1. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Т.В. Тарбокова, В.М. Шахматов
Высшая математика III
САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Производная и её приложения
Издание третье
Рекомендовано
Сибирским региональным учебно-методическим
центром высшего профессионального образования
в качестве учебного пособия для студентов
и преподавателей вузов
Издательство Томского политехнического университета
Томск 2007
3. 3
Содержание
1. Введение ............................................................................................. 3
2. Техника дифференцирования. Задание 1 (а – е) .............................. 6
3. Уравнения касательной и нормали
к графику функции. Задание 2 (а, б) .............................................. 15
4. Правило Лопиталя. Задание 3 (а – г) .............................................. 16
5. Наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке. Задание 4а ..................................................................... 18
6. Производные высших порядков. Задание 5 (а – г) ........................ 19
7. Дифференциал. Задание 6 (а – б) .................................................... 20
8. Условия монотонности и экстремумы функции.
Задание 7 (а – в) ................................................................................ 23
9. Интервалы выпуклости и вогнутости
графика функции, точки перегиба. Задание 8 а ............................ 24
10. Асимптоты графика функции. Задание 9а ..................................... 25
11. Полное исследование функции
и построение графика. Задание 10 а ............................................... 25
12. Ответы к заданию 1 ......................................................................... 29
13. Ответы к заданию 2 ......................................................................... 36
14. Ответы к заданию 3 ......................................................................... 38
15. Ответы к заданию 4 ......................................................................... 40
16. Ответы к заданию 5 ......................................................................... 40
17. Ответы к заданию 6 ......................................................................... 43
18. Ответы к заданию 7 ......................................................................... 45
19. Ответы к заданию 8 ......................................................................... 48
20. Ответы к заданию 9 ......................................................................... 50
21. Ответы к заданию 10 ....................................................................... 52
22. Обязательные ИДЗ. Задания 1 – 10 ................................................ 55
23. Упражнения по технике дифференцирования
функции одного аргумента. Задания 11 – 27 ................................. 83
24. Дополнительные ИДЗ. Задания 28 – 45 ......................................... 99
25. Список рекомендуемой литературы ................................................ 4
4. 4
Введение
Настоящее учебное пособие – самоучитель решения задач –
предназначено в помощь первокурсникам любой формы обучения
и содержит как теоретический материал, изложение которого
иллюстрируется решенными примерами, так и варианты типовых
домашних индивидуальных заданий по теме: «Производная и её
приложения».
Теоретический материал, как правило, излагается в виде
ответов на поставленные перед студентом вопросы. Вопросы
занумерованы: 1-е число соответствует номеру решаемой задачи,
2-е – порядковому номеру вопроса. Ответы можно найти в конце
учебного пособия (с. 29 – 54). Рекомендуется сделать три
закладки в книгу, отделяющие страницу изучаемого материала,
ответы и индивидуальные задания. Отвечая на поставленные
вопросы и делая записи в соответствии с рекомендациями,
студент не только справится с решением задач своего
варианта, но хорошо усвоит теоретический материал и даже
создаст свой конспект по наиболее трудным для понимания
вопросам из изучаемых разделов высшей математики.
С помощью самоучителя легко проконтролировать
качество усвоения теоретического материала, так как основные
определения и теоремы в пособии представлены специальным
образом: вопросы и ответы на них разделены вертикальной
чертой. Закрыв текст справа от черты, нужно лишь ответить
самостоятельно на вопрос в устной, а еще лучше в письменной
форме и, открыв текст справа, сверить результат.
Одна тысяча восемьсот задач – 60 индивидуальных заданий в
30 вариантах – позволят студентам выбрать задачи для
самостоятельного решения и закрепления навыков,
приобретенных при решении примеров одного из вариантов, а
преподавателей обеспечат богатым банком заданий.
Пособие в основном ориентировано на студента среднего
уровня подготовки, и усвоение содержащегося в нем материала
гарантирует удовлетворительные и хорошие знания.
5. 5
Чтобы получить отличные знания, необходимо в
совершенстве овладеть теорией и практикой решения задач
повышенного уровня сложности, и в этом окажут помощь
учебники и сборники задач из списка рекомендуемой литературы,
а также задания повышенного уровня сложности, содержащиеся в
данном пособии.
6. 6
ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
ЗАДАНИЕ 1.0 (1. №моего варианта)
– Найти производные первого порядка данных функций одного
аргумента.
Подготовимся к выполнению задания, повторив теоретический
материал.
1.1. Что представляет собой приращение аргумента xΔ функции ( )y f x=
в точке 0x ?
……………………………………………………………………………………..
1.2. Как найти приращение yΔ функции ( )y f x= , соответствующее
приращению аргумента xΔ в точке 0x ?
……………………………………………………………………………………...
1.3. Сформулируйте определение производной функции ( )y f x= в точке
0x x= .
……………………………………………………………………………………...
1.4. Какие действия называют дифференцированием функции?
…………………………………………………………………………………….
1.5. Сформулируйте основные правила дифференцирования функции
одного аргумента.
…………………………………………………………………………………….
1.6. Какую производную имеет постоянная функция?
…………………………………………………………………………………….
1.7. Как найти производную степенной функции?
…………………………………………………………………………………….
При отыскании производных степенных функций ( ( ))n
y u x= полезно
запомнить формулы для некоторых частных случаев показателя n.
Таблица 1
Степенная функция
( ( ))n
y u x=
Производная степенной функции
/ 1 /n
xy nu u−
= ⋅
1 ( )n y u x= ⇒ = / / /
( ( )) 1xy u x u= = ⋅
1 1
1n y u
u
−
= − ⇒ = = / 1 / / 2 / /
2
1 1
( ) ( ) x xy u u u u
u u
− −
= = = − ⋅ = − ⋅
1
2
1
2
n y u u= ⇒ = =
1 1
/ / / / /2 2
1 1
( ) ( )
2 2
x xy u u u u u
u
−
= = = ⋅ = ⋅
1
2
1 1
2
n y u
u
−
= − ⇒ = =
1 3
/ / / /2 2
3
1 1
( )
2 2
x xy u u u u
u
− −
= = − ⋅ = − ⋅
7. 7
Необходимо уметь преобразовывать степенные функции с дробными и
отрицательными показателями, имея в виду, что:
m
n m nu u= ;
1 m
m
u
u
−
= .
При дифференцировании хорошо также не забывать, что постоянные
сомножители выносятся за знак производной.
Научиться дифференцировать любую функцию Вы сможете только
после того, как выучите все правила дифференцирования и таблицу
производных и будете проговаривать эти правила и формулы мысленно
или вслух, выполняя каждое задание.
Например, найдем производную функции
6 4 2
2
3 4 2
15 1
x x x
y
x
+ − −
=
+
.
Вынесем
15
1
за знак производной;
применим правило дифференцирования дроби:
производную числителя 6 4 2 / 5 3
(3 4 2) 3 6 4 4 2 0x x x x x x+ − − = ⋅ + ⋅ − −
умножим на знаменатель 2
1 x+ ; отнимем числитель 6 4 2
(3 4 2)x x x+ − − ,
умноженный на производную знаменателя
1
2 / 2 / 2 /2
2 2 2
1 1
( 1 ) ((1 ) ) (1 ) (0 2 )
2 1 2 1 1
x
x x x x
x x x
+ = + = ⋅ + = ⋅ + =
+ + +
;
и эту разность разделим на квадрат знаменателя, то есть:
5 3 2 6 4 2
6 4 2 2
/ /
22
(18 16 2 ) 1 (3 4 2)
1 3 4 2 1 1( )
15 15 11
x
x x x x x x x
x x x xy
xx
+ − + − + − − ⋅
+ − − += = ⋅
++
=
желательно сделать алгебраические преобразования, упрощающие
выражение для производной,
5 3 2 6 4 2
3
2 2
7 5 3 3 4 2
3 2
3 3
2 22 2
(18 16 2 )(1 ) (3 4 2)
15(1 )
15 30 15 15 ( 2 1)
1 .
15(1 ) 15(1 )
x x x x x x x x
x
x x x x x x
x x
x x
+ − + − + − −
= =
+
+ + + +
= = = +
+ +
Ответ: / 3 2
1y x x= + .
В примере
2
2
(2 1)x x x
y
x
+ −
= функцию y можно, конечно,
дифференцировать как дробь, и производную числителя найти по правилу
дифференцирования произведения, но удобнее сначала преобразовать
функцию
8. 8
2
2 1 2 2
2 2 2
(2 1) 2 1
( ) (2 )
x x x x
y x x x x x x
x x x
− −+ −
= = + − = + −
и применить только правило нахождения производной произведения:
производную первого сомножителя 1 2 / 2 3
(2 ) 2( 1) 2x x x x− − − −
+ = − −
умножим на второй сомножитель 2
x x− и прибавим первый
сомножитель 1 2
(2 )x x− −
+ , умноженный на производную второго
сомножителя 2 / 2 /
2 2
1 1
( ) ( ) (2 1)
2 2
x x x x x
x x x x
− = ⋅ − = ⋅ −
− −
, то есть
/ 2 3 2 1 2
2
1
( 2 2 ) (2 ) (2 1)
2
y x x x x x x x
x x
− − − −
= − − − + + −
−
.
