞ −3
= −∞
lim
𝑡→+∞
ln 𝑡
𝑡
= 0 ‫و‬ lim
𝑡→0
ln 1 + 𝑡
𝑡
= 1
3‫ب‬
3‫أ‬
3‫ج‬
0+

11. ً‫الفاتح‬ ‫الدٌن‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2013‫الصفحة‬:𝟖 ‫العادٌــــة‬ ‫الدورة‬ ‫امتحان‬ ‫أجوبة‬2003
‫التالٌتٌن‬ ‫النهاٌتٌن‬ ‫على‬ ‫إذن‬ ‫حصلنا‬:
‫أن‬ ‫على‬ ‫لنبرهن‬:∀ 𝑥 𝜖
4
9
; 1 ; 𝑓(𝑥) ≥ 𝑥.
‫االراتٌب‬ ‫محور‬ ‫اتجاه‬ ً‫ف‬ ‫شلجمٌا‬ ‫فرعا‬ ‫ٌقبل‬ ‫المنحنى‬ ‫أن‬ ً‫ٌعن‬ ‫هذا‬ ‫و‬.
𝟏
𝟏𝟐C
‫للدالة‬ ً‫المبٌان‬ ‫التمثٌل‬𝑓.
𝟏
𝟏𝟐C
‫الدالة‬ ‫لدٌنا‬𝑕‫الدالة‬ ‫قصور‬ ً‫ه‬𝑓‫المجال‬ ‫على‬−∞; 0.
ً‫ٌعن‬:∀ 𝑥 𝜖 −∞; 0 ; 𝑕 𝑥 = ln 1 − 𝑥2
‫السؤال‬ ‫نتٌجة‬ ‫حسب‬ ‫لدٌنا‬ ‫و‬2:𝑓‫على‬ ‫قطعا‬ ‫تناقصٌة‬ ‫و‬ ‫متصلة‬−∞; 0.
‫إذن‬𝑕‫على‬ ‫قطعا‬ ‫تناقصٌة‬ ‫و‬ ‫متصلة‬ ‫دالة‬−∞; 0.
‫أن‬ ً‫ٌعن‬𝑕‫المجال‬ ‫من‬ ‫تقابل‬−∞; 0‫صورته‬ ‫نحو‬𝐽 = 𝑕 −∞; 0
‫لدٌنا‬ ‫و‬:𝐽 = 𝑕 −∞; 0 = 𝑕 0 ; lim
𝑥→−∞
𝑕(𝑥) = 0; +∞
‫لٌكن‬𝑥‫المجال‬ ‫من‬ ‫عنصرا‬0; +∞.
ً‫ٌعن‬𝑒 𝑥
= 1 − 𝑦3
ً‫ٌعن‬1 − 𝑒 𝑥
= 𝑦3
ً‫ٌعن‬1 − 𝑒 𝑥
1
3 = 𝑦
‫العكسٌة‬ ‫الدالة‬ ً‫بالتال‬ ‫و‬𝑕−1
ً‫ٌل‬ ‫بما‬ ‫معرفة‬:
‫أن‬ ‫على‬ ‫بالترجع‬ ‫لنبرهن‬:∀𝑛𝜖ℕ ;
4
9
≤ 𝑢 𝑛 ≤ 1
‫أجل‬ ‫من‬𝑛 = 0‫لدٌنا‬𝑢0 =
4
9
.
‫إذن‬
4
9
≤
4
9
≤ 1ً‫ٌعن‬
4
9
≤ 𝑢0 ≤ 1.
‫أن‬ ‫اآلن‬ ‫نفترض‬:∀𝑛𝜖ℕ ;
4
9
≤ 𝑢 𝑛 ≤ 1
ً‫التال‬ ‫التأطٌر‬ ‫من‬ ‫ننطلق‬ ‫و‬:
4
9
≤ 𝑢 𝑛 ≤ 1
‫أن‬ ‫بما‬𝑓‫على‬ ‫تزاٌدٌة‬ ‫و‬ ‫متصلة‬0; 1‫فإن‬:𝑓
4
9
≤ 𝑓 𝑢 𝑛 ≤ 𝑓 1.
ً‫ٌعن‬:
16
27
≤ 4𝑢 𝑛 𝑢 𝑛 − 3𝑢 𝑛
2
≤ 1‫أي‬:
16
27
≤ 𝑢 𝑛+1 ≤ 1.
‫أن‬ ‫بما‬ ‫و‬:
4
9
<
16
27
‫فإن‬:
4
9
≤ 𝑢 𝑛+1 ≤ 1
𝑕−1
∶ 0; +∞ → −∞; 0
𝑥 → 1 − 𝑒 𝑥
1
3
ً‫بالتال‬ ‫و‬:∀𝑛𝜖ℕ ;
4
9
≤ 𝑢 𝑛 ≤ 1.
‫لٌكن‬𝑥‫المجال‬ ‫من‬ ‫عنصرا‬
4
9
; 1.
‫لدٌنا‬:𝑓 𝑥 − 𝑥 = 4𝑥 𝑥 − 3𝑥2
− 𝑥 = 𝑥 −3𝑥 + 4 𝑥 − 1
.‫نضع‬𝑥 = 𝑦2
‫إذن‬−3𝑥 + 4 𝑥 − 1 = −3𝑦2
+ 4𝑦 − 1
‫لٌكن‬∆‫الحدود‬ ‫ممٌزثالثٌة‬−3𝑦2
+ 4𝑦 − 1‫إذن‬:∆= 16 − 12 = 4.
‫على‬ ‫نحصل‬ ‫إذن‬:−3𝑦2
+ 4𝑦 − 1 = −3 𝑦 − 1 𝑦 −
1
3
ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫األول‬ ‫التعبٌر‬ ‫إلى‬ ‫بالعودة‬:
‫كذلك‬ ‫لدٌنا‬ ‫و‬
2
3
≤ 𝑥 ≤ 1‫منه‬ ‫و‬
−1
3
≤ 𝑥 − 1 ≤ 0
‫النتائج‬ ‫من‬1‫و‬2‫و‬3‫أن‬ ‫نستنتج‬:
‫النتٌجة‬ ‫باستعمال‬ ‫إذن‬∗∗ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫على‬ ‫نحصل‬:
‫السؤال‬ ‫نتٌجة‬ ‫حسب‬ ‫لدٌنا‬1-‫أ‬-:∀𝑛𝜖ℕ ;
4
9
≤ 𝑢 𝑛 ≤ 1
‫إذن‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢 𝑛 𝜖
4
9
; 1
‫النتٌجة‬ ‫حسب‬ ‫منه‬ ‫و‬∎:∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑓 𝑢 𝑛 ≥ 𝑢 𝑛
ً‫ٌعن‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 4𝑢 𝑛 𝑢 𝑛 − 3𝑢 𝑛
2
≥ 𝑢 𝑛
ً‫بالتال‬ ‫و‬:𝑢 𝑛 𝑛𝜖ℕ‫تزاٌدٌة‬ ‫متتالٌة‬.
‫المتتالٌة‬ ‫أن‬ ‫بما‬𝑢 𝑛 𝑛𝜖ℕ‫بالعدد‬ ‫مكبورة‬ ‫و‬ ‫تزاٌدٌة‬1(ً‫ٌعن‬𝑢 𝑛 ≤ 1)
‫متقاربة‬ ‫المتتالٌة‬ ‫هذه‬ ‫فإن‬.
‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫بما‬ ‫و‬𝑓‫المجال‬ ‫على‬ ‫قطعا‬ ‫تزاٌدٌة‬ ‫و‬ ‫متصلة‬
4
9
; 1
‫فإن‬ℓ‫المتتالٌة‬ ‫نهاٌة‬𝑢 𝑛 𝑛𝜖ℕ‫تحقق‬:𝑓 ℓ = ℓ‫و‬
4
9
≤ ℓ ≤ 1
.ً‫ٌعن‬:𝑓 ℓ − ℓ = 0‫و‬
4
9
≤ ℓ ≤ 1.
‫النتٌجة‬ ‫حسب‬ ‫لدٌنا‬ ‫و‬∗∗:𝑓 ℓ − ℓ = −3ℓ ℓ − 1 ℓ −
1
3
‫المعادلة‬ ‫إذن‬𝑓 ℓ − ℓ = 0‫تصبح‬−3ℓ ℓ − 1 ℓ −
1
3
= 0
.ً‫ٌعن‬:ℓ =
1
9
‫أو‬ℓ = 1‫أو‬ℓ = 0.
‫لدٌنا‬
4
9
≤ 𝑥 ≤ 1‫إذن‬‫سالب‬ ‫عدد‬ −3𝑥
∀ 𝑥 𝜖
4
9
; 1 ; 𝑓 𝑥 − 𝑥 ≥ 0
ً‫ٌعن‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢 𝑛+1 ≥ 𝑢 𝑛
𝑦2 =
−4 + 2
−6
=
1
3
‫و‬ 𝑦1 =
−4 − 2
−6
= 1
‫نضع‬‫إذن‬𝑥 = 𝑕(𝑦)ً‫ٌعن‬𝑥 = ln 1 − 𝑦3
. 𝑦 = 𝑕−1
𝑥
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= −∞ ‫و‬ lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = −∞
‫أن‬ ‫نعلم‬ ‫و‬:
4
9
≤ ℓ ≤ 1‫أن‬ ‫نستنتج‬ ‫إذن‬ℓ = 1.
ً‫بالتال‬ ‫و‬:𝑓 𝑥 − 𝑥 = −3𝑥 𝑥 − 1 𝑥 −
1
3
𝑥 −3𝑥 + 4 𝑥 − 1 = 𝑦2
−3𝑦2
+ 4𝑦 − 1
= −3𝑦2
𝑦 − 1 𝑦 −
1
3
= −3𝑥 𝑥 − 1 𝑥 −
1
3
‫كذلك‬ ‫لدٌنا‬ ‫و‬
1
3
≤ 𝑥 −
1
3
≤
2
3
‫منه‬ ‫و‬‫موجب‬ ‫عدد‬ 𝑥 −
1
3
−3𝑥 𝑥 − 1 𝑥 −
1
3
‫موجب‬ ‫عدد‬.
‫إذن‬:‫سالب‬ ‫عدد‬ 𝑥 − 1
ً‫بالتال‬ ‫و‬:∀ 𝑥 𝜖
4
9
; 1 ; 𝑓 𝑥 ≥ 𝑥
‫أ‬ 6‫ج‬ 6
5‫ب‬
5‫أ‬
4
6‫ب‬
3
1
2
∗∗
∎
‫جذرٌن‬ ‫على‬ ‫إذن‬ ‫نحصل‬ً‫ٌل‬ ‫بما‬ ‫معرفٌن‬ ‫المذكورة‬ ‫للحدودٌة‬: 𝑦2 ‫و‬ 𝑦1

12. ‫املٕحد‬ ‫الٕطين‬ ُ‫اإلوتحــــــا‬
‫البكالٕزٖـــــــــــــا‬ ٚ‫شّاد‬ ‫لٍٗن‬
ٛٗ‫االضتدزاك‬ ٚ‫الدٔز‬2003
‫املغربية‬‫اململكة‬
‫لي‬‫ا‬‫لع‬‫ا‬‫لتعليم‬‫ا‬ ‫و‬ ‫لوطنية‬‫ا‬ ‫لرتبية‬‫ا‬ ‫وزارة‬
‫لعلمي‬‫ا‬ ‫لبحث‬‫ا‬‫و‬ ‫األطر‬‫ين‬‫و‬‫تك‬‫و‬
‫نات‬‫ا‬‫االمتح‬‫و‬ ‫يم‬‫و‬‫للتق‬ ‫لوطين‬‫ا‬ ‫املركس‬
‫السٖــــــــــــــاضٗات‬ ٚ‫وــــاد‬
‫مبطالكّا‬ ٛٗ‫التجــــــــسٖب‬ ًٕ‫العم‬
‫مبطمكّٗا‬ ٛٗ‫التكٍٕلٕجــــ‬ ًٕ‫العم‬
‫االدمــاش‬ ٚ‫ود‬3h-‫املعاون‬7
ً‫الفاتح‬ ‫الدٌن‬ ‫بدر‬ ‫االستاذ‬ ‫اقتراح‬ ‫من‬ ‫األجوبة‬-http://www.professeurbadr.blogspot.com–‫رمضان‬2013-‫الصفحة‬:9
ٖٕ‫انًغز‬ ‫َؼزجش‬ ‫يجبشش‬ ‫يًُظى‬ ‫يزؼبيذ‬ ‫يؼهى‬ ٗ‫إن‬ ‫انًُغٕة‬ ‫انفضبء‬ ٙ‫ف‬𝒫‫انفهكخ‬ ٔ
𝒮ٍٛ‫انزبنٛز‬ ٍٛ‫انذٚكبسرٛز‬ ٍٛ‫ثبنًؼبدنز‬ ٙ‫انزٕان‬ ٗ‫ػه‬ ٍٛ‫انًؼشف‬:
1
‫األول‬ ‫التمريه‬:(2,5‫ن‬)
‫انفهكخ‬ ‫شؼبع‬ ٔ ‫يشكض‬ ‫حذد‬𝒮.
