2. I. Trôc to¹ ®é:I. Trôc to¹ ®é:
• 1.1. ĐĐÞnh nghÜaÞnh nghÜa
• Trôc to¹ ®é ( cßn gäi lµ trôc hay trôcTrôc to¹ ®é ( cßn gäi lµ trôc hay trôc
sè) lµ mét ®êng th¼ng trªn ®ã ®· x¸csè) lµ mét ®êng th¼ng trªn ®ã ®· x¸c
®Þnh mét ®iÓm O vµ mét vÐc t¬®Þnh mét ®iÓm O vµ mét vÐc t¬
cãcã
i
r
O
i
r
1i =
r
3. - ĐĐiÓm O gäi lµiÓm O gäi lµ
- VÐc t¬ gäi lµVÐc t¬ gäi lµ
- Trôc to¹ ®é cã gèc O vµ vÐc t¬ ®¬n vÞ- Trôc to¹ ®é cã gèc O vµ vÐc t¬ ®¬n vÞ
KÝ hiÖu lµKÝ hiÖu lµ
hay gäi lµ trôc Xhay gäi lµ trôc X’’
OX hoÆc trôc OXOX hoÆc trôc OX
i
r
O XX’
i
r Gèc to¹ ®é
vÐc t¬ ®¬n vÞ
i
r
( );O i
r
LÊy ®iÓm I trªn trôc OX sao cho
Khi ®ã tia OI cßn ®îc kÝ hiÖu lµ
OX
Tia ®èi cña OX lµ OX’
OI i=
uur r
I
4. C¸c h×nh vÏ sau cã biÓu thÞC¸c h×nh vÏ sau cã biÓu thÞ
mét trôc to¹ ®é kh«ngmét trôc to¹ ®é kh«ng
O
J
ur
'
J
uur O
'
i
r
O
( );O j
r
O
n
r
( )'
;O i
r
( )'
;O j
ur
( );O n
r
Trôc Trôc
Trôc
Trôc
5. Cho vÐc t¬ n»m trªn trôc H·y x¸cCho vÐc t¬ n»m trªn trôc H·y x¸c
®Þnh®Þnh
sè a ®Ósè a ®Ó
( );O i
r
u ai=
r ru
r
u
r
O
i
r
u
r
a =
3
O
u
r
a = -2
a =
2,5O
Ta nãi cã to¹ ®é
lµ 3
u
r
Ta nãi cã to¹ ®é lµ
-2
Ta nãi cã to¹ ®é lµ 2 ,
5
u
r
u
r
X
X
X
VËy to¹ ®é cña mét vÐc t¬
®îc x¸c ®Þnh nh thÕ nµo?
6. 2. To¹ ®é cña vÐc t¬ vµ cña ®iÓm trªn trôc2. To¹ ®é cña vÐc t¬ vµ cña ®iÓm trªn trôc
a- To¹ ®é cña vÐc t¬:a- To¹ ®é cña vÐc t¬:
Cho vÐc t¬ u n»m trªn trôc (O; i )Cho vÐc t¬ u n»m trªn trôc (O; i )
khi ®ã cã sè a x¸c ®Þnh ®Ókhi ®ã cã sè a x¸c ®Þnh ®Ó
Sè a gäi lµ to¹ ®é cña vÐc t¬ u ®èi víi trôcSè a gäi lµ to¹ ®é cña vÐc t¬ u ®èi víi trôc
(O; i)(O; i)
VÝ dô1:VÝ dô1:
u ai=
r r
H·y chØ ra to¹ ®é cña c¸c
vÐc t¬ sau
1 3u i=
r r
2
2
3
u i= −
r r
3 0,5u i=
r r
u⇒
r
vµ i
r
Cïng ph¬ng
7. VÝ dô 2: BiÕt to¹ ®é cña c¸c vÐct¬VÝ dô 2: BiÕt to¹ ®é cña c¸c vÐct¬
trªn trôc ox lÇn lît lµ: 3; -1 ;0trªn trôc ox lÇn lît lµ: 3; -1 ;0
U V W
H·y biÓu thÞ c¸c vÐct¬ ®ã
qua vÐct¬ ®¬n vii
U = 3= 3 i
V = -1= -1 i
W = 0= 0 i
8. b- To¹ ®é cña ®iÓm M ®èi víi trôcb- To¹ ®é cña ®iÓm M ®èi víi trôc( );O i
r
Cho ®iÓm M n»m trªn trôc
Khi ®ã cã sè m x¸c ®Þnh ®Ó