Полученное выражение можно упростить:
2 2
/
3 2 2 2
4( 1)( ) (2 )(2 1) 3
2 2
x x x x x x
y
x x x x x x
− + − + + −
= =
− −
.
Замечание. Функцию
2
2
(2 1)x x x
y
x
+ −
= можно было преобразовать
по-другому:
2 2
2
(2 1) 2 1 1 1
(2 ) 1
x x x x x x
y
x x x xx
+ − + −
= = ⋅ = + ⋅ − и
получить менее громоздкое выражение для производной:
/
2 2
1 1 1 1 1
(0 ) 1 (2 ) (0 )
1
2 1
y
x xx x
x
= − − + + +
−
, которое и упрощать
легче: /
2 2 2
3
1
2 ( ) 2 11 1 2 1 3
( )
1 1 22 2
x
x xx x xy
x x xx x x xx x
x x
−
− −− +
= − − = − =
− − −
.
Ответ: /
2 2
3
2
y
x x x
=
−
.
Запишите функцию задания 1номер варианта а).
Какие правила и формулы Вы примените для дифференцирования
данной функции?
Найдите производную функции задания 1а Вашего варианта.
………………………………………………………………………………….
Ответ 1….а)……………………………………………………………………
Для отыскания производных следующих примеров Вашего
индивидуального задания Вам понадобится использовать формулы таблицы
производных:
9. 9
Производная функции одного аргумента
и правила дифференцирования
( ( ), ( ), )u u x v v x c const= = =
Таблица производных
1. /
( ) 0;сonst =
степенные функции
2. / 1 /
( ) ;n n
u n u u−
= ⋅ ⋅
2a. /
( ) 1;x =
2b. 2 / /
( ) 2 ;u u u= ⋅ ⋅
2c. / /
2
1 1
( ) ;u
u u
= − ⋅
2e. / /1
( ) ;
2
u u
u
= ⋅
⋅
показательные функции
3. / /
( ) ln ;u u
a a a u= ⋅ ⋅
3a. / /
( ) ;u u
e e u= ⋅
логарифмические функции
4. / /1
(log ) ;
lna u u
u a
= ⋅
⋅
4a. / /1
(ln ) ;u u
u
= ⋅
тригонометрические функции
5. / /
(sin ) cos ;u u u= ⋅
6. / /
(cos ) sin ;u u u= − ⋅
7. / /
2
1
( ) ;
cos
tgu u
u
= ⋅
8. / /
2
1
( ) ;
sin
ctgu u
u
= − ⋅
обратные тригонометрические
функции
9. / /
2
1
(arcsin ) ;
1
u u
u
= ⋅
−
10. / /
2
1
(arccos ) ;
1
u u
u
= − ⋅
−
11. / /
2
1
( ) ;
1
arctgu u
u
= ⋅
+
12. / /
2
1
( ) ;
1
arcctgu u
u
= − ⋅
+
гиперболические функции
13. / /
( ) ;shu ch u u= ⋅
14. / /
( ) ;chu sh u u= ⋅
15. / /
2
1
( ) ;thu u
ch u
= ⋅
16. / /
2
1
( ) ;cthu u
sh u
= − ⋅
показательно – степенные функции
17. / / 1 /
( ) lnv v v
u u u v v u u−
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
модуль функции
18. / /
sgnu u u= ⋅ , ( sgn )u u u= ⋅ ,
где
1, 0
sgn 1, 0;
0, 0.
u
u u
u
⎧ >⎪⎪⎪⎪= − <⎨
⎪⎪ =⎪⎪⎩
– функция
знак u (сигнум u).
Правила дифференцирования
1. / /
( ) ;сu c u= ⋅ 1a. ;
1
)( //
u
cc
u
⋅=
2. / / /
( ) ;u v u v+ = +
3. / / /
( ) ;u v u v u v⋅ = ⋅ + ⋅
4. ( )
/ /
2
;
u u v u v
v v
′ ⋅ − ⋅
=
5. Сложная функция
/ / /
( ( ( )) ;u xF u x F u= ⋅
6. Параметрически заданная
функция
/ / /
/ //
/ /
( ), ( )
; ;
( )
t x t
x xx
t t
x x t y y
y y
y y t x x
⎧ =⎪⎪ ⇒ = =⎨
⎪ =⎪⎩
7. Неявно заданная функция
( )y y x= уравнением
10. 10
( , ) 0;F x y = ⇒чтобы найти
производную неявно заданной
функции, нужно
продифференцировать обе части
уравнения ( , ) 0,F x y = считая y
функцией от х и применяя
правило 5 дифференцирования
сложной функции;
8. Логарифмическое
дифференцирование
( ) ln ln ( );y f x y f x= ⇒ =
/ /1
(ln ( )) .y f x
y
⋅ =
Поупражняемся в применении этих формул
1.8. По какому правилу находят производную синуса?
…………………………………………………………………………………..
1.9. Найдите производную функции 5
sin 10y x= + .
………………………………………………………………………………….
1.10. Какую производную имеет функция косинус cosy u= ?
………………………………………………………………………………….
1.11. Продифференцируйте функцию cos5y x= .
………………………………………………………………………………….
1.12. Как найти производную тангенса?
………………………………………………………………………………….
1.13. Продифференцируйте функцию 3
2y tg x= .
………………………………………………………………………………….
1.14. По какой формуле находят производную котангенса?
………………………………………………………………………………….
1.15. Найдите производную функции 3
5y ctg x= .
………………………………………………………………………………….
1.16. Какую производную имеет логарифмическая функция
log ( )ay u x= ?
………………………………………………………………………………….
1.17. lg(4sin2 ).y x= Найдите /
y .
………………………………………………………………………………….
1.18. Как получить производную натурального логарифма, то есть
функции ln ( )y u x= ?
………………………………………………………………………………….
1.19. Продифференцируйте функцию 25
ln 7y tg x= .
………………………………………………………………………………….
1.20. По какому правилу находят производную показательной функции
( )u x
y a= ?
………………………………………………………………………………….
11. 11
1.21. Найдите производную функции 3
6ctg x
y = .
………………………………………………………………………………….
1.22. Какую производную имеет экспоненциальная функция ( )u x
y e= ?
………………………………………………………………………………….
1.23. Найдите производную функции
cos
2
x
y e= .
………………………………………………………………………………….
1.24. Какой функции равна производная арксинуса?
………………………………………………………………………………….
1.25. Продифференцируйте функцию 3
(arcsin5 )y x= .
………………………………………………………………………………….
1.26. Как находят производную арккосинуса?
………………………………………………………………………………….
1.27. Получите производную функции 23
arccos(7 3)y x= + .
………………………………………………………………………………….
1.28. Какую производную имеет функция арктангенс?
………………………………………………………………………………….
1.29. Продифференцируйте функцию 3
1
2arctg x
y = .
………………………………………………………………………………….
1.30. Какой функции равна производная арккотангенса?
………………………………………………………………………………….
1.31. Найдите производную функции
2
4
ln
x
x
arcctg e
y
arctg e
= .
………………………………………………………………………………….
1.32. Какие правила следует использовать при нахождении производной
функции
1
( )mx a
y arctg e
bm ab
= , где , ,a b m − постоянные.
………………………………………………………………………………….
Применяем соответствующие правила и находим производную:
/
2
2
1 1
1 ( )
mx
mx
mx
mx
a e
y e m
bm ab a b ae
e
b
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
+
+
.
Ответ: /
2
mx
mx
e
y
b ae
=
+
.
12. 12
1.33. Какие правила следует применить для того, чтобы найти
производную функции
2
2
1 1
ln
1 1
x x x
x x x
e e e
y
e e e
+ + − −
=
+ + − +
?
Вспомним, как преобразуют логарифм произведения и частного:
ln ln lnab a b= + ; ln ln ln
a
a b
b
= − , заметив, что данную функцию можно
упростить, если обозначить 2
( ) 1 x x x
u x e e e= + + − . Тогда можно
записать:
1
ln ln( 1) ln( 1)
1
u
y u u
u
−
= = − − +
+
. Поэтому
/ / / /
2 2
2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 2
( )
1 1 1 1
2 1
( ( 2 ) )
1 2 1 1 2 1
2 2 2 1 1
2 2 1 2 1 1
x x x
x x x
x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x x
u u
y u u u
u u u u
e e e
e e e e e e e e
e e e e e
e e e e e e e e e
+ − +
= − ⋅ = ⋅ = ⋅ =
− + − −
= ⋅ + − =
+ + − + + + − + +
+ − + +
= ⋅ =
+ − + + + + + +
Ответ: /
2
1
1 x x
y
e e
=
+ +
.
