1. АЛГЕБРА И НАЧАЛА
АНАЛИЗА
Е. Зудина
г. Москва
Журнал «Математика» № 1/2012
2. БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ
Задача В1
Текстовые задачи на применение навыков счета
в повседневной жизни.
Задача В2
Задачи на интерпретацию графиков и диаграмм, на
соотнесение текстового описания реального процесса
с графиком динамической числовой характеристики этого
процесса. Задачи представлены в виде графиков или
диаграмм.
Журнал «Математика» № 1/2012
3. Задача В4
Задачи, в которых рассматриваются простые жизненные
ситуации, связанные с выбором тарифных планов, заказом
и доставкой товаров, выбором наиболее короткого пути.
Задача В12
Задачи на анализ явления, описываемого формулой
функциональной зависимости.
Задача В10
Практическое задание на использование вероятностных
моделей.
Журнал «Математика» № 1/2012
4. Задача В5
Несложное показательное, логарифмическое или
иррациональное уравнение (или неравенство).
Задача В8
Задачи относятся к разделу математического анализа.
Журнал «Математика» № 1/2012
5. Задача В1
Проверяемые умения
Проверяемые умения
Уметь использовать приобретенные знания и умения
в практической деятельности и повседневной жизни.
Для решения требуется
Для решения требуется
Внимательно читать условие и аккуратно вычислять,
тем самым укрепляя необходимую базу для решения
более сложных задач (В13).
Невнимательное чтение условия задачи и неверные
вычисления приводят к возникновению ошибок.
Журнал «Математика» № 1/2012
6. 1. Сумка стоит 1450 рублей. Во время распродажи скидка
на все товары составляет 20%. Сколько рублей стоит
сумка во время распродажи?
Решение.
Найдем, чему равны 20% от 1450 рублей:
20
×
1450 = 290 р.
100
Цена понизилась на 290 рублей.
Новая цена равна:
1450 – 290 = 1160 р.
Ответ: 1160.
Журнал «Математика» № 1/2012
7. 2. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 3 рубля 30 копеек.
Счетчик электроэнергии 1 октября показывал
12 625 киловатт-часов, а 1 ноября – 12 801 киловатт-часа.
Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию в
октябре?
Решение.
Найдем, сколько электроэнергии было
использовано за октябрь:
12801 – 12625 = 176 кВт.ч.
Так как 1 киловатт-час электроэнергии
стоит 3 р. 30 к., то заплатить
нужно 3,3 · 176 = 580,8 р.
Ответ: 580,8.
Журнал «Математика» № 1/2012
8. Задача В2
Проверяемые умения
Проверяемые умения
Уметь интерпретировать графики, извлекать из них
простейшую числовую информацию и делать
необходимые выводы.
Для решения требуется
Для решения требуется
Уметь делать простейшие выводы на основании
графика функциональной зависимости.
Уметь соотносить текстовое описание реального
процесса с графиком динамической числовой
характеристики этого процесса.
Уметь извлекать из графика качественную и
количественную информацию о процессе.
Журнал «Математика» № 1/2012
9. 1. На диаграмме показано количество людей, побывавших
в космосе в течение каждого года с 1961 по 1982 год. По
горизонтали указываются годы, по вертикали –
количество людей, побывавших в космосе в данном году.
Определите по диаграмме, сколько было таких лет, когда
в космосе побывало ровно 6 человек.
Журнал «Математика» № 1/2012
10. Решение.
Найдем на вертикальной оси число 6 и проведем
горизонтальную прямую. Она «касается» четырех
столбиков: 1972, 1974, 1976 и 1977 годы.
Ответ: 4.
Журнал «Математика» № 1/2012
11. 2. На графике показано изменение давления в паровой
турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается
время в минутах, на оси ординат – давление в
атмосферах. Когда давление достигает определённого
значения, открывается клапан, выпускающий часть пара,
и давление падает.
