1. Differentiating Trig

2. Differentiating Trig
lim sin x  0
x 0

3. Differentiating Trig
lim sin x  0
x 0
lim cos x  1
x 0

4. Differentiating Trig
lim sin x  0
x 0
lim cos x  1
x 0
lim tan x  0
x 0

5. Differentiating Trig
lim sin x  0 Area Sector OAC
x 0
lim cos x  1
x 0
lim tan x  0
x 0
C
x
O A
1

6. Differentiating Trig
lim sin x  0 Area AOC  Area Sector OAC
x 0
lim cos x  1
x 0
lim tan x  0
x 0
C
x A
O 1

7. Differentiating Trig
lim sin x  0
x 0
Area AOC  Area Sector OAC  Area AOB
lim cos x  1
x 0
lim tan x  0 B
x 0
C
tan x
x A
O 1

8. Differentiating Trig
lim sin x  0
x 0
Area AOC  Area Sector OAC  Area AOB
1 1 2 1
lim cos x  1
x 0
11 sin x  1 x  1 tan x
2 2 2
lim tan x  0 B
x 0
C
tan x
x A
O 1

9. Differentiating Trig
lim sin x  0
x 0
Area AOC  Area Sector OAC  Area AOB
1 1 2 1
lim cos x  1
x 0
11 sin x  1 x  1 tan x
2 2 2
lim tan x  0 B sin x  x  tan x
x 0
C
tan x
x A
O 1

10. Differentiating Trig
lim sin x  0
x 0
Area AOC  Area Sector OAC  Area AOB
1 1 2 1
lim cos x  1
x 0
11 sin x  1 x  1 tan x
2 2 2
lim tan x  0 B sin x  x  tan x
x 0
sin x x tan x
 
sin x sin x sin x
C
tan x
x A
O 1

11. Differentiating Trig
lim sin x  0
x 0
Area AOC  Area Sector OAC  Area AOB
1 1 2 1
lim cos x  1
x 0
11 sin x  1 x  1 tan x
2 2 2
lim tan x  0 B sin x  x  tan x
x 0
sin x x tan x
 
sin x sin x sin x
C
tan x
x 1
1 
sin x cos x
x A
O 1

12. Differentiating Trig
lim sin x  0
x 0
Area AOC  Area Sector OAC  Area AOB
1 1 2 1
lim cos x  1
x 0
11 sin x  1 x  1 tan x
2 2 2
lim tan x  0 B sin x  x  tan x
x 0
sin x x tan x
 
sin x sin x sin x
C
tan x
x 1
1 
sin x cos x
x A as x  0
O 1 x
1 1
sin x

13. Differentiating Trig
lim sin x  0
x 0
Area AOC  Area Sector OAC  Area AOB
1 1 2 1
lim cos x  1
x 0
11 sin x  1 x  1 tan x
2 2 2
lim tan x  0 B sin x  x  tan x
x 0
sin x x tan x
 
sin x sin x sin x
C
tan x
x 1
1 
sin x cos x
x A as x  0
O 1 x
1 1
sin x
x
lim 1
x 0 sin x

14. 5x
e.g. i  lim
x 0 sin 5 x

15. 5x
e.g. i  lim 1
x 0 sin 5 x

16. 5x
e.g. i  lim 1 ii  lim
x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x

17. 5x
e.g. i  lim 1 ii  lim
x
 lim 
1 3x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x

18. 5x
e.g. i  lim 1 ii  lim
x
 lim 
1 3x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x
1

3

19. 5x
e.g. i  lim 1 ii  lim
x
 lim 
1 3x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x
y  sin x 1