Найдите производную функции задания 1 номер варианта б).
…………………………………………………………………………………..
Ответ 1….б)……………………………………………………………………
1.34. Какие правила Вы примените, чтобы получить производную функции
2
1 sin 31
cos( )
3 31cos62
x
y tg
x
= + ?
…………………………………………………………………………………...
Продифференцируем данную функцию:
2
/
2
1 (2sin31 cos31 31) cos62 sin 31 ( sin62 62)
0
31 cos 62
x x x x x
y
x
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅
= + ⋅ .
После упрощений будем иметь:
2 2 2
/
2 2
sin62 (cos 31 sin 31 2sin 31 ) sin62 62
cos62cos 62 cos 62
x x x x x tg x
y
xx x
− +
= = = .
Ответ: / 62
cos62
tg x
y
x
= .
13. 13
Найдите производную функции задания 1 номер варианта в).
………………………………………………………………………………….....
Ответ 1….в)……………………………………………………………………..
Дальнейшие Ваши успехи в технике дифференцирования будут
зависеть от количества выполненных Вами упражнений. Возьмите любой
задачник, например, из списка рекомендуемой литературы (стр. 4) и
упражняйтесь до тех пор, пока результаты Ваших решений не перестанут
отличаться от ответов в задачнике.
Функции, производные которых мы находили, называют явными.
Стандартное обозначение явно заданной функции ( )y f x= , то есть слева
– обозначение функции, а справа – запись ее зависимости от аргумента x.
Если же уравнение ( , ) 0F x y = , задающее функцию, не решено
относительно y , то функцию ( )y x называют заданной неявно уравнением
( , ) 0F x y = .
1.35. Сформулируйте и выучите правило дифференцирования неявно
заданной функции.
…………………………………………………………………………………...
Например, найдем производную функции ( )y x , заданной неявно
уравнением sin cos( ) cosy x x y y+ − = .
1.36. Какие правила нужно применить, чтобы отыскать производную
данной функции?
…………………………………………………………………………………...
Получим уравнение относительно искомой производной
/ / /
sin cos sin( ) (1 ) siny x y x x y y y y⋅ + ⋅ − − ⋅ − = − ⋅ и выразим
производную /
y явно из этого уравнения: / sin( ) cos
sin sin( ) sin
x y y x
y
x x y y
− −
=
+ − +
.
Ответ: / sin( ) cos
sin sin( ) sin
x y y x
y
x x y y
− −
=
+ − +
.
Найдите производную функции задания 1 номер варианта г).
…………………………………………………………………………………...
Ответ 1….г)…………………………………………………………………….
1.37. В чем заключается метод логарифмического дифференцирования?
…………………………………………………………………………………...
14. 14
1.38. В каких случаях применяют метод логарифмического
дифференцирования?
…………………………………………………………………………………...
Применим метод логарифмического дифференцирования для нахождения
производной функции sin3
( 2 ) x
y arctg x= .
1.39. Какие правила используете для решения данного примера?
…………………………………………………………………………………...
Прологарифмируем функцию: ln sin3 ln 2y x arctg x= ⋅ и найдем
производную полученной неявно заданной функции
/
2
1 1 1
cos3 3 ln 2 sin3 2
2 1 4
y x arctg x x
y arctg x x
⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
+
, откуда
/ sin3
2
2sin3
( 2 ) (3cos3 ln 2 )
(1 4 ) 2
x x
y arctg x x arctg x
x arctg x
= ⋅ +
+
.
Замечание. Эту производную можно было найти иначе, применяя правило
дифференцирования показательно – степенной функции ( )
( )v x
y u x= , и
основание, и показатель которой являются функциями независимой
переменной x.
1.40. По какому правилу можно продифференцировать показательно –
степенную функцию?
…………………………………………………………………………………...
Применяя правило, получим
/ sin3 1 sin 2
2
sin3
2
1
sin3 ( 2 ) 2 ( 2 ) ln 2 cos3 3
1 4
2sin3
( 2 ) ( 3cos3 ln 2 ).
2 (1 4 )
x x
x
y x arctg x arctg x arctg x x
x
x
arctg x x arctg x
arctg x x
−
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =
+
= + ⋅
⋅ +
Очевидно, результат – тот же самый.
Ответ: / sin3
2
2sin3
( 2 ) (3cos3 ln 2 )
(1 4 ) 2
x x
y arctg x x arctg x
x arctg x
= ⋅ +
+
.
Запишите задание 1 номер варианта д) и выполните его.
…………………………………………………………………………………...
Ответ 1….д)…………………………………………………………………….
1.41. Когда говорят, что функция задана параметрически?
…………………………………………………………………………………...
15. 15
1.42. Как найти производную параметрически заданной функции?
…………………………………………………………………………………...
В качестве упражнения получим производную /
xy функции, заданной
параметрически:
2
arcsin( 1),
arccos2 .
x t
y t
⎧ = −⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
1.43. Какие формулы и правила применим?
…………………………………………………………………………………...
Итак,
/ 22
/
/ 2
2 2
1
2
21 4
1 1 42
1 ( 1)
t
x
t
y t tty
x t tt
t
− ⋅
−−= = = −
−⋅
− −
.
Ответ:
2
/
2
2
1 4
x
t t
y
t t
−
= −
−
.
Решите пример задания 1 номер варианта е).
…………………………………………………………………………………
Ответ 1….е)……………………………………………………………………
УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ
К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ
ЗАДАНИЕ 2.0 (2. № МОЕГО ВАРИАНТА)
- Написать уравнение касательной и нормали к графику функции
( )y f x= в точке 0 0( , )M x y .
2.1. Сформулируйте определение касательной к графику функции
( )y f x= в точке 0 0( , )M x y .
…………………………………………………………………………………...
2.2. В чем заключается геометрический смысл производной функции
в точке?
…………………………………………………………………………………...
2.3. По какой формуле можно найти уравнение касательной к графику
функции ( )y f x= в точке 0 0( , )M x y ?
…………………………………………………………………………………...
2.4. Сформулируйте определение нормали к графику функции ( )y f x= в
точке 0 0( , )M x y .
…………………………………………………………………………………...
16. 16
2.5. По какой формуле можно найти уравнение нормали к графику
функции ( )y f x= в точке 0 0( , )M x y ?
…………………………………………………………………………………...
Придерживаясь следующего плана решения,
выполните задание 2 номер варианта а).
1) вычислить значение 0 0( )y f x= функции в указанной точке;
2) найти угловой коэффициент касательной /
1 0( )k y x= и угловой
коэффициент нормали 2 /
1 0
1 1
( )
k
k y x
= − = − к графику функции в данной
точке;
3) записать уравнение касательной по формуле 2.3 и уравнение нормали
по формуле 2.5.
Ответ 2….а)……………………………………………………………………
2.6. Как найти угол, под которым пересекаются две линии?
…………………………………………………………………………………...
Выполните задание 2 номер варианта б).
…………………………………………………………………………………...
Ответ 2….б)…………………………………………………………………….
ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
ЗАДАНИЕ 3.0 (3. № МОЕГО ВАРИАНТА)
– Вычислить пределы функций, применяя правило Лопиталя.
Французский инженер Гильом Франсуа де Лопиталь (1661 – 1704)
доказал теоремы, которые очень эффективно применяются для вычисления
пределов.
Для практических приложений, опуская строгость формулировок
теорем Лопиталя, можно пользоваться правилом Лопиталя.
3.1. Как формулируется правило Лопиталя?
…………………………………………………………………………………...
3.2. Какие другие виды неопределенностей можно преобразовать к
неопределенностям вида { }0
0
или { }∞
∞
?
……………………………………………………………………………...
3.3. Как можно тождественно преобразовать неопределенность вида
{ }∞ −∞ , чтобы ее можно было раскрыть по правилу Лопиталя?
…………………………………………………………………………………...
17. 17
3.4. Как можно тождественно преобразовать неопределенность вида
{ }0⋅∞ , чтобы ее можно было раскрыть по правилу Лопиталя?
…………………………………………………………………………………...
3.5. Как можно тождественно преобразовать показательно – степенные
неопределенность вида { }1∞
, { }0
0 , { }0
∞ , чтобы их можно было
раскрыть по правилу Лопиталя?
…………………………………………………………………………………...
Рассмотренные тождественные преобразования можно собрать в
таблице 2 рекомендаций по применению правила Лопиталя.