ٖٕ‫انًغز‬ ٌ‫أ‬ ٍٛ‫ث‬𝒫‫نهفهكخ‬ ‫يًبط‬𝒮.
ٖٕ‫انًغز‬ ‫رًبط‬ ‫َمطخ‬ ‫حذد‬𝒫‫انفهكخ‬ ٔ𝒮.
‫التمريه‬‫الثاوي‬:(2,5‫ن‬)
ٗ‫ػه‬ ‫كٛظ‬ ٕ٘‫ٚحز‬6‫األػذاد‬ ‫رحًم‬ ٔ ‫ثبنهًظ‬ ‫ثُٛٓب‬ ‫انزًٛٛض‬ ٍ‫ًٚك‬ ‫ال‬ ‫كشاد‬−2ٔ−1ٔ0ٔ1ٔ1ٔ2
‫التمريه‬‫الثالث‬:(3,0‫ن‬)
ٙ‫انزبن‬ ‫االخزجبس‬ ‫َؼزجش‬:'‫انكٛظ‬ ٍ‫ي‬ ‫كشاد‬ ‫صالس‬ ‫ٔاحذ‬ ٌ‫آ‬ ٙ‫ف‬ ٔ ‫ػشٕائٛب‬ ‫َغحت‬'.
ٍٛٛ‫انزبن‬ ٍٛ‫انحذص‬ ،‫االخزجبس‬ ‫ثٓزا‬ ‫انمٛبو‬ ‫ثؼذ‬ ،‫َؼزجش‬:
𝐴" :‫انؼذد‬ ‫رحًم‬ ‫األلم‬ ٗ‫ػه‬ ‫كشح‬ ‫رٕعذ‬ ،‫انًغحٕثخ‬ ‫انكشاد‬ ٍٛ‫ث‬ ٍ‫ي‬1."
𝑆" :‫يُؼذو‬ ‫انًغحٕثخ‬ ‫انكشاد‬ ٗ‫ػه‬ ‫انًكزٕثخ‬ ‫األػذاد‬ ‫يغًٕع‬."
‫انحذس‬ ‫احزًبل‬ ‫أحغت‬𝐴.
‫انحذس‬ ‫احزًبل‬ ٌ‫أ‬ ٍٛ‫ث‬𝑆٘ٔ‫ٚغب‬
1
5
.
‫يشاد‬ ‫أسثغ‬ ‫انغبثك‬ ‫االخزجبس‬ ‫َكشس‬(‫انكٛظ‬ ٗ‫إن‬ ‫انًغحٕثخ‬ ‫انكشاد‬ ‫يشح‬ ‫كم‬ ٙ‫ف‬ ‫َؼٛذ‬)
‫انحذس‬ ٗ‫ػه‬ ‫انحصٕل‬ ‫احزًبل‬ ْٕ ‫يب‬𝑆‫؟‬ ‫ثبنضجظ‬ ‫يشاد‬ ‫صالس‬
ٙ‫انزبن‬ ‫انزكبيم‬ ‫أحغت‬:𝐼 =
1
𝑥
ln 𝑥
𝑒
1
𝑒
𝑑𝑥
ٍٚ‫انؼذد‬ ‫أٔعذ‬𝑎ٔ𝑏ٌٕ‫ٚك‬ ‫ثحٛش‬:∀𝑡 ≠ −1 ;
2𝑡
1 + 𝑡
= 𝑎 +
𝑏
1 + 𝑡
ٙ‫انزبن‬ ‫انزكبيم‬ ‫أحغت‬:(‫ٔضغ‬ ‫ًٚكُك‬𝑡 = 2 + 𝑥) 𝐽 =
1
1 + 2 + 𝑥
7
2
𝑑𝑥
0,50ٌ
0,50ٌ
1,50ٌ
1,00ٌ
0,50ٌ
1,00ٌ
1,00ٌ
1,00ٌ
1,00ٌ
2
3
1
‫أ‬ 2
‫ب‬
1
‫أ‬
‫ب‬
2
2
1
1
𝒫 ∶ 𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 − 2 = 0
𝒮 ∶ 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
− 2𝑥 + 2𝑧 + 1 = 0

13. ‫االستدراكٌة‬ ‫الدورة‬ ‫أجوبة‬2003-http://www.professeurbadr.blogspot.com–‫رمضان‬2013-‫الصفحة‬:10
٘‫انغجش‬ ‫انشكم‬ ٗ‫ػه‬ ‫أكزت‬4 + 𝑖 2
. 0,50ٌ
‫ة‬
1‫أ‬
‫التمريه‬‫الرابع‬:(3,5‫ن‬)
ٙ‫ف‬ ‫حم‬ℂ‫انزبنٛخ‬ ‫انًؼبدنخ‬:𝑧2
+ 2 − 3𝑖 𝑧 − 5 1 + 𝑖 = 0
‫انُمظ‬ ٘‫انؼمذ‬ ٖٕ‫انًغز‬ ٙ‫ف‬ ‫َؼزجش‬𝐴ٔ𝐵ٔ𝐶ٙ‫انزٕان‬ ٗ‫ػه‬ ‫أنحبلٓب‬ ٙ‫انز‬:𝑎 = 1 + 2𝑖
ٔ𝑏 = −3 + 𝑖ٔ𝑐 = 6𝑖.
٘‫انؼمذ‬ ‫انؼذد‬ ٙ‫انًضهض‬ ‫انشكم‬ ٗ‫ػه‬ ‫أكزت‬:
𝑐−𝑎
𝑏−𝑎
‫انًضهش‬ ٌ‫أ‬ ‫اعزُزظ‬𝐴𝐵𝐶‫انضأٚخ‬ ‫لبئى‬ ٔ ٍٛ‫انغبل‬ ٘ٔ‫يزغب‬.
‫التمريه‬‫الخامس‬:(9,0‫ن‬)
‫انذانخ‬ ‫اشزمبق‬ ‫لبثهٛخ‬ ‫أدسط‬𝑓‫انصفش‬ ٙ‫ف‬ ًٍٛٛ‫ان‬ ٗ‫ػه‬.
‫انذانخ‬ ٌ‫أ‬ ٍٛ‫ث‬𝑓‫انًغبل‬ ٗ‫ػه‬ ‫رُبلصٛخ‬0 ; 1‫انًغبل‬ ٗ‫ػه‬ ‫رضاٚذٚخ‬ ٔ1 ; +∞.
ٌ‫أ‬ ‫ثبنزشعغ‬ ٍٛ‫ث‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 1 ≤ 𝑢 𝑛 ≤ 2.
‫انًززبنٛخ‬ ٌ‫أ‬ ٍٛ‫ث‬𝑢 𝑛 𝑛𝜖ℕ‫رُبلصٛخ‬.
‫انًززبنٛخ‬ ٌ‫أ‬ ‫اعزُزظ‬𝑢 𝑛 𝑛𝜖ℕ‫َٓبٚزٓب‬ ‫أحغت‬ ‫صى‬ ‫يزمبسثخ‬.
‫يًُظى‬ ‫يزؼبيذ‬ ‫يؼهى‬ ٙ‫ف‬ ‫نهذانخ‬ ‫انًًضم‬ ُٗ‫انًُح‬ ٍ‫نٛك‬ ٔ.
ُٗ‫نهًُح‬ ٙ‫انالَٓبئ‬ ‫انفشع‬ ‫أدسط‬.
‫انذانخ‬ ‫رغٛشاد‬ ‫أدسط‬𝑔
ُٗ‫انًُح‬ ‫أَشئ‬.
ٍ‫نزك‬𝑕‫انذانخ‬ ‫لصٕس‬𝑔‫انًغبل‬ ٗ‫ػه‬1 ; +∞.
ٌ‫أ‬ ٍٛ‫ث‬𝑕‫انًغبل‬ ٍ‫ي‬ ‫رمبثم‬1 ; +∞‫يغبل‬ ٕ‫َح‬𝐽ِ‫رحذٚذ‬ ‫ٚغت‬.
‫حذد‬𝑕−1
𝑥‫نكم‬𝑥‫انًغبل‬ ٍ‫ي‬𝐽.
ٌ‫أ‬ ٍٛ‫ث‬:lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = +∞
‫أحغت‬:lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥)
‫انؼذدٚخ‬ ‫انًززبنٛخ‬ ‫َؼزجش‬𝑢 𝑛 𝑛𝜖ℕٙ‫ٚه‬ ‫ثًب‬ ‫انًؼشفخ‬:𝑢 𝑛+1 = 𝑓 𝑢 𝑛 ; ∀𝑛𝜖ℕ
𝑢0 = 2
‫انؼذدٚخ‬ ‫انذانخ‬ ‫َؼزجش‬𝑓‫انًغبل‬ ٗ‫ػه‬ ‫انًؼشفخ‬0 ; +∞ٙ‫ٚه‬ ‫ثًب‬:𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 𝑥 + 2
‫انؼذدٚخ‬ ‫انذانخ‬ ‫َؼزجش‬𝑔‫انًغبل‬ ٗ‫ػه‬ ‫انًؼشفخ‬0 ; +∞ٙ‫ٚه‬ ‫ثًب‬:𝑔 𝑥 = ln 𝑥 − 2 𝑥 + 2
1,00ٌ
1,00ٌ
1,00ٌ
0,50ٌ
0,50ٌ
1,00ٌ
1,00ٌ
0,50ٌ
1,00ٌ
0,50ٌ
0,50ٌ
1,00ٌ
1,00ٌ
0,50ٌ
1,00ٌ
‫أ‬
,
ٌ
2
‫ب‬
I
1
2
3
II
1
2
𝟑
III
1‫أ‬
‫ب‬
2
3
4
‫أ‬
‫ة‬
𝟏𝟏
𝟎𝟏𝟐C
𝟏𝟏
𝟎𝟏𝟐C
𝟏𝟏
𝟎𝟏𝟐C
1
2
2
I
I
I
II
II
II
III
III
III
III
III
III
III
1
4
4

14. ً‫الفاتح‬ ‫الدٌن‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2013‫الصفحة‬:𝟏𝟏 ‫االستدراكٌة‬ ‫الدورة‬ ‫امتحان‬ ‫أجوبة‬2003
‫مركزها‬ ً‫الت‬ ‫للفلكة‬ ‫الدٌكارتٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫أن‬ ‫نعلم‬Ω 𝑎, 𝑏, 𝑐‫شعاعها‬ ‫و‬𝑟‫تكتب‬
‫شكل‬ ‫على‬ ‫عامة‬ ‫بصفة‬:𝑥 − 𝑎 2
+ 𝑦 − 𝑏 2
+ 𝑧 − 𝑐 2
= 𝑟2
‫تحدٌد‬ ‫إذن‬ ‫نحاول‬𝑎‫و‬𝑏‫و‬𝑐‫و‬𝑟‫للفلكة‬ ‫الدٌكارتٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫من‬ ‫انطالقا‬𝒮.
‫لدٌنا‬:𝑥2
− 2𝑥 + 𝑦2
+ 𝑧2
+ 2𝑧 + 1 = 0
‫إذن‬𝒮‫مركزها‬ ‫فلكة‬Ω 1,0, −1‫شعاعها‬ ‫و‬𝑟 = 1.
‫أن‬ ‫على‬ ‫نبرهن‬ ‫سوف‬:𝑑 Ω, 𝒫 = 𝑟.
‫لدٌنا‬:Ω 1,0, −1‫و‬𝒫 ∶ 1𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 − 2 = 0
‫المستوى‬ ‫إذن‬𝒫‫للفلكة‬ ‫مماس‬𝒮‫نقطة‬ ً‫ف‬𝐶 𝛼, 𝛽, 𝛾.
‫المستقٌم‬ ‫نعتبر‬Ω𝐶.‫لدٌنا‬𝒫‫للفلكة‬ ‫مماس‬𝒮‫النقطة‬ ً‫ف‬𝐶.
‫المستقٌم‬ ‫إذن‬Ω𝐶‫المستوى‬ ‫على‬ ‫عمودي‬𝒫.
‫لدٌنا‬:𝒫 ∶ 𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 − 2 = 0
‫إذن‬:𝑛 1, −2 , 2‫المستوى‬ ‫على‬ ‫منظمٌة‬ ‫متجهة‬𝒫.
‫إذن‬:‫المتجهتان‬Ω𝐶‫و‬𝑛‫مستقٌمٌتان‬.
ً‫حقٌق‬ ‫عدد‬ ‫ٌوجد‬ ‫إذن‬𝑡‫بحٌث‬:Ω𝐶 = 𝑡 ∙ 𝑛.