Sè m gäi lµ to¹ ®é cña ®iÓm M ®èi víi trôc
(O; i )
OM mi=
uuuur r
( );O i
r
Cã duy nhÊt mét vÐc t¬ OM ®îc x¸c
®Þnh
VÝ dô :
1 5OM i=
uuuur r
2 3OM i= −
uuuuur r
3
1
4
OM i=
uuuuur r
Cho c¸c vÐc t¬ sau n»m trªn
trôc H·y x¸c ®Þnh to¹ ®é cña
c¸c ®iÓm M1; M2; M3 ®èi víi trôc
(O; i)
(O; i )
9. Bµi to¸n1: Trªn trôc Ox cho c¸c ®iÓm A, B, CBµi to¸n1: Trªn trôc Ox cho c¸c ®iÓm A, B, C
lÇn lît cã täa ®é 2; -3; -1lÇn lît cã täa ®é 2; -3; -1
a – H·y biÓu diÔn c¸c ®iÓm ®ã trªn trôc Ox.a – H·y biÓu diÔn c¸c ®iÓm ®ã trªn trôc Ox.
b – BiÓu diÔn c¸c vÐc t¬ AB vµ AC theob – BiÓu diÔn c¸c vÐc t¬ AB vµ AC theo
hiÖu cña 2 vÐc t¬ cã ®iÓm gèc lµ OhiÖu cña 2 vÐc t¬ cã ®iÓm gèc lµ O
c –BiÓu diÔn c¸c vÐc t¬ OA; OB; OC; AB,c –BiÓu diÔn c¸c vÐc t¬ OA; OB; OC; AB,
AC theo vÐc t¬ iAC theo vÐc t¬ i
c – X¸c ®Þnh to¹ ®é cña OA; OB; OC; AB,c – X¸c ®Þnh to¹ ®é cña OA; OB; OC; AB,
ACAC
O xAB C
1
10. B
OA = 2 i OB = -3 i OC =-1 i
= OB –
OA
O A X
1
C
b- Ta cã
AC = OC -
OA
= OC –
OA
AB AC
AB = OB -
OA
= -3 i – 2i = (-3-2) i = - 5 i
= - i - 2 i = (-1-2) i = - 3
i
c- Ta
cã
11. Bµi to¸n 2:Bµi to¸n 2: Trªn trôc Ox cho hai ®iÓm A vµTrªn trôc Ox cho hai ®iÓm A vµ
B lÇn lît cã to¹ ®é lµ a vµ b.B lÇn lît cã to¹ ®é lµ a vµ b.
a -a - TìmTìm to¹ ®é cña vÐc t¬ ABto¹ ®é cña vÐc t¬ AB
b -b - TìmTìm to¹ ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ngto¹ ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng
ABAB
Do A cã to¹ ®é lµ a nªn OA = a i
B cã to¹ ®é lµ b nªn OB = b i
Ta cã AB = OB –
OA
Gi¶i
OI = (OA +
OB )
1
2
= b i – a i = ( b – a )
i1
2
1
2
= (a i + b i ) =
(a+b) i
12. VËy to ¹ ® é cña vÐc t¬ ABlµ b - a
to ¹ ® é trung ® iÓ m Icña ABlµ (a +
b)
1
2
13. 3-3- ĐĐé dµi ®¹i sè cña vÐc t¬ trªn trôcé dµi ®¹i sè cña vÐc t¬ trªn trôc
1-1- ĐĐÞnh nghÜa:Þnh nghÜa:
NÕu hai ®iÓm A vµ B n»m trªn trôc OxNÕu hai ®iÓm A vµ B n»m trªn trôc Ox
ThThìì to¹ ®é cña vÐc t¬ ABto¹ ®é cña vÐc t¬ AB ký hiÖu lµ ABký hiÖu lµ AB
Gäi lµ ®é dµi ®¹i sè cña vÐc t¬ ABGäi lµ ®é dµi ®¹i sè cña vÐc t¬ AB
trªn trôc Oxtrªn trôc Ox
VËyVËy AB = AB iAB = AB i