Таблица 2
№
Вид
неопределенности
Преобразования
Результат
преобразований
(c, d – const)
1 { }0⋅∞
1.1
( ) ( )
( ) ( )
1 1
( ) ( )
f x h x
f x h x
h x f x
⋅ = =
{ }0
0
или { }∞
∞
–
применить
правило
Лопиталя.
2 { }∞−∞
2.1. Дроби привести к общему
знаменателю;
2.2. Умножить и разделить
разность функций на
сопряженное выражение,
если это разность
квадратных корней;
2.3. Умножить и разделить
разность функций на
неполный квадрат суммы
этих функций, если это
разность корней кубических;
2.4.
1 1
( ) ( )
( ) ( )
1
( ) ( )
h x f x
f x h x
f x h x
−
− =
⋅
{ }0
c
= ∞;
{ } 0
c
=
∞
;
{ }0
0
c
= ;
{ }c
∞
= ∞;
{ }с
A
d
=
{ }0
0
или { }∞
∞
–
применить
правило
Лопиталя.
18. 18
Таблица 2 (продолжение)
3
{ }
{ }
{ }
0
0
1 ,
0 ,
.
∞
∞
3.1.
ln ln ;
lim ln lim .
v
A
x a x a
y u y v u
y A y e
→ →
= ⇒ =
= ⇒ =
3.2.
lnv v u
y u e ⋅
= =
См. выше
Запишите задания 3.номер варианта а, б, в, г).
…………………………………………………………………………………
3.6. Как выяснить, какого вида неопределенности в этих заданиях?
…………………………………………………………………………………..
Примените правило Лопиталя для раскрытия полученных
неопределенностей, воспользовавшись в случае необходимости
тождественными преобразованиями.
Ответ 3…..а, б, в, г…………………………………………………………….
НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ
ЗАДАНИЕ 4.0 (4. № МОЕГО ВАРИАНТА)
– Найти наибольшее и наименьшее значения функции ( )f x на
данном отрезке.
4.1. Какую теорему применяют для решения поставленной задачи?
…………………………………………………………………………………...
Придерживаясь последовательности следующих пунктов плана
отыскания наибольшего и наименьшего значений функции ( )f x на
отрезке [ ],a b , выполните задание 4номер варианта а).
1. Найти производную первого порядка данной функции;
2. Найти все критические точки ix , принадлежащие отрезку [ ],a b ; в
критических точках первого порядка производная первого порядка
исследуемой функции равна нулю или бесконечности, или не
существует;
3. Вычислить ( )if x – значения функции во всех критических точках,
оказавшихся на отрезке [ ],a b , 1,2,...i n= ;
4. Вычислить ( )f a и ( )f b – значения функции на концах отрезка;
5. Сравнить все полученные значения функции ( ), ( ), ( )if x f a f b и
выбрать из них наибольшее и наименьшее.
19. 19
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
ЗАДАНИЕ 5.0 (5.№ МОЕГО ВАРИАНТА)
- Найти производные указанного порядка данных функций,
заданных явно;
- Найти производные указанного порядка данных функций,
заданных параметрически;
- Разложить многочлен по формуле Тейлора;
- Представить данную функцию формулой Маклорена.
5.1. Сформулируйте определение производной второго порядка.
………………………………………………………………………………….....
5.2. Найдите производную второго порядка функции lnsin
4
x
y = .
………………………………………………………………………………….....
5.3. Сформулируйте определение производной n-го порядка.
………………………………………………………………………………….....
5.4. Найдите производную пятого порядка (5)
y функции 4
3 x
y = .
………………………………………………………………………………….....
Выполните задание 5 номер варианта а).
………………………………………………………………………………….....
Ответ 5….а)……………………………………………………………………...
5.5. Как найти производные высших порядков функции, заданной
параметрически?
…………………………………………………………………………………….
5.6. Найдите производную второго порядка функции
2
3 ;
4 .
y t
x t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
………………………………………………………………………………….....
Выполните задание 5 номер варианта б).
………………………………………………………………………………..…...
Ответ 5….б)…………………………………………………………………..….
5.7. Запишите формулу Тейлора для функции ( )f x .
………………………………………………………………………………..…...
5.8. Какую формулу называют формулой Маклорена?
………………………………………………………………………………….....
5.9. Как представляют формулой Маклорена элементарные функции
, sin , cos , ln(1 ), (1 )x m
e x x x x+ + ?
…………………………………………………………………………………...
20. 20
5.10. Разложите многочлен 3( )P x по степеням 0x x− , если
3 2
3 0( ) 4 6 8, 1.P x x x x x= + − − = −
………………………………………………………………………………….....
Разложите многочлен 5 4
5( ) 3 7 2P x x x x= − + + по степеням
02 ( 2)x x− = и сделайте проверку.
………………………………………………………………………………….....
Выполните задание 5 номер варианта в).
Ответ 5….в)……………………………………………………………………..
Следует заметить, что если функция имеет конечное число
производных, отличных от нуля, например, многочлен, то ее
представление формулой Тейлора содержит конечное число слагаемых.
Поэтому остаточный член формулы Тейлора в таких случаях равен нулю.
Если же функция дифференцируема бесконечное число раз и
удовлетворяет условиям теоремы Тейлора о разложении функции по
формуле Тейлора, то ее разложение по формуле Тейлора или Маклорена
обязательно содержит отличный от нуля остаточный член, являющийся
бесконечно малой функцией при 0x x→ ,
5.11. Разложите по формуле Маклорена функцию
x
exf −
= 2
)( до 4
0( ).x
…………………………………………………………………………………...
Выполните задание 5 номер варианта г).
Ответ 5….г)…………………………………………………………………….
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ЗАДАНИЕ 6.0 (6. № МОЕГО ВАРИАНТА)
- Найти дифференциал данной функции;
- Вычислить приближенно значение функции в точке, применяя
дифференциал.
6.1. Сформулируйте определение дифференцируемой в точке 0x
функции ( )y f x= .
…………………………………………………………………………………...
6.2. Как определяется дифференциал функции ( )y f x= в точке 0x ?
…………………………………………………………………………………...
6.3. Какая связь имеет место между дифференцируемой в точке 0x
функцией ( )y f x= и существованием производной этой функции в той
же точке?
…………………………………………………………………………………..
21. 21
Несмотря на то, что формула для нахождения дифференциала очень
простая, многие студенты затрудняются находить дифференциал.
Дифференциал функции находят, умножая производную функции по
ее аргументу на дифференциал этого аргумента:
xdy y dx′=
6.4. В чем заключается геометрический смысл дифференциала?
……………………………………………………………………………………
Усвоить правило нахождения дифференциала очень важно, поскольку
оно применяется при отыскании практически любого интеграла.
6.5. Найдите дифференциалы всех функций, входящих в таблицу
производных.
…………………………………………………………………………………...
6.6. Дана функция 2 2
1 ln 1y x x x x= − + + − . Найдите ее
дифференциал.
…………………………………………………………………………………...
Выполните задание 6 номер варианта а).
…………………………………………………………………………………...
Ответ 6….а)…………………………………………………………………….
Несколько архаичным в двадцать первом веке представляется
применение дифференциала к приближенным вычислениям. Но, решая
подобные задачи, можно прочувствовать связь и различие между
приращением yΔ функции ( )y f x= и ее дифференциалом dxydy x
/
= .
А именно, если отбросить второе слагаемое ( )x xα Δ ⋅ Δ – бесконечно
малую функцию при 0xΔ → в приращении yΔ функции ( )y f x= , то
получится приближенное равенство y dyΔ ≈ , или
22. 22
/
0 0 0( ) ( ) ( )f x x f x f x x+ Δ − ≈ ⋅Δ . То есть значение функции в некоторой
точке 0x x+ Δ , близкой к точке 0x , приближенно равно значению этой
функции 0( )f x в точке 0x , сложенным с дифференциалом функции,
вычисленным в этой же точке 0x :
/
0 0 0( ) ( ) ( )f x x f x f x x+ Δ ≈ + ⋅Δ .
Ясно, что чем меньше xΔ , тем меньше ошибка вычисления, равная
отбрасываемому слагаемому ( )x xα Δ ⋅ Δ в приращении yΔ функции
( )y f x= .
Можно придерживаться следующего плана при вычислении
приближенного значения функции ( )y f x= в точке 0x x+ Δ :
1. Представить значение аргумента x в виде двух слагаемых 0x x+ Δ ,
причем приращение аргумента xΔ должно быть мало, а в точке 0x легко
вычислить значение функции и ее производной.
Несмотря на то, что любое число можно разбить на сумму двух слагаемых
бесконечным количеством способов, находится единственный способ,
удовлетворяющий разумным соображениям;
2. Вычислить значения функции и ее производной в точке 0x ;
3. Применить формулу приближенного вычисления:
/
0 0 0( ) ( ) ( )f x x f x f x x+ Δ ≈ + ⋅Δ .
Например, вычислим приближенно 3
26.