‫للمستقٌم‬ ‫بارامتري‬ ‫تمثٌل‬ ‫عن‬ ‫عبارة‬ ‫المؤطرة‬ ‫الكتابة‬ ‫و‬Ω𝐶.
‫أن‬ ‫بما‬𝐶 𝛼, 𝛽, 𝛾‫الفلكة‬ ‫تماس‬ ‫نقطة‬𝒮‫المستوى‬ ‫و‬𝒫.
‫فإن‬:𝐶𝜖 𝒫‫أي‬:𝛼 − 2𝛽 + 2𝛾 − 2 = 0
‫أي‬:𝑡 + 1 − 2 −2𝑡 + 2 2𝑡 − 1 − 2 = 0
ً‫ٌعن‬:9𝑡 = 3‫منه‬ ‫و‬:𝑡 =
1
3
⟺ 𝑥2
− 2𝑥 + 1 − 1 + 𝑦2
+ 𝑧2
+ 2𝑧 + 1 − 1 + 1 = 0
⟺ 𝑥 − 1 2
− 1 + 𝑦2
+ 𝑧 + 1 2
− 1 + 1 = 0
⟺ 𝑥 − 1 2
+ 𝑦2
+ 𝑧 + 1 2
= 12
‫األول‬ ‫التمرٌن‬:
‫نعوض‬𝑡‫بالعدد‬
1
3
‫للمستقٌم‬ ‫البارامتري‬ ‫التمثٌل‬ ً‫ف‬Ω𝐶
‫إلٌجاد‬ ‫ذلك‬ ‫و‬𝛼‫و‬𝛽‫و‬𝛾:𝛼 =
1
3
+ 1 =
4
3
𝛽 = −2
1
3
=
−2
3
𝛾 = 2
1
3
− 1 =
−1
3
ً‫بالتال‬ ‫و‬:‫النقطة‬𝐶
4
3
;
−2
3
;
−1
3
‫تماس‬ ‫نقطة‬ ً‫ه‬𝒮‫المستوى‬ ‫و‬𝒫
.
ً‫الثان‬ ‫التمرٌن‬:
‫للدالة‬ ً‫المبٌان‬ ‫التمثٌل‬ ‫أوال‬ ‫نرسم‬ ‫السؤال‬ ‫هذا‬ ً‫ف‬𝑓‫تعرٌفها‬ ‫حٌز‬ ‫على‬0; +∞
.
‫كان‬ ‫إذا‬ ‫أنه‬ ‫نالحظ‬𝜖
1
𝑒
; 1‫فإن‬:ln 𝑥 ≤ 0‫أي‬:ln 𝑥 = − ln 𝑥
‫كان‬ ‫إذا‬ ‫كذلك‬ ‫و‬1; 𝑒‫فإن‬:ln 𝑥 ≥ 0‫أي‬:ln 𝑥 = ln 𝑥
‫للدالة‬ ‫األصلٌة‬ ‫الدالة‬ ‫تحدٌد‬ ‫إلى‬ ‫نحتاج‬𝑥 →
ln 𝑥
𝑥
.
‫باألجزاء‬ ‫المكاملة‬ ‫بتقنٌة‬ ‫نستعٌن‬ ‫إلٌجادها‬ ‫و‬:
ً‫بالتال‬ ‫و‬:𝐼 =
1
𝑥
ln 𝑥
𝑒
1
𝑒
𝑑𝑥 =
1
𝑥
ln 𝑥
1
1
𝑒
𝑑𝑥 +
1
𝑥
ln 𝑥
𝑒
1
𝑑𝑥
=
1
𝑥
− ln 𝑥
1
1
𝑒
𝑑𝑥 +
1
𝑥
ln 𝑥
𝑒
1
𝑑𝑥
= −
ln 𝑥
𝑥
1
1
𝑒
𝑑𝑥 +
ln 𝑥
𝑥
𝑒
1
𝑑𝑥
‫إذن‬:𝑑 Ω, 𝒫 =
1 × 1 − 2 × 0 + 2 × −1 − 2
12 + −2 2 + 22
=
3
9
= 1 = 𝑟
𝒮
𝒫
𝐶 𝛼; 𝛽; 𝛾
Ω 1; 0; −1
‫إذن‬:
‫أي‬:
‫منه‬ ‫و‬:
ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝑥
ln 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 2
−
ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥
ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 +
ln 𝑥
𝑥
= ln 𝑥 2
2
ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 = ln 𝑥 2
ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 =
ln 𝑥 2
2
𝑣′ 𝑢
‫منه‬ ‫و‬:
𝛼 − 1 = 𝑡
𝛽 − 0 = −2𝑡
𝛾 + 1 = 2𝑡
ً‫ٌعن‬:
𝛼 = 𝑡 + 1
𝛽 = −2𝑡
𝛾 = 2𝑡 − 1
𝑒
1
𝑒
𝒍𝒏
𝟏
𝟐
𝟏
𝟑

15. ً‫الفاتح‬ ‫الدٌن‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2013‫الصفحة‬:𝟏𝟐 ‫االستدراكٌة‬ ‫الدورة‬ ‫امتحان‬ ‫أجوبة‬2003
‫الثالث‬ ‫التمرٌن‬: ‫للتكامل‬ ‫تعبٌر‬ ‫آخر‬ ً‫ف‬ ‫العالقة‬ ‫هذه‬ ‫إذن‬ ‫نوظف‬𝐼‫نجد‬:
‫منه‬ ‫و‬:
𝑎 = 2
𝑎 + 𝑏 = 0
‫إذن‬:
𝑎 = 2
𝑏 = −2
‫التكامل‬ ‫حساب‬ ‫نرٌد‬𝐽‫المتغٌر‬ ‫تغٌٌر‬ ‫تقنٌة‬ ‫باستعمال‬ ‫ذلك‬ ‫و‬.
‫كان‬ ‫إذا‬:𝑥 = 2‫فإن‬:𝑡 = 2
‫كان‬ ‫إذا‬:𝑥 = 7‫فإن‬:𝑡 = 3
‫التكامل‬ ً‫بالتال‬ ‫و‬𝐽‫ٌصبح‬:
‫لٌكن‬𝑎‫و‬𝑏‫بحٌث‬ ‫حقٌقٌٌن‬ ‫عددٌن‬:
2𝑡
1 + 𝑡
= 𝑎 +
𝑏
1 + 𝑡
‫لدٌنا‬:‫إذن‬:
2𝑡
1 + 𝑡
=
𝑎𝑡 + 𝑎 + 𝑏
1 + 𝑡
2𝑡
1 + 𝑡
=
𝑎 1 + 𝑡 + 𝑏
1 + 𝑡
‫منه‬ ‫و‬:𝑑𝑥 = 2𝑡 ∙ 𝑑𝑡
‫نضع‬:𝑡 = 2 + 𝑥‫إذن‬:
𝑑𝑡
𝑑𝑥
=
1
2 2 + 𝑥
=
1
2𝑡
‫كذلك‬ ‫لدٌنا‬ ‫و‬:
1
1 + 2 + 𝑥
=
1
1 + 𝑡
𝐼 = −
ln 𝑥
𝑥
1
1
𝑒
𝑑𝑥 +
ln 𝑥
𝑥
𝑒
1
𝑑𝑥
= −
ln 𝑥 2
2 1
𝑒
1
+
ln 𝑥 2
2 1
𝑒
= −
ln 1 2
2
−
ln 1
𝑒
2
2
+
ln 𝑒 2
2
−
ln 1 2
2
= − 0 −
1
2
+
1
2
− 0 = 1
‫على‬ ‫ٌحتوي‬ ‫كٌس‬ ‫من‬ ‫كرات‬ ‫ثالث‬ ‫واحد‬ ‫آن‬ ً‫ف‬ ‫نسحب‬ ‫عندما‬6‫فإنه‬ ‫كرات‬
‫توجد‬‫ممكنة‬ ‫نتٌجة‬.‫أن‬ ً‫ٌعن‬ ‫هذا‬ ‫و‬:𝑐𝑎𝑟𝑑 Ω = 𝐶6
3
= 20
‫بحٌث‬‫العشوائٌة‬ ‫التجربة‬ ‫هذه‬ ‫امكانٌات‬ ‫كون‬ ‫هو‬
‫الحدث‬ ‫احتمال‬ ‫لحساب‬𝐴‫طرٌقتٌن‬ ‫أقترح‬:
‫األولى‬ ‫الطرٌقة‬:
‫الحدث‬ ‫لدٌنا‬𝐴ً‫ٌل‬ ‫بما‬ ‫معرف‬:
"‫الرقم‬ ‫تحمل‬ ‫األقل‬ ‫على‬ ‫كرة‬ ‫توجد‬ ‫المسحوبة‬ ‫الكرات‬ ‫بٌن‬ ‫من‬1"𝐴 =
‫الحدث‬ ‫إذن‬‫للحدث‬ ‫المضاد‬ ‫الحدث‬ ‫أي‬𝐴ً‫ٌل‬ ‫بما‬ ‫معرف‬:
"‫تخالف‬ ‫أرقاما‬ ‫كلها‬ ‫تحمل‬ ‫المسحوبة‬ ‫الثالث‬ ‫الكرات‬1"𝐴 =
‫الحدثان‬ ‫أن‬ ‫نعلم‬ ‫و‬𝐴‫و‬‫التالٌة‬ ‫العالقة‬ ‫تربطهما‬:
‫تخالف‬ ‫أرقاما‬ ‫كلها‬ ‫تحمل‬ ‫كرات‬ ‫ثالث‬ ‫سحب‬ ً‫ف‬ ‫نرغب‬ ‫عندما‬1‫فإننا‬
‫على‬ ‫ٌحتوي‬ ‫كٌس‬ ‫من‬ ‫واحد‬ ‫آن‬ ً‫ف‬ ‫كرات‬ ‫ثالث‬ ‫نسحب‬4‫فقط‬ ‫كرات‬
‫توجد‬ ‫و‬‫ذلك‬ ‫لفعل‬ ‫إمكانٌة‬.‫نحسب‬ ‫إذن‬𝑝 𝐴ً‫ٌل‬ ‫كما‬:
𝑝 𝐴 + 𝑝 𝐴 = 1
𝑝 𝐴 =
𝑐𝑎𝑟𝑑 𝐴
𝑐𝑎𝑟𝑑 Ω
=
𝐶4
3
20
=
4
20
ً‫بالتال‬ ‫و‬:𝑝 𝐴 = 1 − 𝑝 𝐴 = 1 −
1
5
=
4
5
11
2
−𝟐
−𝟏
0
‫الثانٌة‬ ‫الطرٌقة‬:𝑝 𝐴 = 𝑝
1 1 1
1 1 1
1 1 11111
‫الثالث‬ ‫الكرات‬ ‫من‬
‫على‬ ‫واحدة‬ ‫توجد‬
‫الرقم‬ ‫تحمل‬ ‫األقل‬1
= 𝑝
1 11 11
11 11 111
1 1 11
‫أو‬
11 11
111 11
1 11
‫تحمل‬ ‫واحد‬ ‫كرة‬1
‫األخرٌان‬ ‫الكرتان‬ ‫و‬
‫تخالفان‬1
‫تحمالن‬ ‫كرتان‬1
‫الثانٌة‬ ‫الكرة‬ ‫و‬
‫تخالف‬1
= 𝑝
1 11 11
11 1 1
1 1 1
+ 𝑝
1 11 11
11 1 1
1 1 1
‫تحمل‬ ‫واحد‬ ‫كرة‬1
‫األخرٌان‬ ‫الكرتان‬ ‫و‬
‫تخالفان‬1
‫تحمالن‬ ‫كرتان‬1
‫الثانٌة‬ ‫الكرة‬ ‫و‬
‫تخالف‬1
=
𝐶2
1
× 𝐶4
2
20
+
𝐶2
2
× 𝐶4
1
20
=
2 × 6
20
+
1 × 4
20
=
16
20
=
4
5
ً‫بالتال‬ ‫و‬:∀𝑡 ≠ −1 ;
2𝑡
1 + 𝑡
= 2 −
2
1 + 𝑡
𝐽 =
1
1 + 2 + 𝑥
7
2
𝑑𝑥 =
1
1 + 𝑡
2𝑡
3
2
𝑑𝑡
=
2𝑡
1 + 𝑡
3
2
𝑑𝑡 = 2 −
2
1 + 𝑡
3
2
𝑑𝑡
= 2
3
2
𝑑𝑡 − 2
1
1 + 𝑡
3
2
𝑑𝑡
= 2 𝑡 2
3
− 2 ln 1 + 𝑡 2
3
= 2 − 2 ln 1 + 3 − ln 1 + 2
= 2 − 2 ln 4 − ln 3
= 2 − 2 ln
4
3
= 2 1 − ln
4
3
= 2 ln 𝑒 − ln
4
3
= 2 ln
3𝑒
4
𝐽 =
1
1 + 2 + 𝑥
7
2
𝑑𝑥
𝐶6
3
Ω
A
A
𝐶4
3
‫أ‬ 𝟏
𝟐‫أ‬
𝟐‫ب‬

16. ً‫الفاتح‬ ‫الدٌن‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2013‫الصفحة‬:𝟏𝟑 ‫االستدراكٌة‬ ‫الدورة‬ ‫امتحان‬ ‫أجوبة‬2003
‫الرابع‬ ‫التمرٌن‬:
‫االحتمال‬ ‫لدٌنا‬𝑆ً‫ٌل‬ ‫بما‬ ‫معرف‬" :‫على‬ ‫المكتوبة‬ ‫األعداد‬ ‫مجموع‬
‫منعدم‬ ‫المسحوبة‬ ‫الكرات‬"
ً‫كالتال‬ ً‫ه‬ ‫و‬ ‫الحدث‬ ‫لهذا‬ ‫ممكنة‬ ‫حاالت‬ ‫ثالث‬ ‫إذن‬ ‫توجد‬:
‫األولى‬ ‫الحالة‬ ً‫ف‬:
‫توجد‬ ‫إذن‬‫األولى‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫تحقق‬ ‫إمكانٌة‬.
