1. Bài 1: Phương pháp t a ñ trong không gian – Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t 1
BTVN BÀI PHƯƠNG PHÁP T A ð TRONG KHÔNG GIAN.
Bài 1: Cho ( ) ( ) ( )3;4; 1 ; 2;0;3 ; 3;5;4A B C− − tìm t a ñ các c nh c a tam giác ABC. Tính cosin các góc
A, B, C. Tìm di n tích tam giác ABC.
Gi i:
Áp d ng công th c tính kho ng cách gi a hai ñi m trong không gian ta có:
1 16 16 33
25 25 1 51
36 1 25 62
AB
BC
CA
 = + + =

= + + =

= + + =
Áp d ng công th c hàm s cosin trong tam giác ABC ta có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
33 62 51 45
os
2 . 2 33.62 2046
33 51 62 11
os
2 . 2 33.51 1683
62 51 33 40
os
2 . 2 62.51 3162
AB AC BC
C A
AB AC
BC BA AC
C B
AC BA
CB CA AB
C C
CA CB
 + − + −
= = =

 + − + −
= = =

 + − + −
= = =

Ta có:
2
45 45 21 1 1 21 21
os 1 . . sin . 33. 62.
2046 2 2 22046 2046 2046
C A SinA S AB AC S A= ⇒ = − = ⇒ = = =
Bài 2: Cho tam giác ABC v i ( ) ( ) ( )1;2; 1 , 2; 1;3 , 4;7;5A B C− − − . Tính ñ dài ñư ng phân giác trong
góc B.
Gi i:
Áp d ng công th c cho trư ng h p BD là phân giác trong ta có:
2 2 2
2 2 2
1 3 4
4 4
6 8 4
DA BA DA
DA DC
BCDC DC
+ +
= − ⇔ = − = − ⇔ = −
+ +
G i
( )
( )
17
31 16 4
1 ;2 ; 1 26
( ; ; ) 2 28 4
34 16 4 ;28 4 ;20 4
1 20 4
7
x
x x
DA x y z
D x y z y y y
DC x y z
z z
z

= −
− = − −  = − − − −  
⇒ ⇔ − = − ⇔ =  
= − − − −   − − = − =



2. Bài 1: Phương pháp t a ñ trong không gian – Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t Page 2 of 5
V y ( )
2 2
217 26 17 26 1514
; ;7 2 1 3 7
3 3 3 3 3
D BD
     
− ⇒ = + + − − + − =     
     
Bài 3: Cho ( ) ( ) ( )2;3;1 , 5;7;0 , 3; 2;4a b c= = = − . CMR: , ,a b c không ñ ng ph ng.
Cho ( )4;12;3d = . Hãy phân tích vectơ d theo 3 vectơ , ,a b c .
Gi i:
• Xét tích h n t p: , . 21 10 4 35 0a b c  = − − − = − ≠ 
• Gi i s (4;12; 3) (2;3;1) (5;7;0) (3; 2;4)d xa yb zc x y z= − = + + = + + −
2 5 3 4
3 7 2 12 ( , , ) (1;1; 1)
4 3
x y z
x y z x y z d a b c
x z
+ + =

⇔ + − = ⇔ = − ⇔ = + −
 + = −
Bài 4: Cho (1;2;4), (2; 1;0), ( 2;3; 1).A B C− − − G i ( , , ) ( )M x y z ABC∈ . Tìm h th c liên h gi a x,y,z
Tìm t a ñ ñi m D bi t ABCD là hình bình hành và tính di n tích hình bình hành ABCD.
Gi i:
Ta có:
( )
( )
( )
1; 3; 4
3;1; 5
1; 2; 4
AB
AC
AM x y z
 = − −

= − −

= − − −
( ) ( ). . 19( 1) 17 2 8 3 0 19 17 8 29 0AB AC AM x y z x y z ⇔ ⇔ − + − − − = ⇔ + − − = 
G i ( ) ( )( ; ; ) 1; 3; 4 2; 3; 1 1; 0; 5 ( 1;0; 5)D a b c AB CD a b c a b c D⇒ = ⇔ − − = + − + ⇔ = − = = − ⇒ − −
Ta có: 2 2 2
. 19 17 ( 8) 714ABCDS AB AC = = + + − = □
Bài 5: Cho t di n ABCD v i (2;3;1), (1;1; 2), (2;1;0), (0; 1;2)A B C D− − . ðư ng cao AH. Tìm t a ñ H và
ñ dài AH.
Gi i:
G i
( )
( )
( )
1;0;2
( , , ) . 2 2; 3; 1
1; 2;4
BC
H a b c BC BD
BD
 =  ⇒ ⇔ = − −  = − −
Do ( ) . 29( 1) 3( 1) ( 2) 0 2 3 1H BCD BH BC BD a b c a b c ∈ ⇒ = − − − − + = ⇔ − − = 
Mà