Решение.
1. Очевидно, что нужно вычислить значение функции 3
y x= при 26x = .
Представим число 26 в виде суммы 0 27x = и 1xΔ = − ;
2. 3
0( ) 27 3f x = = ; /
0 32 23
0
1 1 1
( )
273 3 27
f x
x
= = = ;
3. 3 1 1
26 3 ( 1) 3 2,962976
27 27
≈ + ⋅ − = − ≈ . Вычисления на
калькуляторе дают значение 3
26 2,962496≈ , то есть применение
дифференциала в рассмотренном примере позволило вычислить значение
функции с точностью 0,005, обеспечив два верных знака после запятой.
Ответ: 3
26 2,96≈ .
Выполните задание 6 номер варианта б).
……………………………………………………………………………………
Ответ 6….б)……………………………………………………………………
23. 23
УСЛОВИЯ МОНОТОННОСТИ
И ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ
ЗАДАНИЕ 7.0 (7. № МОЕГО ВАРИАНТА)
- Найти интервалы убывания и возрастания функции;
- Исследовать функцию на экстремум, применяя первое достаточное
условие существования экстремума функции в точке;
- Исследовать функцию на экстремум, применяя второе достаточное
условие существования экстремума функции в точке;
7.1. Каковы условия монотонности (убывания, возрастания) функции )(xf
на интервале ( , )a b ?
…………………………………………………………………………………...
Выполните задание 7номер варианта а).
…………………………………………………………………………………...
Ответ 7….а)…………………………………………………………………….
7.2. Какие точки называются точками локального максимума
(минимума) функции ( )f x ?
………………………………………………………………………………...
7.3. Какие точки называются точками локального экстремума функции
( )f x ?
…………………………………………………………………………………...
7.4. Сформулируйте теорему Ферма – необходимое условие
существования экстремума функции в точке.
…………………………………………………………………………………...
7.5. В чем заключается первое достаточное условие существования
экстремума функции в точке?
…………………………………………………………………………………...
7.6. Какие точки называются критическими точками первого порядка?
…………………………………………………………………………………...
7.7. Какие точки называются стационарными?
…………………………………………………………………………………...
Выполните задание 7номер варианта б).
…………………………………………………………………………………...
Ответ 7….б)…………………………………………………………………….
7.8. Как формулируется второе достаточное условие существования
экстремума функции в точке?
…………………………………………………………………………………...
24. 24
Выполните задание 7номер варианта в).
………………………………………………………………………………….....
Ответ 7….в)……………………………………………………………………..
ИНТЕРВАЛЫ ВЫПУКЛОСТИ И ВОГНУТОСТИ
ГРАФИКА ФУНКЦИИ, ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
ЗАДАНИЕ 8.0 (8. № МОЕГО ВАРИАНТА)
- Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика данной функции
и точки перегиба.
8.1. Как определяется выпуклая вверх (выпуклая вниз) на интервале ),( ba
функция?
………………………………………………………………………………….....
8.2. Сформулируйте теорему о достаточных условиях выпуклости вверх
(выпуклости вниз) графика функции.
………………………………………………………………………………….....
8.3. Как определяются точки перегиба графика функции?
………………………………………………………………………………….....
8.4. Сформулируйте необходимые условия существования точки
перегиба.
…………………………………………………………………………………….
8.5. Какие точки называются критическими точками второго порядка?
………………………………………………………………………………….....
8.6. Каково первое достаточное условие существования точки перегиба?
………………………………………………………………………………….....
8.7. Каково второе достаточное условие существования точки перегиба?
………………………………………………………………………………….....
Выполните задание 8номер варианта а).
………………………………………………………………………………….....
Ответ ….а)……………………………………………………………………….
25. 25
АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
ЗАДАНИЕ 9.0 (9. № МОЕГО ВАРИАНТА)
- Найти асимптоты графика функции.
9.1. Сформулируйте определение асимптоты графике функции.
………………………………………………………………………………….....
9.2. Как найти вертикальные асимптоты графика функции?
………………………………………………………………………………….....
9.3. Сформулируйте определение наклонной асимптоты.
…………………………………………………………………………………….
9.4. Как найти наклонные асимптоты графика функции?
………………………………………………………………………………….....
9.5. Когда график функции имеет горизонтальные асимптоты?
………………………………………………………………………………….....
Выполните задание 9номер варианта а).
………………………………………………………………………………….....
Ответ 9….а)……………………………………………………………………...
ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ
ГРАФИКА
ЗАДАНИЕ 10.0 (10. № МОЕГО ВАРИАНТА)
- Провести полное исследование функции и построить график.
Можно предложить следующий план полного исследования функции.
Исследования без применения производной.
Таблица 3
№
Цель
исследова
ния
Действия Вывод
1
Найти
область
определе-
ния
функции
Найти точки, в которых
функция не определена
или не задана (точки
разрыва графика функции)
Исключить найденные
точки из области
определения функции
26. 26
Таблица 3 (продолжение)
2
Найти
вертикаль
ные
асимптоты
Вычислить односторонние
пределы функции в точках
разрыва и в точках,
«подозрительных» на
разрыв для кусочно-
аналитической функции
Если хотя бы один из
односторонних пределов в
исследуемой точке равен
бесконечности, то график
функции имеет
вертикальную асимптоту:
0
lim ( )
x a
f x x a
→ ±
= ∞ ⇒ = –
вертикальная асимптота
3
Исследо-
вать
функцию
на
четность и
нечет-
ность
Если ( ) ( )f x f x− = ,
то функция четная.
Если ( ) ( )f x f x− = − ,
то функция нечетная
Функция, не являющаяся
ни четной, ни нечетной,
называется функцией
общего вида
Если функция четная или
нечетная, ограничиться
исследованием функции
на интервале (0, )∞ .
График четной функции
симметричен
относительно оси OY,
график нечетной функции
симметричен
относительно начала
координат
4
Исследо-
вать
функцию
на
периодич-
ность
0T ≠ – период функции, –
наименьшее из всех
возможных значений,
удовлетворяющих
условиям:
1. ( ), ( );x T D f x T D f− ∈ + ∈
2. ( ) ( ) ( )f x T f x T f x+ = − =
Ограничиться
исследованием на
интервале по длине
равном периоду T, за
пределы интервала
продолжить график
функции периодическим
образом
5
Найти
точки
пересече-
ния с осями
координат
Решив уравнение
( ) 0y f x= = , найти
0 0: ( ) 0x f x = .
Найти 0)0( yy =
Точка пересечения
графика с осью OX: 0( ,0)x .
Точка пересечения
графика с осью OY: 0(0, )y
6
Найти
наклон-
ные, в
частности,
горизон-
тальные,
асимптоты
Вычислить пределы
( )
lim
x
f x
k
x→±∞
= и
lim ( ( ) )
x
b f x kx
→±∞
= −
Если k и b – конечные
числа, то уравнение
наклонных асимптот
y kx b= + , причем, при
0к = асимптота
горизонтальная y b=
27. 27
Исследования с применением производной.
Таблица 4
№
Цель
исследо-
вания
Действия и вывод
1.1.1. Найти критические точки первого порядка
, 1,2,... :ix i n= /
( ) 0iy x = или /
( )iy x = ∞, или
/
( )iy x −не существует (необходимое условие
существования экстремума функции в точке);
1.2.1. Применить первое достаточное условие
существования экстремума функции в критической
точке:
x 1x x< 1x xx x>
/
y ⎯
Критическая
точка первого
порядка
+
y Функция
убывает
1 1( , ( ))x y x −
точка минимума
Функция
возрастает
x 2x x< 2x 2x x>
/
y +
Критическая
точка первого
порядка
⎯
y Функция
возрастает
2 2( , ( ))x y x −
точка
максимума
Функция
убывает
1
Найти
интервалы
монотонно-
сти и точки
локальных
экстремумо
в функции
1.2.2.Если 3 4,x x и 5x – стационарные точки
/ / /
3 4 5( ( ) ( ) ( ) 0)y x y x y x= = = , можно применить
второе достаточное условие существования
экстремума функции в точке:
//
3 3 3( ) 0 ( , ( ))y x x y x> ⇒ −точка локального минимума;
//
4 4 4( ) 0 ( , ( ))y x x y x< ⇒ −точка локального максимума;
//
5( ) 0y x = ⇒ требуются дополнительные
исследования.
28. 28
Таблица 4 (продолжение)
2.1. Найти критические точки второго порядка
, 1,2,...jx j m= : 0)(//
=jxy или //
( )jy x = ∞, или
//
( )jy x − не существует (необходимое условие
существования точки перегиба графика);
2.2. Применить достаточные условия выпуклости и
вогнутости графика и существования точек перегиба:
x 6x x< 6x 6x x>
//
y
+
Критическая
точка второго
порядка, точка
непрерыв-
ности
⎯
2
Найти
интервалы
выпуклости
и
вогнутости
графика
функции и
точки
перегиба
y
График
функции
вогнутый
6 6( , ( ))x y x −то
чка перегиба
График функции
выпуклый
Например, на рисунке изображен график функции:
10.1. Укажите критические точки первого порядка изображенной на
рисунке функции.