‫األولى‬ ‫الحالة‬:
‫الثانٌة‬ ‫الحالة‬:
‫الثالثة‬ ‫الحالة‬:
−𝟏𝟏𝟎
−𝟐𝟐𝟎
𝟏 𝟏 −𝟐
‫الثانٌة‬ ‫الحالة‬ ً‫ف‬:
‫الثالثة‬ ‫الحالة‬ ً‫ف‬:
‫توجد‬ ‫إذن‬‫األولى‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫تحقق‬ ‫إمكانٌة‬.
‫توجد‬ ‫إذن‬‫األولى‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫تحقق‬ ‫إمكانٌة‬.
𝑝 𝑆 = 𝑝 11 11 11‫أو‬ 11 11 11‫أو‬ 11 11 11
=
𝐶1
1
× 𝐶2
1
× 𝐶1
1
20
+
𝐶1
1
× 𝐶1
1
× 𝐶1
1
20
+
𝐶2
2
× 𝐶1
1
20
=
2
20
+
1
20
+
1
20
=
4
20
=
1
5
𝑝 11 1
1
33
11 + 𝑝 11 1
1
33
11 + 𝑝 11 1
1
33
11=
‫لدٌنا‬𝐶1
1
‫الكرة‬ ‫الختٌار‬ ‫امكانٌة‬
‫لدٌنا‬ ‫و‬𝐶2
1
‫الكرة‬ ‫الختٌار‬ ‫إمكانٌة‬
‫لدٌنا‬ ‫و‬𝐶1
1
‫الكرة‬ ‫الختٌار‬ ‫إمكانٌة‬
‫لدٌنا‬𝐶1
1
‫الكرة‬ ‫الختٌار‬ ‫امكانٌة‬
‫لدٌنا‬ ‫و‬𝐶1
1
‫الكرة‬ ‫الختٌار‬ ‫إمكانٌة‬
‫لدٌنا‬ ‫و‬𝐶1
1
‫الكرة‬ ‫الختٌار‬ ‫إمكانٌة‬
‫لدٌنا‬𝐶2
2
‫الكرتٌن‬ ‫الختٌار‬ ‫امكانٌة‬
‫لدٌنا‬ ‫و‬𝐶1
1
‫الكرة‬ ‫الختٌار‬ ‫إمكانٌة‬
‫تذكٌر‬:‫نكرر‬ ‫عندما‬𝑛‫حدث‬ ‫وقوع‬ ‫احتمال‬ ‫فإن‬ ‫عشوائٌة‬ ‫تجربة‬ ‫مرة‬𝐴
‫بالضبط‬𝑘‫هو‬ ‫مرة‬:𝑝 𝑘 𝐴 = 𝐶 𝑛
𝑘
𝑝(𝐴) 𝑘
1 − 𝑝 𝐴
𝑛−𝑘
‫بحٌث‬𝑝(𝐴)‫الحدث‬ ‫احتمال‬ ‫هو‬𝐴‫التجربة‬ ‫تكرار‬ ‫دون‬.
‫التمرٌن‬ ‫هذا‬ ً‫ف‬:‫كٌس‬ ‫من‬ ‫واحد‬ ‫آن‬ ً‫ف‬ ‫كرات‬ ‫ثالث‬ ‫سحب‬ ً‫ه‬ ‫التجربة‬
‫على‬ ‫ٌحتوي‬6‫إعادة‬ ‫بشرط‬ ‫مرات‬ ‫أربع‬ ‫التجربة‬ ‫هذه‬ ‫نكرر‬ ‫و‬ ‫كرات‬
‫الكٌس‬ ‫إلى‬ ‫مرة‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫الكرات‬.
‫الحدث‬ ‫احتمال‬ ‫لدٌنا‬𝑆‫ٌساوي‬𝑝 𝑆 =
1
5
.
‫الحدث‬ ‫وقوع‬ ‫احتمال‬ ‫إذن‬𝑆‫بالضبط‬3‫هو‬ ‫مرات‬:
‫مفتاح‬ ‫ٌشكل‬ ‫سوف‬ ‫أنه‬ ‫على‬ ‫ٌدل‬ ‫فهذا‬ ‫الشكل‬ ‫هذا‬ ‫من‬ ‫سؤال‬ ‫ُطرح‬ٌ ‫عندما‬
‫بعد‬ ‫فٌما‬ ً‫سٌأت‬ ‫لما‬:
ً‫ف‬ ‫لنحل‬ℂ‫المعادلة‬𝐸‫التالٌة‬:
‫المعادلة‬ ‫إذن‬𝐸‫مترافقٌن‬ ‫حلٌن‬ ‫تقبل‬𝑧1‫و‬𝑧2.
4 + i 2
= 42
+ 2 × 4 × 𝑖 + 𝑖2
= 16 + 8𝑖 − 1 = 15 + 8𝑖
‫إذن‬:4 + i 2
= 15 + 8𝑖∗
𝐸 ∶ 𝑧2
+ 2 − 3𝑖 𝑧 − 5 1 + 𝑖 = 0
‫لدٌنا‬:∆= 2 − 3𝑖 2
+ 20 1 + 𝑖 = 4 − 12𝑖 − 9 + 20 + 20𝑖
= 15 + 8𝑖 = 4 + 𝑖 2
𝑧1 =
− 2 − 3𝑖 + 4 + 𝑖
2
=
−2 + 3𝑖 + 4 + 𝑖
2
=
2 + 4𝑖
2
= 1 + 2𝑖
𝑧1 =
− 2 − 3𝑖 − 4 + 𝑖
2
=
−2 + 3𝑖 − 4 − 𝑖
2
=
−6 + 2𝑖
2
= −3 + 𝑖
𝑐 − 𝑎
𝑏 − 𝑎
=
6𝑖 − 1 + 2𝑖
−3 + 𝑖 − 1 + 2𝑖
=
4𝑖 − 1
−4 − 𝑖
=
4𝑖 − 1 −4 + 𝑖
−4 − 𝑖 −4 + 𝑖
=
−17𝑖
16 − −1
=
−17𝑖
17
= −𝑖 = cos
−𝜋
2
+ 𝑖 sin
−𝜋
2
= 𝑒
−𝑖𝜋
2
‫المثلث‬ ً‫بالتال‬ ‫و‬𝐴𝐵𝐶‫رأسه‬ ‫الساقٌن‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬𝐴ً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قائم‬ ‫و‬𝐴.
‫السابق‬ ‫السؤال‬ ‫حسب‬ ‫لدٌنا‬:
𝑐 − 𝑎
𝑏 − 𝑎
= 𝑒
−𝜋𝑖
2
‫منه‬ ‫و‬:
𝑐 − 𝑎 = 𝑏 − 𝑎
arg
𝑐−𝑎
𝑏−𝑎
≡
𝜋
2
𝜋
‫إذن‬:
𝐴𝐶 = 𝐴𝐵
𝐴𝐵; 𝐴𝐶 ≡
𝜋
2
𝜋
‫إذن‬:
𝑐−𝑎
𝑏−𝑎
= 1
arg
𝑐−𝑎
𝑏−𝑎
≡
−𝜋
2
𝜋
𝑝3 𝑆 = 𝐶4
3
𝑝(𝑆) 3
1 − 𝑝 𝑆
4−3
= 4
1
5
3
1 −
1
5
1
=
4 × 1 × 4
125 × 5
=
16
625
𝟏
𝟐
‫ب‬
𝟏‫أ‬
𝟏‫ب‬
𝟐‫أ‬
‫ب‬
𝟐
0
1
−1
0
2
−2
−2
11
−𝟏𝟏𝟎
−𝟏𝟏𝟎
−𝟐𝟐𝟎
−𝟐𝟐𝟎
𝟏 𝟏 −𝟐
𝟏 𝟏 −𝟐
𝐶1
1
× 𝐶2
1
× 𝐶1
1
𝐶1
1
× 𝐶1
1
× 𝐶1
1
𝐶1
1
× 𝐶2
2

17. ً‫الفاتح‬ ‫الدٌن‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2013‫الصفحة‬:𝟏𝟒 ‫االستدراكٌة‬ ‫الدورة‬ ‫امتحان‬ ‫أجوبة‬2003
‫الخامس‬ ‫التمرٌن‬:
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→+∞
𝑥 − 2 𝑥 + 2 = lim
𝑥→+∞
𝑥 1 −
2
𝑥
+
2
𝑥
= +∞ 1 − 0 + 0 = +∞ × 1 = +∞
lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥 − 𝑓(0)
𝑥 − 0
= lim
𝑥→0+
𝑥 − 2 𝑥 + 2 − 2
𝑥
= lim
𝑥→0+
𝑥 1 −
2
𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0+
1 −
2
𝑥
= 1 −
2
0+
= 1 − +∞ = −∞ ∉ ℝ
‫إذن‬𝑓‫الصفر‬ ً‫ف‬ ‫الٌمٌن‬ ‫على‬ ‫لإلشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫غٌر‬ ‫دالة‬.
‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫نالحظ‬𝑓‫جٌدا‬ ‫المعرفة‬ ‫و‬ ‫المنسجمة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫تشكٌلة‬ ‫عن‬ ‫عبارة‬
‫المجال‬ ‫على‬ ‫االشتقاق‬ ‫القابلة‬ ‫و‬0; +∞.‫إذن‬𝑓‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬
‫المجال‬0; +∞
‫لٌكن‬𝑥‫المجال‬ ‫من‬ ‫عنصرا‬0; +∞.
‫أن‬ ‫بما‬:∀ 𝑥 𝜖 0; +∞ ; 𝑥 ≥ 0.
‫إشارة‬ ‫فإن‬𝑓′
(𝑥)‫بإشارة‬ ‫فقط‬ ‫متعلقة‬𝑥 − 1‫المجال‬ ‫على‬0; +∞.
‫كان‬ ‫إذا‬𝑥 = 1‫فإن‬:𝑥 − 1 = 0.
‫كان‬ ‫إذا‬𝑥 > 1‫فإن‬:𝑥 − 1 > 0.
‫كان‬ ‫إذا‬𝑥 < 1‫فإن‬:𝑥 − 1 < 0.
ً‫ٌل‬ ‫كما‬ ‫الدالة‬ ‫تغٌرات‬ ‫جدول‬ ‫إذن‬ ‫نستنتج‬:
1
1
0
𝑓
−𝑓′(𝑥) 0 +
+∞
2 +∞
𝒙
‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫الجدول‬ ‫هذا‬ ‫من‬ ‫ٌتضح‬ ‫إذن‬𝑓‫المجال‬ ‫على‬ ‫تناقصٌة‬0; 1
‫المجال‬ ‫على‬ ‫تزاٌدٌة‬ ‫و‬1; +∞.
‫لدٌنا‬:𝑓′
𝑥 = 1 − 2
1
2 𝑥
= 1 −
1
𝑥
=
𝑥 − 1
𝑥
‫أجل‬ ‫من‬𝑛 = 0‫لدٌنا‬:1 ≤ 2 ≤ 2ً‫ٌعن‬:1 ≤ 𝑢0 ≤ 2
‫أن‬ ‫نفترض‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 1 ≤ 𝑢 𝑛 ≤ 2
‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫بما‬𝑓‫المجال‬ ‫على‬ ‫قطعا‬ ‫تزاٌدٌة‬1; +∞.
‫فإن‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑓(1) ≤ 𝑓(𝑢 𝑛 ) ≤ 𝑓(2).
ً‫ٌعن‬ ‫هذا‬ ‫و‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 1 ≤ 𝑢 𝑛+1 ≤ 4 − 2 2
‫لدٌنا‬ ‫و‬2 > 1‫إذن‬:2 > 1‫منه‬ ‫و‬2 2 > 2.
