1. Методы решенияМетоды решения
иррациональных уравненийиррациональных уравнений
Автор: МакароваТатьяна Павловна, учитель
математики высшей категории ГБОУ СОШ
№618 г. Москвы
Контингент: 10 класс физико-математического профиля.
2. Цель урока:Цель урока:
Обобщение и систематизация
способов решения
иррациональных уравнений.
Решение более сложных типов
иррациональных уравнений .
Развивать умение обобщать,
правильно отбирать способы
решения иррациональных
уравнений.
Развивать самостоятельность,
воспитывать грамотность речи.
3. Устная работаУстная работа
Можно ли, не решая уравнений,
сделать вывод о неразрешимости
предложенных уравнений:
;87 xx +−=−
13 2
−−=− xx
953 −−=− хх
024375 2
=+−−++ ххх
4. Методы решенияМетоды решения
иррациональных уравненийиррациональных уравнений
Введение новой переменной
Исследование ОДЗ
Умножение обеих частей уравнения
на сопряженный множитель.
Сведение уравнения к системе
рациональных уравнений с помощью
введения переменной.
Выделение полного квадрата
5. Методы решенияМетоды решения
иррациональных уравненийиррациональных уравнений
Использование ограниченности
выражений, входящих в уравнение
Использование свойств
монотонности функций
Использование векторов
Функционально - графический
метод
Метод равносильных преобразований
Метод возведения обеих частей
уравнения в одну и ту же степень
6. Введение новой переменнойВведение новой переменной
Решить уравнение.
0634183 22
=−+⋅+−+ xxxx
Решние.
Пусть х2
+3х-6= t , t – неотрицательное число,
тогда имеем .0412 =+− tt
Отсюда, t1=4, t2=36.
Проверкой убеждаемся, что t=36 – посторонний
корень.
Выполняем обратную подстановку
х2
+3х-6=4
Отсюда, х1= - 5, х2=2.
7. Решить уравнение
( )хххх −+−=−−+⋅−+⋅ 12174133 3
Решение.
Замечаем, что ОДЗ уравнения состоит из
одной точки х=1.
Проверкой убеждаемся, что
х=1 – решение уравнения.
8. Умножение обеих частей уравнения наУмножение обеих частей уравнения на
сопряженный множительсопряженный множитель
Решить уравнение .583 =+++ xx
Решение. Умножим обе части уравнения на
( )83 +−+ xx
Получим, ( ).83583 +−+⋅=−−+ xxxx
Имеем,
=+++
−=+−+
.583
,183
xx
xx
Отсюда, .1,432 ==+⋅ хх
Проверкой убеждаемся, что х = 1 является
корнем данного уравнения.
9. Сведение уравнения к системеСведение уравнения к системе
рациональных уравнений с помощьюрациональных уравнений с помощью
введения переменнойвведения переменной
Решить уравнение .3123
=++− хх
Решение. Предложим 3
,2−= xu .1+= xv
Тогда u+v=3. Так как u3
=x-2, v2
=x+1, то v2
– u3
=3.
Итак, в новых переменных имеем
=−
=+
3
,3
32
uv
uv
=−+−
−=
⇔
066
,3
23
uuu
uv
=
=
⇔
.1
,2
u
v
Значит, х=3.
10. Выделение полного квадратаВыделение полного квадрата
Решить уравнение
.2122122 =+⋅−+++⋅++ xxxx
Решение.
Заметим, что ( )2
11122 ++=+⋅++ xxx
( ) .11122
2
−+=+⋅−+ xxx
Следовательно, имеем уравнение
( ) ( ) ,21111
22
=−++++ xx .21111 =−++++ xx
Данное уравнение равносильно совокупности
двух систем:
=+⋅
≥−+
212
,011
x
x
или
=+−+++
<−+
.21111
,011
xx
x
Решением первой системы будет х=0, решением
второй системы – все числа, удовлетворяющие
неравенству .01 <≤− х
Ответ: .01 ≤≤− x
11. Использование ограниченности выражений,Использование ограниченности выражений,
входящих в уравнениевходящих в уравнение
Решить уравнение .211 24 42
xxx −=+++Решение.
Так как 112
≥+x 114 4
≥+хи для любых значений х,
то левая часть уравнения не меньше двух для Rх ∈
Правая часть 22 2
≤− х для .Rх ∈
Поэтому уравнение может иметь корнями только те
значения х, при которых
=−
=+++
.22
,211
2
4 42
х
хх
Решая второе уравнение системы, найдем х=0.
Это значение удовлетворяет и первому
уравнению системы. Итак, х=0 – корень
уравнения.
12. Использование свойствИспользование свойств
монотонности функциймонотонности функций
Решить уравнение 35
.2921 xxx −=++−Решение.
Если функция u(x) монотонная, то уравнение и(х)
= А либо не имеет решений, либо имеет
единственное решение. Отсюда следует, что
уравнение и(х) = v(x), где и(х) возрастающая, a
v(x) – убывающая функции, либо не имеет
решений, либо имеет единственное решение.
Подбором находим, что х=2 и оно единственно.
13. Использование векторовИспользование векторов
Решить уравнение .1231 2
+⋅=−++⋅ xxxxРешение.
ОДЗ: .31 ≤≤− х
Пусть вектор { } { }xxbxa −+ 3;1,1;
Скалярное произведение векторов
.31 xxxba −++⋅=⋅
xxxba −++⋅+=⋅ 3112
12 2
+⋅= x
Получили baba
⋅=⋅ Отсюда,
xx
x
−
=
+ 3
1
1
Возведем обе части в квадрат. Решив уравнение,
получим
21;1 ±== xx
14. Самостоятельная работа сСамостоятельная работа с
последующей проверкойпоследующей проверкой
( )
.2555
,126202
,1714714
6 233
2
2
xxx
xxxx
xxx
−=−−+
+=−−+
−+=−++
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
.5425
,321
,112
46 7
5
3
=⋅−
=++−
−−=−
xxxx
xx
хх
13
63
)3
1)2
9;8;6;5)1 −−−−
6561)3
2)2
10;2;1)1