………………………………………………………………………………….....
10.2. Укажите критические точки второго порядка изображенной на
рисунке функции.
………………………………………………………………………………........
29. 29
Проведем полное исследование функции
6
ln
x
y
x
+
= и на
основании исследований построим график.
10.3. Найдем область определения данной функции.
…………………………………………………………………………………...
10.4. Найдем вертикальные асимптоты графика функции.
…………………………………………………………………………………...
10.5. Исследуем функцию на четность и нечетность.
…………………………………………………………………………………...
10.6. Исследуем функцию на периодичность.
…………………………………………………………………………………...
10.7. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
…………………………………………………………………………………...
10.8. Найдем наклонные асимптоты графика функции.
…………………………………………………………………………………...
10.9. Исследуем функцию на экстремум и найдем интервалы монотон-
ности функции.
…………………………………………………………………………………...
10.10.Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и
точки перегиба.
…………………………………………………………………………………...
10.11.Построим график функции.
…………………………………………………………………………………...
Выполните задание 10а.
Ответы к заданию 1
1.1.
Определение
приращения
аргумента xΔ
Приращением аргумента xΔ функции ( )y f x=
называется разность между значением аргумента в точке
0x x= и любой другой точке из некоторой окрестности
точки 0 0 0: , ( )x x x x x U xδΔ = − ∈ .
1.2.
Определение
приращения
yΔ функции
( )y f x=
Приращением yΔ функции ( )y f x= , соответствующим
приращению аргумента xΔ в точке 0x x= , называется
разность между значением функции в точке 0x x x= + Δ
и в точке 0 0 0: ( ) ( )x x y f x x f x= Δ = + Δ − .
30. 30
1.3.
Определение
производной
функции
( )y f x=
в точке 0x x=
Пусть функция ( )y f x= определена в некоторой
окрестности точки 0x x= . Предел отношения
приращения yΔ функции в этой точке (если он
существует) к приращению xΔ аргумента, когда
0xΔ → , называется производной функции ( )y f x= в
точке 0x x= .
Обозначается производная ( )y f x= в точке 0x x=
одним из следующих способов:
/
0( )f x , или /
0( )y x , или 0( )df x
dx
, 0
/
x xf = .
Таким образом,
0 0/
0
0 0
( ) ( )
( ) lim lim
x x
y f x x f x
f x
x xΔ → Δ →
Δ + Δ −
= =
Δ Δ
.
1.4.
Определение
операции
дифференци-
рования
функций
Дифференцированием функций называют отыскание
производных этих функций.
1.5.
Основные
правила
дифференциро-
вания
функций
Пусть с – константа, а ( )u x и ( )v x имеют производные в
некоторой точке x. Тогда функции ( ) ( )u x v x± , ( )c u x⋅ ,
( ) ( )u x v x⋅ и
( )
( )
u x
v x
(где ( ) 0v x ≠ ) также имеют
производные в этой точке, причем
1. / / /
( )u v u v± = ± – производная суммы функций
равна сумме производных этих функций;
2. / / /
( )u v u v u v⋅ = ⋅ + ⋅ – производная произведения
функций равна сумме произведений производной
первой функции на вторую и первой функции на
производную второй;
3. / /
( )сu cu= ,
1u
u
c c
′⎛ ⎞⎟ ′⎜ = ⋅⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
– постоянный множитель
выносят за знак производной;
31. 31
4. 2
u u v uv
v v
′ ′ ′⎛ ⎞ −⎟⎜ =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
– производная отношения двух
функций (частного) равна отношению разности
произведений производной числителя на знаменатель
и числителя на производную знаменателя к квадрату
знаменателя;
5. Пусть функция ( )y F u= имеет производную в точке
0u , а функция ( )u xϕ= – в точке 0 0( )u xϕ= . Тогда
сложная функция ( ( ))y F u x= также имеет
производную в точке 0x , причем
/ / /
0 0 0( ) ( ) ( )u xy x F u u x= ⋅ – производная сложной
функции равна производной этой функции по
промежуточному аргументу u, умноженной на
производную от промежуточного аргумента u по
основному аргументу x.
1.6.
Производная
постоянной
функции
Производная постоянной функции равна нулю:
/
0с = .
1.7.
Производная
степенной
функции
Производная степенной функции равна показателю
степени, умноженному на основание в степени, на
единицу меньше, и умноженному на производную от
основания:
/ 1 /
( ( ))n n
xu x n u u−
= ⋅ ⋅
1.8.
Производная
синуса
Производная синуса равна косинусу того же аргумента,
умноженному на производную аргумента:
/ /
(sin ( )) cos xu x u u= ⋅
1.9. / 5 / 5 4
(sin 10) cos 5 0y x x x= + = ⋅ + .
1.10.
Производная
косинуса
Производная косинуса равна минус синусу того же
аргумента, умноженному на производную аргумента:
/ /
(cos ( )) sin xu x u u= − ⋅ .
32. 32
1.11. / /
(cos5 ) sin5 5y x x= = − ⋅ .
1.12.
Производная
тангенса
Производная тангенса равна единице, деленной на
квадрат косинуса того же аргумента, умноженной на
производную аргумента:
/ / /
2 2
1 1
( ( ))
(cos ) cos
x xtg u x u u
u u
= ⋅ = ⋅ .
1.13.
1 2
3/ / /3 3
3 2 32 23
1 1 2
( 2 ) ( (2 ) ) (2 ) 2
3(cos 2 ) 3 (2 ) (cos 2 )
y tg x tg x x
x x x
−
= = = ⋅ ⋅ = .
1.14.
Производная
котангенса
Производная котангенса равна минус единице, деленной
на квадрат синуса того же аргумента и умноженной на
производную аргумента:
/ / /
2 2
1 1
( ( ))
(sin ) sin
x xctg u x u u
u u
= − ⋅ = − ⋅
1.15.
2 2
/ 3 / 2
2 2 4
1 15 5 15cos 5
( 5 ) 3 5 ( ) 5
sin 5 sin 5 sin 5
ctg x x
y ctg x ctg x
x x x
⋅
= = − ⋅ = − = − .
1.16.
Производная
логарифма
Производная логарифмической функции равна единице,
деленной на аргумент логарифма и на натуральный
логарифм основания, умноженной на производную
аргумента:
/ /1
(log ( ))
lna xu x u
u a
= ⋅
⋅
.
1.17. / / / cos2
(lg(4sin2 )) (lg4 lgsin2 ) 0 2
sin 2 ln10
x
y x x
x
= = + = + ⋅
⋅
.
1.18.
Производная
натурального
логарифма
Производная натурального логарифма равна единице,
деленной на аргумент логарифма и умноженной на
производную аргумента:
/ /1
(ln ( )) xu x u
u
= ⋅ .
1.19. / 2 / /5
2
2 2 1 14 28
(ln 7 ) ( ln 7 ) 7
5 5 5sin7 cos7 5sin147 cos 7
y tg x tg x
x x xtg x x
= = = ⋅ ⋅ = =
⋅
.
33. 33
1.20.
Производная
показательной
функции
Производная показательной функции равна этой
функции, умноженной на натуральный логарифм
основания и умноженной на производную показателя:
( ) / /
( ) lnu x u
xa a a u= ⋅ ⋅
1.21.
3
/ 3 / 3
2 2
1 3 6 ln6
(6 ) 6 ln6 ( ) 3
sin 3 sin 3
ctg x
ctg x ctg x
y
x x
⋅
= = ⋅ − ⋅ = − .
1.22.
Производная
экспоненты
Производная экспоненты равна экспоненте, умноженной
на производную показателя экспоненты:
( ) / /
( )u x u
xe e u= ⋅ .
1.23.
cos cos cos/ /2 2 2
1 1
( ) ( sin ) sin
2 2 2 2
x x x
x x
y e e e= = − ⋅ = − ⋅ .
1.24.
Производная
арксинуса
Производная арксинуса равна единице, деленной на
корень квадратный из единицы минус аргумент
арксинуса в квадрате и умноженной на производную
аргумента:
/ /
2
1
(arcsin ( ))
1
xu x u
u
= ⋅
−
.
1.25.
2
/ 3 / 2
2 2
1 15(arcsin5 )
((arcsin5 ) ) 3(arcsin5 ) 5
1 (5 ) 1 25
x
y x x
x x
= = ⋅ ⋅ =
− −
.
1.26.