Затем клапан закрывается, и давление снова растет.
Определите по графику, сколько минут прошло между
первым и вторым открытием клапана
Журнал «Математика» № 1/2012
12. Решение.
Первый раз клапан открылся через 4 мин. после запуска.
Давление стало падать, пар уже не так сильно давил на
клапан, и он закрылся. Давление снова стало расти и
через 10 мин. после запуска вновь достигло критического
давления в 5 атмосфер. Клапан открылся во второй раз.
Эти моменты отметим на графике.
Между первым и вторым
открытием клапана
прошло 10 – 4 = 6 мин.
Ответ: 6.
Журнал «Математика» № 1/2012
13. Задача В4
Проверяемые умения
Проверяемые умения
Уметь использовать приобретенные знания и умения
в практической деятельности и повседневной жизни.
Для решения требуется
Для решения требуется
Уметь применять математические методы для решения
задач из различных областей науки и практики.
Уметь выполнять преобразования выражений,
включающих арифметические операции.
Уметь сравнивать числа и делать обоснованный выбор.
Журнал «Математика» № 1/2012
14. 1. Для транспортировки 40 тонн груза на 1300 км можно
воспользоваться услугами одной из трех транспортных
компаний. Стоимость перевозки и грузоподъемность
автомобилей для каждой компании указаны в таблице.
Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую
перевозку груза?
Стоимость перевозки
Компания- Грузоподъемность
одним автомобилем
перевозчик одного автомобиля (тонн)
(р. за каждые 100 км)
А 3200 3,5
Б 4100 5
В 9500 12
Журнал «Математика» № 1/2012
15. Решение.
Вычислим число поездок для перевозки 40 тонн. Для
этого разделим массу груза на грузоподъёмность каждого
автомобиля и округлим полученный результат с избытком.
Например, 40 :12 = 3 1 . Округлив, получим 4 поездки.
3
Стоимость перевозки
Компания- Грузоподъемность
одним автомобилем
перевозчик одного автомобиля (тонн)
(р. за каждые 100 км)
А 3200 3,5
Б 4100 5
В 9500 12
Журнал «Математика» № 1/2012
16. Расчёты можно разместить в таблице:
Компания-
перевозчик
А Б В
Стоимость перевозки
(р. за каждые 100 км)
3200 4100 9500
Стоимость одной 3200 · 13 = 4100 · 13 = 9500 · 13 =
поездки = 41 600 = 53 300 = 123 500
Грузоподъемность
автомобиля (тонн)
3,5 5 12
Число поездок 12 8 4
Стоимость всей 12 · 41 600 = 8 · 53 300 = 4 · 123 500 =
перевозки = 499 200 = 426 400 = 494 000
Заказ получается дешевле всего, если выбрать
перевозчика Б.
Ответ: 426 400.
Журнал «Математика» № 1/2012
17. Задача В12
Проверяемые умения
Проверяемые умения
Уметь использовать приобретенные знания и умения
в практической деятельности и повседневной жизни.
Для решения требуется
Для решения требуется
Уметь применять математические методы для решения
содержательных задач из различных областей науки и
практики.
Уметь интерпретировать результат и учитывать
реальные ограничения.
Журнал «Математика» № 1/2012
18. 1. Если быстро вращать ведро с водой на верёвке
в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться.
При вращении ведра сила давления воды на дно
не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке
и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если
сила её давления на дно будет положительной во всех
точках траектории, кроме верхней, где она может быть
равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная
v2
в Ньютонах, равна P = m − g ÷, где m – масса воды (кг),
L
v – скорость движения ведра (м/с), g – ускорение
свободного падения (считайте g = 10 м/с2), L – длина
веревки (м). С какой минимальной скоростью надо
вращать ведро, чтобы вода не выливалась, если длина
веревки равна 0,784 м? Ответ выразите в м/с.
Журнал «Математика» № 1/2012
19. Решение.