3

20. 5x
e.g. i  lim 1 ii  lim
x
 lim 
1 3x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x
y  sin x 1

dy sin  x  h   sin x 3
 lim
dx x 0 h

21. 5x
e.g. i  lim 1 ii  lim
x
 lim 
1 3x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x
y  sin x 1

dy sin  x  h   sin x 3
 lim
dx x 0 h
sin x cosh  cos x sinh  sin x
 lim
x 0 h

22. 5x
e.g. i  lim 1 ii  lim
x
 lim 
1 3x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x
y  sin x 1

dy sin  x  h   sin x 3
 lim
dx x 0 h
sin x cosh  cos x sinh  sin x
 lim
x 0 h
cosh  1 
 lim cos x
sinh 
   sin x 
x 0  h   h 

23. 5x
e.g. i  lim 1 ii  lim
x
 lim 
1 3x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x
y  sin x 1

dy sin  x  h   sin x 3
 lim
dx x 0 h
sin x cosh  cos x sinh  sin x
 lim
x 0 h
cosh  1 
 lim cos x
sinh 
   sin x 
x 0  h   h 
 h 
 2 cos 2  2 
 sinh   2
 lim cos x  sin x 
x 0  h  

h 

 

24. 5x
e.g. i  lim 1 ii  lim
x
 lim 
1 3x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x
y  sin x 1

dy sin  x  h   sin x 3
 lim
dx x 0 h
sin x cosh  cos x sinh  sin x
 lim
x 0 h
cosh  1 
 lim cos x
sinh 
   sin x 
x 0  h   h 
 h 
 2 cos 2  2 
 sinh   2  cos 2  2 cos 2   1
 lim cos x  sin x
x 0  h  

h 

 

25. 5x
e.g. i  lim 1 ii  lim
x
 lim 
1 3x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x
y  sin x 1

dy sin  x  h   sin x 3
 lim
dx x 0 h
sin x cosh  cos x sinh  sin x
 lim
x 0 h
cosh  1 
 lim cos x
sinh 
   sin x 
x 0  h   h 
 h 
 2 cos 2  2 
 sinh   2  cos 2  2 cos 2   1
 lim cos x  sin x
x 0  h  

h 

 
 2 h
 sinh    2 sin 
 lim cos x  sin x 2
x 0  h   h 
 
 