Производная
арккосинуса
Производная арккосинуса равна минус единице,
деленной на корень квадратный из единицы минус
аргумент арккосинуса в квадрате и умноженной на
производную аргумента:
/ /
2
1
(arcsin ( ))
1
xu x u
u
= − ⋅
−
.
1.27.
2
/ 2 / 23 3
2 2
1 1
( arccos(7 3)) (arccos(7 3)) ( ) 14
3 1 (7 3)
y x x x
x
−
= + = + ⋅ − ⋅
− +
.
34. 34
1.28.
Производная
арктангенса
Производная арктангенса равна единице, деленной на
единицу плюс аргумент арктангенса в квадрате и
умноженной на производную аргумента:
/ /
2
1
( ( ))
1
xarctg u x u
u
= ⋅
+
1.29. / / 3 / 3
3 2
1 1
( ) (2 ) 2 ln2 ( ) 3
2 1 (3 )
arctg x arctg x
arctg x
y
x
− −
= = = ⋅ ⋅ − ⋅
+
.
1.30.
Производная
арккотангенса
Производная арккотангенса равна минус единице,
деленной на единицу плюс аргумент арккотангенса в
квадрате и умноженной на производную аргумента:
/ /
2
1
( ( ))
1
xarctg u x u
u
= − ⋅
+
1.31.
2
/ / 2 4 /
4
2 4
2 4 4 8
(ln ) (ln ln )
1 1 1 1
( ) 2 4
1 1
x
x x
x
x x
x x x x
arcctge
y arcctg e arctg e
arctge
e e
arcctg e e arctg e e
= = − =
= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
+ +
1.32. Постоянный множитель выносят за знак производной;
производная арктангенса;
производная экспоненты.
1.33. Постоянный множитель выносят за знак производной;
производная логарифма;
производная суммы;
производная экспоненты;
производная постоянной функции.
1.34. Производная суммы;
производная постоянной функции;
производная частного;
производная степенной функции;
производная синуса;
производная косинуса.
35. 35
1.35.
Производная
неявно
заданной
функции
Пусть функция ( )y f x= , обладающая производной в
точке х, задана неявно уравнением ( , ) 0F x y = .
Тогда производную /
( )y x можно найти,
продифференцировав уравнение ( , ) 0F x y = с учетом
того, что y является функцией аргумента х.
Из полученного уравнения найти производную.
1.36. Производная неявно заданной функции;
производная произведения;
производная суммы;
производная синуса;
производная косинуса.
1.37.
Метод
логарифмичес
кого
дифференциро
вания
Сначала функцию логарифмируют, потом находят
производную по правилу дифференцирования неявно
заданной функции:
( ) ln ln ( )y f x y f x= ⇒ = .
/ / / /1
(ln ( )) ( ) (ln ( ))y f x y f x f x
y
⋅ = ⇒ = ⋅ .
1.38. Метод логарифмического дифференцирования применяют в тех
случаях, когда функция имеет много сомножителей в числителе и в
знаменателе, а так же если это показательно – степенная функция.
1.39. Производная неявно заданной функции;
производная произведения;
производная синуса;
производная логарифма;
производная арктангенса.
1.40.
Производная
показательно-
степенной
функции
Производная показательно – степенной функции равна
сумме производных этой функции как показательной и
как степенной:
/ / 1 /
( ) lnv v v
u u u v v u u−
= ⋅ + ⋅ ⋅
36. 36
1.41.
Определение
линии,
заданной
параметри-
чески
Пусть на некотором множестве X R⊂ заданы две
функции ( )x x t= и ( )y y t= . Тогда множество всех
точек на плоскости Oxy с координатами ( ( ), ( ))x t y t , где
t X∈ , называют кривой (или линией), заданной
параметрически уравнениями
( );
( ).
x x t
y y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
, а функцию
( )y x – параметрически заданной этими уравнениями.
1.42.
Теорема
о производной
параметри-
чески
заданной
функции
Пусть функция ( )y f x= задана параметрически
уравнениями
( );
( ).
x x t
y y t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
Тогда, если функции ( )x x t= и ( )y y t= имеют
производные в точке в точке 0t , причем /
0( ) 0x t ≠ ,а
функция ( )y f x= имеет производную в точке
0 0( )x x t= , тогда эта производная находится по формуле:
/
0/
0 /
0
( )
( )
( )
t
t
y t
y x
x t
= или
/
/
/
t
x
t
y
y
x
= .
1.43. Производная параметрически заданной функции;
производная арккосинуса;
производная арксинуса;
производная суммы;
производная степенной функции;
производная постоянной функции.
Ответы к заданию 2
2.1.
Определение
касательной
к графику
функции
Касательной к графику функции в точке 0 0 0( , )M x y
называют предельное положение секущей,
соединяющей точки 0 0 0( , )M x y и ( , )M x y графика, при
стремлении точки M к точке 0M по графику.
37. 37
2.2.
Геометричес-
кий смысл
производной
Производная функции ( )y f x= в точке 0x равна
тангенсу угла, образованного касательной к графику
функции в этой точке и положительным направлением
оси Ox: /
0( )y x tgα= , где α – угол между касательной к
графику функции в точке 0x и положительным
направлением оси Ox.
2.3.
Уравнение
касательной
Пусть функция ( )y f x= в точке 0x имеет производную
/
0( )y x tgα= . Тогда в точке 0 0 0( , )M x y существует
касательная к графику этой функции, уравнение
которой: /
0 0 0( )( )y y f x x x− = − .
2.4.
Определение
нормали
Прямая линия, проходящая через точку касания,
перпендикулярно касательной, называется нормалью к
кривой.
2.5.
Уравнение
нормали
Пусть функция ( )y f x= в точке 0x имеет производную
/
0( )y x tgα= . Тогда в точке 0 0 0( , )M x y существует
нормаль к графику этой функции, уравнение которой:
0 0/
0
1
( )
( )
y y x x
f x
− = − − .
Если /
0( ) 0f x = (то есть касательная горизонтальна), то
нормаль вертикальна и имеет уравнение 0x x= .
38. 38
2.6.
Угол между
линиями в
точке их
пересечения
Пусть даны две пересекающиеся в точке 0 0 0( , )M x y
кривые 1( )y f x= и 2 ( )y f x= , причем обе функции
имеют производные в точке 0x . Тогда углом между
этими кривыми называется угол между касательными к
ним, проведенными в точке 0 0 0( , )M x y .
Этот угол ϕ можно найти из формулы:
/ /
2 0 1 0
/ /
1 0 2 0
( ) ( )
1 ( ) ( )
f x f x
tg
f x f x
ϕ
−
=
+ ⋅
.
Ответы к заданию 3
3.1.
Первое
правило
Лопиталя
Пусть функции ( )f x и ( )g x дифференцируемы в
некоторой окрестности 0( )U xδ точки 0x , за
исключением, может быть, самой этой точки, и
/
( ) 0g x ≠ для всех 0( ),x U x x xδ∈ ≠ . Тогда, если
0 0
lim ( ) lim ( ) 0
x x x x
f x g x
→ →
= = (в этом случае говорят, что в
точке 0x имеет место неопределенность вида { }0
0
) и
существует
/
/
0
( )
lim
( )x x
f x
g x→
, то существует и
0
( )
lim
( )x x
f x
g x→
,
причем
/
/
0 0
( ) ( )
lim lim
( ) ( )x x x x
f x f x
g x g x→ →
= .
Второе
правило
Лопиталя
Пусть функции ( )f x и ( )g x дифференцируемы в
некоторой окрестности 0( )U xδ точки 0x , за
исключением, может быть, самой этой точки, и
/
( ) 0g x ≠ для всех 0( ),x U x x xδ∈ ≠ . Тогда, если
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x g x
→ →
= = ∞ (в этом случае говорят, что в
точке 0x имеет место неопределенность вида { }∞
∞
) и
существует
/
/
0
( )
lim
( )x x
f x
g x→
, то существует и
0
( )
lim
( )x x
f x
g x→
,
причем
/
/
0 0
( ) ( )
lim lim
( ) ( )x x x x
f x f x
g x g x→ →
= .
39. 39
Если отношение
/
/
( )
( )
f x
g x
в свою очередь представляют собой
неопределенность вида { }0
0
или { }∞
∞
, то правило Лопиталя (при условии
выполнения соответствующих ограничений на функции /
( )f x и )(/
xg )
можно применять второй раз и т. д.
3.2. К неопределенностям вида { }0
0
или { }∞
∞
можно преобразовывать
также неопределенности вида { } { } { } { } { }0 0
0 , , 1 , 0 ,∞
⋅∞ ∞ −∞ ∞ .
3.3.