ً‫ٌعن‬:−2 2 < −2‫أي‬:4 − 2 2 < 2
‫النتٌجة‬ ‫إلى‬ ‫بالرجوع‬ ‫إذن‬∗‫التالٌة‬ ‫النتٌجة‬ ‫على‬ ‫نحصل‬:
‫منه‬ ‫و‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 1 ≤ 𝑢 𝑛+1 ≤ 2
‫أن‬ ‫نستنتج‬ ‫الترجع‬ ‫مبدأ‬ ‫حسب‬ ً‫بالتال‬ ‫و‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 1 ≤ 𝑢 𝑛 ≤ 2
‫لدٌنا‬:
‫إذن‬𝑢 𝑛 𝑛𝜖ℕ‫بالعدد‬ ‫مصغورة‬ ‫متتالٌة‬1
‫بالعدد‬ ‫مصغورة‬ ‫و‬ ‫تناقصٌة‬ ‫أنها‬ ‫بما‬ ‫و‬1‫متقاربة‬ ‫فإنها‬.
‫لدٌنا‬ ‫ثانٌة‬ ‫جهة‬ ‫من‬𝑓‫المجال‬ ‫على‬ ‫قطعا‬ ‫تزاٌدٌة‬ ‫و‬ ‫متصلة‬ ‫دالة‬1; 2.
‫إذن‬ℓ‫المتتالٌة‬ ‫نهاٌة‬𝑢 𝑛 𝑛𝜖ℕ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬:𝑓 ℓ = ℓ
ً‫ٌعن‬:ℓ − 2 ℓ + 2 = ℓ‫أي‬:−2 ℓ + 2 = 0
lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→+∞
ln 𝑥 − 2 𝑥 + 2 = lim
𝑥→+∞
ln 𝑓 𝑥
ً‫بالتال‬ ‫و‬:lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = +∞
‫إذن‬:lim
𝑥→+∞
ln 𝑓 𝑥 = ln +∞ = +∞
‫أن‬ ‫نعلم‬:lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = +∞
lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→+∞
ln 𝑥 − 2 𝑥 + 2
𝑥
= lim
𝑥→+∞
ln 𝑥 − 2 𝑥 + 2
𝑥 − 2 𝑥 + 2
×
𝑥 − 2 𝑥 + 2
𝑥
‫على‬ ‫إذن‬ ‫حصلنا‬:lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥 − 𝑓(0)
𝑥 − 0
= −∞ ∉ ℝ
1 ≤ 𝑢 𝑛+1 ≤ 4 − 2 2 < 2
= 2 1 − 𝑢 𝑛
‫أن‬ ‫بما‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢 𝑛 ≥ 1‫فإن‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢 𝑛 ≥ 1
‫منه‬ ‫و‬:∀𝑛𝜖ℕ ; − 𝑢 𝑛 ≤ −1ً‫ٌعن‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 1 − 𝑢 𝑛 ≤ 0
ً‫ٌعن‬:2 1 − 𝑢 𝑛 ≤ 0‫أي‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛+1 ≤ 0
‫إذن‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢 𝑛 ≤ 𝑢 𝑛+1
ً‫بالتال‬ ‫و‬:𝑢 𝑛 𝑛‫تناقصٌة‬ ‫متتالٌة‬.
‫سبق‬ ‫ما‬ ‫حسب‬ ‫لدٌنا‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 1 ≤ 𝑢 𝑛 ≤ 2
𝑢 𝑛+1 − 𝑢 𝑛 = 𝑓 𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 = 𝑢 𝑛 − 2 𝑢 𝑛 + 2 − 𝑢 𝑛
ً‫ٌعن‬:ℓ = 1ً‫بالتال‬ ‫و‬:ℓ = 1
𝑰𝟏
𝑰𝑰𝟏
𝟐 𝑰
𝟐 𝑰𝑰
𝟑 𝑰
𝟑 𝑰𝑰
𝟏‫أ‬ 𝑰𝑰𝑰
𝑰𝑰𝑰𝟏‫ب‬

18. ً‫الفاتح‬ ‫الدٌن‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2013‫الصفحة‬:𝟏𝟓 ‫االستدراكٌة‬ ‫الدورة‬ ‫امتحان‬ ‫أجوبة‬2003
= lim
𝑥→+∞
ln 𝑥 − 2 𝑥 + 2
𝑥 − 2 𝑥 + 2
× 1 −
2
𝑥
+
2
𝑥
‫التالٌتٌن‬ ‫النهاٌتٌن‬ ‫على‬ ‫اآلن‬ ‫لحد‬ ‫حصلنا‬:
‫جهة‬ ‫من‬ ‫لدٌنا‬:lim
𝑥→+∞
ln 𝑥 − 2 𝑥 + 2
𝑥 − 2 𝑥 + 2
= lim
𝑡→+∞
𝑡=𝑥−2 𝑥+2
ln 𝑡
𝑡
= 0
‫أخرى‬ ‫جهة‬ ‫من‬ ‫و‬:lim
𝑥→+∞
1 −
2
𝑥
+
2
𝑥
= 1 − 0 + 0 = 1
ً‫بالتال‬ ‫و‬:lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥)
𝑥
= 0 × 1 = 0
lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥)
𝑥
= 0lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = +∞
‫إذن‬‫األفاصٌل‬ ‫محور‬ ‫اتجاه‬ ً‫ف‬ ‫شلجمٌا‬ ‫فرعا‬ ‫ٌقبل‬. 𝟏𝟏
𝟎𝟏𝟐C
‫الدالة‬ ‫لدراسة‬𝑔‫على‬ ‫المعرفة‬0; +∞‫اإلشتقاق‬ ‫بدراسة‬ ‫نبدأ‬.
‫أن‬ ‫على‬ ‫أوال‬ ‫نبرهن‬𝑔‫على‬ ‫لإلشتقاق‬ ‫قابلة‬0; +∞‫ذلك‬ ‫بعد‬ ‫ثم‬
‫مشتقتها‬ ‫نسحب‬𝑔′.
‫تذكٌر‬:‫لتكن‬𝑔‫المجال‬ ‫على‬ ‫لإلشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫و‬ ‫معرفة‬ ‫دالة‬𝐼‫و‬𝑓‫دالة‬
‫مجال‬ ‫على‬ ‫لإلشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫و‬ ‫معرفة‬𝐽.‫الدالة‬ ‫تكون‬ ‫إذن‬𝑓 ∘ 𝑔‫قابلة‬
‫المجال‬ ‫على‬ ‫لإلشتقاق‬𝐼‫المجال‬ ‫عناصر‬ ‫صور‬ ‫جل‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬𝐼‫بالدالة‬𝑔
‫بالدالة‬ ‫صورا‬ ‫تقبل‬𝑓.‫آخر‬ ‫بتعبٌر‬ ‫أو‬:𝑔 𝐼 ⊆ 𝐽.
‫لدٌنا‬ ‫التمرٌن‬ ‫هذا‬ ً‫ف‬:𝑓‫المجال‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫دالة‬0; +∞
‫و‬𝑙𝑛‫المجال‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫و‬ ‫معرفة‬ ‫دالة‬0; +∞.
‫الدالة‬ ‫تكون‬ ‫إذن‬ln 𝑓‫المجال‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬0; +∞
‫كان‬ ‫إذا‬:𝑓 0; +∞ ⊆ 0; +∞
‫عنصرا‬ ‫نختار‬ ‫ذلك‬ ‫أجل‬ ‫من‬ ‫و‬𝑥‫المجال‬ ‫من‬0; +∞‫على‬ ‫نبرهن‬ ‫و‬
‫صورته‬ ‫أن‬𝑓(𝑥)‫المجال‬ ‫إلى‬ ً‫تنتم‬0; +∞.
‫الدالة‬ ‫تغٌرات‬ ‫جدول‬ ‫إلى‬ ‫بالرجوع‬𝑓‫أن‬ ‫نالحظ‬𝑓‫على‬ ‫متصلة‬
‫المجال‬0; +∞ً‫ه‬ ‫و‬ ‫دنوٌة‬ ‫قٌمة‬ ‫تمتلك‬ ‫و‬1.
‫أن‬ ً‫ٌعن‬ ‫هذا‬:∀ 𝑥 𝜖 0; +∞ ; 𝑓(𝑥) ≥ 1
‫إذن‬:∀ 𝑥 𝜖 0; +∞ ; 𝑓 𝑥 > 0
‫الدالة‬ ‫الشتقاق‬ ‫األخضر‬ ‫الضوء‬ ‫اآلن‬ ً‫نعط‬𝑔.
‫الدالة‬ ‫تغٌرات‬ ‫جدول‬ ‫حسب‬ ‫لدٌنا‬𝑓:∀ 𝑥 𝜖 0; +∞ ; 𝑓 𝑥 > 0
‫أن‬ ‫بما‬:∀ 𝑥 𝜖 0; +∞ ; 𝑥 ≥ 0
‫إشارة‬ ‫فإن‬𝑓′
(𝑥)‫بإشارة‬ ‫فقط‬ ‫متعلقة‬𝑥 − 1.
‫كان‬ ‫إذا‬𝑥 = 1‫فإن‬:𝑔’(𝑥) = 0
‫كان‬ ‫إذا‬𝑥 > 1‫فإن‬:𝑔’ 𝑥 > 0
‫كان‬ ‫إذا‬𝑥 < 1‫فإن‬:𝑔’ 𝑥 < 0
‫الدالة‬ ‫تغٌرات‬ ‫جدول‬ ‫إذن‬ ‫نستنتج‬𝑔ً‫ٌل‬ ‫كما‬:
1
0
0
𝑔
−𝑔′(𝑥) 0 +
+∞
ln 2 +∞
𝒙
‫إذن‬𝑔‫المجال‬ ‫على‬ ‫تناقصٌة‬ ‫دالة‬0; 1‫المجال‬ ‫على‬ ‫تزاٌدٌة‬ ‫و‬1; +∞.
‫المعطٌات‬ ً‫ف‬ ‫الواردة‬ ‫المعلومة‬:
‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫على‬ ‫تدل‬𝑔‫الصفر‬ ً‫ف‬ ‫الٌمٌن‬ ‫على‬ ‫لإلشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫غٌر‬.
‫للدالة‬ ً‫المبٌان‬ ‫التمثٌل‬ ‫على‬ ‫إذن‬ ‫نحصل‬𝑔ً‫ٌل‬ ‫كما‬:
ln 2
1
𝟏𝟏
𝟎𝟏𝟐C
‫الصفر‬ ‫ٌمٌن‬ ‫على‬ ‫ٌحدث‬ ‫ما‬ ‫إلى‬ ‫انتباهك‬ ‫ألفت‬ ً‫لك‬ ‫المبٌانٌن‬ ‫هاذٌن‬ ‫أظٌف‬
ً‫بالتال‬ ‫و‬:∀ 𝑥 𝜖 0; +∞ ; 𝑓 𝑥 𝜖 0; +∞
ً‫ٌعن‬:𝑓 0; +∞ ⊂ 0; +∞∗
lim
𝑥→0+
𝑔 𝑥 − 𝑔(0)
𝑥
= −∞
‫لدٌنا‬:𝑔 𝑥 = ln 𝑓(𝑥)‫إذن‬:𝑔′
𝑥 =
𝑓′
(𝑥)
𝑓(𝑥)
‫األول‬ ‫الجزء‬ ‫حسب‬ ‫لدٌنا‬:𝑓′
𝑥 =
𝑥 − 1
𝑥
‫إذن‬:𝑔′
𝑥 =
1
𝑓(𝑥)
𝑥 − 1
𝑥
=
𝑥 − 1
𝑥𝑓(𝑥)
‫للمنحنى‬ ‫عمودي‬ ‫مماس‬ ‫األراتٌب‬ ‫محور‬ ‫أن‬ ‫مبٌانٌا‬ ً‫ٌعن‬ ‫هذا‬ ‫و‬‫ٌمٌن‬ ‫على‬ 𝟏𝟏
𝟎𝟏𝟐C0
‫و‬
ln 2
ln 2
𝑰𝑰𝑰𝟑
𝑰𝑰𝑰𝟐

19. 𝒉−𝟏
ً‫الفاتح‬ ‫الدٌن‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2013‫الصفحة‬:𝟏𝟔 ‫االستدراكٌة‬ ‫الدورة‬ ‫امتحان‬ ‫أجوبة‬2003
‫الدالة‬ ‫لدٌنا‬𝑕‫الدالة‬ ‫قصور‬ ً‫ه‬𝑔‫المجال‬ ‫على‬1; +∞.
‫بحٌث‬𝐽‫تحدٌده‬ ‫وجب‬ ‫مجال‬.
