Dokumen tersebut membahas model-model energi dalam zat padat, termasuk model klasik, model Einstein, model Debye, dan model Born-Von Karmann. Model klasik mengasumsikan atom bergerak seperti osilator harmonik, sehingga energi tidak bergantung suhu. Model Einstein mempertimbangkan sifat kuantum osilator, sehingga energi berubah dengan suhu. Model Debye mempertimbangkan interaksi antar atom, sehingga frekuensi getaran bervariasi. Model Born-V

1. Nama: Risdawati Hutabarat
NPM: 1215031064
Kelas: B
Mencari Model-model Energi dalam zat padat
Pada umumnya untuk zat padat, energi yang diberikan kepada getaran kisi
merupakan andil yang terpenting pada kapasitas termal, malah pada bahan isolator non-
magnetik getaran kisi merupakan kontribusi satu-satunya. Sedangkan kontribusi lainnya
berupa konduksi elektron terjadi pula pada logam, dan keberaturan magnetik terjadi pada
bahan magnet.
Gambar 1. Kebergantungan kapasitas panas zat padat pada suhu
a. Model Teori Klasik
Menurut fisika klasik, getaran atom-atom zat padat dapat dipandang sebagai
osilator harmonik. Osilator harmonik merupakan suatu konsep/model yang secara
makroskopik dapat dibayangkan sebagai sebuah massa m yang terkait pada sebuah
pegas dengan tetapan pegas C.
Untuk osilator harmonik satu-dimensi, energinya dapat dirumuskan :
𝜀 = 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖 𝑘𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑘 + 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑎𝑙
𝜀 =
1
2
𝑚𝑣2
+
1
2
𝑐𝑥2
𝜀 =
𝑚
2
(𝑣2
+ 𝜔2
𝑥2)
dengan v laju getaran osilator, x simpangan osilator ω frekuensi sudut getaran
osilator (= √
𝑐
𝑚
).
Untuk osilator harmonik satu dimensi yang mempunyai dua derajad bebas
mempunyai energi rata-rata :
Selanjutnya, karena atom-atom dalam kristal membentuk susunan tiga-dimensi,
maka untuk satu mol osilator harmonik tiga-dimensi, energi dalamnya :

2. Dengan demikian kapasitas kalornya :
dari hasil (2.42) ini terlihat bahwa menurut model fisika klasik, kapasitas panas
zat padat tidak bergantung suhu dan berharga 3R. Hal ini sesuai dengan hukum
Dulong-Petit yang hanya berlaku untuk suhu tinggi. Sedangkan untuk suhu rendah
jelas teori ini tidak berlaku.
b. Model Einstein
Dalam model ini, atom-atom dianggap sebagai osilator-osilator bebas yang
bergetar tanpa terpengaruh oleh osilator lain di sekitarnya. Energi osilator
dirumuskan secara kuantum (berdasarkan teori kuantum) yang berharga diskrit :
Pada tingkat dasar n = 0, energi osilator є0 = 0.
Tingkat berikutnya n = 1, 2 dan seterusnya. Perbedaan energi antar tingkat adalah
ђω ; lihat gambar 2.12.
Gambar 2. Spektrum energi osilator satu dimensi menurut teori kuantum.
Pada keseimbangan termal, energi rata-rata osilator dinyatakan oleh :
faktor (bobot) Boltzmann exp(-єn/kT) menyatakan kebolehjadian keadaan berenergi
єn tertempati. Persamaan (2.44) dalam bentuk deret tersebut ekuivalen dengan
ungkapan :
Selanjutnya, untuk satu mol osilator tiga-dimensi memiliki energi dalam :
Sehingga kapasitas kalornya:

3. Dalam model Einstein frekuensi osilator ω biasa ditulis ωE yang disebut frekuensi
Einstein.
Untuk menyederhana persamaan (2.46) didefinisikan suhu Einstein (θE) menurut :
dan persamaan (2.46) tereduksi menjadi :
Pada suhu tinggi (T>>), maka nilai (θE/T) berharga kecil; sehingga exp (θE/T)
dapat diuraikan ke dalam deret sebagai berikut :
Menurut hasil ini jelas bahwa model Einstein cocok pada suhu tinggi. Bagaimana
untuk suhu rendah? Pada suhu rendah (T<<) nilai (θE/T) besar. Hal ini berdampak
pada penyebut dalam persamaan (2.48); yaitu :
sehingga ungkapan kapasitas panas menjadi :
Dengan,

4. c. Model Debye
Dalam model Einstein, atom-atom dianggap bergetar secara terisolasi dari atom
di sekitarnya. Anggapan ini jelas tidak dapat diterapkan, karena gerakan atom
akan saling berinteraksi dengan atom-atom lainnya. Seperti dalam kasus
penjalaran gelombang mekanik dalam zat padat, oleh karena rambatan gelombang
tersebut atom-atom akan bergerak kolektif. Frekuensi getaran atom bervariasi dari
ω=0 sampai dengan ω =ωD. Batas frekuensi ωD disebut frekuensi potong Debye.
Menurut model Debye ini, energi total getaran atom pada kisi diberikan oleh
ungkapan
є (ω) adalah energi rata-rata osilator seperti pada model Einstein
sedangkan g (ω) adalah rapat keadaan
Dalam selang frekuensi antara ω = 0 dan ω = ωD, g(ω) memenuhi :
Apabila kita menggambarkan kontur yang berhubungan dengan ω = ωD dalam
ruang - q seperti pada gambar 2.4. akan diperoleh sebuah bola yang disebut bola
Debye, dengan jejari qD yang disebut jejari Debye dan memenuhi
Pada suhu tinggi (T>>θD), batas atas integral (θD/T) sangat kecil, demikian
juga variabel x. Sebagai pendekatan dapat diambil : ex ≅ 1 + x
sehingga integral yang bersangkutan menghasilkan Masukkan hasil ini kepersamaan
(2.56)

5. 3DSesuai dengan hukum Dulong-Petit, sehingga pada suhu tinggi model ini cocok
dengan hasil eksperimen. Pada suhu rendah (T<<θD), batas integral pada
persamaan (2.56) menuju tak
berhingga; dan integral tersebut menghasilkan 4π4
/15. Dengan demikian :
Gambar 3 Rapat keadaan menurut Model Debye.
d. Model Born-Von- Karmann
Kondisi batas Born- von Karman adalah kondisi batas periodik yang memaksakan
pembatasan bahwa fungsi gelombang harus periodik pada Bravais kisi tertentu .
( Dinamakan Max Born dan Theodore Von Karman ) . Kondisi ini sering diterapkan
dalam fisika keadaan padat untuk model kristal yang ideal .
Kondisi tersebut dapat dinyatakan sebagai
Kondisi tersebut dapat dinyatakan sebagai di mana saya berjalan di atas dimensi kisi
Bravais , ai adalah vektor primitif kisi , dan Ni adalah setiap bilangan bulat ( dengan
asumsi kisi tak terbatas ) . Definisi ini dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa:
untuk setiap kisi vektor translasi T sedemikian rupa sehingga :
Kondisi batas Born- von Karman adalah penting dalam fisika keadaan padat untuk
menganalisis banyak fitur dari kristal , seperti difraksi dan celah pita . Pemodelan
potensi kristal sebagai fungsi periodik dengan kondisi batas Born- von Karman dan
menghubungkannya dengan hasil persamaan Schrödinger dalam bukti teorema Bloch ,
yang sangat penting dalam memahami struktur pita kristal .