Вид
неопреде-
ленности
Действия
Результат действий
( ,c d −постоянные)
{ }∞ −∞
1. Дроби привести к общему
знаменателю;
2. Умножить и разделить разность
функций на сопряженное выражение,
если это разность квадратных корней;
3. Умножить и разделить разность
функций на неполный квадрат суммы
этих функций, если это разность
корней кубических;
4. Преобразовать тождественно
1 1
( ) ( )
( ) ( )
1
( ) ( )
h x f x
f x h x
f x h x
−
− =
⋅
{ }0
c
= ∞; { } 0
c
=
∞
;
{ }0
0
c
= ; { }c
∞
= ∞;
{ }с
A
d
= ;
{ }0
0
или { }∞
∞
–
применить правило
Лопиталя.
3.4.
Вид
неопреде-
ленности
Действия Результат действий
{ }0⋅∞
Тождественно преобразовать
произведение функций в отношения:
( ) ( )
( ) ( )
1 1
( ) ( )
f x h x
f x h x
h x f x
⋅ = =
{ }0
0
или { }∞
∞
–
применить правило
Лопиталя.
40. 40
3.5.
Вид
неопредел
енностей
Действия Результат действий
{ }
{ }
{ }
0
0
1 ,
0 ,
.
∞
∞
1. Сначала прологарифмировать
функцию, вычислить предел
логарифма функции, а затем найти
предел функции:
ln ln ;
lim ln lim .
v
A
x a x a
y u y v u
y A y e
→ →
= ⇒ =
= ⇒ =
2. использовать основное
логарифмическое тождество,
вычислить предел показателя
экспоненты:
lnv v u
y u e ⋅
= =
См. выше
3.6. Нужно в функцию ( )y f x= вместо x подставить то значение, к
которому xстремится.
Ответ к заданию 4
4.1.
Теорема
о свойстве
непрерывной
на отрезке
функции
Непрерывная на отрезке [ ],a b функция достигает на
этом отрезке, по меньшей мере, один раз наибольшего
значения M и наименьшего значения m.
Ответы к заданию 5
5.1.
Определение
производной
второго
порядка
Производная от функции /
( )f x (производной первого
порядка) называется производной второго порядка от
функции ( )f x (или второй производной) и обозначается
//
( )f x .
5.2.
/ /
// /
2 2
1 1 1
(lnsin ) cos ;
4 4 4 4 4
sin
4
1 1 1 1
( )
4 4 4
4sin 16sin
4 4
x x x
y ctg
x
x
y ctg
x x
= = ⋅ =
− −
= = ⋅ =
41. 41
5.3.
Определение
производной
n-го порядка
Производная от функции ( 1)
( )n
f x−
(производной эн-
минус первого порядка) называется производной энного
порядка от функции ( )f x (или энной производной) и
обозначается ( )
( )n
f x .
5.4. (5) 4 (5) 5 5 4
(3 ) 4 (ln3) 3x x
y = = , поскольку при каждом последовательном
дифференцировании добавляется сомножитель 4ln3.
5.5.
Производная
высших
порядков
параметриче-
ски заданной
функции
Производная второго порядка функции, заданной
параметрически уравнениями
( );
( )
y y t
x x t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
, может быть
найдена по формуле:
/ /
//
/
( )x t
xx
t
y
y
x
= , а производная энного
порядка – по формуле:
( 1) /
( )
/
( )n
x tn
x
t
y
y
x
−
= .
5.6.
Найдем сначала производную первого порядка функции
2
3 ;
4
y t
x t
⎧ =⎪⎪⎨
⎪ =⎪⎩
.
/
/
/
6 3
4 2
t
x
t
y t
y t
x
= = = .
Производная второго порядка данной функции равна
/
//
/
3 3
( ) 32 2
4 8(4 )
t
xx
t
t
y
t
= = = .
5.7.
Формула
Тейлора
Пусть функция ( )f x имеет в некоторой окрестности
точки 0x производные до (n+1)-го порядка
включительно. Тогда для любой точки х из этой
окрестности имеет место формула Тейлора
/ //
0 0 2
0 0 0
( ) ( 1)
0 1
0 0 0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ...
1 ! 2 !
( ) ( )
( ) ( ) , .
! ( 1)!
n n
n n
f x f x
f x f x x x x x
f x f c
x x x x x x
n n
+
+
= + − + − + +
+ − + − →
+
Последнее слагаемое в формуле Тейлора называется
остаточным членом в форме Лагранжа. Точка с в
42. 42
остаточном члене в форме Лагранжа берется из
интервала 0( , )x x , 0(( ) )n
o x x− – остаточный член в
форме Пеано.
5.8.
Формула
Маклорена
В случае, когда 0 0x = формула Тейлора принимает вид
/ // ( )
2(0) (0)
( ) (0) ... ( )
1 ! 2 ! !
n
n nf f f
f x f x x x o x
n
= + + + + +
и называется формулой Маклорена.
5.9. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
имеет следующий вид:
2
3 5 2 1
2 2
2 4 2
2 1
2 3
1
2
1 ... ( );
2 ! !
sin ... ( 1) ( );
3 ! 5 ! (2 1)!
cos 1 ... ( 1) ( );
2 ! 4 ! (2 )!
ln(1 ) ... ( 1) ( );
2 3
( 1) ( 1) ( (
(1 ) 1 ...
2 !
n
x n
n
n n
n
n n
n
n n
x x
e x o x
n
x x x
x x o x
n
x x x
x o x
n
x x x
x x o x
n
n
x x xα α α α α α
α
+
+
+
−
= + + + + +
= − + + + − +
+
= − + + + − +
+ = − + + + − +
− − ⋅⋅⋅ − −
+ = + + + +
1))
( ).
!
n n
x o x
n
+
5.10.
1. Найдите все отличные от нуля производные данного многочлена;
2. Вычислите значения функции и производных в точке 0 1x = − ;
3. Запишите разложение многочлена по формуле Тейлора;
4. Сделайте проверку: раскрыв скобки в разложении многочлена по
формуле Тейлора, получите исходный многочлен.
Ответ: 2 3
3( ) 1 11( 1) ( 1) ( 1)P x x x x= − + + + + + .
5.11.
2 2 2 3 2 4
2 2 2 4
( ), 0
2 ! 3 ! 4 !
x e x e x e x
e e e x o x x−
= − + − + + → .
43. 43
Ответы к заданию 6
6.1.
Определение
дифференци-
руемой
в точке
функции
Пусть функция ( )y f x= определена в некоторой
окрестности точки 0x . Если приращение yΔ функции
( )y f x= можно представить в виде
( )y A x x xαΔ = ⋅Δ + Δ ⋅Δ ,
где A – постоянное число в точке 0x ;
( )xα Δ – бесконечно малая функция при 0xΔ → ,
то функция ( )y f x= называется дифференцируемой в
точке 0x .
6.2.
Определение
дифференци-
ала функции
Главная часть приращения yΔ дифференцируемой в
точке 0x функции ( )y f x= , то есть xA Δ⋅ называется
дифференциалом функции в точке 0x и обозначается dy
или 0( )df x :
0( )dy df x A x= = ⋅ Δ .
Замечание. Если y x= , то dy dx x= = Δ .
6.3.
Теорема о
связи
функции,
имеющей
производную,
и
дифференциру
емой в точке
Функция ( )y f x= дифференцируема в точке 0x тогда и
только тогда, когда в этой точке существует конечная
производная /
0( )f x , при этом /
0( )A f x= .
Следовательно,
/
0 0( ) ( )dy df x f x dx= = ⋅ .
6.4.
Геометричес-
кий смысл
дифференци-
ала
Дифференциал функции в точке 0x равен приращению
ординаты касательной, проведенной к графику функции
в этой точке, соответствующему приращению аргумента
xΔ
44. 44
6.5. Умножив правые части формул таблицы производных на
дифференциалы аргументов, получим таблицу дифференциалов.
Например,
0dc = , /
xdu u dx= ;
1 / 1
( )n n n
xd u nu u dx nu du− −
= = ;
/
( ) ln lnu u u
xd a a a u dx a a du= ⋅ = ⋅ ; и т. д.
6.6. Найдем дифференциал функции 2 2
1 ln 1y x x x x= − + + − .
При отыскании производной воспользуемся равенством:
sgn 1
, 0
u
u
u u
= ≠
и правилом отыскания производной модуля функции / /
( ( ) ) sgn xu x u u= ⋅ ,
где функция сигнум u – знак функции u :
1, 0;
sgn 1, 0;
0, 0.
u
u u
u
⎧ >⎪⎪⎪⎪= − <⎨
⎪⎪ =⎪⎪⎩
2
/ 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 sgn( 1) 2
1 (1 )
2 1 1 2 1
2 1 sgn( 1)( 1 )
1 1 1
2 1 1 2
.
1 1 1
x x x x
y x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x x
x x x
+ −
= − + + + =
− + − −
− + − − +
= + =
− + − −
−
= + =
− − −
Поэтому
2
2
2
1
x
dy dx
x
=
−
.