‫لدٌنا‬𝑕‫المجال‬ ‫على‬ ‫قطعا‬ ‫تزاٌدٌة‬ ‫و‬ ‫متصلة‬ ‫دالة‬1; +∞‫ذلك‬ ‫و‬
‫الدالة‬ ‫دراسة‬ ‫حسب‬𝑔.
‫منه‬ ‫و‬𝑕‫المجال‬ ‫من‬ ‫تقابل‬1; +∞‫صورته‬ ‫نحو‬𝐽‫بالدالة‬𝑕ً‫ٌعن‬:
‫إذن‬𝑕‫المجال‬ ‫من‬ ‫تقابل‬1; +∞‫المجال‬ ‫نحو‬0; +∞.
‫أن‬ ‫بما‬𝑕‫المجال‬ ‫من‬ ‫تقابل‬1; +∞‫المجال‬ ‫نحو‬0; +∞
‫فإن‬𝑕‫عكسٌة‬ ‫أصلٌة‬ ‫دالة‬ ‫تقبل‬𝑕−1
ً‫ٌل‬ ‫بما‬ ‫معرفة‬:
‫للدالة‬ ‫الصرٌح‬ ‫التعبٌر‬ ‫تحدٌد‬ ‫اآلن‬ ً‫ٌكف‬𝑕−1
.
‫لٌكن‬𝑦‫المجال‬ ‫من‬ ‫عنصرا‬0; +∞.
‫أن‬ ‫بما‬ ‫إذن‬𝑕‫فإن‬ ‫تقابل‬:∃! 𝑥 𝜖 1; +∞ ; 𝑕 𝑥 = 𝑦
‫أي‬:∃! 𝑥 𝜖 1; +∞ ; ln 𝑥 − 2 𝑥 + 2 = 𝑦
ً‫ٌعن‬:∃! 𝑥 𝜖 1; +∞ ; 𝑥 − 2 𝑥 + 2 = 𝑒 𝑦
ً‫ٌعن‬:∃! 𝑥 𝜖 1; +∞ ; 𝑥 − 2 𝑥 + 2 − 𝑒 𝑦
= 0
‫المعادلة‬ ‫لنحل‬:𝑥 − 2 𝑥 + 2 − 𝑒 𝑦
= 0‫المجهول‬ ‫ذات‬𝑥.
‫نضع‬𝑡 = 𝑥‫تصبح‬ ‫المعادلة‬ ‫و‬:𝑡2
− 2𝑡 + 2 − 𝑒 𝑦
= 0
‫لدٌنا‬𝑦 𝜖 0; +∞ً‫ٌعن‬:𝑦 ≥ 0
‫أي‬:𝑒 𝑦
≥ 1‫أي‬:𝑒 𝑦
− 1 ≥ 0
‫أي‬:𝑒 𝑦 − 1 ≥ 0‫أي‬:− 𝑒 𝑦 − 1 ≤ 0
‫لدٌنا‬ ‫الطرٌقة‬ ‫بنفس‬ ‫و‬:𝑦 𝜖 0; +∞‫إذن‬:𝑒 𝑦 − 1 ≥ 0
‫أن‬ ‫بما‬𝑥 𝜖 1; +∞‫فإن‬:𝑥 𝜖 1; +∞
‫النتائج‬ ‫من‬1‫و‬2‫و‬3‫هو‬ ‫و‬ ‫فقط‬ ‫حال‬ ‫تقبل‬ ‫المعادلة‬ ‫أن‬ ‫نستنتج‬𝑡2.
‫ألن‬ ‫ذلك‬ ‫و‬:𝑡2 𝜖 1; +∞‫و‬𝑡1 ∉ 1; +∞
‫إذن‬:𝑡 = 𝑥 = 1 + 𝑒 𝑦 − 1
ً‫ٌعن‬:𝑥 = 1 + 𝑒 𝑦 − 1
2
ً‫ٌعن‬:𝑥 = 1 + 2 𝑒 𝑦 − 1 + 𝑒 𝑦 − 1
2
ً‫ٌعن‬:𝑥 = 1 + 2 𝑒 𝑦 − 1 + 𝑒 𝑦
− 1
ً‫ٌعن‬:𝑥 = 2 𝑒 𝑦 − 1 + 𝑒 𝑦
= 𝑕−1
𝑦
‫الدالة‬ ‫تعبٌر‬ ‫إذن‬ ‫نستنتج‬𝑕−1
ً‫ٌل‬ ‫كما‬:
‫أن‬ ‫نعلم‬𝜖 0; +∞ً‫ٌعن‬:𝑦 ≥ 0
‫منه‬ ‫و‬:𝑒 𝑦
≥ 1‫أي‬:𝑒 𝑦
− 1 ≥ 0
‫حقٌقٌٌن‬ ‫حلٌن‬ ‫تقبل‬ ‫المعادلة‬ ‫إذن‬𝑡1‫و‬𝑡2ً‫ٌل‬ ‫بما‬ ‫معرفٌن‬:
‫أي‬:4 𝑒 𝑦
− 1 ≥ 0ً‫ٌعن‬:∆ ≥ 0
‫منه‬ ‫و‬:1 − 𝑒 𝑦 − 1 ≤ 1ً‫ٌعن‬:𝑡1 ≤ 1𝟏
‫أي‬:1 + 𝑒 𝑦 − 1 ≥ 1ً‫ٌعن‬:𝑡2 ≥ 1𝟐
ً‫ٌعن‬:𝑡 𝜖 1; +∞𝟑
‫لدٌنا‬:∆ = −2 2
− 4 2 − 𝑒 𝑦
= 4 − 8 + 4𝑒 𝑦
= −4 + 4𝑒 𝑦
= 4 𝑒 𝑦
− 1
𝑡1 =
2 − 2 𝑒 𝑦 − 1
2
= 1 − 𝑒 𝑦 − 1
𝑡2 =
2 + 2 𝑒 𝑦 − 1
2
= 1 + 𝑒 𝑦 − 1
‫و‬
𝑕−1
∶ 0; +∞ → 1; +∞
𝑦 → 𝑕−1
𝑦
‫الدالة‬ ‫منه‬ ‫و‬𝑕‫تصبح‬:
𝑕 ∶ 1; +∞ → 0; +∞
𝑥 → 𝑕 𝑥 = 𝑔(𝑥)
‫إذن‬𝑕ً‫ٌل‬ ‫بما‬ ‫معرفة‬ ‫دالة‬:
𝑕 ∶ 1; +∞ → 𝐽
𝑥 → 𝑕 𝑥 = 𝑔(𝑥)
𝑕−1
∶ 0; +∞ → 1; +∞
𝑦 → 𝑕−1
𝑦 = 2 𝑒 𝑦 − 1 + 𝑒 𝑦
𝑰𝑰𝑰𝟒‫أ‬
𝑰𝑰𝑰𝟒‫ب‬
‫إضافة‬:‫للدالتٌن‬ ‫المبٌانٌان‬ ‫التمثٌالن‬𝑕‫و‬𝑕−1
‫ِّف‬‫ص‬َ‫ن‬ُ‫م‬‫لل‬ ‫بالنسبة‬ ‫متماثالن‬
ً‫التال‬ ً‫المبٌن‬ ‫الرسم‬ ‫ٌجسده‬ ‫ما‬ ‫هذا‬ ‫و‬ ‫للمعلم‬ ‫األول‬:
𝒉
𝑕 1; +∞ = 𝑕 1 ; lim
𝑥→+∞
𝑕 𝑥 = 𝑔 1 ; lim
𝑥→+∞
𝑔 𝑥
= 0; +∞ = 𝐽

20. ‫املٕحد‬ ‫الٕطين‬ ُ‫اإلوتحــــــا‬
‫البكالٕزٖـــــــــــــا‬ ٚ‫شّاد‬ ‫لٍٗن‬
ٖٛ‫العــــــــــــاد‬ ٚ‫الدٔز‬2004
‫املغربية‬‫اململكة‬
‫لي‬‫ا‬‫لع‬‫ا‬‫لتعليم‬‫ا‬ ‫و‬ ‫لوطنية‬‫ا‬ ‫لرتبية‬‫ا‬ ‫وزارة‬
‫لعلمي‬‫ا‬ ‫لبحث‬‫ا‬‫و‬ ‫األطر‬‫ين‬‫و‬‫تك‬‫و‬
‫نات‬‫ا‬‫اإلمتح‬‫و‬ ‫يم‬‫و‬‫للتق‬ ‫لوطين‬‫ا‬ ‫املركس‬
‫السٖــــــــــــــاضٗات‬ ٚ‫وــــاد‬
‫مبطالكّا‬ ٛٗ‫التجــــــــسٖب‬ ًٕ‫العم‬
‫مبطمكّٗا‬ ٛٗ‫التكٍٕلٕجــــ‬ ًٕ‫العم‬
‫االدمــاش‬ ٚ‫ود‬3h-‫املعاون‬7
ً‫الفاتح‬ ‫الدٌن‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫اقتراح‬ ‫من‬ ‫األجوبة‬-http://www.professeurbadr.blogspot.com–‫رمضان‬2013-‫الصفحة‬:17
‫األول‬ ‫التمريه‬:(3,5‫ن‬)
ٌ‫أ‬ ٍ‫ي‬ ‫رحمك‬:𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2 = 0ٖٕ‫نهًغز‬ ‫دٚكبسرٛخ‬ ‫يؼبدنخ‬𝑄ٍ‫ي‬ ‫انًبس‬
𝐵 1 , 3 , −2ٔ𝑛 1 , 1 , 1ّٛ‫ػه‬ ‫يُظًٛخ‬.
0,75ٌ
‫التمريه‬‫الثاوي‬:(3,5‫ن‬)
‫انفضبء‬𝔈‫يًُظى‬ ‫يزؼبيذ‬ ‫يؼهى‬ ٗ‫إن‬ ‫يُغٕة‬𝒪 , 𝑖 , 𝑗 , 𝑘
ٍ‫نزك‬‫انُمظ‬ ‫يغًٕػخ‬𝑀 𝑥, 𝑦, 𝑧‫حٛش‬:𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
− 4𝑦 + 2𝑧 + 2 = 0
ٌ‫أ‬ ٍٛ‫ث‬𝒮‫يشكضْب‬ ‫فهكخ‬Ω 0, 2, −1)‫شؼبػٓب‬ ٔ3.
ٌ‫أ‬ ‫رحمك‬:𝐴 −1 , 1, 0 𝜖 𝒮
ٖٕ‫انًغز‬ ‫يؼبدنخ‬ ‫أكزت‬𝒫‫نهفهكخ‬ ‫انًًبط‬𝒮‫انُمطخ‬ ‫ػُذ‬𝐴.
ٙ‫ف‬ ‫َؼزجش‬ℂ‫انزبنٛخ‬ ‫انًؼبدنخ‬:𝐸 ∶ 𝑧2
− 4𝑖𝑧 − 4 1 + 𝑖 = 0
‫ثـ‬ ‫َشيض‬ٔ‫انًؼبدنخ‬ ٙ‫نحه‬‫حٛش‬:ℜ𝑒 𝑧1 > 0
‫انًؼبدنخ‬ ‫يًٛض‬ ٌ‫أ‬ ٍٛ‫ث‬ْٕ:∆= 2 2 1 + 𝑖
2
ٍٛ‫انحه‬ ‫حذد‬ ‫صى‬𝑧1ٔ𝑧2.
‫َضغ‬:𝑎 = 2𝑖ٔ𝑏 = 2 1 + 𝑖ٌ‫أ‬ ‫رحمك‬:𝑧1 = 𝑎 + 𝑏ٔ𝑧1 = 𝑎 − 𝑏
‫اكزت‬ ٔ𝑎ٔ𝑏ٙ‫انًضهض‬ ‫انشكم‬ ٗ‫ػه‬.
‫يًُظى‬ ‫يزؼبيذ‬ ‫يؼهى‬ ٗ‫إن‬ ‫انًُغٕة‬ ٘‫انؼمذ‬ ٖٕ‫انًغز‬ ٙ‫ف‬𝒪 , 𝑢 , 𝑣
‫انُمظ‬ ‫َؼزجش‬𝐴ٔ𝐵ٔ𝐶ٙ‫انزٕان‬ ٗ‫ػه‬ ‫أنحبلٓب‬ ٙ‫انز‬𝑎ٔ𝑏ٔ𝑧1.