NÕu AB cïng híng víi vÐct¬ i thNÕu AB cïng híng víi vÐct¬ i thìì AB > 0AB > 0
NÕu AB ngîc híng víi vÐct¬ i thNÕu AB ngîc híng víi vÐct¬ i thìì AB < 0AB < 0
14. OA = 2 i
OB = 4 i
OC =-1 i
AB = - 5 i
AC = - 3 i
H·y chØ ra ®é dµi ®¹i sè
cña c¸c vÐc t¬ sau
15. 2 - Chó ý2 - Chó ý
Trªn trôc sè:Trªn trôc sè:
* Hai vÐc t¬ AB vµ CD b»ng nhau khi* Hai vÐc t¬ AB vµ CD b»ng nhau khi
vµ chØ khi AB = CDvµ chØ khi AB = CD
* AB + BC = AC AB + BC = AC* AB + BC = AC AB + BC = AC⇔
16. II- HÖ trôc toa ®éII- HÖ trôc toa ®é
y
O
ij
§iÓm O gäi lµ gèc to¹
®éTrôc OX gäi lµ trôc
hoµnhTrôc OY gäi lµ trôc tung
Ta cã hÖ trôc to¹ ®é vµ ký hiÖu lµ Oxy
x
O
17. Chó ý:Chó ý:
• Khi trong mÆt ph¼ng ®· cã mét hÖ trôcKhi trong mÆt ph¼ng ®· cã mét hÖ trôc
to¹ ®é thto¹ ®é thìì ta gäi mÆt ph¼ng ®ã lµta gäi mÆt ph¼ng ®ã lµ mÆtmÆt
ph¼ng to¹ ®éph¼ng to¹ ®é
18. H·y biÓu thÞ mçi vÐc t¬ a , b , u, v qua haiH·y biÓu thÞ mçi vÐc t¬ a , b , u, v qua hai
vÐc t¬ i vµ jvÐc t¬ i vµ j
Y
XO
ij
a b
u
v
19. III. To¹ ®é cña vÐc t¬ ®èi víi hÖ trôc to¹ ®éIII. To¹ ®é cña vÐc t¬ ®èi víi hÖ trôc to¹ ®é
1.1. ĐĐÞnh nghÜaÞnh nghÜa::
ĐĐèi víi hÖ trôc to¹ ®éèi víi hÖ trôc to¹ ®é
NÕu a =NÕu a = xx i +i + yy j thj thìì cÆp sè (x; y )cÆp sè (x; y ) ®îc gäi®îc gäi
lµlµ to¹ ®é cña vÐc t¬ ato¹ ®é cña vÐc t¬ a
KÝ hiÖuKÝ hiÖu lµlµ a = (x; y)a = (x; y) hayhay a ( x; y)a ( x; y)
x gäi lµ hoµnh ®éx gäi lµ hoµnh ®é cña vÐc t¬ acña vÐc t¬ a
( ); ;O i j
rr
y gäi lµ tung ®é cña vÐc t¬ a
20. Bµi tËp 4Bµi tËp 4
ĐĐèi víi hÖ to¹ ®é h·y chØ ra to¹èi víi hÖ to¹ ®é h·y chØ ra to¹
®é cña c¸c vÐc t¬:®é cña c¸c vÐc t¬:
( ); ;O i j
r r
0
r
i
r
j
r
i j+
r r
2 j i−
r r
3 0,14i j+
r r
Cã to¹ ®é lµ (0 ;
0)
V× =0 0i j+
r r
0
r
Cã to¹ ®é lµ (1 ;
0)
V× =1 0i j+
r r
i
r
Cã to¹ ®é lµ (0 ;
1)
V× =0 1i j+
r r
j
r
Cã to¹ ®é lµ (1 ;
1)
V× 0 1i j= +
r r
i j+
r r
Cã to¹ ®é lµ (-1 ;
2) Cã to¹ ®é lµ
V× 1 2i j= − +
r r
2 j i−
r r
( )3;0,14
21. * NhËn xÐt:* NhËn xÐt:
ChoCho
Th×Th×
khi vµ chØ khi chóng cã cïngkhi vµ chØ khi chóng cã cïng
to¹ ®éto¹ ®é
NghÜa lµ x = xNghÜa lµ x = x’’
vµ y = yvµ y = y’’
a xi y j= +
r r r ' '
b x i y j= +
r r r
a b=
r r