26.  2 h
 sin 
 lim cos x
sinh 
   sin x h 2 
x 0  h  
 

 2 

27.  2 h
 sin 
 lim cos x
sinh 
   sin x h 2 
x 0  h  
 

 2 
 h 
 sinh    sin
h
 lim cos x  sin x h 2  sin 
x 0  h  

2

 2 

28.  2 h
 sin 
 lim cos x
sinh 
   sin x h 2 
x 0  h  
 

 2 
 h 
 sinh    sin
h
 lim cos x  sin x h 2  sin 
x 0  h  

2

 2 
 cos x 1  sin x 0 

29.  2 h
 sin 
 lim cos x
sinh 
   sin x h 2 
x 0  h  
 

 2 
 h 
 sinh    sin
h
 lim cos x  sin x h 2  sin 
x 0  h  

2

 2 
 cos x 1  sin x 0 
 cos x

30.  2 h
 sinh   sin 
2
 lim cos x   sin x h 
x 0  h  
 

 2 
 h 
 sinh   sin
h
2
 lim cos x   sin x h  sin 
x 0  h  

2

 2  y  sin f  x 
 cos x 1  sin x 0 
 cos x

31.  2 h
 sin 
 lim cos x
sinh  2
   sin x h 
x 0  h  
 

 2 
 h 
 h
sin
 sinh   2
 lim cos x  sin x h  sin 
x 0  h  

2

 2  y  sin f  x 
 cos x 1  sin x 0  dy
 f  x  cos f  x 
dx
 cos x

32.  2 h
 sin 
 lim cos x
sinh  2
   sin x h 
x 0  h  
 

 2 
 h 
 h
sin
 sinh   2
 lim cos x  sin x h  sin 
x 0  h  

2

 2  y  sin f  x 
 cos x 1  sin x 0  dy
 f  x  cos f  x 
dx
 cos x
y  cos x

33.  2 h
 sin 
 lim cos x
sinh  2
   sin x h 
x 0  h  
 

 2 
 h 
 h
sin
 sinh   2
 lim cos x  sin x h  sin 
x 0  h  

2

 2  y  sin f  x 
 cos x 1  sin x 0  dy
 f  x  cos f  x 
dx
 cos x
y  cos x

y  sin   x 
 
2 

34.  2 h
 sin 
 lim cos x
sinh  2
   sin x h 
x 0  h  
 

 2 
 h 
 h
sin
 sinh   2
 lim cos x  sin x h  sin 
x 0  h  

2

 2  y  sin f  x 
 cos x 1  sin x 0  dy
 f  x  cos f  x 
dx
 cos x
y  cos x

y  sin   x 
 
2 

  cos  x 
dy
 
dx 2 

35.  2 h
 sin 
 lim cos x
sinh  2
   sin x h 
x 0  h  
 

 2 
 h 
 h
sin
 sinh   2
 lim cos x  sin x h  sin 
x 0  h  

2

 2  y  sin f  x 
 cos x 1  sin x 0  dy
 f  x  cos f  x 
dx
 cos x
y  cos x

y  sin   x 
 
2 

  cos  x 
dy
 
dx 2 
  sin x

36.  2 h
 sin 
 lim cos x
sinh  2
   sin x h 
x 0  h  
 

 2 
 h 
 h
sin
 sinh   2
 lim cos x  sin x h  sin 
x 0  h  

2

 2  y  sin f  x 
 cos x 1  sin x 0  dy
 f  x  cos f  x 
dx
 cos x
y  cos x

y  sin   x 
 
2  y  cos f  x 

  cos  x 
dy
 
dx 2 
  sin x

37.  2 h
 sin 
 lim cos x
sinh  2
   sin x h 
x 0  h  
 

 2 
 h 
 h
sin
 sinh   2
 lim cos x  sin x h  sin 
x 0  h  

2

 2  y  sin f  x 
 cos x 1  sin x 0  dy
 f  x  cos f  x 
dx
 cos x
y  cos x

y  sin   x 
 
2  y  cos f  x 

  cos  x 
dy
  f  x  sin f  x 
dy
 
dx 2  dx
  sin x

38. y  tan x

39. y  tan x
sin x
y
cos x

40. y  tan x
sin x
y
cos x
dy cos x cos x   sin x  sin x 

dx cos 2 x
cos 2 x  sin 2 x

cos 2 x

41. y  tan x
sin x
y
cos x
dy cos x cos x   sin x  sin x 

dx cos 2 x
cos 2 x  sin 2 x

cos 2 x
1

cos 2 x
 sec 2 x

42. y  tan x
sin x
y
cos x
dy cos x cos x   sin x  sin x 

dx cos 2 x
cos 2 x  sin 2 x

cos 2 x
1

cos 2 x
 sec 2 x
y  tan f  x 

43. y  tan x
sin x
y
cos x
dy cos x cos x   sin x  sin x 

dx cos 2 x
cos 2 x  sin 2 x

cos 2 x
1

cos 2 x
 sec 2 x
y  tan f  x 
dy
 f  x  sec 2 f  x 
dx

44. y  tan x e.g. i  y  sin x 3
sin x
y
cos x
dy cos x cos x   sin x  sin x 

dx cos 2 x
cos 2 x  sin 2 x

cos 2 x
1

cos 2 x
 sec 2 x
y  tan f  x 
dy
 f  x  sec 2 f  x 
dx

45. y  tan x e.g. i  y  sin x 3
dy
sin x  3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x   sin x  sin x 

dx cos 2 x
cos 2 x  sin 2 x

cos 2 x
1

cos 2 x
 sec 2 x
y  tan f  x 
dy
 f  x  sec 2 f  x 
dx

46. y  tan x e.g. i  y  sin x 3
dy
sin x  3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x   sin x  sin x  1
 ii  y  tan
dx cos 2 x x
cos 2 x  sin 2 x