‫انُمظ‬ ‫يضم‬𝐴ٔ𝐵ٔ𝐶ٌ‫أ‬ ‫رحمك‬ ٔ:𝑂𝐴 = 𝑂𝐵ٌ‫أ‬ ٔ:𝑂𝐶 = 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵
ٌ‫أ‬ ‫اعزُزظ‬ٌ‫أ‬ ‫صى‬ ٍٛ‫يؼ‬:𝑎𝑟𝑔 𝑧1 ≡
3𝜋
8
2𝜋
‫التمريه‬‫الثالث‬:(3,0‫ن‬)
‫ثٛذلبد‬ ‫رغغ‬ ٗ‫ػه‬ ‫كٛظ‬ ٕ٘‫ٚحز‬(‫ثبنهًظ‬ ‫ثُٛٓب‬ ‫انزًٛٛض‬ ٍ‫ًٚك‬ ‫ال‬):
‫انشلى‬ ٌ‫رحًال‬ ٍٚٔ‫ثٛضب‬ ٌ‫ثٛذلزب‬1‫األسلبو‬ ‫رحًم‬ ‫حًشاء‬ ‫ثٛذلبد‬ ‫صالصخ‬ ٔ1ٔ1ٔ2‫ثٛذلبد‬ ‫أسثغ‬ ٔ
‫األسلبو‬ ‫رحًم‬ ‫عٕداء‬1ٔ1ٔ2ٔ2.
‫انكٛظ‬ ٍ‫ي‬ ‫ثٛذلبد‬ ‫صالس‬ ‫ٔاحذ‬ ٌ‫آ‬ ٙ‫ف‬ ٔ ‫ػشٕائٛب‬ ‫َغحت‬.
‫انزبنٛخ‬ ‫األحذاس‬ ‫احزًبل‬ ‫أحغت‬:
𝐴" :ٌٕ‫انه‬ ‫يخزهفخ‬ ‫انًغحٕثخ‬ ‫انضالس‬ ‫انجٛذلبد‬(ٌٕ‫ن‬ ‫كم‬ ٍ‫ي‬ ‫ثٛذلخ‬). "
𝐵" :‫انشلى‬ ‫َفظ‬ ‫رحًم‬ ‫انًغحٕثخ‬ ‫انضالس‬ ‫انجٛذلبد‬. "
𝐶" :‫حًشاء‬ ‫ٔاحذح‬ ‫ثٛذلخ‬ ‫األلم‬ ٗ‫ػه‬ ‫رٕعذ‬ ‫انًغحٕثخ‬ ‫انجٛذلبد‬ ٍٛ‫ث‬ ٍ‫ي‬. "
‫انحذس‬ ‫احزًبل‬ ‫أحغت‬:𝐴 ∩ 𝐵.
1
1,50ٌ
1,00ٌ
1,00ٌ
0,75ٌ
1,00ٌ
1,00ٌ
2,25ٌ
0,75ٌ
2‫أ‬
‫ب‬
3
2
1
3
‫أ‬
‫ب‬
1
2
2
3
3
𝒮
𝐸
𝑧1
𝒪BCA
𝑧2𝐸

21. ‫العادٌــة‬ ‫الدورة‬2004-http://www.professeurbadr.blogspot.com–‫رمضان‬2013-‫الصفحة‬:18
I
‫التمريه‬‫الرابع‬:(10‫ن‬)
ٌ‫أ‬ ‫اعزُزظ‬𝑓‫فشدٚخ‬ ‫دانخ‬.
‫انذانخ‬ ‫رغٛشاد‬ ‫عذٔل‬ ‫إػظ‬𝑓.
‫انًؼهى‬ ٙ‫ف‬ ‫أَشئ‬𝒪 , 𝑖 , 𝑗ّ‫يؼبدنز‬ ٘‫انز‬ ‫انًغزمٛى‬𝑦 = 1 −
1
2
𝑥ُٗ‫انًُح‬ ‫أَشئ‬ ‫صى‬.
ٍٛ‫ث‬ ‫انًحصٕس‬ ٖٕ‫انًغز‬ ٍ‫ي‬ ‫انحٛض‬ ‫يغبحخ‬ ‫أحغت‬ٍٚ‫انهز‬ ًٍٛٛ‫انًغزم‬ ٔ ‫األفبصٛم‬ ‫يحٕس‬ ٔ
‫ًْب‬ ٙ‫انزٕان‬ ٗ‫ػه‬ ‫يؼبدنزبًْب‬:𝑥 = −1ٔ𝑥 = 0.
ٌ‫أ‬ ٍ‫ي‬ ‫رحمك‬:∀𝑥𝜖ℝ ;
1
𝑒−𝑥 + 1
= 1 −
1
𝑒 𝑥 + 1
‫انزبنٛخ‬ ‫انُٓبٚخ‬ ‫أحغت‬:lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
ٌ‫أ‬ ٍٛ‫ث‬:∀𝑥𝜖ℝ ; 𝑓′
𝑥 =
−1
2
𝑒 𝑥
− 1
𝑒 𝑥 + 1
2
ٌ‫أ‬ ٍٛ‫ث‬:‫ُْذعٛب‬ ‫انُزٛغخ‬ ‫ل‬ِّٔ‫أ‬ ‫صى‬. lim
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 − 1 −
1
2
𝑥 = 0
ٌ‫أ‬ ‫ػهًذ‬ ‫إرا‬
1
1 + 𝑒 𝑥
=
𝑒−𝑥
𝑒−𝑥 + 1
ٌ‫أ‬ ‫ثبنزشعغ‬ ٍٛ‫ث‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢 𝑛 > 0
ٌ‫أ‬ ‫انغؤال‬ ‫َزٛغخ‬ ‫ثبعزؼًبل‬ ‫رحمك‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢 𝑛+1 ≤
1
2
𝑢 𝑛.
‫انًززبنٛخ‬ ٌ‫أ‬ ‫اعزُزظ‬𝑢 𝑛 𝑛𝜖ℕ‫رُبلصٛخ‬.
ٌ‫أ‬ ٍٛ‫ث‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑢 𝑛 ≤
1
2
𝑛
‫احغت‬ ‫صى‬:lim
𝑛∞
𝑢 𝑛
ٍ‫نزك‬𝑓ٙ‫انحمٛم‬ ‫نهًزغٛش‬ ‫انؼذدٚخ‬ ‫انذانخ‬𝑥ٗ‫ػه‬ ‫انًؼشفخ‬ℝٙ‫ٚه‬ ‫ثًب‬:
𝑓 𝑥 = 1 −
1
2
𝑥 −
2
𝑒 𝑥 + 1
ٌ‫أ‬ ‫اعزُزظ‬:∀ 𝑥 𝜖 0; +∞ ; 1 −
2
𝑒 𝑥 + 1
≤
1
2
𝑥
∀𝑥𝜖ℝ ;
1
1 + 𝑒 𝑥
0
−1
𝑑𝑥 = ln
𝑒 + 1
2
ٌ‫أ‬ ٍٛ‫ث‬:
ٍ‫نزك‬𝑢 𝑛 𝑛𝜖ℕٙ‫ٚه‬ ‫ثًب‬ ‫انًؼشفخ‬ ‫انؼذدٚخ‬ ‫انًززبنٛخ‬:𝑢 𝑛+1 = 1 −
2
𝑒 𝑢 𝑛 + 1
; ∀𝑛𝜖ℕ
𝑢0 = 1
0,50ٌ
0,50ٌ
0,50ٌ
1,00ٌ
0,50ٌ
0,50ٌ
0,75ٌ
1,50ٌ
1,25ٌ
0,75ٌ
0,50ٌ
0,50ٌ
0,50ٌ
0,75ٌ
𝟏𝟏
𝟎𝟏𝟐C
𝟏𝟏
𝟎𝟏𝟐C
1‫أ‬
‫ب‬
2
3‫أ‬
‫ب‬
‫ج‬
4
5
6‫أ‬
‫ب‬
II
1
2‫أ‬
‫ب‬
3
I
I
I
I
I
I
I
I
I
II
II
II
II
2
6
3
3
1
I3‫ج‬
I
6 I

22. ً‫الفاتح‬ ‫الدٌن‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2013‫الصفحة‬:𝟏𝟗 ‫العادٌــــة‬ ‫الدورة‬ ‫امتحان‬ ‫أجوبة‬2004
‫األول‬ ‫التمرٌن‬:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
− 4𝑦 + 2𝑧 + 2 = 0
‫لدٌنا‬𝒮‫التالٌة‬ ‫الدٌكارتٌة‬ ‫بالمعادلة‬ ‫معرفة‬:
‫إذن‬𝒮‫مركزها‬ ‫فلكة‬Ω 0; 2; −1‫شعاعها‬ ‫و‬:𝑟 = 3.
‫إذن‬:𝐴 −1; 1; 0 𝜖 𝒮
‫لٌكن‬𝒫‫للفلكة‬ ‫المماس‬ ‫المستوى‬𝒮‫النقطة‬ ً‫ف‬𝐴 −1; 1; 0.
‫الفلكة‬ ‫مركز‬ ‫أن‬ ‫بما‬𝒮‫هو‬Ω 0; 2; −1‫المتجهة‬ ‫فإن‬
Ω𝐴 −1; −1; 1‫المستوى‬ ‫على‬ ‫منظمٌة‬𝒫.
‫للمستوى‬ ‫الدٌكارتٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫إذن‬𝒫ً‫التال‬ ‫الشكل‬ ‫على‬ ‫تكتب‬:
‫المجهول‬ ‫قٌمة‬ ‫لتحدٌد‬ ‫و‬𝑏‫نعوض‬𝑥‫و‬𝑦‫و‬𝑧‫النقطة‬ ‫بإحداثٌات‬𝐴
‫ألن‬:𝐴 𝜖 𝒫
ً‫ٌعن‬:𝐴 𝜖 𝒫 ⇒ 1 − 1 + 0 + 𝑏 = 0 ⟹ 𝑏 = 0
‫للمستوى‬ ‫الدٌكارتٌة‬ ‫فالمعادلة‬ ً‫بالتال‬ ‫و‬𝒫‫تصبح‬:
‫لدٌنا‬:𝑛 1;1; 1‫المستوى‬ ‫على‬ ‫منظمٌة‬ ‫متجهة‬𝑄.
‫للمستوى‬ ‫الدٌكارتٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫إذن‬𝑄ً‫التال‬ ‫الشكل‬ ‫على‬ ‫تكتب‬:
‫لدٌنا‬:𝐵 1; 3; −2 𝜖 𝑄 ⇒ 1 + 3 − 2 + 𝑐 = 0 ⟹ 𝑐 = −2
ً‫الثان‬ ‫التمرٌن‬:
‫التالٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫نعتبر‬:𝐸 ∶ 𝑧2
− 4𝑖𝑧 − 4 1 + 𝑖 = 0
‫لدٌنا‬:∆= −4𝑖 2
+ 4 × 4 × 1 + 𝑖
‫لدٌنا‬:
‫لدٌنا‬:𝑎 = 2𝑒
𝑖𝜋
2‫و‬𝑏 = 2𝑒
𝑖𝜋
4.
‫إذن‬:𝑎 = 2𝑒
𝑖𝜋
2 = 2‫و‬𝑏 = 2𝑒
𝑖𝜋
4 = 2.
‫أن‬ ‫نالحظ‬:𝑎 = 𝑏‫إذن‬:𝑎 − 0 = 𝑏 − 0‫أي‬:𝑂𝐴 = 𝑂𝐵
‫كذلك‬ ‫لدٌنا‬ ‫و‬𝑧1 = 𝑎 + 𝑏‫إذن‬:𝑧1 − 0 = 𝑎 − 0 + 𝑏 − 0.
ً‫ٌعن‬:𝑂𝐶 = 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵‫أي‬:𝑂𝐴𝐶𝐵‫أضالع‬ ‫متوازي‬.
‫النقطة‬ ‫إذن‬ ‫نرسم‬𝐴‫الدٌكارتٌة‬ ‫اإلحداثٌات‬ ‫باستعمال‬𝐴 0; 2
‫النقطة‬ ‫نرسم‬ ‫و‬𝐵‫المسافة‬ ‫باستعمال‬𝑂𝐵 = 2‫الزاوٌة‬ ‫و‬𝐵𝑂 𝐴 =
𝜋
4
.
‫النقطة‬ ‫نرسم‬ ‫ثم‬𝐶‫المعلومة‬ ‫باستعمال‬:𝑂𝐴𝐶𝐵‫أضالع‬ ‫متوازي‬.
‫أن‬ ‫بما‬𝑂𝐴𝐶𝐵‫متقاٌسان‬ ‫فٌه‬ ‫متقابلٌن‬ ‫ضلعٌن‬ ‫كل‬ ‫فإن‬ ‫أضالع‬ ‫متوازي‬.
‫أن‬ ً‫ٌعن‬:𝐴𝐶 = 𝑂𝐵‫وكذلك‬𝑂𝐴 = 𝐵𝐶.
‫السؤال‬ ‫حسب‬ ‫نعلم‬ ‫و‬‫أ‬)‫أن‬:𝑂𝐴 = 𝑂𝐵.
‫أن‬ ‫نستنتج‬ ‫إذن‬:𝐵𝐶 = 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝐴𝐶.
ً‫الرباع‬ ‫أضالع‬ ‫جمٌع‬ ‫أن‬ ً‫ٌعن‬ ‫هذا‬ ‫و‬𝑂𝐴𝐶𝐵‫متقاٌسة‬.‫معٌن‬ ‫فهو‬ ‫إذن‬.
𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑦 + 𝑧2
+ 2𝑧 + 2 = 0
𝑥2
+ 𝑦 − 2 2
+ 𝑧 + 1 2
− 4 − 1 + 2 = 0
𝑥 − 0 2
+ 𝑦 − 2 2
+ 𝑧 + 1 2
= 3
2
‫لدٌنا‬:−1 2
+ 12
+ 02
− 4 × 1 − 2 × 0 + 2 = 0
𝒫 ∶ −𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 𝑏 = 0
𝑄 ∶ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑐 = 0
∆= −16 + 16 1 + 𝑖 = 16𝑖 = 8 × 2𝑖 = 8 × 2𝑖 − 1 + 1
= 8 2𝑖 + 𝑖2
+ 12
= 8 𝑖 + 1 2
= 8 1 + 𝑖
2
𝑧1 =
4𝑖 + 2 2 1 + 𝑖
2
= 2 + 2 𝑖 + 2
𝑧2 =
4𝑖 − 2 2 1 + 𝑖
2
= 2 − 2 𝑖 − 2
𝑧1 = 2 + 2 𝑖 + 2 = 2𝑖 + 2 1 + 𝑖 = 𝑎 + 𝑏
𝑧2 = 2 − 2 𝑖 − 2 = 2𝑖 − 2 1 + 𝑖 = 𝑎 − 𝑏
𝑎 = 2𝑖 = 2 0 + 1𝑖 = 2 cos
𝜋
2
+ 𝑖 sin
𝜋
2
= 2𝑒
𝑖𝜋
2
𝑏 = 2 1 + 𝑖 = 2
2
2
+ 𝑖
2
2
= 2 cos
𝜋
4
+ 𝑖 sin
𝜋
4
= 2𝑒
𝑖𝜋
4
𝐴
𝐵
𝐻𝑂
𝐶
1
1
𝜋
4 𝜋
4
‫إذن‬:∆= 2 2 1 + 𝑖
2
𝒫 ∶ −𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
‫للمستوى‬ ‫الدٌكارتٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫إذن‬𝑄‫تصبح‬:𝑄 ∶ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2 = 0
1
2
‫أ‬ 2
‫أ‬ 3
‫ب‬ 2
3
3
1
3‫ب‬
: ‫هما‬ 𝑧2 ‫و‬ z1 ‫المعادلة‬ ‫حال‬ ً‫بالتال‬ ‫و‬

23. ً‫الفاتح‬ ‫الدٌن‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2013‫الصفحة‬:𝟐𝟎 ‫العادٌــــة‬ ‫الدورة‬ ‫امتحان‬ ‫أجوبة‬2004
‫الثالث‬ ‫التمرٌن‬:
‫الشكل‬ ‫حسب‬ ‫لدٌنا‬:arg 𝑧1 ≡ 𝐻𝑂 𝐶 2𝜋.
‫كذلك‬ ‫لدٌنا‬ ‫و‬:𝐻𝑂 𝐶 = 𝐻𝑂 𝐵 + 𝐵𝑂 𝐶
‫أن‬ ‫نعلم‬:arg 𝑏 ≡
𝜋
4
2𝜋‫إذن‬:𝐻𝑂 𝐵 =
𝜋
4
.
‫كذلك‬ ‫لدٌنا‬ ‫و‬𝑂𝐴𝐶𝐵‫متعامدان‬ ‫قطراه‬ ‫إذن‬ ‫معٌن‬
‫أن‬ ً‫ٌعن‬ ‫هذا‬ ‫و‬𝑂𝐶‫الزاوٌة‬ ‫منصف‬ ‫هو‬
𝜋
4
= 𝐵𝑂 𝐴.
‫إذن‬:𝐵𝑂 𝐶 = 𝐶𝑂 𝐴 =
𝜋
8
.
‫النتٌجة‬ ‫إلى‬ ‫بالرجوع‬ ‫إذن‬∎‫أن‬ ‫نستنتج‬:𝐻𝑂 𝐶 =
𝜋
4
+
𝜋
8
=
3𝜋
8
.
2
1
1
2
1
11
21
‫ٌحتوي‬ ‫كٌس‬ ‫من‬ ‫بٌدقات‬ ‫ثالث‬ ‫واحد‬ ‫آن‬ ً‫ف‬ ‫و‬ ‫عشوائٌا‬ ‫نسحب‬ ‫عندما‬
‫على‬9‫تحتمل‬ ‫العشوائٌة‬ ‫التجربة‬ ‫هذه‬ ‫فإن‬ ‫بٌدقات‬𝐶9
3
‫ممكنة‬ ‫نتٌجة‬.
ً‫ٌعن‬:𝑐𝑎𝑟𝑑 Ω = 𝐶9
3
= 84‫بحٌث‬Ω‫هذه‬ ‫امكانٌات‬ ‫كون‬ ‫هو‬
‫العشوائٌة‬ ‫التجربة‬.
‫الحدث‬𝐴 ∩ 𝐵‫هو‬" :‫كلها‬ ‫تحمل‬ ‫و‬ ‫اللون‬ ‫مختلفة‬ ‫المسحوبة‬ ‫الثالث‬ ‫البٌدقات‬
‫الرقم‬ ‫نفس‬. "
‫الرقم‬ ‫تحمل‬ ‫بٌدقات‬ ‫ٌضم‬ ‫ال‬ ‫الصندوق‬ ‫أن‬ ‫بما‬2‫الحدث‬ ‫فإن‬𝐴 ∩ 𝐵‫ٌتجلى‬
‫تحمل‬ ‫و‬ ‫اللون‬ ‫مختلفة‬ ‫بٌدقات‬ ‫ثالث‬ ‫على‬ ‫الحصول‬ ً‫ه‬ ‫و‬ ‫واحدة‬ ‫حالة‬ ً‫ف‬
‫الرقم‬ ‫كلها‬1.
ً‫بالتال‬ ‫و‬:
‫الرابع‬ ‫التمرٌن‬:
‫لٌكن‬𝑥‫من‬ ‫عنصرا‬ℝ.‫لدٌنا‬:
‫الدالة‬ ‫أن‬ ً‫ٌعن‬ ‫هذا‬ ‫و‬𝑓‫بالنسبة‬ ‫متماثل‬ ً‫المبٌان‬ ‫تمثٌلها‬ ‫و‬ ‫فردٌة‬ ‫دالة‬
‫المعلم‬ ‫ألصل‬
=
𝐶6
3
84
+
𝐶3
3
84
=
20
84
+
1
84
=
21
84
=
1
4
‫بٌدقات‬ ‫ثالث‬
‫الرقم‬ ‫تحمل‬2
𝑝 𝐵 = 𝑝
11 1 11
1 1 1
1 1 1
= 𝑝
1 1 1
1 1 11
1 1 1
‫أو‬
1 1 1
1 11 1
1 1 1
‫بٌدقات‬ ‫ثالث‬
‫نفس‬ ‫تحمل‬
‫الرقم‬
‫بٌدقات‬ ‫ثالث‬
‫الرقم‬ ‫تحمل‬1
= 𝑝
11 1 11
1 1 1
1 1 1
+ 𝑝
1 1 1
1 1 11
1 1 1
‫بٌدقات‬ ‫ثالث‬
‫الرقم‬ ‫تحمل‬2
‫بٌدقات‬ ‫ثالث‬
‫الرقم‬ ‫تحمل‬1
= 𝑝
1111
1
1
1
+ 𝑝
1111
1
1
1
+ 𝑝
1111
1
1
1
𝑝 𝐶 = 𝑝
11 1 11
1 1 1
1 1 1
‫البٌدقات‬ ‫بٌن‬ ‫من‬
‫واحدة‬ ‫توجد‬ ‫الثالث‬
‫األقل‬ ‫على‬ ‫حمراء‬
= 𝑝
1 11 1
11 1 1
1 1 1
‫أو‬
111 11 1
11 1 111
1 1 11
‫أو‬
1
111
‫حمراء‬ ‫بٌدقة‬
‫األخرٌٌن‬ ‫و‬
‫األحمر‬ ‫ٌخالفان‬
‫حمراوٌن‬ ‫بٌدقتان‬
‫تخالف‬ ‫األخرى‬ ‫و‬
‫األحمر‬
‫ثالث‬
‫بٌدقات‬
‫حمراء‬
=
𝐶3
1
× 𝐶6
2
84
+
𝐶3
2
× 𝐶6
1
84
+
𝐶3
3
84
=
45
84
+
18
84
+
1
84
=
64
84
=
16
21
‫لدٌنا‬:‫الحدث‬𝐶‫حمراء‬ ‫بٌدقة‬ ‫على‬ ‫األقل‬ ‫على‬ ‫الحصول‬ ‫هو‬.
‫إذن‬:‫الحدث‬𝐶‫األحمر‬ ‫اللون‬ ‫كلها‬ ‫تخالف‬ ‫بٌدقات‬ ‫ثالث‬ ‫على‬ ‫الحصول‬ ‫هو‬.
‫لدٌنا‬:
‫منه‬ ‫و‬:
‫إذن‬:𝑝 𝐶 =
5
21
𝑝 𝐶 = 1 − 𝑝 𝐶 = 1 −
5
21
=
16
21
= 𝑝
1111
1
1
1
=
𝐶2
1
× 𝐶2
1
× 𝐶2
1
84
=
8
84
=
2
21
1
1
1
𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑝 𝐴 ‫و‬ 𝐵 = 𝑝
11 1 11
1 11111111 1
1 1 1
‫الرقم‬ ‫تحمل‬ ‫حمراء‬ ‫كرة‬1
‫الرقم‬ ‫تحمل‬ ‫بٌضاء‬ ‫كرة‬ ‫و‬1
‫الرقم‬ ‫تحمل‬ ‫سوداء‬ ‫كرة‬ ‫و‬1
1 −
1
𝑒 𝑥 + 1
=
𝑒 𝑥
+ 1 − 1
𝑒 𝑥 + 1
=
𝑒 𝑥
𝑒 𝑥 + 1
=
𝑒 𝑥
𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 + 1
=
1
1 + 𝑒−𝑥
𝑓 −𝑥 = 1 +
1
2
𝑥 −
2
𝑒−𝑥 + 1
= 1 +
1
2
𝑥 − 2 1 −
1
𝑒−𝑥 + 1
= −1 +
1
2
𝑥 +
2
1 + 𝑒 𝑥
= − 1 −
1
2
𝑥 −
2
1 + 𝑒 𝑥
= −𝑓(𝑥)
‫إذن‬:∀𝑥𝜖ℝ ; 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)
𝑝 𝐴 = 𝑝
1 1 1
11 1 11
= 𝑝
11 1 11
1 1 1
1 1 1
‫بٌدقات‬ ‫ثالث‬
‫اللون‬ ‫مختلفة‬
‫حمراء‬ ‫بٌدقة‬
‫سوداء‬ ‫بٌدقة‬ ‫و‬
‫بٌضاء‬ ‫بٌدقة‬ ‫و‬
=
𝐶3
1
× 𝐶4
1
× 𝐶2
1
𝑐𝑎𝑟𝑑 Ω
=
3 × 4 × 2
84
=
2
7
ً‫بالتال‬ ‫و‬:arg 𝑧1 ≡
3𝜋
8
2𝜋.
1
2
‫أ‬ 1 I
I1‫ب‬
∎
‫لحساب‬ ‫أخرى‬ ‫طرٌقة‬ ‫توجد‬𝑝 𝐶‫المضاد‬ ‫الحدث‬ ‫تقنٌة‬ ‫استعمال‬ ً‫ه‬ ‫و‬.
‫التالٌة‬ ‫بالعالقة‬ ‫عنها‬ ‫نعبر‬ ً‫الت‬ ‫و‬:𝑝 𝐶 = 1 − 𝑝 𝐶
=
𝐶4
3
84
+
𝐶4
2
𝐶2
1
84
+
𝐶4
1
𝐶2
2
84
=
4
84
+
12
84
+
4
84
=
20
84
=
5
21
𝑝 𝐶 = 𝑝
11 1 11
1 1 1
1 1 1
‫الثالث‬ ‫البٌدقات‬
‫اللون‬ ‫كلها‬ ‫تخالف‬
‫األحمر‬
= 𝑝
1 11 1
11 1 1
1 1 1
‫أو‬
111 11 1
11 1 111
1 1 11
‫أو‬
1
111
‫الثالت‬ ‫البٌدقات‬
‫سوداء‬ ‫كلها‬
‫اللون‬
‫سوداوٌن‬ ‫بٌدقتان‬
‫األخرى‬ ‫و‬
‫بٌضاء‬ ‫المتبقٌة‬
‫سوداء‬ ‫بٌدقة‬
‫األخرٌان‬ ‫و‬
‫بٌضاوٌن‬