Задача сводится к решению неравенства P(v) ≥ 0.
Подставим в формулу давления данные задачи:
v2
P = m − 10 ÷,
0,784 тогда необходимо решить неравенство
v2
m − 10 ÷ ≥ 0.
0,784
v2
− 10 ≥ 0, v 2 ≥ 7,84.
Учитывая, что m > 0, получим:
0,784
откуда
Учитывая, что v > 0, получим:
Ответ:м/с.
v ≥ 2,8 2,8.
Журнал «Математика» № 1/2012
20. Задача В10
Проверяемые умения
Проверяемые умения
Уметь строить и исследовать простейшие математические
модели.
Для решения требуется
Для решения требуется
Знать основные понятия теории вероятностей и
статистики.
Уметь проводить доказательные рассуждения при
решении задач.
Журнал «Математика» № 1/2012
21. 1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова
вероятность того, что выпало не менее 4 очков?
Решение. Вероятность события А, связанного с опытом с
равновероятностными исходами, вычисляется по
формуле
число исходов, благоприятствующих событию A k
P ( A) = = .
число всех исходов n
Возможны шесть исходов, то есть n = 6.
Благоприятствуют событию А = {выпало не менее 4 очков}
три исхода, т.е. k = 3.
3 1
Следовательно, P ( A) = = = 0,5.
6 2
Ответ: 0,5.
Журнал «Математика» № 1/2012
22. 2. В случайном эксперименте симметричную монету
бросают дважды. Найти вероятность того, что оба раза
выпадает орел?
Решение. Возможны четыре исхода:
Броски
Исходы
Исход 1 Исход 2 Исход 3 Исход 4
Первый бросок
Второй бросок
Таким образом, n = 4. Благоприятствует событию А = {оба
раза выпал орел} исход 3, т.е. k = 1.
1
Следовательно, P ( A) = = 0, 25.
4 Ответ: 0,25.
Журнал «Математика» № 1/2012
23. Задача В5
Проверяемые умения
Проверяемые умения
Уметь решать уравнения и неравенства.
Для решения требуется
Для решения требуется
Знать, что данное уравнение (неравенство) сводится
к линейному.
Такие уравнения (неравенства) являются базовыми: без
них невозможно продвинуться в решении более
сложных задач.
Журнал «Математика» № 1/2012
24. Решение большинства показательных уравнений после
преобразований сводится к решению простейших
показательных уравнений вида:
1. а
f ( x)
= а b , откуда f(x) = b.
2. а
f ( x)
= а g ( x ) , откуда f(x) = g(x) , где a > 0, a ≠ 1.
Журнал «Математика» № 1/2012
25. 1. Решите уравнение 45− x = 64.
Решение.
5− x
Перепишем данное уравнение в виде 4 = 4 ,
3
откуда 5 – x = 3, значит, x = 2.
Ответ: 2.
x+ 4
1
2. Решите уравнение ÷ = 25.
5
Решение.
− ( x + 4)
Перепишем данное уравнение в виде 5 =5 ,
2
–x – 4 = 2, значит, x = –6.
Ответ: –6.
Журнал «Математика» № 1/2012
26. Решение многих логарифмических уравнений после
преобразований сводится к решению логарифмических
уравнений вида:
1. log а f ( x) = b, где a > 0, a ≠ 1.
Для решения такого уравнения достаточно знания
определения логарифма, из которого вытекает, что
f(x) = аb.
2. log а f ( x) = log а g ( x), откуда f(x) = g(x), причем a > 0, a
≠ 1.
Решив такое уравнение, необходимо проверить корни
полученного уравнения на выполнение одного из
неравенств: f(x) > 0 либо g(x) > 0.
Журнал «Математика» № 1/2012
27. 3. Решите уравнение log6 (x + 1) = 2.
Решение.
Из определения логарифма следует, что x + 1 = 62, откуда
х = 35.