3. Bài 1: Phương pháp t a ñ trong không gian – Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t Page 3 of 5
3
2 4
2 4 3 3 1
2 4 4 3; ;
2 4 4 2 2 2
2 3 1
1
2
a
a c
AH BC a c
a b c b H
a b cAH BD
a b c
c

 =
+ =  ⊥ + =    
⇔ ⇔ + − = ⇔ = ⇔     + − =  ⊥    − − = 
=
9 1 14
1
4 4 2
AH = + + =
Bài 6: Cho (1;2; 1)A − . Tìm B ñ i x ng v i A qua Oxy và C ñ i x ng v i A qua Oz. Tính ABCS△
Gi i:
Ta có phương trình m t ph ng Oxy là: z=0
G i (Ox )
1
( ; ; ) ( 1; 2; 1) / / (0;0;1)
2
y
a
B a b c AB a b c n
b
=
⇒ = − − + = ⇔ 
=
Trung ñi m M c a AB có t a ñ là:
1 2 1 1
; ; (Ox ): 0 0 1
2 2 1 1
a b c c
M y z c
+ + − − 
∈ = ⇔ = ⇔ = 
 
V y (1;2;1)B
Phương trình Oz là:
( )
0
1;0;0 ;(0;1;0) (0;0;1) ( 1; 2; 1) 1
0
Oz C C C C
x
u AC x y z z
y
=
 ⇒ = = ⊥ = − − + ⇔ = −  =
( ; ;1)C CC x y⇔ . Mà trung ñi m c a AC là:
( )
1
0
11 2 1 2; ; ( 1; 2; 1)
2 2 2 2 2
0
2
(0;0;2) 1 64 16
. 2 5
2 22; 4;0
C
CC C C
C C
x
xx y z
N Oz C
y y
AB
S AB AC
AC
+
= = −+ + −  
∈ ⇒ ⇔ ⇒ − − −   + = −   =

 = +  ⇒ ⇒ = = =  = − −
Bài 7: Cho (1;2; 1), (4;3;5)A B− . Xác ñ nh M thu c Ox, sao cho M cách ñ u A, B.
Gi i:
Vì M thu c Ox nên g i (0;0; )M m .
Ta có M cách ñ u A, B nên:
( )
22 2 2
1 4 1 ( 4) 9 25 6 24 4MA MB m m m m= ⇔ − + + = − + + ⇔ = ⇔ =
V y (0;0;4)M

4. Bài 1: Phương pháp t a ñ trong không gian – Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t Page 4 of 5
Bài 8: Cho ( 4; 1;2), (3;5; 1)A B− − − . Tìm C bi t trung ñi m c a AC thu c Oy và trung ñi m c a BC
thu c Oxz.
Gi i:
G i ( ; ; )C a b c .
Vì trung ñi m c a AC là:
4
0
44 1 2 2
; ;
2 2 2 2 2
0
2
a
aa b c
M Oy
c c
−
= =− − +  
∈ ⇒ ⇔   + = −   =

Trung ñi m c a BC là:
3 5 1 5
; ; 0 5
2 2 2 2
a b c b
N Oxz b
+ + − + 
∈ ⇒ = ⇔ = − 
 
V y ñi m C c n tìm là: (4; 5; 2)C − −
Bài 9: Cho ( 1;2;7), (5;4; 2)A B− − . AB c t Oxy t i M. ði m M chia ño n AB theo t s nào?
Tìm t a ñ M.
Gi i:
Gi s ði m M chia ño n AB theo t s k
1
1
1
B A
M
B A
M
B A
M
kx x
x
k
ky yMA
k MA kMB y
kMB
kz z
z
k
−
= −

−
⇒ = ⇔ = ⇔ =
−
−
= −
Nhưng M thu c Oxy nên:
7
0
1 2
B A A
M
B
kz z z
z k
k z
−
= = ⇔ = = −
−
Và t a ñ M là:
35
1
112
91 3
2
16 32 11 32
( ; ;0)
91 9 3 9
2
0
1
B A
M
B A
M
B A
M
kx x
x
k
ky yMA
k MA kMB y M
kMB
kz z
z
k
−
+ −
= = =
− −

 − −
⇒ = ⇔ = ⇔ = = = ⇔
− −

 −
= =
−

Bài 10: Cho 0v ≠ . G i , ,α β γ là 3 góc t o b i v v i Ox, Oy, Oz.
CMR: 2 2 2
os os os 1c c cα β γ+ + =

5. Bài 1: Phương pháp t a ñ trong không gian – Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t Page 5 of 5
Gi i:
G i ( ); ; (0;0;0)v a b c ≠
Ta có:
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 22 2 2
2 2 2
os os ; ; (1;0;0)
os os ; ; (0;1;0) os os os 1
os os ; ; (0;0;1)
a
c c v OA OA
a b c
b a b c
c c v OB OB c c c
a b ca b c
c
c c v OC OC
a b c
α
β α β γ
γ

= =
+ +
 + +
= = ⇒ + + = =
+ ++ +

= =
 + +
……………………H t…………………
Ngu n: Hocmai.vn