cos 2 x
1

cos 2 x
 sec 2 x
y  tan f  x 
dy
 f  x  sec 2 f  x 
dx

47. y  tan x e.g. i  y  sin x 3
dy
sin x  3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x   sin x  sin x  1
 ii  y  tan
dx cos 2 x x
dy 1 1
cos 2 x  sin 2 x   2 sec 2
 dx x x
cos 2 x
1

cos 2 x
 sec 2 x
y  tan f  x 
dy
 f  x  sec 2 f  x 
dx

48. y  tan x e.g. i  y  sin x 3
dy
sin x  3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x   sin x  sin x  1
 ii  y  tan
dx cos 2 x x
dy 1 1
cos x  sin x
2 2
  2 sec 2
 2 dx x x
cos x

1 iii  y  log cos x
cos 2 x
 sec 2 x
y  tan f  x 
dy
 f  x  sec 2 f  x 
dx

49. y  tan x e.g. i  y  sin x 3
dy
sin x  3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x   sin x  sin x  1
 ii  y  tan
dx cos 2 x x
dy 1 1
cos x  sin x
2 2
  2 sec 2
 2 dx x x
cos x

1 iii  y  log cos x
cos 2 x dy  sin x

 sec x
2
dx cos x
y  tan f  x 
dy
 f  x  sec 2 f  x 
dx

50. y  tan x e.g. i  y  sin x 3
dy
sin x  3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x   sin x  sin x  1
 ii  y  tan
dx cos 2 x x
dy 1 1
cos x  sin x
2 2
  2 sec 2
 2 dx x x
cos x

1 iii  y  log cos x
cos 2 x dy  sin x

 sec x
2
dx cos x
  tan x
y  tan f  x 
dy
 f  x  sec 2 f  x 
dx

51. y  tan x e.g. i  y  sin x 3
dy
sin x  3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x   sin x  sin x  1
 ii  y  tan
dx cos 2 x x
dy 1 1
cos x  sin x
2 2
  2 sec 2
 2 dx x x
cos x

1 iii  y  log cos x iv  y  tan 5 x
cos 2 x dy  sin x

 sec x
2
dx cos x
  tan x
y  tan f  x 
dy
 f  x  sec 2 f  x 
dx

52. y  tan x e.g. i  y  sin x 3
dy
sin x  3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x   sin x  sin x  1
 ii  y  tan
dx cos 2 x x
dy 1 1
cos x  sin x
2 2
  2 sec 2
 2 dx x x
cos x

1 iii  y  log cos x iv  y  tan 5 x
cos 2 x dy  sin x dy
  5 tan 4 x sec 2 x
 sec 2 x dx cos x dx
  tan x
y  tan f  x 
dy
 f  x  sec 2 f  x 
dx

53. y  tan x e.g. i  y  sin x 3
dy
sin x  3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x   sin x  sin x  1
 ii  y  tan
dx cos 2 x x
dy 1 1
cos x  sin x
2 2
  2 sec 2
 2 dx x x
cos x

1 iii  y  log cos x iv  y  tan 5 x
cos 2 x dy  sin x dy
  5 tan 4 x sec 2 x
 sec 2 x dx cos x dx
  tan x
y  tan f  x  v  y  cos e x
dy
 f  x  sec 2 f  x 
dx

54. y  tan x e.g. i  y  sin x 3
dy
sin x  3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x   sin x  sin x  1
 ii  y  tan
dx cos 2 x x
dy 1 1
cos x  sin x
2 2
  2 sec 2
 2 dx x x
cos x

1 iii  y  log cos x iv  y  tan 5 x
cos 2 x dy  sin x dy
  5 tan 4 x sec 2 x
 sec 2 x dx cos x dx
  tan x
y  tan f  x  v  y  cos e x
dy
 f  x  sec 2 f  x  dy
dx  e x sin e x
dx

55. Exercise 14F; 2, 4, 5
Exercise 14G; 2ace etc, 3ace etc, 5ace etc, 6, 7ab(i), 8, 12, 13c, 16a*
Exercise 14H; 2 ac, 4bd, 6, 8, 14, 17, 20