Ответ: 35.
Журнал «Математика» № 1/2012
28. Для решения несложных иррациональных уравнений
достаточно знать определение арифметического
квадратного корня:
Арифметическим квадратным корнем из числа a
называется такое неотрицательное число b, квадрат
которого равен а.
Таким образом, a = b, если одновременно выполняются
два условия:
1. b ≥ 0.
2. a = b2.
Журнал «Математика» № 1/2012
29. 4. Решите уравнение 1 − 3 x = 4.
Решение.
Из определения следует, что 1 – 3x = 42, откуда –3x = 15.
Следовательно, x = –5 .
Ответ: –5.
Журнал «Математика» № 1/2012
30. Задача В8
Проверяемые умения
Проверяемые умения
Уметь выполнять действия с функциями.
Для решения требуется
Для решения требуется
Знать геометрический смысл производной.
Знать уравнение касательной к графику функции.
Знать производные основных элементарных функций.
Уметь читать график производной функции.
Уметь применять производную для исследования
функции.
Журнал «Математика» № 1/2012
31. 1. На рисунке изображен график функции y = f(x).
Касательная к этому графику, проведенная в точке –4,
проходит через начало координат. Найдите f '(–4).
Журнал «Математика» № 1/2012
32. Решение. Построим касательную, которая проходит через
начало координат и указанную точку А с абсциссой
x0 = –4.
Значение производной функции f(x) в точке равно
угловому коэффициенту касательной, проведенной
к графику функции в данной точке.
Если уравнение
прямой имеет вид
y = kx + b, то f '(x0) = k.
O(0;0)
A(–4; –2)
Журнал «Математика» № 1/2012
33. Найдём угловой коэффициент прямой y = kx + b,
проходящей через точки А(–4; –2) и О(0; 0), составив
систему:
−4k + b = −2, k = 0,5,
0k + b = 0, b = 0 .
Следовательно, f '(–4) = 0,5.
Ответ: 0,5.
Журнал «Математика» № 1/2012
34. 2. На рисунке изображен график производной функции
f(x), определённой на интервале (–6; 3). Найдите абсциссу
точки, в которой касательная к графику функции f(x)
параллельна прямой y = –2x + 17 или совпадает с ней.
Журнал «Математика» № 1/2012
35. Решение. Если касательная к графику функции
параллельна прямой y = –2x + 17 или совпадает с ней, то
значение производной в точке касания равно –2, так как
f '(x0) = k. Найдем искомую абсциссу. Для этого проведем
горизонтальную прямую y = –2.
М – точка пересечения
этой прямой с графиком
производной. Абсцисса
точки М равна –3.
–3 – искомая абсцисса
точки касания.
–3
M –2
y = –2 Ответ: –3.
Журнал «Математика» № 1/2012
37. 1. Найдите все значения a, при каждом из которых
уравнение 4 x − 3 x − x + a = 9 x − 1 имеет хотя бы один
корень.
Решение. Рассмотрим непрерывную функцию
f ( x ) = 9 x − 1 + 3x − x + a − 4x .
1. При всех x ≥ 1 f ( x ) = 9 x − 9 − 4 x ± 3 x ± x ± a = kx + m ,
где k ≥ 9 − 4 − 4 > 0,
значит, f(x) возрастает.
Журнал «Математика» № 1/2012
38. 2. При всех x ≤ 1 f ( x ) = −9 x + 9 − 4 x ± 3 x ± x ± a = kx + m ,
где k ≤ −9 + 4 − 4 < 0,
значит, f(x) убывает.
3. Следовательно, х = 1 – точка минимума функции f (x), и
область значений функции E(f) = [ f (1); ∞).
Уравнение имеет корень тогда и только тогда, когда f (1) ≤ 0,
то есть
3 − 1 + a ≤ 4.
Ответ: [–8; 6].
Журнал «Математика» № 1/2012